不等式的基本性质练习

不等式的基本性质练习（通用13篇）

不等式的基本性质练习 篇1

课题：不等式的基本性质 课型：新授课 教学目标：

知识与技能：了解实数的基本事实，能够比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式。

过程与方法：通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质，并有运用基本性质的意识。能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。

情感态度与价值观：通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，是学生掌握类比的数学方法。

教学重点：比较两个实数的大小关系，掌握不等式的基本性质。教学难点：通过运用基本性质来证明不等式。教学过程：

一．新知引入

以人们常用的长与短，多与少，轻与重等现实中存在的数量上的不等关系来引入数学中人们用不等式来表示事物的不等关系。

说明研究不等式的出发点是实数的大小关系，并举例说明：（i）设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的左边时，a与b有着怎样的大小关系？（a

（ii）设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的右边时，a与b有着怎样的大小关系？(a>b)（i）（ii）边说边在黑板上画出数轴，呈现出相应的图形，并让全班一起回答，把答案写在对应图形的右边。

由上面两个实数的不等关系以及已经学过的等式关系，得出实数a,b存在的三种大小关系并且构成了实数的基本事实。

a>b a-b>0.ab（或a

二．练习巩固

例1． 比较(x3)(x2)和(x4)(x9)的大小.（答案：>）

让学生思考片刻，让学生说出解答的过程，并在黑板上写出详细过程。最后总结比较两个实数的大小关系，可以通过考察它们的差与0的大小关系来解答，并说明这种方法是作差比较法。

三．以旧推新

在学习和证明不等式的过程中，我们需要广泛运用基本性质，那么不等式有哪些基本性质？我们要怎么去研究和运用不等式的基本性质？

提示语发问，引起学生思考，并且加以引导：我们已经知道实数的基本事实以及两个实数的三种关系，而这三种关系又可以分为相等关系和不等关系。既然如此，它们之间应该会有一定的联系，那我们可不可以试着用等式的基本性质来推出不等式的基本性质？ 回顾等式的基本性质，让一些同学回答，教师再进行完善，并写在黑板的草稿区。由等式的对称性和传递性容易得到不等式的两个性质： 性质1：a>bbb,b>ca>c（单向传递性）

由等式的加减法和乘法运算法则是否可以推出不等式的相应的性质？尝试和学生一起思考，先在黑板试着写出不等式的相应性质，并让学生在已有的经验上去说明其正误。

尝试写出：

a>bac>bc a>bac>bc 学生很容易判断前者是成立的，而后者不一定成立，与c的取值有关，从而总结得出以下性质：

性质3：a>bac>bc 性质4：a>b，c>0ac>bc a>b，c<0ac

性质5：a>b>0anbn(nN,n2)性质6：a>b>0nanb(nN,n2)

给学生演示性质5,6的证明过程。

说明这些基本不等式是不等式证明和运用的基础，提醒学生在运用这些性质时要注意实数的符号（是否大于0）。

四．推论证明

利用不等式的基本性质还可以得出不等式的相关推论。性质3推论：

（i）如果a+b>c，那么a>c-b（ii）如果a>b,c>d,那么a+c>b+d（iii）如果a>b,c>d,那么a-d>b-c 对这3个推论都让学生思考运用不等式的基本性质进行证明，1分钟后，教师在黑板上演示推论（i）(ii)的证明过程，并强调运用的是哪个性质，推论（iii）让一个学生根据前面的演示来回答解答过程，并要说出是依据什么性质。教师板书过程。性质4推论：

（i）如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd（ii）如果a>b>0,c>d>0，那么

ab dc让学生思考片刻证明过程，推论（i）让学生回答解答过程及依据，教师完善并板书。推论（ii）由教师引导思考过程和方向：

要证ab1111，即证，在已知c>d>0的前提，问学生的证法。dcdcdc学生可能会运用函数的单调性质来证明，说明这个方法可行，并要求学生思考运用不等式的基本性质该怎么证明，引导学生回顾比较实数大小的方法并运用基本性质证明。

让学生回答11的证明过程： dc由c>d>0，得出cd>0,c-d>0,111cd0, 则0，cddccd11 dcaa0 dc接着证明推论（ii）： 由a>0及性质4，得由a>b>0, c>0,1ab0及性质4，得0 cccab 由性质2得，。

dc五．小结与作业

小结：回顾本节课的内容，重复比较两个实数大小的方法是作差比较法，回顾不等式的基本性质及其推论，强调证明不等式的过程中要熟练运用这些基本性质及其推论。

作业：课后习题1.1的第1-4题。

不等式的基本性质练习 篇2

一般, 对定积分不等式的性质是叙述为:若函数f (x) 和g (x) 为[a, b]上的两个可积函数, 且f (x) ≥g (x) , 则有∫b a f (x) dx≥∫b a g (x) dx。对上述不等式中的“≥”在什么情况下“>”成立, 什么情况下“=”成立, 并没有进一步讨论。本文将给出上述不等号严格成立的条件, 进而得到判断积分不等式性质中不等号严格成立的方法。

1 主要结果

引理1[1] 设函数f (x) 在[a, b]上非负可积, 则∫baf (x) dx≥0。

引理2 设函数f (x) 在[a, b]上可积, 则f (x) 在[a, b]上有无数多个连续点。

证明 因为f (x) 在[a, b]上可积, 所以对于ε1=1, 存在[a, b]的分割T1, 使得

由此可知, 在T1的某个小区间Δk=[xk-1, xk], f (x) 的振幅wk=wf[xk-1, xk]<ε1=1。若不然, 将导致${\displaystyle \sum _{{\rm T}{}_1}w}{}_i\Delta x{}_i\ge 1\times {\displaystyle \sum _{{\rm T}{}_1}\Delta }x{}_i=1\times (b-a)$, 这就与式 (1) 矛盾.取[a1, b1]⊂ (xk-1, xk) , 满足

以[a1, b1]代替[a, b], 对于$\epsilon {}_2=\frac{1}{2}$, 同样存在T2及属于T2的某个小区间的子区间[a2, b2], 满足

