关于柯西不等式的证明

关于柯西不等式的证明（精选8篇）

关于柯西不等式的证明 篇1

关于柯西不等式的证明

王念

数学与信息学院 数学与应用数学专业 07 级 指导老师：吴明忠

摘要：研究柯西不等式的多种证明方法，得到一些有用的结论，并简单介绍一些它的应用。

关键词：柯西不等式、数学归纳法、二次型正定、欧式空间向量内积、詹森不等式，二维随机变量的数学期望。

Cauchy inequality is an important inequality.It has aroused people’s interest and its widespread application.In this paper、quadratic form、European space inner product、and the relation between Cauchy inequality.Wang Ni an

Xxxxxxxxxxx Grade 07 Instructor: Wu Ming Zhong

Abstract: The paper discusses the certifying ways of Cauchy inequality then gets some useful conduction and introduces some appliances.Key words: Cauchy inequality;quadratic form;inner product;Jensen inequality;mathematic Expectation.柯西不等式是大家熟知的一个重要不等式，它的结构和谐对称、以及广泛的运用引起了人们的兴趣和讨论。本文运用高等代数、微积分的基本内容来证明柯西不等式。柯西不等式的内容 1.1

(a1b1a2b2....anbn)2(a12a22....an2)2(b12b22....bn2)2(aibiR,i1,2......n)

等号当且仅当a1a2.....an0或bikai时成立（k为常数，i=1,2…..n）.1.2 设a1,a2,.....an及b1,b2,.....bn为任意实数则不等式(aibi)(a)(bi2)成2

i1

i1

i1

n

n

n

立，当且仅当bikai（i=1,2…..n）取等号。1,2这两种形式就是著名的柯西不

等式。柯西不等式的证明 2.1构造二次函数，证明柯西不等式。(其关键在于利用二次函数0时函数f(x)0

f(x)(a1xb1)2(a2xb2)2....(anxbn)2

(a12a22....an2)x22(a1b1a2b2....anbn)x (b12b22....bn2)显然f(x)0

又a12a22....ann0则利用0可得

4(a1b1a2b2.....anbn)24(a12a22....ann)(bb2.....bn)0即

n

(a1b1a2b2....anbn)2(a12a22....an2)(bb2....bn)

当且仅当aixbi0(i1,2....n)即

aa1a2

.......n是等号成立。b1b2bn

2.2 利用数学归纳法进行证明。（关键把握由特殊到一般情况的严密性）

（1）当n1时左式=a1b1右式=a1b1

显然左式=右式 当

n2

时，右式

a12a2b12b22a1b1a2b2a22b12a12b22

a1b1a2b22a1a2b1b2a1b2a2b2左式

仅当即 a2b1a1b2 即

a1a2

时等号成立 b1b2

故n1,2时 不等式成立

（2）假设nkk,k2时，不等式成立

2kak即 a1b1a2b2akbka12a2b12b22bk2

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

a12a2....ak

设Bb12b22....bk2

Ca1b1a2b2....akbk

222222则ak1bk1bk1ak1bk1Bak1 22C22Cak1bk1ak1bk1Cak1bk1 2222a1a2akak1



b12

b2

k

b2

k

b

a1b1a2b2akbkak1bk1

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

即nk1时不等式成立 综上所述原柯西不等式得证。

2.3 利用基本不等式（均值不等式）进行证明（关键在于利用它 “形式”）由于xy2xy(x,y

R)，令x

y



ai22ak2

k1

n

n



bi22bk2

k1n

(i1,2.......n)

将N

不等式相加得：

ab

ii

aibi

i1n



a

i1

nk1

n

i



b

i1nk1

n

i

1

2ak22bk2

n

n

n

i1

k1

即(aibi)(ai)(bk2)

i1

原柯西不等式得证。

2.4 利用二次正定型理论进行证明（关键在于理解二次型正定的定义）正定二次型定义：R上一个n元二次型q(x1,x2,....xn)可以看成定义在实数域上n个变量的实函数。如果对于变量x1,x2,....xn的每一组不全为零的值，函数值

q(x1,x2,....xn)都是正数，那么就称q(x1,x2,....xn)是一个正定二次型。

(aix1bix2)ai2x12bi2x222aibix1x20(i1,2,.....n)

n

n

n

有(ai)x(bi)x2(2aibi)x1x20

i1

i1

i1

设二次型 f(x1,x2)(ai)x(bi)x2(2aibi)x1x20

i1

i1

i1

nnn

故f为正定必有二次型矩阵

n2aii1

An



aibii1

n

abiii1

正定 n

2bii1

n

n

n

(ai)(bi)(aibi)20

则A0,即

i1

i1

i1

(aibi)2(ai2)(bi2)

i1

i1

i1

nnn

当

aa1a2

.......n时等号成立。b1b2bn

故原不等式成立，及柯西不等式得证。2.5 利用欧式空间中内积的性质进行证明。

定理：在一个欧式空间里，对于任意向量,，有不等式：

,2,,;当且仅当与线性相关时，才取等号。

证 如果与线性相关，那么或者0，或者a，不论哪一种情况都有

,2,,.现在设与线性无关。那么对于任意实数t来说，t0，于是

t,t0,即 t2,2t,,,0.最后不等式左端是t的一个二次三项式。由于它对于t的任意是数值来说都是正数，所以它的判别式一定小于零，即

,2,,0或,2,,.又在Rn里，对于任意两个向量

(x1,x2,....xn),(y1,y2,....yn),规定（必须规定）,x1y1x2y2.....xnyn.容易验证，关于内积的公理被满足，因而R对于这样定义的内积来说作成一个欧式空

n

间.再由不等式,2,,;推出对于任意实数a1,a2,....an,b1,b2,....bn,有不等式

(a1b1....anbn)2(a12....an2)(b12....bn2).即柯西不等式得证。2.6 利用行列式进行证明

n

n

n

证 (ai)(b)(aibi)

