不等式3(基本不等式应用与证明)（共11篇）
不等式3(基本不等式应用与证明) 篇1
学习要求大成培训教案（不等式3基本不等式证明与应用）基本不等式
1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等.１． 算术平均数：几何平均数
２． 设a≥0,b≥0则a+
b
2【精典范例】
例1．.设a、b为正数,求证明：
a+b³
2点评：１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法
２．本题对a≥0,b≥０时仍成立，且题中等号当且仅当a=b时成立．
３．把不等式a+b³2(a≥0,b≥0)称为基本不等式
4.由本题可知，两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当两数相等时两者相等
5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．
例2.利用基本不等式证明下列不等式：
(1)已知a>0,求证 a+
(3).已知x , y , z是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证:(1³2(2).已知a, b, c∈R , 求证: a2+b2+c2≥ab+bc+ac.a111-1)(-1)(-1)>8 xyz
点评：1..基本不等式的变形公式：
2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．３．注意严格不等式的证明方法．
思维点拔：
1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．
２．基本不等式的推广：n个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若ai≥0(i=1,2,„,n),则
追踪训练
１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数．（１）２与８（２）３与１２（３）Ｐ与９Ｐ（４）２与２
２．已知a>1求证a+
３． 已知a , b , c不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证:
第2课时
p2
1≥3３．已知a+b+c=1,求证a2+b2+c2≥
3a-1
a． abc
学习要求
1.理解最值定理的使用条件：一正二定三相等． 2.运用基本不等式求解函数最值问题．
１． 最值定理：若x、y都是正数，(1)如果积xy是定值P , 那么当且仅当x=y时, 和x+y有最小值．.(2)如果和x+y是定值S , 那么当且仅当x=y时, 积xy有最大值．
２．最值定理中隐含三个条件：． 【精典范例】
例1．(1).已知函数y=x+
51(x>－2), 求此函数的最小值.(2)已知x<, 求y=4x－1+的最大值;x+244x-5
(3)已知x>0 , y>0 , 且5x+7y=20 , 求xy的最大值;(4)已知x , y∈R+ 且x+2y=1 , 求
+的最小值.xy
例2.（１）求
2(x∈R)的最小值..（２）已知x , y∈R+ 且x+４y=1，求
11+ xy的最小值．
思维点拔：
１．利用基本不等式求最值问题时，一定要交代等号何时成立，只有等号成立了，才能求最值，否则要用其它方法了．而在证明不等式时，不必要交代等号何时成立．
２．例2是常见典型错误，它违背了最值定理使用前提：“一正二定三相等”中的后两条。
追踪训练一
1.2.3.已知x>1 ,0 【选修延伸】 利用函数单调性求函数最值.例3:求函数 9求函数y=4x+ 2x 1+x2的最小值；已知x<0 , 求y= x的最大值； 已知x , y∈R, 且+ xy + -x2+ 3=1 , 求x+y的最小值;已知x>-2 , 求y=的最大值； x+2 yx (x4)的最小值.x2 思维点拔： 利用基本不等式求解时,等号不能成立,故改用函数单调性求解.追踪训练二 求函数 第3课时 y sin2x的最小值.2 sinx 学习要求 1.初步学会不等式证明的三种常用方法：比较法，综合法，分析法。 2.了解不等式证明的另三种方法：反证法，换元法，放缩法.【精典范例】 例１．（１）已知a,bÎR+,且a¹b，求证：a3+b3>a2b+ab2 （2）已知 a<1,b<1，求证： a+b <1 1+ab 追踪训练一 １． 已知a,b,mÎ R+,且a a+ma >． b+mb ２．已知a,b,cÎR,且a+b+c=1，求证：ab+bc+ca3 例２.（１）已知a,b,cÎ(0,1),求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于 1．4（２）已知a +b2=1,x2+y2=1，求证：ax+by 1 （３）求证： a+b1+a+b ? a1+a b1+b 追踪训练二 1．求证：1+ 111+++<2 22223n 学习要求 1． 会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。2.通过对实际问题的研究，体会数学建模的思想。3．开拓视野，认识数学的科学价值和人文价值． 【精典范例】 例１．用长为4a的铁丝围成一个矩形, 怎样才能使所围矩形的面积最大.(用基本不等式求解)． 例２．某工厂建造一个无盖的长方体贮水池, 其容积为4800m3, 深度为3m , 如果池底每1m2的造价为150元, 池壁每1m2的造价为120元, 怎样设计水池能使总造价最低? 最低总造价为多少元? 例３．某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台, 每批都购入x台(x为正整数), 且每批需付运费400元, 储存购入的电视机全年所付保管费用与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比, 若每批购入400台, 则全年需用去运费和保管费43600元, 现在全年只有24000元资金可用于支付这笔费用, 能否恰好当地安排每批进货的数量, 使资金够用, 写出你的结论, 并说明理由.选修延伸： 先建目标函数，再用基本不等式求最值，这是一种很常见题型，加以理解和掌握． 追踪训练 １．建造一个容积为8m3, 深为2m的长方体无盖水池, 如果池底的造价为每平方米120元, 池壁的造价为每平方米80元, 求这个水池的最低造价.２．巨幅壁画画面与地面垂直, 且最高点离地面14米, 最低点离地面2米, 若从离地面1.5米处观赏此画, 问离墙多远时, 视角最大? 1．进一步会用基本不等式解决简单的最大（小）值的实际问题。2.通过对实际问题的研究，进一步体会数学建模的思想。.设x>0时, y=3－3x－的最大值为______________x 【精典范例】 例１．过点(1 , 2)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, 当△AOB的面积最小时, 求直线l的方程 例２．如图(见书P93), 一份印刷品的排版面积(矩形)为A , 它的两边都留有宽为a的空白, 顶部和底部都留有宽为b的空白, 如何选择纸张的尺寸, 才能使纸的用量最小? 练习1过第一象限内点P(a , b)的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点, 当直线l的方程.2汽车行驶中, 由于惯性作用, 刹车后还要向前滑行一段距离才能停住, 我们把这段距离叫做“刹车距离”, 在某公路上, “刹车距离”S(米)与汽车车速v(米/秒)之间有经验公式: S= PAPB 取最小值时, 求 325 v+v, 为保证安全行驶, 要求在这条公路上行驶着的两车之408 间保持的“安全距离”为“刹车距离”再加25米, 现假设行驶在这条公路上的汽车在平均车身长5米, 每辆车均以相同的速度v行驶, 并且每两辆之间的间隔均是“安全距离”.