绝对值不等式

绝对值不等式（共8篇）

绝对值不等式 篇1

在高中阶段绝对值不等式解法的教或学过程中, 对于含两个或两个以上绝对值的不等式, 形如

的不等式, 一般根据零点进行分段讨论, 但求解过程较长且易混淆交与并运算, 从而导致结果出错.本文结合绝对值不等式的性质, 通过构造恒等式求解这一类不等式, 求解过程简洁、直观.

首先我们回顾一下关于绝对值的两个基本性质.

(1) 绝对值的几何意义:在数轴上表示点x到点a距离;在数轴上表示点x到点a距离.

(2) 绝对值的基本性质公式:

式 (1) 、 (2) 左边的两个绝对值, 可以理解为数轴上点x到点x1距离与x到点x2距离, 则x与x1、x2 (不妨设x1

对于图 (1) , 可构造恒等式

对于图 (2) , 可构造恒等式

对于图 (3) , 可构造恒等式

其中, 表示两个零点之间的距离, 是一个定值.这样, 式 (1) 、 (2) 的求解问题就可以转化成分析数轴上哪些点到零点的距离大于或小于某个已知常数的问题.

例1不等式的解为 () .

分析:由题可知, 两个零点为-3, 2, 距离为5, 则x与-3、2之间的位置关系如图 (1) 或 (3) 所示.当x<-3时, 构造恒等式, 则原不等式可化为, 即表示x在-3的左侧且到-3的距离大于等于, 即, 如图 (4) 所示;

当x>2时, 构造恒等式, 则原不等式可化为, 即表示x在2的右侧且到2的距离大于等于, 即, 如图 (5) 所示.

综上所述, 原不等式的解为.

例3不等式2 的解为 ()

分析:例1与例2是两个绝对值相加类型的不等式, 例3则是两个绝对值相减类型的.两个零点为-3, 2, 距离为5.当x≤-3时, 构造恒等式, 则原不等式可化为, 即表示x在-3的右侧且到-3的距离大于等于-4, 故x≤-3;当-3

当x≥2时, 构造恒等式, 则原不等式可化为x-2≥11, 即表示x在2的右侧且到2的距离大于等于11, 即x≥13, 如图 (8) 所示.

综上所述, 原不等式的解为.

本文从绝对值的几何意义出发, 构造恒等式解决了式 (1) 、 (2) 型的绝对值不等式求解问题, 并通过实例求解了不同类型的绝对值不等式, 对该方法的应用进行了详细的示范.由此可见, 构造恒等式求解这一类绝对值不等式, 实际计算过程简便、直观, 准确率高且易于掌握.

绝对值不等式 篇2

知识与技能：

1.理解绝对值的三角不等式，2．应用绝对值的三角不等式．

过程方法与能力：

培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；提高分析问题、解决问题的能力.情感态度与价值观：

让学生通过对具体事例的观察、归纳中找出规律，得出结论，培养学生解决应用问题的能力和严谨的学习态度。

教学重点：理解绝对值的三角不等式

应用绝对值的三角不等式．

教学难点：应用绝对值的三角不等式．

教学过程：

一、引入：

证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：

（1）abab（2）abab

a

bab（3）abab（4）(b0)

请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质abab和a

ba

b(b0)可以从正负数和零的乘法、除法法则直

接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。因此，只要能够证明abab对于任意实数都成立即可。我们将在下面的例题中研究它的证明。

现在请同学们讨论一个问题：设a为实数，a和a哪个大？ 显然aa，当且仅当a0时等号成立（即在a0时，等号成立。在a0时，等号不成立）。同样，aa.当且仅当a0时，等号成立。含有绝对值的不等式的证明中，常常利用aa、aa及绝对值的和的性质。

定理（绝对值三角形不等式）如果a,b

是实数，则

ab≤ab≤ab

注：当a、b为复数或向量时结论也成立.特别注意等号成立的条件.定理推广：

a1a2an≤a1a2an

当且仅当都a1，a2，，an非正或都非负时取等号.探究：利用不等式的图形解不等式1.x1x11;2．x2y1..3．利用绝对值的几何意义，解决问题：要使不等式x4x3

