柯西施瓦茨不等式证明

柯西施瓦茨不等式证明（精选4篇）

柯西施瓦茨不等式证明 篇1

柯西不等式的证明

数学上，柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式；例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。柯西不等式(Cauchy inequality)：对任意的实数a1,a2,⋯,an,b1,b2,⋯,bn,都有

(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2

证明一:(数学归纳法)当n=2时,(a21+a22)(b21+b22)−(a1b1+a2b2)2=(a1b2−b1a2)2≥0 所以n=2时,(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b1+a2b2)2 假设n时命题成立,则n+1时

(a21+a22+⋯+a2n+a2n+1)(b21+b22+⋯+b2n+b2n+1)≥((a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+|an+1bn+1|)2

又由条件假设

(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2

所以

((a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+|an+1bn+1|)2

≥(|a1b1+a2b2+⋯+anbn|+|an+1bn+1|)2

很明显有

(|a1b1+a2b2+⋯+anbn|+|an+1bn+1|)2≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn+an+1bn+1)2

因此n+1时命题也成立,由数学归纳法,命题得证.证明二:(构造二次函数)如果a1,a2,⋯,an都为0,那么此时不等式明显成立.如果a1,a2,⋯,an不全为0,那么a21+a22+⋯+a2n>0

构造二次函数f(x)=(a21+a22+⋯+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+⋯+anbn)x+(b21+b22+⋯+b2n)那么此时f(x)=(a1x+b1)2+⋯+(anx+bn)2≥0对任意的实数x都成立,所以这个二次函数的判别式应该是不大于0的,也就是

Δ=4(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2−4(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≤0

从而不等式得证.证明三:(恒等变形)注意到恒等式

(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2 =∑1≤i

所以不等式成立.证明四:(均值不等式)不妨设ai,bi不全为0,理由同证明二

a21+a22+⋯+a2n=S,b21+b22+⋯+b2n=T

那么由均值不等我们有

a2iS+b2iT≥2∣∣aibi∣∣ST√

对i从1到n求和,可以得到

∑i=1na2iS+∑i=1nb2iT≥2∑i=1n|aibi|ST−−−√

于是

2≥2∑i=1n|aibi|ST−−−√≥2∣∣∣∑i=1naibiST−−−√∣∣∣

得到

(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+anbn)2

现在我们由证法二来得到等号成立条件,如果等号成立,那么f(x)能取到0,也就是说存在一个x使得 aix+bi=0对任意的i=1,2,⋯,n都成立,这就是等号成立条件,在a1a2⋯an≠0时,可以将它写成

b1a1=b2a2=⋯=bnan.变形式(A)设ai∈R,bi>0(i=1,2⋯,n),则∑i=1na2ibi≥(∑ai)2∑bi.变形式(B)设ai,bi同号且不为零(i=1,2⋯,n),则∑i=1naibi≥(∑ai)2∑aibi.

柯西施瓦茨不等式证明 篇2

设f (x) 连续, 则, 这是一个十分重要的公式.今用它来证明柯西-施瓦兹不等式.

设函数f (x) 、g (x) 都在[a, b]上连续, 证明柯西-施瓦兹不等式

证明:将b变为参数x, 引进辅助函

2. 函数法证明柯西-施瓦兹不等式

对于任意实数ai, bi (i=1, 2, ⋯, n) , 证明:

对于任意实数ai, bi (i=1, 2, ⋯, n) ,

从而方程f (x) =0的判别式

即 (a1b1+a2b2+⋯+anbn) 2≤ (a12+a22+⋯an2) (b12+b22+⋯bn2) , 当且仅当f (x) =0, 有二重根x=k时取等, 此时 (b1k-a1) 2+ (b2k-a2) 2+⋯ (bnk-an) 2=0, 即ai=kbi (i=1, 2, ⋯n) .

3. 柯西-施瓦兹不等式的应用

定理3.1:对于n个正数:a1, a2, ⋯, an, 有并且当且仅当a1=a2=⋯=an时等号成立.

分析:注意到不等式右边的底数是3故只要将不等式左边2+ai拆成1+1+ai, 用三个正数的平均值不等式即可.

证明:利用平均值不等式, 有

定理3.2:如果a1, a2, ⋯, an与b1, b2, ⋯, bn是两列正数, , 并且当且仅当时等号成立.

