不等式证明的若干方法

不等式证明的若干方法（精选11篇）

不等式证明的若干方法 篇1

数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中, 是历年高考命题的热点, 这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力, 受到高考命题者的青睐.这类题型的证明方法由于灵活多变, 许多学生感觉处理这些问题无从下手, 没有规律.本文举例说明几种解法.旨在让学生能够掌握证明数列不等式的方法,

一、通项放缩, 构造等比数列

运用转化思想, 将数列问题转化为基本数列或应用基本数列的相关方法研究.

例1 (2006年福建高考) 已知数列{an}满足a1=1, an+1=2an+1 (n∈N+) .

(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式; (Ⅱ) 证明:undefined

(Ⅰ) 解:因为an+1=2an+1 (n∈N*) , 所以an+1+1=2 (an+1) , 所以{an+1}是以a1+1=2为首项, 2为公比的等比数列.

所以an+1=2n.即an=2n-1 (n∈N*) .

(Ⅱ) 证明: 因为undefined.

所以undefined.

因为undefined.

所以undefined.

所以undefined

点评:数列教学重点是研究基本数列 (等差、等比数列) 的相关问题, 对非基本数列问题通过化归思想, 采用合适的方法, 将其转化为基本数列.

二、利用函数的单调性进行放缩

对于一些具有函数特征的数列不等式证明, 可以利用函数的单调性进行放缩, 充分体现了数列也是一种特殊的函数.

例2 (2006年湖南高考) 已知函数f (x) =x-sinx, 数列{an}满足:0

证明: (Ⅰ) 先用数学归纳法证明0

(i) 当n=1时, 由已知显然结论成立.

(ii) 假设当n=k时结论成立, 即a

由 (i) 、 (ii) 可知, 0

又因为0

0

(Ⅱ) 设函数undefined.由 (Ⅰ) 知, 当0

所以g (x) 在 (0, 1) 上是增函数.又g (x) 在[0, 1]上连续, 且g (0) =0, 所以当00成立.于是g (an) >0.即undefined.故undefined.

点评:用导数解决函数的单调性问题一直是高考的重点, 解决此类问题的策略是, 若证明不等式f (x) >g (x) , x∈ (a, b) , 可以转化为证明:F (x) =f (x) -g (x) 在 (a, b) 上是增函数.

三、分项讨论放缩证明数列不等式

例3 (2004年全国高考) 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+ (-1) n, n≥1. (1) 写出数列{an}的前三项a1, a2, a3; (2) 求数列{an}的通项公式; (3) 证明:对任意的整数m>4, 有undefined

(Ⅰ) 略 (Ⅱ) undefined.

(Ⅲ) 由于通项中含有 (-1) n, 很难直接放缩, 考虑分项讨论:

当n≥3且n为奇数时

undefined (减项放缩) , 于是

①当m>4且m为偶数时undefined

②当m>4且m为奇数时undefined (添项放缩) 由①知undefined.由①②得证.

点评:当要证明和式是正负相间时, 由于项数为奇数或偶数的符号是变化的, 此时可以把奇偶相邻项捆绑求和进行放缩或根据题目中实施配凑.

不等式证明的若干方法 篇2

一、比较法：

ab等价于ab0；而ab0等价于a

b1.即a与b的比较转化为与0

或1的比较.使用比较发时，关键是要作适当的变形，如因式分解、拆项、加减项、通分等，这是第一章中许多代数不等式的证明及其他各章初等不等式的证明所常用的证明技巧.二、综合法与分析法：

综合法是由因导果，即是由已知条件和已知的不等式出发，推导出所要证明的不等式；分析法是执果索因，即是要逐步找出使结论成立的充分条件或者充要条件，最后归结为已知的不等式或已知条件.对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径.还要注意：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各种不等式；第二，要善于利用题中的隐含条件；第三，不等式的各种变性技巧.三、反证法：

正难则反.设所要证的不等式不成立，从原不等式的结论的反面出发，通过合理的逻辑推理导出矛盾，从而断定所要证的不等式成立.要注意对所有可能的反面结果都要逐一进行讨论.四、放缩法：

要证ab，又已知(或易证)ac，则只要证cb，这是利用不等式的传递性，将原不等式里的某些项适当的放大或缩小，或舍去若干项等以达证题目的.放缩法的方法有： ①添加或舍去一些项，如：a21a；n(n1)n；

②将分子或分母放大（或缩小）；

③利用基本不等式，如：

log3lg5（n(n1)lg3lg522)2lglglg4； n(n1)；

④利用常用结论：

k1k

1k1

1k

11k1k



12k

1k；

1k(k1)

1k1

1k

1k1

1k



1k(k1)1k；



（程度大）

1k



1



(k1)(k1)



2k1

（)；（程度小）

五、换元法：

换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.如：

已知x2y2a2，可设xacos,yasin；

已知x2y21，可设xrcos,yrsin(0r1)； 已知

xaxa

2

ybyb

1，可设xacos,ybsin；

已知



1，可设xasec,ybtan；

六、数学归纳法法：

与自然数n有关的许多不等式，可考虑用数学归纳法证明，数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中有专门的研究.但运用数学归纳法时要注意：

第一，数学归纳法有多种形式.李大元就证明了下述七种等价的形式：设P(n)是与n有关的命题，则

(1)、设P(n0)成立，且对于任意的kn0，从P(k)成立可推出P(k1)成立，则P(n)对所有大于n0的n都成立.(2)、设m是任给的自然数，若P(1)成立，且从P(k)(1km)成立可推出