二、典型例题：

例

1、证明（1）abab，（2）abab。

证明（1）如果ab0,那么abab.所以ababab.如果ab0,那么ab(ab).所以aba(b)(ab)ab

（2）根据（1）的结果，有abbabb，就是，abba。所以，abab。

例

2、证明 ababab。例

3、证明 abacbc。思考：如何利用数轴给出例3的几何解释？

（设A，B，C为数轴上的3个点，分别表示数a，b，c，则线段ABACCB.当且仅当C在A，B之间时，等号成立。这就是上面的例3。特别的，取c＝0（即C为原点），就得到例2的后半部分。）

探究：试利用绝对值的几何意义，给出不等式abab的几何解释？

含有绝对值的不等式常常相加减，得到较为复杂的不等式，这就需要利用例1，例2和例3的结果来证明。例

4、已知 xa

c

2,yb

c2，求证(xy)(ab)c.证明(xy)(ab)(xa)(yb)xayb（1）

xa

c2,yb

c2c2，c2

c（2）

∴xayb

由（1），（2）得：(xy)(ab)c 例

5、已知x证明x

a4a4,y

a6a6

.求证：2x3ya。

a2,3ya2a2a

2,y，∴2x，a。

由例1及上式，2x3y2x3y

注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。

三、小结：

借助图形的直观性来研究不等式的问题，是学习不等式的一个重要方法，特别是利用绝对值和绝对值不等式的几何意义来解不等式或者证明不等式，往往能使问题变得直观明了，帮助我们迅速而准确地寻找到问题的答案。关键是在遇到相关问题时，能否准确地把握不等式的图形，从而有效地解决问题。

四、练习：

1、已知Aa

2、已知xa

c2c

4,Bb,yb

c2c6

.求证：(AB)(ab)c。

.求证：2x3y2a3bc。

五、作业： 1．求证

ab1ab



a1a



b1b

ab1ab

.2．已知a1,b1.求证：1.3．若,为任意实数，c为正数，求证：(1c)(1

1c)

.（



2

2，而c2



1c



c

2

1c

）

4.a、b、c均为实数,ab,bc,ac,5.已知函数f(x)ax2bxc,当0≤x≤1时,f(x)≤1 求证:abc≤17 作业：导学大课堂练习

课后反思：绝对值不等式的证明

求证:≤

ab2cbc2aca2b

abbcca

含绝对值的不等式解题策略 篇3

一、 利用绝对值的定义|x|=x, x≥0,-x,x<0,以及常用的推论①|x|≥0;②|x|≥x;

③若|x|>a(a>0),则x>a或x<-a;若|x|0),则-a

例1 不等式xx+1>xx+1的解集是()

A. {x|x≠-1}

B. {x|x>-1}

C. {x|x<0且x≠-1}

D. {x|-1

解析 根据绝对值的性质,可知xx+1<0,即有-1

例2 解不等式|x2-3x-4|>x+1.

解析 由绝对值的性质,知x+1≥0,x2-3x-4>x+1

或

x+1≥0,x2-3x-4<-x-1

或x+1<0,

易得原不等式的解集为{x|x>5或x<3且x≠-1}.

二、 分类讨论.

例3 解关于x的不等式|loga(ax2)|<|logax|+2(a>1).

解析 根据对数的运算法则,可知原不等式即为|1+2logax|>|logax|+2.

令logax=t,则|1+2t|<|t|+2.

下面就1+2t与t的“零点”进行分类讨论:

① 当t<-12时,有-1-2t<-t+2,

所以t>-3,所以-3

② 当-12≤t<0时,有1+2t<-t+2,

所以t<13,所以-12≤t<0;

③ 当t≥0时,有1+2t

所以0≤t<1.

综上,得-3

即-31,所以1a3

三、 数形结合.

例4 (1) 已知关于x的不等式|x-4|+|x-3|

(2) 已知关于x的不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立,求实数a的取值范围.

解析 (1) 如图1,设实数x,3,4在数轴上对应的点分别为P,A,B,则y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|.

当P在A,B之间时,有|PA|+|PB|=1;

当P在A,B之外时,有|PA|+|PB|>1.

故有y≥1.

故按题意,只须a>1,即为所求.

图1 图2

(2) y=|x-4|-|x-3|

=1,x<3,7-2x,3≤x≤4,-1,x>4.

画其图像,如图2,可得-1≤y≤1.

故按题意,必须a<-1,即为所求.

四、 利用性质|a|2=a2及|a|>|b|a2>b2,使用平方法化去绝对值符号.