依次做下去, 得一区间套{[an, bn]}, 由闭区间套定理, 存在x0∈ (an, bn) ⊂ (a, b) , n=1, 2, …。

下证x0为f (x) 的一个连续点。 对于任给的正数ε>0, 存在正整数n, 使$\frac{1}{n}<\epsilon$。令

δ=min{x0-an, bn-x0},

则∪ (x0, δ) ⊂[an, bn].故当x∈∪ (x0, δ) 时,

$|f(x)-f(x{}_0)|\le w{}^f[a{}_n,b{}_n]<\frac{1}{n}<\epsilon$。

现在任给 (α, β) ⊂[a, b], 由于f (x) 在[α, β]上可积, 从而由上面已证的结果, f (x) 在[α, β]内有连续点, 故f (x) 在[α, β]有无限多个连续点。

定理1 若函数f (x) 为区间[a, b]上的非负可积函数, 则存在f (x) 的连续点x0∈[a, b], 使得f (x0) >0的充要条件是∫baf (x) dx>0。

证明 [必要性] 不妨设x0∈ (a, b) , 由于函数f (x) 在x0点连续, 则根据连续函数的保号性, ∃δ>0, 对∀x∈[x0-δ, x0+δ]有$f(x)\ge \frac{f(x{}_0)}{2}>0$。从而${\displaystyle {\int }_a^{b}f}(x)\text{d}x={\displaystyle {\int }_a^{x{}_0+\delta }f}(x)\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{x{}_0-\delta }^{x{}_0+\delta }f}(x)\text{d}x+{\displaystyle {\int }_{x{}_0+\delta }^{b}f}(x)\text{d}x\ge {\displaystyle {\int }_{x{}_0-\delta }^{x{}_0+\delta }f}(x)\text{d}x\ge {\displaystyle {\int }_{x{}_0-\delta }^{x{}_0+\delta }\frac{f(x{}_0)}{2}}\text{d}x=f(x{}_0)\delta >0$。

[充分性] 先证明当∫baf (x) dx>0时, 一定存在区间 (α, β) ⊂[a, b], 在[α, β]上有f (x) >0。若不然, 有ξ∈[α, β], 使得f (ξ) =0, 则对[a, b]的任一分割T, 在每个Δi上都可以找到ξi使f (ξi) =0, 从而

${\displaystyle {\int }_a^{b}f}(x)\text{d}x=\underset{{\rm T}\to 0}{{\displaystyle \lim }}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f}(\xi {}_i)\Delta x{}_i=0$。

这与∫baf (x) dx>0矛盾。

其次, 由于函数f (x) 在[α, β]上可积;因此由引理2有f (x) 在[α, β]上一定存在连续点x0, 故f (x0) >0。

注1 文献[2]给出了定理1中条件的必要性, 而本文指出了条件的充要性。

由定理1容易得到定理1的如下等价命题。

定理2 若函数f (x) 为[a, b]上的非负可积函数, 则函数f (x) 连续点上恒为零的充分必要条件是∫baf (x) dx=0。

由定理1和引理2可得如下的定理3和定理4。

定理3 若函数f (x) 为[a, b]上可积函数, 且f (x) >0, 则∫baf (x) dx>0。

定理4[3] 设函数f (x) 在[a, b]上非负连续, 且f (x) 不恒等于0, 则∫baf (x) dx>0。

2 推论

推论1 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的两个可积函数, 满足f (x) ≥g (x) , x∈[a, b], 且存在f (x) , g (x) 的连续点x0, 使得f (x0) >g (x0) , 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明 令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 由题知, F (x) 在[a, b]上非负可积, 存在连续点x0使得

F (x0) =f (x0) -g (x0) >0,

则由定理2知

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0,

即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

推论2 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的两个可积函数, 满足f (x) >g (x) , x∈[a, b], 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明 令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 则函数F (x) 在[a, b]上可积且F (x) >0, 则由定理3

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0, 即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

推论3 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的连续函数满足f (x) ≥g (x) , 且f (x) 不恒等于g (x) , 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明 令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 则F (x) 在[a, b]上非负连续, 且F (x) 不恒等于零, 由推论2有

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0, 即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

推论4 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的连续函数, 满足f (x) ≥g (x) , 且存在一点x0∈[a, b]使得f (x0) >g (x0) , 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明 令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 则

函数F (x) 在[a, b]上非负连续函数, 且存在x0∈[a, b], 使得F (x0) >0, 则由推论4有

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0, 即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

3 举例

例1 证明e>∫${}_0^1$ex2dx。

证明 令f (x) =e, g (x) =ex2。

[方法一] 显然, f (x) 和g (x) 在[0, 1]上连续, 且有f (x) ≥g (x) , 又对任一f (x) , g (x) 的连续点x0∈ (0, 1) , 都有f (x0) >g (x0) 。由推论1得

∫${}_0^1$f (x) dx>∫${}_0^1$g (x) dx, 即e>∫${}_0^1$ex2dx。

[方法二] 因为函数f (x) 和g (x) 在[0, 1]上连续, 且有f (x) >g (x) , x∈ (0, 1) , 由推论2得

∫${}_0^1$f (x) dx>∫${}_0^1$g (x) dx, 即e>∫${}_0^1$ex2dx。

[方法三] 因为函数f (x) 及函数g (x) 在[0, 1]上连续, 且满足f (x) ≥g (x) , 而且函数f (x) 不恒等于函数g (x) , 由推论3证得

∫${}_0^1$f (x) dx>∫${}_0^1$g (x) dx, 即e>∫${}_0^1$ex2dx。

注2 若应用引理1, 对于例1只能得到e≥∫${}_0^1$ex2dx, 但是现在应用本文的结论, 就可以得到e>∫${}_0^1$ex2dx。

例2[4] 设m, M分别是连续函数f (x) 在[a, b]上的最小值和最大值, 且f (x) 非常值函数, 则

m (b-a) <∫baf (x) dx<M (b-a) 。

证明 由题知 m≤f (x) , x∈[a, b], 且f (x) 不恒等于m, 则由推论3知

m (b-a) =∫bamdx<∫baf (x) dx,

同理可证

∫baf (x) dx>∫baMdx=M (b-a) ,

于是,

m (b-a) <∫baf (x) dx<M (b-a) 。

例3 证明:若函数f (x) 为[a, b]上可积函数, 则∫baf2 (x) dx=0的充要条件是对f (x) 在[a, b]上的一切连续点有f (x) =0。

证明 令F (x) =f2 (x) , x∈[a, b], 由于f (x) 为[a, b]上可积函数, 则F (x) 也为[a, b]上的可积函数.由定理2有, 函数F (x) 连续点上恒为零的充分必要条件是∫baF (x) dx=0, 于是∫baf2 (x) dx=0的充要条件是对f (x) 在[a, b]上的一切连续点有f (x) =0。

