不等式·概念与性质

2024-08-17

不等式·概念与性质（精选3篇）

不等式·概念与性质篇1

一、问题的提出

义务教育课程标准教科书数学 (人教版) 八年级上册150页第12题:等腰三角形两底角的平分线相等吗?两腰上的中线呢?两腰上的高呢?证明其中的一个结论.显然, 等腰三角形两底角的平分线相等, 两腰上的中线相等, 两腰上的高也相等。它们都很容易用全等三角形证明.由此我们很自然地思考与它们相反的问题:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形吗?有两条中线相等的三角形是等腰三角形吗?有两条高相等的三角形是等腰三角形吗?经过探究会得到结论:有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形, 有两条高相等的三角形也是等腰三角形.但是证明上述命题, 有难有易.我们很容易用全等三角形证明“有两条高相等的三角形是等腰三角形”, 但是用全等三角形证明“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形”却比较困难.令我欣喜的是有学生还根据“三角形的面积等于底乘高的一半”, 很方便地用等式性质证明了“有两条高相等的三角形是等腰三角形, 等腰三角形两腰上的高相等”。这就启发我们, 也可以用等式的性质证明“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形, 有两条中线相等的三角形是等腰三角形.等腰三角形的两底角的平分线相等, 等腰三角形两腰上的中线相等”。

上面的命题的题设和结论都很简单, 分别是三角形角平分线的关系、中线的关系、边之间的关系.如果能得到三角形的中线、角平分线与三角形的三边关系式, 就有可能用等式的性质证明上述命题。

二、三角形的中线、角平分线与三角形三边的关系的公式推导

1、证明余弦定理.

如图1, 在△A BC中, A B=c, BC=a, CA=b, 过点B作BD⊥A C, 垂足为D。在△A BD中, BD=A Bsin A=csin A, A D=A Bcos A=ccos A, CD=A C-A D=b-ccos A。在△BCD中, 用勾股定理得, BC2=BD 2+D C2= (csin A) 2+ (b-ccos A) 2=b2+c2-2bccos A, 即a2=b2+c2-2bccos A.如果垂线段BD不在三角形内部, 同样可以得到结论。

2、证明三角形中线与三边的关系.

如图2, 在△A BC中, A M是中线, 三边BC=a, A C=b, A B=c.由余弦定理得:AM2=AB2+BM2—2AB×BM×cos B=c2+ (2—1a) 2-2*21a*c*2aca2+c2-b2=c2+41a2-21 (a2+c2-b2) =41 (2b2+2c2-a2) 。即得中线A M=Ma=21

3、证明角平分线与三边的关系.

三、等腰三角形的有关性质与判定的证明

1、等腰三角形两腰上的中线相等

如图3, 在△A BC中, AB=AC, BD和CE是两腰上的中线.根据公式得:。又b=c, 所以BD=CE。

2、有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形

如图3, 在△A BC中, BD和CE分别是两边A C、A B上的中线, 且BD=CE.根据公式得:

即AB=AC。

3、等腰三角形两底角的平分线相等

如图4在△A BC中, A B=A C, BD和CE是两底角的平分线。根据公式得, 又b=c, 所以, BD=CE。

4、有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形

如图4, 在△A BC中, BD和CE分别是∠A BC和∠A CB的角平分线, 且BD=CE.根据公式得

反思:在证明了一个定理后, 思考它的逆命题是否正确, 是较为常见的提出问题的数学思维方法;将一个命题的证明思路迁移到另一个命题的证明思路, 是常用的数学思想方法.如果我们在教学时将课本习题适时适度地引伸拓展, 就可以开阔学生的视野, 锻炼学生思维, 让学生在提出问题与解决问题的过程中吸取营养, 掌握学习方法, 从而受益无穷。

我教“正方形的概念与性质” 篇2

一、通过研究特殊四边形之间的演变, 让学生建构平行四边形、矩形、菱形和正方形的概念图式

学习“正方形的定义和性质”的关键是激活平行四边形、矩形、菱形的概念图式.根据学生对平行四边形、矩形、菱形之间关系的理解, 以及对正方形概念的直观经验 (生活中的和小学数学中的一些直观描述) , 笔者设计下面的问题1和问题2让学生思考.

问题1由前面几节课我们知道, 平行四边形可以演变得到矩形和菱形, 那么, 平行四边形、矩形和菱形是否可以通过演变得到正方形? 如果平行四边形、矩形和菱形分别可以通过演变得到正方形, 那么请你用画线的方式 (带箭头) 表示两个图形之间的关系, 并在线上标明其演变过程, 同时在画的过程中思考:正方形是否还具有原图形的性质? 如果平行四边形、矩形和菱形不能通过演变得到正方形, 则请说明理由.