P(k1)成立，则P(n)对所有不超过m的n都成立.(3)、(反向归纳法)设有无穷多个自然数n(例如n2m)，使得P(n)成立，且从P(k1)成立可推出P(k)成立，则P(n)对所有n成立.(4)、若P(且P(n)对所有满足1nk的n成立可推出P(k1)成立，1)成立，则P(n)对所有n成立.(5)、(最小数原理)自然数集的非空子集中必有一个最小数.(6)、若P)且若P(k),P(k1)成立可推出P(k2)成立，则P(n)1(,P(2)成立，对所有n成立.(7)、(无穷递降法)若P(n)对某个n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，则P(n)对所有n成立.此外，还有螺旋归纳法(又叫翘翘板归纳法)：设有两个命题P(n),Q(n)，若

P(1)

成立，又从P(k)成立可推出Q(k)成立，并且从Q(k)成立可推出P(k1)成立，其中k为任给自然数，则P(n),Q(n)对所有n都成立，它可以推广到两个以上的命题.这些形式虽然等价，但在不同情形中使用各有方便之处.在使用它们时，若能注意运用变形和放缩等技巧，往往可收到化难为易的奇效.对于有些不等式与两个独立的自然数m,n有关，可考虑用二重数学归纳法，即若要证命题P(m,n)对所有m,n成立，可分两步：①先证P(1,n),P(m,1)对所有m,n成立；②设P(m1,n),P(m,n1)成立，证明P(m1,n1)也成立.第二，数学归纳法与其它方法的综合运用，例如，证明

n



k

11k

sinkx0,(0x)

就要综合运用数学归纳法，反证法与极值法；有时可将n换成连续量x，用微分法或积分法.第三，并不是所有含n的不等式都能用数学归纳法证明的.七、构造法：

通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．笔者将在第三章中详细地介绍构造法.八、利用基本不等式：

善于利用已知不等式，特别是基本不等式去发现和证明新的不等式，是广泛应用的基本技巧.这种方法往往要与其它方法结合一起运用.22

例1 已知a，bR，且ab1.求证：a2b2

252

.证法一：(比较法)a,bR,ab1

b1a

a2b2

252

ab4(ab)

122(a

12)0

a(1a)4

2a2a

即a22b22

证法二：(分析法)

252

(当且仅当ab时，取等号).a22B2

252

ab4(ab)8

252

b1a

225122

(a)0a(1a)4822

显然成立，所以原不等式成立.点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.证法三：(综合法)由上分析法逆推获证(略).证法四：(反证法)

假设(a2)2(b2)2

252，则 a2b24(ab)8

252

252

.由ab1，得b1a，于是有a2(1a)212

1

所以(a)0，这与a0矛盾.22

.所以a2b2

252

.证法五：(放缩法)

∵ab1

∴左边＝a2b2

a2b221252ab4

222

＝右

边.点评：根据不等式左边是平方和及ab1这个特点，选用基本不等式

ab

ab2.2

证法六：(均值换元法)

∵ab1，所以可设a

12t，b

t，1

∴左边＝a2b2(t2)2(t2)2

5525252

＝右边.tt2t

2222

当且仅当t0时，等号成立.点评：形如ab1结构式的条件，一般可以采用均值换元.证法七：(利用一元二次方程根的判别式法)

设ya2b2，由ab1，有y(a2)2(3a)22a22a13，所以2a22a13y0，因为aR，所以442(13y)0，即y故a2b2

252

.252

.下面，笔者将运用数学归纳法证明第一章中的AG不等式.在证明之前，笔者先来证明一个引理.引理：设A0，B0，则(A+B)nAn+nA(n-1)B，其中nN.证明：由二项式定理可知

n

(A+B)=AniBiAn+nA(n-1)B

n

i0



(A+B)A+nA

nn(n-1)

浅谈证明不等式的方法 篇3

构图法，即构造几何图形，利用几何图形的性质来帮助说明不等式.构图法出现已经有很长的历史，可以追溯到十二世纪的古代中国，希腊和印度.一些数学家认为构图法不是一种严格的证明，构图法对于实际证明毫无价值，证明有且只有一种方式——推理，构图证明是不能够接受的.但还有一部分数学家认为，数学不仅是逻辑的，还是图形的，作为数学教育工作者，必须把培养学生的想象能力作为重要的能力之一.数学教育家波利亚指出画图帮助理解题意，被认为是经典的教育学建议.爱因斯坦和庞加莱都认为，我们应该利用好我们的直觉；美国数学家加德纳指出，许多情形下，一个平淡的证明加上一个几何类似图形，使得证明更加简单和漂亮，定理的准确性立见.所有的这些，都说明了构图法对帮助证明的重要性.

2几个不等式的构图说明

高中数学选修模块45《不等式选讲》中的不等式主要有：基本不等式，绝对值不等式，平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式.中学阶段很多不等式的证明可以利用构图法来理解，下面列举几个不等式的构图.

2.1不等式a+b2≥ab（a，b为正数）的构图

不等式表明：两个正数的算术平均数a+b2不小于它们的几何平均数ab，即a+b2≥ab（a，b为正数），教材中一般构造如下的几何图形来加强理解.

图1图2如图1所示，在正方形ABCD中，有S△ABC+S△AFM-S矩形ABEF≥0，即a2+b2≥a·b，所以a+b2≥ab.基本不等式的另一种构图，如图2所示，把半径不等的两圆水平放置，且都与直线AB相切，两圆外切，有OF=a+b2，OE=a-b2.在直角三角形OEF中，利用勾股定理可知EF=ab，因为OF>EF，所以a+b2≥ab.图1～2都说明了不等式a+b2≥ab的几何意义，并且能直观地感知当且仅当“a=b”时“=”成立.

