函数的基本性质

函数的基本性质（共9篇）

函数的基本性质 篇1

虽然高中数学函数是在初中数学函数的基础上延伸及拓展的,但高中的函数不再是单纯的x和y之间的变量关系,而是按照一定的f法则进行变化,例如: f( x) = log3( x22) ,在此法则里面,两个变量之间的集合是形成了一一对应的关系. 要想学好函数,必须先学习以及掌握函数的基本性质. 所谓“万变不离其宗”,出题者的最初依据还是函数的基本性质.

一、函数性质之奇偶性

1. 函数奇偶性的定义

根据课本的定义,( 1) 一般地,如果对于函数f( x) 的定义域内任意一个x,都有f( - x) = f( x) ,那么函数f( x) 就叫偶函数; ( 2) 如果对于函数f( x) 的定义域内任意一个x,都有f( - x) = - f( x) ,则函数f( x) 就叫奇函数.

在此需要注意并不是所有的函数不是奇函数就必为偶函数. 在判断一个函数的奇偶性时,教师应先给学生指出函数的定义域必须关于原点对称,若不对称,则该函数为非奇非偶函数; 如果定义域对称再对函数进行奇偶性的判断. 教师可举例f( x) =x1/2来说明什么样的函数属于非奇非偶函数. 因为此函数中根号下的数为非负数,所以x的范围为: x ≥0,该定义域不是关于原点对称的. 通过这个例子,学生们就会比较清楚非奇非偶是怎么一回事了.

2. 如何判断函数的奇偶性

上面已经教完定义,接下来教师应趁热打铁,马上出一道习题看学生是否已经掌握了根据定义判断函数奇偶性这一知识点,例如让学生求证函数的奇偶性并证明. 在解答的时候,教师应演示如何用定义来求证函数的奇偶性,并给出正确的书写格式. 因为通过笔者的教学经验,有部分学生解答方法是对的,但是有时候会把前提条件和结果倒过来写,导致考试失分.

二、函数性质之单调性

单调性在高中函数中也是非常重要的,要解函数单调性的题目,最关键的方法是要懂得画图,结合函数的曲线图便能清晰有序地解答相关题目,因此教师教授函数单调性应把重点放在利用图像来解题.

1. 培养学生动手画图的习惯

无论老师说或教多少遍,都比不上学生动手画一次. 只有学生动手画图,才能发现是否已掌握了其中的要领,所以教师要培养学生看题画图、以图形解题的好习惯,达到熟练地将抽象的函数关系用坐标系直观地表示出来,以形助数可以把复杂的问题简单化.

2. 给学生演示如何利用图像来解答函数单调性的题目

学习不单是学完就完成任务了,它的最终目的是要让所学者懂得学以致用. 要用图像来解答函数的单调性,首先要让学生搞清函数单调性的定义: 如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1< x2时都有f( x1) < f( x2) ,那么f( x) 在此区间上为增函数; 若对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1< x2时都有f( x1) > f( x2) ,则f( x) 在此区间上为减函数.

在讲解完单调性的定义后,教师需要马上给学生一针强有力的“药剂”. 先让学生思考如何利用图像解答函数y = 2( x - 1)2- 1的单调性问题,再给学生演示解题的过程并指出要点. 如先分析此函数是二次函数,然后根据二次函数的性质和要素再画出正确及对应的图像. 如: ( 1) 正确判断二次函数的开口方向; ( 2) 找出该函数的对称轴; ( 3) 找出该函数的顶点坐标,以及用随意值求出两个除顶点以外的两个点的坐标. 再根据画出的图像,进行图像单调性的讲解, 什么样的图像属于单调递减或递增,分界线在哪里. 另外还需马上让学生课堂做对应的练习题进行强化巩固.

三、函数性质之最值

最值是高中阶段以及高考中很爱考的一个知识点,因为最值可以和很多不同类型的函数( 如指数函数、三角函数等) 结合在一起考,其复杂度是非常大的. 这要求学生的综合运用能力特别强,才能正确地利用其他函数的性质以及最值的性质来解答.

