不等式组

不等式组（精选12篇）

不等式组 篇1

例1解方程:

【分析】此方程可直接去分母化为整式方程求解, 也可设, 用换元法求解.

解:去分母, 方程两边同乘以x2, 得 (x-1) 2-x (x-1) -2x2=0.

化简, 得2x2+x-1=0, 解得x1=-1,

经检验, 是原方程的解.

【点评】题目考查了分式方程的解法, 即把分式方程转化为整式方程求解, 运用了转化的数学思想, 要注意解分式方程必须检验.

例2一辆汽车从A地驶往B地, 前路段为普通公路, 其余路段为高速公路.已知汽车在普通公路上行驶的速度为60 km/h, 在高速公路上行驶的速度为100 km/h, 汽车从A地到B地一共行驶2.2 h.

请你根据以上信息, 就汽车行驶的“路程”或“时间”提出一个用二元一次方程组解决的问题, 并写出解答过程.

【分析】答案不唯一, 不管选定“路程”还是“时间”都要找到其中的两个未知数, 再抓住两个相等关系: (1) 高速公路的长度是普通公路的2倍; (2) 汽车在普通公路与高速公路上行驶的时间和为2.2 h, 列出方程组求解.

问题一:普通公路和高速公路分别为多少千米?

解:设普通公路长x km, 高速公路长y km.

即普通公路长60 km, 高速公路长120 km.

问题二:汽车在普通公路和高速公路上分别行驶了多少小时?

解:设汽车在普通公路上行驶了x h, 在高速公路上行驶了y h.

即汽车在普通公路上行驶了1 h, 在高速公路上行驶了1.2 h.

【点评】这是一道问题开放型的题目, 主要考查同学们审题的能力和列二元一次方程组解决实际问题的能力.

例3水产养殖专业户王大爷承包了30亩水塘, 分别养殖甲鱼和鳜鱼, 有关成本、销售额见下表:

(1) 2011年, 王大爷养殖甲鱼20亩, 鳜鱼10亩, 求王大爷这一年共收益多少万元? (收益=销售额-成本)

(2) 2012年, 王大爷继续用这30亩水塘全部养殖甲鱼和鳜鱼, 计划投入成本不超过70万元.若每亩养殖的成本、销售额与2011年相同, 要获得最大收益, 他应养殖甲鱼和鳜鱼各多少亩?

(3) 已知甲鱼每亩需要饲料500 km, 鳜鱼每亩需要饲料700 km.根据 (2) 中的养殖亩数, 为了节约运输成本, 实际使用的运输车辆每次装载饲料的总量是原计划每次装载总量的2倍, 结果运输养殖所需全部饲料比原计划减少了2次.求王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料多少千克?

【分析】 (1) 根据已知列算式求解; (2) 先设养殖甲鱼x亩, 则养殖鳜鱼 (30-x) 亩, 列不等式, 求出x的取值范围, 再求出王大爷可获得收益y (万元) 关于x (亩) 的函数关系式, 根据函数的性质和自变量的取值范围求最大值; (3) 设王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料a kg, 列分式方程求解.

解: (1) 2011年王大爷的收益为:20× (3-2.4) +10× (2.5-2) =17 (万元) .

(2) 设养殖甲鱼x亩, 则养殖鳜鱼 (30-x) 亩.由题意得2.4x+2 (30-x) ≤70, 解得x≤25.又设王大爷可获得收益为y万元, 则y=0.6x+0.5 (30-x) , 即.函数值y随x的增大而增大, 当x=25时, 可获得最大收益.要获得最大收益, 应养殖甲鱼25亩, 鳜鱼5亩.

(3) 设王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料a kg, 由 (2) 得, 共需饲料为500×25+700×5=16 000 (kg) , 根据题意得, 解得a=4 000.经检验a=4 000是原方程的解.∴王大爷原定的运输车辆每次可装载饲料4 000 kg.

【点评】本题对不等式的应用、一次函数的应用以及分式方程的应用进行了综合考查, 解题的关键是列不等式求x的取值范围, 主要考查同学们收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决实际问题及创新实践的能力.

不等式组 篇2

考点

一、不等式的概念（3分）

1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3、用数轴表示不等式的方法

考点

二、不等式基本性质

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

考点三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1

考点四、一元一次不等式组

1、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

2、一元一次不等式组的解

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

巧学不等式（组） 篇3

一、一元一次不等式或不等式组中求参数的技巧

由已知不等式（组）的解集或整数解来确定待定系数的值或待定系数的取值范围，常用的方法是先用解不等式（组）的方法解出含待定系数的不等式（组）的解集，再代入已给出的条件中，即可求出待定系数的值。

例1.若不等式组x-b<0

x+a>0的解集为2

A.-2，3B.2，-3C.3，-2D.-3，2

分析：先求出不等式的解集，用a、b表示，再根据不等式组解集的定义得解决b=3，-a=2，即得a、b的值。 故选A。

例2.若关于x的一元一次不等式组x>a+2

x<3a-2无解，则a的取值范围是（ ）

A.a≥2B.a>2C.a≤2D.a<2

分析：先由不等式的解集①x>a+2，②x<3a-2在数轴上画出x

二、数形结合思想

在解有关不等式的问题时，有些问题需要我们借助图形来给能更形象直观地做出解答，特别是求不等式组的解集时，要求学生借助数轴，求它们解集的公共部分，还要充分利用图形上反馈的信息或将文字信息反馈到图形中，数形结合，顺利解决问题。

