柯西积分定理的一个简单证明

柯西积分定理的一个简单证明（共4篇）

柯西积分定理的一个简单证明 篇1

2018考研高数重要定理证明微积分基本定理

来源：智阅网

微积分基本定理是考研数学中的重要定理，考察的频率较高，难度也比较大，下面详细的讲解一下，希望大家有所收获。

微积分定理包括两个定理：变限积分求导定理和牛顿-莱布尼茨公式。

变限积分求导定理的条件是变上限积分函数的被积函数在闭区间连续，结论可以形式地理解为变上限积分函数的导数为把积分号扔掉，并用积分上限替换被积函数的自变量。注意该求导公式对闭区间成立，而闭区间上的导数要区别对待：对应开区间上每一点的导数是一类，而区间端点处的导数属单侧导数。花开两朵，各表一枝。我们先考虑变上限积分函数在开区间上任意点x处的导数。一点的导数仍用导数定义考虑。至于导数定义这个极限式如何化简，笔者就不能剥夺读者思考的权利了。单侧导数类似考虑。

“牛顿-莱布尼茨公式是联系微分学与积分学的桥梁，它是微积分中最基本的公式之一。它证明了微分与积分是可逆运算，同时在理论上标志着微积分完整体系的形成，从此微积分成为一门真正的学科。”这段话精彩地指出了牛顿-莱布尼茨公式在高数中举足轻重的作用。而多数考生能熟练运用该公式计算定积分。不过，提起该公式的证明，熟悉的考生并不多。

该公式和变限积分求导定理的公共条件是函数f(x)在闭区间连续，该公式的另一个条件是F(x)为f(x)在闭区间上的一个原函数，结论是f(x)在该区间上的定积分等于其原函数在区间端点处的函数值的差。该公式的证明要用到变限积分求导定理。若该公式的条件成立，则不难判断变限积分求导定理的条件成立，故变限积分求导定理的结论成立。

注意到该公式的另一个条件提到了原函数，那么我们把变限积分求导定理的结论用原函数的语言描述一下，即f(x)对应的变上限积分函数为f(x)在闭区间上的另一个原函数。根据原函数的概念，我们知道同一个函数的两个原函数之间只差个常数，所以F(x)等于f(x)的变上限积分函数加某个常数C。万事俱备，只差写一下。将该公式右侧的表达式结合推出的等式变形，不难得出结论。

上面讲述的微积分基本定理是考研数学的高频考点，考生们要认真学习其解题方法，并且学会运用。汤神《考研数学接力题典1800》可以检验大家的复习效果，总结做题经验，对我们现阶段的复习帮助很大。

柯西积分定理的一个简单证明 篇2

一、柯西积分定理

柯西积分定理:设C是一条周线, D为C的内部, 函数f (z) 在D内解析, 在D-=D+C上连续, 则∮cf (z) dz=0.

例1:

解:因为符合柯西积分定理的条件, 则有

令

所以

从例1我们可以看出, 如果按照常规方法, 将所要求解的, 用万能公式代换的话, 将变得相当复杂, 而柯西积分定理却避免了这种复杂性, 使得解题思路清晰, 解题过程简洁明了, 很大程度上提高了解题效率, 不失为求解这种实函数的好办法。

二、柯西积分公式

柯西积分公式:设区域D的边界是周线 (或复周线) C, 函数f (z) 在D内解析

例2:求积分从而证明:

证明:因为

即原式得证。

从例2我们可以看到, 如果单纯地去看所要求证的结果, 根本无法入手, 然而柯西积分定理却能完全不去顾及所要求证的结果, 轻而易举地解决这道实函数题目, 事半功倍。

摘要：通过柯西积分定理及柯西积分公式来求解或证明实函数积分, 可以简化实函数积分计算的问题。

关键词：柯西积分定理,柯西积分公式,实函数,积分

参考文献

[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社, 2004.

柯西积分定理的一个简单证明 篇3

定理：若且n＞1，A₁，A₂，…A_n是有限集合，则：| A₁∪A₂∪…∪A_n |= ＋…

＋（－1）^n-1| A₁∩A₂∩…∩A_n |①

为下面分析与证明方便，我们将①式变形为：| A₁∪A₂∪…∪A_n |=（-1）^1-1

（-1）^（n-1）-1②

这里①式变为②式只是形式上的变化，定理的意义是没有改变的。

设M={A₁，A₂，…，A_n},②中的每一个∑都表示从M中任取相应个数的不同元素，依次分别有A₁，A₂，…，A_n种，再求出每一种的所有元素交集的基数，然后求和。以下仿此。可见，我们可以用组合的方法来分析研究②式。

下面我们用数学归纳法来证明②式：

1． 当n=2时

（1）若A₁与A₂不相交，则A₁∩A₂=Φ，而且| A₁∩A₂ |=0，这时显然成立

| A₁∪A₂ |=| A₁ |+| A₂ |。

（2）若A₁与A₂相交，则A₁∩A₂≠Φ，但有

| A₁ |=| A₁∩-A₂ |+| A₁∩A₂ |

| A₂ |=| -A₁∩A₂ |+| A₁∩A₂ |

此外| A₁∪A₂ |=| A₁∩-A₂ |+| -A₁∩A₂ |+| A₁∩A₂ |

所以，| A₁∪A₂ |=| A₁ |+| A₂ |-| A₁∩A₂ |

在这里，-A定义为：-A=E-A={x|}，其中E为全集。

2． 假设n=k-1时命题成立

柯西不等式的证明及应用 篇4

（河西学院数学系01（2）班甘肃张掖734000）

摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。本文在证明不等式，解三角形相关问题，求函数最值，解方程等问题的应用方面给出几个例子。