4 结语

由非严格不等式变为严格不等式, 看似细节, 但由此而增加了解题的有用信息, 对解题有很大帮助。本文正是出于这个目的, 对积分不等式进行了推广, 得到了积分不等式中不等号严格成立的一些条件, 而且本文的结果和方法可以进一步向多重积分推广。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析.北京:高等教育出版社, 2004

[2]魏国强.关于定积分若干性质的讨论.高等数学研究, 2005;8 (1) :42—43

[3]李长青, 刘亚梅.定积分保号性质的推广和应用.商丘职业技术学院报, 2005;4 (5) :14—15

点击不等式的基本性质 篇3

一、正确理解基本性质的含义

1． 不等式的基本性质1：在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．这里的整式包含单独的一个数、字母以及由字母和数组成的单项式或多项式．例如：若a＞b，那么有a＋5＞b＋5，a－c＞b－c，a＋m＞b＋m，a－＞b－等．

2． 不等式的基本性质2：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．例如：若a＞b，且c＞0，那么有ac＞bc或

＞

．

3． 不等式的基本性质3：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变．对此性质中加黑点的词的含义要认真领会，重点理解．例如：若a＞b，且c＜0，那么有ac＜bc或

＜

．

4． 由于0既不是正数也不是负数，因此，在运用性质2和性质3时，不等式两边所乘以（或除以）的同一个数（或式子）不能为0．否则，不等式的性质不成立．

二、灵活运用基本性质解题

1． 直接运用

例1 利用不等式的性质，用“＞”或“＜”填空．

（1） 若a＞b，则a－2 007b－2 007．

（2） 已知x＞y，且k≠0，那么k2x k2y．

（3） 已知m＞n，那么－m－n．

解析：（1）因a＞b，运用基本性质1，两边同减去2 007，得a－2 007＞b－2 007．所以应该填“＞”．

（2）因k≠0，故k2＞0．又x＞y，运用基本性质2，两边同乘以k2，得k2x＞k2y．所以应该填“＞”．

（3）因m＞n，运用基本性质3，两边同乘以－，得－m ＜ －n．所以应该填“＜”．

例2已知a＜0＜b，则下列式子中错误的是（）．

A． a＋c＜b＋cB． ac＜bcC． ＜D． －99a＞－99b

解析：因为a＜0＜b，由基本性质1，得a＋c＜b＋c．由基本性质3，得－99a＞－99b．所以A、D都正确．

又c2≥0，所以c2＋1＞0．由基本性质2，得＜ ．故C也正确．

由于c为任意实数，因此，当c＝0时，ac＜bc不成立．所以B是错误的.应选B．

2． 逆向应用

例3 已知关于x的不等式（k－2 008）x＞k－2 008可以化为x＜1的形式，求k的取值范围．

解析：由题设条件，原不等式（k－2 008）x＞k－2 008可以化为x＜1，知此时不等号的方向改变了．根据基本性质3，说明不等式的两边同除以的k－2 008必为负数．故k－2 008＜0，所以k＜2 008．

点评：在运用不等式的性质时，一定要记住“一变两不变”：性质1和性质2中不等号的方向不变，性质3中不等号的方向改变．

<\192.168.0.129本地磁盘 (d)王玲霞数据八年级数学北师大08年1-2期版式+图jjgg.TIF>[想一想，练一练]

1． 用“＞”或“＜”填空．

（1） 若a＞b，则9a＋19b＋1．

（2） 若a＜b，且c＞0，则ac＋cbc＋c．

（3） 已知a＞0，b＜0，c＜0，那么（a－b）c 0．

2． 如果a＜b，那么下列不等式中，正确的个数是（）．

①－8＋a＜－8＋b；

②－7a－9＜－7b－9；

③－a＋2 008＜－b＋2 008；

④2 007－a＞2 007－b．

A． 1个B． 2个 C． 3个D． 4个

3． 若关于y的不等式（m＋7）y＜2（m＋7）可以化为y＞2的形式，求m的取值范围．

参考答案

1．（1） ＞ （2） ＜ （3） ＜2．B3． m＜－7．

等式的基本性质教学反思 篇4

一、操作验证，培养探索能力。在探究等式的性质（关于乘除的）时，安排了两次操作活动。首先让学生把一个等式两边同时乘或除以同一个数，然后思考讨论：所得结果还会是等式吗？引导学生发现所得结果仍然是等式。然后再让学生把等式两边同时乘或除以“0”，结果怎么样？通过两次实践活动，学生亲自参与了等式的性质发现过程，真正做到“知其然，知其所以然”，而且思维能力、空间感受能力、动手操作能力都得到锻炼和提高。

二、发散思维，培养解决问题能力

不等式的基本性质练习 篇5

二、学法引导1.教学方法：观察法、探究法、尝试指导法、讨论法.2.学生学法：通过观察、分析、讨论，引导学生归纳小结出不等式的三条基本性质，从具体下升到理论，再由理论指导具体的练习，从而强化学生对知识的理解与掌握.三、重点难点疑点及解决办法(一)重点掌握不等式的三条基本性质，尤其是不等式的基本性质3.(二)难点正确应用不等式的三条基本性质进行不等式变形.(三)疑点弄不清不等号方向不变与所得结果仍是不等式之间的关系是学生学习的疑点.(四)解决办法讲清不等式的基本性质与等式的基本性质之间的区别与联系是教好本节内容的关键.四、课时安排一课时