i1

i1

i1

a

i1ni1

n

i

ab

i1n

2ii1

n

ii

abb

iin

n



i1j1

ai2aibi

ajbjbj2



1ijn



(aibjajbi)20

若令a(a1,a2,an),b(b1,b2bn)则可以得到：

(aibi)(a)(b)1i 即柯西不等式得证。

i1

i1

i1

n

n

n

2.7 利用詹森不等式进行证明

考察函数(x)x2,(x0),(x)2x,(x)20,故(x)x2是(0,)上的凸函数，詹森（Jensen）不等式

n

PkXkk1n

Pkk1

n

n

2PkXkk1n(其中，P,2,n),得 k0,k1Pk

k1

n

n

(PkXk)(Pk)(PKxk2)

k1

k1

k1

nnn

ak22

上式中令Pkbk,Xk即（PkXk)(bk)(ak2)

bkk1k1k1

从而不等式成立。

2.8 利用二维随机变量的数学期望证明

表格 2

1n1n21n222

E()aibi，Eai,Ebi

ni1ni1ni1

由E()E2E2

1n1n21n22

所以有(aibi)(ai)(bi)

ni1ni1ni1

即(aibi)(ai)(bi2)

i1

i1

i1

nnn

则柯西不等式得证。

关于柯西不等式的证明 篇2

holder不等式是基础数学理论中两个重要的不等式, 在数学分析、实变函数论、泛函分析等, 甚至中学数学的内容都有这个著名不等式的证明与应用.

holder不等式通常以两种形式出现, 一种是离散量的形式 (例holder不等式 (Ⅰ) ) 而另一种是连续量的形式 (例holder不等式 (Ⅱ) ) .本文借助三个引理, 在一定条件下, 先后证明了离散量形式的holder不等式及定积分形式的holder不等式.

二、若干引理及其证明

引理1 (基础关系式) 设A, B≥0, 则

证若A, B中有一个为0, 则 (1) 式显然成立.

设A, B均不为零, 将 (1) 式两边同时除以B, 得

令=x.则上式变为

所以, 我们只需证明 (2) 式成立就可以了.

令f (x) =xα-αx+ (α-1) (x>0, 0<α<1) , 则

令f′ (x) =αxα-1-α=α (xα-1-1) =0, 得x=1.

对f′ (x) 再求导, 得f″ (x) =α (α-1) xα-2.

以x=1代入f″ (x) 的表达式中, 得

则x=1是f (x) 的极大值点.故f (1) =0是 (0, +∞) 上函数f (x) 的最大值.

所以, 当x>0时, xα≤αx+ (1-α) (0<α<1) 成立, 从而 (1) 成立.证毕

引理2设a, b≥0;p, q>1且则以下不等式成立:

当且仅当ap=bq时等号成立.

证当ab=0时, 以上不等式显然成立;

当ab≠0时, 令

其次, 对于xα-αx≤1-α (x>0, 0<α<1) ,

上式两端同时乘以bq (bq>0) , 有

由

所以证毕.

引理3若f (x) 在[a, b]上连续, 将[a, b]n等分, 分点 (包括两端点) 为记等分的每 (a+iΔx) =fi, 则有

证由

又由f (x) 在[a, b]上连续, f (x) 在[a, b]上定积分存在, 况, 故有

三、不等式及其证明过程

1.1 Holder不等式 (Ⅰ) (holder不等式的级数形式)

当且仅当akp=t·bkq (k=1, 2, …, n) 时等号成立.

证由引理2, 有AB≤

作代换, 令

代入引理2中的不等式, 有

将k=1, 2, …, n个不等式左右两端分别相加, 有

由于所以使上式两边同时乘以

由于引理2中的不等式成立当且仅当Ap=Bq, 所以, 由 (4) 式, 可以推导出 (3) 中等号成立当且仅当

特别地, 当p=q=2时, 有

称为Cauchy-Schwarz不等式.

1.2 Holder不等式 (Ⅱ) (holder不等式的定积分形式)

设f (x) , g (x) 在[a, b]上可积, 其中p>1, q>1, 且

证首先设f, g为[a, b]上的非负可积函数, 则当f (x) ≡0或g (x) ≡0时, 上式显然成立.令

则由Holder不等式 (Ⅰ) 可知:

在 (5) 式两端同时乘以1n, 有

而将n代入 (7) 式, 得

对 (9) 式两端取极限, 当n→∞时, Δx→0, 并由引理3

化简上式, 即得

参考文献

[1]胡克.解析不等式的若干问题 (第二版) .武汉大学出版社, (2007) .

[2]胡雁军, 李育生, 邓聚成.数学分析中的证题方法与难题选解. (1985) .

[3]D.S密特利诺维奇著.张小萍, 王龙译.解析不等式.科学出版社, (1987) .

[4]刘玉琏, 杨奎元, 吕凤编.数学分析讲义学习指导书.高等教育出版社, (1985) .

关于两个不等式证明的研究性学习 篇3

下面是笔者开设《不等式选讲（选修4-5）》的一节研究性学习课，课堂上一波三折，笔者在惊叹数学精美之余，也惊叹数学课堂的精彩.

参考文献

[1] Pham Kim Hung. 不等式的秘密（第一卷）[M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012.

[2] 安振平. 三十个有趣的不等式问题[J]. 中学数学教学参考，2011（11）.

[3]安振平. 2007 年全国中学数学教师解题基本功技能大赛[J]. 中学数学教学参考，2007.

高中数学选修课程是为希望提高数学素养的学生而设置的，其中所涉及的内容反映了某些重要的数学思想和数学方法，有助于学生进一步打好数学基础，拓展数学视野，提升数学能力，支持这部分学生的后继学习. 浙江省高中课程中的《IB选修模块》是为考“第一批本科院校”的学生而专门设计的，实际上选学数学IB模块的学生数学基础都比较好，因而数学IB模块也是开展研究性学习的好素材.

下面是笔者开设《不等式选讲（选修4-5）》的一节研究性学习课，课堂上一波三折，笔者在惊叹数学精美之余，也惊叹数学课堂的精彩.