例3：如图，直线y=kx+b经过A（1，2），B（-2，-1）两点，则不等式x

[y][B][A][x][2][1][-2][-1][O][y=x][y=kx+b]

A.-1

C.-2

分析：本题先由图形中获得当x=-2时，x=kx+b当x>-2时kx+b>x且当y=2时，kx+b中的x=1

故：本题中x的取值范围为-2

三、利用转化思想解不等式或不等式组

一元一次方程及方程组和一元一次不等式不等式组的关系密切，近年来各地市中考中，常把它们联在一起考试，学习中，我们可根据题意把一元一次不等式或不等式组的解集与方程或方程组互相转换，从而得解。

例4：已知关于x、y的方程组5x+2y=11a+18

2x-3y=12a-8的解满足x>0，y>0求实数a的取值范围。

分析：本题中，可先求得x，y的值，用a表示x，y的值得x=3a+2

y=-2a+4

并据x>0，y>0，得3a+2>0

-2a+4>0解不等式组即可求得a的取值范围。

不等式组 篇4

2. 解不等式组并用数轴表示出不等式组的解集,写出该不等式组的整数解.

3. 若0是关于x的方程(m-2)x2+3x+m2+2m-8=0的解,求实数m的值,并求此方程的解.

4. 试确定实数a的取值范围,使不等式组恰有两个整数解.

5. 已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根.

(1) 求k的取值范围;

(2) 如果k是符合条件的最大整数,且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根,求此时m的值.

6. 小林准备进行如下操作实验:把一根长为40 cm的铁丝剪成两段,并把每一段各围成一个正方形.

(1) 要使这两个正方形的面积之和等于58 cm2,小林该怎么剪?

(2) 小峰对小林说:“这两个正方形的面积之和不可能等于48 cm2.”他的说法对吗? 请说明理由.

7. 某街道改建工程指挥部,要对某路段工程进行招标,接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知:甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2/3 ;若由甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.

(1) 求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?

(2) 已知甲队每天的施工费用为0.84万元,乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响,拟安排甲、乙两队合作完成这项工程,则工程预算的施工费用是否够用? 若不够用,需追加预算多少万元? 请给出你的判断并说明理由.

8. 某市一班级到毕业时共结余经费1 800元,班委会决定拿出不少于270元但不超过300元的资金为老师购买纪念品,其余资金用于在毕业晚会上给50位同学每人购买一件文化衫或一本相册作为纪念品. 已知每件文化衫比每本相册贵9元,用200元恰好可以买到2件文化衫和5本相册.

(1) 求每件文化衫和每本相册的价格分别为多少元?

(2) 有几种购买文化衫和相册的方案? 哪种方案用于购买老师纪念品的资金更充足?

参考答案

1. 当A=B时 ,,方程两边同时乘 (x+1)(x-1),得x(x+1)=3+(x+1)(x-1),解得x=2. 检验:当x=2时,(x+1)(x-1)=3≠0,∴x=2是分式方程的根.

2. 由①式得x≤7,由②式得x>2,∴原不等式组的解集为2<x≤7,数轴表示略,其整数解为3,4,5,6,7.

3. 将x=0代入已知方程有m2+2m-8=0,解这个一元二次方程得:m1=2,m2=-4. 当m= 2时,原方程为3x=0,此时方程只有一个解,解为x=0;当m=-4时,原方程为-6x2+3x=0,解此方程得:x1=0,x2=1/2 ,即此时方程有两个解,解为x1=0,x2=1/2 .

4. 由不等式两边同乘6得3x+2(x+1)>0,可以求出x>-2/5 ,由不等式两边都乘3得3x+5a+4>4x+4+3a,可以解出x<2a,所以不等式组的解集为-2/5 <x<2a,因为该不等式组恰有两个整数解,所以1<2a≤2,所以1/2 <a≤1.

5. (1) k<4;(2) m=0或-8/3 . 提示:(1) 由Δ>0求出k<4;(2) 满足k<4的最大整数是3,解方程x2-4x+3=0得x1=1,x2=3,分别代入x2+mx-1=0得m=0或-8/3 .

6. (1) 设其中一个正方形的边长为x cm,则另一个正方形的边长为(10-x) cm. 由题意得x2+(10-x)2=58. 解得x1=3,x2=7. 则周长分别为4×3=12,4×7=28. 所以小林应把绳子剪成12 cm和28 cm的两段;(2) 假设能围成. 由 (1) 得,x2+(10-x)2=48. 化简得x2- 10x+26=0. 因为b2-4ac=(-10)2-4×1×26 =-4<0,此方程没有实数根,所以小峰的说法是对的.

7. (1) 设乙队单独完成这项工程需要x天,则甲队单独完成这项工程需要2/3 x天.根据题意,得. 解得x=90. 经检验,x=90是原方程的根. ∴2/3 x=60.答:甲、乙两队单独完成这项工程各需要60天和90天. (2) 设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天,则有y {1/60 +1/90}=1. 解得y=36. 需要施工费用36×(0.84+0.56)=50.4(万元). ∵50.4>50,∴工程预算的施工费用不够用,需追加预算0.4万元.

