不等式中的数学思想

不等式中的数学思想（精选10篇）

不等式中的数学思想 篇1

不等式的解法是高考必考内容, 主要以选择题、填空题的形式出现, 小巧灵活, 形式新颖.另外, 在解答题中, 从三角函数到函数、从平面到空间无不展示不等式的存在价值和应用价值.同时也是解决其他数学问题的有力工具.不等式问题中蕴含着许多数学思想方法, 所以不等式一直都是高考命题的热点.本文对不等式中的数学思想方法作初步的探讨.

一、特值验证法

解答不等式选择题, 用特值验证法去解, 可省时省力.一般根据条件和备选项确定一个常值, 代入题设条件或备选结论中, 从而排除不正确选项或找出唯一正确的选项, 这种解选择题的方法称为特殊值法.

二、等价转化思想

数学问题的求解过程事实上是一个不断转化的过程, 这个过程体现了“把未知解法的问题化归到在已有知识范围内可解”的求解策略.转化是分析问题和解决问题的重要思维模式.

三、分类讨论思想

解答含参不等式是高考的重点, 在解题过程中, 一般要对参数进行分类讨论.分类讨论时关键要找准讨论的标准, 如指数和对数式的底数、二次函数的开口方向、与x轴的交点个数等.

四、换元思想

对式子比较复杂或具有某些特征的不等式, 恰当引入一个或几个新变量替换原来的某些量, 使得原式中仅含有新变量, 对新变量求出结果后, 再返回求出原变量的结果, 通过这样的变量代换, 达到化繁为简, 化难为易, 把未知转化为已知的目的.

例4设a, b∈R, a2+2b2=6, 则a+b的最小值是 () .

五、函数思想

由于不等式的结构特征与函数的单调性有密切的联系, 因此, 恰当地构造函数, 利用函数的单调性对原不等式进行等价转化, 从而优化不等式的解答过程.

六、方程思想

不等式其实就是将方程的等号改为不等号, 那么方程的根就与不等式的解集密切相关, 要善于把它们有机地联系起来.

例6已知关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集是[-1, 2], 求a, b的值.

七、数形结合思想

当所求解的不等式有明显的几何意义或本身由函数构成, 且其对应的图像容易直观地画出时, 我们可以借助其图像的直观性, 直接得到这类不等式的解集, 这种求解不等式的方法体现了数形结合思想.

不等式中的数学思想 篇2

陈玉发

郑州职业技术学院基础教育处450121

摘要：在研究生入学考试中，中值定理是一项必考的内容，几乎每年都有与中值定理相关的证明题．不等式的证明就是其中一项．在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可使一些不等式的证明简化．

关键词：考研数学不等式中值定理幂级数

（作者简介：陈玉发，男，汉族，出生于1969年5月工作单位：郑州职业技术学院，副教授，硕士，从事数学教育研究．邮编：450121）

微分中值定理是微积分学中的一个重要定理，在研究生入学考试中，几乎每年都会有与中值定理相关的证明题．不等式就是其中一项。下面就考研数学中的不等式证明谈一下中值定理的应用． 在不等式的证明中，利用函数的单调性，构造辅助函数是一种常用并且非常有效的方法．但是，有时这种方法非常繁琐．巧用中值定理可以使一些不等式的证明过程得到简化．下面就历年考研数学中的不等式证明题谈一下．

例1（1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）

(2)设bae，证明ab ba

xa对此不等式的证明，一般我们会想到构造辅助函数，f(x)ax，f(a)0，然后证明

在xa时，f(x)0．这个想法看似简单，而实际过程非常繁琐，有兴趣的读者可以试着证明一下．下面笔者给出几个简便的证明．

证：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：abbabalogabbalnb lna

lnblna lna

lnblnalna baa

1lna，其中eablnabaa

1

1lna，其中eab． a

原命题得证．

证：Ⅱ 利用微分中值定理，abeblnaalnb









blnb alnablnblna1 alnab1b1ln alnaab1b1(lnln1)alnaablnln1lna（微分中值定理）1a

1

lna，（1b）a

原命题得证．

证明Ⅲ 利用幂级数展开：

设bax，原不等式等价于

aaxa (ax)aaaax(a)x

xa(1

而 xa)，a

ln2a2a1lnaxx2!xlnnanxn!，xxa(a1)x2a(a1)(an1)xn(1)a1a()()． aa2!an!a

a(a1)(an1)n由于x0，ae，所以lna1，lna．通过比较以上两个级数可知原na

不等式成立．

对于不等式a(1

一下．

例2（1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）xxa)的证明仍可以利用拉格朗日中值定理证明，有兴趣的读者可以自己证a

