不等式的性质

2024-10-28

不等式的性质（共9篇）

不等式的性质篇1

一般, 对定积分不等式的性质是叙述为:若函数f (x) 和g (x) 为[a, b]上的两个可积函数, 且f (x) ≥g (x) , 则有∫b a f (x) dx≥∫b a g (x) dx。对上述不等式中的“≥”在什么情况下“>”成立, 什么情况下“=”成立, 并没有进一步讨论。本文将给出上述不等号严格成立的条件, 进而得到判断积分不等式性质中不等号严格成立的方法。

1 主要结果

引理1[1] 设函数f (x) 在[a, b]上非负可积, 则∫baf (x) dx≥0。

引理2 设函数f (x) 在[a, b]上可积, 则f (x) 在[a, b]上有无数多个连续点。

证明因为f (x) 在[a, b]上可积, 所以对于ε1=1, 存在[a, b]的分割T1, 使得

由此可知, 在T1的某个小区间Δk=[xk-1, xk], f (x) 的振幅wk=wf[xk-1, xk]<ε1=1。若不然, 将导致 $\sum_{Τ_{1}} w_{i} Δ x_{i} \geq 1 \times \sum_{Τ_{1}} Δ x_{i} = 1 \times (b - a)$ , 这就与式 (1) 矛盾.取[a1, b1]⊂ (xk-1, xk) , 满足

以[a1, b1]代替[a, b], 对于 $ε_{2} = \frac{1}{2}$ , 同样存在T2及属于T2的某个小区间的子区间[a2, b2], 满足

依次做下去, 得一区间套{[an, bn]}, 由闭区间套定理, 存在x0∈ (an, bn) ⊂ (a, b) , n=1, 2, …。

下证x0为f (x) 的一个连续点。对于任给的正数ε>0, 存在正整数n, 使 $\frac{1}{n} < ε$ 。令

δ=min{x0-an, bn-x0},

则∪ (x0, δ) ⊂[an, bn].故当x∈∪ (x0, δ) 时,

$| f (x) - f (x_{0}) | \leq w^{f} [a_{n}, b_{n}] < \frac{1}{n} < ε$ 。

现在任给 (α, β) ⊂[a, b], 由于f (x) 在[α, β]上可积, 从而由上面已证的结果, f (x) 在[α, β]内有连续点, 故f (x) 在[α, β]有无限多个连续点。

定理1 若函数f (x) 为区间[a, b]上的非负可积函数, 则存在f (x) 的连续点x0∈[a, b], 使得f (x0) >0的充要条件是∫baf (x) dx>0。

证明 [必要性] 不妨设x0∈ (a, b) , 由于函数f (x) 在x0点连续, 则根据连续函数的保号性, ∃δ>0, 对∀x∈[x0-δ, x0+δ]有 $f (x) \geq \frac{f (x_{0})}{2} > 0$ 。从而 $\int_{a}^{b} f (x) d x = \int_{a}^{x_{0} + δ} f (x) d x + \int_{x_{0} - δ}^{x_{0} + δ} f (x) d x + \int_{x_{0} + δ}^{b} f (x) d x \geq \int_{x_{0} - δ}^{x_{0} + δ} f (x) d x \geq \int_{x_{0} - δ}^{x_{0} + δ} \frac{f (x_{0})}{2} d x = f (x_{0}) δ > 0$ 。

[充分性] 先证明当∫baf (x) dx>0时, 一定存在区间 (α, β) ⊂[a, b], 在[α, β]上有f (x) >0。若不然, 有ξ∈[α, β], 使得f (ξ) =0, 则对[a, b]的任一分割T, 在每个Δi上都可以找到ξi使f (ξi) =0, 从而

$\int_{a}^{b} f (x) d x = \lim_{Τ \to 0} \sum_{i = 1}^{n} f (ξ_{i}) Δ x_{i} = 0$ 。

这与∫baf (x) dx>0矛盾。

其次, 由于函数f (x) 在[α, β]上可积;因此由引理2有f (x) 在[α, β]上一定存在连续点x0, 故f (x0) >0。

注1 文献[2]给出了定理1中条件的必要性, 而本文指出了条件的充要性。

由定理1容易得到定理1的如下等价命题。

定理2 若函数f (x) 为[a, b]上的非负可积函数, 则函数f (x) 连续点上恒为零的充分必要条件是∫baf (x) dx=0。

由定理1和引理2可得如下的定理3和定理4。

定理3 若函数f (x) 为[a, b]上可积函数, 且f (x) >0, 则∫baf (x) dx>0。

定理4[3] 设函数f (x) 在[a, b]上非负连续, 且f (x) 不恒等于0, 则∫baf (x) dx>0。

2 推论

推论1 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的两个可积函数, 满足f (x) ≥g (x) , x∈[a, b], 且存在f (x) , g (x) 的连续点x0, 使得f (x0) >g (x0) , 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 由题知, F (x) 在[a, b]上非负可积, 存在连续点x0使得