单调性经常被作为解最值的重要方法,不管是考查什么样的函数题目,求最值最常使用的方法就是利用函数的单调性. 教师应以实例进行说明最值和单调性之间的关系.如: 教师可以让学生分析上的单调性并求出最值,在讲解过程中要提醒学生解题时要注意把最终的式子以两个因数相乘的形式表现出来,否则无法比较f( x1) - f( x2) 的结果是大于0还是小于0,无法判断单调性. 最后则是把所求的函数顶点x坐标作为对称轴对函数的单调性在规定的区间上进行分析,并且强调学生要注意以及计算的准确性. 因为很多学生方法是掌握了,但是由于计算粗心却无法求出正确的最值.

数学的复杂性并不止于此,本文只是针对函数的三个基本性质进行说明. 对于高中数学函数的学习,学生应多角度审视,体验不同知识点结合在一起的巧妙以及成功正确解答之后的成就感与自信,增加学生对高中数学的兴趣.

摘要：函数是高中数学核心中的核心,它贯穿了整个高中的数学学习.如果不能好好掌握函数的性质部分,则整个高中的数学学习都会很困难.本文就函数的基本性质:奇偶性、单调性、最值这三个点的教学进行议论.

关键词：函数,高中数学,性质,奇偶性,单调性,最值,教学

函数的基本性质 篇2

教学目标：

1、掌握函数的基本性质；

2、能灵活运用函数单调性、奇偶性解部分中等难度题目 教学重点：能用函数单调性、奇偶性解部分中等难度题目 教学难点：灵活运用函数的单调性、奇偶性 教学方法：讲练结合 教学过程：

一、复习

1、增函数、减函数的定义，如何判断一个函数的单调性？步骤是什么？

2、如何求一个函数的最值？

3、奇函数、偶函数的定义，如何判断一个函数的奇偶性？步骤是什么？

4、奇函数、偶函数的性质分别是什么？

二、典例析评

例

1、设函数f(x)是R上的偶函数，在区间(-,0)上递增，且有f(8)-f(3a2-2a)0求a的取值范围。

解：f(8)-f(3a2-2a)0

f(8)f(3a2-2a)

又函数f(x)在R上的偶函数，在区间(-,0)上递增

2-83a-2a8

得a-或a2

43评：根据题意和偶函数的定义大致画出函数f(x)的图像，然后再解不等式

例

2、证明函数f(x)xax(a0)在（0，a）上是减函数，在（a，）上是增函数.证明：任取x1,x2(0,a),令x1x2，则

f(x1)-f(x2)(x1aaaa)-(x2)(x1-x2)(-)x1x2x1x2a)x1x2a0 x1x

2=(x1-x2)(1-

0x1x2a

x1-x201-

(x1-x2)(1-a)>0

即f(x1)f(x2)x1x2ax

故函数f(x)x

(a0)在（0，a）上是减函数 同理：函数f(x)在(a,)上是增函数

例

3、已知函数f(x),g(x)在R上是减函数，求证函数 f（g(x))在R上也是增函数。

证明：任取x1,x2R,令x1x2

g(x)在R上是减函数

g(x1)g(x2)

又f(x)在R上是减函数

f(g(x1))f(g(x2))

函数f（g(x))在R上也是增函数

评：定义法是证明函数单调性的常用方法，对于复合函数求单调性就有“同增异减” 变式：

1、已知函数f(x),g(x)在R上都是增函数，求证函数f(g(x))在R上也是增函数。

2、已知函数f(x)在R上是减函数,g(x)在R上都是增函数，求证函数f(g(x))在R上是减函数。

3、已知函数f(x)在R上是增函数,g(x)在R上都是减函数，求证函数f(g(x))在R上是减函数。

例

4、已知函数f(x),g(x)都是奇函数，则f(x)g(x)是什么函数？

解：f(x)是奇函数

f(-x)-f(x)

同理：g(-x)-g(x)

f(-x)g(-x)f(x)g(x)故f(x)g(x)是偶函数

例

5、已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则f(x)g(x)是什么函数？ 解：略

例

6、已知函数f(x),g(x)都是偶函数，则f(x)g(x)是什么函数？ 解：略

三、课堂练习

1、已知f(x)ax2bx3ab是R上的偶函数，且定义域为[a-1,2a]，则ab

<1>

32、判断下列函数的奇偶性

1-x2(1)f(x)

(2)f(x)1-x2x2-1

2-x2

(3)f(x)x1x-

1(4)f(x)xx[-1, 4]