例5 已知00,a≠1,试比较|loga(1-x)|和|loga(1+x)|的大小.

解析 |loga(1-x)|2-|loga(1+x)|2=[loga(1-x)+loga(1+x)][loga(1-x)-loga(1+x)]=loga(1-x2)•loga1-x1+x.

因为0

所以无论01,都有loga(1-x2)•loga1-x1+x>0.

故|loga(1-x)|>|loga(1+x)|.

五、 利用性质|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,对不等式进行“放大”或“缩小”.

例6 设二次函数f(x)=ax2+bx+c对一切x∈[-1,1],都有 |f(x)|≤1,证明:对一切x∈[-1,1],都有|2ax+b|≤4.

解析 从|f(x)|≤1到|2ax+b|≤4,需通过一些特殊的函数值来建立关系,如f(0),f(-1),f(1)等.

由于|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,即|c|≤1,|a+b+c|≤1,|a-b+c|≤1,

则|2a+2c|≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2,即|a+c|≤1,

所以|2a+b|=|(a+b+c)+(a+c)-2c|≤|a+b+c|+|a+c|+|2c|≤4, |2a-b|=|(a-b+c)+(a+c)-2c|≤|a-b+c|+|a+c|+|2c|≤4,

又当x∈[-1,1]时,|2ax+b|≤min{|2a+b|,|2a-b|},所以|2ax+b|≤4.

巩 固 练 习

1. 解不等式||x-2|-4|<2.

2. 求不等式|x-2|-|2x+1|>1的解集.

3. 已知a∈R,若关于x的方程x2+x+a-14+|a|=0有实根,求a的取值范围.

4. 已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当x∈[-1,1]时,有|f(x)|≤1.

(1) 求证:|c|≤1.

含有参数的绝对值不等式解法举例 篇4

普通高中课程 标准实验 教科书《数学》( 选修4 5) ———《不等式选讲》第20页的第9题是:

如果关于x的不等式︱x - 3︱ + ︱x - 4︱ < a的解集不是空集,求参数a的取值范围.

解法二令f( x) = | x - 3 | + | x - 4 | ,即

作出函数的图像( 如图) ,它是分段线段函数.

由图像可知,当a > 1时,原不等式有解.

解法三由绝对值三角不等式可知:

︱x - 3︱ + ︱x - 4︱ = ︱x - 3︱ + ︱4 - x︱≥︱( x 3) + ( 4 - x) ︱ = 1.

要使︱x - 3︱ + ︱x - 4︱ < a的解集不是空集,只需使a > 1.

本题还可以做以下变式:

︱x - 4︱ + ︱x - 3︱ < a的解集为

变式1: 若关于x的不等式︱x - 4︱ + ︱x - 3︱ > a恒成立,求参数a的取值范围.

解令f( x) = ︱x - 4︱ + ︱x - 3︱.

因为︱x - 4︱ + ︱x - 3︱≥1,

所以fmin( x) = 1.

若要使原不等式恒成立,只需使fmin( x) > a即可.

即 a < 1.

变式2: 若关于x的不等式︱x - 4︱ + ︱x - 3︱ < a的解集为,求参数a的取值范围.

若要使原不等式的解集为,只需使

变式3: 若关于x的不等式︱x - 3︱ - ︱x - 4︱ > a有解,求参数a的取值范围( a < 1,解略) .

变式4: 若关于x的不等式︱x - 3︱ - ︱x - 4︱ < a恒成立,求参数a的取值范围( a > 1,解略) .

变式5: 若关于x的不等式︱x - 3︱ - ︱x - 4︱ > a的解集为求参数a的取值范围( a≥1,解略) .

题型二

︱x2+ 2x - 3︱ > a.

对一道绝对值不等式题的思考 篇5

解 (1) 因为x∈[0, 2], |f (x) |的最大值为M,

由 (1) , (2) 得

把p=-2代入 (2) , (3) 得

思考1若把x∈[0, 2]改为x∈[m, n], 其它条件不变, 结果如何?

分析 (1) 由题意得

由结论1和结论2, 我们可以得到更一般的结论:

绝对值不等式 篇6

1. 利用微分中值定理

在定积分不等式的证明问题中, 如果已知函数具有高阶导数, 并且给出了函数的零点, 可以考虑利用微分中值定理, 对相关的表达式进行转化.