设f(x)0，f(0)0，证明对任何x10,x20，有f(x1x2)f(x1)f(x2)． 证：不妨设x1x2，f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x1)

f(x1x2)f(x2)f(x1)f(0)(x1x2)(x2)x10

f(1)f(2)，x21x1x2，02x1x2，显然21，而f(x)0，所以f(x)单调递减．原不等式得证．

例3（1999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第六题）

论证：当x0时,(x21)lnx(x1)2 ．(x21)lnx

证：(x1)lnx(x1)(x1)21 22

(x1)lnx1 x1

(x1)lnx(11)ln11，（柯西中值定理）x1

ln(1)

1，（介于1与x之间）

1ln0． 当1时，上式显然成立；当01时，我们可以证明，

命题得证．

例4（2004年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第三题）

(15)设eabe2，证明lnblna

22224(ba)． 2e4ln2bln2a4证：lnblna2(ba)2 e(ba)e

142ln2，(eabe2)e

1

ln2，2e

因为eabe2，所以，lnelne222． eee

所以，原不等式成立．

例5（2006年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（17）题）

证明：当0ab时，bsinb2cosbbasina2cosaa．

证：令f(x)xsinx2cosxx

bsinb2cosbbasina2cosaa

f(b)f(a) 0

f(b)f(a)0 ba

f()cossin0，0ab

令f(x)xcosxsinx，f()0，f(x)cosxxsinxcosxxsinx0，0axb，所以在(0,)内，f(x)单调减少，即f(x)0．

原命题得证．

例6（2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷第(17)题

(1)比较1

0lnt[ln(1t)]ndt与tnlnt的大小,说明理由。01

解：因为lnt[ln(1t)]n

tnlnt[ln(1t)]n tn

[ln(1t)nln(1t)ln(10)n][]（拉格朗日中值定理）tt0

()1，0t1，1n



所以lnt[ln(1t)]tlnt。即nn1

0lntt)]dtn10tnlnt。

例7（2012年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题第（18）题）

1xx2

cosx1，(1x1)．证明：xln1x2

证：原不等式等价于：

x2

x[ln(1x)ln(1x)]1cosx 2

xx2

（仅当x0时取等号）x[ln(1x)ln(1x)]2sin222

[ln(1x)ln(1x)]1（当x0时）2xxx2sin222

11111，（柯西中值定理，其中0x1），sinx

21，0x1 2(sin)(1)x

因为(sin)(12)22x，所以不等式成立．

利用同样的方法可以证明当1x0时，不等式成立．

综上所述，原不等式成立．

xx例8 证明：当x0时，xe1xe．

证：当x0时，ex1xxe1xe1e xxx

exe0

1ex，（利用柯西中值定理）x0

1eex，其中0x．

原不等式成立．

例9 证明：当0x

2时，sinxtanx2x．

证明：sinxtanx2xsinxtanx2 x

sinxtanx(sin0tan0)2 x0

cossec22（柯西中值定理）1

cossec22，因为

cossec2所以，原不等式成立．

中值定理是证明不等式时常用的一个非常有效的工具．我们习惯于构造辅助函数，利用单调性来证明不等式．而函数的单调性还是通过拉格朗日中值定理进行证明的．因此，利用单调性证明不等式的基础还是微分中值定理．以上几例体现了中值定理在证明不等式时的效果．

不等式中的数学思想 篇3

一、 数形结合的思想方法

在解决代数问题时，我们可以借助图形，直观而形象，易于理解. 体现在不等式组上，即找各个不等式的公共解时，可以利用数轴来解决问题.

例1 解不等式组x-3<0，①

x+1>0.②

解：由①得，x<3，由②得，x>-1，所以不等式组的解集为-1

【说明】不等式的解也是组成它的每个不等式的解，即不等式组的解是每个不等式的公共解，体现在图形上为每个解集都包含的部分.

二、 类比思想方法

解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤基本上一样，不同的是解一元一次不等式根据的是不等式的性质，而解一元一次方程根据的是等式的性质；特别应注意的是化系数为1时，若除以（或乘以）的是一个负数时，解不等式时不等号的方向要改变，而解一元一次方程只要系数不为0，所得的方程与原来的方程同解. 通过类比，加深了对它们的理解，避免了一些不该犯的错误.

例2 解不等式 2（x+5）>3（x-5）.

解：去括号，得2x+10>3x-15，

移项，得2x-3x>-15-10，

合并同类项，得-x>-25，

系数化为1，得 x<25.

例3 解方程 2（x+5）=3（x-5）.

解：去括号，得2x+10=3x-15，

移项，得2x-3x=-15-10，

合并同类项，得-x=-25，

系数化为1，得x=25.

【说明】通过这两道例题，可以发现它们的解题步骤相同，但是所用的性质不同，加强学生在解一元一次不等式时改变符号的意识.

