高考不等式

高考不等式（精选12篇）

高考不等式 篇1

应用 (*) 式解决近年来某些高考题, 十分简便.

例1已知x>0, y>0, x+2y+2xy=8, 则x+2y的最小值是 ()

(2010年重庆卷)

当且仅当x=2, y=1时等号成立.

因而 x+2y的最小值是4.

故选 (B) .

例2若a>0, b>0, a+b=2, 则下列不等式对一切满足条件的a, b恒成立的是 ()

(写出所有正确命题的编号)

(2010年安徽卷·文)

解由已知及 (*) 式, 得

两边取平方得ab≤1,

又取a=b=1, 易知 (2) , (4) 不成立,

综上可知, (1) , (3) , (5) 成立.

例3小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b (a<b) , 其全程的平均时速为v, 则 ()

(2012年陕西卷·文)

解设甲乙两地的距离为s, 则

(1) 求a3+b3的最小值;

(2) 是否存在a, b使得2a+3b=6?并说明理由. (2014年新课标Ⅰ卷·文)

解 (1) 由已知及 (*) 式, 得

(2) 因为

所以不存在a, b使得2a+3b=6.

例5设a, b是非负实数, 求证:

证明原不等式等价于

由 (*) 式, 得

所以原不等式成立.

练习

(A) 3. (B) 4. (C) 5. (D) 6.

2.若a>0, b>0, a+b=2ab, 则下列不等式对一切满足条件的a, b恒成立的是 ()

3.小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b (a<b) , 其全程的平均时速为v, 则下列结果不正确的是 ()

高考不等式 篇2

1.(2011年高考山东卷理科4)不等式|x5||x3|10的解集为

（A）[-5.7]（B）[-4,6]

（C）(,5][7,)（D）(,4][6,)

2.(2011年高考天津卷理科13)

已知集合AxR|x3x49,BxR|x4t,t(0,)，则集合

1t

AB=________.3.对于实数x，y，若x11，y21，则x2y1的最大值为.4．(2011年高考陕西卷理科15)若关于x的不等式axx2存在实数解，则实数a的取值范围是

5．(2011年高考辽宁卷理科24)选修4-5：不等式选讲

已知函数f（x）=|x-2|-|x-5|.（I）证明：-3≤f（x）≤3；

（II）求不等式f（x）≥x-8x+15的解集.6.(2011年高考全国新课标卷理科24)（本小题满分10分）选修4-5不等选讲 设函数f(x)xa3x,a0（1）当a1时，求不等式f(x)3x2的解集；(2)如果不等式f(x)0的解集为xx1，求a的值。

7.(2011年高考江苏卷21)选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）

解不等式：x|2x1|

2

8．（2009广东14)不等式|x1|1的实数解为.|x2|

9.(2011年高考福建卷理科21)设不等式2x-＜1的解集为M．

（I）求集合M；

（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小

10．（2010年高考福建卷理科21）选修4-5：不等式选讲 已知函数

（Ⅰ）若不等式。的解集为，求实数的值； 对一切实数x恒成立，求实数m的取值（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若

范围。

11．（2007海南、宁夏，22C，10分）（选修4 –5：不等式选讲）设函数f(x)|2x1||x4|.（1）解不等式f(x)2；

（2）求函数yf(x)的最小值。

不等式高考试题及教学策略 篇3

一、不等式高考试题简述

高中数学中，不等式是系统综合的知识，是高中数学中非常重要的一个部分.不等式可以与函数相联系，可以以实际生活为切入点出题.素质教育背景下，国家提倡高考试题联系生活.研究近几年的高考试题能够发现，不等式很少会以一种独立命题的形式出现在高考试卷中，多数情况下会与其他题型进行融合，分值有上升的趋势.不等式与数列、解析几何、立体几何、充分必要条件等许多数学知识存在交汇点，这些交汇点经常会引起高考出题人的重视.学生应对这些问题的能力恰恰能反映出他们的数学素养.高考淡化了对不等式性质、证明、推导过程的考查，强化了对不等思想运用、不等关系建立和处理的考查.

现阶段，高考考查学生对不等式的掌握情况，一般会出综合性强的考题，题目切入的广度和深度在提高，求最值问题，与函数问题、数列问题、导数问题的结合越来越多，这些情况都反映出高考对数学思想的关注，在具体的教学中，教师应当予以重视.

二、不等式教学策略分析

1.联系生活情境，培养学生的兴趣

任何知识都与生活实际密不可分，数学也是如此.初中数学教学中已经涉及不等式的相关知识.如，两点之间线段最短等.所以对于高中学生来说，不等式并不陌生.这就要求教师在制定教学方案的时候，要结合学生已有的对不等式的认知，以此为基础，做好初中不等式内容与高中不等式内容的衔接.为了达到这个目的，教师可以创设教学情境，把实际的不等式问题抽象化.具体来说，教师可以带领学生观察日常生活中存在的不等关系.事物的长短、重量等很多概念都能够用不等关系进行描述.比如学生经常会喝的瓶装绿茶中，对营养成分的标注常常是能量≥2%，脂肪≤1%.意思是在这瓶绿茶中能量的含量不小于2%，脂肪的含量不大于1%.由此可见，不等关系就存在于我们的生活中，教师在教学过程中联系日常生活会让学生认识到不等模型的应用价值和意义，从而提高学生对不等式学习的主动性和积极性.