参考文献

[1] Pham Kim Hung. 不等式的秘密（第一卷）[M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012.

[2] 安振平. 三十个有趣的不等式问题[J]. 中学数学教学参考，2011（11）.

[3]安振平. 2007 年全国中学数学教师解题基本功技能大赛[J]. 中学数学教学参考，2007.

高中数学选修课程是为希望提高数学素养的学生而设置的，其中所涉及的内容反映了某些重要的数学思想和数学方法，有助于学生进一步打好数学基础，拓展数学视野，提升数学能力，支持这部分学生的后继学习. 浙江省高中课程中的《IB选修模块》是为考“第一批本科院校”的学生而专门设计的，实际上选学数学IB模块的学生数学基础都比较好，因而数学IB模块也是开展研究性学习的好素材.

下面是笔者开设《不等式选讲（选修4-5）》的一节研究性学习课，课堂上一波三折，笔者在惊叹数学精美之余，也惊叹数学课堂的精彩.

参考文献

[1] Pham Kim Hung. 不等式的秘密（第一卷）[M]. 哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2012.

[2] 安振平. 三十个有趣的不等式问题[J]. 中学数学教学参考，2011（11）.

不等式的证明 篇4

教学目标

1.知识与技能

（1）.理解绝对值的几何意义并能用其证明不等式和解绝对值不等式.（2）.了解数学归纳法的使用原理.（3）.会用数学归纳法证明一些简单问题.（4）.了解证明不等式的常用方法.2.过程与方法

通过自主学习、课上讨论、提问、分析点评，让学生更加熟练解决有关不等式证明有关的问题.3.情感、态度和价值观

（1）培养学生分析、探究问题的能力，进一步培养学生学习数学的兴趣及综合运用基本知识解决问题的能力.（2）培养他们合作、交流、创新意识以及数形结合、抽象理解能力,使学生学会数学表达和交流，发展数学应用意识.学法与教具

（1）学法：课下自主复习、课堂上合作探究.（2）教具：教学案、多媒体.一、【知识梳理】

不等式的证明，方法灵活多样，它可以和很多内容结合.高考解答题中，常渗透不等式证明的内容.1.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法.(1)比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述.(2)综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.2.不等式证明还有一些常用的方法：、放缩法、反证法、函数单调性法、、数形结合法等.放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.(1)反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；(2)放缩法：“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析、多次尝试得出,要注意

放缩的适度。常用的方法是：

131

①添加或舍去一些项，如：a1a，n(n1)n，aa

242

②将分子或分母放大（或缩小）如：

1n



n(n1)n

ab),2



1n(n1)

③真分数的性质：“若0ab，m0,，则

ambm(lg

④利用基本不等式，如：lg3lg5（n(n1)

lg3lg

2)(lg

2)

(lg4)

lg4；

n(n1)

.⑤利用函数的单调性

⑥利用函数的有界性：如：sinA1,AR；2x0,xR.⑦利用常用结论： Ⅰ、1K1K

2K2K1k(k1)1k

K



2K

2K1k

K1K

12(K1K)(kN,k1)

*



K

2(KK1)(kN,k1)

*

Ⅱ、1k



1k

1 ；

1k



1k(k1)

1k1



1k



1k1

（程度大）

Ⅲ、1k





1

(k1)(k1)



2k1

（)；（程度小）

⑧绝对值不等式：ababab；

nn1n1

⑨应用二项式定理.如：2(11)1CnCn12(n1)(n4)

3构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式.二、【范例导航】

例1.设不等式2x11的解集为M.（I）求集合M；（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小．

解：（I）由2x11解得0x1.所以Mx0x1（II）由（I）可知aMbM，故0a1,0b1 所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0故ab1ab

例2.已知a、b、c∈R+，且abc1求证：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c).剖析：在条件“abc1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若用“abc”换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.证

明

：

∵

a,b,cR且abc

1



∴要证原不等式成立，即证

(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c

也就是证

(ab)(ca)(ab)(cb)(ac)(bc)8(bc)(ca)(ab)1

∵(ab)(bc)2(ab)(bc)0，(ac)(bc)2(ac)(bc)0(ab)(ac)2(ab)(ac)0，三式相乘得①式成立.故原不等式得证.例3．证明不等式1

1213

1n



2n(nN)

证：对任意nN，都有： 1k

2k12k13

2k

k11n

2(kk1),2)2(n

n1)2n.因此122(21)2(3

例4.证明

：(1)(1)(1

112n1)

2n12n1



75

2n12n1



2n1

3

2n1

2证明方法

一、1

(1

13)(1

512n

1

2n2n1)

43

65

(2n1)(2n1)2n12n1



2n2n1





53)(1

5476

2n176

证明方法

二、设B则AB又因为所以A

435465

2n2n

12n1



2n

2n12n，2n1

32n2n1

2n12n

2n1

4,A

2n1

2AB

2n13

例5.已知：a,b,c都是小于1的正数；求证(1a)b,(1b)c,(1c)a中至少有一个不大于.证明：假设(1a)b

14,(1b)c

14,(1c)a

1232,14，则有

12,(1c)a

∵a，b，c都是小于1的正数，(1a)b从而有(1a)b

(1b)c

(1c)a

(1b)c



1bc



1ca

32

但是(1a)b(1b)c(1c)a

1ab

故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确．

【说明】反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的．反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法．

三、【解法小结】

1.综合法就是“由因导果”，从已知不等式出发，不断用必要条件替换前面的不等式，直至推出要证的结论.2.分析法就是“执果索因”，从所证不等式出发，不断用充分条件替换前面的不等式，直至找到成立的不等式.3.探求不等式的证法一般用分析法，叙述证明过程用综合法较简，在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程，以适应学生习惯的思维规律.有时问题证明难度较大，常使用分析综合法，实现两头往中间靠以达到证题目的.4.由于高考试题不会出现单一的不等式的证明题，常常与函数、数列、三角、方程综合在一起，所以在教学中，不等式的证明除常用的三种方法外，还需介绍其他方法，如函数的单调性法、判别式法、换元法（特别是三角换元）、放缩法以及数学归纳法等，在放缩法中一定要注意放缩的尺度问题不能过大也不能过小.四、【布置作业】