例1设f ( x) 在[0, 1]上有连续的二阶导数, f ( 0) =f ( 1) = 0, 当x ∈ ( 0, 1) 时, f ( x) ≠ 0, 证明:

证明记M = maxx∈[0, 1]f ( x) , 由已知条件, 存在c ∈ ( 0, 1) , 使f ( c) = M. 由拉格朗日中值定理, 有

于是有

从而

2. 利用积分中值定理

如果给定的积分表达式中, 定积分的系数恰好是积分区间长度的倒数, 那么, 首先考虑利用积分中值定理, 消去积分号, 对积分表达式进行简化处理.

例2设a > 0, f ( x) 在[0, a]上有连续的导函数,

3. 利用分部积分法

如果被积函数含有导数的形式, 可以考虑利用分部积分法对定积分进行转化, 而这往往又需要结合其他的一些变形技巧.

例3设f ( x) 在[0, 1]上有连续的导函数, 证明

所以

故

4. 利用换元积分法

如果被积函数中含有sin ( t2) 或cos ( t2) 这类无法直接求出原函数的因子, 可以考虑利用换元积分法进行转化.

证明作变换t2= x, 则

5. 利用Cauchy不等式

利用基本不等式, 如Cauchy不等式, 也可以证明另外一些不等式.

例5设f ( x) 在[0, 1]上有连续的导函数, 且f ( 0) =f ( 1) = 0, 则对任意的 ξ ∈ ( 0, 1) , 都有

6. 利用辅助函数

如果被积函数中出现函数与其导数的和或差, 往往可以借助因子ex或e- x, 构造辅助函数, 再利用定积分的基本性质进行处理.

例6设f ( x) 在[0, 1] 上连续可导, 且f ( 0) = 0, f ( 1) = 1, 证明:

证明构造辅助函数F ( x) = e- xf ( x) , 则

以上例子利用各种不同的方法证明了具有不同特征的绝对值积分不等式. 但还有很多其他形式的此类不等式尚未讨论, 在遇到的时候需要具体分析. 在证明积分不等式时, 往往需要综合运用多种不同的方法和知识点来解决, 这也需要多思考, 多总结, 在不断的练习和实践中提高学生的分析和解决问题的能力.

摘要：通过实例, 分别介绍了微分中值定理、积分中值定理、分部积分法、换元积分法、基本不等式以及构造辅助函数等在绝对值积分不等式证明中的应用.

关键词：定积分,积分不等式,中值定理,分部积分,换元积分

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (上册) [M].6版.北京:高等教育出版社, 2007.

[2]王钦, 李睿芳.一个特定型定积分不等式的若干推广[J].大学数学, 2013, 29 (1) :106-110.

[3]殷建峰.一些特殊积分不等式证明的探讨[J].兰州文理学院学报 (自然科学版) , 2014, 28 (1) :23-26.

[4]肖应雄, 高峰.一类积分不等式及其推广应用[J].湖北工程学院学报, 2014, 34 (6) :112-115.

[5]李志飞.积分不等式的证明[J].高等数学研究, 2014, 17 (6) :50-51.

绝对值不等式 篇7

1. 教学内容分析

本节课是人教A版选修4-5第一讲中“绝对值三角不等式”的第一课时, 该选修模块的特点是通过创设恰当的问题情境, 引导学生进行操作、观察、猜想、探究和运用, 注重培养学生的思维能力、创新意识和应用意识, 对本节课的编写, 则更突出对学生探究意识和能力的培养.

绝对值是与实数有关的一个基本而重要的概念.绝对值三角不等式|a+b|≤|a|+|b|既是一个基本的结论, 又是知识承上启下的一个生长点.承上:学生在初中就已经接触和学习了实数的绝对值的定义及其几何意义;启下:绝对值三角不等式是证明有关绝对值不等式的基础和基本方法.

2. 教材目标、教学重难点

(1) 教学目标:

(1) 学生能借助实数a的绝对值 (|a|) 的几何意义, 在数轴上标出|a|, |b|, |a+b|并探究出|a+b|≤|a|+|b|.

(2) 学生能运用数与形结合的方法理解并证明绝对值三角不等式 (定理1) , 能利用定理1解决简单的相关问题.

(3) 学生通过本节课探究活动的学习, 能提升对数学问题的探究意识, 并能自己找到探究问题的思路与方法.