2.2不等式2aba+b

如图3所示，M为圆A外一点，MA与圆A分别相交于P、Q两点，MG，MR分别为圆A的切线和割线，PM=a，QM=b，a>b>0，则有HM2.3不等式xr-1>r（x-1）的构图

当n为正整数，x>-1时，（1+x）n≥1+nx成立，称为贝努利不等式（Bernoulli inequality），其证明方法通常有数学归纳法和利用二项式定理进行放缩.但形如xr-1>r（x-1）的不等式，不能采用类似于证明贝努利不等式的方法进行证明，可采用构图法帮助证明.构造如图4所示的图形，在同一坐标系中分别作出函数y=xr-1和y=r（x-1）的图象，函数y=xr-1为经过（1，0）点的凸函数，函数y=r（x-1）的图象是斜率为r，经过点（1，0）的直线，且直线y=r（x-1）与y=xr-1的图象相切，切点为（1，0）.因此，当r>1，x>0，x≠1时，不等式xr-1>r（x-1）恒成立.

2.4不等式ab

构图来帮助证明分布在数学中的各个方面，如代数，几何，三角，微积分和动态几何，不等式，数列，排列、组合等等.数学上许多的定理和概念，都可以用优美、简洁的图形来表示.老师们应该在平时教学中多注意总结，设计更多的图来帮助学生直观地理解数学知识，学好数学，让数学变得更为直观.

不等式证明的若干方法 篇4

关键词：微分学,不等式证明,思路,技巧

不等式证明是微分学中的一个常见问题, 是微分学中的重点和难点, 在各类考试中经常出现。而不等式证明历来是学生最感到困惑的问题之一。由于微分学中涉及能够证明不等式的方法很多, 所以, 如何准确、快捷地选择恰当的证明方法往往成为同学们关注的问题。

本人结合教学实践, 归纳了微分学中常见的不等式证明的常用证法、相关思路及技巧, 以帮助学生熟练掌握不等式证明的常用方法, 以期对学生准确、快捷地证明不等式, 提供正确的辨析和解题指导。

一、微分学中不等式证明的思路与技巧

(一) 中值定理法

1) 思路。这里的中值定理通常指的是中值定理。我们通常利用中值定理的结论将不等式中较复杂的函数 (或表达式) 换成较简单的函数而进行函数大小的比较。

2) 技巧。这里使用lagrange中值定理的关键是函数和区间的确定。我们通常利用观察法来确定这两个要素, 在例1中, 由于1n (b/a) 较复杂, 故选取函数f (x) =1nx;另外注意到1n (b/a) =1n (b/a) -1n1, 故取定了区间[1, b/a]。

(二) 利用函数的单调性

1) 思路。其主要思想是将不等式进行等价变形, 通过构造辅助函数, 借助于所构造函数的单调性, 达到证明的目的。

例2:已知x>0, 求证:1n (1+x)

分析:将不等式移项, 构造函数f (x) =1n (1+x) -x, 由于f (0) =0, 只须证明f (x) 在[0, +∞]为减函数, 即得结论。证明过程略。

例3:设b>a>0, 证明:1n (b/a) >a+b2 (b-a) 。

证明:令f (x) = (1nx-1na) (a+x) -2 (x-a) , 显然f (a) =0。以下证函数f (x) 在[a, +∞]为单调增函数。

2) 技巧。利用函数单调性证明不等式的关键在于构造函数。常用的构造方法如下:对所要证明的不等式进行移项, 将不等式右端变为零, 构造左端部分为f (x) , 如例1。但我们要注意到采取这种构造方法证明例3时, 经移项之后, 不等式左端的函数关系无法确定, 从而无法证明。以例3为例, 遇到这种到情况 (不等式中没有出现自变量x) , 通常采取以下的函数构造方法:将不等式移项后变形为最简单的表达形式, 得 (1nb-1na) (a+b) -2 (b-a) >0, 将其中的某一个常量换为自变量x, 构造函数f (x) = (1nx-1na) (a+x) -2 (x-a) 。按照此方法, 例3也可构造函数为f (x) = (1nb-1nx) (x+b) -2 (b-x) , 通过证明该函数 (0, b) 在单调增加, 最终得到证明。

(三) 利用函数的凹凸性

1) 思路。利用函数的凹凸性证明不等式的关键是通过构造辅助函数, 借助于所构造函数的凹凸性, 达到证明的目的。

2) 技巧。若遇到所证明不等式中出现有x, y两个变量及x2+y的表达式时, 该题往往需要使用函数的凹凸性进行证明, 可按以下步骤:第一步, 观察各项的共同特征, 构造函数F (t) ;第二步, 利用定理:若在 (a, b) 内, F'' (t) >0, 则F (t) 在 (a, b) 是凹的;若在 (a, b) 内, F'' (t) <0, 则F (t) 在 (a, b) 是凸的。说明函数的凹凸性;第三步, 借助函数凹凸性的定义, 取定义中任意的x1和x2分别为x和y, 即得证不等式。

(四) 利用泰勒公式

1) 思路。泰勒展开式证明不等式, 常用的是将函数f (x) 在所给区间端点或一些特定点 (如区间的中点, 零点) 展开, 通过分析余项在ξ点的性质, 而得出不等式。

证明:所讨论的不等式等价于。求函数ln (1+x) 与ln (1-x) 的泰勒展开式得

2) 技巧。应用泰勒公式的关键是确定在哪一点以及关于哪一点求函数的展开式, 进而通过对余项的估计来推出所证明的不等式。

二、结语

不等式证明是微分学学习中的一个重点内容, 因而, 在诸多证明不等式的方法中, 准确、快捷地选取恰当的证法显得尤为重要。以上对不等式证明中常用的方法进行了归纳梳理、比较分析。在微分学的学习与应试中, 务必要因题而宜, 明悉观察, 抓主要特点, 以便恰当地选用证明方法, 准确、快捷地解决问题。

参考文献

[1]谢明文.微积分教程 (第四版) [M].成都:西南财经大学出版社, 2005.