2.教师要利用灵活的教学手段

高中不等式教学中，教师要格外关注一元二次不等式的教学，因为这部分知识与函数的联系紧密.考题中可能会出现求函数的定义域或者值域的问题，涉及的内容多而且比较复杂，其解题思想几乎在整个高中数学中都能体现.所以，教师要利用灵活多样的教学手段.一元二次不等式题目往往存在不止一种解题方法，教师应当鼓励学生拓展思维，从不同的角度来研究问题.如：设函数f（x）=|2x-4|+1，若不等式f（x）≤ax的解集非空，求a的取值范围.这道不等式题目，既可以用数形结合的方法解决，也可以用方程转化的方法解决.在课堂上讲解类似问题的时候，教师可以带领学生比较哪一种方法更简单，在考试中提高解题速度.教师要明白，不等式教学的一个有效的突破口就是一元二次不等式.在教学过程中，要逐步推进，分化难点知识.数学知识之间不是独立的.教学时，教师要注意知识迁移，让学生全面综合地掌握知识.

3.教师要教会学生抽象生活中的问题

不等式的运用相当灵活，它会渗透进其他的知识中.此外，其他知识也可以作为不等式命题的背景.许多高考试题会以实际生活为背景进行命题，不论以什么形式命题，考查的不等式知识是相通的，都是学生对不等式进行综合运用的能力.学生重构知识的途径之一就是将抽象的问题变得形象具体.生活中的问题是具体的事项，但是包含的数学思想是抽象的，思维的路径应当是先具体再抽象，然后再具体.比如有的试题题干较长，看到这种题目，教师首先要告诉学生不必害怕，要从中挖掘出数学化的信息，理清楚数理化关系，用数学知识表达出抽象关系，实现解题目的.

三、结语

高中数学教学中，不等式教学是关键的部分.在教学中，教师要充分发挥主导作用，保证学生在学习中的主体地位，坚持新课改倡导的思想，不断完善不等式教学，全面提高学生的数学素养，为其他数学知识的教学打下坚实的基础.对于高考中出现的各种不等式问题，要鼓励学生积极思考，开拓思维.尽管每年高考中不等式的试题会发生变化，但是解题思想变化不大，学生只要找到题目的突破口，就能快速准确地解题.

高考不等式考题分析与教学对策 篇4

一、高考不等式考题分析

(一) 考查不等式的性质

不等式的性质是学习不等式的基础, 但高考的考题都是纵向思维、涵盖面广, 单单考查性质的题很少出现, 大多数考题连同集合、函数、方程一同考查, 重在考查学生对性质的理解能力与计算分析能力.例如2010年全国卷中的一道题:

设偶函数f (x) 满足f (x) =x3-8 (x≥0) , 则{x|f (x-2) >0}= () .

A.{x∣x<-2, 或x>4}

B.{x|x<0, 或x>4}

C.{x∣x<0, 或x>6}

D.{x∣x<-2, 或x>2}

首先学生需要明确这是一道集合与不等式相结合的题目, 既考查学生对集合的了解程度, 也考查不等式的性质及理解.做题时, 需看清题意, f (x) 是偶函数, 因此, |x-2|3-8>0, 经计算, 选择答案为B项.

(二) 求含有参数不等式的取值范围

近年来, 高考中考查含参数的不等式的题目越来越多, 对含有参数不等式的取值范围进行计算, 同时结合直线与圆、平面向量、数列等相关知识.这一类型的题通常有多种解题思路, 题型多见于填空、选择, 对学生的运算能力要求较高.在2010年天津卷中有一道题目:

若对任意x>0, x/ (x2+3x+1) ≤a恒成立, 则a的取值范围是__________.

这道题主要考查的是学生对于各个函数表达式之间联系的掌握程度, 考查学生的运算能力, 同样对不等式的能力要求也较高.

(三) 二元一次不等式组结合线性规划问题

线性规划问题是高考中常见的问题, 对线性规划问题的考查, 一般是结合二元一次不等式、直线方程等内容, 解决最值问题, 同各种知识进行交汇.2010年全国卷中有一道题:

若变量x, y满足约束条件y≤1, x+y≥0, x-y-2≤0, 则z=x-2y的最大值为 () .

A.4 B.3 C.2 D.1

这道题常见的最简单的解法便是画图求解, 将不同的限定条件画在同一个直角坐标系中, 最终推算求出答案.利用图形解题是较为简便的一种解题思路, 也是近年来高考中常见的题型, 需要学生灵活利用图形工具, 结合不等式的相关知识, 进行解题.

二、高中数学不等式的教学对策

(一) 有效观察, 推理论证

学习数学, 学生必须具有较强的逻辑思维与抽象思维能力, 在数学不等式的教学过程中, 要不断培养学生的抽象思维能力, 通过对不同的不等式的推导证明, 让学生领悟不等式中蕴含的各种数学思想, 从而培养学生严谨的学习思想, 提升学生的抽象思维能力、辩证分析问题的能力.通过对题目的观察, 例如让学生证明a2+b2≥2ab, 不同的学生具有不同的解题思路, 有些学生利用图形加以证明, 而有些同学利用公式进行推理, a2+b2-2ab这个式子始终是≥0的, 以此来进行相关推导.同一个问题可能具有多种解题思路, 学生要学会观察, 寻求一套最适合自己的解题方式, 同时想想其他的解题方式, 增强思维能力, 促进学习能力的提升.