参考答案：(1)奇函数；(2)既是奇函数又是偶函数

(3)偶函数(4)非奇非偶函数 评：判断函数的奇偶性首先要判断定义域是否关于原点成中心对称，然后判断f(-x)是否与-f(x)相等或是否互为相反数。

四、课堂小结

本节课复习了函数的基本性质的概念 ②用定义法证明或判断函数的单调性或奇偶性以及解题步骤

函数的基本性质 篇3

一、易错点分析

1. 对函数单调性的概念不清，导致对函数单调性的判断出现偏差。

[例1]判断函数的单调性。

解：原函数可以转化为y=22x，该函数在R上是增函数，∴y=()-2x是增函数。

2. 对函数奇偶性定义的内涵理解不深，导致对函数在特定定义域上的奇偶性判断出现错误。

[例2]判断函数f (x) = (1-x)

解：f (x)=(1-x)有意义时必须满足

即函数的定义域是{x|-1≤x<1}，即函数定义域不关于原点对称，因此该函数既不是奇函数也不是偶函数。

3. 对函数奇偶性判断的方法局限于定义而不够灵活，导致判断结果的错误。

[例3]判断函数f (x)=ln()的奇偶性。

解：解法一：∵f(-x)=

∴f (x)是奇函数。

4. 对函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论这一点认识不深刻，导致增减区间判断的错误。

[例4]函数y=的单调增区间是_____________。

解：y=的定义域是[-3, 1]，又g (x)=3-2x-x2在区间[-3，-1]上是增函数，在区间[-1, 1]上是减函数，所以y=的增区间是[-3，-1]。

二、难点分析

1. 函数的作图。

函数的作图有两种需要注意：一类分段函数，另一类是特殊函数。下面给出两道题目及其解法作为例子：

[例5]作出下列函数的图像：y=|x-2|(x+1)。

解：当x≥2时，即x-2≥0时，

当x<2时，即x-2<0时，

所以

[例6]作出下列函数的图像:y=e。

解:当x≥1时, lnx≥0, y=e=x;

当0

所以

2. 函数单调性定义的应用。

[例7]若f (x)=在区间(-3，+∞)上是减函数，求a的取值范围。

由f (x) =在区间 (-2, +∞) 上是减函数

得f (x1) -f (x2) >0

3. 函数奇偶性、单调性的证明。

[例8]函数f (x)在(-1, 1)上有定义，f ()=-1，当且仅当0

解：证明：(1)由f (x)+f (y)=f ()，令x=y=0，得f (0)=0，令y=-x，得f (x)+f(-x)=f ()=f (0)=0。∴f (x)=-f(-x)。∴f (x)

为奇函数。

(2)先证f (x)在(0, 1)上单调递减。

∴f (x)在(0, 1)上为减函数，又f (x)为奇函数且f (0)=0。

∴f (x)在(-1, 1)上为减函数。

三、总结

函数的基本性质 篇4

（一）、基本概念及知识体系：

教学要求：掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。

教学重点：掌握函数的基本性质。教学难点：应用性质解决问题。(二)、教学过程：

一、复习准备：

1.讨论：如何从图象特征上得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值？ 2.提问：如何从解析式得到奇函数、偶函数、增函数、减函数、最大值、最小值的定义？

二、教学典型习例： 1.函数性质综合题型： ①出示

★例1：作出函数y＝x－2|x|－3的图像，指出单调区间和单调性。

分析作法：利用偶函数性质，先作y轴右边的，再对称作。→学生作 →口答

→ 思考：y＝|x－2x－3|的图像的图像如何作？→

②讨论推广：如何由f(x)的图象，得到f(|x|)、|f(x)|的图象？ ③出示 ★例2：已知f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是增函数，证明：f(x)在(－∞，0)上也是增函数 分析证法 → 教师板演 → 变式训练

④讨论推广：奇函数或偶函数的单调区间及单调性有何关系？

（偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反；奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致）2.教学函数性质的应用：

①出示例3 ：求函数f(x)＝x＋221(x>0)的值域。x分析：单调性怎样？值域呢？→小结：应用单调性求值域。→ 探究：计算机作图与结论推广 ②出示

2.基本练习题：

2xx(x0)①判别下列函数的奇偶性：(1)、y＝1x＋1x、（2）、y＝

2xx(x0)（变式训练：f(x)偶函数，当x>0时，f(x)=….，则x<0时，f(x)=?）

三、巩固练习：

ax2b1.求函数y=为奇函数的时，a、b、c所满足的条件。（c=0）

xc2.已知函数f(x)=ax2+bx+3a+b为偶函数，其定义域为[a-1,2a]，求函数值域。3.f(x)是定义在(-1,1)上的减函数，如何f(2－a)－f(a－3)<0。求a的范围。4.求二次函数f(x)=x2－2ax＋2在[2,4]上的最大值与最小值。5.课堂作业： P43 A组6题，B组2、3题。