证明基本不等式的方法 篇5

●教学目标：

1、理解综合法与分析法证明不等式的原理和思维特点.2、理解综合法与分析法的实质，熟练掌握分析法证明不等式的方法与步骤.●教学重点：综合法与分析法证明不等式的方法与步骤

●教学难点：综合法与分析法证明不等式基本原理的理

●教学过程：

一、复习引入：

1、复习比较法证明不等式的依据和步骤？

2、今天学习证明不等式的基本方法——分析法与综合法

二、讲授新课：

1、综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法 综合法又叫顺推证法或由因导果法。

用综合法证明不等式的逻辑关系是：例

1、已知a,b,c是不全相等的正数，求证：.分析：观察题目，不等式左边含有“a2+b2”的形式，我们可以创设运用基本不等式：a2+b2≥2ab;还可以这样思考：不等式左边出现有三次因式：a2b,b2c,c2a,ab2,bc2,ca2的“和”，右边有三正数a,b,c的“积”，我们可以创设运用重要不等式：a3+b3+c3≥3abc.(教师引导学生，完成证明）

解：∵a>0,b2+c2≥2bc∴由不等式的性质定理4，得a(b2+c2)≥2abc.① 同理b(c2+a2)≥2abc,②c(a2+b2)≥2abc.③

因为a,b,c为不全相等的正数，所以以上三式不能全取“=”号，从而①,②,③三式也不能全取“=”号.由不等式的性质定理3的推论，①,②,③三式相加得：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.点评：（1）综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。基本不等式以及一些已经得证的不等式往往与待证的不等式有着这样或那样的联系,作由此及彼的联想往往能启发我们证明的方向.尝试时贵在联想，浮想联翩，思潮如涌。

（2）在利用综合法进行不等式证明时，要善于直接运用或创设条件运用基本不等式，其中拆项、并项、分解、组合是变形的重要技巧.变式训练：已知a,b,c是不全相等的正数，求证： 例

2、已知 且，求证： 分析：观察要证明的结论，左边是 个因式的乘积，右边是2的 次方，再结合，发现如果能将左边转化为 的乘积，问题就能得到解决。

2、分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法 这是一种执果索因的思考和证明方法。

①用分析法证明不等式的逻辑关系是： ②分析法论证“若A则B”这个命题的模式是：为了证明命题B为真，这只需要证明命题B1为真，从而有……这只需要证明命题B2为真，从而又有……这只需要证明命题A为真，而已知A为真，故B必真。

例3． 求证： 分析：观察结构特点，可以利用分析法。

点评：①分析法的思维特点是：执果索因.对于思路不明显,感到无从下手的问题宜用分析法探究证明途径.另外,不等式的基本性质告诉我们可以对不等式做这样或那样的变形,分析时贵在变形,不通思变,变则通!

②证明某些含有根式的不等式时,用综合法比较困难，常用分析法.③在证明不等式时,分析法占有重要的位置.有时我们常用分析法探索证明的途径,然后用综

合法的形式写出证明过程,这是解决数学问题的一种重要思想方法.例

4、已知，求证： 分析：要证的不等式可以化为 即 观察上式，左边各项是两个字母的平方之积，右边各项涉及三个字母，可以考虑用

三、课堂练习：

1、已知a,b,c,d∈R,求证：ac+bd≤ 分析一：用分析法

证法一：(1)当ac+bd≤0时,显然成立(2)当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)

即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2即证2abcd≤b2c2+a2d2即证0≤(bc-ad)

2因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,综合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二：用综合法 证法二：(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)

=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)

2∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd故命题得证 分析三：用比较法

证法三：∵(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2=(bc-ad)2≥0,∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2

∴ ≥|ac+bd|≥ac+bd,即ac+bd≤ 点评：用分析法证明不等式的关键是,寻求不等式成立的充分条件.因此,经常要对原不等式进行化简,常用的方法有:平方、合并、有理化、去分母等,但要注意所做这些变形是否可以逆推,若不能逆推,则不可使用.2、已知 且 求证：（分析法）

四、课堂小结：

综合法与分析法证明不等式的方法与步骤

五、课后作业：

课本P25—26习题2.2—2,3,4,5,6,7,8,9

不等式证明的若干方法 篇6

关键词：不等式证明；Lagrange中值定理；Cauchy中值定理

中图分类号：G642 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）19-356-01

一、运用Lagrange中值定理法证明不等式

1、归纳总结Lagrange中值定理证明不等式的特点

应用中值定理解决不等式多为通过对所给不等式进行结构上的分析，通过构造得到某个特定区间上的目标函数，然后运用中值定理满足的条件从而得到不等式的证明。当不等式或进行相应的变形后出现类似于一个函数两点的函数差f（b）-f（a）时应想到运用Lagrange中值定理解决不等式的证明。具体做法如下：

（1）应根据题目选取适当的辅助函数f（x），根据题目选取适当的区间

（2）在该给定区间上验证f（x）是否可以满足Lagrange中值定理

（3）根据 上值的变化及 来证明不等式

参考文献：

[1] 陈纪修，於崇华，金路.数学分析.第二版.北京：高等教育出版社，2004.

[2] 同济大学应用数学系.高等数学（第五版）.高等教育出版社，2003.