五、教具学具准备投影仪或电脑、自制胶片.六、师生互动活动设计1.通过设计的一组比较大小问题，让学生观察并归纳出不等式的三条基本性质.2.通过教师的讲解及学生的质疑，让学生在与等式性质的对比中更加深入、准确地理解不等式的三条基本性质.3.通过教师的板书及学生的互动练习，体现出以学生为主体，教师为主导的教学模式能更好地对学生实施素质教育.七、教学步骤(-)明确目标本节课主要学习不等式的三条基本性质并能熟练地加以应用.(二)整体感知通过具体的事例观察并归纳出不等式的三条基本性质，再反复比较三条性质的异同，从而寻找出在实际应用某条性质时应注意的使用条件，同时注意将不等式的三条基本性质与等式的基本性质1、2进行比较：相同点为不管是对等式还是不等式，都可以在它的两边同加(或减)同一个数或同一个整式.不同点是对于等式来说，在等式的两边乘以(或除以)同一个正数(或同一个负数)的情况下等式仍然对立.但对于不等式来说，却不一样，在用同一个正数去乘(或除)不等式两边时，不等号方向不变;而在用同一个负数去乘(或除)不等式两边时，不等号要改变方向.这是在不等式变形时应特别注意的地方.(三)教学过程1.创设情境，复习引入什么是等式?等式的基本性质是什么?学生活动：独立思考，指名回答.教师活动：注意强调等式两边都乘以或除以(除数不为0)同一个数，所得结果仍是等式.请同学们继续观察习题：(1)用或填空.①7+3____4+3 ②7+(-3)____4+(-3)③73____43 ④7(-3)____4(-3)(2)上述不等式中哪题的不等号与74一致?学生活动：观察思考，两个(或几个)学生回答问题，由其他学生判断正误.【教法说明】设置上述习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备.不等式有哪些基本性质呢?研究时要与等式的性质进行对比，大家知道，等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式(实质是移项法则)，请同学们观察①②题，并猜想出不等式的性质.学生活动：观察思考，猜想出不等式的性质.教师活动：及时纠正学生叙述中出现的问题，特别强调指出：仍是不等式包括两种情况，说法不确切，一定要改为不等号的方向不变或者不等号的方向改变.师生活动：师生共同叙述不等式的性质，同时教师板书.不等式基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.对比等式两边都乘(或除以)同一个数的性质(强调所乘的数可正、可负、也可为0)请大家思考，不等式类似的性质会怎样?学生活动：观察③④题，并将题中的3换成5，-3换成一5，按题的要求再做一遍，并猜想讨论出结论.【教法说明】观察时，引导学生注意不等号的方向，用彩色粉笔标出来，并设疑原因何在?两边都乘(或除以)同一个负数呢?0呢?为什么?师生活动：由学生概括总结不等式的其他性质，同时教师板书.不等式基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.不等式基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.师生活动：将不等式-26两边都加上7，-9，两边都乘3，-3试一试，进一步验证上面得出的三条结论.学生活动：看课本第57～58页有关不等式性质的叙述，理解字句并默记.强调：要特别注意不等式基本性质3.实质：不等式的三条基本性质实质上是对不等式两边进行+、-、、四则运算，当进行+、-法时，不等号方向不变;当乘(或除以)同一个正数时，不等号方向不变;只有当乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向才改变.不等式的基本性质与等式的基本性质有哪些区别、联系?学生活动：思考、同桌讨论.归纳：只有乘(或除以)负数时不同，此外都类似.下面尝试用数学式子表示不等式的三条基本性质.①若，则②若，且，则，;③若，且，则，.师生活动：学生思考出答案，教师订正，并强调不等式性质3的应用.注意：不等式除了上述性质外，还有以下性质：①若，则.②若，且，则，这些先不要向学生说明.2.尝试反馈，巩固知识请学生先根据自己的理解，解答下面习题.例1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成 或 的形式.(1)(2)(3)(4)学生活动：学生独立思考完成，然后一个(或几个)学生回答结果.教师板书(1)(2)题解题过程.(3)(4)题由学生在练习本上完成，指定两个学生板演，然后师生共同判断板演是否正确.解：(l)根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上2，不等号的方向不变.所以(2)根据不等式基本性质1，两边都减去，得(3)根据不等式基本性质2，两边都乘以2，得(4)根据不等式基本性质3，两边都除以-4得【教法说明】解题时要引导学生与解一元一次方程的思路进行对比，并将原题与 或 对照，看用哪条性质能达到题目要求，要强调每步的理论依据，尤其要注意不等式基本性质3与基本性质2的区别，解题时书写要规范.例2 设，用或填空.(1)(2)(3)学生活动：在练习本上完成例2，由3个学生板演完成后，其他学生判断板演是否正确，最后与书中正确解题格式对照.解：(1)因为，两边都减去3，由不等式性质1，得(2)因为，且20，由不等式性质2，得(3)因为，且-40，由不等式性质3，得教师活动：巡视辅导，了解学生作题的实际情况，及时给予纠正或鼓励.注意问题：例2(3)是根据不等式性质3，不等号方向应改变.这是学生做题时易出错误之处.【教法说明】要让学生明白推理要有依据，以后作类似的练习时，都写出根据，逐步培养学生的逻辑思维能力.3.变式训练，培养能力(1)用或在横线上填空，并在题后括号内填写理由.(不等式基本性质1，2，3分别用A、B、C表示.)①∵()②∵()③∵()④∵()⑤∵ ⑥∵()学生活动：此练习以学生抢答方式完成，目的是训练学生思维能力，表达能力，烘托学习气氛.答案：①(A)②(B)③(C)④(C)⑤(C)⑥(A)【教法说明】做此练习题时，应启发学生将所做习题与题中已知条件进行对比，观察它们是应用不等式的哪条性质，是怎样由已知变形得到的.注意应用不等式性质3时，不等号要改变方向.(2)单项选择：①由 得到 的条件是()A.B.C.D.②由由 得到 的条件是()A.B.C.D.③由 得到 的条件是()A.B.C.D.是任意有理数④若，则下列各式中错误的是()A.B.C.D.师生活动：教师选出答案，学生判断正误并说明理由.答案：①A ②D ③C ④D(3)判断正误，正确的打，错误的打①∵()②∵()③∵()④若，则，()学生活动：一名学生说出答案，其他学生判断正误.答案：① ② ③ ④【教法说明】以多种形式处理习题可以激发学生学习热情，提高课堂效率;(2)练习第③④题易出错，教师应讲清楚.(四)总结、扩展1.本节重点：(1)掌握不等式的三条基本性质，尤其是性质3.(2)能正确应用性质对不等式进行变形.2.注意事项：(1)要反复对比不等式性质与等式性质的异同点.(2)当不等式两边同乘(或除以)同一个数时，一定要看清是正数还是负数，对于未给定范围的字母，应分情况讨论.3.考点剖析：不等式的基本性质是历届中考中的重要考点，常见题型是选择题和填空题.八、布置作业(一)必做题：P61 A组4，5.(二)选做题：P62 B组1，2，3.参考答案(一)4.(1)(2)(3)(4)5.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(二)1.(1)(2)(3)2.(1)(2)(3)(4)3.(1)(2)(3)

九、板书设计6.1 不等式和它的基本性质(二)

一、不等式的基本性质1.不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变.若，则，.2.不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变，若，则.3.不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变，若，则.二、应用例1 解(1)(2)(3)(4)例2 解(1)(2)(3)

利用凸函数性质巧证积分不等式 篇6

1.预备知识

定义对x1, x2∈[a, b], λ∈ (0, 1) , 函数f (x) 都有

则称f (x) 为凸函数, 并且仅当x1=x2时等号成立.