(二) 增强学生实际问题的解决能力

数学是一门同生活联系紧密的学科, 学习数学, 需要利用数学有效地解决生活中的问题, 生活中很多数学需要利用不等式或者不等式的相关知识进行解决, 这些问题大多考查学生综合解决问题的能力, 学生需有效地发挥不等式的工具作用.对不等式应用的学习, 能培养学生学习的兴趣, 将抽象的数学具体化、科学化, 能让学生体会到学习数学的价值, 增强学生学习的主动性.一些典型数学问题的提出, 也能引起学生的共鸣, 不等式问题一般同直线方程、一元一次方程、函数图像等问题交汇考查, 教师可着眼于学生的探索能力, 让学生进行记忆与模仿, 接受一些有效的数学解题思想, 如数形结合思想, 从而提高学生的逻辑思维能力与抽象思维能力.

三、结语

高考数学是高考的关键环节, 数学分值高, 分数差距大, 不等式是高中数学的重要教学模块, 不等式是重要的解题工具, 学生必须在教师的带领下, 精心研究教学案例, 形成好的学习方法, 不断提升数学的学习兴趣, 提高学习成绩.

参考文献

[1]皮连生.现代认知学习心理学[M].北京:警官教育出版社, 2008.

[2]任长松.探究式学习——学生知识的自主建构[M].北京:教育科学出版社, 2005.

高考不等式 篇5

一．课本溯源（母题）...........................1二．比较法的理论依据...........................2三．子题...........................2

四．直击高考（子题）...........................2

五．研究性学习课题（自主探索）.......................3《从课本到高考》系列内容简介....................4《从课本到高考》系列

一．课本溯源（母题）

人教A版，数学，选修4-5，《不等式选讲》

人民教育出版社出版

2007年1月

0，判断

所以

(x1)(x2)(x3)(x6)。结论

二．比较法的理论依据

课本第2页。

符号法则：

abab0；

abab0；

abab0；

三．子题

【例1】设Ax3，B3xx，且x3，试比较A与B的大小。

【解析】AB(x33)(3x2x)32

(x33x2)(x3)x2(x3)(x3)(x21)(x3)

(x1)(x1)(x3)

因为x3，所以x10，x10，x30，因此(x1)(x1)(x3)0。

因此AB。

【解题反思】

1．本题的思维过程：

考查差的符号（难以确定）考查积的符号考查积中直接判断（无法做到）

各因式的符号（成功！）。

其中变形时关键，定号是目的。

2．在变形中，一般是变形得越彻底越有利于下一步的判断，变形常用的技巧有：因式分解、配方、通分、分母有理化等等。

【变式训练】设A

转化转化转化yB，其中xy0，试比较A与B的大小。x四．直击高考（子题）

【2013年高考江苏卷】已知ab0，求证:2ab2abab

332

2【证明】(2a3b3)(2ab2a2b)作差

2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)变形

因为ab0，所以ab0，ab0，2ab0，所以(ab)(ab)(2ab)0。判断 所以2a3b32ab2a2b。结论

五．研究性学习课题（自主探索）

1．不等式的解法（课本15页）

（1）|x|a(a0)axa；

（2）|x|a(a0)xa或xa。

2．合情推理

研究下面不等式解法的拓展形式的正确性：

（1.1）|x|aaxa；

（1.2）|f(x)|aaf(x)a；

（1.3）|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)；

（2.1）|x|axa或xa；

（2.2）|f(x)|af(x)a或f(x)a；

（2.3）|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)；

3．给上面的6个解法加上等号，研究它们的正确性。例如：

（1.1’）|x|aaxa；

（1.2’）|f(x)|aaf(x)a；

4．特例练习

【练习1】解不等式|3x1|2。

【练习2】解不等式|23x|7。

【练习3】解不等式|5xx|6。2

《从课本到高考》系列内容简介

《从课本到高考(数学研究性学习)》，设”课本溯源”、”解题反思”、”提出问题”、”自主探究”、”点石成金”、”直击考题”、”研究性学习”等栏目，向读者全面展示数学研究性学习的素材、过程与方法，同时揭示许多相关高考题的来龙去脉。《数学课程标准》将研究性学习作为一项必修内容和评价目标；考试院专家提出要加强研究性试题的考查，充分地体现数学研究性学习的基本理念。作为全新的数学学习方式和高考命题趋势，数学研究性学习到底是什么？其实，研究性学习并不可怕，很多研究型问题源自课本中的例题和习题。《从课本到高考(数学研究性学习)》按现行高中数学课本的知识体系编排，方便广大教师和高中各年级学生共同使用。

高考不等式 篇6

（★★）必做1 已知a＋b<0，且a>0，则（ ）

A． a2<－ab

C． a2

精妙解法 法1：因a＋b<0，且a>0，所以b<0，a2+ab=a（a+b）<0，－ab－b2=－b·（a+b）<0，故选A．

法2：因a＋b<0，且a>0，所以b<0，对a＋b<0两边分别同乘a和b，再移项，利用不等式的传递性可得A．

法3：因a＋b<0，且a>0，所以不妨取a=1，b=－2，此时a2=1，b2=4，－ab=2，显然有a2<－ab

误点警示 不等式两边只有同乘以一个正数，不等式方向才不改变；若同乘以一个负数，则要改变方向；同向不等式相乘不一定正确，只有同向的正数不等式才能相乘．特殊值法解题时，必须满足前提条件，如a＋b<0，且a>0，即b<0

极速突击 作差比较法是比较大小的最基本的方法，作差后一般要变形定号，有时也会先平方再作差，或采用作比比较法． 涉及不等关系的选择题，一般来说，结合题设条件寻求特殊值法比较方便．