不等式和不等式组复习教学设计 篇5

一、设计思想：

“不等式”是初中数学核心内容之一。就不等式的解法来说，它是一种重要的数学技能；而就不等式的广泛作用来说，不管是与实际相关的问题，还是纯粹的数学问题，不管是代数方面的问题，还是几何图形方面的问题，乃至更为一般化的问题，只要是求未知数的值或范围的问题，经常要借助于不等式，可见学好不等式具有非常重要的意义。

这节课是中考前的专题复习课，知识点不多。由于学生已经学过本章内容，因此在本节复习中主要以提问的形式进行知识要点的复习，以学生自主探索和合作探究的学习方法学习本节内容。教师主要在习题的设计上选好典型例题，复习的知识尽量全面。教学效果上使不同的学生有不同的收获。

二、教学内容分析：

1.《课程标准》对本专题教学内容的要求：

（1）结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。(2)能解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集。

（3）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。2.本节内容在中考中的地位和作用。

本部分内容在中考中大约6~12分，约占全卷分数的5%~8%左右。而且，近几年考试中，经常与方程、函数三角函数、几何等内容一起综合考查，因此学好本节内容对于解决这些综合问题起着举足轻重的作用。

三、教学目标：

1、知识技能：

①掌握不等式的概念和性质，能根据不等式的性质解决有关问题；

②掌握不等式（组）的解法，会求不等式（组）的解集，特别是不等式组的整数解；

③能根据不等式组的解集确定字母系数的范围；

④会列不等式（组）解决简单的实际问题，特别是方案设计问题。

2、数学思考：通过列不等式或不等式组解决具有不等关系的实际问题，让学生体会不等式是解决实际问题的有效的数学模型。

3、解决问题：通过不等式（组）描述不等关系解决实际问题，发展学生由实际问题转化为数学问题的能力。

4、情感态度：①通过复习教学，继续强化用数学的意识，从而使学生乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论某些数学话题，能够在数学活动中发挥积极作用。

②.通过探索，增进学生之间的配合，使学生敢于面对数学活动中的困难，并有克服困难和运用知识解决问题的成功体验，树立学好数学的自信心。

教学重点:不等式（组)的解法的规范性及实际应用

教学难点:不等式组有无解的问题中字母系数的确定和实际问题中不等式（组）的列出

教学方法：依托多媒体平台，启发、谈论、互动探究法（学生讨论、教师点拨）、讲练结合。

教学手段：计算机多媒体辅助教学。教学时间：1课时

教学准备：1.学生准备：预习教材，了解本节的知识要点。

2.教师准备：将学生分组，选好组长；制作多媒体课件。

教学设计

一 情境设计

导入新课

出示多媒体课件

1、问题情境：问题：某化妆品店老板到厂家选购A、B两种品牌的化妆品，若销售1套A品牌的化妆品可获利30元，销售1套B品牌的化妆品可获利20元，根据市场需求，化妆品店老板决定，购进B品牌化妆品的数量比购进A品牌化妆品数量的2倍还多4套，且B品牌化妆品最多可购进40套，这样化妆品全部售出后，可使总的获利不少于1200元，问有几种进货方案？如何进货？ 教师：同学们，如果你是这个化妆品店的老板，你怎么解决进货方案问题？（学生思考）：

教师：如何用数学符号表示标有下划线的词语？应该考查我们哪部分知识？ 学生：最多 —— ≤；不少于——-≥。教师：我们学过的哪章知识与它们联系最密切？由此我们想到了哪部分知识？ 学生：不等式和不等式组

教师：下面我们就来复习有关这方面的内容，“专题复习

（二）方程和不等式-----------不等式和不等式”。（板书课题）

（多媒体出示教学目标。图略）

二、展示教学目标、教学重点和难点：（让学生学有目的，学有依据）

三、回顾知识要点：

1.知识网络出示;(使学生对本节知识的复习内容一目了然,从总体把握知识间的内在联系)

实际问题

3、知识要点复习不等关系不等式不等式的性质解不等式解集一元一次不等式一元一次不等式组解法解法数轴表示解集数轴表示实际应用解集数轴表示 2.知识要点复习：（通过提问由学生回答）①基本概念复习

（澄清基本概念，对知识间的内在联系更明确。）

3、知识要点复习

一、基本概念:

1、不等式:

2、不等号:

3、不等式的解:

4、不等式的解集:

5、解不等式:

6、一元一次不等式:

7、一元一次不等式组:

8、一元一次不等式组的解集:

9、解一元一次不等式组: ②不等式性质复习：（它是解不等式和不等式组的重要依据，特别注意第3条性质，不等号方向改变问题，提醒学生，此处易错，提起注意）

3、知识要点复习

二、不等式的性质:（1）如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。ab（2)如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,cc不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。（3）如果a>b，并且c<0，那么ac

3、知识要点复习三,规律与方法:1,不等式的解法:2,解不等式组的方法:3,不等式的解集在数轴上的表示:大向右,小向左,有等号是实心,无等号是空心.4,求几个不等式的解的公共部分的方法和规律:(1)数轴法(2)口诀法同大取大同小取小一大一小中间找 ④用一元一次不等式组解决实际问题的步骤：（为解决实际问题提供依据，这是本节的重点知识，学生可能会类比前边复习的方程和方程组的知识说出。）

3、知识要点复习

5、用一元一次不等式组解决实际问题的步骤:实际问题设未知数，列不等式（组）数学问题（不等式或不等式组）解不等式组实际问题的解答检验数学问题的解（不等式（组）的解集）

四、典型例题解析：（这一环节也是学生要达到的知识技能目标的重要一环，学生解题的顺利与否，是教师关注的重点。学生能够独立解出的，关注其过程是否规范，思路是否清晰，方法是否得当。不能解出的，先由小组合作探究，看是否能找到解题的思路，得出问题的答案；如果仍不能得出，教师加以点拨，引导，帮助学生找到解题思路，得出问题的答案。）