三、 建模的思想方法

在日常生活中，利润的优化，方案的设计等都有不等关系，所以建立不等式模型解决实际问题也是我们数学中的一种很好的思考方法.

例4 君实机械厂为青扬公司生产A、B两种产品，该机械厂由甲车间生产A种产品，乙车间生产B种产品，两车间同时生产. 甲车间每天生产的A种产品比乙车间每天生产的B种产品多2件，甲车间3天生产的A种产品与乙车间4天生产的B种产品数量相同.

（1） 求甲车间每天生产多少件A种产品？乙车间每天生产多少件B种产品？

（2） 君实机械厂生产的A种产品的出厂价为每件200元，B种产品的出厂价为每件180元. 现青扬公司需一次性购买A、B两种产品共80件，君实机械厂甲、乙两车间在没有库存的情况下只生产8天，若青扬公司按出厂价购买A、B两种产品的费用超过15 000元而不超过15 080元. 请你通过计算为青扬公司设计购买方案.

解：（1） 设乙车间每天生产x件B种产品，则甲车间每天生产（x+2）件A种产品.

根据题意3（x+2）=4x；解得x=6；∴x+2=8.

答：甲车间每天生产8件A种产品，乙车间每天生产6件B种产品.

（2） 设青扬公司购买B种产品m件，则购买A种产品（80-m）件，

∵15 000<200（80-m）+180m≤15 080，∴46≤m<50.

∵m为整数，∴m为46或47或48或49；又∵乙车间8天生产48件，∴m为46或47或48.

∴有三种购买方案：购买A种产品32件，B种产品48件；购买A种产品33件，B种产品47件；购买A种产品34件，B种产品46件.

【说明】本题以产品的加工与经销问题背景，借助方程与不等式，进行方案设计，突出考查了学生综合运用方程与不等式知识解决实际问题的能力，体现了建模的数学思想.

（作者单位：江苏省泰州市姜堰区实验初级中学）

数学思想在不等式(组)中的运用 篇4

关键词：数学思想,教学研究

数学思想是数学的精髓, 是连接各类知识的纽带.在教学过程中渗透数学思想方法, 能提高教学效果, 提高学生的数学素养.

1. 数形结合思想

数形结合思想是数学学习中经常用到的思想方法, 它要求我们具有一定的观察能力和分析能力, 能够做到由数思形, 由形思数, 将数形合二为一, 从而使问题得以迅速解决.在数轴上表示数是数形结合的具体体现.本章中应用数形结合思想尤为突出, 求不等式的解集的过程是代数的内容, 用数轴表示不等式的解集的过程, 是将代数问题几何化的过程, 在解不等式组的过程中是在数轴上分别表示各不等式的解集, 并找出公共部分都是数形结合的应用.

例1已知关于x的不等式组的整数解共有3个, 则b的取值范围是.

分析化简原不等式组, 得将其中的x≥4.5表示在数轴上如图, b的位置应结合题中的已知条件, 原不等式组有3个整数解, 可知原不等式组的整数解为5, 6, 7, 所以b的取值范围是7≤b<8.

答案7≤b<8.

点拨将数与形结合起来, 方便于问题的解决.

2. 转化思想

学习一元一次不等式和一元一次不等式组时, 注意转化思想的运用, 明确转化的目标是将一元一次不等式化成最简形式, 转化的依据是不等式的性质.

例2求同时满足不等式6x-2≥3x-4和x/4-1<2-x/2的整数x的值.

解不等式 (1) , 得x≥-2/3.解不等式 (2) , 得x<4.

所以不等式组的解集为-3/2≤x<4, 其中的整数解为0, 1, 2, 3.

所以同时满足不等式6x-2≥3x-4和x/4-1<2-x/2的整数x的值为0, 1, 2, 3.

点拨根据题意建立不等式组, 通过转化求出不等式组的解集, 再确定其中的整数解, 转化过程起了重要作用.

3. 类比思想

类比思想是指在不同对象之间, 或者在事物和事物之间, 根据它们某些方面 (如特征、属性、关系) 的相似之处进行比较, 通过类比可以发现不同知识间的相同点和不同点, 进而加深对新知识的理解和运用.如不等式的性质和等式的性质、不等式的解和方程的解进行类比等.

例3已知x=1是不等式组的解, 求a的取值范围.

分析根据不等式组解的意义, 类比方程解的意义, 直接将x=1代入不等式组中.

解因为x=1是原不等式组的解, 所以

由 (1) , 得a≤1.由 (2) , 得a>-4/3.所以a的取值范围是-4/3

点拨 通过类比可以发现新旧知识间的不同点和相同点, 有助于利用已有知识去认识并加深理解新知识.

4. 分类讨论思想

根据所给的条件进行分情况讨论是分类思想的应用, 本章中在解不等式时, 如果不能确定未知数的系数, 往往需要运用分类讨论思想.