F (x0) =f (x0) -g (x0) >0,

则由定理2知

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0,

即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

推论2 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的两个可积函数, 满足f (x) >g (x) , x∈[a, b], 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 则函数F (x) 在[a, b]上可积且F (x) >0, 则由定理3

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0, 即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

推论3 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的连续函数满足f (x) ≥g (x) , 且f (x) 不恒等于g (x) , 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 则F (x) 在[a, b]上非负连续, 且F (x) 不恒等于零, 由推论2有

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0, 即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

推论4 设f (x) , g (x) 为[a, b]上的连续函数, 满足f (x) ≥g (x) , 且存在一点x0∈[a, b]使得f (x0) >g (x0) , 则

∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

证明令F (x) =f (x) -g (x) , x∈[a, b], 则

函数F (x) 在[a, b]上非负连续函数, 且存在x0∈[a, b], 使得F (x0) >0, 则由推论4有

∫baF (x) dx=∫baf (x) dx-∫bag (x) dx>0, 即有∫baf (x) dx>∫bag (x) dx。

3 举例

例1 证明e>∫ $_{0}^{1}$ ex2dx。

证明令f (x) =e, g (x) =ex2。

[方法一] 显然, f (x) 和g (x) 在[0, 1]上连续, 且有f (x) ≥g (x) , 又对任一f (x) , g (x) 的连续点x0∈ (0, 1) , 都有f (x0) >g (x0) 。由推论1得

∫ $_{0}^{1}$ f (x) dx>∫ $_{0}^{1}$ g (x) dx, 即e>∫ $_{0}^{1}$ ex2dx。

[方法二] 因为函数f (x) 和g (x) 在[0, 1]上连续, 且有f (x) >g (x) , x∈ (0, 1) , 由推论2得

∫ $_{0}^{1}$ f (x) dx>∫ $_{0}^{1}$ g (x) dx, 即e>∫ $_{0}^{1}$ ex2dx。

[方法三] 因为函数f (x) 及函数g (x) 在[0, 1]上连续, 且满足f (x) ≥g (x) , 而且函数f (x) 不恒等于函数g (x) , 由推论3证得

∫ $_{0}^{1}$ f (x) dx>∫ $_{0}^{1}$ g (x) dx, 即e>∫ $_{0}^{1}$ ex2dx。

注2 若应用引理1, 对于例1只能得到e≥∫ $_{0}^{1}$ ex2dx, 但是现在应用本文的结论, 就可以得到e>∫ $_{0}^{1}$ ex2dx。

例2[4] 设m, M分别是连续函数f (x) 在[a, b]上的最小值和最大值, 且f (x) 非常值函数, 则

m (b-a) <∫baf (x) dx<M (b-a) 。

证明由题知 m≤f (x) , x∈[a, b], 且f (x) 不恒等于m, 则由推论3知

m (b-a) =∫bamdx<∫baf (x) dx,

同理可证

∫baf (x) dx>∫baMdx=M (b-a) ,

于是,

m (b-a) <∫baf (x) dx<M (b-a) 。

例3 证明:若函数f (x) 为[a, b]上可积函数, 则∫baf2 (x) dx=0的充要条件是对f (x) 在[a, b]上的一切连续点有f (x) =0。

证明令F (x) =f2 (x) , x∈[a, b], 由于f (x) 为[a, b]上可积函数, 则F (x) 也为[a, b]上的可积函数.由定理2有, 函数F (x) 连续点上恒为零的充分必要条件是∫baF (x) dx=0, 于是∫baf2 (x) dx=0的充要条件是对f (x) 在[a, b]上的一切连续点有f (x) =0。

4 结语

由非严格不等式变为严格不等式, 看似细节, 但由此而增加了解题的有用信息, 对解题有很大帮助。本文正是出于这个目的, 对积分不等式进行了推广, 得到了积分不等式中不等号严格成立的一些条件, 而且本文的结果和方法可以进一步向多重积分推广。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析.北京:高等教育出版社, 2004