例1.（本题是一元一次不等式的解法的考查，是本节的基本题型，估计学生都能独立解出，可让中游的学生板演，这样解题步骤展现在大家面前，如果规范，起个示范作用；不规范，示范改正，起警示作用。把重点放在解题步骤是否规范上。）

4、典型例题：例1.解一元一次不等式解：3(x-1)≤6 –2(x-2)3x –3 ≤6 –2x+43x+2x ≤6+4+35x ≤13x ≤135自然数解非负整数解正整数解最大解最大整数解（右边的云形图中是在学生解完不等式后先后出示的五种特殊情况，这样进

行变式教学，展示了一题多解的典型题目，同时又使学生锻炼了仔细审题的能力。）

4、典型例题：例1.解一元一次不等式解一元一次方程一元一次不解：3(x-1)= 6 –2(x-2)解：3(x-1)≤6 –2(x-2)3x –3 = 6 –2x+43x –3 ≤6 –2x+4等式和一元一次3x+2x =6+4+3方程有何共同点3x+2x ≤6+4+35x =13和不同点？5x ≤131313x =x≤55（通过这种一元一次不等式和一元一次方程解法的类比，使学生明确知识间的内在联系，同时发现其中的异同，对两者的区别更加清晰）

例2.（考查不等式的变形，解决问题的关键是正确理解不等式的概念和基本性质。重点关注基本性质的灵活掌握）

例3.（把平面直角坐标系的象限问题转化成不等式组问题，既体现了转化的数学思想方法，又见识了不等式组的广泛应用。可以帮学生回忆坐标系的有关知识。）

4、典型例题：a例2.若a1;b1a③a+b

3、在直角坐标系中，P(2x-6,x-5)在第四象限，则x的取值范围是3

例5.（借助数轴确定不等式组的解集，对于解这类题非常有效，学生容易做错，特别是是否包括界点问题，有一定难度，让学生小组合作探究，共同寻找问题的答案。教师巡视，给有困难小组点拨，指导。）

4、典型例题：xa2例

4、（2009凉山）若不等式组集是-1例题分析：问题5问题分析：本题存在两个不等关系，一是购买B品牌化妆品不超过40套；二是两种化妆品的获利不少于1200元。根据这两个不等关系，可列不等式组求解。（学生写出解题过程后，教师可出示规范的解题过程，体现数学学科的严谨性。）

4例题讲解：、典型例题：解：设A品牌化妆品购进m套，则B品牌化妆品购进（2m+4)套。根据题意得：解得：16≤m≤18.因为m为正整数，所以m=16,17,18,所以2m+4=36、38、40.所以有三种进货方案：（1）A种品牌的化妆品的购进16套，B种品牌的化妆品购进36套；（1）A种品牌的化妆品的购进16套，B种品牌的化妆品购进36套；（1）A种品牌的化妆品的购进16套，B种品牌的化妆品购进36套；（通过方案设计题的解决，使学生能够由实际问题建立数学模型，从而增强解决实际问题的能力。）

五、归纳小结（先由学生自己归纳总结本节课的收获，从而把课堂传授的知识尽快化为学生的素质，以培养和增强学生的归纳总结能力；然后老师予以补充和归纳，为学生良好学习习惯的养成继续进行指导。）

5、归纳小结你会了吗？这节课你学到了什么?你有什么收获？你还有什么问题？

六、达标检测：（在这一环节，我设计了几个有梯度的题目，这样可使不同层次的学生都能有所收获，都能感受到成功的喜悦，使他们“在数学上都能有不同的发展”。）

6.达标检测（1）若2x=3+k的解集是负数，那么k的取值范围是______.K<-3x3(x2)4(2)(2009龙岩）解不等式组12xx13，并把解集在数轴上表示出来。再写出本题的整数解。1≤x<4 整数解为-1，0，1.6.达标检测2x3x182x3、不等式组数解为（A的最小整）A，-1 B，0 C,2 D，3 9

6.达标检测

4、跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售。若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同。（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润=售价-进价超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案?请你设计出来。6.达标检测选做题•若不等式组xa012xx2有解，则a的取•值范围是（A）。•A.a>-1 B.a≥-1 C.a≤1 D.a＜1

七、教学设计的理论依据

1.“理论联系实际”的原则，联系学生身边的生活，引导学生学习运用理论知识分析、解决实际问题。

2.新课程标准中的“学生是学习的主人”的主体教育思想。

不等式（组）错解剖析 篇6

1. 性质不清

例1判断下列说法是否正确.

（1）若a>b，则ac2>bc2.（2）若ab>c，则a>.

（3）若a-b>a，则b>0.（4）若ab>0，则a>0，b>0.

【错解】（1）因为c2>0，故ac2>bc2正确.

（2）不等式两边同除以b，得a>，故正确.

（3）不等式两边同时减去a，再同乘以-1，得b>0，故正确.

（4）根据同号相乘得正的法则可知这种说法正确.

[剖析：]上述解答的错因主要是对不等式的基本性质理解不清，或者是对问题所涉及的范围未作全面分析.

【正解】（1）不正确.当c=0时，ac2=bc2.此处应注意，若ac2>bc2，则a>b，这里隐含了c≠0的条件.

（2）不正确.若b<0，则要改变不等号的方向；若b = 0，则不等式两边不能同除以b.

（3）不正确.根据不等式的基本性质1，不等式两边都减去a，得-b>0.再根据不等式的基本性质3，不等式两边同乘以-1，不等号的方向改变，得b<0.

（4）不正确.ab>0，则a、b同号，可能是a>0，b>0，但也可能是a<0，b<0.