（★★★★）必做2 对任意x∈R，若f ′（x）>f（x）且a>0，则f（a）________ea·f（0）（填大小关系）

精妙解法 由f（a）与ea·f（0）联想e0·f（a）与ea·f（0），进而联想新函数ex－a与f（x）的有机组合，建构：y=，则y′=>0，所以y（a）>y（0），即f（a）>ea·f（0）．

极速突击 此类问题关注三点：（1）单调性——作为解决问题的大方向；（2）导数应用——导数是研究函数的利器，利用一阶导数研究单调性能事半功倍；（3）有机组合——在解决问题过程中，如何选择函数和建构新函数是关键．

金刊提醒

灵活运用不等式的性质，可以解决比大小、证明、解不等式等许多问题．

不等式的解法

（★★★）必做3 设函数f（x）=（x+1）2，x≤－1，2x+2，－1

A． （－∞，－2）∪－，+∞

B． －，

C． （－∞，－2）∪－，1

D． －2，－∪（1，+∞）

精妙解法 由f（x）及f（a）＞1可得：a≤－1，（a+1）2>1①；或－11②；或a≥1，－1>1③；解①得a<－2，解②得－

误点警示 每种情况之间是并集，每种情况内部是交集为两个易错点．

极速突击 对每一段解不等式，同时弄清集合间的交并关系．

（★★★）必做4 已知函数y=f（ｘ）是R上的偶函数，且在（－∞，0］上单调递减，且f（1）=0，若af（a）>0，则实数a的取值范围是______．

图1

精妙解法 作出函数y=f（x）在R上的大致图象，由af（a）>0，可得当a>0时，f（a）>0，所以a>1；当a<0时，f（a）<0，所以－11．

极速突击 解题时，应该尽量画出函数图象，使得问题具体化，避免因为抽象思维带来的解题失误，以求事半倍功．

金刊提醒

一元二次不等式的解法，可结合二次函数的图象求解，重点突破三个二次问题的联系．

线性规划

（★★★）必做5 动点P（a，b）在不等式组x+y－2≤0，x－y≥0，y≥0表示的平面区域内部及其边界上运动，则w=的取值范围是________．

精妙解法 w==1+=1+k，k为定点（1，2）与可行域上动点连线的斜率，由数形结合得斜率k的取值范围为（－∞，－2］∪［2，+∞），所以w=的取值范围是（－∞，－1］∪［3，+∞）．

误点警示 不能对w=进行合理的变形，不会用数形结合进行转化．

极速突击 线性规划问题一般采用数形结合，同时要化未知为已知，化生为熟．

（★★★★）必做6 设实数a，b满足3a－2b+1≥0，3a+2b－4≥0，a≤1，则9a2+4b2的最大值是___________．

精妙解法 令x=3a，y=2b，原不等式组可化为x－y+1≥0，x+y－4≥0，x≤3，目标函数可化为z=x2+y2=（）2，可将它看做原点与可行域上动点连线的距离的平方，作出换元后的可行域，再由数形结合可得的最大值是25．

极速突击 换元化归，等价转化，数形结合．

金刊提醒

在线性规划问题的求解中，要充分运用数形结合思想，在解题中能认真领悟图解法的实质．

基本不等式与最值运用

（★★★）必做7 若直线ax+2by－2=0（a>0，b>0）始终平分圆x2+y2－4x－2y－8=0的周长，则+的最小值为（ ）

A． 1 B． 3+2

C． 5D． 4

精妙解法 由已知可得直线过圆心（2，1），从而a+b=1，且a>0，b>0，+=+（a+b）=3++≥3+2，当且仅当a=－1，b=2－时取等号． 故选B．

误点警示 此题容易错解如下：由已知可得直线过圆心（2，1），从而a+b=1，且a>0，b>0，+≥2=≥=4，故选D． 错误的原因是无法取到等号． 事实上+≥2成立，当且仅当b=2a时取到等号；≥成立，当且仅当b=a时取到等号，又a>0，b>0，这样的a，b不存在．

极速突击 用基本不等式求最值必须验证等号能否取到，一般当等号无法取到时，用基本不等式求最值无效，此时应改用其他变形手段设法能使其取到等号，或者利用函数单调性求最值．

（★★★★）必做8 函数f（x）=+2的最小值为_______.

精妙解法 要使f（x）=+2有意义，需x2－2x≥0且x2－5x+4≥0，所以f（x）=+2的定义域是｛xx≤0或x≥4｝． 当x≤0时， f（x）=+2是单调递减函数，在x=0处取最小值为4；当x≥4时， f（x）=+2是单调递增函数，在x=4处取最小值为1+2，比较得最小值为1+2．

极速突击 从定义域上突破，利用复合函数的单调性求最值．

金刊提醒

运用基本不等式解题时，既要掌握公式的正用，也要注意公式的逆用、活用，还要注意“添拆项”技巧和公式等号成立的条件等；基本不等式应用中一定要注意三个细节，即“一正二定三相等”，记住两个结论：“和定积最大”与“积定和最小”．

不等式恒成立与有解

（★★★）必做9 设函数f（x）=x3+x，x∈R，若当0≤θ≤时，f（msinθ）+f（1－m）>0恒成立，则m的取值范围是_________．

精妙解法 函数f（x）=x3+x，x∈R，易知f（x）为奇函数，所以f（msinθ）+f（1－m）>0可化为f（msinθ）>－f（1－m）=f（m－1），且f（x）在R上是增函数，所以msinθ>m－1，m（1－sinθ）<1． 因为0≤θ≤，所以sinθ∈［0，1］，当sinθ=1时，m∈R；当sinθ≠1时，m<，min=1，所以m<1． 综上所述，m的取值范围是（－∞，1）．

