用定积分证明不等式

2024-05-22

用定积分证明不等式（通用7篇）

用定积分证明不等式篇1

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摘要

在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．

关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性

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ABSTRACT

When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper the proof methods of integral inequality are organized systematically to combine the knowledge of elementary mathematics and higher mathematics better.Also our horizons can be broadened,thinking can be divergencied and innovation ability can be improved,so as to improve our efficiency of problem solving.The paper is completed by referring to relevant literature,comparing and analysing related content, complementing and promoting related content.In this paper ,two important integral inequalities along with their proof methods are given first,and then eight approaches to proof integral inequalities are introduced,such as concavity and convexity of function,method of auxiliary function,important integral inequality, integral mean value theorem, integral property, Taylor formula,double integral and differential mean value theorem.Finally,the full paper is summarized．

Key words: Integral Inequality, Definite Integral,Mean Value Theorem，Cauchy-Schwarz Inequality, Monotonicty

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1.引

言

不等式在数学中有着重要的作用,在数量关系上,尽管不等关系要比相等关系更加普遍的存在于人们的现实世界里,然而人们对于不等式的认识要比方程迟的多.直到17世纪之后,不等式的理论才逐渐的成长起来,成为数学基础理论的一个重要组成部分.众所周知,不等式理论在数学理论中有着重要的地位,它渗透到了数学的各个领域中,因而它是数学领域中的一个重要的内容.其中积分不等式更是高等数学中的一个重要的内容．

实际上关于定积分的概念起源于求平面图形的面积和一些其他的实际问题.有关定积分的思想在古代就有了萌芽,比如在公元前240年左右的古希腊时期,阿基米德就曾经用求和的方法计算过抛物线弓形和其他图形的面积.在历史上,积分观念的形成要比微分早.然而直到17世纪后半期,较为完整的定积分理论还没有能够形成,一直到Newton-Leibniz公式建立之后,有关计算的问题得以解决后,定积分才迅速的建立并成长起来．

本论文研究的积分不等式结合了定积分以及不等式.关于它的证明向来是高等数学中的一个重点及难点.对积分不等式的证明方法进行研究，并使其系统化，在很大程度上为不同的数学分支之间架起了桥梁.深刻的理解及掌握积分不等式的证明方法可以提升我们对其理论知识的理解,同时可以提高我们的创造思维和逻辑思维．

在论文的第三部分中对积分不等式的证明方法进行了详细的阐述.分别从利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理、利用定积分的性质这八个方面给出了例题及证明方法.这样通过几道常见的积分不等式的证明题,从不同的角度,用不同的方法研究、分析了积分不等式的特点,归纳总结出了其证明方法.同时论文中也对有的题目给出了多种证明方法,这启示我们对于同一道积分不等式而言它的证明方法往往不止一种,我们需要根据实际情况采用合适的方法去证明,从而达到将问题化繁为简的目的．

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2.几个重要的积分不等式

在高等数学的学习中我们遇到过许多重要的积分不等式,如Cauchy-Schwarz不等式,Young不等式等.它们的形式及证明方法都有很多种,在这一小结中我们将给出这两种积分不等式的证明方法．

2.1 Cauchy-Schwarz不等式

无论是在代数还是在几何中Cauchy-Schwarz不等式的应用都很广泛,它是不同于均值不等式的另一个重要不等式．其形式有在实数域中的、微积分中的、概率空间,F,P中的以及n维欧氏空间中的4种形式.接下来在这一部分中我们将对其在微积分中的形式进行研究．

定理2.1[1] 设f(x), g(x)在[a,b]上连续,则有

[f(x)g(x)dx]2{[f(x)]2dx} {[g(x)]2dx}．

aaabbb证明：要证明原不等式成立,我们只需要证



设Ftt2abaf2xdxat2bbgxdxfxgxdx0成立． a 222tfxdxgxdxfxgxdx,则只要证FbFa成立，aa由Ft在[a,b]上连续,在a,b内可导,得

Ftf2tg2xdxg2tf2xdx2ftgtfxgxdxaaa2222ftgx2ftgtfxgxgtfxdx atttt

ftgxgtfxdx0．

(2.1)a由(2.1)式可知Ft在[a,b]上递增,由ba,知FbFa,故原不等式成立．

证毕

实际上关于Cauchy-Schwarz不等式的证明方法有很多,这里我们采用的证明方法是较为普遍的辅助函数法,它将要证明的原积分不等式通过移项转变为了判断函数在两个端点处函数值大小的问题．通过观察我们可以进一步发现原Cauchy-Schwarz不等式能够改写成以下行列式的形式 t2 4 南通大学毕业论文

fxfxdxgxfxdx0，aabbbafxgxdxgxgxdxab由此我们可以联想到是否可以将它进行推广？答案是肯定的.下面我们将给出

CauchySchwarz不等式的推广形式．

定理2.2[2] 设fx,gx,hx在a,b上可积,则

hxfxdxfxgxdxgxgxdxhxgxdx0． fxhxdxgxhxdxhxhxdxaaabbbaaabbbaaabfxfxdxbgxfxdxb 证明：对任意的实数t1,t2,t3,有

bat1fxt2gxt3hxdx

bbbaaa2t12f2xdxt22g2xdxt32h2xdxbbaa

ba2t1t2fxgxdx2t1t3fxhxdx2t2t3gxhxdx0．注意到关于t1,t2,t3的二次型实际上为半正定二次型, 从而其系数矩阵行列式为

babbaf2xdxbagxfxdxabhxb2fxdx

xfxhfaxgxdxdxbab2agxdxbaxhag0x．d x证毕 xdxgxhxdxh以上的推广是将Cauchy-Schwarz不等式的行列式由二阶推广到了三阶的形式,事实上Cauchy-Schwarz不等式是一个在很多方面都很重要的不等式,例如在证明不等式,求函数最值等方面.若能灵活的运用它则可以使一些较困难的问题得到解决.下面我们会在第三部分给出Cauchy-Schwarz不等式及其推广形式在积分不等式证明中的应用．

