定积分的生活应用

2024-05-20

定积分的生活应用（共10篇）

定积分的生活应用篇1

高等数学教案

§6 定积分的应用

第六章

定积分的应用

教学目的

1、理解元素法的基本思想；

2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。

3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。教学重点：

1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。

2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。教学难点：

1、截面面积为已知的立体体积。

2、引力。

高等数学教案

§6 定积分的应用

§6.1 定积分的元素法

回忆曲边梯形的面积

设yf(x)0(x[a b]) 如果说积分

Aaf(x)dx

b是以[a b]为底的曲边梯形的面积 则积分上限函数

A(x)af(t)dt

x就是以[a x]为底的曲边梯形的面积 而微分dA(x)f(x)dx 表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值Af(x)dxf(x)dx称为曲边梯形的面积元素

以[a b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式 以 [a b]为积分区间的定积分

Aaf(x)dx 

一般情况下 为求某一量U 先将此量分布在某一区间[a b]上 分布在[a x]上的量用函数U(x)表示 再求这一量的元素dU(x) 设dU(x)u(x)dx 然后以u(x)dx为被积表达式 以[a b]为积分区间求定积分即得

Uaf(x)dx

用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)

高等数学教案

§6 定积分的应用

§6 2 定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积

1．直角坐标情形

设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成 则面积元素为[f上(x) f下(x)]dx 于是平面图形的面积为

Sa[f上(x)f下(x)]dx 

类似地由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为

Sc[右(y)左(y)]dy

例1 计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积

解(1)画图

(2)确定在x轴上的投影区间: [0 1](3)确定上下曲线f上(x)x, f下(x)x2

(4)计算积分 S0(xx)dx[2x21x3]10333213db

例2 计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积

解(1)画图

(2)确定在y轴上的投影区间: [2 4](3)确定左右曲线左(y)1y2, 右(y)y4

2(4)计算积分

418

S2(y41y2)dy[1y24y1y3]42622 例3 求椭圆x2a2y21所围成的图形的面积

2b 解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0 a] 因为面积元素为ydx

所以高等数学教案

§6 定积分的应用

S40ydx a椭圆的参数方程为: xa cos t  yb sin t 

于是

S40ydx4bsitdn(acots)

2a02ab02(1co2st)dt2abab

4absi2ntdt022

2．极坐标情形

曲边扇形及曲边扇形的面积元素

由曲线()及射线   围成的图形称为曲边扇形 曲边扇形的面积元素为

dS1[()]2d

2曲边扇形的面积为

S1[()]2d

2例4.计算阿基米德螺线a(a >0)上相应于从0变到2 的一段弧与极轴所围成的图形的面积

24a23

解: S01(a)2d1a2[13]023322

例5.计算心形线a(1cos)(a>0)所围成的图形的面积

 解: S201[a(1cos]2da20(12cos1cos2)d

22232n1si2n]

a2[32si0a

242

二、体积

1．旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体 这直线叫做旋转轴 高等数学教案

§6 定积分的应用

常见的旋转体 圆柱、圆锥、圆台、球体

旋转体都可以看作是由连续曲线yf(x)、直线xa、ab 及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体

设过区间[a b]内点x 且垂直于x轴的平面左侧的旋转体的体积为V(x) 当平面左右平移dx后 体积的增量近似为V[f(x)]2dx 

于是体积元素为

dV  [f(x)]2dx 

旋转体的体积为

Va[f(x)]2dx

例1 连接坐标原点O及点P(h r)的直线、直线xh 及x 轴围成一个直角三角形 将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体 计算这圆锥体的体积

解: 直角三角形斜边的直线方程为yrx

所求圆锥体的体积为

2hh1hr2

V0(rx)2dxr2[1x3]0h33h2y2x 例2 计算由椭圆221所成的图形绕x轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)ab的体积

解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆

yba2x2

a及x轴围成的图形绕x轴旋转而成的立体 体积元素为

dV  y 2dx 

于是所求旋转椭球体的体积为

22a2 Vab2(a2x2)dxb2[a2x1x3]aaab

33aa

例3 计算由摆线xa(tsin t) ya(1cos t)的一拱 直线y0所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积

解

所给图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积为高等数学教案

§6 定积分的应用

Vx0y2dx0a2(1cots)2a(1cots)dt

a30(13cots3co2stco3st)dt

5 2a 3

所给图形绕y轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差 设曲线左半边为x=x1(y)、右半边为x=x2(y) 则