必做题：

1.不等式x3x1a3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）

A．,14,2.设an

sin1

2sin22

B．,25,C．1,2D．,12,

sinn2

n

, 则对任意正整数m,n(mn), 都成立的是（）

mn2

A．anam

mn2

B．anam C．anam

n

D．anam

n

3.(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)设

1ba

()()1，那么()222

A.aaabbaB.aabaabC。abaabaD.abbaaa

4．(2012,四川文)设a,b为正实数,现有下列命题:

① 若a2b21,则;ab1 ②若③若

1b1a

1,则ab1;

ab1,则ab1;

④若a3b31,则ab1.其中的真命题有___________（写出所有正确的题号）必做题答案:

1.A解析:因为x3x1a3a对任意x恒成立，又因为x3x1最大值为4所以 a3a4解得a4或a

sinn12

n

12.C

anam



sinn22

n2



sinm21

m



sin(n1)2

n1



sin(n2)2

n2



sinm2

m



n1



n2



m



n1



n2



m

12

n1



m1



n



m



n

1

故应选C

16.答案C17、①④

选做题：（辽宁2011理21）已知函数f(x)lnxax2(2a)x．（I）讨论f(x)的单调性；（II）设a0，证明：当0x

1x

时，f（1a

x)f（1a

x)；

（III）若函数yf(x)的图像与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为x0，证明：f(x0)0． 解：（I）f(x)的定义域为(0,), f(x)

1x

2ax(2a)

(2x1)(ax1)

x

）（i）若a0则f(x)0,所以f(x)在（0，单调增加.（ii）若a0则由f(x)0得x

1a

且当x(0,)时，f(x)0,当x

a

11a

时，f(x)0,1单调增加，在(,)单调减少.所以f(x)在（0）a

a

（II）设函数g(x)f（a1ax

1x

1a

x)f（1a

x)则g(x)ln(1ax)ln(1ax)2ax

1a

g(x)

a1ax

2a

1a

2ax

1ax

1a,当0x时，g(x)0,而g(0)0,所以g(x)0.故当0x时，f（x)f（x)

（III）由（I）可得，当a0函数yf(x),的图像与x轴至多有一个交点，11

,且f0不妨设aa

1ax

2故a0，从而f(x)的最大值为f

A(x1,0)B(x20),0x1x2,则0x1

2a

1a

1a

由（II）得f（x1)f（

x1)f(x1)0从而x2

2a

x1,于是x0

x1x2



1a

由（I）知，f(x)0

五、【教后反思】

不等式的证明练习 篇5

A级

一、选择题 1.2+7与3+6的大小关系是()A.2+≥+B.2+7≤3+6 C.2+>+6D.2+7<3+ 6

3332.设a、b、c∈R且a、b、c不全为0，则不等式a+b+c≥3abc成立的一个充要条件是

()

A.a、b、c全为正数B.a、b、c全为非负实数

C.a+b+c≥0D.a+b+c>0

3.若实数ab满足0

A.2B.a+bC.2abD.a

4.设实数a、b满足a+b＝3,则2+2的最小值是()

A.6B.42C.22D.26

5.已知a>0且a≠1，M＝loga，N＝loga则M与N的大小关系是()

A.M

C.M>ND.不确定随a的变化而变化

二、填空题

226.已知x+y＝4，则2x+3y的取值范围为.(a31)(a21)ab

ba

7.若不等式a+b>2成立，则a与b满足的条件是.8.b克糖水中有a克糖(b>a>0)，若再添上m克糖(m>0)，则糖水就变甜了，试根据事实提炼一个不等式.三、解答题

(ab)2ab(ab)

29.已知a>b>0.求证：8a<2-ab<8b.10.已知a,b,c∈(0,1).求证：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能都大于4.AA级

一、选择题

1.已知下列不等式：

2+①x+3>2x(x∈R)

553223②a+b≥ab+ab(a,b∈R)

22③a+b≥2(a-b-1)

其中正确的个数是()

A.0B.1C.2D.3+2.设x,y∈R，且xy-(x+y)＝1,则()

A.x+y≥2(2+1)B.xy≤+

12C.x+y≤(2+1)D.xy≥2(2+1)

11a23.设M＝a+(2

A.M>NB.M＝NC.M

1+

4.设a,b,c∈R，则3个数a+b,b+c,c+a()

A.都大于2B.都小于

2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2

5.为适应社会发展的需要，国家决定降低某种存款的利息，现有四种降息方案： 方案Ⅰ先降息p%，再降息q%(其中p、q>0且p≠q)方案Ⅱ先降息q%，后降息p%

pqpq

方案Ⅲ先降息2%，后降息2%

方案Ⅳ一次降息(p+q)%

在上述四种方案中，降息最少的是()

A.方案ⅠB.方案ⅡC.方案ⅢD.方案Ⅳ

二、填空题

x

6.实数y＝x-y，则x的取值范围是.ab

7.若a>b>c>1，p＝2(2-ab)

abc

3θ＝3(-abc)，则p与θ中的较小者是.11k

8.若a>b>c，则不等式ab+bc≥ac成立的最大的k值为.三、解答题

cab

39.已知：a≥0，b≥0，c≥0.求证：ab+bc+ca≥

2111111

110.证明：n1(1+3+„+2n1)>n(2+4+„+2n)(n≥2)

【素质优化训练】

一、选择题

11(x)6(x66)

11(x)3(x33)

xx，则()1.若x>0，f(x)＝

A.f(x)≥10B.f(x)≤2C.f(x)≥8D.f(x)≥6

+

2.设a,b,c∈R，P＝a+b-c，Q＝b+c-a，R＝c+a-b，则“PQR>0”是“P、Q、R”同时大于零的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分且必要条件D.即不充分也不必要