除了Cauchy-Schwarz不等式之外还有很多重要的积分不等式,例如Young不等式,相较于Cauchy-Schwarz不等式我们对Young不等式的了解比较少,实际上它也具有不同的形式且在现代分析数学中有着广泛的应用.接着我们将对Young不等式进行一些研究．

2.2 Young不等式

Young不等式,以及和它相关的Minkowski不等式,HÖlder不等式,这些都是在现代分

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析数学中应用十分广泛的不等式,在调和函数、数学分析、泛函分析以及偏微分方程中这三个不等式的身影随处可见,是使用得最为普遍,最为平凡的知识工具.下面我们将给出积分形式的Young不等式的证明．

定理2.3[3] 设f(x)在[0,c]（c0）上连续且严格递增,若f(0)0,a[0,c]且b[0,f(c)],则0f(x)dx0f1(x)dxab,其中f1是f的反函数,当且仅当bf(a)时等号成立．

证明：引辅助函数g(a)abf(x)dx，(2.2)

0aab把b0看作参变量,由于g(a)bf(a),且f严格递增,于是

当 0af1(b)时,g(a)0；当 af1(b)时,g(a)0；当 af1(b)时,g(a)0．因此当af1(b)时,g(a)取到g的最大值,即

gamaxgxgf1b

(2.3)

由分部积分得

f1(b)f1(b)0g(f(b))bf(b)作代换yf(x),上面积分变为

11f(x)dx0xdf(x)，g(f1(b))f1(y)dy，(2.4)

0b将(2.2)式和(2.4)式代入(2.3)式得

abf(x)dxf(y)dyf1(x)dx，000ab1b即f(x)dxf1(x)dxab．证毕

00ab 6 南通大学毕业论文

3.定积分不等式常见的证明方法

关于积分不等式的证明方法较为繁多,难度及技巧性也较大,因此对其进行系统的归纳总结是很有必要的．在这一部分中我们将归纳出利用辅助函数、微分中值定理、重要积分不等式及积分中值定理等证明积分不等式的方法．

3.1 利用函数的凹凸性

在数学分析以及高等数学中,我们常常会遇到一类特殊的函数—凸函数．凸函数具有重要的理论研究价值和广泛的实际应用,在有些不等式的证明中,若能灵活地利用凸函数的性质往往能够简洁巧妙的解决问题．下面给出一个例子加以说明．

定理3.1 若t定义在间隔m,M内,且t0,则t必为下凸函数．

定理3.2 设fx在[a,b]上为可积分函数,而mf(x)M．又设t在间隔mtM内为连续的下凸函数,则有不等式

1b1bfxdxfxdx． aabababb例3.1[4] 设fx在a,b上连续,且fx0,求证：fxdxaa12dxba． fx证明: 取u112, 因为u20,u30,u0 uuu即在u0时,yu为凸函数,故有

1b1bfxdxfxdx，aabababa即fxdxabba1dxbbfx12dxba．

证毕，故fxdxaafxba在上述的题目中我们可以发现在证明中常常先利用导数来判断函数的凹凸性,然后再利用凹（凸）函数的性质来证明不等式．然而对于实际给出的题目,我们往往需要先构造一个凹（凸）函数,然后才能利用其性质来证明我们所要证明的问题．

3.2 辅助函数法

辅助函数法是积分不等式证明中的一种非常重要的方法,往往我们会根据不等式的特点,构造与问题相关的辅助函数,考虑在相同的区间上函数所满足的条件,从而得出欲证明

南通大学毕业论文的结论．在第二部分中我们用辅助函数法对Cauchy-Schwarz不等式进行了证明,下面将对用辅助函数法证明积分不等式进行进一步的探讨．

例3.2.1[5] 设函数fx在区间0,1上连续且单调递减,证明：对a(0,1)时, 有： fxdxaf(x)dx．

00a11x证明：令Fxf(t)dt 0x1,由fx连续,得Fx可导

x0则Fxfxxftdt0xx2 fxxfxfxf ,(0x)． 2xx因为f(x)在[0,1]上单调减少,而0x,有fxf, 从而Ft0,Fx在(0,1]上单调减少,则对任意a(0,1),有F(a)F(1)．即

a111af(x)dxafxdx．证毕 a,两边同乘即得f(x)dxfxdx,0000a本题根据积分不等式两边上下限的特点,在区间(0,1)上构造了一个辅助函数,进一步我们可以思考对于一般的情形,该题的结论是否依然成立呢？答案是肯定的.例3.2.2 设函数fx在区间0,1上连续且单调递减非负,证明：对a,b(0,1),且0ab1时,有: fxdx0aabf(x)dx． ab证明：令FxFx1xf(t)dt,0x1,由fx连续,得Fx可导, 则 x0x0fxxftdtx2 fxxfxfxf ,(0x)． 2xx因为f(x)在[0,1]上单调减少,而0x,有fxf,从而Ft0,Fx在(0,1]上单调减少,则对任意0ab1,有F(a)F(b),即