(1)试写出经过观测点A的每辆车之间的时间间隔T与速度v函数关系式;(2)问v为多少时, 经过观测点A的车流量(即单位时间通过的汽车数量)最大? 证题中经常用到的放缩方法有: 1.“添舍”放缩:对不等式一边添项或舍项以达到放大和缩小的效果. 2.分式放缩:分别放缩分式的分子、分母或者同时放缩分子分母以达到放缩的效果. 3.利用重要的不等式或结论放缩:把欲证不等式变形构造,然后利用已知的公式或恒不等式进行放缩,例如,均值不等式、柯西不等式、绝对值不等式、二项式定理、贝努力公式、真分数性质定理等. 4.单调性放缩:挖掘不等式的结构特征和函数内涵来构造单调数列或单调函数,利用单调性、值域产生的不等关系进行放缩. 二、常见的放缩控制 当我们选择了正确的放缩方法后,却往往会在放缩的过程中不知不觉间失控,导致放缩的过大或过小,达不到欲证的目标.那么如何控制好放缩的尺度. 例1求证: 分析1:不等式左边不能直接求和,我们希望通过合适的放缩后可以求和.若采取的方法向右端放大, 则左边 很明显,放得有点大了,导致传递性失败,不等式链中断,放缩失败.那怎么办呢? 1.调整放缩的“量”的大小 分析2:分析1中“放”的有点过大,因为放大了放大了,…所以可以通过调整放大的“量”来控制放缩的效果.在分母减少了n,我们可以把分母只减少1,即这样放的量就少了。 证明1:左边 2.调整放缩的“项”的起点 分析3:分析1中从第二项开始放缩,放的最终有点大.可以调整放缩的项数,从第三项开始放缩. 证明2:左边 由此可见,调整成功.显然从第三项开始放缩所得的结果比从第二项开始放缩所得的结果又更小些.以此类推,当放缩的项数越少,放缩后的结果就会越来越精细,越来越逼近目标. 除此之外,还可以调整放缩的次数,通过多次放缩的调整来达到效果;有时也可以根据欲证式子的结构特点,把相邻的项分组捆绑后进行放缩,也可以达到控制放缩合理和尺度的效果. 三、常见的问题类型 数列型不等式的一边常与求和有关,所以可以通过放缩后求和(或求和后放缩)来达到欲证的目标.下面我们通过典型例题来体会常见问题的处理手法. 1.放缩与“公式法求和” 选择恰当的放缩方法,通过“通项”的适度放缩使之转化为等差或等比数列,从而求和达到简化证题的目的. 例2设 证明:因为所,即 说明:分别利用“添舍项”和“均值不等式”把通项放缩为等差数列,然后求和得证. 2.放缩与“裂项法求和” 在例1中,不等式的左边无法求和,但通过放缩产生裂项相消的求和效果后,使问题解决.例2的右边也是利用放缩产生了裂项的效果,然后求和.下面我们再通过例题的证明体会裂项求和效果的运用. 例3求证 证明:因为 所以因为 所以 说明:例1分式、例3根式的放缩后裂项相消求和的处理手法是很多灵活题目的原型,值得体会. 3.放缩与“并项法求和” 例4求证 分析:观察分母的变化规律,把若干项“捆绑”并为一项后进行放缩,然后求和就很容易实现欲证的目标. 证明:左边 4.利用递推关系式放缩 利用递推关系式本身蕴含的不等关系或放缩产生的不等关系,在很多题目中可以起到很好的放缩效果. 例5已知求证:. 分析:根据欲证不等式的结构特点,通过递推关系式构造关于1+ak的不等式,然后实现对通项的放缩. 证明:因为且 所以所以 所以左边 5.构造和数列后进行放缩 如果数列不等式没有直接的求和的形式,很多时候可以间接的构造和数列,然后进行放缩处理. 例6已知正数列满足证明: 分析:根据已知构造关于的递推关系式,然后利用“累加法”把不等式的左边转化为和数列的形式. 证明:因为所以.所以 所以所以 总之,运用放缩法进行数列不等式的证明,要认真分析条件和结论的结构特征,明确方向,防止盲目放缩.同时还要多总结、多思考,多掌握一些常用的放缩技巧,以提高分析问题和解决问题的能力. 摘要：放缩法证明数列不等式,不仅需要学生掌握常用的放缩方法和技巧,控制好放缩的目标和尺度,同时也需要熟悉常见的问题类型.为了帮助更多的学生突破这一难点,本文对放缩法证明数列不等式的基本策略进行分析. ≥0. 思路二 图形法：构造如下平面图形. 图1中的面积关系可说明不等关系（a+b）2≥4ab（基本不等式的变形）；图2中的面积关系可说明不等关系a2+b2≥2ab.注意，其中a，b取正实数. 思路三 三角形法：在Rt△ABC中，设∠C=Rt∠，AB=c，AC=b，BC=a，则有a=csinA，b=csinB，所以2ab=2c2sinAsinB=2c2sinAcosA=c2sin2A≤c2=a2+b2，当且仅当sin2A=1，即A=B=45°，即a=b时，等号成立. 思路四 向量法：设m=（a，b），n=（b，a），则|m|==|n|，m•n=ab+ba=2ab.由m•n≤|m||n|，得a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立. 不等式链≥≥≥=（a＞0，b＞0），即“平方平均数”≥“算术平均数”≥“几何平均数”≥“调和平均数”是高中数学中重要的结论，在教材及高考卷中屡见不鲜. 1. 几何证法 先看一道课本题与一道高考题： 题目1 （人教A版必修5第三章第4节）在图3中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD.你能利用这个图形，得到不等式≤（a>0，b>0）的几何解释吗？ 题目2 （2010年湖北理科卷）设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图4，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作OD的垂线，垂足为E．连结OD，AD，BD．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段的长度是a，b的几何平均数，线段的长度是a，b的调和平均数． 再解决高考题： 解析 在Rt△ADB中，CD为高， 则由射影定理可得CD2=AC•CB，故CD=，即CD长度为a，b的几何平均数. 在Rt△OCD中，CE为高，则将OC=a－=，CD=，OD=代入OD•CE=OC•CD， 可得CE=，于是OE==，所以DE=OD－OE=，故DE的长度为a，b的调和平均数. 然后改编高考题： 变式1 在图4中作出长度为（平方平均数）的线段. 然后解决变式1： 解析 如图5，过点O作OR⊥AB，交半⊙O于点R，连结CR. 因为OR==，OC=，在Rt△ROC中，CR==，故CR即为所求. 最后证明重要不等式链： 证明 由图5中线段的长度CR≥OR=OD≥CD≥DE，即可证明≥≥≥. 2. 代数证法 证明 （1） 将（a－b）2≥0（a，b∈R）展开，得a2+b2≥2ab（a，b∈R）①； （2） 将①式两边都加上a2+b2，得2（a2+b2）≥（a+b）2（a，b∈R）②； （3） 由②式变形，得≥（a，b∈（0，+∞））； （4） 将①式两边都加上2ab，得（a+b）2≥4ab（a，b∈R）③； （5） 将③式变形，得≥（a，b∈（0，+∞））； （6） 将上式两边都乘以，得≥（a，b∈（0，+∞））. 综上，得≤≤≤（a，b ∈（0，+∞））. 例1 已知函数f（x）=x（a，b∈（0，+∞）），A= f，B=f（），C=f，则A，B，C的大小关系为（） A. A≤B≤CB. A≤C≤B C. B≤C≤AD. C≤B≤A 解 因为f（x）=x在R上是减函数，又由不等式链≤≤，得答案为A. 例2 设a，b，c均为正数，求证：++≥（a+b+c）. 证明 由≥（a+b），≥ （b+c），≥（c+a）三式相加，得++≥（a+b+c）. 