误点警示 f（msinθ）+f（1－m）>0可化为（msinθ）3+msinθ+（1－m）3+（1－m）>0，接下来不会因式分解化简． 因此，我们应充分考虑函数的性质．

极速突击 不等式恒成立问题，通常转化为求函数的最值，求最值有时要按参数分类讨论． 若采用分离变量法，再求最值，往往可避免分类讨论． 一般地f（x）>a对一切x∈D都成立?圳f（x）min>a； f（x）

（★★★★）必做10 已知函数f（x）=lnx－x+－1，g（x）=x2－2bx+4.当a=时，若对任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2），则实数b的取值范围是______．

精妙解法 因为f ′（x）=－－==－= －，又因为x∈（0，2），所以当x∈（0，1）时， f ′（x）<0，函数f（x）单调递减；当x∈（1，2）时， f ′（x）>0，函数f（x）单调递增，所以f（x）在（0，2）上的最小值为f（1）=－． 由于“对任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2）”等价于“g（x）在［1，2］上的最小值不大于f（x）在（0，2）上的最小值－”，即存在x∈［1，2］，使g（x）=x2－2bx+4≤－，即2bx≥x2+，即2b≥x+∈，，所以2b≥，解得b≥，即实数b的取值范围是，+∞．

误点警示 对条件“若对任意x1∈（0，2），存在x2∈［1，2］，使f（x1）≥g（x2）”不能正确转化是解题的误区，如把问题转化为“f（x1）min≥g（x2）max”．

极速突击 解决“全称命题”“特称命题”相关的试题时一般可以分成下面四步走：（1）实行变量分离，转化成求最值问题；（2）判断求最大值还是最小值：（3）求解f（x）的最值；（4）得出结论．

金刊提醒

高考不等式 篇7

我们知道, 使用基本不等式求最值时, 必须具备三个条件“一正二定三相等”, 即: (1) 在所求最值的代数式中, 各变量整体均应是正数; (2) 各变量整体的和或积必须为定值; (3) 各变量整体有相等的可能.但在具体运用基本不等式解题时, 我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式, 或者不便于利用题设条件, 此时需要对题中的式子适当进行恒等变形而巧妙地求出最值, 为此掌握基本不等式求最值的具体解题技巧显得十分重要, 笔者结合教学实践谈谈自己的做法.

1 领悟本质, 拓展变式

基本不等式的原型为 (a≥0, b≥0) , 其本质是刻划两个正数的和与积的不等关系, 所以运用基本不等式, 实质上是调和“和”与“积”的矛盾关系, 解题关键是将“和”与“积”进行相互转化.领悟了本质, 就是体会到这一重要不等式的精髓.但要能灵活运用, 首先还得认识了解它的各种变式及其特点.

变式4 a2+b2≥2ab (a∈R, b∈R) .

变式5

变式6

教学实践表明, 给学生强化上述各种变式的认识, 对掌握基本不等式核心思想是很有帮助的.这些变式表面上看只是原型的简单变形, 却可以起到启迪学生思维、开启学生思路的作用.

2 代入消元, 寻找定值

案例1 (2008年江苏第11题) 设x, y, z为正实数, 满足x-2y+3z=0, 则的最小值是__.

解由x-2y+3z=0得y=, 则

易知, 当且仅当x=3z时取等号.

所以的最小值是3.

反思变量太多, 首要任务看能否消元.通过三变量的关系式x-2y+3z=0, 解出变量y, 即用变量x, z来表示y, 从而达到消减变元的目的, 经过恒等变换, 寻找“和式”或“积式”的定值, 然后利用基本不等式放缩的方法求解代数式的最值.

3 和积互化, 解不等式

案例2 (2010年重庆理科第7题) 已知x>0, y>0, x+2y+2xy=8, 则x+2y的最小值是 () .

解因为2xy=x·2y≤, 又由x+2y+2xy=8得2xy=8- (x+2y) , 故8- (x+2y) ≤;令x+2y=t>0, 不等式化为t2+4t-32≥0, 解得t≥4.当且仅当x=2, y=1时取等号.选B.

反思本解法通过两变量间的关系式x+2y+2xy=8, 将“积式”2xy转化为“和式”x+2y, 然后利用基本不等式获得所求式子的不等式, 通过解不等式获得本题答案.这种解法的核心思想是获得所求变量或代数式的不等式, 其难点在于对其它变量或代数式的转化.

有时也需要将“和式”化为“积式”, 比如下面的案例3.

案例3 (2010年浙江文科第15题) 若正实数x, y, 满足2x+y+6=xy, 则xy的最小值是___.

解由基本不等式2x+y≥2 , 而由2x+y+6=xy得2x+y=xy-6, 故xy-6≥2 , 解得xy≥18, 则xy的最小值是18.当且仅当x=3, y=6时取得等号.

反思我们知道对两个正数而言“和定极大”、“积定和小”, 而联系“和式”和“积式”的桥梁正是基本不等式.因此, 通过适当的和积互化, 获得相关变量或代数式的不等式, 是利用基本不等式求最值的一种常见而又行之有效的策略.

案例4 (2010年重庆文科第10题) 若a, b, c>0, 且a2+2ab+2ac+4bc=12, 则a+b+c的最小值是 () .

解因为,

结合a, b, c>0, 故a+b+c≥, a+b+c的最小值是, 选A.