若 (1) 式的不等号反向时, 则称为凹函数.

引理1设f (x) 在[a, b]上的二阶可导函数, 如果有f″ (x) ≥0, 那么f (x) 是[a, b]上的凸函数.

引理2 (泰勒公式) 设f (x) 在含有x0的某个区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶导数, 则对x∈ (a, b) , 都有

其中, , ξ是介于x0和x之间的某个值.

2.主要结果和应用

定理[a, b]上的二阶可导函数, 如果有f″ (x) ≥0, 那么

其中λk是正数, k=1, 2, 3, …, n, 且.

证明记, 那么由引理2 (泰勒公式) ,

可得.

其中ξk是在xk和x0之间的一个常数.由题设f″ (x) ≥0, 于是

证毕.

特别地, 可以得到以下推论.

推论设函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内二阶可导, 如果有f″ (x) ≥0, g (x) 是区间[c, d]上的可积函数, a≤g (x) ≤b, 那么有

例1设g (x) 是区间[0, 1]上的可积函数, 0≤g (x) ≤1, 求证:

证明设, 那么, 这里区间[a, b]=[c, d]=[0, 1], 于是利用前面的 (3) 式可以得到, 将代入表达式中, 即得 (4) 式.证毕.

例2设g″ (x) <0, 证明:

证明由g″ (x) <0, 知-g (x) 是一个凸函数.而xn是一个正值函数且满足0≤xn≤1, 于是由 (4) 式的结果可知

证毕.

通过以上例题可以看出, 利用凸函数的性质证明有关积分不等式, 可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易, 证明过程简单的问题, 关键是寻找合适的凸函数.

摘要：凸函数的应用领域非常广泛, 特别是在不等式的证明中, 运用它解题显得巧妙、简练.

关键词：凸函数,不等式,积分

参考文献

[1]M.A.克拉斯诺西尔斯基, R.B.鲁季斯基.凸函数和奥尔里奇空间[M].北京:科学出版社, 1962.

[2]同济大学应用数学系.高等数学:第三版 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

利用函数性质求解不等式问 篇7

例1［2014年嘉兴市第一中学高三阶段测试（文科）第17题］ 已知实数x，y满足y≥1，

x+y≤2，

y≤2x+m，且z=x+2y，若z的最小值的取值范围为［0，2］，则z的最大值的取值范围是.

解析： 由不等式组作出实数x，y满足的可行域，如图1 阴影部分所示.

根据可行域的图象，可以将目标函数z=x+2y看成是直线方程y=-x+，z取到最小值亦即直线在y轴上的截距取到最小值.由图1可知，当直线y=-x+过直线y=2x+m与y=1的交点A时，在y轴上的截距最小，即z取到最小值. A点坐标为

，1，即当x=，y=1时，zmin=x+2y=.又zmin∈［0，2］，即∈［0，2］，所以m∈［1，5］.

同理，当直线y=-x+过直线y=2x+m与x+y=2的交点B时，在y轴上的截距最大，即z取到最大值. B点坐标为

，

，即当x=，y=时，zmax=x+2y=.又m∈［1，5］，所以∈

，5，即z的最大值的取值范围是

，5.

点评： 线性规划问题常和不等式、最值问题相联系，利用函数图象的位置关系求解是最常用的方法.在例1中，我们将目标函数看成是一组斜率为-的直线，利用z取到最值与该组直线在y轴上的截距取到最值相对应这一点，找到z取最小、最大值时直线所过的特殊点A，B，利用m的取值范围来求出z的最大值的取值范围.

利用函数的单调性求解不等式问题

例2［2012年高考数学浙江卷（文科）第10题］设a>0，b>0，e是自然对数的底数.

（A） 若ea+2a=eb+3b，则a>b

（B） 若ea+2a=eb+3b，则a

（C） 若ea-2a=eb-3b，则a>b

（D） 若ea-2a=eb-3b，则a

解析： 若ea+2a=eb+3b，则必有ea+2a>eb+2b.

构造函数f（x）=ex+2x，则f′（x）=ex+2>0恒成立，所以函数f（x）在x>0上单调递增.因为ea+2a>eb+2b，即f（a）>f（b），所以a>b，选A.其余选项可用同种方法排除.

点评： 利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.例2解法的巧妙之处，就在于通过判断函数f（x）的单调性,将函数值f（a）与f（b）的大小关系转化为自变量a，b间的大小关系.

利用函数的奇偶性求解不等式问题

例3［2013年高考数学四川卷（理科）第14题］ 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x，那么不等式f（x+2）<5的解集是.

解析： 由题意可知，当x≥0时f（x）=x2-4x，所以当x+2≥0时，f（x+2）=（x+2）2-4（x+2）=x2-4.由f（x+2）<5可得x2-4<5，解得-3

因为f（x）为偶函数，则由函数f（x+2）的图象关于直线x=-2对称可得-7

点评： 奇偶函数的图象具有对称性，通过数形结合法能帮助我们快速解题.在例3中，我们先求出x+2≥0时x的解集,然后通过偶函数图象的对称性得到x+2<0时x的解集，简化了不等式运算，达到事半功倍的效果.

利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.

利用函数的图象求解不等式问题

例1［2014年嘉兴市第一中学高三阶段测试（文科）第17题］ 已知实数x，y满足y≥1，

x+y≤2，

y≤2x+m，且z=x+2y，若z的最小值的取值范围为［0，2］，则z的最大值的取值范围是.

解析： 由不等式组作出实数x，y满足的可行域，如图1 阴影部分所示.

根据可行域的图象，可以将目标函数z=x+2y看成是直线方程y=-x+，z取到最小值亦即直线在y轴上的截距取到最小值.由图1可知，当直线y=-x+过直线y=2x+m与y=1的交点A时，在y轴上的截距最小，即z取到最小值. A点坐标为

，1，即当x=，y=1时，zmin=x+2y=.又zmin∈［0，2］，即∈［0，2］，所以m∈［1，5］.

同理，当直线y=-x+过直线y=2x+m与x+y=2的交点B时，在y轴上的截距最大，即z取到最大值. B点坐标为

，

，即当x=，y=时，zmax=x+2y=.又m∈［1，5］，所以∈

，5，即z的最大值的取值范围是

，5.