1a1b ftdtftdt．

(3.1)

a0b0由f非负,可得fxdxfxdx．

(3.2)0abb结合(3.1)式和(3.2)式可得即a1a1bfxdxfxdx． a0ba0abfxdxfxdx．

证毕

babbaa例3.2.3[6] 函数f(x)在[a,b]上连续,且fx0 试证：f(x)dx 8

1dx(ba)2． f(x)南通大学毕业论文

在例3.1中我们给出了本题利用函数的凹凸性证明的过程,在这里我们将给出其利用辅助函数法证明的过程．

证明: 构造辅助函数xftdtaxxadt2xa, 则 ft xfxxaxdt1ftdt2xaftafx

xaxftxfxdtdt2dt

afxaftxfxft2dt0, aftfx

所以x是单调递增的,即ba0,故fxdxabba12dxba．证毕 fxabbxfxdxfxdx．

2a例3.2.4 设fx在a,b上连续且单调增加,证明：[7]

ba证明: 原不等式即为xfxdx则Fttft1t2a1taftf , a,t．

2abbfxdx0,构造辅助函数 aa2tattFtxfxdxfxdx ,ta,b，a2atat1fxdxfttaftfxdxa 2 2b因为at,fx单调增加,所以Ft0．故Ft在a,b上单调递增,且Fa0, 所以对x(a,b],有FxFa0．当xb时,Fb0．即

baxfxdxabbfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2通过以上几道题目的观察我们可以发现：

1.当已知被积函数连续时,我们可以把积分的上限或者是下限作为变量,从而构造一个变限积分,然后利用辅助函数的单调性加以证明．

2.辅助函数法实际上是一种将复杂的问题转化为容易解决的问题的方法．在解题时通常表现为不对问题本身求解而是对与问题相关的辅助函数进行求解,从而得出原不等式的结论．

3.3 利用重要积分不等式

在第2部分中我们给出了Cauchy-Schwarz不等式以及它的推广形式的证明过程,实际上Cauchy-Schwarz不等式的应用也很广泛,利用它可以解决一些复杂不等式的证明.在这一小节中我们将通过具体的例子来加以说明它在证明积分不等式中的应用．

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例3.3.1[8] 函数fx在0,1上一阶可导,f1f00, 试证明：10112fxdxfxdx．

402证明：由fxftdtf0和fxftdtf10x1x

可得

f2xx0ftdt2xx1112dtf2tdtxf2xdx,(x0,), 0002111112dtf2tdt(1x)f2xdx,(x,1)． xx02 f2xxftdt12因此 f2xdx 120112fxdx，(3.3)0811

2(3.4)fxdx．8010

112f2xdx将(3.3)式和(3.4)式相加即可以得到f2xdx[2]

112fxdx．

证毕 40b例3.3.2 设fx,gx在a,b上可积且满足：0mfxM,gxdx0，a则以下两个积分不等式

bafxgxdx2b2f2xdxg2xdxm2bag2xdx及

aaabbb bafxgxdx2MmMmbaaf2xdxg2xdx成立．

ab证明：取hx1,由gxdx0及定理2.2知

babaf2xdxfxgxdxfxdxbagxfxdxfxdx0 gxdxaab2abb0bab bafab2xdxagxdxafxdxagxdxbaafxgxdx22bb2b0．

2因此

 bafxgxdx2baf2xdxab1gxdxba2bafxdxgxdx．

(3.5)

2b2a 10 南通大学毕业论文

由mfx可知 bafxdx2b22m2ba，bb2因而bafxgxdxafxdxagxdxmbaag2xdx．

22MmMm由于0mfxM,因此fx．

22化简得f2xMmMmfx, 两边同时积分得 f2xdxMmbaMmfxdx, aabb22由算数-几何平均值不等式可知

于是2baf2xdxMmbaf2xdxMmba，abbaabf2xdxbafxdx2Mm4Mm2．

1则ba bafxdxgxdxba2b2abfxdxba2af2xdxbaf2xdxag2xdx

b2Mma4Mmb

(3.6)f2xdxg2xdx．

ab由式(3.5)和式(3.6)可知

bafxgxdx2MmMm2baf2xdxg2xdx．

证毕

ab以上两道题分别利用了Cauchy-Schwarz不等式及其推广形式．我们在证明含有乘积及平方项的积分不等式时应用Cauchy-Schwarz不等式颇为有用,但要注意选取适当的fx与gx,有时还需对积分进行适当的变形．

3.4 利用积分中值定理

积分中值定理展现了将积分转化为函数值,或者是将复杂函数积分转变为简单函数积分的方法.其在应用中最重要的作用就是将积分号去掉或者是将复杂的被积函数转化为相比较而言较为简单的被积函数,从而使得问题能够简化.因此合理的利用积分中值定理能够有效的简化问题.下面将通过两道例题来说明．

定理3.3（积分第一中值定理）若f(x)在[a,b]上可积且mf(x)M,则存在 11 南通大学毕业论文

u[m,M]使f(x)dxu(ba)成立.特别地,当f(x)在[a,b]上连续,则存在c[a,b],使abbaf(x)dxf(c)(ba)成立．

定理3.4（积分第一中值定理的推广）若函数fx,gx在区间a,b上可积,fx连续,gx在a,b上不变号,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使得下式成立

fxgxdxfgxdx．

aabb定理3.5（积分第二中值定理的推广）若函数fx,gx在区间a,b上可积,且fx为单调函数,则在积分区间a,b上至少存在一个点,使得下式成立 fxgxdxfagxdxfbgxdx．

aabb例3.4.1 设函数fx在区间0,1上连续单调递减,证明：对a,b(0,1),且0ab1时,有fxdx0aabf(x)dx,其中fx0． ab对于这道题目我们在3.2.2中给出了其利用辅助函数法证明的过程,实际上这道题目还可以用积分第一中值定理来证明,下面我们将给出证明过程．