反思本案例较前面几例来说, 和积互化的思想显得更隐蔽, 难度也更大.然而如果学生对代数式的乘法公式非常熟悉, 将a2+2ab+2ac+4bc恒等变形为 (a+2b) (a+2c) , 接下来利用基本不等式将积式化为和式其实是很自然的想法.可见, 教师在平时给学生强化这种代数恒等变形的技巧是很必要的.

4 拆分重组, 合理凑配

案例5 (2010年四川文科第11题) 设a>b>0, 则的最小值是 () .

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

解因为a>b>0, 所以

反思根据的特点, 先减ab, 在加ab, 将其凑配成为两个乘积一定的式子的和, 然后分别利用基本不等式获得求解.虽技巧性强, 但有规律可循.

案例6 (2010年山东文科第14题) 已知x, y∈R+, 且满足=1, 则xy的最大值为___.

当且仅当x=, y=2时取等号, 故xy的最大值为3.

反思考虑到条件=1, 将xy凑配成12×, 然后分别利用基本不等式获得求解.

案例7 (2006年陕西理科第8题) 已知不等式 (x+y) ≥9对任意正实数x, y恒成立, 则正实数a的最小值为 () .

(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8

解因为

为使不等式 (x+y) ≥9对任意正实数x, y恒成立, 则必有1+a+≥9, 解得≤-4 (舍去) , 所以正实数a的最小值为4, 选B.

反思将展开, 拆分重组成, 其中1+a与变量x, y无关, 而具有“积定”的特征, 可以利用基本不等式求最值.这种拆分重组实际上是具有预见性的, 本题分母中的变量x, y与 (x+y) 相乘后会出现常数;这种拆分重组也具有目的性, 就是要出现“和定”或“积定”的特征, 本题具有“积定”的特征, 为下一步运用基本不等式提供了可能.

5 整体代换, 妙用常数

案例8 (2011年重庆理科第7题) 已知a>0, b>0, a+b=2, 则y的最小值是 () .

解依题意

6 多次运用, 关注等号

案例9 (2009年重庆文科第7题) 已知a, b>0, 则最小值是 () .

解因为

当且仅当, 即a=b时, 取等号.选C.

案例10 (2005年重庆理科第5题) 若x, y是正数, 则的最小值是 () .

解因为

当且仅当x=y=时取等号.故选C.

反思案例8采用“连环套式”两次运用基本不等式, 案例9同时三次运用基本不等式, 也是考查基本不等式的常见题型, 其关键思想仍是看准“定式” (一般是“积定”) , 进行合理组合, 多次运用.本策略因为多次运用基本不等式, 尤其要注意等号取得的条件.

7“常”化分子, 变量分离

案例11 (2010年山东理科第14题) 若对任意x>0, ≤a恒成立, 则a的取值范围是.

反思一般地, 当分子变量因子次数比分母的小且变量因子不为零, 都可采用同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化, 这一恒等变形往往会出现“积定的和式”, 转化成基本不等式求解, 从而使问题得以解决.当然这里的分子如果是一次式, 则可以将其设为整体, 通过换元法转化成基本不等式求解.如果出现分子变量因子次数比分母的相等甚至还大, 可以考虑变量分离.如下例:

案例12设x>-1, 求函数的最小值.

解因为

当且仅当x+1=时等号成立, 所以当x=1时, ymin=9.

总之, 我们若能让学生领悟基本不等式的本质, 熟悉其常见的变式, 结合上述分析归纳的解题策略和技巧, 破解高考对相关内容的考查应该不是难题.

当然基本不等式的运用还有其他方法, 比如待定系数法、三角代换法等等, 但感觉偏离了基本不等式的核心内容, 实际应用起来也不太方便, 并不广泛, 这里不在赘述.

参考文献

[1]张羽佳.均值不等式使用条件及其解题技巧[J].数学学习与研究, 2010, (24) .

一道高考不等式选讲题的解法探究 篇8

问题: 2015 年高考陕西卷理科第24 题 ( 选修4 - 5:不等式选讲) 已知关于x的不等式| x + a | < b的解集为{ x | 2 < x < 4} . (Ⅰ) 求实数a, b的值; (Ⅱ) 求的最大值.

( Ⅰ) 解法1: 由| x + a | < b, 得: - b - a < x <b - a.

则解得a=-3, b=1.

解法2:由|x+a|<b, 得:x2+2ax+a2-b2<0, 由韦达定理得:解得a=-3, b=1.

( Ⅱ) 由 ( Ⅰ) 得:

解法1: ( 函数导数法)

令, 解得其定义域为t∈[0, 4],

则, 解得t=1, 列表讨论:

所以, t = 1 时, ymax= 4, 即

解法2: ( 柯西不等式法) 大家知道二维形式的柯西不等式是 (a12+ a22) (b12+ b22) ≥ ( a1b1+ a2b2) 2, 所以由柯西不等式构造得出:, 即, 即当且仅当时取“= ”号, 即t = 1 时等号成立.

解法3: (向量法) 设, 由|a·b|≤|a|·|b|得:当且仅当时取“=”号, 即t=1时等号成立.