(2) 教学重点:定理1 (|a+b|≤|a|+|b|) 的生成与绝对值不等式的几何意义.

(3) 教学难点:定理1和定理2的发现与证明.

3. 学情分析

学生虽然在初中接触过绝对值的定义与几何意义, 但对于绝对值不等式没有深入研究过, 所以本节课的知识对学生来说比较新鲜.同时, 利用几何意义探究绝对值不等式相关问题的方法对学生来说比较困难.

4. 教学辅助

多媒体辅助、实物投影仪.

二、教学过程

1. 情境引入

复习回顾|a|的定义及几何意义, 抛出问题1:设a, b是任意两个实数, 则|a-b|的几何意义是什么?

【设计意图】以学生所熟悉的知识作为情境引入, 亲切自然, 更重要的是启发学生不仅能从代数角度认识绝对值, 还能从几何角度理解绝对值的意义, 同时, 通过从|a|的几何意义到|a-b|的几何意义的拓展, 让学生从数轴上一个点到原点的距离的认识上升为数轴上任意两点间的距离.此问题的解决, 为后面|a+b|的理解提供了思路, 也为整堂课的几何探究和几何解释埋下伏笔.

【设计意图】实数的绝对值是区别于实数的一个新概念, 我们需要从“运算”的角度认识和考察这一概念.类比实数运算性质, 再通过绝对值乘除运算性质, 猜想绝对值的加法运算性质是否成立, 从而形成思维冲突, 进行探究.

2. 数学建构

问题探究1:你能发现|a+b|与|a|+|b|之间有什么关系?请你予以论证说明.

【设计意图】这是本节课探究的重点, 也是难点, 学生可以从代数和几何这两个角度进行探究与论证.根据数形两个方面的认识, 能加深学生对不等式的数学本质的理解, 提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力.

生1:举特例 (1) a=1, b=2, (2) a=-1, b=2, (3) a=-1, b=-2发现|a+b|≤|a|+|b|. (这种思想方法主要体现了学生的数学直觉, 从特殊到一般, 归纳数学结论)

生2:通过两边的平方进行比较得出结论|a+b|≤|a|+|b|.

当ab≥0时 (|a|+|b|) 2-|a+b|2=0, 当ab<0时 (|a|+|b|) 2-|a+b|2=-4ab>0.

又|a+b|与|a|+|b|都是非负数,

故当ab≥0时|a|+|b|=|a+b|, 当ab<0时|a|+|b|>|a+b|.

生3:从数轴上看它们的几何意义发现结论|a+b|≤|a|+|b|.

当ab>0时, 易知|a|+|b|=|a+b|.如图:

当ab<0时, 不妨设a>0>b, 易知|a|+|b|>|a+b|.如图:

如果ab=0, 则a=0或b=0, 此时显然有|a|+|b|=|a+b|.

经过师生的共同探讨, 得出定理1:

如果a, b是实数, 则|a+b|≤|a|+|b|, 当且仅当ab≥0时, 等号成立.

【设计意图】根据课程标准的要求, 本专题更注重不等式及其证明的几何意义和背景.用向量模的形式给出不等式关系, 可以比较巧妙地将不等式用图形中的几何量表示出来, 从而实现数与形的有机结合.正是由于定理1与三角形之间的这种联系, 我们将其中不等式的名称称为绝对值三角不等式.同时通过这个问题的探究可以让学生的思维从一维扩展到二维.

问题探究3:根据前面的探究思路, 你还能探究出|a|, |b|, |a+b|, |a-b|等之间的哪些关系?

【设计意图】这个问题在学生的最近发展区设计, 意在培养学生提出问题、分析问题、探究问题的意识和能力.学生可以在前面探究的基础上, 进一步通过自主探究发现结论, 并予以证明.

生1:由|a+b|≤|a|+|b|的几何理解“三角形两边之和大于第三边”, 我联想“三角形两边之差小于第三边”, 故应有|a|-|b|≤|a-b|.

生2:因为a, b∈R, 我将|a+b|≤|a|+|b|中的b用-b来代换, 所以得到|a-b|≤|a|+|b|.

生3:由生2同学的代换想法, 将|a+b|≤|a|+|b|变形得到|a+b|-|b|≤|a|, 再将a-b代换a就可得到|a|-|b|≤|a-b|.