证明：由积分中值定理知

0afxdxf1a, 10,a； fxdxf2ba,2a,b；

ab因为12,且fx递减,所以有f1f2, 1a1b1bfxdxfxdxfxdx, 0aaababaab故 fxdxfxdx．证毕

0ba即

例3.4.2 设fx在a,b上连续且单调增加,证明：baabbxfxdxfxdx．

2a同样地，在之前的证明中我们给出了此题利用辅助函数法证明的过程,仔细分析观察这道题目我们还可以发现它可以用积分第一、第二中值定理的推广形式来证明,接着我们将给出此题在这两种方法下的证明过程．

证法一

bababab2证明: xxfxdxxfxdxabfxdx． aa2222bab 12 南通大学毕业论文

abab由定理3.4可知,分别存在1a，,b, 222使得 ab2aabab2xfxdxfx1adx, 22abbabab abxfxdxfx2abdx, 2222 babab因此xfxdxa28b2ff,由于fx在0,1单调增加的,且

210121,所以有 f2f10．

ab从而xfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2b证法二

证明:由定理3.5可知：存在a,b，bababab使得 xfaxdxfbxfxdxdx aa222b fafbab．

由fx单调增加及a,b知fafb0,a0,b0．

bab可得xfxdx0,故原不等式成立, 证毕 a2通过上述两道题目我们可以了解到积分中值定理在实际应用中起到的重要作用就是能够使积分号去掉,或者是将复杂的被积函数转化为相对而言较简单的被积函数,从而使问题得到简化.因此,对于证明有关结论中包含有某个函数积分的不等式,或者是要证明的结论中含有定积分的,可以考虑采用积分中值定理,从而去掉积分号,或者化简被积函数．

3.5 利用积分的性质

关于积分的性质在高等数学的学习中我们已经学到了很多,我们可以利用它来证明许多问题.在这里我们主要利用定积分的比较定理和绝对值不等式等性质对问题进行分析处理．

例3.5.1[9] 设fx在0,1上导数连续,试证：x0,1，13 南通大学毕业论文

有 fxfxfxdx． 0证明：由条件知fx在0,1上连续,则必有最小值, 1即存在x00,1,fx0fx, 由ftdtfxfx0fxfx0ftdt, x0x0xx fxfx0ftdtfx0x0xxx0ftdtfx0ftdt

0101 fx0dt0110ftdtftdt01ftftftdtdt 0

1fxfxdx.故原不等式成立, 证毕

013.6 利用泰勒公式

在现代数学中泰勒公式有着重要的地位,它在不等式的证明、求极限以及求高阶导数在某些点的数值等方面有着重要的作用.关于泰勒公式的应用已经有很多专家学者对其进行了深入的研究,下面我们将举例说明利用泰勒公式也是证明积分不等式的一种重要方法．

定理3.6(带有拉格朗日型余项的Taylor公式)设函数f(x)在点x0处的某邻域内具有n1阶连续导数,则对该邻域内异于x0的任意点x,在x0与x之间至少存在一点,使得：

f(x0)fn(x0)2f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)nRn(x)

(1)

2!n!f(n1)()其中Rn(x)(xx0)n1（在x与x0之间）称为拉格朗日型余项,(1)式称为泰勒公(n1)!式．

例3.6.1[10] 设fx在a,b上有二阶连续导数,fafb0,Mmaxfx，xa,b试证明:fxdxabba123M．

证明：对xa,b,由泰勒公式得

fafxfbfxf1xax21xbx2faxa,x, , 2fbxx,b, , 2ab122, 两式相加得 fxfxxfaxfbx24 14 南通大学毕业论文

两边积分得 fxdxabbaab1b22dx, fxxdxfaxfbxa24bbbabab其中 fxxdxxdfxfxdx, aaa22于是有 fxdx故 ba1b22dx, faxfbxaa8Mb22dxMba3．证毕 fxdxaxbx8a12b例3.6.2[6] 设fx在a,b上有二阶导数,且fx0，ab求证 fxdxbaf． a2b证明：将fx在x0ab处作泰勒展开得到 22ab1abababab, fxffxfxx,．

222222

ababab因为fx0,所以可以得到 fxffx，222babababb对不等式两边同时积分得到 fxdxfbafxadx． a222bab因为xdx0, 所以有afxdxbaa2babf．证毕

2通过这两道题目我们大致可以了解到当题目中出现被积函数在积分区间上有意义且有二阶及二阶以上连续导数时,是提示我们用泰勒公式证明的最明显的特征．一般情况下我们选定一个点xo,并写出fx在这个点xo处的展开公式,然后进行适当的放缩或与介值定理相结合来解决问题．

3.7 利用重积分

在一些积分不等式的证明中,由于被积函数的不确定,从而我们不能求出其具体的数值,这时我们可以将定积分转换为二重积分再利用其性质来求解．以下列举了3种利用重积分来证明积分不等式的方法,这种技巧在高等数学中虽然不常见,但却是很重要的,下面我们将通过3道例题来进一步说明．