例3 甲、乙两同学同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步.如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（） A. 甲先到教室B. 乙先到教室 C. 两人同时到教室D. 不确定 解 设从寝室到教室路程是s，甲（乙）跑步和步行速度分别为a，b，甲、乙两人所用时间分别为t1，t2，则+=t1，a+b=s，故t1=，t2=. 由＜（a≠b），所以t1＞t2，故选B. 1. 已知x，y∈（0，+∞），且9x+16y=144，求xy的最大值. 2. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确.有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量，这种说法对吗？并说明你的结论. 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程 一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 二、推导公式 1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0，∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； c2＋a2≥2ca． 把以上三式叠加，得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca ③ (当且仅当a=b=c时取“=”号)． 以此类推：如果ai∈R，i=1，2，„，n，那么有 ④ (当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号)． ④式是②式的一种推广式，②式就是④式中n=2时的特殊情况．③和④式不必当作公式去记，但从它们的推导过程中可以学到一种处理两项以上的和式问题的数学思想与方法——迭代与叠加． 3．再探索 师：考察两个以上实数的更高次幂的和，又能得到什么有趣的结果呢？先考查两个实数的立方和．由于 a3＋b3=(a＋b)(a2－ab＋b2)，启示我们把②式变成 a2－ab＋b2≥ab，两边同乘以a＋b，为了得到同向不等式，这里要求a、b∈R+，得到 a3＋b3≥a2b＋ab2． ⑤ 考查三个正实数的立方和又具有什么性质呢？ 生：由③式的推导方法，再增加一个正实数c，对b、c，c、a迭代⑤式，得到 b3＋c3≥b2c＋bc2，c3＋a3≥c2a＋ca2． 三式叠加，并应用公式②，得 2(a3＋b3＋c3)≥a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2) ≥a·2bc＋b·2ca＋c·2ab=6abc． ∴a3＋b3＋c3≥3abc ⑥ (当且仅当a=b=c时取“=”号)． 师：这是课本中的不等式定理2，即三个正实数的立方和不小于它们的积的3倍．同学们可能想到n个正实数的立方和会有什么结果，进一步还会想到4个正数的4次方的和会有什么结果，直至n个正数的n次方的和会有什么结果．这些问题留给同学们课外去研究． 4．推论 师：直接应用公式②和⑥可以得到两个重要的不等式． ⑦ (当且仅当a=b时取“=”号)． 这就是课本中定理1的推论． ⑧ (当且仅当a=b=c时取“=”号)．这就是课本中定理2的推论． 当ai∈R+(i=1，2，„，n)时，有下面的推广公式(在中学不讲它的证明) ⑨ (当且仅当a1=a2=„=an时取“=”号)． 何平均数．⑨式表明：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这是一个著名的平均数不等式定理．现在只要求同学掌握n=2、3时的两个公式，即⑦和⑧． 三、小结 (1)我们从公式①出发，运用综合法，得到许多不等式公式，其中要求同学熟练掌握的是公式②、⑥、⑦、⑧．它们之间的关系可图示如下： (2)上述公式的证法不止综合法一种．比如公式②和⑥，在课本上是用比较法证明的．又如公式⑦也可以由①推出；用⑦还可以推出⑧；由⑦、⑧也可以推出②、⑥．但是不论哪种推导系统，其理论基础都是实数的平方是非负数． 四个公式中，②、⑦是基础，最重要．它们还可以用几何法或三角法证明． 几何法：构造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R)，222则a＋b=c表示以斜边c为边的正方形的面积．而 + 如上左图所示，显然有 (当且仅当a=b时取“=”号，这时Rt△ABC等腰，如上右图)．这个图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”，同学们在初中已经见过． 三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则 2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2 =a2＋b2(∵sin2A≤1) (当且仅当sinA=1，A=45°，即 a=b时取“=”号)． 2三、应用公式练习 1．判断正误：下列问题的解法对吗？为什么？如果不对请予以改正． a、b∈R+．若tgα、ctgα∈R+．解法就对了．这时需令α是第一、三象限的角．] 改条件使a、b∈R+；②改变证法．a2＋ab＋b2≥2ab＋ab=3ab．] 师：解题时，要根据题目的条件选用公式，特别注意公式中字母应满足的条件．只有公式①、②对任何实数都成立，公式⑥、⑦、⑧都要求字母是正实数(事实上对非负实数也成立)． 2．填空： (1)当a________时，an＋a－n≥________； (3)当x________时，lg2x＋1≥_________； (5)tg2α＋ctg2α≥________； (6)sinxcosx≤________； 师：从上述解题中，我们可以看到：(1)对公式中的字母应作广义的理解，可以代表数，也可以代表式子．公式可以顺用，也可以逆用．总之要灵活运用公式．(2)上述题目中右边是常数的，说明左边的式子有最大或最小值．因此，在一定条件下应用重要不等式也可以求一些函数的最大(小)值．(3)重要不等式还可以用于数值估计．如 表明任何自然数的算术平方根不大于该数加1之半． 四、布置作业 略． 教案说明 1．知识容量问题 这一节课安排的内容是比较多的，有些是补充内容．这是我教重点中学程度比较好的班级时的一份教案．实践证明是可行的，效果也比较好．对于普通班级则应另当别论．补充内容(一般式，几何、三角证法等)可以不讲，例题和练习也须压缩．但讲完两个定理及其推论，实现教学的基本要求仍是可以做到的．还应看到学生接受知识的能力也非一成不变的．同是一节课，讲课重点突出，深入浅出，富有启发性，学生就有可能举一反 三、触类旁通，获取更多的知识．知识容量增加了，并未增加学生的负担．从整个单元来看，由于压缩了讲课时间，相应的就增加了课堂练习的时间．反之，如果学生被动听讲，目标不清，不得要领，内容讲得再少，学生也是难以接受的．由此可见，知识容量的多少，既与学生的程度有关，与教学是否得法也很有关系．我们应当尽可能采用最优教法，扩大学生头脑中的信息容量，以求可能的最佳效果． 2．教学目的问题 近年来，随着教改的深入，教师在确定教学目的和要求时，开始追求传授知识和培养能力并举的课堂教学效果．在培养学生的能力方面，不仅要求学生能够运用知识，更重要的是通过自己的思考来获取知识．据此，本节课确定如下的教学目的：一是在知识内容上要求学生掌握四个公式；二是培养学生用综合法进行推理的能力．当然，学生能力的形成和发展，绝不是一节课所能“立竿见影”的．它比掌握知识来得慢，它是长期潜移默化的教学结果．