[2]魏国强.关于定积分若干性质的讨论.高等数学研究, 2005;8 (1) :42—43

[3]李长青, 刘亚梅.定积分保号性质的推广和应用.商丘职业技术学院报, 2005;4 (5) :14—15

[4]李艳红, 段文娟.应用定积分的性质比较两个积分值的大小时应注意的问题.丹东纺专学院报, 2000;7 (1) :19—20

不等式的性质篇2

本节课的核心是培养学生的变形技能，训练学生的推理能力．为今后证明不等式、解不等式的学习奠定技能上和理论上的基础．

授课方法可以采取讲授与问答相结合的方式．通过问答形式不断地给学生设置疑问（即：设疑）；对教学难点，再由讲授形式解决疑问．（即：解疑）．主要思路是：教师设疑→学生讨论→教师启发→解疑．

教学过程（）可分为：发现定理、定理证明、定理应用，采用由形象思维到抽象思维的过渡，发现定理、证明定理．采用类比联想，变形转化，应用定理或应用定理的证明思路；解决一些较简单的证明题．

第一课时

教学目标

1．掌握实数的运算性质与大小顺序间关系；

2．掌握求差法比较两实数或代数式大小；

3．强调数形结合思想.

教学重点

比较两实数大小

教学难点

理解实数运算的符号法则

教学方法

启发式

教学过程（）

一、复习回顾

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.例如，在右图中，点A表示实数，点B表示实数 ,点A在点B右边，那么 .

我们再看右图，表示减去所得的差是一个大于0的数即正数.一般地：

若，则是正数；逆命题也正确.

类似地，若，则是负数；若，则 .它们的逆命题都正确.

这就是说：（打出幻灯片1）

由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了，这也是我们这节课将要学习的主要内容.

二、讲授新课

1．比较两实数大小的方法――求差比较法

比较两个实数与的大小，归结为判断它们的差的符号，而这又必然归结到实数运算的符号法则.

比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号.

接下来，我们通过具体的例题来熟悉求差比较法.

2．例题讲解

例1 比较与的大小.

分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小.

解：

∴

例2 已知,比较（与的大小.

分析：此题与例1基本类似，也属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.

由得，从而

请同学们想一想，在例2中，如果没有这个条件，那么比较的结果如何？

（学生回答：若没有这一条件，则，从而大于或等于）

为了使大家进一步掌握求差比较法，我们来进行下面的练习.

三、课堂练习

1．比较的大小.

2．如果，比较的大小.

3．已知,比较与的大小.

要求：学生板演练习，老师讲评，并强调学生注意加限制条件的题目.

课堂小结

通过本节学习，大家要明确实数运算的符号法则，掌握求差比较法来比较两实数或代数式的大小.

课后作业

习题6.1 1，2，3.