22(y)dy0x1(y)dy

Vy0x22a2a22a2t)2asintdt0a2(tsint)2asintd t

2a2(tsin

a30(tsint)2sintdt6 3a 3 

2．平行截面面积为已知的立体的体积

设立体在x轴的投影区间为[a b] 过点x 且垂直于x轴的平面与立体相截 截面面积为A(x) 则体积元素为A(x)dx  立体的体积为

VaA(x)dx

例4 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心 并与底面交成角 计算这平面截圆柱所得立体的体积

解 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴 底面上过圆中心、且垂直于x轴的直线为y轴 那么底圆的方程为x 2 y 2R 2 立体中过点x且垂直于x轴的截面是一个直角三角形 两个直角边分别为R2x2及R2x2tan 因而截面积为

A(x)1(R2x2)tan 于是所求的立体体积为

2R2R3tan[R2x1x3]

VR1(R2x2)tandx1tanR2233Rb2

例5 求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积

解: 取底圆所在的平面为x O y平面 圆心为原点 并使x轴与正劈锥的顶平行 底圆的方程为x 2 y 2R 2 过x轴上的点x(R

§6 定积分的应用

体得等腰三角形 这截面的面积为

A(x)hyhR2x2

于是所求正劈锥体的体积为

VRhRxdx2Rh02cos2d1R2h

2R222

三、平面曲线的弧长

设A B 是曲线弧上的两个端点 在弧AB上任取分点AM0 M1 M2     Mi1 Mi    Mn1 MnB  并依次连接相邻的分点得一内接折线 当分点的数目无限增加且每个小段Mi1Mi都缩向一点时 如果此折线的长|Mi1Mi|的极限存在 则称此极限为

i1n曲线弧AB的弧长 并称此曲线弧AB是可求长的

定理

光滑曲线弧是可求长的

1．直角坐标情形

设曲线弧由直角坐标方程

yf(x)(axb)给出 其中f(x)在区间[a b]上具有一阶连续导数 现在来计算这曲线弧的长度

取横坐标x为积分变量 它的变化区间为[a b] 曲线yf(x)上相应于[a b]上任一小区间[x xdx]的一段弧的长度 可以用该曲线在点(x f(x))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替 而切线上这相应的小段的长度为

(dx)2(dy)21y2dx

从而得弧长元素(即弧微分)

ds1y2dx

以1y2dx为被积表达式 在闭区间[a b]上作定积分 便得所求的弧长为

sa1y2dx

在曲率一节中 我们已经知道弧微分的表达式为ds1y2dx这也就是弧长元素因此高等数学教案

§6 定积分的应用

例1 计算曲线y2x2上相应于x从a到b的一段弧的长度

3解 yx2 从而弧长元素

ds1y2dx1xdx 13因此 所求弧长为

sab2221xdx[2(1x)2]ba[(1b)(1a)]

3333

3例2 计算悬链线ycchx上介于xb与xb之间一段弧的长度

解 yshx 从而弧长元素为

cds1sh2xdxchxdx

cc因此 所求弧长为

bbb

sbchxdx20chxdx2c[shxdx]b02cshcccc

2．参数方程情形

设曲线弧由参数方程x(t)、y(t)(t)给出 其中(t)、(t)在[ ]上具有连续导数

因为dy(t) dx(t)d t  所以弧长元素为 dx(t)2(t)ds12(t)dt2(t)2(t)dt

(t)所求弧长为

s2(t)2(t)dt



例3 计算摆线xa(sin) ya(1cos)的一拱(0  2)的长度

解 弧长元素为

dsa2(1cos)2a2sin2da2(1cos)d2asind

2所求弧长为高等数学教案

§6 定积分的应用

28a

s02asind2a[2cos]0222

3．极坐标情形

设曲线弧由极坐标方程

()(    )给出 其中r()在[ ]上具有连续导数 由直角坐标与极坐标的关系可得

x()cos

y()sin(   ) 于是得弧长元素为

dsx2()y2()d2()2()d

从而所求弧长为

s2()2()d

例14

求阿基米德螺线a(a>0)相应于 从0到2 一段的弧长

解

弧长元素为

dsa22a2da12d

于是所求弧长为

2s0a12da[2142ln(2142)] 高等数学教案

§6 定积分的应用

§6.3 功

水压力和引力

一、变力沿直线所作的功

例1 把一个带q电量的点电荷放在r轴上坐标原点O处 它产生一个电场 这个电场对周围的电荷有作用力 由物理学知道 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O为r的地方 那么电场对它的作用力的大小为