解法4: ( 三角换元法) 设, 则3x2+ y2= 12, 即, 所以令, 另一方面令, 由得:, 所以

解法5: ( 数形结合法) 设, 则, 再令z = x + y, 得y = - x + z, 由题意知线段y = - x + z与椭圆必有交点, 画图如图1 所示, 很明显相切时截距z最大, 过 ( 2, 0) 点时, 截距z最小;

联立方程组得:, 由Δ=0, 即4z2-4×4 (z2-12) =0;得z2=16, 得z=±4, 由图可以看出2≤z≤4, 即2≤x+y≤4, 也就是

解法6: (对偶式法) 令, 得它们的公共定义域为: t ∈ [0, 4], 可以看出在定义域t ∈ [0, 4]内为增函数; 所以, v2∈[0, 12], 但经过计算发现u2+ v2= 16, 所以u2= 16 - v2, 得u2∈[4, 16], 即4 ≤ u2≤ 16, 2 ≤ u ≤ 4, , 所以

解法7: (构造方差法) 令, 解得其定义域为t∈[0, 4], 其中再令, 则a2+3b2=4, y=a+3b, 设a, b, b, b四个正数的均值为, 则a, b, b, b四个正数的方差为:;大家知道方差S2≥0恒成立, 所以, 即-4≤y≤4, 所以

说明: 这里设是刻意为了使得与S2都可用y来表示的需求.

解法8: ( E ( ξ2) ≥E2 ( ξ) 法)

根据方差的定义可以推导如下不等式:

D (ξ) =E (ξ-E (ξ) ) 2=E (ξ2-2ξE (ξ) ) +E2 (ξ) =E (ξ2) -2E2 (ξ) +E2 (ξ) =E (ξ2) -E2 (ξ) , 因为D (ξ) ≥0, 所以E (ξ2) ≥E2 (ξ) .

在求含多元 (两元或两元以上) 变量最值题目中, 可以根据题目结构特征, 巧妙构造离散型随机变量的概率分布列, 利用E (ξ2) ≥E2 (ξ) 解决问题. (注E2ξ=[E (ξ) ]2)

令, 其定义域为t∈[0, 4].

令, 则a2+3b2=4, y=a+3b, 构造离散型随机变量ξ的分布列为:

则

得, 根据E (ξ2) ≥E2 (ξ) 得:, 即-4≤y≤4, 当且仅当a=b时, 即t=1时等号成立.所以

说明: 令与分布列中的概率p为都是为了题目的需要的刻意行为.

摘要：通过对一道2015年高考不等式选讲题的解法探究, 赏析用函数导数、柯西不等式、向量、三角换元、数形结合、对偶式、构造方差、E (ξ2) ≥[Ε (ξ) ]2等方法处理此类问题, 使学生了解初等数学的魅力, 增强学习数学的趣味性, 提升学习数学的积极性、主动性.

关键词：不等式,解题思路,数学魅力

参考文献

[1]张文海.一道取值范围问题的多种解法赏析[J].数理化学习, 2015 (9) :8-9.

[2]罗文军.一道2015年四川竞赛题解法的探究[J].数理化学习, 2015 (9) :19-20.

研究高考几种类型的不等式证明 篇9

例1已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+ (-1) n, n≥1, (1) 写出a1, a2, a3; (2) 求an; (3) 证明:对于任意的整数m>4, 有1/a4+1/a5+…+1/an<7/8.

二、导函数不等式

例2已知函数f (x) =x2+2/x+alnx (x>0) , f (x) 的导函数是f' (x) , 对任意两个不相等的正数x1, x2, 证明: (1) 当a≤0时, f[f (x1) +f (x2) ]/2>f[ (x1+x2) /2]; (2) 当a≤4时, ||f' (x1) -f' (x2) |>|x1-x2|.

三、n型不等式的证明

所谓n型不等式, 是指式中的n起着决定作用的不等式.它主要以数列的形式出现.通常采用的方法是:数学归纳法.

例3已知函数f (x) =- (a/6) x3+ (a/2) x2+x的图象关于 (1, 4/3) 中心对称, (1) 求f (x) ; (2) 令g (x) =f' (x) , xn+1=g (x) , 1<x1<2, n∈N*, 求证:

四、式型不等式证明

所谓式型不等式, 是指条件和结论都是以某种式的形式给出的不等式.它的条件主要以等式、不等式给出.通常采用的方法:放缩法.

高考不等式 篇10

例如, (新课标卷II第21题) 已知函数f (x) =ex-ln (x+m) 。 (1) 设x=0是f (x) 的极值点, 求m的值, 并讨论f (x) 的单调性; (2) 当m≤2时, 证明f (x) >0。

解析:本小题考查导数的几何意义考查利用导数研究函数的单调性以及运用导数法证明不等式等知识, 意在考查考生综合运用知识的能力以及转化与化归思想。

∴m=1, 此时f (x) =ex-ln (x+1) (x>-1) 。

所以f (x) 在 (-1, 0) 上为减函数, 在 (0, +∞) 上为增函数。

(2) 先证m=2时, f (x) >0。

当m=2时, f (x) =ex-ln (x+2) (x>-2) , 则:

故f (x) min>0, 所以f (x) >0。

∴f (x) min>0, 所以f (x) >0。

综上, 当m≤2时, 证明f (x) >0。

总之, 在高考中不等式的应用体现的是“工具性”的特点, 如果我们在平时的教学中多让学生体会它的“工具性”, 并对其进行合理的应用, 定能取得事半功倍之效。

事实上, 当函数或代数式具有“和是定值”“积是定值”的结构特点时, 可利用基本不等式求其最大值与最小值。再运用最值处理恒成立问题等。而在具体题目中, 一般很少考查基本不等式的直接应用, 而是需要对式子进行变形, 寻求其中的内在联系, 然后利用基本不等式得出结果。在利用基本不等式求最值时, 还要注意式子中a, b的取值范围。尤其是等号成立的三个条件:“一正二定三相等。”