不等式的性质篇3

1．下列x的取值中，使不等式x－1＞3成立的是（）

A． x＝8B． x＝－8C． x＝10D． x＝－10

2．对于任意实数a，下列不等式中总成立的是（）

A．－2a＜2aB．－2a＜2（－a）C．－2＋a＜2＋aD．－a＜a

3．若x为实数，则｜x｜＋x的值（）

A．一定大于0B．不可能小于0C．可能小于0 D．可能是全体实数

4．若a＞b＞0，则不列不等式中不正确的是（）

A． a－b＞b－aB．＞＞0C．－a＜－bD．＞

5．若x＜y，则下列不等式中，一定成立的个数是（）

①x＋m＜y＋m；②x－m＜y－m；③xm＜ym；④＜；⑤xm2＜ym2；⑥x2＜y2．

A． 1B． 2C． 3D． 4

6．如果a＜0，则（）

A． 2007a＜2008aB．－a＜－aC． πa＞3．141592aD．－a＜－a

7．若a＜－1，则a、a2、三者的大小满足（）

A． a2＞a＞B．＞a＞a2 C． a＞a2＞ D． a2＞＞a

8．已知实数a、b、c在数轴上对应的点如下图所示，则下列式子正确的是（）

A． cb＞abB． ac＞abC． cb＜abD． c＋b＞a＋b

二、填空题（每题5分，共30分）

9．用不等号连接：

（1）3×（－9）－4×（－9）．（2）当－1＜b＜0时，b；bb2．

10．小明的语文、英语两科的平均成绩为m分．若使语文、英语、数学三科的平均成绩超过n分，则数学成绩a（分）满足．

11．若－3x＋4＜－2x－5，则x9．

12．若ax＞b，ac2＜0，则x．

13．用不等式表示：

（1）x的3倍与 y的的差是正数：．

（2）m的5倍比n的立方小：．

14．若a＞b，则ab＜b2成立的条件是．

三、比较大小（每题5分，共15分）

15． x2－2x＋3与－2x＋3．

16．（x＋3）（x－5）与（x＋2）（x－4）．

17． x2－4x＋3与x2－6x＋9．

四、计算题（18～19题每题9分，20题13分，共31分）

18．某厂原计划在5月份生产汽车a辆．现需增产10％，而本年5月份又有7天假期，要想完成任务，请你写出每天汽车产量y（辆）应满足的关系式．

19．若2≤a≤8， ≤b≤4a，c＝a＋b，请你确定c的范围．

20．比较下列算式结果的大小（在横线上填“＜”“＞”或“＝”）：

42＋322×4×3，（－2）2＋12 2×（－2）×1，

（）2＋

2 2××， 22＋22 2×2×2．

观察、归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并说明其中的道理．

不等式的性质篇4

义务教育课程标准教科书数学 (人教版) 八年级上册150页第12题:等腰三角形两底角的平分线相等吗?两腰上的中线呢?两腰上的高呢?证明其中的一个结论.显然, 等腰三角形两底角的平分线相等, 两腰上的中线相等, 两腰上的高也相等。它们都很容易用全等三角形证明.由此我们很自然地思考与它们相反的问题:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形吗?有两条中线相等的三角形是等腰三角形吗?有两条高相等的三角形是等腰三角形吗?经过探究会得到结论:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形, 有两条高相等的三角形也是等腰三角形.但是证明上述命题, 有难有易.我们很容易用全等三角形证明“有两条高相等的三角形是等腰三角形”, 但是用全等三角形证明“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形”却比较困难.令我欣喜的是有学生还根据“三角形的面积等于底乘高的一半”, 很方便地用等式性质证明了“有两条高相等的三角形是等腰三角形, 等腰三角形两腰上的高相等”。这就启发我们, 也可以用等式的性质证明“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形的两底角的平分线相等, 等腰三角形两腰上的中线相等”。

上面的命题的题设和结论都很简单, 分别是三角形角平分线的关系、中线的关系、边之间的关系.如果能得到三角形的中线、角平分线与三角形的三边关系式, 就有可能用等式的性质证明上述命题。

二、三角形的中线、角平分线与三角形三边的关系的公式推导

1、证明余弦定理.

如图1, 在△A BC中, A B=c, BC=a, CA=b, 过点B作BD⊥A C, 垂足为D。在△A BD中, BD=A Bsin A=csin A, A D=A Bcos A=ccos A, CD=A C-A D=b-ccos A。在△BCD中, 用勾股定理得, BC2=BD 2+D C2= (csin A) 2+ (b-ccos A) 2=b2+c2-2bccos A, 即a2=b2+c2-2bccos A.如果垂线段BD不在三角形内部, 同样可以得到结论。

2、证明三角形中线与三边的关系.

如图2, 在△A BC中, A M是中线, 三边BC=a, A C=b, A B=c.由余弦定理得:AM2=AB2+BM2—2AB×BM×cos B=c2+ (2—1a) 2-2*21a*c*2aca2+c2-b2=c2+41a2-21 (a2+c2-b2) =41 (2b2+2c2-a2) 。即得中线A M=Ma=21

3、证明角平分线与三边的关系.

三、等腰三角形的有关性质与判定的证明

1、等腰三角形两腰上的中线相等

如图3, 在△A BC中, AB=AC, BD和CE是两腰上的中线.根据公式得:。又b=c, 所以BD=CE。

2、有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形

如图3, 在△A BC中, BD和CE分别是两边A C、A B上的中线, 且BD=CE.根据公式得:

即AB=AC。

3、等腰三角形两底角的平分线相等

如图4在△A BC中, A B=A C, BD和CE是两底角的平分线。根据公式得, 又b=c, 所以, BD=CE。

4、有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形

如图4, 在△A BC中, BD和CE分别是∠A BC和∠A CB的角平分线, 且BD=CE.根据公式得

《不等式的性质》教学反思篇5

1、类比法讲解让学生更易把握

类比一元一次方程的解法来学习一元一次不等式的解法，让学生非常清楚地看到不等式的解法与方程的解法只是最后未知数的系数化为1不同，其它的步骤都是相同的，还特别能强调最后一步“负变，正不变”。