关键词：柯西不等式证明应用中图分类号：O178

Identification and application of Cauchy inequality

ChenBo

（department of mathematics , Hexi university zhangye gansu 734000）

Abstract:Cauchy-inequality is a very important in equation, flexible ingenious application it, can make some comparatively difficult problems easily solved.This text prove inequality, solve triangle relevant problem, is it worth most to ask, the application which solves such questions as the equation ,etc.provides several examples.Keyword：inequationproveapplication

柯西（Cauchy）不等式

12

222

a1b1a2b2anbna1a2an

b

2122b2bn

abR,i1,2n

ii

等号当且仅当a1a2an0或bikai时成立（k为常数，i1,2n）现将它的证明介绍如下：

证明1：构造二次函数 f(x)a1xb1a2xb2anxbn

22n222n

=a1a2anx2a1b1a2b2anbnxb1b2bn



2n

a12a2an0

fx0恒成立

2n4a1b1a2b2anbn4a12a2anb12b22bnn0

即a1b1a2b2anbna1a2an



n

b

2nb2bn

当且仅当aixbix0i1,2n即证明（2）数学归纳法

aa1a2

n时等号成立 b1b2bn

（1）当n1时左式=a1b1右式=a1b1 显然左式=右式

当

n2时，右式

a12a2b12b22a1b1a2b2a22b12a12b22

a1b1a2b22a1a2b1b2a1b2a2b2右式

仅当即 a2b1a1b2 即

a1a2

时等号成立 b1b2

故n1,2时 不等式成立

（2）假设nkk,k2时，不等式成立 即 a1b1a2b2akbka1a2ak



k

b

2b2bkk

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

222

设a1b12b22bk2 a2ak

Ca1b1a2b2akbk

2则ak1

bb

2k1

2k122ak1bk1

C22Cak1bk1ak1bk1Cak1bk1 2222a1a2akak1



b12

b22

k

b2

k

b

a1b1a2b2akbkak1bk1

当 bikai，k为常数，i1,2n 或a1a2ak0时等号成立

即nk1时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立

柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1）证明相关命题

例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式

3。

已知点x0,y0及直线l: xyC00



设点p是直线l上的任意一点，则

xxC0（1）

p1p2

（2）

点p1p2两点间的距离p1p2就是点p到直线l的距离，求（2）式有最小值，有

x0x1y0y1

x0y0Cx1y1C

由（1）

（2）得：

p1p2x0y0C即

p1p2

（3）

当且仅当y0y1:x0x1



p1p2l（3）式取等号 即点到直线的距离公式

即

p1p2

2）证明不等式

例2

4

a2b2c2

已知正数a,b,c满足abc1证明abc

证明：利用柯西不等式

a

b2c



13131

3a2a2b2b2c2c2

323232

a2b2c2abc

a3b3c3abcabc1

 ca又因为abcabbc在此不等式两边同乘以2，再加上abc

222得：abc3abc

222222



a2b2c2a3b3c33a2b2c2

a2b2c2

故abc

3）解三角形的相关问题

例3 设p是ABC内的一点，x,y,z是p到三边a,b,c的距离，R是ABC外接圆的证明：由柯西不等式得，

记S为ABC的面积，则

abcabc

axbycz2S2



4R2R

故不等式成立。4）求最值 例4

5



2222

已知实数a,b,c,d满足abcd3，a2b3c6d5试求a的最值

解：由柯西不等式得，有

2b

2111

3c26d2bcd

236

222

即2b3c6dbcd 2

由条件可得，5a3a

解得，1a

2时等号成立，11,d时，amax2 3621

b1,c,d时amin1

代入b1,c

5）利用柯西不等式解方程例5．在实数集内解方程

5

9222

xyz

4

8x6y24y39

解：由柯西不等式，得

x

222

y2z2862248x6y24y①



x2y2z286224



643641443924

又8x6y24y39

x

222

y2z2862248x6y24z



即不等式①中只有等号成立

从而由柯西不等式中等号成立的条件，得

xyz 8624

它与8x6y24y39联立，可得

x

6918yz 132613

67

6）用柯西不等式解释样本线性相关系数

在《概率论与数理统计》〉一书中，在线性回归中，有样本相关系数

(x)y

i

i

n

并指出r1且r越接近于1，相关程度越大，r越接

近于0，则相关程度越小。现在可用柯西不等式解释样本线性相关系数。现记aixi，biyi，则，ab

n

ii

r1

n

当r1时，abab

ii

2i

i1

i1

i1

nn

2i

此时，yibixiai

k，k为常数。点xi,yii1,2n均在直线

ykx上，r

当r1时，ab

ii

i1n

2i

n

n

a

i12i

n

2i

b

i1

n

2i

即

abab

ii

i1

i1

i1

n

0

而

aibia

i1

i1

n

n

2i

bi2

i1

n

1ijn



aibjajbi

1ijn



aibjajbi0aibjajbi0



bi

k,k为常数。ai

此时，此时，yibixiai

k，k为常数

点xi,yi均在直线ykx附近，所以r越接近于1，相关程度越大 当r0时，ai,bi不具备上述特征，从而，找不到合适的常数k，使得点xi,yi都在直线ykx附近。所以，r越接近于0，则相关程度越小。致谢：在本文的写作过程中，得到了马统一老师的精心指导，在此表示衷心的感谢。

参考文献：1柯西不等式的微小改动 J数学通报2002 第三期2柯西不等式与排序不等式M南山湖南教育出版社

3普通高中解析几何M高等教育出版社



41990-年全国统一考试数学试卷J

5李永新李德禄中学数学教材教法M东北师大出版社

6盛聚，谢式千，潘承毅概率与数理统计M高等教育出版7用用柯西不等式解释样本线性相关系数J数学通讯 2004年第七期