用高等方法证明不等式的一类方法 篇7

在高等数学中证明不等式是一类十分典型的问题.证明不等式就是根据不等式的性质, 证明对于式中变量所允许的数值, 不等式恒能成立.不等式的种类繁多, 证明方法难易悬殊, 所用技巧各异, 没有一个统一的处理办法, 但是相当广泛的一类不等式可以用微分法和积分法给予论证.本文粗略地归纳总结了求证复杂、特殊的不等式的行之有效的一类方法——用微分法证明不等式.下面特别说明几种方法.

1.利用导数不等式定理证明不等式

定理 如果在区间[a, +∞) 上函数f (x) 与g (x) 满足条件:

(1) f (x) 与g (x) 都是n阶可导函数.

(2) f (k) (a) =g (k) (a) (k=0, 1, 2, …, n-1) .

(3) f (n) (x) >g (n) (x) (x>a) , 则当x>a时, 不等式f (x) >g (x) 成立.

在某区间上, 利用上面的定理证明不等式f (x) >g (x) 时只要考虑f (x) 与g (x) 在区间左端点小于n的各阶导数值及f (n) (x) 和g (n) (x) 在区间内的关系即可.

例1 求证:$\ln (1+x)>\frac{\text{a}\text{r}\text{c}\text{t}\text{a}\text{n}x}{1+x}(x>0).$

证明 设辅助函数f (x) = (1+x) ln (1+x) ,

g (x) =arctanx, 则f (0) =g (0) =0.

求导$f^{\prime }(x)=1+\ln (1+x)‚g^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x{}^2}$, 则

f′ (0) =g′ (0) =1.

再求导$f^{″}(x)=\frac{1}{1+x}‚g^{″}(x)=-\frac{2x}{(1+x{}^2){}^2}$,

因x>0, 显然有f″ (x) >g″ (x) , 即

(1+x) ln (1+x) >arctanx (x>0) .

2.利用函数单调性, 构造单调函数法

在证明不等式中, 这种方法最为常见, 构造方法常用的有两种:作差和作商, 如果证明f (x) >g (x) 一般优先考虑此方法.其通常步骤为:

(1) 构造函数F (x) =f (x) -g (x) 或$F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$, 使得F (x) >0或F (x) >1.

(2) 考察F (x) 在区间上及端点的连续性.

(3) 求出F′ (x) , 由F′ (x) 的符号来判断F (x) 在相应区间上的单调性.若一阶导不能直接证明, 进而可考虑二阶乃至更高次的导数.

若F (n) (x) >0, F (k) (a) ≥0, n≥1, a<x<b, 0≤k<n, 则F (x) >0.

(4) 求出F (x) 在区间端点处的函数值, 并根据单调性证明不等式.

例2 求证:sinx+cosx>1+x-x2 (x>0) .

证明 将不等式恒等变形为sinx+cosx-1-x+x2>0, 令f (x) =sinx+cosx-1-x+x2, 则有f (x) 在[0, +∞) 上连续可导, 且f′ (x) =cosx-sinx-1+2x.又f′ (x) 在[0, +∞) 上仍连续可导, 且f″ (x) =-cosx-sinx+2>0.故f′ (x) 在[0, +∞) 上单调增加, 于是有f′ (x) >f′ (0) =0 (x>0) , 从而有f (x) 在[0, +∞) 上单调增加, 故f (x) >f (0) =0 (x>0) .

3.利用单调极限证明不等式

若x<b, f (x) 递增或严格递增, 且x→b-0时, f (x) →A, 则f (x) ≤A或f (x) <A.

例3 求证:当x>0, t≤x时, $e{}^{-t}-\left(1-\frac{t}{x}\right){}^x\ge 0.$

证明 当t=0或t=x不等式不证自明, 只需证x>0, t<x, t≠0的情况, 为此只需证$f(x)=\left(1-\frac{t}{x}\right){}^x$递增且$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}f(x)=e{}^{-t}$.当x>0, t<x, t≠0时, $\left[\ln \left(1-\frac{t}{x}\right){}^x\right]{}^{´}=\left[x\text{l}\text{n}\left(1-\frac{t}{x}\right)\right]{}^{´}=\ln (x-t)-\ln x+\frac{t}{x-t}=\frac{-t}{\xi }+\frac{t}{x-t}\ge \frac{-t}{x-t}+\frac{t}{x-t}=0$ (当0<t<x时, 0<x-t<ξ<x;当t<0时, 0<x<ξ<x-t) .又$\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left(1-\frac{t}{x}\right){}^x=\underset{x\to \infty }{{\displaystyle \lim }}\left[\left(1-\frac{t}{x}\right){}^{-\frac{x}{t}}\right]{}^{-t}=e{}^{-t}‚\therefore x>0‚t\le x‚e{}^{-t}-\left(1-\frac{t}{x}\right){}^x\ge 0.$

4.利用微分中值定理及泰勒公式证明不等式

如果欲证不等式经过简单变形一端可以写成$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(1)$的形式, 则可以利用拉格朗日中值定理予以证明;如果不等式一端可以写成 (1) 的形式, 则可以用柯西中值定理予以证明.对于区间内至少存在一点使某不等式成立的命题也可考虑利用微分中值定理.