+

3.已知a,b∈R，则下列各式中成立的是()

222a2b(a+b)

A.cosθ·lga+sinθ·lgblg

C.a

cos2

·b

sin2

＝a+bD.a

cos2

·b

sin2

>a+b

aaa

4.设a1>a2>a3>„>a2000>a2001，且m＝a1a2+a2a3+„+a2000a2001，n＝

4106

a1a2001，则m与n的大小关系是()

A.mnC.m≤nD.m≥n

5.连结直角三角形的直角顶点与斜边的两个三等分点所得的两条线段长分别为sinα



和cosα(0<α<2)，则斜边的长为()

4A.B.C.3D.5二、填空题

n2

5m

16.已知m，n∈R，则3616-n+3(用“≥”或“≤”号连接).11

27.若x-1＝2(y-1)＝3(Z-2)，则S＝x+y+z的最小值为.6m

8.设三角形三边长为3，4，5，P是三角形内的一点，则P到达这个三角形三边距离乘积的最大值是.三、解答题

x2111

29.已知a∈(-1,1)，求证ax2xa的值不可能在a1与a1之间.10.已知二次函数y＝ax+2bx+c，其中a>b>c，且a+b+c＝0.(1)求证：此函数的图像与x轴交于相异的两个点.(2)设函数图像截x轴所得线段的长为l，求证：

2222

1.设m+n＝a,x+y＝b.(其中a、b是不相等的正整数)，则mx+ny的最大值是()

a2b2ababA.2B.abC.abD.2.已知0

b

a

a

b,log

1b

a的大小关系是.222

23.设x,y∈R，且x+y≤1，求证｜x+2xy-y｜≤2.+3

34.已知p,q∈R且p+q＝2,求证：p+q≤2.参考答案

A级

1.D 2.A 3.B 4.B 5.D

ama

6.［-2,2］ 7.ab>0且a≠b 8.bm>b

(ab)2ab[(ab)(a)]2(a)2

8a-(2-)＝28a9.证明：-＝

(ab)2ab)24a]

8a,∵a>b>0,∴ab<2a,∴(ab)<4a，∴

(ab)2ab

8a(ab)-4a<0,又(ab)>0,8a>0,∴-(2-ab)<0，即(ab)2ab(ab)2ab

8a<2-ab.同理可证：8a>2-ab,∴原不等式成立.111

110.证明：假设三个式子同时大于4，即(1-a)b>4,(1-b)c>4,(1-c)a>4,三式相乘

1a1a132

2得：(1-a)a·(1-b)·b·(1-c)·c>4 ①，又因为0

同理0

盾，所以假设不成立，故原命题成立.AA级

1.C 2.A 3.A 4.D 5.C

6.(-∞，0)∪［4，+∞］ 7.P 8.4cababcabcabc

9.证明：∵ab+bc+ca＝ab+bc+ca-3＝

1111111

(a+b+c)(ab+bc+ca)-3＝2［(a+b)+(b+c)+(c+a)］［ab+bc+ca］-3

33

(ab)(bc)(ca)

≥2·3cab3

ab+bc+ca≥2成立.11193



abbcca-3＝2-3＝2，即

111()

111111111n10.证明：∵2＝2，3>4，5>6，„„，2n1>2n,又2>，111111n1

将上述各式两边分别相加得1+3+5+„+2n1>(2+4+„+2n)·n，∴1111111n1(1+3+„+2n1)>n(2+4+„+2n)

【素质优化训练】

1.D 2.C 3.A 4.C 5.D

5916

6.≤ 7.14 8.1

5x21122

9.证明：设y＝ax2xa，则(ay-1)x+2yx+ay-1＝0，若y≠a，由x∈R，得△≥

0.即4y-4(ay-1)≥0，∴［(1-a)y+1］［(1+a)y-1］≥0，因a∈(-1,1)，所以1-a>0,1+a>0

11111111

且a1>a1，所以y≤a1或y≥a1，若y＝a，由a(a1, a1),原命题也

正确.综上所述，原命题成立.22

10.证明：(1)令ax+2bx+c＝0，则Δ＝4b-4ac，由a+b+c＝0且a>b>c，∴a>0,c<0,∴ac<0，故Δ>0，即函数的图像与x轴交于相异的两点.(2)设函数图像截x轴于A、B两点，4b24(ac)24c2bcc22

a2其坐标为x1,x2，则x1+x2＝-a,x1x2＝a,∴l＝a-4·a＝-a＝4

ccc13bbc22

［(a)+a+1］＝4［(a+2)+4］，又a+b+c＝0且a>b>c,∴｜a｜<1，即-1

＝a＝-1-a∈(-2,0),∴3

1.B2.logb>loga>log>log

2222

3.证明：设x＝rcosθ,y＝rsinθ，且｜r｜≤1,则｜x+2xy-y｜＝r｜cosθ+2cosθ

a

b

1a

b

1b

a



222

sinθ-sinθ｜＝r｜cos2θ+sin2θ｜＝2r｜sin(2θ+4)｜≤2

4.证明：假设p+q>2，则(p+q)>8,∴p+q+3pq+3pq>8，又p+q＝2,∴pq(p+q)>2＝p+q,2222

高二数学不等式的证明 篇6

[本周学习内容]不等式证明中的综合证明方法：

1.换元法：通过适当的换元，使问题简单化，常用的有三角换元和代数换元。

2.放缩法：理论依据：a>b,b>ca.c，找到不等号的两边的中间量，从而使不等式成立。

3.反证法：理论依据：命题“p”与命题“非p”一真、一假，证明格式

[反证]：假设结论“p”错误，“非p”正确，开始倒推，推导出矛盾(与定义，定理、已知等等矛盾)，从而得 到假设不正确，原命题正确。

4.数学归纳法：这是一种利用递推关系证明与非零自然数有关的命题，可以是等式、不等式、命题。

证明格式：

(1)当n=n0时，命题成立；

(2)假设当n=k时命题成立；

则当n=k+1时，证明出命题也成立。

由(1)(2)知：原命题都成立。

[本周教学例题]