例3:设x, y, z∈R+且x+y+z=1, 求证x2+y2+z2≥1 3, 1 x+1y+1 z≥9.

证明:由定理3.2知x2+y2+z2=x21+y21+z21≥ (x+y+z) 2 (1+1+1) =1 3

1 x+1y+1 z=12x+12y+12z≥ (1+1+1) 2 (x+y+z) =9,

∴x2+y2+z2≥1 3 1 x+1y+1 z≥9.

当且仅当x==z=1 3时, 两式等号成立.

摘要：柯西—施瓦兹不等式是高等代数中非常重要的一个不等式.本文通过微积分学第一基本定理、函数方法等证明柯西—施瓦兹不等式, 并阐述相关定理的证明, 通过例子说明其应用。

关键词：柯西—施瓦兹不等式,定理,证明

参考文献

[1]王萼芳, 石生明.《高等代数 (第三版) 》[M].北京:高等教育出版社, 2005.4

[2]安铮.浅谈与柯西-施瓦兹不等式有关的一些不等式[J].乌鲁木齐成人教育学院学报, 1996, 7 (1) :35-39

柯西施瓦茨不等式证明 篇3

【学习目标】

1.掌握一般形式的柯西不等式的判别式法证明，并掌握等号成立的充要条件 2.基本会使用柯西不等式证明不等式、求最值 【自主学习】

1.三维柯西不等式可以对比二维柯西不等式来记忆和理解，你能写出来吗？ 2.一般形式的柯西不等式是对二维、三维的推广，是归纳推理的典范，至少要会用判别式法完成证明，而且要理解等号成立的充要条件

3.结合二维柯西不等式的应用初步的体会一般形式的柯西不等式的应用.【自主检测】

1.已知a,b,c0，且abc1，则a2b2c2的最小值为＿＿＿＿ A.1B.4C.D.2.设a1,a2，an

R,1a

1b

1c

1314

a1a2

an

n的大小关系为＿＿＿

3.若a,b,c0,1，则abc的最小值是＿＿＿＿ 【典型例题】

例1.已知a,b,c0，求证：

1.

bcaabc

92.abca2b2c29abc abcbca



b2c2c2a2a2b2

abc 2.abc

n

n

例2.(1)已知a1,a2，anR.求证：ainai2

i1i1

（2）已知a1,a2，an0,a1a2（3）已知a1,a2，anR,b1,b2,a32an12an2a12a221

an1.

a1a2a2a3a3a4an1anana12

2222,bn0.求证：a1a2a3ana1a2an

b1b2b3bnb1b2bn

例3.（1）已知a12a22an21,x12x22xn21，求a1x1a2x2anxn的最大值

111

（2）设a,b,cR,abc1，求abc

abc



2的最小值

（3）若xyz19,求函数u

【课堂检测】

1.设a1,a2，anR,，则Pa1a2

nan与Qn

a1a2an的大小关系为()

A.PQB.PQC.PQD.PQ 11112.设a,b,c，dR，且Pabcd，则P的最小值为abcd

3.已知x4y9z1，则x2y2z2的最小值为4.把一条长为m的绳子截成四段，各围成一个正方形，怎样截法才能使这四个正方形的面积和最小？

【总结提升】

柯西不等式的推广应用 篇4

一、取值范围问题

例1已知x,y,z∈R+,x+y+z=xyz，且不等式恒成立，求λ的取值范围．

解:由均值不等式和柯西不等式得:

故参数λ的取值范围是

从这一例子中可以明显看出柯西不等式在不等式，尤其是结构比较特殊的不等式证明当中优势明显，整个证明过程非常简洁明了，在证明过程中巧用平方、注意非负、避免讨论、利用换元能够将极为复杂的不等式转化为极为简洁的形式，让证明过程变得极为简洁．

二、等式证明问题

从上例中可以明显看出，柯西不等式的应用不仅仅局限于不等式领域，在等式领域柯西不等式也能发挥极佳的功效，在这一等式证明过程中学生要开放思维，对等式的内容进行合理的转换构造形成柯西不等式应用的形式，进而实现柯西不等式的应用．

三、平面几何应用

例3设三角形的三边a,b,c三边对应的高分别为ha,hb,hc,r为三角形的内切圆半径，如果9r=ha+hb+hc，判断三角形的形状．

当且仅当a=b=c时取等号，故当9r=ha+hb+hc时，三角形为等边三角形．