先让学生独立思考, 教师巡视或对班级个别同学指导.当看到大部分同学都有了自己的“成果”, 于是请同学们在全班交流自己的研究“成果”, 交流后师生共同归纳得到:

结论:因为正方形是特殊平行四边形, 是特殊的矩形, 是特殊的菱形, 所以正方形还具有平行四边形、矩形、菱形图形的性质.

在此基础上, 教师继续提出问题2让学生探究.

问题2结合前面几节课及刚才同学们的“研究成果”, 请你设计一幅“图”来表示平行四边形、矩形、菱形、正方形图形之间的关系.

学生独立设计.在大部分同学完成的基础上, 教师用多媒体展示不同学生设计的“成果”, 并让学生讨论设计中存在的问题, 譬如, 学生设计中存在的问题有:1缺乏关系连接;2结构线条的箭头指向不清晰等.在讨论的基础上, 老师继续让学生完善自己设计的“作品”得到:

至此, 通过问题1和问题2的解决及学生建构特殊四边形的概念图式, 学生已初步将正方形纳入到原有的概念图式之中, 此时新旧知识通过相互作用建立起合理与实质的联系.

二、通过研究正方形的定义、性质, 让学生建构特殊四边形的概念图式的子图式———“正方形的定义与性质”的认知图式

学习是一个图式获得和完善的过程. 图式的形成是一个复杂的过程, 需要教师设计多样化的学习活动, 多方位地丰富和完善图式.接着, 教师继续提出下面的问题3和问题4, 目的是让学生构建特殊四边形图式的子图式———“正方形的定义、性质”的认知图式.

问题3根据自己设计的“研究成果”, 请你归纳出正方形的定义, 并对比正方形与平行四边形、矩形、菱形的定义, 指出它们的联系.

问题4对比矩形和菱形的性质, 请你写出正方形的性质.

先让学生独立思考, 再全班交流, 在交流的基础上, 教师要求学生通过点、线加工, 独立构建正方形定义与性质的认知图式:

三、通过研究正方形知识的应用, 让学生建构平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质的认知图式

问题5如图1, 在正方形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O.

(1) 图中有多少个三角形? 这些三角形有什么特点? 请说明理由.

(2) AB︰AO︰AC = __________.

问题6如图2, 正方形ABCD中, 对角线AC, BD相交于点O, 在BD上有一动点P, PE⊥AB, PF⊥AD, 垂足分别为E, F, 试指出△EOF的形状并给予证明.

问题7请你将平行四边形、矩形、菱形和正方形的定义与性质以表格的形式制作成图表.

先让学生独立制作, 再全班交流, 最后得到如下的特殊四边形的定义与性质的图式 (图表中空格的内容略去) :

以上的教学设计, 以图式的建构为主线, 先建构特殊四边形的概念图式, 再建构特殊四边形的概念图式的子图式——正方形的认知图式, 又通过正方形知识的应用“操作”, 让学生从新的视角, 从特殊四边形的边、角、对角线、对称性等角度再一次构建平行四边形、矩形、菱形和正方形的认知图式, 从而引发学生从纵向和横向沟通了特殊四边形知识之间的内在联系, 以进入更高层次的图式.此时, 学生不仅体验到图式不断完善的过程, 更为重要的是, 在这一过程中学生头脑中建构的图式也臻于完善, 从而形成良好的数学认知结构.

图式的形成是学生的一种动态建构和再建构活动. 在数学教学中, 教师要为学生提供主动构建图式的平台, 给学生留有充裕的时间, 让学生独立思考、合作、展示和交流关于某一主题所形成的图式, 这将有利于削减因为概念等知识难度所带来的认知障碍, 促进学生从整体上把握数学的知识、方法和观念, 增强学生学习数学的整体意识和结构意识.

摘要：从图式建构的视角对“正方形的概念与性质”教学研究:通过研究特殊四边形之间的演变, 让学生建构平行四边形、矩形、菱形和正方形的概念图式;通过研究正方形的定义、性质, 让学生建构特殊四边形的概念图式的子图式——“正方形的定义与性质”的认知图式;通过研究正方形知识的应用, 让学生建构平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义与性质的认知图式.

关键词：数学图式,正方形的概念与性质,同化的学习方式

参考文献