点评： 线性规划问题常和不等式、最值问题相联系，利用函数图象的位置关系求解是最常用的方法.在例1中，我们将目标函数看成是一组斜率为-的直线，利用z取到最值与该组直线在y轴上的截距取到最值相对应这一点，找到z取最小、最大值时直线所过的特殊点A，B，利用m的取值范围来求出z的最大值的取值范围.

利用函数的单调性求解不等式问题

例2［2012年高考数学浙江卷（文科）第10题］设a>0，b>0，e是自然对数的底数.

（A） 若ea+2a=eb+3b，则a>b

（B） 若ea+2a=eb+3b，则a

（C） 若ea-2a=eb-3b，则a>b

（D） 若ea-2a=eb-3b，则a

解析： 若ea+2a=eb+3b，则必有ea+2a>eb+2b.

构造函数f（x）=ex+2x，则f′（x）=ex+2>0恒成立，所以函数f（x）在x>0上单调递增.因为ea+2a>eb+2b，即f（a）>f（b），所以a>b，选A.其余选项可用同种方法排除.

点评： 利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.例2解法的巧妙之处，就在于通过判断函数f（x）的单调性,将函数值f（a）与f（b）的大小关系转化为自变量a，b间的大小关系.

利用函数的奇偶性求解不等式问题

例3［2013年高考数学四川卷（理科）第14题］ 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x，那么不等式f（x+2）<5的解集是.

解析： 由题意可知，当x≥0时f（x）=x2-4x，所以当x+2≥0时，f（x+2）=（x+2）2-4（x+2）=x2-4.由f（x+2）<5可得x2-4<5，解得-3

因为f（x）为偶函数，则由函数f（x+2）的图象关于直线x=-2对称可得-7

点评： 奇偶函数的图象具有对称性，通过数形结合法能帮助我们快速解题.在例3中，我们先求出x+2≥0时x的解集,然后通过偶函数图象的对称性得到x+2<0时x的解集，简化了不等式运算，达到事半功倍的效果.

利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.

利用函数的图象求解不等式问题

例1［2014年嘉兴市第一中学高三阶段测试（文科）第17题］ 已知实数x，y满足y≥1，

x+y≤2，

y≤2x+m，且z=x+2y，若z的最小值的取值范围为［0，2］，则z的最大值的取值范围是.

解析： 由不等式组作出实数x，y满足的可行域，如图1 阴影部分所示.

根据可行域的图象，可以将目标函数z=x+2y看成是直线方程y=-x+，z取到最小值亦即直线在y轴上的截距取到最小值.由图1可知，当直线y=-x+过直线y=2x+m与y=1的交点A时，在y轴上的截距最小，即z取到最小值. A点坐标为

，1，即当x=，y=1时，zmin=x+2y=.又zmin∈［0，2］，即∈［0，2］，所以m∈［1，5］.

同理，当直线y=-x+过直线y=2x+m与x+y=2的交点B时，在y轴上的截距最大，即z取到最大值. B点坐标为

，

，即当x=，y=时，zmax=x+2y=.又m∈［1，5］，所以∈

，5，即z的最大值的取值范围是

，5.

点评： 线性规划问题常和不等式、最值问题相联系，利用函数图象的位置关系求解是最常用的方法.在例1中，我们将目标函数看成是一组斜率为-的直线，利用z取到最值与该组直线在y轴上的截距取到最值相对应这一点，找到z取最小、最大值时直线所过的特殊点A，B，利用m的取值范围来求出z的最大值的取值范围.

利用函数的单调性求解不等式问题

例2［2012年高考数学浙江卷（文科）第10题］设a>0，b>0，e是自然对数的底数.

（A） 若ea+2a=eb+3b，则a>b

（B） 若ea+2a=eb+3b，则a

（C） 若ea-2a=eb-3b，则a>b

（D） 若ea-2a=eb-3b，则a

解析： 若ea+2a=eb+3b，则必有ea+2a>eb+2b.

构造函数f（x）=ex+2x，则f′（x）=ex+2>0恒成立，所以函数f（x）在x>0上单调递增.因为ea+2a>eb+2b，即f（a）>f（b），所以a>b，选A.其余选项可用同种方法排除.

点评： 利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.例2解法的巧妙之处，就在于通过判断函数f（x）的单调性,将函数值f（a）与f（b）的大小关系转化为自变量a，b间的大小关系.

利用函数的奇偶性求解不等式问题

例3［2013年高考数学四川卷（理科）第14题］ 已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）=x2-4x，那么不等式f（x+2）<5的解集是.

解析： 由题意可知，当x≥0时f（x）=x2-4x，所以当x+2≥0时，f（x+2）=（x+2）2-4（x+2）=x2-4.由f（x+2）<5可得x2-4<5，解得-3

因为f（x）为偶函数，则由函数f（x+2）的图象关于直线x=-2对称可得-7

点评： 奇偶函数的图象具有对称性，通过数形结合法能帮助我们快速解题.在例3中，我们先求出x+2≥0时x的解集,然后通过偶函数图象的对称性得到x+2<0时x的解集，简化了不等式运算，达到事半功倍的效果.

利用函数单调性求解不等式问题的关键，是要将函数值的不等关系与自变量的不等关系进行合理的转化.

不等式的基本性质练习 篇8

《等式的基本性质》是五年级第二学期认识方程的第二、三课时。等式的基本性质是解方程的认知基础，也是解方程的重要理论依据，因此学习和理解等式的性质就显得尤为重要。这学期我们学习等式的两个性质，因此把等式两边同加的这条性质作为重点讲解内容，另一条性质在第一条性质之后，由学生通过观察、理解、操作等学习方法，共同探索得出结论，教师只是给予适时的点拨，总结。加法是学生学习计算的基础，因此在教学等式的性质一时，通过课件演示，第一层次，在天平两边同时放上同样的物品，并用等式表示（50=50）。第二层次，问：怎样在天平的两边增加砝码，使天平仍然保持平衡？得出两个等式50+10=50+10；50+20=50+20；……50+a=50+a问：你发现了什么？学生清楚地意识到：天平是否保持平衡，不是取决于放的物品是相同的，而是真正取决于所放物品的质量是否相同。也就是等式两边同时加上同一个数，所得的结果仍然是等式。这样的设计，将学生的思维引入到了对事物的本质探究上，使学生明确对知识的探索不要仅停留在表面，而要进行更深入的思考。教师在引导学生进行实验的同时，也注意到将等式与课件演示进行结合学生对于等式的同加性质有了更深入的理解，能够较为准确地概括出等式的性质。有了这样的学习基础，为学生更深入的研究等式的性质做了坚实的铺垫。在教学等式两边同减、同乘、同除的性质时，教师便逐渐放手，让学生经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证的过程中，积极参与验证自己的猜想，在实验的同时获得了成功的喜悦，感受到思考的乐趣，对等式的性质有初步的了解，为后面学习解方程奠定了良好的基础。