如果要证明不等式中有一部分是n次多项式, 且当利用函数单调性证明时判断其导数符号较困难时;或题设中函数具有二阶和二阶以上的导数, 且最高阶导数的大小或上下界可知, 这些情况均可以考虑利用泰勒公式证明.特别地, 对于泰勒公式, 当f (a) =f′ (a) =f″ (a) =…=f (n) (a) =0, f (n+1) (x) >0, x∈ (a, b) , 则$f(x)=\frac{f{}^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a){}^{n+1}>0.$

例4 求证:$\frac{\text{t}\text{a}\text{n}x}{x}>\frac{x}{\text{s}\text{i}\text{n}x}‚x\in \left(0,\frac{\text{π}}{2}\right).$

$\begin{array}{l}\text{证}\text{明}\text{原}\text{不}\text{等}\text{式}\text{等}\text{价}\text{于}\text{求}\text{证}f(x)=\tan x\cdot \sin x-x{}^2>0‚x\in \left(0,\frac{\text{π}}{2}\right)‚\\ f^{\prime }(x)=\sec {}^{2}x\cdot \sin x+\tan x\cdot \cos x-2x\\ =(\sec {}^{2}x+1)\sin x-2x‚\\ \therefore f^{\prime }(0)=0‚f^{″}(x)=2\sec {}^{2}x\tan x\sin x+(\sec {}^{2}x+1)\cos x-2‚\\ \therefore f^{″}(0)=0‚f^{‴}(x)=\sin x(5\sec {}^{2}x+1)+b\sin {}^{2}x\sec {}^{4}x>0.\end{array}$

∴由泰勒公式, 当x∈ (a, b) 时,

$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)(x-0)+\frac{f^{″}(0)}{2!}(x-0){}^2+\frac{f^{‴}(\xi )}{3!}\cdot (x-0){}^3=\frac{x{}^3{f}^{‴}(\xi )}{3!}=0$, 即得证.

5.利用函数的凸凹性证明不等式

设f (x) 为定义在区间I上的函数, 若对于I上任意两点x1, x2和实数λ∈ (0, 1) 总有f (λx1+ (1-λ) x2) ≤λf (x1) + (1-λ) f (x2) , 则称f (x) 是I上的凸函数.

因为凸函数是用不等式定义的, 所以我们可以利用凸函数的这一特性来证明某些不等式.

凸函数定义的一般形式即詹森不等式:

若f (x) 为[a, b]上的凸函数, 对任意xi∈[a, b], λi>0 (i=1, 2, …, n) , 且${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$λi=1, 则f (${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$λixi) ≤${\displaystyle \sum _{i=1}^n}$λif (xi) .下举一用詹森不等式证明不等式的例子:

例5 设ai>0 (i=1, 2, …, n) 且不全相等, 求证:

arctan (λ1a1+λ2a2+…+λnan) ≥λ1arctana1+λ2arctana2+…+λnarctanan.

证明 考虑函数f (x) =-arctanx, x∈ (0, +∞) , 则

$f^{\prime }(x)=\frac{-1}{1+x{}^2}‚f^{″}(x)=\frac{2x}{\sqrt{1+x{}^2}}>0‚(x>0)$,

即f (x) 为 (0, +∞) 上的凸函数, 由詹森不等式即将f (x) 代入, 得

arctan (λ1a1+λ2a2+…+λnan) ≥λ1arctana1+λ2arctana2+…+λnarctanan.

最后提一下几个著名的不等式:Canchy不等式、Schwarz不等式、Höller不等式、平均值不等式, 这些不等式证明方法十分典型, 这里不再赘述.

参考文献

[1]张晓宁, 李安昌.高等数学方法[M].江苏:中国矿业大学出版社, 1998:103.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 1993.

积分不等式的证明方法 篇8

积分不等式是微积分学中的一类重要不等式,在数学分析中有着广泛的应用.但是,笔者在教授高等数学这门课程的过程中发现大部分学生碰到积分不等式的证明问题时往往会束手无策.主要困难如下:被积函数不能用初等函数表示,从而无法应用Newton-Leibniz公式求出定积分的值;被积函数的具体表达式未知,只给出了它的某些性质.鉴于此,本文将专门讨论积分不等式的证明问题,主要介绍了五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.

二、构造积分上限的函数

由柯西中值定理知

因为f(t)单调减少,且f(1)>0,

三、利用定积分的比较性质证明积分不等式

思路分析观察左边、右边的两个积分,被积函数相同,但积分区间不同.于是,用定积分对积分区间的可加性构造需要的积分区间.

因为f(x)在区间[0,1]上单调不增,所以

四、利用积分中值定理证明积分不等式

思路分析利用积分中值定理将积分不等式转化为不含积分的不等式,再进行证明.

五、利用Schwarz不等式证明积分不等式

思路分析应用Schwarz不等式,要注意恰当地选取函数f(x)和g(x).

证:由Schwarz不等式

六、利用平均值不等式证明积分不等式

例7设正值函数f(x)在区间[0,1]上连续,试证:

思路分析将定积分表示成积分和的极限,再应用平均值不等式.

本文通过实例说明了证明积分不等式时可以尝试的五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.希望对读者有所帮助.

摘要：如何证明积分不等式是学习高等数学这门课程的一个难点问题.本文专门讨论积分不等式证明的五种方法:构造积分上限的函数,利用定积分的比较性质,利用积分中值定理,利用Schwarz不等式和利用平均值不等式.

关键词：积分不等式,积分上限的函数,积分中值,Schwarz不等式,平均值不等式

参考文献

[1]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].北京:高等教育出版社,1993:249-278.

[2]卢兴江,金蒙伟.高等数学竞赛教程[M].杭州:浙江大学出版社,2009:58-74.

[3]毛京中.高等数学竞赛与提高[M].北京:北京理工大学出版社,2004:80-127.