考虑到中学数学的基本知识，大量的是公式和定理，如能在每一个公式、定理的教学中，都重视把传授知识与开拓思维、培养能力结合起来，天长日久，肯定会收到深远的效果． 3．教材组织与教法选用问题 实现上述教学目的，关键在于组织好教材，努力把传授知识与开拓思维、培养能力结合起来．教材中对定理1和定理2的安排，可能是为了与前面讲的比较法和配方法相呼应．但这容易使人感到这两个定理之间没有什么内在联系，又似乎在应用定理时才能用综合法．事实上，可以用比较法证明两个数的平方和或三个数的立方和的不等式，但当n＞3，特别对n是奇数时，用比较法就困难了(因为这时难以配方与分解因式)．因此不具有一般性．而对综合法，学生在初中证几何题时已多次用过了(只是课本上没有提到这个名称)．现行课本中两个不等式定理及其推论，是著名的平均值不等式： 和它的等价形式当 n=2，3时的特殊情况(当n=2时，ai的取值有所变化)．在中学不讲一般形式，只讲特殊情况是符合大纲要求的．由于普遍性总是寓于特殊性之中，因此，这两个特例应是一般式的基础．同时，这两个特例之间应有紧密的联系，在推导方法上也应该与一般式的证明有共性．这就是本教案的设计思想，因而改变了现行课本的证法． 这里，我们用由定理1先推出一个辅助不等式 a3＋b3≥a2b＋ab2，然后经迭代、叠加，推出不等式 a3＋b3＋c3≥3abc，这种方法具有一般性．事实上，引入一个一般的辅助不等式 an＋bn≥an-1b＋abn-1(n＞1)，由迭代、叠加，再应用数学归纳法就可以证出公式 正因为上述证法具有一般性，即揭示了证法的本质(共性)，就必然有利于递推与探索．又由(a－b)2≥0非常容易推出a2＋b2≥2ab，所以它是“天然”的奠基式．于 2ab，因此，凡能用配方法证明的问题，必能用基本不等式证明，反之亦真．可见配方法的重要作用．它的重要性应在上一节比较法中就予以强调． 【学习目标】 能熟练运用比较法来证明不等式。 【新知探究】 1．比较法证明不等式的一般步骤：作差（商）—变形—判断—结论.2．作差法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b.作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解（分式通分、无理式有理化等）后，把差写成积的形式或配成完全平方式.3．作商法：a＞0，b＞0，a＞1a＞b.b a＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.b比商法要注意使用条件，若 【自我检测】 1中最大的一个是 1x A.aB.bC.cD.不能确定 2．已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是 A.M≥NB.M≤NC.M=ND.不能确定 1．设0＜x＜1，则a=2x，b=1+x，c= 3．若11＜＜0，则下列结论不正确的是 ．．．ab B.ab＜b2 A.a2＜b 2C.ba+＞2D.|a|+|b|＞|a+b| ab 4．已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式： ①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的是____________.（把成立的不等式的序号都填上） 5．若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+1≥2.其中一定成立的是__________.（把成立的不等式的序号都填上）a 【典型例题】 3322例 1、已知a,b都是正数，并且ab，求证：ababab.-1 –“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径” 变式训练：当m＞n时，求证：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3． 例 2、已知a,b都是正数，求证：aabbabba, 当且仅当ab时，等号成立。 例 3、b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖，则糖水就变甜了，试根据这个 事实提炼一个不等式：；并且加以证明。 变式训练：5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________.并且加以证明。 【典型例题】课后练习课本P23习题2.11，2，3，4 本文将介绍用导数证明函数不等式的四种常用方法.（）x0).例 1证明不等式：xln(x1证明 设f(x)xln(x1)(x0)，可得欲证结论即f(x)f(0)(x0)，所以只需证明函数f(x)是增函数.而这用导数易证： f(x)1所以欲证结论成立.10(x0)x1注 欲证函数不等式f(x)g(x)(xa)(或f(x)g(x)(xa))，只需证明f(x)g(x)0(xa)(或f(x)g(x)0(xa)).设h(x)f(x)g(x)(xa)(或h(x)f(x)g(x)(xa))，即证h(x)0(xa)(或h(x)0(xa)).若h(a)0，则即证h(x)h(a)(xa)(或h(x)h(a)(xa)).接下来，若能证得函数h(x)是增函数即可，这往往用导数容易解决.例 2证明不等式：xln(x1).证明 设f(x)xln(x1)(x1)，可得欲证结论即f(x)0(x1).显然，本题不能用例1的单调性法来证，但可以这样证明：即证f(x)xln(x1)(x1)的最小值是0，而这用导数易证： f(x)11x(x1)x1x1 所以函数f(x)在(1,0],[0,)上分别是减函数、增函数，进而可得 f(x)minf(1)0(x1) 所以欲证结论成立.注 欲证函数不等式f(x)()g(x)(xI,I是区间)，只需证明f(x)g(x)()0x.(I设h(x)f(x)g(x)(xI)，即证h(x)()0(xI)，也即证h(x)min()0(xI)(若h(x)min不存在，则须求函数h(x)的下确界)，而这用导数往往容易解决.bex1例3 (2014年高考课标全国卷I理科第21题)设函数f(x)aelnx，曲线 xxyf(x)在点(1,f(1))处的切线为ye(x1)2． (1)求a,b； (2)证明：f(x)1． x解 (1)f(x)aelnxaxbx1bx1e2ee． xxx题设即f(1)2,f(1)e，可求得a1,b2． x(2)即证xlnxxe21(x0)，而这用导数可证(请注意1)： ee设g(x)xlnx(x0)，得g(x)ming． 设h(x)xex1e1e12(x0)，得h(x)maxh(1)． ee注 i)欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间)，只需证明f(x)ming(x)max(xI)，而这用导数往往可以解决.欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间)，只需证明f(x)ming(x)max(xI)，或证明f(x)ming(x)max(xI)且两个最值点不相等，而这用导数往往也可以解决.ii)例3第(2)问与《2009年曲靖一中高考冲刺卷理科数学 （一）》压轴题第(3)问完全一样，这道压轴题(即第22题)是： 已知函数f(x)xlnx,g(x)xax3．(1)求函数f(x)在[t,t2](t0)上的最小值； (2)对一切x(0,),2f(x)g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(3)证明：对一切x(0,)，都有lnx212成立． xeexln x例4(2013年高考北京卷理科第18题)设L为曲线C：y＝在点(1，0)处的切线． x(1)求L的方程； (2)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线L的下方． 