生4:在数轴上, 我观察|a|, |b|, |a+b|, |a-b|的几何意义, 发现它们的大小关系|a|-|b|≤|a±b|.

师:同学们的回答很精彩, 思路也很开阔.对于表象上是数的绝对值不等式关系, 同学们从代数的角度进行变形、数的代换等方法得到相关结论, 还从形的角度发现和论证结论, 尤其是以形助数更为直观, 这样, 我们可以总结得到如下结论:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

3. 数学运用

例1求证: (1) |a+b|+|a-b|≥2|a|;

【设计意图】学生对新知识的接受和理解, 需要经历实例或练习的体验才能真正同化知识.

例2求证:如果a, b, c是实数, 那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|, 当且仅当 (a-b) (b-c) ≥0时, 等号成立.

【设计意图】合理使用教材中的内容 (定理2) , 把定理2以例题的形式给出, 让学生体验定理1的作用, 也认识到定理2可看成定理1的一个推论, 且更具有一般性, 同时揭示了两个定理之间的本质联系.

生1:两边平方作差比较.

师:平方法是去绝对值的一个办法, 但是一次平方后仍有绝对值, 若再平方, 运算将带来比较大的麻烦, 同学课后可以尝试一下.

生2:直接运用定理, 左边=a-b+b-c≤|a-b|+b-c=右边, 当且仅当 (a-b) (b-c) ≥0时, 等号成立.

师:观察很敏锐, 这个问题形式上和定理保持了一致性, 所以可以借助定理证明, 这名同学可谓“现学现用”啊!那么, 这个结论和定理之间是否有着内在的关系呢?你能否进行合理解释?

生:令b=0, 再用-c代换c就得到定理了.

师:非常妙的解释!令b=0, 就将三元问题转换成二元问题了.再从几何角度又怎么解释?

生:在数轴上, 只要将b对应点移到原点就得到定理了.

师:漂亮!由此看来, 这个结论可以看成是定理的一个推广, 它同样也有着重要的作用, 我们也把它当成一个定理.

练习:已知ε>0, x-a<ε, y-b<ε, 求证:|2x+3y-2a-3b|<5ε.

【设计意图】此题的形式上字母比较多, 但形式上跟定理很接近, 意在让学生联系所学, 确定目标, 将问题进行合理转化, 同时体会放缩法的思想.

4. 课堂总结 (师生共同)

(1) 我们学习了含绝对值不等式的两个重要定理, 探究出了|a|, |b|, |a+b|, |a-b|等之间的关系.

(2) 我们从代数和几何两个方面研究了绝对值不等式的相关性质, 并能从几何意义上发现和理解其性质.

(3) 同学们通过自主探究, 发现并论证了含绝对值的相关不等式, 这一过程中, 大家运用了从特殊到一般的思想方法, 从类比和联系的角度发现新问题, 寻求解决问题的方法, 较好地体现了数学思维的创造性和严谨性, 以及解决数学问题的一般思路与方法.

三、教学后记

问题是数学的心脏, 本节课的教学设计以“问题串”形式呈现, 发展学生认知, 形成能力.课堂教学以绝对值不等式的几何意义和背景为主线, 以加深学生对绝对值不等式数学本质的理解, 此为明线.而培养学生的提出问题和探究问题的能力, 则成为了教学的暗线.

数量关系和空间形式是数学研究的两个重要方面, 对于不等式, 我们一般借助于代数方法证明, 但一般不能很直接地看出其中的数量关系, 而借助于几何图形, 往往能很好的指明不等关系, 从而能更直观地理解不等式.所以引导学生对一个数学问题从几何角度去思考, 并找到解决问题的途径成为了课堂教学方向的一个重点.

在以往的教学实践中, 比较突出的问题是学生被动地接受式学习, 教师的满堂灌现象比较严重, 学生的发问意识不强, 独立解决问题的能力也不强, 针对这种情况, 本节课的教学中多次设置了问题探究, 意在鼓励学生主动探究, 引导学生通过类比、联系等方式提出问题、分析问题和解决问题.