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3.7.1 直接增元法

命题一[11]：若在区间[a,b]上f(x)g(x),则f(x)dxg(x)dx．

bb例3.7.1[11] 设f(x),g(x)在[a,b]上连续,且满足：

xaf(t)dtg(t)dt,x[a,b],af(t)dtag(t)dt,证明：axf(x)dxaxg(x)dx．

axbbbb证明：由题得f(t)dtg(t)dt, aaxx从而可以得到dxf(t)dtdxg(t)dt,即dx[f(t)g(t)]dt0．

aaaaaabxbxbx左式dx[f(t)g(t)]dt [f(t)g(t)]dxdt(其中D{(x,t)|axb,atx})aaDbx dt[f(t)g(t)]dx (bt)[f(t)g(t)]dt

atabbb b[f(t)dtg(t)dt][tf(t)dttg(t)dt][tf(t)dttg(t)dt]0．

aaaaaabbbbaaaabbbbbb则 tf(t)dttg(t)dt0 , 即xf(x)dxxg(x)dx．证毕

在本题中我们将一元积分不等式f(x)dxg(x)dx的两边同时增加一个积分变量

aaxxbadx，使得一元积分不等式化为二元积分不等式，然后巧妙的运用转换积分变量顺序的方法达到证明一元积分不等式的方法.3.7.2 转换法

在利用重积分来证明积分不等式的时候，我们不但可以采用直接增元法，还可以采用转换法.关于转换法又分为将累次积分转换为重积分，以及将常数转换为重积分这两种形式.下面我们将依次来介绍这两种方法.1.将累次积分转为重积分

命题二[11] 若f(x)在[a,b]上可积,g(y)在[c,d]上可积,则二元函数f(x)g(y)在平面区域D{(x,y)|axb,cyd}上可积,且

Df(x)g(y)dxdyf(x)dxg(y)dyf(x)dxg(x)dx．

acacbdbd其中D{(x,y)|axb,cyd}

例3.7.2[11] 设p(x),f(x),g(x)是[a,b]上的连续函数,在[a,b]上,p(x)0,f(x),g(x)为单调递增函数,试证：

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babap(x)f(x)dxp(x)g(x)dxp(x)dxp(x)f(x)g(x)dx．

aaabbbaaabbb

证明：由p(x)f(x)dxp(x)g(x)dxp(x)dxp(x)f(x)g(x)dx可知：

babap(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx0，aaabbaabbb令Ip(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx, ab下证I0；

Ip(x)dxp(x)f(x)g(x)dxp(x)f(x)dxp(x)g(x)dx

aaaabbbb

同理

p(x)dxp(y)f(y)g(y)dyp(x)f(x)dxp(y)g(y)dy

aaaabbbbbabbabp(x)p(y)f(y)g(y)dxdybabap(x)f(x)p(y)gydxdy

aap(x)p(y)g(y)[f(y)f(x)]dxdy．

(3.7)bbbIp(x)dxaabab(p)x(f)x(g)xdxab(p)x(f)xdx()pxgxdx

p(y)dybbap()xf()xg()xdxab(p)y(f)ydy(p)xgxdxab p(y)p(x)g(x)[f(x)f(y)]dxdy．

(3.8)aa

(3.7)(3.8)得

2Ibabap(x)p(y)[g(y)g(x)][f(y)f(x)]dxdy, 因为f(x),g(x)同为单调增函数,所以[g(y)g(x)][f(y)f(x)]0 又因为p(x)0,p(y)0,故 2Ibabap(x)p(y)[g(y)g(x)][f(y)f(x)]dxdy0,即I0．

证毕

2.将常数转换为重积分的形式

在例3.7.2中我们介绍了将累次积分转换为重积分,在下面的例3.7.3中我们将对常数转换为重积分来进行说明．我们可以发现有这样一个命题,若在二重积分中被积函数f(x,y)k,则可得到kdk(ba)2,其中D{(x,y)|axb,ayb}．

D例3.7.3函数f(x)在[a,b]上连续,且fx0试证：f(x)dx

abba1dx(ba)2． f(x)本题与前面的例3.1以及例3.2.3是同一道题目,在这里我们将利用重积分证明此题．证明：原题即为 f(x)dxabba1dyd, f(y)D 17 南通大学毕业论文

移项可得(Df(x)1)d0, f(y)2(Df(x)f(x)f(y)1)d(1)d(1)d0, f(y)f(y)f(x)DDf(x)f(y)f(x)f(y)2)d0,因为f(x)0,f(y)0,所以20． f(y)f(x)f(y)f(x)所以即为证(D故 (Dbbf(x)f(y)12)d0 恒成立,即f(x)dxdx(ba)2成立, 证毕

aaf(x)f(y)f(x)通过以上三道例题我们可以大致了解到，在这一类定积分不等式的证明过程中我们一般先将所要证明的不等式转化为二次积分的形式,进一步再转换为二重积分,最后利用二重积分的性质或其计算方法得出结论.这种方法克服了数学解题过程中的高维数转化为低维数的思维定势,丰富了将二重积分与定积分之间互化的数学思想方法．

3.8 利用微分中值定理

微分中值定理是数学分析中的重要的一个基本定理,它是指罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理这四种定理.关于微分中值定理的应用也是很广泛的,证明不等式是微分中值定理最基本的应用之一.在这里我们将对利用柯西中值定理及拉格朗日中值定理证明积分不等式进行研究.下面将通过两个例子来具体说明这两个定理在证明积分不等式中的应用,以及不同的微分中值定理在证明不等式时的区别．