例谈不等式的证明方法 篇9

一、比较法

1. 作差比较法:

当要证的不等式两边为代数和形式时, 通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判定左-右的符号, 从而降低了问题的难度.作差是化归, 变形是手段, 变形的过程是因式分解 (和差化积) 或配方, 把差式变形为若干因子的乘积或若干个完全平方的和, 进而判定其符号, 得出结论.

例1已知a, b都是正数, (并且a≠b) 求证:a5+b5>a3b2+a2b3.

分析:要证a5+b5>a3b2+a2b3, 只需证明a5+b5- (a3b2+a2b3) >0 (即作差) .把a5+b5- (a3b2+a2b3) 变形 (因式分解) , 再运用已知条件a, b∈R+, 且a≠b, 可把问题解决.

证明:

∵a, b∈R+, 且a≠b, 则当a>b时, 有a2>b2, a3>b3.

得 (a2-b2) (a3-b3) >0;当a

综上得 (a2-b2) (a3-b3) >0, ∴a5+b5>a3b2+a2b3.

2. 作商比较法:

当不等式两边为正的乘积形式时, 通过作商把其转化为比较左右与1的大小.

例2若a>b>c>1, 求证:a2ab2bc2c>ab+cba+cca+b.

证明:∵a>b>1,

同理 (b) b-c>1, (c) a-c>1.

二、综合法

综合法, 又称顺推法 (由因导果) .是由已知条件 (或真命题) 推导未知 (或结论) 的证明方法, 即从已知条件或真命题出发, 依次推导出一系列真实命题, 最后达到所要证明的命题的结论从不等式的证明来看就是从已知或已证明过的不等式出发, 根据不等式的性质推导出欲证的不等式 (由因到果) .综合法往往是分析法的逆过程, 表述简单、条理清楚.

例3已知a, b, c是不全相等的正数, 求证:a (b2+c2) +b (c2+a2) +c (a2+b2) >6abc.

分析:不等式左边含有“a2+b2”的形式, 我们可以运用基本不等式:a2+b2≥2ab.还可以这样思考:不等式左边出现有三次因式:a2b、b2c、c2a、ab2、bc2、ca2的“和”, 右边有三正数a、b、c的“积”, 我们可以运用重要不等式:a3+b3+c3≥3abc.

证明:∵b2+c2≥2bc, a>0, ∴a (b2+c2) ≥2abc.

同理:b (c2+a2) ≥2abc, c (a2+b2) ≥2abc.

三、分析法

证明不等式时, 有时可以从求证的不等式出发, 分析使这个不等式成立的充分条件, 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题.如果能够肯定这些充分条件都已具备, 那么就可以断定原不等式成立.这种证明方法的思维特点是“执果索因”.

例4求证:

证明:为了证明, 只需证明成立.

展开得

显然这是成立的, 所以

四、反证法

在证明一些“唯一性”命题及“无限性”命题时, 往往直接去证明比较棘手, 就可以使用反证法进行证明.用反证法应注意几个问题:1.如果肯定命题的假设而否定其结论, 就会导致矛盾, 由此论证原结论是正确的证明方法就是反证法的中心思想;2.应把“反设”看作是在证明过程中新增加的条件, 同时在证明过程中, 必须要使用这个新增加的条件, 否则无法引出矛盾;3.导出矛盾的结果, 通常是指出现下列矛盾之一: (1) 与已知相矛盾; (2) 与已知的公理相矛盾; (3) 与已知定义相矛盾; (4) 与已知定理、公式, 性质相矛盾; (5) 与“反设”相矛盾; (6) 由“反设”推出的结果自相矛盾, 其步骤为:否定结论→推理论证→导出矛盾→肯定原结论.

例5已知Ac-2Bb+Ca=0, 且ac-b2>0, a, b, c, A, B, C均不为零, 求证:AC-B2<0.

证明:假设AC-B2≥0, 则AC≥B2>0.

由已知条件ac-b2>0, 得ac>b2>0, 于是AaCc>B2b2.

又Ac-2Bb+Ca=0, 故 (Ac+Ca) 2=4B2b2<4AaCc.

所以 (Ac+Ca) 2<0.

这是不可能的, 所以AC-B2<0.

浅谈不等式的证明方法 篇10

对于两个量,我们比较它们之间的大小,证明一个量大于或者小于另一个量,这就是不等式证明的实质过程。下面归纳了一些不等式的证明方法。

1 数学归纳法

数学归纳法有很多表达形式,其中最基本和最常用的是第一数学归纳法和第二数学归纳法。

第一数学归纳法:设P(n)是一个(关于正整数n)的命题。如果:

P(1)成立;(2)设P(k)成立,可推出P(k+1)成立,那么P(n)对一切正整数都n成立.

第二数学归纳法:设P(n)是一个(关于正整数n)的命题。如果:

P(1)成立;(2)n燮k(k为任意正整数)时P(n)(1燮n燮k)成立,可推出P(k+1)成立,那么P(n)对一切正整数都n成立。

在遇到与正整数n有关的不等式时,往往可以想到采用数学归纳法去证明。下面举出对应实例:

证明:由平均不等式,得

下面证明对一切正整数n,有

因此(1)对一切正整数n成立,当然对2005也成立。

(2)假设n=k时,。

当n=k+1时,由相应函数是增函数,

因此,要证不等式成立,只要证

这已成立,所以n=k+1时,不等式也成立。

由(1)和(2)可知,对一切正整数n成立。

注意:本题在推证n=k+1时,引入了,与函数有效结合起来,这既是本题的难点,也是突破点,是要极其重视的地方。

2 比较法

一般情况下我们认为,比较法就是通过确定两个实数a与b的差或a与b商的符号或者是其符号的范围来确定a与b大小关系的方法。比较法写成公式的形式大致有如下两种:

若证A叟B,只要证A-B叟0即可;

若B>0,证A叟B,只要证叟1即可。

在用比较法时,我们经常需要对不等式进行一些适当的处理,比如作差、分解、拆项、合并等等方法的处理,这样才能使得用比较法证明不等式更加简便。

下面举出相对应的计算实例:

例2.1实数x、y、z满足,求证:。

证明:

注意:本题中常数4的变换,是通过拆分项再合并所得到的,因此需要学生有一定计算基础与观察的能力。

例2.2设a,b,c,求证:

证明:由于不等式是关于a,b,c对称的,不妨设,于是

3 换元法

我们知道,换元法在不等式的证明中也是很常见的方法之一,通过对不等式添加或者去掉某些元素,使原来的未知量(或变量)变换成新的未知量(或变量),从而更容易达到证明原有不等式的目的。

换元法一般可分为三角换元、整体换元等,下面举出对应的实例。

例3.1已知,证明:。

证明:已知(求证式中分母含a2,b2),

同样的题目,我们用整体换元法重新做一次。

例3.1已知a2+b2=1,证明:。

证明:设,把代入上述方程并简化得:,由

说明此种方法就是把a2+b2看作一个整体,设为t,换元后使方程变的简单。

4 放缩法

当直接证明不等式A叟B比较困难的情况出现时,我们可以试着去找一个中间量C,使得A叟C及C叟B成立,自然就有A叟B成立。那么我们就可以理解为“放缩”就是将A放大到C,再把C放大到B,反过来说也可以。常用的有“添舍放缩”和“分式放缩”。

例4.1设a,b,c,证明:

所以原不等式成立。

注意:在证明分式不等式的时候,通分只有在极其特殊的情况下才进行的,比较简便的一种思想就是“放缩”。

以上简单的归纳了几种证明不等式的方法,其他证明不等式的方法还有很多这里就不做详细的介绍了。

在解决不等式过程中,由于不等式的不同,证明的方法也各有不同。在证明不等式时,应注意多种证明方法的综合应用,绝不可以将某种证法看成是孤立的。

总之,解题有法,但无定法,遵循规律,因题择法,想要熟练掌握这些技巧,必须多实践,悟出规律。

参考文献

[1]张禾瑞,高等代数1997

[2]赵忠彦.用数学归纳法证明一类不等式的技巧[J].数学通讯2007

大学数学中不等式的证明方法 篇11

1．用数学归纳法证明不等式

数学归纳法是证明一些与自然数有关命题的基本方法，是数学证明的有力工具。但是用数学归纳法证明不等式时，却往往受挫，不过若能掌握若干技巧，将会使证明获得成功，到达胜利的彼岸。下面我们试对数学归纳法如何证明不等式进行举例说明。

从上式，无法判断n=k+1时是否成立，但是有：

因此可以改变命题成立的充分条件，求证：

证明：由已知得：

由以上两种情况可知，不等式(2)成立，从而对于命题(1)也成立，即得证。

2．用导数及单调性证明不等式

导数是研究函数性质的一种重要工具。例如，求函数的单调区间、求最大(小)值、求函数的值域等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质，因此，很多时候可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在不等式证明时的作用。

解题思路：运用导数知识证明不等式，常用的方法是利用函数的单调性。对于一些不易入手的不等式证明，可利用导数思想，先通过要证明的不等式构造一个函数，再判定其函数单调性来证明不等式成立。

例2，证明：若函数f, g在区间(a, b]上可导，且f'(x)>g'(x), f (a)=g (a)，则在(a, b]内有f (x)>g (x)。

证明：构造F (x)=f (x)-g (x)，由已知，得：F (x)在[a, b]上可导且F (a)=0。

∴F (x)在[a, b]上严格单调递增，即∀x∈(a, b]，有F (x)>F (a)=0，也就是f (x)>g (x)，∀x∈(a, b]。

3．利用导数求出函数的最值后，再证明不等式

在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值;由当该函数取最大(或最小)值时不等式都成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。

例3，求证：n为正整数，当n≥3, 2n>2n+1。

证明：由已知得，要证原式，即需证：2n-2n-1>0 (n≥3)成立。

设f (x)=2x-2x-1 (x≥3)，则f'(x)=2xln2-2 (x≥3) 。

又∵x≥3，则f'(x)≥23ln2-2>0，所以f (x)在[3，+∞]上是增函数。

∴f (x)的最小值为f'(3)=23-2×3-1=1>0。

所以，n≥3时，f (n)≥f (3)>0，即n≥3, 2n>2n+1成立。

4．利用拉格朗日中值定理证明不等式

中值定理是证明不等式的重要工具，在此以拉格朗日中值定理举例说明如下：

例4，对f (x)=ln (1+x)应用拉格朗日中值定理，试证：对x>0，有0<<1。

5．用积分证明不等式

积分与不等式具有十分密切的关系，大学期间我们常用不等式来证明积分的性质，再利用积分的性质去证明不等式，下面的性质1和推论1在用积分法证明不等式时经常用到。

例5，设p, q是大于1的常数，且证明：对于任意x>0，有

证明：对x分两种情况讨论：

当01时，tp-1≤1，不等式两边关于t从x到1积分，得：

当x≥t≥1时，则当p>1时，tp-1≥1，不等式两边关于t从1到x积分，得：

故对于任意的x>0，有≥x，且不等式等号当且仅当x=1时成立。

二结束语

本文归纳总结大学数学中数学归纳法、单调函数法、最大最小值方法、中值定理方法和积分不等式性质方法，并通过实例说明五种不等式的证明方法的可操作性。

参考文献