[点评：]利用不等式的性质解题时，要注意不等号的方向是否变化，分析同乘以（或除以）的那个数的符号特征，并善于用特征推证命题的正确与否.

2. 去分母时漏乘某一项

例2解不等式-1<.

【错解】去分母，得x+5-1<3x+2.

移项，合并同类项，得-2x<-2.

两边同除以-2，得x>1.

[剖析：]去分母时，不等式左边的-1没有乘以2.

【正解】不等式两边同乘以2，得

2 ×

-1<2 × .

化简，得x+5-2<3x+2.解得x>.

[点评：]去分母时，根据不等式的性质，不等式两边同乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘不含分母的项.

3. 不明题意

例3求不等式≥-1的非负整数解.

【错解】去分母，得3-x≥-2.

移项并合并同类项，得-x ≥-5.

两边都除以-1，得x ≤ 5.

故原不等式的非负整数解为1，2，3，4，5.

[剖析：]非负整数包括正整数和0，错解漏掉了非负整数中的0.

【正解】解不等式的过程同上，原不等式的非负整数解为0，1，2，3，4，5.

[点评：]解题时要弄清题目中所要求的内容，不要大意.

4. 考虑不仔细

例4关于x的不等式组x ≥ 3，

x ≤ m无解，则m的取值范围为.

【错解】填 m ≤ 3.

[剖析：]当m = 3时，不等式组x ≥ 3，

x ≤ m存在公共部分x=3，因此必须排除m=3.

【正解】填m<3.

[点评：]由不等式组有解（或无解），求待定字母的取值范围时，一定要考虑全面.尤其是端点的值能否取等号，需要特别加以考虑，以确保不重不漏.

5. 忽略隐含条件

例5一辆有12个座位的小型公共汽车上已有4名乘客，到一个站后又上来x名（x可以等于0）乘客，此时车上仍有空座位.试判断x可以取哪些值.

【错解】根据题意可得不等式x+4<12.

解得x<8.故x可以取小于8的任意数.

[剖析：]这道题中的x是又上来的乘客的人数，应该是自然数，所以这道题隐含了x是自然数这个条件.

【正解】x可以取小于8的自然数.

[点评：]求实际问题中某个量的取值范围时一定要注意，要考虑使实际问题有意义.

6. 理解偏差

例6甲、乙两队进行足球比赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.两队一共比赛了10场，甲队保持不败，得分超过22分.甲队至少胜了多少场？

【错解】设甲队胜了x场.

根据题意，得3x+（10-x）>22.

解得x>6.故甲队至少胜了6场.

[剖析：]解答中前面的部分都正确，错在最后一步.

因为x>6并不包括6，根据题意，满足x>6的最小整数为7.

【正解】解题过程略，甲队至少胜了7场.

[点评：]在具体问题中，要根据一些关键词（如超过、不足、以外、打破纪录等）所蕴含的不等关系列出不等式（组），在求出不等式（组）的解集后，应仔细考虑题目的要求，写出合理的答案.要特别注意“至少”、“超额”等关键词语的含义，然后找出符合题意的正确答案.

【责任编辑：潘彦坤】

不等式(组)的整数解 篇7

例1 不等式2 (x-2) ≤x-2的非负整数解的个数为 ( ) 。

A.1; B.2; C.3; D.4.

解:解不等式可得 x≤2.

因为 x≤2的非负整数解有0, 1, 2三个, 所以选C.

例2 (2004, 上海中考题) 不等式组

undefined

的整数解是______。

解:∵不等式组的解集为undefinedxundefined

∴它的整数解是0, 1.

注意:求整数解时别忘掉0.

例3 不等式 2x-1<3的正整数解是______。

解:解不等式可得 x<2, 适合解集的正整数是1.

例4 满足不等式undefinedxundefined的最大整数是______。

解:undefined

∴原不等式的解为 xundefined, 化简得 xundefined。

故满足原不等式的最大整数为-4.

注意:解此题应注意以下两点: (1) 首先要判断x的系数undefined是个负数, 应用不等式性质时不等号要反向; (2) 正确求出解集之后, 由xundefined确定最大整数时, 要细心。

例5 某工人计划在15天里加工408个零件, 最初三天中每天加工24个, 问以后每天至少要加工多少个零件才能在规定时间内超额完成任务?

解:设三天后每天加工零件 x个, 根据题意, 可得

24×3+12x>408, 解得 x>28.

根据要求, 再求 x>28的最大整数, 即 x=29.

答:以后每天至少加工29个零件才能在规定时间内超额完成任务。

注意:本题很可能错在最后一步“至少加工28个零件……”。因此审题时要注意:“至少”, “超额完成”等词, 才会得出“求 x>28的最小整数”的这一步。

例6 某校组织师生春游, 若单独租用45座客车若干辆, 则刚好坐满;若单独租用60座客车, 则可以少租1辆, 且余30个空座位。 (1) 求该校参加春游的人数; (2) 该校决定这次春游同时租用这两种车, 其中60座客车比45座客车多租1辆, 这样要比单独租用一种车辆节省租金。已知45座客车的租金为每辆250元, 60座客车的租金为每辆300元, 请你帮助计算本次春游所需车辆的租金。

解:设该校参加春游有 x人, 根据题意得

undefined解得 x=270.