例3.8.1[12] 设fa0,fx在区间a,b上的导数连续,证明：

2baa1bfxdx1maxfx． x2a,b证明：应用Lagrange中值定理,a,x,其中axb,使得

fxfafxa, 因为fa0, 所以fxMxa, Mmaxfx，xa,b从a到b积分得

a bfxdxMbaM2bxadxMxadxx2

aa2bM1122bamaxfxba．即222babafxdx1maxfx.证毕 x2a,b 18 南通大学毕业论文

例3.8.2[13] 设函数fx在0,1上可微,且当x0,1时,0fx1,f00试证：

fxdxf121003xdx．

证明：令Fxx0ftdt,Gxf3tdt，02xFx,Gx在0,1上满足柯西中值定理,则

fxdx10210f03xdxF1F0FG1G0G02fftdt0f32ftdt0f2 01

2ftdtftdtf2f0202f11 , 01．

2fff所以 10fxdx2f2xdx．

证毕

01通过以上两道题目可以发现：

1.在应用Lagrange中值定理时先要找出符合条件的函数fx,并确定fx在使用该定理的区间a,b,对fx在区间a,b上使用该定理．若遇到不能用该定理直接证明的,则从结论出发,观察并分析其特征,构造符合条件的辅助函数之后再应用Lagrange中值定理．

2.在研究两个函数的变量关系时可以应用Cauchy中值定理,在应用该定理证明不等式时关键是要对结果进行分析,找出满足Cauchy中值定理的两个函数fx,gx,并确定它们应用柯西中值定理的区间a,b,然后在对fx,gx在区间a,b上运用Cauchy中值定理．

无论是Cauchy中值定理还是Lagrange中值定理在积分不等式的证明中都各具特色,都为解题提供了有力的工具.总之在证明不等式时需要对结论认真的观察有时还需要进行适当的变形,才能构造能够应用中值定理证明的辅助函数,进而利用微分中值定理证明不等式．

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4．总

结

我们通过查阅有关积分不等式的文献和资料,并对其中的相关内容进行对比和分析后,将有关的内容加以整理并扩充形成了本文.在论文中给出了两个重要的积分不等式的证明以及总结了八种积分不等式的证明方法.然而由于自己的参考资料面不够广,参考的大多数文献都是仅给出了例题及其证明方法,而并没有给出进一步的分析,同时自己的知识面较窄,能力有限,导致还有很多难度较大的问题尚未解决．例如,在实际的问题中,还有一些证明方法是我们所不知道的,并且还有一些不等式并不能用本文所给出的八种方法来证明,这就需要我们进一步的思考与研究.今后我们应该更多的参考其他资料,充分拓展思路,以便于提出新的观点．

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参考文献

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用定积分证明不等式篇2

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用.但是,笔者在教授高等数学这门课程的过程中发现大部分学生碰到积分不等式的证明问题时往往会束手无策.主要困难如下:被积函数不能用初等函数表示,从而无法应用Newton-Leibniz公式求出定积分的值;被积函数的具体表达式未知,只给出了它的某些性质.鉴于此,本文将专门讨论积分不等式的证明问题,主要介绍了五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.

二、构造积分上限的函数

由柯西中值定理知

因为f(t)单调减少,且f(1)>0,

三、利用定积分的比较性质证明积分不等式

思路分析观察左边、右边的两个积分,被积函数相同,但积分区间不同.于是,用定积分对积分区间的可加性构造需要的积分区间.

因为f(x)在区间[0,1]上单调不增,所以

四、利用积分中值定理证明积分不等式

思路分析利用积分中值定理将积分不等式转化为不含积分的不等式,再进行证明.

五、利用Schwarz不等式证明积分不等式

思路分析应用Schwarz不等式,要注意恰当地选取函数f(x)和g(x).

证:由Schwarz不等式

六、利用平均值不等式证明积分不等式

例7设正值函数f(x)在区间[0,1]上连续,试证:

思路分析将定积分表示成积分和的极限,再应用平均值不等式.

本文通过实例说明了证明积分不等式时可以尝试的五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.希望对读者有所帮助.

摘要：如何证明积分不等式是学习高等数学这门课程的一个难点问题.本文专门讨论积分不等式证明的五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.

关键词：积分不等式,积分上限的函数,积分中值,Schwarz不等式,平均值不等式

参考文献

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[2]卢兴江,金蒙伟.高等数学竞赛教程[M].杭州:浙江大学出版社,2009:58-74.

[3]毛京中.高等数学竞赛与提高[M].北京:北京理工大学出版社,2004:80-127.

借助定积分证明不等式篇3

先来看一道例题.

例1 证明：12+13+…+1n

分析1 本题要证的结论是一个十分优美的不等式，而且此不等式在近年高考中以不同形式多次出现并要求考生证明.例如，2014年高考陕西卷理科数学压轴题、2015年高考广东卷理科数学压轴题的证题核心都是上述不等式.

传统的证明方法是将不等式右边裂项，并与左边一一对应寻找关系构造函数求解.

证明1 设函数f（x）=x+ln（1-x），x∈（0，1）时，f′（x）=1-11-x=-x1-x<0，f（x）单调递减，所以f（x）

取x=1n∈（0，1），n∈N+，则有1n

分析2 仔细观察原不等式，不难发现左边的和式中每一项都是函数f（x）=1x的函数值，而右侧则是函数g（x）=lnx的函数值，从而考虑将其看作原函数与导函数，这样一来右侧的原函数便可以看作对导函数的一个积分，再设法将左边与面积相联系，得到如下解法.

证明2 作f（x）=1x的图像（图1），设点（n-1，0），（n-1，1n），（n，0），（n，1n），（n∈N+且n≥2）围成的n个矩形的面积之和（即图中阴影部分）为S1，曲线y=1x，x∈[1，n]与x轴围成的曲边梯形面积为S2，根据图像显然有S2>S1.

又由于S1=1×12+1×13+…+1×1n=

∑ni=21i，S2=∫n11xdx=lnn所以原不等式得证.图1

从上面的证明中，相信大家已经领略到了积分法证明不等式的优美之处.虽然比较之下函数构造法的复杂度不高、计算量也不大，但在分析问题的过程中，通过一目了然的函数图像，积分法的思路显得远比函数法简洁且易于捕捉.