解(1)(过程略)L的方程为y＝x－1.lnxx1(当且仅当x1时取等号).xx2－1＋ln xlnx(x0).设g(x)x1，得g′(x)＝ x2x(2)即证当0 所以g(x)ming(1)0，得欲证结论成立.(2)的另解 即证仅当x1时取等号).设g(x)xxlnx，可得g(x)2lnxx1(当且仅当x1时取等号)，也即证x2xlnx0(当且x2x1(x1)(x0).x进而可得g(x)ming(1)0，所以欲证结论成立.(2)的再解 即证lnxx1(当且仅当x1时取等号)，也即证lnxx2x(当且仅当xx1时取等号).2如图1所示，可求得曲线ylnx与yxx(x0)在公共点(1,0)处的切线是yx1，所以接下来只需证明 lnxx1,x1x2x(x0)(均当且仅当x1时取等号) 前者用导数易证，后者移项配方后显然成立.所以欲证结论成立.图1 例5 (2013年高考新课标全国卷II理21(2)的等价问题)求证：eln(x2)． 分析 用前三种方法都不易解决本问题，下面介绍用导数证明函数不等式的第四种常用方法.设f(x)e(x2),g(x)ln(x2)(x2)，我们想办法寻找出一个函数h(x)，使得f(x)h(x)g(x)(x2)且两个等号不是同时取到.当然，函数h(x)越简洁越好.但h(x)不可能是常数(因为函数g(x)ln(x2)(x2)的值域是R)，所以我们可尝试h(x)能否为一次函数，当然应当考虑切线.如图2所示，可求得函数f(x)e(x2)在点A(0,1)处的切线是yx1，进而可得f(x)h(x)(x2)；还可求得函数g(x)ln(x2)(x2)在点B(1,0)处的切线也是yx1，进而可得h(x)g(x)(x2).xxx 图2 进而可用导数证得f(x)h(x)g(x)(x2)且两个等号不是同时取到，所以欲证结论成立.当然，用例2的方法，也可给出该题的证明(设而不求)： x设f(x)eln(x2)，得f(x)ex1(x2).x2可得f(x)是增函数(两个增函数之和是增函数)，且1fe20,f(1)e10，所以函数g(x)存在唯一的零点x0(得2(x02)ex01,x02ex0,ex01)，再由均值不等式可得 x02f(x)minf(x0)ex0ln(x02)11lnex0x0220x02x02 (因为可证x01)所以欲证结论成立.x例6 求证：elnx2.x证法1 (例5的证法)用导数可证得ex1(当且仅当x0时取等号)，x1lnx2(当且仅当x1时取等号)，所以欲证结论成立.x证法2 (例2的证法)设f(x)elnx，得f(x)ex1(x0).x可得f(x)是增函数且g11110,g(0)0，所以函数g(x)存在唯2e1.52一的零点x0(得ex01,x0ex0)，再由均值不等式可得 x011lnex0x02(因为可证x01)x0x0 f(x)minf(x0)ex0lnx0所以欲证结论成立.注 欲证函数不等式f(x)g(x)(xI,I是区间)，只需寻找一个函数h(x)(可以考虑曲线yh(x)是函数yf(x),yg(x)的公切线)使得f(x)h(x)g(x)(x2)且两个等号不是同时取到，而这用导数往往容易解决.下面再给出例5和例6的联系.对于两个常用不等式exx1,lnxx1，笔者发现yex与ylnx互为反函数，yx1与yx1也互为反函数，进而得到了本文的几个结论.定理 已知f(x),g(x)都是单调函数，它们的反函数分别是f1(x),g1(x).(1)若f(x)是增函数，f(s)g(s)恒成立，则f1(t)g1(t)恒成立； 11(2)若f(x)是减函数，f(s)g(s)恒成立，则f(t)g(t)恒成立； 11(3)若f(x)是增函数，f(s)g(s)恒成立，则f(t)g(t)恒成立； 11(4)若f(x)是减函数，f(s)g(s)恒成立，则f(t)g(t)恒成立.证明 下面只证明(1),(4)；(2),(3)同理可证.(1)设不等式f(s)g(s)中s的取值范围是A，当sA时，f(s),g(s)的取值范围分别是fA,gA，得不等式f1(t)g1(t)中t的取值范围是fAgA，所以 1tfAgA,x0A,tgx(0x),gt.()0由f(s)g(s)恒成立，得g(x0)f(x0).由f(x)是增函数，得 f1(x)也是增函数，所以f1(g(x0))f1(f(x0))x0g1(g(x0))，即f1(t)g1(t).得tfAgA,f1(t)g1(t)，即欲证结论成立.(4)设不等式f(s)g(s)中s的取值范围是A，当sA时，f(s),g(s)的取值范围分别是fA,gA，得不等式f1(t)g1(t)中t的取值范围是fAgA，所以 1tfAgA,x0A,tgx(0x),t.()0g由f(s)g(s)恒成立，得g(x0)f(x0).由f(x)是减函数，得 f1(x)也是减函数，所以f1(g(x0))f1(f(x0))x0g1(g(x0))，即f1(t)g1(t).得tfAgA,f1(t)g1(t)，即欲证结论成立.推论1 已知f(x),g(x)都是单调函数，它们的反函数分别是f1(x),g1(x).(1)若f(x),g(x)都是增函数，则f(s)g(s)恒成立f1(t)g1(t)恒成立；(2)若f(x),g(x)都是减函数，则f(s)g(s)恒成立f1(t)g1(t)恒成立.证明 (1)由定理(1)知“”成立.下证“”： 因为g(x)是增函数，g1(t)f1(t)恒成立，g1(x),f1(x)的反函数分别是g(x),f(x)，所以由“”的结论得g(s)f(s)恒成立，即f(s)g(s)恒成立.(2)同(1)可证.推论2 把定理和推论1中的“,”分别改为“,”后，得到的结论均成立.(证法也是把相应结论中的“,”分别改为“,”.) 在例5与例6这一对姊妹结论“eln(x2),lnxe2”中ye与ylnx互为 关键词： 凸函数 算子不等式 积分不等式 凸函数是一类非常重要的函数，它的定义和基本性质在不同版本教材及参考书中都有介绍.另外，凸函数在凸分析、最优控制、函数论、数学规划、控制论等领域都有广泛的应用.它的性质是数学分析和实变函数中证明不等式的常用工具，本文从凸函数定义出发介绍了凸函数的一些积分不等式.还给出了这些积分不等式在算子不等式证明中的一个应用. 参考文献： [1]匡继昌，实分析与泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2002. [2]欧阳光中，朱学炎，金福临，等，数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社；第3版，2007. [3]周民强，实变函数[M].北京：北京大学出版社；第2版，2008. [4]Burqan A.Improve Cauchy-Schwarz norm inequality for operators[J].Journal Mathematical Inequalities，2016，10（1）：205-211. 1.设x在a,b内二阶可导，且x0，则 p1x1p2x2pnxnp1x1p2x2pnxn pppppp12n12n 其中p1,p2,L,pn均为正数，x1,x2,L,xnÎ2.证明不等式abc abc (a,b)。 aabbcc其中a,b,c均为正数。 3.应用Jensen不等式证明： 1）设aj0j1,2,,n有 n ++L+a1a2an ＃a1+a2+L+an。 n 2）设aj0,bj0j1,2,,n有 骣np鼢骣nq ajbj£珑aj鼢bj珑邋 鼢珑鼢珑桫桫j=1j=1j=1 n p1q,q>1,其中p>1 +=1。pq 积分不等式的证明 1.设函数fx在闭区间0,1上具有连续的导数，f01，且 f2xdx1。 1）求xfxfxdx；2）证明：xf xdxfx dx。 b 2.设fx在a,b上可导，且fxM,fa0，证明： a fxdx M2 ba 2 3.