(2) 设租用45座客车y辆, 则租用60座客车为 (y+1) 辆, 由于单独租用45座客车时, 需要6辆, 需要租金1500元, 而单独租用60座客车时, 需要5辆, 也需租金1500元, 根据题意, 得

undefined

解得2≤yundefined满足条件的整数是 y=2, 此时需要租金250×2+300×3=1400 (元) 。

答:参加春游270人, 需要客车租金1400元。

注意:这又是一道好题, 用心体会题目所规定的实际要求, 从中找出等量关系列出方程, 找出不等关系列出不等式, 是本题的关键。

例7 光明中学9年级甲班乙班在为“希望工程”捐款活动中, 两班捐款的总数相同, 均多于300元且少于400元。已知甲班有一人捐6元, 其余每人都捐9元;乙班有一人捐13元, 其余每人都捐8元。求甲、乙两班学生总人数是多少?

解:设甲班人数为 x人, 乙班人数为 y人, 由题意, 可得,

undefined

因此 x为整数, 所以x=34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44.又因为 y 也是整数, 所以 x是8的倍数, x=40.则 y=44.所以总人数是84.

答:甲、乙两班学生总人数是84人。

注意:此题中取整数是难点和关键, 应根据实际人数都为整数来确定甲、乙两班的人数。

字母系数不等式(组)的探究 篇8

一、求含有字母系数的不等式 (组) 的解集

例1关于x的不等式 (2a-b) x+a-5b>0的解集是, 求不等式-ax>b的解集.

分析:我们类比一元一次方程的解法, 可以探究一元一次不等式的解法, 但它们一个很大的区别就是:不等式的两边都乘以 (或除以) 同一个负数时, 不等号的方向必须改变.因此在解含有字母系数的一元一次不等式时, 特别要注意当不等式两边都乘以或除以同一个含有字母的整式时, 要考虑整式的正负性.

由已知不等式 (2a-b) x+a-5b>0, 移项得 (2a-b) x>- (a-5b) , 又因为给出的不等式 (2a-b) x+a-5b>0的解集是, 因而可以发现2a-b<0且, 所以, 即, 代入2a-b<0, 解得a<0, 故-a>0, 所以不等式-ax>b的解集为, 即.

例2 (广州市中考试题) 解不等式组

(1) 当时, 不等式组的解集是_________;

当k=3时, 不等式组的解集是_______;

当k=-2时, 不等式组的解集是_______.

(2) 由 (1) 可知, 不等式组的解集是随实数k值的变化而变化的, 当k为任意实数时, 写出不等式组的解集.

分析: (1) 是根据给出的k值, 来确定不等式组解集的问题.求解集时我们可先求同向不等式中解集的公共部分, 然后再与另一个异向不等式求公共部分, 得到整个不等式组的解集.当然也可借助数轴直观观察求得.当时, 不等式组的解集是;当k=3时, 不等式组无解;当k=-2时, 不等式组的解集是-1

(2) 由于k值不确定, 且不等式组的解集是随实数k值的变化而变化的, 因而欲确定不等式组的解集, 必须探究k的变化对解集有何影响.

从不等式组中x<1, x>-1可以得到-1

评注:本试题颇有创意, 一是将不等式组中不等式的个数由通常的2个拓展为3个, 二是先研究不等式组中字母取特定数值时对解集的影响, 然后设置了一个变化的问题情景, 让考生先正向后逆向探究.

二、已知不等式组的解集, 求待定字母的值 (整数值、范围) 或代数式的值

例1 (山西省中考试题) 若不等式的解集为-1

分析:欲求 (a+b) 2009的值, 需求出a、b的值, 可先解不等式组求出其解集, 再与提供的解集对照, 转化为关于a、b的方程, 求出a、b的值.解不等式组可得其解集为, 而本题又已知其解集为-1

例2 (临沂市中考试题) 关于x的不等式3x-2a≤-2的解集如图所示, 求a的值.

分析:本题是根据不等式的解集 (要用数形结合的方法, 先在数轴上探究出不等式的解集) 逆向思考来确定不等式中字母的取值.一方面, 我们可从已知的不等式中解出它的解集为, 另一方面, 根据不等式的解集在数轴上的表示可得不等式的解集为x≤-1, 因为同一个不等式的解集应是唯一的, 所以必然有, 解这个关于a的一元一次方程得:.

例3 (聊城市中考试题) 已知关于x的不等式组, 的整数解共有3个, 则a的取值范围是.

分析:本题可以先求出用a来表示的不等式组的解集, 然后结合数轴直观地确定取值范围.解不等式组得其解集为a

例4若不等式组的正整数解只有2, 求a的整数值.

分析:可先由不等式组求出其解集, 再根据不等式组的正整数解只有2, 列出关于a的不等式组, 进而求出a的值.

解:由不等式组, 解得.再根据“不等式组的正整数解只有2”, 借助于数轴观察可知, 所以9≤a<12, 所以a只能为9, 10, 11.

三、方程组与不等式的综合应用

例1 (日照市中考试题) 已知方程组的解x、y满足2x+y≥0, 则m的取值范围是 () .

中考中不等式(组)典型例题解析 篇9

例1 (2014·山东威海)已知点p(3-m,m-1)在第二象限,则m的取值范围在数轴上表示正确的是().

【分析】根据第二象限内点的坐标特点,可构造不等式组,从而得出答案.

【点评】本题通过点的坐标所在的象限特点,构造出不等式组,求出不等式组中每一个不等式的解集,再把不等式的解集表示在数轴上确定其结果.

例2 (2014·贵州黔东南)解不等式组并写出它的非负整数解.

【分析】本题涉及解一元一次不等式组.先分别计算出两个不等式的解集,再确定不等式组的解集,最后找出解集范围内的非负整数解.