例4已知不等式的解集是x>1/2, 求a的取值范围.

分析 首先将已知不等式化简, 再根据a的取值进行分类讨论.

解去分母, 得x+5-2>ax+2.

移项、合并同类项, 得 (1-a) x>-1.

当1-a=0时, x为全体实数.而与不等式的解集为x>1/2, 矛盾;当1-a<0时, 而与不等式的解集为x>1/2, 矛盾;当1-a>0时, 解为而不等式的解集为x>1/2, 故所以a=3.

因此, 当a=3时, 原不等式的解集是x>1/2.

因此, 在日常教学中, 要以数学知识为载体, 将数学思想方法有机地渗透入教学计划和教学内容之中, 从而在知识的发生和运用过程中贯彻数学思想方法, 形成数学知识、方法和思想融合成的整体.数学思想是数学的灵魂, 是连接各类知识的纽带.

参考文献

不等式中的数学思想 篇5

关键词：高中数学；不等式教学；数学思维

高中数学是高中生学习的重要基础课程，而不等式教学是高中数学教学的重点和难点，因此，高中数学教师在教学过程中，要加大对不等式教学的研究力度，更新自身的教学观念，采用先进的教学模式，不断提高高中数学不等式教学水平。对于不等式教学环节，教师可以采用模块化教学方式，通过数学思维的渗透，来提高学生的数学思维能力，从而激发学生的学习兴趣，让学生积极主动的参与到高中数学不等式教学活动中，下面就高中数学不等式教学的数学思维进行分析。

一、高中数学不等式教学的数学思维方法

数学思维方法是通过数学思维让学生认识到数学知识结构的核心，帮助学生理解数学知识，在高中数学教学中，常用的数学思维方法有数形结合、函数方程、数学模型、化归、递推等几种情况，这些数学思维方法是高中数学教学中不可缺少的一部分。由于数学思维方法同换元、代人等数学基本方法不同，数学思维方法需要从数学知识中进行归纳，并在实践中应用，因此，教师在进行高中数学知识讲解时，要注重数学思维的渗透，从而有效地提高学生的数学思维能力。

不等式教学是高中数学教学的重要内容，是解决数学问题的基础工具，在进行不等式知识考查时，有间接考查和直接考查两种方法，间接考查是指结合函数、几何、数列等知识对不等式知识的应用进行考查；直接考查是指通过选择题、填空题等形式对不等式知识进行考查。因此，教师在进行高中数学不等式教学时，不仅要注重不等式知识与其他知识的交汇，还要注重培养学生的数学思维能力，提高学生运用数学思维解决不等式问题的能力，从而有效地提高学生的数学素质。

二、数学思维在高中数学不等式教学中的渗透

在高中数学教学中，常用的数学思维方法有数形结合思维、函数方程思维、化归思维、分类讨论思维等，在进行高中数学不等式教学时，教师要灵活的应用这些数学思维方法，从而有效地提高高中数学不等式解题灵活性，提高学生解决不等式问题的能力。

1、数形结合思维。在高中数学中，“数”和“形”是最重要的支柱，数形结合思维就是在解决数学问题时，用“数”解“形”，用“形”得“数”，从而达到解决数学问题的目的。在高中数学教学中，数形结合思维贯穿于整個数学教学活动，如数轴、三角法、图解法、复数法等都是数形结合思维的应用，通过数形结合思维能简化复杂的问题，将抽象的问题具体化，从而快速的解决数学问题。在进行数学教学时，教师要充分利用图像、图形，帮助学生理解不等式的相关知识概念，让学生通过“数”与“形”的对应，灵活的处理不等式问题，有效地提高高中数学不等式教学效果。

2、函數方程思维。函数方程思维是指在进行不等式教学时，对于某些问题可以构建相应的函数或者方程，将不等式问题转换为函数问题或者方程问题。例如教师在教学过程中，可以将不等式看成两个函数值的不相等关系，利用方程f（x）=0求解函数v=f（x）的零点，通过方程学生就能发现不等式和函数的单调性有很大的关系。在采用函数方程思维进行高中数学不等式教学时，教师要让学生明白函数和方程是两个不同的概念，两者存在一定的差别，如函数有定义域、值域、对应关系，并且x、y在函数中是从属关系，而在方程中，x、v是平等关系。学生只有明白函数和方程的差别，才能在“函数一图像一方程一解方程”和“方程跟一函数图像”的转化中应用自如。函数方程思维的本质是数学知识的转换，通过函数方程思维能加深学生对数学知识的理解，有助于学生数学能力的提高。