设fx0,x0,1，则 fx2dx。 4.设函数fx在闭区间0,1上连续，在0,1内有二阶导数，且fx0，证明： 1 fxndxf。 n1 5.设函数fxC0,1，且x,y0,1，有fxfyMxy，b 证明 a 1n fxdxf nk1 kM 。 n2n 6.估计 x2dx的符号。 7.设fx在0,1上连续且单调减少，f10，求证： xfxdxfxdx 01 xfxdx 01 fxdx 8.设fx在a,b上连续，且fx0，则 b a fxdx a b ba。fx9.设f1x,f2x,,fnx均为a,b上正值可积函数0ab，证明： b1 n f1xdxf2xdxfnxdxf1xf2xfnxdx。 aaaab n b 1n b 1n 10.设fx在a,b上可导，且fx在a,b上可积，fafb0，试证： fxfxdx 2a b axb。 11.设fx在,有界，且导数连续，又对任意的实数x有fxfx1，试证：fx1。 1 12.设fx在,aa0上非负可积，且xfxdx0，a1 a a 求证： xfxdxfxdx。 21a 1a aa 13.设fx在0,1上有二阶连续的导数，则对任意的0,, 132,1，有 3 fx3fffx。 14.设fx在a,b上连续，则maxfxfxdxfx。xa,bbaa a bb 15.设fx在0,1上有连续的导数，且f0f10，证明： fxdx maxfx。40x1 16.设fx在a,b上连续，且严格单增，证明：ab fxdx2xfxdx。 a a bb 17.设fx在0,1上有连续的导数，满足0fx1且f00求证： 113 fxdxfxdx。00 18.设fx在0,1上连续且递减，证明：当01时，19.设fx在0.上连续，且单调增加，证明： ba 1 xfxdxbfxdxafxdx。20a0b fxdxfxdx。 1 20.设fx在0,1上有连续的导数，且f0f10，证明： fxdxfxdx。402 21.设fx在a,b上有连续的导数，且fa0，证明： b f a bab2xdxfxdx。2 a 22.设fx在0,1上有连续的导数，证明： 对于x0,1，有fx fxfxdx。 23.设fx在a,b上有连续的导数，且fa0，证明： b a 2ba fxfxdxfxdx。 2a b 24.设fx在a,b上有连续的导数，且fafb0，证明： b a 2ba fxfxdxfxdx。4a b 25.设fx在a,b上不恒为零，且其导数fx连续，并且有fafb0，证明： a,b，使f fxdx。ba 2a b 26.设fx在a,b上单调增加，且fx0，证明： bafafxdxba a b fafb。 27.设fx在0,1上连续，且单调减少，fx0,证明：对于满足01的任何 ,，有fxdxfxdx。 28.设fx在a,b上具有连续的二阶导数，fx，且f0f10,fx0，证明： fx 4。fx29.设fx在a,b上连续，且fx0，证明： b 1b1lnfxdxlnfxdx。babaaa 30.设Intannxdx，n为大于1的正整数，证明： 。In 2n12n11 31.设fx在0,1上有一阶连续导数，且f1f01，证明：fxdx1。 32.设fx在0,2上连续，且 fxdx0,xfxdxa0，证明： 0,2，使fa。 33.设fx在0,1上连续，且 fxdx0,xfxdx1.，证明： 1）x00,1，使得fx04；2）x10,1使得fx14。 34.设fx在0,1上连续，且 fxdx0,xfxdx0,,x n1 fxdx0,xnfxdx1，证明：c0,1，n 使fc2n1。 35.设正值函数fx在闭区间a,b上连续，b b fxdxA，证明： a b a fxe fx dx a babaA。fx36.设函数fx在闭区间a,b上连续，不恒为零。满足0fxM，bbMbab fxdx。则fxcosxdxfxsinxdx 本科毕业论文（设计） 题目：不等式的几种证明方法及简单应用 学生：孙振学号： 200940520131学院：数学与计算科学学院专业： 信息与计算专业 入学时间： 2009年9月10日 指导教师： 荆科职称：学士完成日期：年月日 （空一行） 论文题目（格式：居中，三号黑体，加粗，标题不超过20字，不用非公知公用的缩写、化学式等） （空一行） ——副标题（格式：居中，小三号黑体，加粗） 摘要（五号黑体，加粗）：□□□□五号楷体□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□（五号楷体，行距16磅）关键词（五号黑体，加粗）：词１；词２；．．．．．．词５（五号楷体） （空一行） Title（格式：居中，四号Time New Roman字加粗，行间距20磅，句首字母和专有名词首字母大写） （空一行） Abstract: □□□□□□□□□□□□□□。（五号Time New Roman体，行距16磅） Key words: word1；word２；．．．．．．word5（一一对应）（格式：五号Time New Roman体） （空一行） 目录（格式：黑体四号字，字间空出4个半角字符，加粗，居中） 1（第1章）引言（绪论）................1 1.1（第1章第1节）题名............1 1.1（第1章第2节）题名............2 2（第2章）题名..........2 2.1（第2章第1节）题名............5 2.2（第2章第2节）题名............6 2.2.1（第2章第2节第1目）题名.............7 2.2.2（第2章第2节第2目）题名...................8 ......5（第5章）结论（结束语）..............25 参考文献.................26 附录A...........28 附录B...........32......致谢.............36 （格式：宋体小四号，加粗，分散对齐，行间距20磅，一、二、三级标题序号与题名间均空出1个半角字符） （空一行） 1一级标题（格式：宋体小四号，加粗，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符）□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。（格式：宋体小四号，首行缩进4个半角字符，行距20磅）1.1二级标题（格式：宋体小四号，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符）□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。1.2二级标题 □□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。 1.2.1三级标题（格式：宋体小四号，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符） □□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。 1.2.2.1四级标题（格式：宋体小四号，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符）□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。2一级标题 □□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。 ......5结论（结束语） □□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。 