【点评】求不等式组的特殊解,一般先求出不等式组的解集,再在解集中找出符合要求的特殊解. 不等式组的解集可以利用数轴来确定,也可用口诀来确定“:大大取大,小小取小,大小小大中间找,大大小小是空集. ”

例3 (2014·山东泰安)若不等式组有解,则实数a的取值范围是( ).

A. a<-36 B. a≤-36

C. a>-36 D. a≥-36

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集,不等式组有解,即两个不等式的解集有公共部分,据此即可列不等式求得a的范围.

【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解,解此类题目常常要结合数轴来判断.

例4 (2014·四川内江)已知实数x、y满足2x-3y=4,并且x≥-1,y<2,现有k=xy,则k的取值范围是 ________.

【分析】先把2x-3y=4变形得到y=(1/3)(2x-4),由y<2,得到(1/3)(2x-4)<2,解得x<5,所以x的取值范围为-1≤x<5,再用x变形k得到k=x-(1/3)(2x-4),然后利用一次函数的性质确定k的范围.

【点评】本题考查了解一元一次不等式以及确定不等式组的解集.

例5 (2014·湖南湘潭)某企业新增了一个化工项目,为了节约资源,保护环境,该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台,具体情况如下表:

经预算,企业最多支出89万元购买设备,且要求月处理污水能力不低于1 380吨.

(1)该企业有几种购买方案?

(2)哪种方案更省钱,说明理由.

【分析】本题考查了用不等式组解决实际问题,解题关键是根据已知条件,寻找不等量关系,建立不等式模型来求解.

(1)设购买污水处理设备A型号x台,则购买B型号(8-x)台,根据企业最多支出89万元购买设备,要求月处理污水能力不低于1 380吨,列出不等式组,然后找出最合适的方案即可.

(2)计算出每一方案的花费,通过比较即可得到答案.

解:设购买污水处理设备A型号x台,则购买B型号(8-x)台,根据题意,得

解这个不等式组,得:2.5≤x≤4.5.

∵x是整数,∴x=3或x=4.

当x=3 时,8-x=5;

当x=4 时,8-x=4.

∴有2种购买方案:第一种是购买3台A型污水处理设备,5台B型污水处理设备;

第二种是购买4台A型污水处理设备,4台B型污水处理设备.

(2)当x=3时,购买资金为12×3+10×5=86(万元),

当x=4时,购买资金为12×4+10×4=88(万元).

因为88>86,

所以为了节约资金,应购污水处理设备A型号3台,B型号5台.

答:购买3台A型污水处理设备,5台B型污水处理设备更省钱.

【点评】列不等式(组)解应用题的关键是根据题意找出不等量关系,再根据相应的关系列出不等式(组). 要注意通常不等关系的给出总是以“至少“”少于“”不超过”“最大”等关键词作为标志. 有时解出不等式(组)后,还要根据实际情况适当取舍,选出符合要求的答案.

例6 (2014·贵州黔东南)某超市计划购进甲、乙两种玩具,已知5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元,2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元.

(1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?

(2)如果购进甲种玩具有优惠,优惠方法是:购进甲种玩具超过20件,超出部分可以享受7折优惠,若购进x(x>0)件甲种玩具需要花费y元,请你求出y与x的函数关系式;

(3)在(2)的条件下,超市决定在甲、乙两种玩具中选购其中一种,且数量超过20件,请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱.

【分析】本题综合考查二元一次方程组、一次函数、一元一次不等式的应用.

(1)设每件甲种玩具的进价是x元,每件乙种玩具的进价是y元,根据“5件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为231元,2件甲种玩具的进价与3件乙种玩具的进价的和为141元”列出方程组解决问题;

(2)分情况讨论,针对甲种玩具数量不大于20件、大于20件,分别列出函数关系式即可;

(3)设购进玩具x件(x>20),分别表示出购买甲种和乙种玩具的费用,建立不等式解决问题.

解:(1)设每件甲种玩具的进价是x元,每件乙种玩具的进价是y元,由题意得

(3)设购进玩具x件(x>20),则乙种玩具花费27x元.

当 27x=21x+180 时,x=30,

即当购进玩具正好30件时,选择购其中任一种皆可;

当 27x>21x+180 时,x>30,

即当购进玩具超过30件时,选择购甲种玩具省钱;

当 27x<21x+180 时,x<30,

即当购进玩具少于30件且大于20件时,选择购乙种玩具省钱.

近三年不等式(组)的考点分析 篇10

考点一:解不等式 (组)

历史概率:74% 2016年预测:80%

本考点的主要特征是题型稳定、分值稳定、位置稳定.如近三年苏州卷中, 均在试卷第20题处, 考查了解不等式组, 且分值均为5分;徐州卷中, 也都在试卷第20 (2) 题处, 考查了解不等式组, 且分值也都为5分;镇江卷均在第19 (2) 题安排了分值为5分的解不等式 (组) 的内容;盐城卷均考查了解不等式……其他多地试卷也有这样的特征.

例如:2013、2014年无锡卷均在第20题 (2) 中出现了4分的解不等式组的试题.

这两题从试题构成及数据特征上看, 几乎如出一辙:不等式组中, 第一个不等式均是“≥”号, 第二个不等式均是“>”号;第二个不等式的解法也几乎一致.另外, 最终确定不等式组解集范围的方法也相同———“同大取大”!

考点二:不等式 (组) 的应用

历史概率:46% 2016年预测:60%

不等式 (组) 的应用是指能根据具体问题中的数量关系, 列出一元一次不等式 (组) 解决问题.不等式 (组) 的实际应用题出现的频率不多.近三年中, 仅2013年南京卷第23题, 2013年宿迁卷第25题, 2014年南京卷第15题, 2014年无锡卷第27题中出现了不等式 (组) 的实际应用题.但该知识点的代数应用出现频率较高, 且经常与其他考点一同出现, 难度较大.