2、少讲多练起效果

减少了教师的活动量，给学生足够的活动时间去探讨。教师只作出适当的引导，做到少讲，少板书，让学生有足够的时间和空间进行自主探究，自主发展，促使学生学会学习。

3、数形结合更形象

通过画数轴，并把不等式的解集用数轴表示出来体现了“数形结合”的数学思想。

二、不足和遗憾之处

1、内容过多导致学生灵活应用时间少

一堂40分钟的课要容纳不等式三条性质的探索与应用，显然在时间上是十分仓促的。实践也表明确实如此，在探索好三条性质后，时间所剩无几，只能简单的应用所学知识解决一些较为简单的问题，学生灵活运用知识的能力没有很好地体现出来。

2、教学过程中的小毛病还需改正

不等式的性质篇6

众所周知，不等式有以下两种性质：a＞b，c＞da+c＞b+d；a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.

将其运用到数列当中，就有如下结论：对于数列{an}，{bn}，其前n项和分别记为An，Bn，前n项积分别记为A′ n，B′ n.若满足an＞bn对任意的n∈N*均成立，则An＞Bn；若满足an＞bn＞0对任意的n∈N*均成立，则A′ n＞B′ n.

例1 求证：++…+＞（n∈N*）.

证明设数列{an}的通项公式为an=，则其前n项和An=++…+；设数列{bn}的通项公式为bn=-=，则其前n项和Bn=.

易知＞，即an＞bn对任意的n∈N*均成立.

则An＞Bn，即++…+＞对任意的n∈N*都成立.

例2 求证：1+•1+•1+•…•1+＞（n∈N*）.

证明设数列{pn}的通项公式为pn=，则其前n项积Pn=•••…•；设数列{qn}的通项公式为qn=，则其前n项积Qn=.

易得pn=＞0，qn=＞0，===＞1对任意n∈N*恒成立.

故pn＞qn＞0对任意的n∈N*恒成立，

则pn＞Qn，即•••…•＞对任意的n∈N*都成立.

通过上述证明可以看出，要借助此方法证明数列不等式，需要所证数列不等式的两边都可以表示成数列的和（或积）.解决这类数列不等式的关键在于根据所要证明的数列不等式恰当构造两个数列，通过两个数列的通项建立不等关系，然后利用不等关系的可加性（或可乘性）达到解决问题的目的.

1. 求证：1+++…+＜ 2-（n∈N*）.

2. 求证：1+++…+＜n（n∈N*）.

3. 求证：（1+1）•1+•1+•…•1+

＞（n∈N*）.

1. 提示：＜（n∈N*，n≥2）.

2. 提示：+++…+＜1（n∈N*）.

等式的性质(一)教学设计篇7

苏教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》五年级下册第3~4页例3、例4, “试一试”、“练一练”, 练习一第4~6题。

教材简析:

本课内容包括两部分, 一部分是等式的性质 (一) , 即等式两边同时加上或者减去同一个数, 所得的结果仍然是等式;另一部分是利用等式的这一性质解一步计算的方程。这些内容是在学生认识了等式和方程的基础上进行教学的, 它是今后学习解多步方程的基础。在过去的小学数学教材里, 学生是运用四则运算各部分之间的关系解方程, 这样的思路只适宜解比较简单的方程, 而且和中学教材不一致。《数学课程标准》从学生的长远发展和中小学数学教学的衔接出发, 要求小学阶段的学生能“理解等式的性质, 会利用等式的性质解简单的方程”。关于等式性质的内容, 教材分两段教学:本课只学习第一段, 即等式两边同时加上或者减去同一个数, 所得的结果仍然是等式。教材中, 等式的这一性质是通过四幅层层递进的天平图引导学生发现的。关于解方程, 教材先用天平呈现了数量关系, 再让学生列方程并学习解方程, 同时学会正确的书写格式和检验方法。由于不再利用四则运算各部分之间的关系解方程, 因此, 暂时只解未知数不是减数的一步计算的方程。

教学目标:

1.让学生在具体情境中初步理解“等式的两边同时加上或减去同一个数, 所得的结果仍然是等式”, 会用等式的性质解简单的方程。

2.让学生在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中, 进一步积累数学活动的经验, 感受解方程的思想方法, 发展初步的抽象思维能力。

3.让学生在学习和探索的过程中, 进一步培养主动与他人合作交流、自觉检验等习惯, 获得一些成功的体验, 进一步树立学好数学的信心。

教学重点:

会用等式性质 (一) 解简单的方程, 书写规范, 自觉检验。

教学难点:

理解等式性质 (一) , 积累数学活动经验, 发展数学能力。

教学过程:

一、复习引入

1. 提问:什么是方程?你觉得概念中哪些词语比较重要?