四、应用题训练：

x(1x)(当x0时)★例题

1、画出下列分段函数f(x)= 的图象：（见教案P35面例题2）

x(1x)(当x0时)2x2x(当x0时)★例题

2、已知函数f(x)=2，确定函数的定义域和值域；判断函数的奇偶

x2x(当x0时)性、单调性。（见教案P35面例题3）

★【例题3】某地区上电价为0.8元/kWh，年用电量为akWh。本计划将电价降到0.55元/kWh至0.75元/kWh之间，而用户期望电价为0.4元/kWh经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）。该地区电力的成本为0.3元/kWh。

（I）写出本电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

（II）设k0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（注：收益=实际用电量×（实际电价-成本价））解：（I）：设下调后的电价为x元/kwh，依题意知用电量增至为

yka，电力部门的收益

x0.4kax0.30.55x0.75（II）依题意有

x0.40.2aax21.1x0.30x0.3a0.80.3120%, x0.4 整理得  0.55x0.750.55x0.75.解此不等式得 0.60x0.75

答：当电价最低定为0.6x元/kwh仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%。

★【例题5】某地为促进淡水鱼养殖业的发展,将价格控制在适当范围内,决定对淡水鱼养值提供政府补贴.设淡水鱼的市场价格为x元/千克,政府补贴为t元/千克.根据市场调查,当8≤x≤14时,淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系: 当P=Q时市场价格称为市场平衡价格.(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数,并求出函数的定义域;(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元,政府补贴至少为每千克多少元? ●解:(1)依题设有

化简得

5x2+(8t-80)x+(4t2-64t+280)=0.当判别式△=800-16t2≥0时，由△≥0,t≥0,8≤x≤14,得不等式组:解不等式组①,得,不等式组②无解.故所求的函数关系式为

(2)为使x≤10,应有

≤-5,由t≥0知t≥1.从而政府补贴至少为每千克1元.（五）、2007年高考试题摘录：

化简得t+4t-5≥0.解得t≥1或t

2★题

1、（07天津）在R上定义的函数fx是偶函数，且fxf2x，若fx在区间1,2是减函数，则函数fx（B）A.在区间2,1上是增函数，区间3,4上是增函数；B.在区间2,1上是增函数，区间3,4上是减函数；C.在区间2,1上是减函数，区间3,4上是增函 2 数；D.在区间2,1上是减函数，区间3,4上是减函数

x2,★题

2、(07浙江)设fxx,x1，gx是二次函数，若fgx的值域是0,，x1则gx的值域是（C）A.,11, B.,10, C.0, D.1,

★题

3、(07福建)已知函数fx为R上的减函数，则满足f1xf1的实数x的取值范围是（C）A.1,1 B.0,1 C.1,00,1 D.,11,

★题

4、(07福建)已知函数fx为R上的减函数，则满足f1xf1的实数x的取值范围是（C）A.1,1 B.0,1 C.1,00,1 D.,11,

★题

5、(07重庆)已知定义域为R的函数fx在区间8,上为减函数，且函数yfx8为偶函数，则（D）A.f6f7 B.f6f9 C.f7f9 D.f7f10

★题

6、（07安徽）若对任意xR,不等式x≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（B）A.a＜-1 B.a≤1 C.a＜1 D.a≥1 ★题

7、（07安徽）定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期.若将方程f(x)0在闭区间T,T上的根的个数记为n，则n可能为（D）

A.0 B.1

C.3

D.5 ★题

8、（07安徽）图中的图象所表示的函数的解析式为（B）

3|x1|(0≤x≤2)233(B)y|x1|(0≤x≤2)223(C)y|x1|(0≤x≤2)2(A)y(D)y1|x1|

★题

9、(07重庆)若函数fx(0≤x≤2)

2x22axa1的定义域为R，则实数a的取值范围。

1,0

★题

10、（07宁夏）设函数fxxa2★题

11、(07上海)已知函数fxx(x0,aR)；（1）判断函数fx的奇偶性；

xx1xa为奇函数，则实数

a。-1 3（2）若fx在区间2,是增函数，求实数a的取值范围。

函数的基本性质 篇5

探究正弦函数、余弦函数的周期性、周期、最小正周期;会利用函数周期性求函数值或函数解析式.