例如:南通卷连续三年出现同类考点试题, 2014年常州卷则是在全卷倒数第三题的位置以阅读理解的形式出现该考点, 2015年扬州卷则是以选择题的压轴题出现.

(2015·扬州) 已知x=2是不等式 (x-5) · (ax-3a+2) ≤0的解, 且x=1不是这个不等式的解, 则实数a的取值范围是 () .

A. a>1B. a≤2

C.1<a≤2 D.1≤a≤2

同时该知识点也可与其他知识点相联系, 形成综合题.如:

(2015·徐州) 若函数y =kx -b的图像如图所示, 则关于x的不等式k (x-3) -b>0的解集为 () .

A.x<2 B.x>2 C.x<5 D.x>5

本题把不等式与一次函数的图像相联系, 思维难度大.本题也是选择题中的压轴题.

不等式（组）中的数学思想 篇11

一、数形结合思想

将不等式组中各个不等式的解集在同一数轴上表示出来，可以清楚明了地观察出不等式组中各个不等式的解集的内在联系，较容易找出它们的公共部分，这是数形结合思想的体现。

二、方程思想

从表面上看，不等式与等式应该是水火不相容的，但实质上，它们有许多相似与相通之处，所以借助方程可以解决许多不等式问题。

三、分类讨论思想

在解答一些数学问题时，有时需要按某一标准把问题分成若干情况，分别加以研究并逐一解答，从而得到清楚完整的结果，这就是分类讨论思想。

对含参数的不等式，往往要对参数进行分类讨论。

解析：一般解法是先求出X.Y（用含有K的代数式表示），进而得到x-y，再利用一l

在给定不等式中含有字母且字母没有条件限制时，可利用字母取特殊值的结果代表字母在一般情况下的结果，这种解决问题的思想就是特殊值思想，这种思想多用于选择题，

例5对于数a，下列式子一定成立的是（

），

解析：由于a的取值范围没有给定，故可采用特殊值思想确定答案，令a=O，代入上述四个选项中进行检验，即可选出正确答案C，

不等式组 篇12

一、根据不等式(组)的解集确定字母取值范围

问题原型:

例1苏科版《数学》七年级下册第141页第14题:

已知不等式组

(1)如果这个不等式组无解,求a的取值范围;

(2)如果这个不等式组有解,求a的取值范围.

【分析】本题主要考查了不等式组的解法,关键是正确理解解集的规律:同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到.

(1)要这个不等式组无解,应满足“大大小小找不到”,即x应大于大数且小于小数,所以有a≤1;

(2)要这个不等式组有解,应满足“大小小大中间找”,即x应大于小数且小于大数,所以有a>1

解:(1)∵不等式组无解,∴a≤1;

(2)∵不等式组有解,∴a>1.

例2不等式组的解集是x>2,则m的取值范围是( ).

A. m<1 B. m≥1

C. m≤1 D. m>1

【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集,根据不等式组的解集得到2≥m+1,求出即可.

【点评】本题主要考查对解一元一次不等式(组)、不等式的性质等知识点的理解和掌握,能根据不等式的解集和已知得出2≥m+1是解此题的关键.

二、根据不等式组的整数解情况确定字母的取值范围

【例1变式及分析】本题还可以增设一问,如果这个不等式组恰好有2013个整数解,求a的取值范围.

因为不等式组有解,由“大小小大中间找”可知1<x<a,此时x的最小整数解为2,又根据这个不等式组恰好有2013个整数解,得最大整数解应为2014,所以a必须大于2014(当a=2014时,不等式组的解集为1<x<2014,此时整数解有2、3…2012、2013,只有2012个,不满足题意),否则不等式的整数解不足2013个,且a必须小于或等于2015(当a=2015时,不等式组的解集为1<x<2015,此时整数解有2、3…2013、2014,由于是小于号,所以取不到2015,整数解仍然为2013个,满足题意),否则不等式的整数解将多于2013个.

解:∵不等式组恰好有2013个整数解,

∴1<x<a中含有的整数解为:

2、3…2013、2014,

∴2014<a≤2015.

例3关于x的不等式组只有5个整数解,则a的取值范围是( ).

【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集,根据已知得到14≤3-2a<15,求出即可.

解:由①得:x>3-2a,

由②得:x<20.

∵不等式组只有5个整数解,

∴14≤3-2a<15,

解得:-6<a≤-(11)/2,∴选C.

【点评】本题主要考查对不等式的性质、解一元一次不等式、一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握,能列出不等式14≤3-2a<15是解此题的关键.

【小试牛刀】

1. 如果不等式3x-m≤0的正整数解为1、2、3,则m的取值范围是().

A. 9≤m<12 B. 9<m<12

C. m<12 D. m≥9

【参考答案】

1. 解不等式3x-m≤0得到:x≤m/3,正整数解为1、2、3,则3≤m/3<4,解得9≤m<12. 故选A.

【点评】根据x的取值范围确定m/3的范围是解题的关键.

2.解不等式①得,x<2m,解不等式②得,x>2-m,∵不等式组有解,∴2m>2-m,∴m>2/3. 故选C.

【点评】此题主要考查了一元一次不等式组解集的求法. 先求出两个不等式的解集,再根据求不等式组解集的口诀“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”列出不等式组求解即可.

3. ∵不等式无解,∴m<1,故选A.