3、化归思维。化归思维是指利用现有的知识，对问题进行观察、类比、变化、转化，将问题变成已只掌握的知识，从而解决问题，化归思维是从事物相互联系和制约的角度进行问题处理的，当学生掌握了化归思维后，能轻松的将各种问题转换为简单、已知的问题。教师在进行高中数学不等式教学时，通过化归思维，能帮助学生将不等式问题转换为已经掌握的问题，从而有效地提高学生解决不等式问题的能力。

4、分类讨论思维。分类讨论思维是根据对象本质的差异性，对数学对象进行分类，帮助学生理解数学知识的一种思维。在高中数学不等式教学中，采用分类讨论思维，能有效地提高学生理解知识、总结知识的能力，能帮助学生建立完善的数学知识结构。

三、结语

高中数学是学生系统的学习数学知识的重要阶段，对学生的全面发展有十分重要的意义，不等式是高中数学的重要教学内容，贯穿于高中数学各个环节，在高中数学不等式教学中，教师要特别注重数学思维方法的应用，从而有效地激发学生学习兴趣，提高学生的数学思维能力，提高学生解决不等式问题能力，促进学生综合素质的提升。

记住你是个女孩，努力是你的象征，自信是你的资本，微笑是你的标志，你要奋斗的不是在一个男人面前委曲求全让他看到你的努力，而是好好努力并且等待数年后那个单膝跪地给你无名指戴上戒指的男人。想要别人爱你，前提是先好好爱自己。

不等式中的数学思想 篇6

一、转化思想

例1 (2013·山东济宁)已知ab=4,若-2≤b≤-1,则a的取值范围是( ).

A. a≥-4 B. a≥-2

C. -4≤a≤-1 D. -4≤a≤-2

【解析】已知条件可以转化为b=4/a ,将它代入不等式-2≤b≤-1,有-2≤4/a≤-1, 解这个不等式得-4≤a≤-2,∴选D.

二、方程思想

例2 (2013·湖北鄂州) 若不等式组的解集为3≤x≤4,则不等式ax+b<0的解集为______.

【解析】解①得x≥b/ 2 ,解②得x≤-a,所以这个不等式组的解集为b/2≤x≤-a. 而这个解集就是3≤x≤4,∴b/2 =3,-a=4,∴b= 6,a=-4,∴-4x+6<0,∴x>3/2 .

三、分类思想

例3已知不等式1/2 (x-5)-1>1/2 (ax+2)的解集是x>1/2 ,求a的取值范围.

【解析】原不等式可转化为(1-a)x>9. 由于x的系数(1-a)的正负性不确定,所以要分类讨论:当1-a=0时,不等式无解;当1-a<0时,不等式的解集为,但不等式的解集为x>1/2 ,矛盾;当1-a>0时,不等式的解集为,而不等式的解集是x>1/2 ,所以,解得a=-17.

四、逆向思想

例4已知关于x的不等式3x-a≤0的正整数解恰好是1,2,3,那么a的取值范围是 __________.

【解析】由3x-a≤0,得x≤a/3 ,其正整数解恰好是1、2、3,直接思考较困难,从反面思考:当a/3≥4时,它的正整数解为1,2,3, 4,…,不符合要求;当a/3 <3时,它的正整数解为1,2,也不符合要求;由此3≤a/3 <4,解得9≤a<12.

五、数形结合思想

例5 (2011·山东聊城)已知关于x的不等式组的整数解共有3个,则a的取值范围是______.

【解析】解由于它有解,所以必可写成a<x<1. 又a<x<1中的整数解共有3个,作出数轴可知其整数解必然是-2,-1,0,从而有-3≤a<-2.

不等式中的数学思想 篇7

已知:a, b∈ (0, 1) , 证明。

笔者通过观察、分析和研究, 本题有多种证法, 这些证法给数学带来无限的生机和活力, 在它们身上闪烁着数学的光辉, 蕴涵着浓厚的数学思想。

一、比较法

证明:因为a, b∈ (0, 1) , 故作差得:

这是比较法中的作差法, 当然还可以用作商比较, 这里不再做详细介绍。

二、分析法

从题目的结论入手, 寻找命题成立的充分条件, 直到这个条件是可以证明或已经证明成立的不等式, 此时得到原命题成立, 即为分析法。

所以原不等式成立。

三、基本不等式法 (放缩法)

实际上, 我们认真观察会发现, 在不等式链中, 调和平均数和几何平均数的关系可变形为, 在本题中, 令x=1-a>0, y=1-b>0则有:

四、三角换元法

选用适当的三角函数进行换元, 将代数问题转化为三角问题, 利用三角函数的性质去解决问题可以达到化难为易、化繁为简。

五、巧用函数的基本性质证明

假设b为区间 (0, 1) 上的一个常数, 让a=x变化构造函数

解得:x=b或 (舍) , 所以x=b, 于是有

可见函数F (x) 在区间 (0, 1) 上有最小值0, 即所以, 当x=a时得证

此法即为构造一个辅助函数, 把问题转化为对函数性质的研究, 从而使问题获解。

六、巧用无穷等比数列证明

不等式教学中数学思想的运用刍议 篇8

一、不等式章节中化归思想的运用

化归思想, 就是将需要进行解决的问题, 经过研析判断, 找出内涵要义, 事物之间相互联系, 借助于某种转化手段, 转化为能够容易解决的另一形式问题, 通过解决演变后的问题达到解决原有的方法.其特点就是能够变生疏为熟悉, 变复杂为简单, 变抽象为直观, 达到化动为静, 由抽象到具体的效用.

问题:若方程x2+4ax-4a+3=0, x2+ (a-1) x+a2=0, x2+2ac-2a=0中至少有一个方程有实数根, 求a的取值范围.

分析:三个方程根的情况有如下四种情况: (1) 三个方程都实数根; (2) 只有一个方程有实根; (3) 有两个方程有实根; (4) 三个方程都有实根.如果分类讨论, 显然计算的量较大, (2) 、 (3) 、 (4) 可合称至少有一个方程有实根, 因此根据“补集”的思想, 问题得以等价转化.解题过程略.

注明:在上述不等式问题案例的分析过程中, 可以发现, 本题是方程根的问题, 根据问题的需要可以将其转化为不等式的方法进行处理.

二、不等式章节中分类思想的运用

分类讨论思想, 是数学学科问题解答中经常性运用的一种解题策略思想, 它是对一个问题因某种量或图形的情况不同, 而引起问题结果不同时, 对量或图形可能产生的不同情况进行分类讨论.它能够使解答时更加严密, 更加全面, 更加科学.不等式章节问题解答中, 经常需要对未知的取值范围、值域等内容进行确定, 此时就需要运用分类讨论思想.

分析:本问题案例解题的重点、难点在第二个问题上, 在解答使B⊆A的实数a的取值范围时, 需要考虑到a<1/3或a=1/3时的不同取值范围时的情况, 可采用分类讨论思想进行解答.

三、不等式章节中数形结合思想的运用

常言道, “数无形, 少直观, 形无数, 难入微”, 数学问题解答中利用“数形结合”的数学思想进行问题, 能够借助于“数”的语言的精准性以及“形”的符号的直观性, 进行“数”与“形”的相互补充, 相互映衬, 从而使问题化难为易, 化繁为简.在不等式章节教学中, 特别是在简单的线性规划问题解答时, 数形结合思想有着深入广泛的运用.

问题:要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如表1所示:

今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块, 问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品, 且使所用钢板张数量少?

分析:上述问题实际一道关于二元一次不等式组与简单的线性规划方面的问题案例, 在解答上述问题案例时, 可以根据问题内容的条件, 将数学语言演变转化为图形符号, 进行问题的解答.

求目标函数z=x+y取得最小值时的x, y的值.

如图, 当x=3, y=9或x=4, y=8时, z取得最小值.

所以需截第一种钢板3张, 第二种钢板9张或第一种钢板4张, 第二种钢板8张时, 可得所需三种规格成品, 且使所用钢板张数最少.

四、不等式章节中函数思想的运用

函数思想是最重要、最常用的一种数学解题思想, 在整个高考试题占比中比重较大, 综合知识多、题型多、应用技巧多, 函数思想, 是指用函数的概念和性质, 合初等函数的图象与性质, 加以分析、转化、解决有关求值、解 (证) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题.

解: (1) ∵f (x) =ax2+ (b+1) x+ (b–1) (a≠0) 恒有两个不动点,

∴Δ=b2–4ab+4a>0 (b∈R) 恒成立.

于是Δ'= (4a) 2–16a<0解得0

故当b∈R, f (x) 恒有两个相异的不动点时, 0

(2) 由题意A、B两点应在直线y=x上, 设A (x1, x1) , B (x2, x2)

∴k=-1.设AB的中点为M (x', y') .

∵x1, x2是方程ax2+bx+ (b–1) =0的两个根.