2. 判断下列各式, 哪些是等式, 哪些是方程?

3. 谈话:上节课我们已经认识了等式和方程, 今天我们继续学习与等式和方程有关的知识。

设计意图:通过对等式和方程意义的简单复习, 为本课学习利用等式的性质解方程做好准备。

二、探索新知

1. 教学例3。

(1) 课件出示课本例3第一行的左图, 提问:观察天平图, 你能用一个等式表示图中的意思吗? (板书:20=20)

如果在左边加上一个10克的砝码, 天平会怎样?

要使天平恢复平衡, 可以怎么办? (在右边也加上一个10克的砝码) 出示右图。

提问:你能用一个等式表示天平现在的状况吗? (板书:20+10=20+10)

(2) 出示第二行图。

谈话:仔细观察这组图, 把结果填在书上。

指名说出填写成的等式。

(板书:X=50 X+20=50+20)

谈话:观察这两组图, 分析比较方程两边发生的变化和结果, 用一句话来说说你的理解。

引导得出:等式两边同时加上同一个数, 结果仍然是等式。

设计意图:通过图一、图二的教学, 让学生通过观察天平的变化感受等式的两边都加上同一个数, 结果仍然是等式。由不含未知数的等式, 过渡到含有未知数X的等式易被学生接受。在观察两组图分析等式变化的基础上及时让学生初步概括自己的发现, 为后面概括等式的性质做了准备。

(3) 同时出示第三行和第四行图。

谈话:仔细观察这两组图, 完成书上的填空, 再比较你所写出的等式, 用一句话说说你的理解, 和同桌交流你的发现。指名说出自己填写成的等式。

(板书:50+a=50+a 50+a-a=50+a-a)

提问:砝码上的a表示什么意思?

(板书:X+20=70 X+20-20=70-20)

提问:你又有什么发现?

引导得出:等式两边同时减去同一个数, 结果仍然是等式。

设计意图:图三、图四的教学是在学生已有知识的基础上通过独立思考、小组讨论交流进行的。在前两面组图教学的基础上, 这样安排教学活动是可行的, 能使学生在学习中发现, 在发现中学习, 同时培养合作意识。

(4) 教师指着四组等式, 提问:能不能用一句话来概括你们刚才的发现?

(板书:等式两边同时加上或减去同一个数, 所得的结果仍然是等式。)

谈话:这就是等式的性质。 (板书课题) 请你朗读等式的性质, 找出关键的字词, 说说你的理解。 (等式的两边必须同时进行同一种运算;加、减的数必须是同一个数。)

设计意图:等式的性质由学生自己归纳出来, 培养了学生的总结概括能力, 也让学生亲身体验到发现的快乐。

(5) 练习反馈:独立完成“练一练”第1题

再请学生说一说填写的依据, 为什么填“+25”和“-18”?加减号能写错吗?可以填其他数吗?

2. 教学例4。

(1) 出示例4挂图, 提问:你能根据图中的意思列出方程吗?

学生观察, 列出方程 (板书:X+10=50) 。

(2) 提问:怎样求出方程中未知数X的值呢?

让学生独立思考, 不懂的问题和同组同学交流, 能解决的就小组内交流。同时指名板演。

全班交流:例4中还有什么不懂的地方提出来, 能由学生解决的就由学生解决, 学生解决不了的教师解决。

在交流方法时, 学生可能有两种不同的想法:一是从天平两端可以同时去掉10克的砝码, 想到在方程两边都减10;二是直接根据等式性质, 在方程的两边都减去10, 结果仍然是等式。

根据学生反馈, 教师肯定两种方法。

谈话:今天我们利用等式的性质求X的值, 在求解的过程中我们应该注意些什么呢?结合黑板上的板演强调:

一要写“解”字。

二要根据等式的性质, 使方程的左边只剩下X。这道题需要把方程的两边都减去10。

三是每个等式占一行, 各行的等号要上下对齐。

四是检验, 只要把X的值代入原方程, 看看左右两边是不是相等。

(3) 小结:求方程中未知数X的值的过程, 叫做解方程。

设计意图:先让学生看图列出方程, 再提出“怎样求X的值”的问题, 这样让学生通过对图的观察, 独立思考, 然后交流各自的方法, 使学生得到求X值的启示:在天平的左右两边各去掉10克砝码就可以了。这样就很容易联系到等式的性质, 有利于理解用等式性质解方程的道理。对方程的书写格式和检验方法, 也作出了明确的要求和示范, 让学生一开始就掌握了正确的书写格式, 同时培养了良好的学习习惯。