参考文献：（格式：宋体四号字，加粗，左对齐，左缩进4个半角字符） （文献按正文部分标注的序号依次列出)（格式：宋体五号字，左对齐，左缩进4个半角字符，行距16磅） 示例： [1] 廖荣宝，朱云，吴佳，等．对高校化学教材中杂化轨道理论的一点认识[J]．阜阳师范学 院学报（自然科学版），2009，26（4）：69-72．（期刊：主要责任者．文献题名[J]．刊名，出 版年，卷数（期数）：起止页码．作者项3个人内全部写出，第4个人及其后著为“，等”） [2] 周公度，段连运．结构化学[M]．4版.北京：北京大学出版社，2007：164-164．（专著： 主要责任者．文献题名[M]．译者．版本（第1版不著录）．出版地：出版者，出版年：起止页码．作者项同上） [3] 王兆骞，陈欣，马琨，等．红壤坡地水土流失的监控方法研究[C]//李萍萍．生态学 研究进展——王兆骞教授农业生态学学术思想研讨会文集．镇江：江苏大学出版社，2011：59-67．（论文集：析出文献主要责任者．文献题名[C]//论文集编者名．论文集名．出版地： 出版者，出版年：起止页码．作者项同上） [4] 石秦．高等教育校园中具有地域特色的空间营造——以西安建筑科技大学草堂校区为 例[D]．西安：西安建筑科技大学建筑学院，2008．（学位论文：作者名．题名[D]．保存地点： 保存单位（高校标注到学院或系），年份．） [5]李国云．本地化服务才是高校信息系统的死角[EB/OL]．[2008-05-12]..（电子文献：网址加http://；网址前加日期，先发布日期，用圆括号；后下载日期，用中括号；给出的年-月-日，年为4位，月、日为2位；网址后加点） [6] GB/T 6532-86，原油及其产品的盐含量测定法[S]．（技术标准：标准编号，标准名称[S]．）[7] 姜锡洲．一种温热外敷药制备方案：中国，88105607.3[P]．1989-07-26．（专利：专利申请 者或所有者．专利题名：专利国别，专利编号[P]．公告日期或公布日期．） [8] 冯西桥．核反应堆压力管道与压力容器的LBB分析[R]．北京：清华大学核能技术设计 研究院，1997．（报告：主要责任者．文献题名[R]．出版地：出版者，出版年．） [9] 谢希德．创造学习的新思路[N]．人民日报，1998-12-25（10）．（报纸：主要责任者．文献题 名[N]．报纸名，出版日期（版次）．） [10] Katharine A F, Stefan W K, Craig A C, ea al.Simulating the hydrological response to predicted climate change on a watershed in southern Alberta, Canada [J].Climatic Change, 2011, 105(3-4): 555-576.对于汉语拼音著者，姓与名全写，名不缩写，名的首字母大写、其余小写，双名连写、不加连字符．作者项3人内全部写出，第4人及其后著为“, et al”．期刊名称标明全称，不缩写．） 附录A（格式：黑体四号字，加粗，左对齐） 标题（格式：黑体四号字，加粗，居中） □□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。（格式：宋体小四号，首行缩进4个半角字符，行距20 磅） 附录B（格式：黑体四号字，加粗，左对齐） 标题（格式：黑体四号字，加粗，居中） □□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。（格式：宋体小四号，首行缩进4个半角字符，行距20 磅） 致谢（格式：黑体四号字，加粗，居中） □□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□ □□□□□□□□□□□□□□□□。（内容一般不超过300字。格式：宋体小四号，首行缩 进4个半角字符，行距20磅） 表例： 表1NanoDrop ND-1000测定RNA质量 实验组 对照组 1.8 51.98 2.05 2.1 4147.84 140.1 220 40956.8 5 604.8 （格式：表中文字五号，中文宋体，英文、数字Time New Roman体） 图例： 图2含二甲氨基查尔酮基团的三硫代碳酸酯在不同溶剂中的荧光光谱图 （格式：图题五号字，中文黑体，英文及数字Time New Roman体） （格式：图中数字、字母、符号一般为小五号，图例为六号，中文用宋体，英文及数字用Time New Roman 体） 公式： n n wi n fw(V1,,Vn) j 1wiVj[1(1ti),1fi]（1） i1 i1 wi （格式：图题五号字，中文黑体，英文及数字Time New Roman体） 关键词 不等式 方法 证明 不等式是数学基础理论的一个重要组成部分，也是中学数学的一个重要课题。它揭示了现实生活中广泛存在的量与量之间的不等关系，在现实生活和生产活动中有着重要的作用。就知识间的内在联系而论，不等式也是进一步学习函数方程等知识必不可少的基础，不少数学问题的解决，都将直接或间接地用到不等式的知识。本文，将就不等式学习中的难点——不等式的證明方法探讨一下。 一、比较法证不等式 比较法是证明不等式的最基本最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算顺序的直接运用。比较法可分为差值比较法（简称求差法）和商值比较法（简称求商法）两种。 （1）差值比较法 差值比较法的理论依据是不等式的性质：“ ”，其一般步骤为：1）作差：察不等式左右两边构成的差式，将其看成一个整体；2）变形：把不等式两边的差进行变形。或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个的平方等等（其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段）；3）判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论。 商值比较法的理论依据是：“若”，其一般步骤为：1）作商：将左右两边作商；2）变形：化简商式到最简形式；3）判断商与1的大小关系（就是判断商大于1或小于1）。 二、分析法证不等式 分析法是指从需证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判断这些条件是否具备的问题。其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。 用分析法证明的逻辑关系为：。书写的模式是为了证明命题B成立，只需证明命题为真，从而有……，这只需证明为真，从而又有……，……这只需证明A为真，而已知A为真，故B必为真。这种证明模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件。 三、综合法证不等式 综合法是利用已知事实（已知条件、重要不等式或已证明的不等式）作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式。其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”。其逻辑关系为：，即从已知A逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论B。 四、反证法证不等式 有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑。即要证明不等式A > B，先假设，由题设及其它性质推出矛盾，从而肯定A > B。 五、换元法证不等式 换元法是对一些结构比较复杂，变量比较多，变量之间的关系不甚明了的不等式，这时可引人一个或几个变量进行代换以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪和方法。 