不等式中的数学思想 篇9

我们所学的基本不等式形式多种多样, 证明方法也灵活多变, 它的知识本质我概括为:“正”“定”“等”“同”四个字。“正”:基本不等式成立要求各项都为正值;“定”:要求“和”或者“积”为定值, 当然也注意在考试时要证明两个含未知数式的大小关系时, 不要求定, 定只是用于求取值范围, 求最值;“等”:要探究等号条件是否成立;“同”:在多次取等号是, 是否每次取等都满足, 还有分为几部分取等时要求同时满足, 这个教师很少提及但是该注意它。

很多教师将基本不等式的数学思想分为很多类, 正用:由“积式”向“和式”的转化;逆用:由“和式”向“积式”的转化;叠用:连续多次使用基本不等式等等。而我觉得这样的分类只是根据形式而言, 根本没有考虑数学本质和思想问题, 以上分类我都归纳为一种配凑法, 需要什么配什么。这就是基本不等式的数学思想。

接下来我来举些例子来让大家看到数学本质和数学思想的妙用, 让大家知道为什么要这么做。

解法二:求解如下:

对比解法一和解法二, 你觉得解法一能够想到吗?而解法二正是很自然的方法, 这就是本质。这道高考题中规中矩, 很多学生都会, 但是面对我的这个变试题很多人无从下手, 其实也很简单, 这就说明学生没有领悟到数学的本质和思想。

记住我们的本质是数学知识“一正、二定、三相等”, 而思想就是配凑法, 需要什么造什么。看原高考题直接有了, 无需配凑学生都会, 而对于变式就是需要什么构造什么, 利用加一个减一个, 运用简简单单的思想就能解决所有的问题。

证毕

我们可以看到这完全是我们高中一般的学生能够做的题, 主要需要的是基本不等式的本质和配凑思想。

通过上面两个奥赛题的分析, 我们最终发现了再难的题考得也是最本质的思想。

数学思想培养是数学学科教学的根本任务, 高中数学教师应该结合学生的思维能力发展规律, 使学生学有所思、学有所悟、学有所得, 同时教师也该通过自我领悟, 自我反思, 自我总结来培养自己的数学思维能力水平。希望每个教师能领悟数学思想, 领悟数学本质, 传授给每个学生数学思想和本质!

摘要：高中基本不等式这节内容应用很广, 技巧方法也很多, 如果缺少数学思想方法和数学本质的学习, 就会让学生学习起来困难。从数学思想和数学本质的角度来分析基本不等式, 将杂乱的技巧方法统一起来, 让学生在探究中明白为什么要这么做, 这么做的思想是什么, 甚至能让学生感觉到其本质, 最后再举出例子让学生看到其思想是“配凑法”, 其本质是“一正、二定、三相等”, 这样才能让学生真正地学会运用基本不等式来解决问题。

关键词：基本不等式,数学思想,配凑法

参考文献

[1]史宁中.数学思想概论.东北师范大学出版社, 2008.

不等式中的数学思想 篇10

高中数学教学内容主要有基础知识和数学思想方法这两个方面, 新教材在关于不等式的解法及证明内容设置上较分散, 螺旋上升, 循序渐进.解含参数不等式因其涉及知识广泛、综合性强、方法选择性灵活, 因此用来考查分析问题与解决问题的能力, 考查学生数学思想的掌握情况, 含参不等式的相关问题成为高中数学教学与高考复习的重点和难点, 同时也成为高考命题的热点.本文结合实例探讨以数学思想方法为指导的含参不等式的最优解答方案.

一、分类讨论的思想方法

例1 解关于x的不等式:$\frac{a(x-1)}{x-2}>1(a\in \mathbf{R}).$

分析 该不等式的基本类型为分式不等式, 应通过移项→通分→调整系数→数轴标根等步骤完成, 但在调整系数及数轴标根时, 涉及对参数a的分类讨论, 因此, 合理的分类标准成为解答这类型含参数基本不等式的关键.

解 (1) 当a≠1时, 原不等式$\iff \frac{(a-1)\left(x-\frac{a-2}{a-1}\right)}{x-2}>0.$

①当0<a<1时, 解为$2<x<\frac{a-2}{a-1}$;

②当a>1时, 解为$x<\frac{a-2}{a-1}$或x>2;

③当a<0时, 解为$\frac{a-2}{a-1}<x<2;$

④当a=0时, 无解.

(2) 当a=1时, 解为x>2.

在采用分类讨论的思想解决问题的过程中, 要注意做到分清分类依据, 分类要做到不重不漏.

二、化归与转化的思想方法

例2 若不等式2x-1>m (x2-1) 对满足|m|≤2的所有实数m都成立, 求x的取值范围.

分析 含参不等式问题多个变元中, 先根据题目条件灵活确定主元, 然后考虑参数的变化对主元的影响往往使问题简化.本题中确定已知参数m的取值范围而求未知数x的取值范围, 可化归为以m为主元, x为参数的不等式求, 原不等式可变形为 (x2-1) m- (2x-1) <0, 当|m|≤2时恒成立.

解 构造以m为自变量的函数f (m) = (x2-1) m- (2x-1) , 则原问题可等价转化为函数f (m) 在区间[-2, 2]上的函数值恒小于零, 从而有即解得$\frac{-1+\sqrt{7}}{2}<x<\frac{1+\sqrt{3}}{2}.$

此题采用转换主元的思想, 使本身捉摸不透、无从下手的试题迎刃而解.