(4) 完成“试一试”和“练一练”的第2题。

学生独立完成后4人小组交流互阅, 重点帮助有困难的学生, 针对学生出错的地方及时分析错误原因, 帮助他们弄懂。

三、巩固新知

练习一的第4、5、6题。

第4、6题做在书上, 第5题写在作业本上。

设计意图:让学生独立完成课堂上的作业, 是教师检查学生学习的一种手段, 同时也是检验学生对当堂学习情况的一个反馈。这个师生双边活动的过程有利于教师了解学生对知识的掌握情况和自己这节课的教学状况。

四、学习回顾

提问:通过这节课的学习, 你发现了什么?知道了什么?有哪些收获?

总评:

1. 在直观情境中, 按“形象感受→抽象概括”的方式教学等式的性质。用天平呈现的直观情境形象地表示等式两边发生的变化及结果, 有利于学生的直观感受。又在学生观察现象、分析等式变化的基础上及时地抽象、概括出等式的性质, 使学生进一步积累了数学活动的经验, 初步发展了抽象概括能力。

2. 循序渐进地教学等式的性质。在引导学生发现等式性质的过程中逐步推进:先从不是方程的等式过渡到方程, 再由加同一个数过渡到减同一个数。这样的设计符合学生的认知规律。

3. 在学习和探索过程中, 注意培养学生的独立思考能力, 在独立思考的基础上培养交流能力和合作意识。

4. 有层次地安排学生的学习活动。学习新知时, 先让学生独立思考, 然后同桌交流, 再小组合作;在练习中, 先是同桌互相检查, 最后是独立体验。

利用凸函数性质巧证积分不等式篇8

1.预备知识

定义对x1, x2∈[a, b], λ∈ (0, 1) , 函数f (x) 都有

则称f (x) 为凸函数, 并且仅当x1=x2时等号成立.

若 (1) 式的不等号反向时, 则称为凹函数.

引理1设f (x) 在[a, b]上的二阶可导函数, 如果有f″ (x) ≥0, 那么f (x) 是[a, b]上的凸函数.

引理2 (泰勒公式) 设f (x) 在含有x0的某个区间 (a, b) 内具有直到 (n+1) 阶导数, 则对x∈ (a, b) , 都有

其中, , ξ是介于x0和x之间的某个值.

2.主要结果和应用

定理[a, b]上的二阶可导函数, 如果有f″ (x) ≥0, 那么

其中λk是正数, k=1, 2, 3, …, n, 且.

证明记, 那么由引理2 (泰勒公式) ,

可得.

其中ξk是在xk和x0之间的一个常数.由题设f″ (x) ≥0, 于是

证毕.

特别地, 可以得到以下推论.

推论设函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内二阶可导, 如果有f″ (x) ≥0, g (x) 是区间[c, d]上的可积函数, a≤g (x) ≤b, 那么有

例1设g (x) 是区间[0, 1]上的可积函数, 0≤g (x) ≤1, 求证:

证明设, 那么, 这里区间[a, b]=[c, d]=[0, 1], 于是利用前面的 (3) 式可以得到, 将代入表达式中, 即得 (4) 式.证毕.

例2设g″ (x) <0, 证明:

证明由g″ (x) <0, 知-g (x) 是一个凸函数.而xn是一个正值函数且满足0≤xn≤1, 于是由 (4) 式的结果可知

证毕.

通过以上例题可以看出, 利用凸函数的性质证明有关积分不等式, 可以使难度较大且证明过程复杂的问题转化成证明比较容易, 证明过程简单的问题, 关键是寻找合适的凸函数.

摘要：凸函数的应用领域非常广泛, 特别是在不等式的证明中, 运用它解题显得巧妙、简练.

关键词：凸函数,不等式,积分

参考文献

[1]M.A.克拉斯诺西尔斯基, R.B.鲁季斯基.凸函数和奥尔里奇空间[M].北京:科学出版社, 1962.

[2]同济大学应用数学系.高等数学:第三版 (上册) [M].北京:高等教育出版社, 2006.

不等式的性质篇9

根据二次函数的图象可知它有这样的性质:对于二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) , (Ⅰ) 若f (x) ≥0, 则Δ=b2-4ac≤0; (Ⅱ) 若Δ=b2-4ac≤0, 则f (x) ≥0; (Ⅲ) 若二次函数f (x) =ax2+bx+c与x轴有两个交点, 则Δ=b2-4ac>0.