二、导学内容

1.问题:今天是星期一, 则过了七天是星期____, 过了十四天是____……

2.观察正 (余) 弦函数的图象, 总结规律:

正弦函数f (x) =sinx性质如下: (观察图象)

(1) 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的.

(2) 规律是:每隔2π重复出现一次 (或者说每隔2kπ, k∈Z重复出现) .

(3) 这个规律由诱导公式sin (2kπ+x) =sinx可以说明.

符号语言:当x增加2π (k∈Z) 时, 总有f (x+2kπ) =sin (x+2kπ) =sinx=f (x) .

3.周期函数定义:对于函数f (x) , 如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时, 都有:____, 那么函数f (x) 就叫做周期函数, 非零常数T叫做这个函数的周期.

三、问题探究

1.对于函数y=sinx, x∈R有能否说是它的周期?

2.正弦函数y=sinx, x∈R是不是周期函数?如果是, 周期是多少?

3.若函数f (x) 的周期为T, 则k T, k∈R也是f (x) 的周期吗?为什么?

说明:

(1) 周期函数x∈定义域M, 则必有x+T∈M, 且若T>0则定义域无上界;T<0则定义域无下界.

(2) “每一个值”只要有一个反例, 则f (x) 就不为周期函数 (如f (x0+t) ≠f (x0) .

(3) T往往是多值的 (如y=sinx 2π, 4π, …, -2π, -4π, …都是周期) 周期T中最小的正数叫做f (x) 的最小正周期 (有些周期函数没有最小正周期)

y=sinx, y=cosx的最小正周期为2π (一般称为周期) .

从图象上可以看出, y=sinx, x∈R;y=cosx, x∈R的最小正周期为2π.

4.思考:是不是所有的周期函数都有最小正周期?不是, f (x) =c没有最小正周期.

四、提出疑惑

同学们, 通过你的自主学习, 你还有哪些疑惑, 请把它填在下面的表格中.

五、导学自测

1.函数y=sin4x的最小正周期为 ()

2.函数y=cos (ωx+π/3) (ω>0) 的最小正周期是2, 则ω是 ()

3.函数的最小正周期不大于2, 则正整数k的最小值应是 ()

A.10 B.11

C.12 D.13

4.定义在R上的函数f (x) 既是偶函数又是周期函数, 若f (x) 的最小正周期是π, 且当x∈[0, π/2]时, f (x) =sinx, 则的值为 ()

5.若f (x+3) =f (x) 对x∈R都成立, 且f (1) =5则f (16) =_________.

6.设f (x) 是R上的奇函数, f (x+2) =-f (x) , 当x∈[0, 2]时, f (x) =2x-x2.

(1) 当x∈[2, 4]时, 求f (x) 的解析式.

(2) 计算f (0) +f (1) +f (2) +…+f (2010) .

六、归纳总结

1.周期函数定义:对于函数f (x) , 如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值都有:f (x+T) =f (x) , 那么函数f (x) 就叫做周期函数, 非零常数T叫做这个函数的周期.

2.一般结论:函数y=Asin (ωx+φ) 及函数y=Acos (ωx+φ) , x∈R (其中A, ω, φ为常数, 且A≠0, ω>0) 的周期

3.若ω<0, 如: (1) y=3cos (-x) ; (2) y=sin (-2x) ; (3) x∈R.则这三个函数的周期又是什么?

一般结论:函数y=Asin (ωx+φ) 及函数y=Acos (ωx+φ) , x∈R的周期

七、思维拓展

利用抽象函数的性质求函数解析式 篇6

在高中阶段, 常见的抽象函数性质主要有下面几种 (下面问题中x, y都为实数) .

1.f (x+y) =f (x) +f (y) +a, x, y∈R, 求f (x) .

2.f (x+y) =f (x) +f (y) , 且f (0) =1, f′ (0) =a, 求f (x) .

3.f (xy) =f (x) f (y) , 且 f (1) =1, f′ (1) =n, 求f (x) .

4.f (xy) =f (x) +f (y) , 且f (1) =0, f′ (1) =a, 求f (x) .