六、放缩法证不等式 放缩法是要证明不等式A < B 成立不容易，而借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法。放缩法证明不等式的依据主要有： 不等式的传递性； 等量加不等量为等量； 同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较 七、数学归纳法证不等式 用数学归纳法证不等式主要是证明一些与自然数有关的不等式。 八 利用已知不等式法证不等式 用已经成立的不等式来证明不等式，往往可以收到事半功倍的效果，在我们学习中，常用的几个重要的不等式有Canthy 不等式，Jensen不等式，平均不等式，Bernoulli不等式等，熟悉并利用它们，在我们证明不等式的过程中是十分必要的。 以上是不等式证明中常用的几种方法，分别予于了说明。但由于关于不等式证明的问题其题型多变、技巧性强，加上无固定的规律可循，所以在对一题的证明中，往往不是用一种方法就能解决，而是各种方法的灵活运用，因此难度较大。本文是对不等式证明方法的终向剖析，要想更好的了解不等式的证明，也需要我们将其证明方法横向比较，较其优劣，争取在解题中寻找较简便的方法。 参考文献： [1]不等式证明常用技巧[J].数学教学研究，1995.02. [2]徐飞.不等式证明中的构造方法[J].数学通报，1981.03. [3]赵云龙.不等式证明的几种常用类型及方法[J].天津教育，1995.02. [4]雷小平.证明不等式的常用方法[J].太原科技，2002.01. 我们知道，“放”和“缩”是证明不等式时最常用的推证技巧，但经教学实践告诉我们，这种技巧却是不等式证明部分的一个教学难点。学生在证明不等式时，常因忽视“放”或“缩”的合理性或把握不住“放”或“缩”的“度”而导致解题失误甚至思维搁浅。本文以通过对几道实例的分析，就证明不等式的过程中如何进行“放”或“缩”作些浅谈。 例1设△ABC的三边长为a、b、c，且m为正数，求证：abc。mambmc解说：依题设知abc，因此证明的第一个目标就是考虑将待证不等式的左端适当 ababab„„„① mambmabmabmab 由于①式的分子、分母中都含有ab，不便于利用条件abc，据此可考虑处理掉分子 ab(mab)mm1的ab：„„„„② mabmabmab 在利用条件abc和不等式的性质便能达到“缩”的目的： 11∵ abc0，∴ mabmc0，∴，又∵m0，mabmc mmmmm(mc)mc11∴，又∵1，mabmcmabmcmcmcmcabc于是。mambmc缩小，以出现ab：左 本题是高中数学教材第二册（上）（人教版）中不等式证明中的一道习题，主要利用了三角形的两边之和大于第三边和不等式的一些基本性质来对分母进行“放”或“缩”，以达到证明的目的。 例2：对于一切大于1的自然数n，证明(1)(1)(1 13151)2n12n1 2解说：本题的常见证明方法是数学归纳法。能否找到一种“放”或“缩”的方式直接证明呢？显然，待证不等式等价于22232n2212312n12n1„„„„„„① 2 ①式的左端是形如2k（k2，3，„„，n）的n1个因数的乘积。如果能将每一个2k1 因数按照某种规律缩小后能“交叉”约分的话，可望收到化繁为简之效。注意到①式右端需要2n1，因此，对左端每一个因数缩小后应含有2k1，据此便不难找到可行的缩小方式：2k2k2k2k2k12k1，2k12k12k12k12k2k1 于是左2212312(n1)12n12n12n1。2.212312(n1)12n132 本题是95年上海的一道高考题，本题通过对待证式子的变形，然后在假分数的分子、分母上加上同一个常数，分数的值缩小，以达到能够约分的目的，进而得到所证的结果。 以上两个例中的“放”或“缩”的方式都是通过对待证不等式的结构特征进行分析才获得的“放”或“缩”的方法。然而，对有些不等式而言，合适的“放”或“缩”的方式的获得并非象上面两个例子那样顺利。 例3：求证：11111(nN)。325272(2n1)2 41（k1，2，„，n）的n项之和，不便于与右2(2k1)解说：不等式是左边是形如 边直接比较，于是想到将左边的每一项按照某种规律放大，求和后再与右边比较，我们先看下列放大方式： 11111111325272(2n1)22324252n 111111n1[1(1)n]1。3(12n1)122228424121 仅观其表，会认为无懈可击。问题在于这里采用的放大方式11 2k2(2k1) 2即(2k1)22k2(kN)是否合理。通过验证k的前几个特殊值可以发现，(2k1)22k2对k1，2，3，4成立，但对k5，6等不成立，其根源在于忽视了“当k增大时，指数函数2k2比幂函数(2k1)2增大得快”这一基本事实。我们再看下述放大方式：1111，22k(2k1)2k2k1(2k1) 左边<(111111)()()。23452n2n1 11的积，利用它2k12k1显然，这种放大方式是行不通的，因为它不能满足将左边各项放大后求和的要求，必须对其作些改进。如果将左边每一项放大后能出现一个常数与 将左边放大后就可“交叉”相消达到求和目的，基于这种想法，考虑放大方式： 11111()，(2k1)2(2k1)(2k1)22k12k1 左边<[(1)()()（由于12***1111)](1)。2n12n122n1211知这种放大方式的放大量偏大，但它却给我们提供了寻求放大方式的启示：24 使每一项放大后出现因数1。经尝试可得： 4 111111()，于是(2k1)24k24k14k(k1)4kk1 左边<[(1)()()(1 41212***)](1)。nn14n14 通过对放大方式的反复调整，终于成功了。 该例题表明在放、缩方式合理的前提下，放、缩方式是否适度，事先难以预料的，但在证明过程中可以通过对放、缩情况的审视逐步作出调整，选择适度的放缩方式改进证明。 例4： 设a、bR，ab1，求证：(a12125)(b)2„„„„„① ab 2解说：如果直接运用二元均值不等式缩小，即采用缩小方式a112a2„„„„„„„„„„„„„„② aa b112b2„„„„„„„„„„„„„„„„„„③ bb 2225知，②、③处的缩小量太大。失败的根源在于②、③中的2 1等号无法取得。注意到①是非严格不等式，其中等号成立的条件是ab，因此，每一2将有左228，由8 次缩小都必须保证等号成立的条件得到满足。抓住这一点不难获得多种可行的缩小方式，组织多种证法。 121111)(b)2[(a)(b)]2 ab2ab 1ab2111125[(ab)](1)2[1]2 ab22ab2ab22()2 1212111ab1)2(ab2)证法2：(a)(b)2(a)(b)2(ababababbaab证法1：(a 1194911592[(ab)(4)]2(ab)2[(ab)]4ab4ab24ab4ab2 2(115 4ab)92(1215925159)=2(1)ab222242 【不等式3(基本不等式应用与证明)】推荐阅读： 不等式证明的基本方法09-03 联想证明不等式05-09 证明不等式命题08-10 构造函数证明不等式07-19 构造法证明不等式05-09 不等式的证明技巧05-18 利用导数证明不等式05-29 数列型不等式证明07-31 不等式证明的若干方法06-11 用定积分证明不等式05-22不等式3(基本不等式应用与证明) 篇2
不等式3(基本不等式应用与证明) 篇3
基本不等式的证明 篇4
证明不等式的基本方法—比较法 篇5
不等式3(基本不等式应用与证明) 篇6
凸函数在算子不等式证明中的应用 篇7
Jensen不等式的证明和应用 篇8
不等式的几种证明方法及简单应用 篇9
不等式的证明方法与小结 篇10
放缩法与不等式的证明 篇11