在上题中，定积分的主要作用在于赋予不等式中某一项或几项几何意义，然后再通过面积的比较直截了当地证明原不等式.下面的这道例题也使用了这种方法，不过在面积的比较上使用了一些技巧.

例2 设函数f（x）=ln（x+1），若-1f（x）-f（x2）x-x2是否恒成立？证明你的结论.

分析与证明看到此题要证明的不等式结构，很容易联想到曲线割线的斜率.如果作出f（x）=lnx的图像，不难看出结论是显然成立的，但若要利用割线斜率来证明此题需要使用到拉格朗日中值定理，而中值定理却并不属于高考涉及的知识.

因此重新观察原不等式.注意到函数f（x）结构十分简单，因而如果熟练掌握利用定积分证明不等式的思想，不难想到将原函数函数值之差转化为导函数f′（x）=1x+1的定积分.如此一来，原不等式化为如下形式：

∫xx1f′（x）dxx-x1>∫x2xf′（x）dxx2-x.（*）

转化之后，下一步便是同上题一样作出f′（x）图像，联系上式积分式的几何意义，尝试寻找与面积相关的关系.

如图2所示，取点A，B，C，D，E，F，则∫xx1f′（x）dx即为曲边体形AEFD的面积，设为S1；同理设S2=SEBCF=∫x2xf′（x）dx.同时又有DF=x-x1，FC=x2-x.于是（*）式又进一步化为

S1DF>S2CF.图2

由于不易直接判断两边分式的大小，考虑借助中间量EF.过E作MN平行于x轴交直线AD、CB于M，N，注意到

S1DF>SMEFDDF=EF=SENCFCF>S2CF，

所以原不等式得证.

此题为湖南长沙高考模拟的一道理科数学压轴题，原题答案给出的证明方法是通过构造函数分别比较不等式两边与1x+1的大小.事实上，在上述证明中，中间量线段EF的长对应的值即为f′（x）=1x+1.尽管这两种方法看上去异曲同工，但在实际解题过程中，中间量的寻找难度却相差很大.定积分把抽象的代数式转化为了具体的几何图形及其面积，大大降低了寻找中间量的难度，从而有效地保证了解题思路的流畅连贯，不至使思路受阻而无法解出此题.

这两道例题的方法相似，都是通过面积的比较直接证明不等式.可以用这类方法解决的题目，其所求证的不等式大多具有较为明显的结构特点：如例题一，原函数与导函数同时出现在不等式中；或如例题二，不等式或变形后的不等式中涉及函数值之差.在这类问题的解决过程中积分法一旦能够有用武之地，它的优势通常都是十分显著的.这是因为此类题目在出题时制定的标准答案多为导数方法，题目的难点和易错点也大都存在于函数的构造、导数的计算等过程中，因而使用定积分常常能够巧妙的避开这些困难之处另辟蹊径，更加有效地逼近答案.

但定积分在不等式证明中的作用绝不仅限于此.我们知道，放缩是不等式证明中最重要最有效的方法之一，实际上利用定积分也可以实现对不等式的“放缩”.常见的放缩是通过添加、删除或改变常数、代数式等来实现，而接下来要介绍的方法则是对整个命题进行强化，其实质都是通过证明原命题的充分不必要条件来达到证明原命题的目的.

例3 已知函数f（x）=xex，求证：对任意x∈（0，1），f（1-x）

分析1 先化简原命题，代入自变量得1-xe1-x<1+xe1+x，整理得e2x<1+x1-x，尝试作差并构造函数证明.但二次求导之后发现构造出的函数难以研究其单调性，因此重新对原不等式进行变形，寻找易于处理的形式，并再次二次求导证明单调性.

证明1 要证1-xe1-x<1+xe1+x，只需证（1-x）e2x-（1+x）<0，设函数g（x）=（1-x）e2x-（1+x），x∈（0，1），则g′（x）=e2x-2xe2x-1，g′′（x）=-4xe2x<0，所以g′（x）单调递减，所以g′（x）

证明2 要证原命题，即证f（1）-f（1-x）>

-[f（1+x）-f（1）]，即∫11-xf′（t）dt>∫1+x1[-f′（t）]dt，强化命题，只需证对任意x∈（0，1），f′（1-x）>-f′（1+x）

即证1-（1-x）e1-x>-1-（1+x）e1+x，即xe1-x>xe1+x显然成立，所以原不等式得证.

证明2中对命题的一次强化正确性是比较显然的.由于不等号两边积分式的积分区间长度相同，如果保证了左段函数值总是“对应地”（关于直线x=1对称地）大于右段函数值，那么函数左段的定积分自然也大于右段的定积分.或者更为直观地说：设两曲边梯形A和B等底，使A和B的底边重合，若A的上轮廓总是高于B的上轮廓，A的面积当然要大于B的面积.这其实类似于立体几何中的祖暅定理.

基于这个结论，我们把对原函数函数值的比较转化为了对导函数函数值的比较，从而极大地降低了证明的难度，得到了一个甚至直接观察就可以证明的不等式.相比之下，第一种方法首先需要进行多次变形的尝试以找到一个易于构造函数、构造出的函数易于分析的不等式结构，然后又需要计算二阶导数来分析函数单调性并利用单调性证明原不等式，显得十分的复杂、繁琐.