5.f (x-y) +f (x+y) =2f (x) f (y) , 且f (0) =1, f′ (0) =0, f″ (0) =-1, 求f (x) .

6.f (x+y) = (f (x) +f (y) ) / (1-f (x) f (y) ) , f (0) =0, f′ (0) =1, 求f (x) .

现将以上6个问题一一解答:

问题1令x=y=0, 得f (0) =-a, 对f (x+y) =f (x) +f (y) +a

的两边分别关于x求导得

从以上解答结果可看出, 满足性质1的函数为线性函数, 给出不同初值, 可得不同一次函数.若f (0) =0, 则f (x) =cx.

问题2对f (x+y) =f (x) f (y) 两边分别关于x和y求导有

由结果可知, 符合性质2的函数为指数型函数, 这和指数的运算法则“ax+y=axay”在形式上是一致的.

问题3对f (xy) =f (x) f (y) 的两边分别关于x, y求导得

由上面结果可知, 若f′ (1) =a (a∈R) , x, y>0, 则f (x) =xa为幂函数, f (xy) =f (x) f (y) 与幂函数的运算法则 (xy) a=xaya在形式上是一致的.

问题4对f (xy) =f (x) f (y) 的两边关于x, y分别求导得

可看出性质4的结果为对数型函数, 当f′ (1) =1, x>0时, f (x) 为对数函数, 其形式和对数运算法则ln (xy) =lnx+lny (x, y>0) 是一致的.

问题5对f (x-y) +f (x+y) =2f (x) f (y) 两边关于x求导有

所以y=cosx, 知满足条件f′ (0) =0.

(ⅲ) 当p=±1时, f (x) =±x不合性质, 应舍去.

可以看出, 若去掉条件f′ (0) =0则 (ⅰ) 之结果也成立, 知给不同初值可得不同的函数, 并且f (x-y) +f (x+y) =2f (x) f (y) 在形式上和cos (x-y) +cos (x+y) =2cosxcosy是一致的.

问题6对f (x+y) (1-f (x) f (y) ) =f (x) +f (y) 的两边关于y求导得:

奇偶函数性质的推广 篇7

本文力求从上述定理中探究一般函数的对称性, 对一般函数的对称性进行归纳总结, 并对奇、偶函数图象性质的进行推广应用, 使学生对函数图象性质有更加整体的理解, 应用更加融会贯通.

一、定理及其推论

【定理1】 函数y=f (x) 的图象关于点 (x0, y0) 成中心对称图形的充分必要条件是对于函数定义域内的任一个数, 下列都成立:

f (x0-x) +f (x0+x) =2y0.

证明:现仅证明必要性, 充分性可反推回来证明即可.

设点 (x1, f (x1) ) 和 (x′, f (x′) ) 是函数y=f (x) 的图象上关于点 (x0, y0) 对称的任意两点, 则

x1+x′=2x0, f (x1) +f (x′) =2y0,

亦即x′=2x0-x1, f (x′) =2y0-f (x1) .

令x1=x+x0, 则有

x′=x0-x, f (x′) =2y0-f (x0+x) ,

故有f (x0-x) +f (x0+x) =2y0.

【推论1】 函数y=f (x) 的图象关于原点成中心对称图形的充分且必要条件是对于函数定义域内的任何一个数x, f (-x) =-f (x) 都成立.

【定理2】 函数y=f (x) 的图象关于直线l: (x-x0) sinα= (y-y0) cosα为对称轴的充分且必要条件是对于函数定义域内的任何一个数x, 下式都成立

f (M) =N,

其中${\rm M}=\left|\begin{array}{l}xf(x)\\ \cos 2\alpha \sin 2\alpha \end{array}\right|-2\left|\begin{array}{l}x{}_{0}y{}_0\\ \cos \alpha \sin \alpha \end{array}\right|\sin \alpha$;

$\begin{array}{l}=x\cos 2\alpha +f(x)\sin 2\alpha +2x{}_0\sin {}^2\alpha -y{}_0\sin 2\alpha \\ {\rm N}=\left|\begin{array}{l}xf(x)\\ \cos 2\alpha \sin 2\alpha \end{array}\right|-2\left|\begin{array}{l}x{}_{0}y{}_0\\ \cos \alpha \sin \alpha \end{array}\right|\cos \alpha \\ =x\sin 2\alpha -f(x)\cos 2\alpha -2x{}_0\sin 2\alpha +y{}_0\cos {}^2\alpha .\end{array}$

证明:下面亦只证明必要性, 充分性可反推回来证明即可.