高考不等式 篇11

关键词：导数；不等式；构造函数；参变分离

导数及其应用部分内容，在近几年的高考中已成为一个热点。试题比重逐年增加，考查形式也越来越灵活，题型从选择题、填空题到解答题均有涉及。借助导数这个载体达到了对函数、方程、不等式、解析几何等多个知识点的综合考查，实现了数形结合、分类讨论、函数与方程、转化与化归等多种数学思想的渗透。本文以近年来高考相关题型为例，探讨利用函数导数来研究函数的单调性、最值、极值，进而解决不等式证明和不等式中的求参数问题。

一、导数应用题型特点分析

通过对近几年来高考导数应用综合题型的分析和归纳，得出如下特点。

（1）借助导数研究函数的切线、单调性、极值、最值问题。含ex和lnx的函数出现频率越来越大。

（2）通过构造函数，参变分离利用导数研究方程及不等式的综合问题。

（3）题目通常含有参数，借助对参数的分类讨论拉开考生差距。

二、策略与方法

1.构造函数转化为利用导数研究最值问题

此类问题的关键和难点是在研究函数的单调性时对参数a讨论的分界线的划分。

以2010新课标全国卷22为例，参考答案给出的方法是利用不等式的方式解题，但学生对此很难把握，最后只能放弃。

（2010新课标全国卷22）设函数f（x）=ex-1-x-ax2，

（Ⅰ）若a=0,求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围。

解析：（Ⅰ）略。

针对（Ⅱ）， f（x)=ex-1-x-ax2 ，求导f′（x)=ex-1-2ax ， 需研究f′（x）的正负情况，把f′（x）看成一个函数对它进行求导，得f′′（x)=ex-2a

∵ x≥0，ex≥1

∴ f′（x）在[0，+∞）单调递增，f′（x） ≥f′（0）=0

又∵f′（x） ≥0，∴ f（x）在[0，+∞）单调递增

∴f（x） ≥f（0） =0在x∈[0，+∞）上恒成立

当0≤x≤ln2a时，f′′（x）≤0，x≥ln2a时，f′′（x）≥0

∴ f（x）在[0，ln2a]单调递减，在[ln2a，+∞）上单调递增

∴ f′（x） ≤f′（0）=0在x∈[0，ln2a]上恒成立

∴ f（x）在[0，ln2a]单调递减

∴ f（x）≤f（0）=0在x∈[0，ln2a]上恒成立

2.参变分离可以转化为m >f（x）或m

当x≥0时，f（x）≥0，即ex-1-x-ax2≥0在[0，+∞）上恒成立

若x=0时，不等式恒成立，a∈R

设g（x）=（x-2）ex+x+2，g′（x）=（x-2）ex+1

g′′（x）=xex>0在x∈（0，+∞）上恒成立

∴g′（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，g′（x）>g′（0）=0

∴g（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，g（x）>g（0）=0

∴h′（x）>0在x∈（0，+∞）上恒成立

∴h（x）>0在x∈（0，+∞）上单调递增

同样，2010辽宁理科21题也可以用上述两种方法进行求解。

（2010辽宁理科21） 已知函数f（x） =（a+1）lnx+ax2+1，

（I）讨论函数f（x）的单调性；

（II）设a<-1。如果对任意x1，x2 ∈（0，+∞）， f（x1）-f（x2）≥4x1-x2 ，求a 的取值范围。

解析：（Ⅰ）略。

（Ⅱ）可以利用两种方法解决。

利用构造函数法，不妨假设x1≥x2 ，而a ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，从而?坌x1，x2∈（0，+∞）， f（x1)-f（x2)≥4x1-x2 等价于?坌x1，x2∈（0，+∞） f（x2)+4x2≥f（x1)+4x1 ①

若x1≠x2，f（x1）-f（x2）≥4x1-x2 恒成立

总之，导数是解决不等式问题的一个很有用的工具，利用导数解决不等式的问题其实就是要适当的构造函数，运用导数来研究所构造函数的单调性，进而解决不等式中的问题。

参考文献：

［1］刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-2）. 北京：人民教育出版社，2005.

［2］纪乐刚.数学分析.上海：华东师范大学出版社，1993.

一道高考不等式证明题的几种证法 篇12

题目:2013年高考文科数学全国课标卷Ⅱ, 第24题 (选修4 -5:不等式选讲) 设a, b, c均为正数, 且a +b +c =1. 证明:

用基本不等式证明不等式时灵活性强、要求较高的技巧, 往往使许多学生不知从何入手。利用基本不等式解题的关键在于凑“定和”或“定积”, 运用“拆”“凑”“平衡”等方法使“和式”或“积式”变为定值, 把问题转化为基本不等式形式再来求解.

证法二:利用柯西不等式

排序不等式也是基本而重要的不等式, 它的思想简单明了, 便于记忆和使用, 许多重要不等式可以借助排序不等式得到证明.

在证明不等式时, 要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明, 不等式的证明方法很多, 解题时既要充分利用已知条件, 又要时刻瞄准解题目标, 只有兼顾条件与结论, 才能找到正确的解题途径.

摘要：在普通高中课程标准试验教科书《数学》 (不等式选讲) 专题介绍了一些重要的不等式 (基本不等式、柯西不等式、排序不等式) 及其应用。通过一道高考数学中出现的不等式证明试题, 从不同角度借助这些不等式对该题进行证明以加深对这些重要不等式数学本质的理解, 可提高学生的逻辑思维能力和分析问题能力、解决问题能力。

关键词：高中数学,柯西不等式,排序不等式

参考文献