三、数形结合的数学思想

例3 当-1<x<1时, 关于x的不等式x2-2 (a+1) x+3-4a>0恒成立, 求实数a的取值范围.

分析 对于此题的解法, 许多学生都求二次函数f (x) =x2-2 (a+1) x+3-4a在 (-1, 1) 上的最小值, 分三种情况进行讨论, 解题过程比较繁杂, 而且容易出错, 若利用图形的位置关系以数形结合来解这一道题, 则一目了然, 非常直观、简捷.

解 原式可变形为x2-2x+3>2a (x+2) 在-1<x<1时恒成立.

作y=x2-2x+3在-1<x<1的图像与过定点 (-2, 0) 的直线y=2a (x+2) , 如图.

当直线过 (1, 2) 时, $a=\frac{1}{3}$;直线绕着点 (-2, 0) 顺时针旋转时也满足题设条件, 所以$a\le \frac{1}{3}.$

此题借助数形结合的直观性, 解决了一道利用分类讨论很繁杂的题目.数形结合的思想在数学应用中起着举足轻重的作用, 特别对解决填空题和选择题.图形的直观性对于解决探究性问题也能起到启示作用.

四、构造函数解不等式

例4 解不等式:$\frac{8}{(x+1){}^3}+\frac{10}{x+1}-x{}^3-5x>0.$

分析 本题直接将左边通分采用解高次不等式的思维来做运算较繁.但注意到$\frac{8}{(x+1){}^3}+\frac{10}{x+1}=\left(\frac{2}{x+1}\right){}^3+5\left(\frac{2}{x+1}\right)$且题中出现x3+5x, 启示我们构造函数f (x) =x3+5x去投石问路.

解 将原不等式化为$\left(\frac{2}{x+1}\right){}^3+5\left(\frac{2}{x+1}\right)>x{}^3+5x$, 令f (x) =x3+5x, 则不等式变为$f\left(\frac{2}{x+1}\right)>f(x).\because f(x)=x{}^3+5x$在R上为增函数, ∴原不等式等价于$\frac{2}{x+1}>x$, 解得-1<x<2或x<-2.

此题利用构造函数的思想, 借助函数的单调性证明不等式, 使原本很复杂的高次不等式得到了简洁明确的解题思路.在近年高考中, 利用函数证明不等式屡见不鲜.在人教版教材选修2-2中, 课后习题就设置了这样的习题, 如:①sinx<x, x∈ (0, π) ;②lnx<x<ex (x>0) 等.在教学中, 这些题型的训练要加强.

五、解不等式中的简易逻辑思想

例5 已知p:$\left|1-\frac{x-1}{3}\right|\le 2‚q$:x2-2x+1-m2≤0 (m>0) , ¬p是¬q的必要不充分条件, 求实数m的取值范围.

分析 本题为不等式与简易逻辑的综合试题, 命题的表述重心移至充要条件, 使用了学生较为熟悉的语言形式.充要条件是一个十分重要的数学概念, 新教材将这一内容的学习放在选修2-1的第一章, 从而也可能利用第一章的知识内容来命题考查这一概念.本例是一道融绝对值不等式、二次不等式的求解与充要条件的运用于一起的较好试题, 要求学生能正确运用数学符号, 规范数学学习行为, 否则连读题审题都感困难.

解 由$\left|1-\frac{x-1}{3}\right|\le 2$, 得-2≤x≤10.

由x2-2x+1-m2≤0 (m>0) , 得1-m≤x≤1+m (m>0) .

∴¬p即x<-2或x>10,

而¬q即x<1-m或x>1+m (m>0) .

由¬p是¬q的必要不充分条件, 知¬q⇒¬p.

设A={x|x<-2或x>10}, B={x|x<1-m或x>1+m (m>0) },

则有A⫋B, 故

$\{\begin{array}{l}1-m\ge -2‚\\ 1+m\le 10,\\ m>0,\end{array}$

且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号.

解得0<m≤3, 此即为“¬p是¬q的必要不充分条件”时实数m的取值范围.

此题是综合试题, 充分体现了不等式在高中数学的学习过程中, 几乎与每个章节的知识都可结合考查.

总之, 数学思想是对数学知识和方法本质的认识, 数学方法是实现数学思想的手段和工具.数学思想方法的教学, 是培养有能力有创造性人才的重要手段, 是加强数学素质教育的着重点.在新课程实施过程中, 我们要把数学思想方法贯彻渗透到教学的每节课中, 让学生在潜移默化中学会理解并应用这些思想方法.在新教材中数学思想大多数是以隐蔽的形式存在于字里行间的, 它需要通过教师有效地挖掘指点, 化隐为显, 学生才能领悟掌握.