设 (x, f (x) ) 与 (x′, f (x′) ) 为关于直线l对称的函数图象上的任意两点, 则

$\{\begin{array}{l}(\frac{x+x^{\prime }}{2}-x{}_0)=(\frac{f(x)+f(x^{\prime })}{2}-y{}_0)\cos \alpha ‚\\ (x^{\prime }-x)\cos \alpha =-(f(x^{\prime })-f(x))\sin \alpha .\end{array}$

解上面关于x′, f (x′) 的二元方程组, 得

x′=xcos2α+f (x) sin2α+2x0sin2α-y0sin2α=M

f (x′) =xsin2α-f (x) cos2α-2x0sin2α+y0cos2α=N,

亦即f (M) =N.

【推论2】 函数y=f (x) 图象关于直线x=α成轴对称图形的充分且必要条件是对函数定义域任意一个数x, f (α-x) =f (α+x) 都成立.

【推论3】 函数y=f (x) 图象关于y轴成轴对称图形的充分且必要条件是对函数定义域任意一个数x, f (-x) =f (x) 都成立.

【推论4】 函数y=f (x) 图象关于直线y=x成轴对称图形的充分且必要条件是对函数定义域任意一个数x, f (f (x) ) =x都成立.

二、应用

例1 给定实数α, α≠0, α≠1, 设函数$y=\frac{x-1}{\alpha x-1}(x\in \mathbf{R}$, 且$\mathbf{x}\ne \frac{1}{\mathbf{\alpha }})$.证明:这个函数的图象关于y=x成轴对称图形.

证明:对任意不等于$\frac{1}{\mathbf{\alpha }}$的实数x, 因为$\mathbf{f}(\mathbf{x}))=\frac{\mathbf{x}-1}{\mathbf{\alpha }\mathbf{x}-1}$, 所以$\mathbf{f}(\mathbf{f}(\mathbf{x}))=\frac{\mathbf{f}(\mathbf{x})-1}{\mathbf{\alpha }\mathbf{f}(\mathbf{x})-1}=\frac{\frac{\mathbf{x}-1}{\mathbf{\alpha }\mathbf{x}-1}-1}{\mathbf{\alpha }\cdot \frac{\mathbf{x}-1}{\mathbf{\alpha }\mathbf{x}-1}-1}=1.$

根据推论4, 所以f (x) 的图象关于y=x成轴对称图形.

例2 函数f (x) =x2+bx+c对任意实数t都有f (2-t) =f (2+t) , 那么 ( ) .

A.f (2) <f (1) <f (4) B.f (1) <f (2) <f (4)

C.f (2) <f (4) <f (1) D.f (4) <f (2) <f (1)

解析:根据推论2, 函数f (x) =x2+bx+c的图象以x=2为对称轴, 其开口向上, 故此函数在[2, +∞) 上是增函数, 所以有下式成立:

f (2) <f (3) <f (4) .

∵f (2-t) =f (2+t) ,

∴f (1) =f (3) .

函数的基本性质 篇8

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时学生必须考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误。如：

例1：某单位计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?

解：设矩形的长为x米，则宽为(50-x)米，由题意得：

S=x (50-x)，故函数关系式为：S=x (50-x)。

如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量的范围：0

即：函数关系式为：S=x (50-x) (0

这个例子说明，在用函数方法解决实际问题时，学生必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响，若考虑不到这一点，就体现出学生思维缺乏严密性;若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，学生应注意函数定义域。如：

例2：求函数的值域。

错解：令，则2x=t2+3,

剖析：经换元后，应有t≥0，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞)上是增函数，

所以当t=0时，ymin=1。故所求的函数值域是[1，+∞)。

以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，学生若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。也就是说，学生若能在解好题目后，检验已经得到的结果，善于找出和改正自己的错误，善于精细地检查思维过程，便体现出良好的思维批判性。