下面应用上述性质来证明一些不等式.

一、用性质 (Ⅰ) 来证明不等式, 就是设法构造一个二次项系数为正数的二次函数, 并使得f (x≥0, 从而由Δ≤0推出所需证的不等式

例1: (柯西不等式) 设a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn为任意实数, 求证 (a1b1+a2b2+…anbn) 2≤ (a12+a22+…+an2) (b12+b22+…+bn2) , 当且仅当时, 等号成立.

证明:作关于x的二次函数f (x) = (a12+a22+…+an2) x2-2 (a1b1+a2b2+…anbn) x+ (b12+b22+…+bn2) .

(1) 若a12+a22+…+an2=0, 则a1=a2=…=an=0, 显然不等式成立;

(2) 若a12+a22+…+an2≠0, 则有f (x) = (a1x-b1) 2+ (a2x-b2) 2+…+ (anx-bn) 2≥0且a12+a22+…+an2>0.所以Δ=b2-4ac=4 (a1b1+a2b2+…anbn) 2-4 (a12+a22+…+an2 (b12+b22+…+bn2) ≤0, 所以 (a1b1+a2b2+…anbn) 2≤ (a12+a22+…+an2) (b12+b22+…+bn2) .

当且仅当时, 等号成立.

二、应用性质 (Ⅱ) 来证明不等式, 就是把要证明的不等式表示成关于某一字母的二次三项式 (使二次项系数大于零) , 再推证其Δ≤0, 由此判定所要证的不等式成立

例2:设x、y、z∈R, 求证:x2-xz+z2+3y (x+y-z) ≥0.

证明:设f (x) =x2-xz+z2+3y (x+y-z) =x2+ (3y-z) x+ (3y2-3yz+z2) , 于是f (x) 可看作是关于x的二次函数, 且二次项系数大于零.则有Δ= (3y-z) 2-4 (3y2-3yz+z2) =-3 (y-z) 2≤0, ∴f (x) ≥0, ∴x2-xz+z2+3y (x+y-z) ≥0.

例3:求证:a2+b2+5≥2 (2a-b) .

证明:设f (a) =a2+b2+5-2 (2a-b) =a2-4a+b2+2b+5, 于是f (a) 可看作是关于a的二次函数, 且二次项系数大于零, 则Δ= (-4) 2-4 (b2+2b+5) =-4 (b+1) 2≤0, ∴f (a) ≥0, ∴a2+b2+5≥2 (2a-b) .

例4:设x、y、z∈R, 且α+β+γ=π, 求证x2+y2+z2≥2 (xycosα+yzcosβ+zxcosγ) .

证明:设f (x) =x2+y2+z2-2 (xycosα+yzcosβ+zxcosγ) =x2-2 (ycosα+zcosγ) x+ (y2+z2-2yzcosβ) , 于是f (x) 可看作是关于x的二次函数, 且二次项系数大于零.则Δ=4 (ycosα+zcosγ) 2-4 (y2+z2-2yzcosβ) =-4[y2 (1-cos2α) +z2 (1-cos2γ) -2yzcosαcosγ+2yzcos (α+γ) ]=-4 (y2sin2α+z2sin2γ-2yzsinαsinγ) =-4 (ysinα-zsinγ) 2≤0, ∴f (x) ≥0, ∴x2+y2+z2≥2 (xycosα+yzcosβ+zxcosγ) .

三、应用性质 (Ⅲ) 来证明不等式, 就是构造一元二次函数, 再推证其一元二次函数与x轴有两个交点, 由Δ=b2-4ac>0判定所要证的不等式成立

例5:实数a, b, c满足 (a+c) (a+b+c) <0, 求证: (b-c) 2>4a (a+b+c) .

证明:由已知得当a=0时, b≠c, 否则与 (a+c) (a+b+c) <0矛盾.∴当a=0时 (b-c) 2>4a (a+b+c) .当a≠0时, 构造一元二次函数f (x) =ax2+ (b-c) x+ (a+b+c) , 则有f (0) =a+b+c, f (-1) =2 (a+c) .而f (0) f (-1) =2 (a+c) (a+b+c) <0, ∴二次函数f (x) =ax2+ (b-c) x+ (a+b+c) 与x轴有两个交点, ∴Δ= (b-c) 2-4a (a+b+c) >0, ∴ (b-c) 2>4a (a+b+c) .

【不等式的性质】推荐阅读：

不等式的性质10-20

八年级《不等式及其基本性质》说课稿12-16

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