不等式的基本性质练习 篇9

课 题：等式的性质 教学内容：教材64-65页 课 型：新授课 教学目标：

1.使学生理解和掌握等式的性质。2.提高学生观察、归纳和概括的能力。3.培养学生仔细观察的良好习惯。教学重点： 掌握等式的性质。教学难点： 掌握等式的性质。教学策略方法： 演示法

教学资源准备： 课件

教具学具准备： 天平教具 教学过程： 预学：

预习教材64-65页的内容。共学：

一、导入

师:你们用天平做过游戏吗?大家一起来做一个游戏。

二、新课 教师演示。

天平左边放上茶壶,右边放上两个茶杯,保持平衡。提问:①怎样变换,能使天平仍然保持平衡? ②往两边各放1个同样的茶杯,天平会发生什么变化?(学生回答后,教师演示验证)③如果两边各放上2个茶杯,天平还保持平衡吗?两边各放上同样的1把茶壶呢?(学生回答后,教师再演示)指出:如果设1把茶壶重a克,1个茶杯重b克,则上面的过程可以怎样表示?(学生回答,教师板书)a=2b a+b=2b+b a+2b=2b+2b a+a=2b+a 提问:你能用自己的语言概括上面的规律吗? 小结:等式两边同时加上或减去同一个数,左右两边仍然相等。

(3)对于第二幅图,也可以采用上面的方法进行演示并提问。提问:你能把两个实验的结论归纳为一句话吗?(4)对于第三、第四幅图,也这样操作,归纳结论。拓展延伸：

根据下面的等式,求出a,b,c各代表什么数。

①a+b+c=33

②a+a+b=31

③a+b-c=9 作业布置： 教材66页4、5题 课堂总结：

这节课你有什么收获？ 板书设计：

等式的性质

a=2b

a+b=2b+b a+2b=2b+2b

a+a=2b+a 等式的性质1:等式两边加上或减去同一个数,左右两边仍然相等。

比的基本性质 练习课教案 篇10

教学目标：

1、进一步理解比的基本性质。

2、使学生进一步理解和掌握比的基本性质，提高化简比的技能。

3、学会自我思考总结做题方法 教学重点：

进一步理解比的基本性质 教学难点：

理解比的基本性质，提高化简比的技能。教学思考：

这部分知识比较琐碎，容量比较大，在备课之前我先把与这部分内容有关的知识做了一下梳理，大体有这样几个方面：

1.在同一道题目中既要求化简比，又要求比值，可以选择合适的方法求比值和化简比，要求学生弄清楚化简比和求比值的不同之处。

2.根据比的基本性质、比和除法、分数的联系完成一些如15︰（）=（）︰15=3︰5之类的填空。3.比的基本性质的一些变式。如：4︰5的前项乘3，要使比值不变，后项应该乘（）或增加（）。4.小数、分数与比的互化。如看到1.5要想到3/2或者3︰2。

5．比与上单元学习的分率的转换，如：男女生人数的比是5︰4可以转化成男生是女生的5/4„„ 6.以前学过的几何图形中一些比，如写出两个正方形的边长的比，周长的比，面积的比，并能从中发现一些规律，会利用这些规律进行解题。

„„

梳理完知识后，我在想：这么多内容一节课肯定完成不了，我应该选择哪些内容放在这节课上，以什么样的形式去组织，一种思路从最基本的练习开始复习，然后渐渐延伸，每一个知识点基本做到一讲、一练、一评，这样一节课最多只能容纳三、四个知识板块。第二种思路，省去最基本的不讲，直接出示带有一定难度和挑战性的题目让学生去探索，让学生经历从困惑——茅塞顿开的过程，重在学生自己去感悟，把一些零散的知识点和解题技巧穿插在题目中。最后决定用第二种思路设计了以下课程。教学过程：

一、引入

我们前几天第一次认识了“比”，这一新的数学概念，经过这几天的学习，你对比有些什么样的认识呢？请大家回忆回忆，然后说一说。

看来大家对比已经有了初步的认识，那老师今天可要带来一些稍微难点的题目，需要大家开动脑筋认真思考，敢不敢挑战？

二、练习

1、化简下面各比，并求比值 18：108 0.32：0.8

55: 2：0.125 68做在练习本上，每组派一名代表上黑板做题，并讲解做法，注意要求其他同学认真听讲解，没听懂要及时举手问，有意见或补充要等同学讲解完后才能举手发表。

（注：2：0.125可以把0.125化成分数

1，或者比的前项和后项同时乘8（乘4简单），突破了常规的8同时乘1000。分数化简也可以有两种方法，让学生感受哪种方法更合适。）

通过做这四道化简的题目，你有什么感想？说一说

2、填空

()70 15:()():153:521:()14:6():18()()把习题抄在练习本上，并认真完成。请同学回答。

（注：第2小题中的14：6没有化简，做21：（）要先化简再去做）4：5的前项乘3，要使比值不变后项应该乘（）；4：5的前项加上16，后项应加上（），才能使比值不变；A：B（B≠0）的前项乘5，要使比值不变，后项应加上（）。