一、换元法：

1.三角换元：

例1.求证：

证一：(综合法)

即：

证二：(换元法)∵-1≤x≤1 ∴令x=cos,[0,π]

则

∵-1≤sin2≤1

例2.已知x>0，y>0，2x+y=1，求证：

分析：由于条件给出了x>0，y>0，2x+y=1，故如何使用2x+y=1这一特点是解决问题的重要环节。由本题中x>0，y>0,2x+y=1的条件也可用三角代换。

证一：

证二：由x>0,y>0，2x+y=1，可设

则

例3.若x2+y2≤1，求证：

证：设

则

例4.若x>1，y>1，求证：

证：设

则

例5.已知：a>1,b>0，a-b=1，求证：

证：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨设

则

小结：若0≤x≤1，则可令

若x2+y2=1，则可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π)

若x2-y2=1，则可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π)

若x≥1，则可令

2.代数换元：，若xR，则可令

例6：证明：若a>0，则

证：设

则

即

∴原式成立

小结：还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法。

二、放缩法：

例7.若a,b,c,dR+，求证：

证：记

∵a,b,c,dR+

∴1

例8.当n>2时，求证：logn(n-1)logn(n+1)<1

证：∵n>2 ∴logn(n-1)>0，logn(n+1)>0

∴n>2时，logn(n-1)logn(n+1)<1

例9.求证：

证：

三.反证法

例10.设0

证：设

则三式相乘： ①

又∵0

同理：

以上三式相乘：

∴原式成立

与①矛盾

例11.已知a+b+c+>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求证：a,b,c>0

证：设a<0，∵abc>0，∴bc<0

又由a+b+c>0，则b+c=-a>0

∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0 与题设矛盾

又：若a=0，则与abc>0矛盾，∴必有a>0

同理可证：b>0，c>0

四.构造法：

1.构造函数法

例12.已知x>0，求证：

证：构造函数

由

显然

∴上式>0

∴f(x)在 上单调递增，∴左边

例13.求证：

证：设

用定义法可证：f(t)在上单调递增，令：3≤t1

例14.已知实数a,b,c，满足a+b+c=0和abc=2，求证：a,b,c中至少有一个不小于2。

证：由题设：显然a,b,c中必有一个正数，不妨设a>0

则有两个实根。

例15.求证：

证：设

当y=1时，命题显然成立，当y≠1时，△=(y+1)2-4(y-1)2=(3y-1)(y-3)≥0

综上所述，原式成立。(此法也称判别式法)

例16.已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均为正，求证：xy≥ac+bd

证一：(分析法)∵a,b,c,d,x,y都是正数

∴要证：(xy)≥ac+bd

只需证

即：(a2+b2)(c2+d2)≥a2c2+b2d2+2abcd

展开得：a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd

即：a2d2+b2c2≥2abcd

由基本不等式，显然成立

∴xy≥ac+bd

证二：(综合法)

证三：(三角代换法)

∵x2=a2+b2，∴不妨设

y2=c2+d

2五.数学归纳法：

例17.求证：设nN，n≥2，求证：

分析：关于自然数的不等式常可用数学归纳法进行证明。

证：当n=2时，左边，易得：左边>右边。

当n=k时，命题成立，即：成立。

当n=k+1时，左边

又

；且4(k+1)2>(2k+3)(2k+1)；

于是可得：

即当n=k+1时，命题也成立；

综上所述，该命题对所有的自然数n≥2均成立。

[本周参考练习]

证明下列不等式：

1.提示：令，则(y-1)x2+(y+1)x+(y-1)x=0用△法，分情况讨论。

2.已知关于x的不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0(aR)，对任意实数x恒成立，求证：

提示：分

3.若x>0，y>0，x+y=1，则

提示：左边

令t=xy，则

在 上单调递减

4.已知|a|≤1，|b|≤1，求证：，提示：用三角换元。

5.设x>0，y>0，求证：a

放缩法

6.若a>b>c，则

10.左边

11.求证：高二数学不等式的应用

三.关于不等式的应用：

不等式的应用主要围绕着以下几个方面进行：

1.会应用不等式的证明技巧解有关不等式的应用题：利用不等式求函数的定义域、值域；求函数的最值；讨论方程的根的问题。

(求极值的一个基本特点：和一定，一般高，乘积拨了尖；积不变，两头齐，和值得最低。)在使用时，要注意以下三个方面：“正数”、“定值”、“等号”出现的条件和成立的要求，其中“构造定值”的数学思想方法的应用在极值使用中有着相当重要的作用。

2.会把实际问题抽象为数学问题进而建立数学模型，培养分析问题、解决问题的能力和运用数学的意识。

3.通过不等式应用问题的学习，进一步激发学数学、用数学的兴趣。

四、不等式的应用问题举例：

例10.已知a、b为正数，且a+b=1，求

最大值。

分析：在一定的条件限制下出现的最值问题，在变式的过程中，如何减少变形产生的错误也是必不可少的一个环节。

解：由可得；

小结：如果本题采用

两式相加而得：号是否取到，这是在求极值时必须坚持的一个原则。

；则出现了错误：“=”

例11.求函数的最小值。

分析：变形再利用平均值不等式是解决问题的关键。

解：

即f(x)最小值为-1

此类问题是不等式求极值的基本问题；但如果再改变x的取值范围(当取子集时)，要则要借助于函数的基本性质解决问题了。

例12.若4a2+3b2=4，试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。的某一个

分析：在解决此类问题时，如何把4a2+3b2=4拆分成与(2a2+1),(b2+2)两个式子的代数和则是本问题的关键。

解：

当且仅当：4a2+2=3b2+6，即

时取等号，y的最大值为8。

小结：此问题还有其它不同的解法，如三角换元法；消元转化法等等。但无论使用如何种广泛，都必须注意公式中的三个运用条件(一正，二定，三等号)