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：

例3：指出函数f (x)=log2 (x2+2x)的单调区间。

解：先求定义域：

∵x2+2x>0，∴x>0或x<-2，∴函数定义域为(-∞，-2)∪(0，+∞)。

令u=x2+2x，知在x∈(-∞，-2)上时，u为减函数;在x∈(0，+∞)上时，u为增函数，

又∵f (x)=log2u在[0，+∞)是增函数。

∴函数f (x)=log2 (x2+2x)在(-∞，-2)上是减函数，在(0，+∞)上是增函数。

即函数f (x)=log2 (x2+2x)的单调递增区间(0，+∞)，单调递减区间是(-∞，-2)。

如果在做题时，学生没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解。在做练习或作业时，只是对题型、套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的思维缺乏深刻性。

四、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：

例4：判断函数y=x3, x∈[-1, 3]的奇偶性。

解：∵2∈[-1, 3]而-2埸[-1, 3]，

∴定义域区间[-1, 3]关于坐标原点不对称，

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是非奇非偶函数。

如果学生像以上这样的过程解完这道题目，就很好地体现出解题思维的敏捷性。

如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：

∵f (-x) = (-x) 3=-x3=-f (x) ,

∴函数y=x3, x∈[-1, 3]是奇函数。

错误剖析：以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。

综上所述，在求解函数关系式、单调性、奇偶性等问题中，如果我们能精细地检查思维过程，思辨函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，对解题结果有无影响，就能提高学生质疑辨析能力，有利于培养学生的思维品质，从而不断提高学生思维能力，有利于培养学生思维的创造性。

参考文献

[1]田万海.数学教育学.浙江教育出版社.

[2]庄亚栋.高中数学教与学.中学数学教与学编辑部出版.

凸函数的性质与应用 篇9

凸函数是一类非常重要的函数, 广泛应用于数学规划、控制论等领域, 它在判定函数的极值、研究函数的图像以及证明不等式诸方面都有广泛的应用.

2. 凸函数的定义

我们首先给出凸函数的定义.

定义设f (x) 为定义在区间I上的函数, 若对I上的任意两点x1, x2和任意实数λ∈ (0, 1) 总有f (λx1+ (1-λ) x2) ≤λf (x1) + (1-λ) f (x2) , 则称f (x) 为I上的凸函数.

3. 凸函数的几个简单性质

性质1若f (x) 为区间I上的可导函数, 且f (x) 为I上的凸函数, 则f' (x) 为I上的增函数.

证明任取两点x1, x2 (x1

由于f (x) 是可导函数, 令h→0+时可得, 所以f' (x) 是增函数.

性质2若f (x) 为区间I上的二阶可导函数, 且f (x) 为I上的凸函数, 则f″ (x) ≥0.

证明由性质2得, 若f (x) 为I上的凸函数, 则f' (x) 为I上的增函数, 由此可得, 对任意x0∈I, 当x≠x0时, 有0, 令x→x0, 即得f″ (x0) ≥0.

因为x0是任意的, 所以有f″ (x) ≥0成立.

性质3若f (x) 在[a, b]为凸函数, 则f (x) 在[a, b]上连续.

证明任取x∈ (a, b) , 取δ充分小, 使x+δ∈ (a, b) , 由性质1得, 当δ>0时,

当δ<0时,

故f (x+δ) -f (x) →0, (δ→0) .所以f (x) 在[a, b]上连续.

性质4若f (x) 在[a, b]为凸函数, 则f (x) 在[a, b]上连续.

证明任取x∈ (a, b) , 取δ充分小, 使x+δ∈ (a, b) , 由性质1得

故f (x+δ) -f (x) →0, (δ→0) .所以f (x) 在[a, b]上连续.

4. 凸函数的应用

在许多问题证明中, 我们常常遇到一些不等式的证明, 其中一类不等式利用凸函数的性质来证明可以非常简洁、巧妙.

例1若x>0, y>0, 求证:x+y≥2槡xy. (均值不等式)

证明令, 它在 (0, +∞) 上是凹函数, 任取x, y∈ (0, +∞) , 由凹函数的定义, 则有

证明设f (x) =ex, 因f″ (x) =ex>0, 所以f (x) 是严格凸函数.

由凸函数的定义可知

例3证明younger不等式:xαyβ≤αx+βy (x, y, α, β均为正数, α+β=1) .

证明令f (x) =ln (x) , 则, f (x) 为凹函数, 从而ln (αx+βy) ≥αlnx+βlny=ln (xαyβ) .

参考文献

[1]郑维行, 王声望.实变函数与泛函分析概要[M].北京:人民教育出版社, 1980.

[2]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版) [M].北京:高等教育出版社, 2002.