绝对值不等式 篇8

一、课题引入

在中等职业学校国家规划教材高一《数学》第一册 (基础版) 第二章2.5“含绝对值的不等式”一节中, 课题引入是:观察, 看图2—7, 选用符号“≤、≥、<、>”填入空格

我以往在教学中将问题直接拿出来, 让学生填空完成, 由此问题的解决抽象出解含绝对值不等式的公式:一般地, 对于正实数a有

在新课程理念下, 我是这样引入的“学生小张与小李都位于同一条南北走向的平直跑道上, 已知小张在跑道的O处, 小李与小张相距5米远。”请同学们用自己的方式向大家说明一下小李相对于小张的位置。”

学生在解决这个问题时, 可用多种方式, 如语言描述、手势、作示意图等。这个问题几乎全部同学都能解决 (多数同学用的是图示法) 。然后要求学生把这个问题用数学形式的图示进行表述, 这时就有些同学不知从何着手了, 老师可以适当地进行提示, 在提示的情况下多数同学还是能用数轴把这个问题展示出来。数轴表示跑道, 小张在原点O处, 小李就在数轴上的5与-5两个实数所对应的点的位置。教师进一步引导, 如果我们用字母X来表示5与-5两个实数, 那么这个问题可进一步用一个怎样的数学式子表示?多数学生容易想到用|X|=5来表示。由此引导学生回忆初中时学过的实数绝对值的几何意义。由绝对值的几何意义得出:

抽象出含绝对值不等的一般公式:

这样引入有些罗嗦, 但相对于基础较差的中职学生, 一是有助于调动大多数学生的参与意识;二是能逐步引导学生回忆和应用以前的知识, 有承上启下的作用。

二、例题的处理

教材上的三个例题以前是对照公式, 教师在黑板前边讲边板书, 学生只是充当了听众, 在讲的过程中随时提一些小问题, 有的学生还能回答上几句, 有的根本不来气, 学生处于一种被动状态。在我尝试新的课堂上, 书上的例题我采取的是“我来做例题”的形式, 让学生自己上台讲解, 给学生一个从不同层面展示自己的机会。先让学生思考几分钟, 然后选取学生到黑板前书写解题过程并进行讲解, 完成后让下面听的学生进行点评, 更正或完善。在这一过程中, 我尽量鼓励学生上讲台展示自己, 展示自己整洁的板书, 展示自己流畅的表达能力, 展示自己的智慧;哪怕你做错了, 觉得出丑了也没有关系, 这是对自己的一种煅练。在这个过程中正确认识和处理自己的成功与失败, 重树自信。比如书上的例3解不等式|2X+5|>4, 有一位同学是这样解的:设|2X+5|=4解得X=-9/2或X=-1/2;因此|2X+5|>4的解集是X<-9/2或X>-1/2;然后我让他向全班同学讲解了他的思维过程:由前面联想到不等式的解集与方程的根应该有联系, 通过前两道例题的试解发现自己的猜想是正确的, 要解一个含绝对值的不等式, 先把它变成方程, 如果不等式是用小于符号连接的, 解集是方程这两根之间的一切实数;用大于符号连接的, 解集是小于小根, 大于大根的并集。虽然他的这一过程并不十分严谨, 但充分体现了学生在学习上的主体意识, 体现学生自身知识的建构过程。而这一方法也比较适合于困难学生, 他们只要会解含绝对值的方程, 然后在数轴上找到两根, 记住一句口诀“大于取两边, 小于取中间”就行了, 就可以很容易地得到含绝对值的不等式的解集, 使他们觉得新知识的掌握并不困难。

三、巩固练习与分层教学

练习题目的设置从难易程度上大致分三个层次, 题目形式上分两组。一组是含绝对值的不等式,

一组是一元二次不等式 (1) (X-3) 2<16; (2) X2-2X-1>0;

练习题目在书上练习题的基础上进行了适当的调整和增减, 要求学生根据自己的实际情况进行选作。在学生完成练习的过程中鼓励学生相互讨论, 教师深入学生进行情况了解和适当指导, 指导过程中要特别关注学习困难的学生, 让他们从心理上感觉到来自教师的关心和鼓励, 感觉到教师对他们绝不放弃的态度。在练习点评时注意两点:首先, 简明扼要, 指出常见的问题;其次, 求异, 要求学生对同学中不同的解法进行比较, 找出自己觉得最好或最适合自己掌握的方法。在学生对知识的理解、记忆、掌握和应用上, 教师不要刻意地去说明或强调哪种思路、方法好或不好, 应该让学生自己在比较的基础上去选择最适合于他自己的思路和方法。

四、课堂小结