例13.已知x.y>0，且x·y=1，求的最小值及此时的x、y的值。

分析：考查分式的最值时，往往需要把分式拆成若干项，然后变形使用平均值不等式求解。

解：∵x>y>0 ∴x-y>0

又∵x·y=1，也即：；当且仅当时取等号。

也即；时，取等号。

例14.设x，y，z∈R+，x+y+z=1，求证：的最小值。

分析：此类问题的关键是如何使用平均值不等式，两条途径1.利用进而进行类加。

2.另一个途径是直接进行1的构造与转化。但无论如何需要注意的是验证“=”号成立。本题使用1的构造代入。

解：∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1

当且仅当时，取“=”号，的最小值为9。

小结：本题如果采用三式类加，得到：，由x，y，z∈R+，且x+y+z=1得：

。进而言之，的最小值为5，则出现了一个错误的结果，其关键在于三个“=”号是否同时成立。

例15.已知a>0,a2-2ab+c2=0，bc>a2，试比较 a，b，c的大小。

分析：此问题只给出了几何简单的不等式关系，故要判断大小必须在这几个不等式中进行变形分析才可解决问题。

解：由a2-2ab+c2=0可得，a2+c2=2ab≥2ac

又∵a>0,∴b≥c,(当且仅当a=c时，取等号)再由：bc>a2可知，b>c,b>a再由原式变形为：a2-2ab+b2+c2-b2=0得：b2≥c2，结合：b>c可得：b>c>0

又由b>a可得：2ab>2a2，综上所述，可得：b>c>a

小结：本题中熟练掌握不等式的基本性质和变形是解决问题的关键。

例16.某村计划建造一个室内面积为800m2的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左，右两侧与后侧内墙各保留1m宽的通道，沿前侧内墙保留3m宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大。最大种植面积是多少？

分析：如何把实际问题抽象为数学问题，是应用不等式等基础知识和方法解决实际问题的基本能力。

解：设矩形温室的左侧边长为am，后侧边长为bm，则ab=800

蔬菜的种植面积S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)

所以

当a=2b，即a=40(m),b=20(m)时，=648(m2)

答：当矩形温室的左侧边长为40m，后侧边长为20m时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2.例17.某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降，若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为

(Ⅰ)设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元(须扣除技术改造资金)，求An、Bn的表达式；

(Ⅱ)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

分析：数学建模是解决应用问题的一个基本要求，本问题对建立函数关系式、数列求和、不等式的基础知识，运用数学知识解决实际问题的能力都有着较高的要求。

解：(Ⅰ)依题设，An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2；

(Ⅱ)

因为函数上为增函数，当1≤n≤3时，当n≥4时，∴仅当n≥4时，Bn>An。

答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润。

小结：如何进行数学建模最基本的一个方面就是如何把一个实际中的相关因素进行分析，通过文字说明转化为等量关系或者是相互关系，再把文字关系处理为数学关系。

五、本周参考练习

1.已知a>0 ,b>0,a+b=1，证明：

2.如果△ABC的三内角满足关系式：sin2A+sin2B=sin2C，求证：

3.已知a、b、c分别为一个三角形的三边之长，求证：

4.已知x，y是正数，a，b是正常数，且满足：，求证：

5.已知a，b，c∈R+，求证：

6.已知a>0，求的最值。(答最小值为)

7.证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。

8.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x，y(单位：m)的矩形。上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积8m2，问x、y分别为多少(精确到0.001m)时用料最省？

(答：当x为2.34m，y为2.828m时，用料最省。)高二数学练习三

1.xR，那么(1-|x|)(1+x)>0的一个充分不必要条件是()

A.|x|<1

B.x<1

C.|x|>1

D.x<-1或|x|<1

2.已知实数a，b，c满足：a+b+c=0，abc>0，则：的值()

A.一定是正数

B.一定是负数

C.可能是0

D.无法确定

3.已知a,b,c是△ABC的三边，那么方程a2x2-(a2-b2+c2)x+c2=0（）

A.有两个不相等的实根

B.有两个相等的实根

C.没有实数根

D.要依a，b，c的具体取值确定

4.设0

A.C.5.设a,bR+，则A，B的大小关系是（）

B.D.A.A≥B

B.A≤B

C.A>B

D.A

6.若实数m，n，x，y满足m2+n2=a，x2+y2=b，则mx+ny的最大值是（）

A.B.C.D.7.设a，b，cR+，则三个数

A.都大于2

B.都小于2

（）

C.至少有一个不大于2

D.至少有一个不小于2

8.若a，bR+，满足a+b+3=ab，则

9.设a>0,b>0.c>0，a+b+c=1，则的取值范围是_____ 的最大值为_____

10.使不等式

答案：

1.A 2.B 3.C 4.D 5.C 6.B

7.D 8.9.10.a>b>0且a-b>1

例谈不等式的证明 篇7

一、比较法

1. 差比法。

作差法:M>N或M=N或M<N, 即证明M-N>0或M-N=0或M-N<0;作比法:先建立差式, 再将差式变形为积、商形式或平方和形式, 常用的方法有通分、配方和分解因式等。

例1.已知a<b<c, 求证a2b+b2c+c2a<a2c+b2a+c2b

证明:a2b+b2c+c2a- (a2c+b2a+c2b)

= (a2b-b2a) + (b2c-a2c) + (c2a-c2b)

=ab (a-b) +c (b+a) (b-a) +c2 (a-b)

= (a-b) [a (b-c) -c (b-c) ]

= (a-b) (b-c) (a-c) <0

所以, a2b+b2c+c2a<a2c+b2a+c2b。

例2.已知a>b>c>0, 求证

证明

又因为a>b>c>0, 所以a-b>0,

2. 商比法:

若M>0, 要证明M>N, 只需证明, 即首先建立商式, 再进行商式变形, 证明商值大于1。

又因为a>b>c>0, 所以a-b>0, a b>1

所以,

同理可证:

所以,

二、综合法

从已知条件或基本不等式出发, 运用不等式的有关性质推导出所要证明的不等式。常用的基本不等式有:

(1) a2≥0 (a∈R) , (a±b) 2≥0 (a, b∈R)

(2) a, b∈R, a2+b2≥±2ab, a2+b2≥2|ab|

(3) a, b, c∈R+时, 有 (当且仅当a=b时, 等号成立) , (当且仅当a=b=c时, 等号成立)

(4) 当a, b, c∈R时, 有a2+b2+c2≥ (a+b+c) 2≥ab+ac+bc (当且仅当a=b=c时, 等号成立)

例4.若x>0, y>0, x+y=1, 求证:

三、分析法

从求证的不等式出发, 寻求此不等式成立的充分条件, 只要使不等式成立的条件具备, 就可断定不等式成立, 一种“执果索因”的方法, 运用时注意格式。要证明不等式A, 只需证不等式B, 又要证C, 要证C, 又要证D, 即证不等式D成立。由不等式D成立, 推出不等式A成立。

例5.已知a>b>c>0, 求证:

所以, 原不等式成立

四、“放”“缩”技巧

在不等式的证明中, “放”“缩”是常用的推证技巧, “放”和“缩”的方向和量的大小都是由分析得出的。

例6.求证当α1, α2, α3∈[0, π]时, 有sinα1+sinα2+sinα3≤

所以sinα1+sinα2+sinα3≤

此题是利用函数的单调性, 变换公式的分母 (或分子) , 还有添加或舍去某些项, 利用有界性将不等式放大或缩小。用“放缩法”证明不等式, 解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法, 有时还需要几种方法融为一体。在证明过程中, 适当地进行放缩, 可以化繁为简、化难为易, 达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握, 常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此, 使用放缩法时, 如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标, 就必须根据欲证结论, 抓住题目的特点。掌握放缩技巧, 真正做到弄懂弄通, 并且还要根据不同题目的类型, 采用恰到好处的放缩方法, 才能把题解活, 从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力, 分析问题和解决问题的能力。

五、反证法

从假设求证不成立入手, 推出与已知条件和定理相矛盾的结论, 从而判定假设错误, 求证结论成立。

例7.已知a+b+c>0, ab+bc+ac>0, abc>0, 求证:a>0, b>0, c>0。

下面用反证法证明:

证明:假设a<0, 由abc>0, 知bc<0

又a+b+c>0得b+c>-a>0

于是ab+bc+ac=bc+a (b+c) <0与已知相矛盾

故a>0

同理:b>0, c>0。

六、数学归纳法

主要用来证明一些与自然数有关的不等式。

例8.当n>1, n∈N时, 求证:

证明:1.当n=2时, 左=

2.假设n=k时, 命题成立。即:

所以, 当n=k+1时, 命题成立。

综合1、2得:当n>1, n∈N时, 不等式成立。

利用导数证明不等式的方法 篇8

题目2：P是曲线y=f（x）=ex上的动点，Q是曲线y=g（x）=lnx上的动点，求PQ的最小值。

分析：本题主要考查反函数的相关知识，导数的几何意义，而在本题中所体现出的两类不等式是我们在利用导数证明不等式问题中特别常用到的放缩手段。

解：因为y=ex与y=lnx互为反函数，而反函数的图象关于直线y=x轴对称，所以我们可以转化为将直线y=x向上平移和向下平移，使得直线分别与y=ex与y=lnx相切，此时两个切点之间的距离即为我们所要求的最小值。f′（x）=ex，令f′（x）=ex=1可得，切点坐标为（0，1）；同理可求g′（x），令g′（x）=1可得，切点坐标为（1，0）。所以可以得到PQ的最小值为。

注：我们主要是想从本题解答过程中得到一组不等式：

（1）当x>0时，ex>x+1；变形：ex>x；ex-1>x

（2）当x>0时，x-1>lnx；变形：x>lnx；x>ln（x-1）

下面通过一个实例体会该不等式的应用。

题目3：已知f（x）=lnx，g（x）=ex。求证：当x>0时，f（x）

分析：本题的基本思路仍然是一个函数的思想，但是在操作中必须进行适当的放缩才能证明出该不等式。

解：F（x）=g（x）-f（x）-2=ex-lnx-2，则F′（x）=ex-2；则F′（x）单调递增，再根据零点存在性判定定理知F′（1）>0，F′（）<0，所以F′（x）=0在（，1）上有根记为t，从而可知F（x）在（0，t）单调递减，在（t，+∞）单调递增，所以F（x）>F（t）=et-lnt-2，下面我们必须能证明F（t）=et-lnt-2>0恒成立即可。此时又回到本题最初的形式，在这种情况下我们可以对F（t）=et-lnt-2进行放缩，其基本思想是此时et和lnt同时存在我们无法研究导数的零点，因此我们可以把二者之一利用放缩的方式处理掉。具体操纵如下：

F（t）=et-lnt-2>t+1-lnt-2=t-lnt-1（利用ex>x+1进行放缩），下面可以构造函数g（t）=t-lnt-1，下面我们可以证明g（t）>0恒成立即可。而我们知道ex>x也成立，但此时如果我们选择ex>x进行放缩根本不能证出我们的结论；由此可以放缩必须要把握度，不能放得太多，也不能放得太少。

另外，我们可以考虑将lnt处理掉，可以利用lnt与一次式之间的关系（x-1>lnx）进行放缩，则F（t）=et-lnt-2>et-t+1-2=et-t-1，下面可以构造函数h（t）=et-t-1，只需证明h（t）>0恒成立即可。

除此之外，我们还经常涉及两个函数的思想来证明不等式的问题，其基本理念为：

若f（x）min>g（x）max成立，则f（x）>g（x）恒成立；

若f（x）>g（x）恒成立，不一定要f（x）min>g（x）max成立，我们只需保证对于f（x）和g（x）两个函数在每一个自变量处都满足f（x）的函数值大于g（x）的函数值即可。

题目4：证明：ex+x2>sinx+x