以上的三道例题充分证明了定积分在不等式证明中是一个化繁为简、出奇制胜的有力工具，而不仅仅是一个在高考中只能用来解答基础题的知识.利用定积分证明不等式不仅能降低证明的难度，更能使证明过程更加简洁、优美，在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，必能获得事半功倍的效果.

非线性时滞积分不等式及应用篇4

非线性时滞积分不等式及应用

研究不等式在估计非线性方程有界性中的`应用.建立了一个新的非线性时滞积分不等式,讨论它与欧阳型时滞积分不等式的关系,并给出不等式的应用.

作者：赵玉中郭继峰 ZHAO Yu-zhong GUO Ji-feng 作者单位：青岛理工大学,理学院,山东,青岛,266033刊名：内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版) ISTIC英文刊名：JOURNAL OF INNER MONGOLIA NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE EDITION)年，卷(期)：38(6)分类号：O175.7关键词：时滞非线性积分不等式 delay nonlinear integral inequality

不等式证明篇5

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

2)利用基本不等式，如：

(3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

8.几何法：用数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

换元法是数学中应用最广泛的解题方法之一。有些不等式通过变量替换可以改变问题的结构，便于进行比较、分析，从而起到化难为易、化繁为简、化隐蔽为外显的积极效果。

注意：在不等式的证明中运用换元法，能把高次变为低次，分式变为整式，无理式变为有理式，能简化证明过程。尤其对含有若干个变元的齐次轮换式或轮换对称式的不等式，通过换元变换形式以揭示内容的实质，可收到事半功倍之效。

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

注意：用放缩法证明数列不等式，关键是要把握一个度，如果放得过大或缩得过小，就会导致解决失败。放缩方法灵活多样，要能想到一个恰到好处进行放缩的不等式，需要积累一定的不等式知识，同时要求我们具有相当的数学思维能力和一定的解题智慧。

3.几何法

不等式的证明篇6

比较法：(1)作差比较法

(2)作商比较法

综合法：用到了均值不等式的知识，一定要注意的是一正二定三相等的方法的使用。

分析法：当无法从条件入手时，就用分析法去思考，但还是要用综合法去证明。两个方法是密不可分的。

换元法：把不等式想象成三角函数，方便思考

反证法：假设不成立，但是不成立时又无法解出本题，于是成立

放缩法：

用柯西不等式证。等等……

高考不是重点，但是难点。

大学数学也会讲到柯西不等式。

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志，本文将着重介绍以下几种不等式的初等证明方法和部分方法的例题以便理解。

一、不等式的初等证明方法

1.综合法：由因导果。

2.分析法：执果索因。基本步骤：要证..只需证..，只需证..(1)“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件。

(2)“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达。

3.反证法：正难则反。

4.放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。放缩法的方法有：

(1)添加或舍去一些项，如：

(2)利用基本不等式，如

3)将分子或分母放大(或缩小)：

5.换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题

化难为易、化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元。

6.构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式。

证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法。

7.数学归纳法：数学归纳法证明不等式在数学归纳法中专门研究。

9.函数法：引入一个适当的函数，利用函数的性质达到证明不等式的目的。

10.判别式法：利用二次函数的判别式的特点来证明一些不等式的方法。当a>0时，f(x)=ax2+bx+c>0(或<0).△<0(或>0)。当a<0时，f(x)>0(或<0).△>0(或<0)。

二、部分方法的例题

1.换元法

2.放缩法

欲证A≥B，可将B适当放大，即B1≥B，只需证明A≥B1。相反，将A适当缩小，即A≥A1，只需证明A1≥B即可。

3.几何法

数形结合来研究问题是数学中常用的方法，若求证的不等式是几何不等式或有较明显的几何意义时，可以考虑构造相关几何图形来完成，若运用得好，有时则有神奇的功效。

注意：这类方法对几何的熟悉程度以及几何与代数的相互联系能力要求比较高。

每一种不等式的证明方法基本上都有一种固定的模式可以去对比，但数学的特点就在于它的灵活性非常强，所以不等式的证明中的题目会有很多种变化，这对学习者的要求是非常高的，这就需要我们在今后的学习中多总结、归纳，才能达到我们学习的效果。具体解题时，一定要认真审题，紧紧抓住题目的所有条件不放，不要忽略了任何一个条件。一道题和一类题之间有一定的共性，可以想想这一类题的一般思路和一般解法，但更重要的是抓住这一道题的特殊性，抓住这一道题与这一类题不同的地方。数学的题目几乎没有相同的，总有一个或几个条件不尽相同，因此思路和解题过程也不尽相同。有些同学对于老师讲过的题会做，其他的题就不会做，只会依样画瓢，题目有些小的变化就无从下手。当然，做题先从哪儿下手是一件棘手的事，不一定找得准。但是，做题一定要抓住其特殊性则绝对没错。选择一个或几个条件作为解题的突破口，看由这个条件能得出什么，得出的越多越好，然后从中选择与其他条件有关的，或与结论有关的，或与题目中的隐含条件有关的，进行推理或演算。一般难题都有多种解法，俗话说，条条大路通罗马。要相信利用这道题的条件，加上自己学过的那些知识，一定能推出正确的结论。

数学题目是无限的，但数学的思想和方法却是有限的。我们只要学好了有关的基础知识，掌握了必要的数学思想和方法，就能顺利地应对那无限的题目。题目并不是做得越多越好，题海无边，总也做不完。关键是你有没有培养起良好的数学思维习惯，有没有掌握正确的数学解题方法。当然，题目做得多也有若干好处：一是“熟能生巧”，加快速度，节省时间，这一点在考试时间有限时显得很重要;二是利用做题来巩固、记忆所学的定义、定理、法则、公式，形成良性循环。