认真读题，仔细思考，然后小组讨论，空格里该填什么，为什么这样填，小组中每个人都要认真听其他组员的发言，听不懂的地方就要及时询问。

整理好自己的语言，想想自己该怎样回答这个问题。（注：最后一个总结性的填空，注意化简，用字母表示）

3、分别写出下面每组正方形边长的比，再写出他们面积的比，并化简。

从这道题中，你发现了什么？利用这个规律你能不能做出这道题呢？两个圆半径分别是15厘米和12厘米，它们的直径比和面积比是多少？

4、用不同的方法说说每句话的含义

（1）男生人数和女生人数的比是5：4（2）汽车的速度是火车速度的7（3）杨树棵树是柳树棵树的1.5倍

（注： 把比和以前学习的分数联系，能把分率转化成比，比转化成分率，小数转化成比，为学习按比例应用题做好准备。）

5、判断题(1)甲数是乙数的34，乙数与甲数的比是。43(2)正方形的周长与边长比是4。

(3)今年小芳和妈妈的年龄比是1：3，5年后小芳和妈妈的年龄比仍是1：3。

分数基本性质练习题 篇11

一、判断

1、分数的分子和分母同时乘或除以相同的数，分数的大小不变。（）

2、分数的分子和分母同时加上或减去同一个数，分数的大小不变。（）

3、的分子加上4，分母乘2，分数值不变。（）

4、和 化成分母是14的分数分别是 和。（）

二、填空。

1、把1 的分母扩大到原来的3倍，要使分数的大小不变，它的分子应该2（）

2、写出3个与 相等的分数，是（）、（）、（）

3、根据分数的基本性质，把下列的等式补充完整。

23151222398821661271741236128282426

三、按要求完成下面各题

1、把下面的分数化成分母是36而大小不变的分数。

211218＝（）

＝（）＝（）＝（）3672982、把下面的分数化成分子是1而分数大小不变的分数。

12633＝（）＝（）

＝（）

＝（）

24121536

四、综合应用

1、的分子加上6，要使分数的大小不变，分母应加上（）342、把 扩大到原来的3倍，应该怎么办？

3、一个分数，分母比分子大15，它与三分之一相等，这个分数是多少？

4、一个分数，如果分子加3，分数值就是自然数1，它与二分之一相等，求这个分数是多少？

5、在下面各种情况下，分数的大小有什么变化？（1）分子扩大到原来的4倍，分母不变；

（2）分子缩小到原来的一半，分母不变；

37（3）分母扩大到原来的10倍，分子不变。

不等式的基本性质练习 篇12

一、选择题

1．下列各式中，分式的个数为：（）

xaxy3a，，2x113b

2．下列各式正确的是（）2111，xy，x2x3； 2xy2A、5个；B、4个；C、3个；D、2个；

ccccA、；B、abab； abab

ccccC、；D、abababab

3．下列分式是最简分式的是（）

xyym1xy

A、1m；B、3xy；C、x2y

2二：解答题： 61m；D、32m；

不等式的性质说课 篇13

大家好！

我今天说课的课题是《不等式的基本性质》，它是北师大版八年级下册第一章第二节的内容。今天我将从教材分析，教学目标，教学重难点，教法学法，教学过程这五个方面谈谈我对这节课处理的一些不成熟的看法：

本节内容不等式，它是刻画现实世界中量与量之间关系的有效数学模型，在现实生活中有着广泛的应用，所以对不等式的学习有着重要的实际意义。同时，不等式的基本性质也为学生以后顺利学习解一元一次不等式和解一元一次不等式组的有关内容的理论基础，起到重要的奠基作用。

根据《新课程标准》的要求，教材的内容兼顾我校八年级学生的特点，我制定了如下教学目标：

知识与技能：

1.感受生活中存在的不等关系，了解不等式的意义。2.掌握不等式的基本性质。

过程与方法：经历不等式的基本性质的探索过程，初步体会不等式与等式的异同。情感态度与价值观：经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步符号感与数学化的能力。教学重难点：

重点：不等式概念及其基本性质 难点：不等式基本性质3 ►教法与学法：

1.教学理念： “ 人人学有用的数学”

2.教学方法：观察法、引导发现法、讨论法． 3.教学手段：多媒体应用教学

4.学法指导：尝试，猜想，归纳，总结

根据《数学课程标准》的要求，教材和学生的特点，我制定了以下四个教学环节。

下面我将具体的教学过程阐述一下：

一、创设情境，导入新课

上课伊始，我将用一个公园买门票如何才划算的例子导入课题。

世纪公园的票价是：每人5元；一次购票满30张，每张可少收1元。某班有27名团员去世纪公园进行活动。当领队王小华准备好了零钱到售票处买27张票时，爱动脑筋的李敏同学喊住了王小华，提议买30张票。但有的同学不明白，明明我们只有27个人，买30张票，岂不是“浪费”吗？

（此处学生是很容易得出买30张门票需要4X30=120（元）, 买27张门票需要5X27=135（元）,由于120〈135，所以买30张门票比买27张还要划算。由此建立了一个数与数之间的不等关系式〉

紧接着进一步提问：若人数是x时，又当如何买票划算？

二、探求新知，讲授新课

引例列出了数与数之间的不等关系和含有未知量120<5x的不等关系。那么在不等式概念提出之前，先让学生回顾等式的概念，“类比”等式的概念，尝试着去总结归纳出不等式的概念。使学生从一个低起点，通过获得成功的体验和克服困难的经历，增进应用数学的自信心，为下面的学习调动了积极。

接下来我用一组例题来巩固一下对不等式概念的认知，把表示不等量关系的常用关键词提出。

（1）a是负数；（2）a是非负数；(3)a与b的和小于5；(4)x与2的差大于－1；(5)x的4倍不大于7；(6)y的一半不小于3 关键词：非负数，非正数，不大于，不小于，不超过，至少

回到引入课题时的门票问题120<5x，我们希望知道X的取植范围，则须学习不等式的性质，通过性质的学习解决X的取植

难点突破：通过上面三组算式，学生已经尝试着归纳出不等式的三条基本性质了。不等式性质3是本节的难点。在不等式性质3用数探讨出以后，换一个角度让学生想一想，是否能在数轴上任取两个点，用相反数的相关知识挖掘一下，乘以或除以一个负数时，任意两个数比较是否性质3都成立。通过“数形结合”的思想，使数的取值从特殊化到一般化，从对具体数的感知完成到字母代替数的升华。让学生用实例对一些数学猜想作出检验，从而增加猜想的可信程度。同时，让学生尝试从不同角度寻求解决问题的方法并能有效地解决问题。►反馈练习：用一个小练习巩固三条性质。

如果a>b，那么

(1)a-3 b-3(2)2a 2b(3)-3a-3b 提出疑问，我们讨论性质2，3是好象遗忘了一个数0。►引出让学生归纳，等式与不等式的区别与联系

三、拓展训练：

根据不等式基本性质，将下列不等式化为“<”或“>”的形式（1）x-1<3（2）6x<5x-2（3）x/3<5（4）-4x>3 再次回到开头的门票问题，让学生解出相应的x的取值范围 ．小结 1．新知识

一个数学概念；两种数学思想；三条基本性质 2.与旧知识的联系

等式性质与不等式性质的异同

五、作业的布置

以上是我对这节课的教学的看法，希望各位专家指正。谢谢！