Fkq(k是常数)

r2当这个单位正电荷在电场中从ra处沿r轴移动到rb(a

例1

电量为+q的点电荷位于r轴的坐标原点O处它所产生的电场力使r轴上的一个单位正电荷从r=a处移动到r=b(a

提示: 由物理学知道 在电量为+q的点电荷所产生的电场中 距离点电荷r处的单位正电荷所受到的电场力的大小为Fkq(k是常数) r

2解: 在r轴上 当单位正电荷从r移动到r+dr时

电场力对它所作的功近似为k即功元素为dWk于是所求的功为

Wabkq2qdr

r2qdr

r211drkq[1]bakq()

rabr

例2

在底面积为S的圆柱形容器中盛有一定量的气体 在等温条件下 由于气体的膨胀 把容器中的一个活塞(面积为S)从点a处推移到点b处 计算在移动过程中 气体压力所作的功

解 取坐标系如图 活塞的位置可以用坐标x来表示 由物理学知道 一定量的气体在等温条件下 压强p与体积V的乘积是常数k  即

pVk 或pk

解: 在点x处 因为VxS 所以作在活塞上的力为高等数学教案

§6 定积分的应用

FpSkSk

xSx当活塞从x移动到xdx时 变力所作的功近似为kdx

x即功元素为dWkdx

x于是所求的功为

bbWakdxk[lnx]bakln

例3 一圆柱形的贮水桶高为5m 底圆半径为3m 桶内盛满了水 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？

解 作x轴如图 取深度x 为积分变量 它的变化区间为[0 5] 相应于[0 5]上任小区间[x xdx]的一薄层水的高度为dx 水的比重为98kN/m3 因此如x的单位为m 这薄层水的重力为9832dx 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为

dW882xdx

此即功元素 于是所求的功为

225(kj)

xW088.2xdx88.2[]5088.222

5二、水压力

从物理学知道 在水深为h处的压强为ph  这里  是水的比重 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h处 那么平板一侧所受的水压力为

PpA

如果这个平板铅直放置在水中 那么 由于水深不同的点处压强p不相等 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算

例4 一个横放着的圆柱形水桶 桶内盛有半桶水 设桶的底半径为R 水的比重为  

计算桶的一个端面上所受的压力

解 桶的一个端面是圆片 与水接触的是下半圆 取坐标系如图

在水深x处于圆片上取一窄条 其宽为dx  得压力元素为高等数学教案

§6 定积分的应用

dP2xR2x2dx

所求压力为

P02  xR2x2dx(R2x2)2d(R2x2)03222R2rR3

[(Rx)2]033RR

1三、引力

从物理学知道 质量分别为m

1、m 2 相距为r的两质点间的引力的大小为

FGm1m2

r2其中G为引力系数 引力的方向沿着两质点连线方向

如果要计算一根细棒对一个质点的引力 那么 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的 且各点对该质点的引力的方向也是变化的 就不能用上述公式来计算

例5 设有一长度为l、线密度为的均匀细直棒 在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M 试计算该棒对质点M的引力

例5 求长度为l、线密度为的均匀细直棒对其中垂线上距棒a单位处质量为m的质点M的引力

解 取坐标系如图 使棒位于y轴上 质点M位于x轴上 棒的中点为原点O 由对称性知 引力在垂直方向上的分量为零 所以只需求引力在水平方向的分量 取y为积分变量 它的变化区间为[l, l] 在[l, l]上y点取长为dy 的一小段 其质量

2222为dy 与M相距ra2y2 于是在水平方向上 引力元素为

dFxGmdyamdya

Ga2y2a2y2(a2y2)3/2引力在水平方向的分量为

Fxl2Gl22Gmlamdy1

223/222a(ay)4al

定积分的生活应用篇2

1 求平面图形的面积

由定积分的几何意义可知, 由曲线y≥f (x) (f (x) ≥0) 及直线x=a, x=b (a

用微元分析法可以求一些平面图形的面积。常见的类型有两种:

(1) (x-型) :由曲线y=f (x) , y=g (x) (f (x) ≥g (x) ) , 直线x=a, x=b (a

(2) (y-型) :由曲线xφ (y) , x=ψ (y) (φ (y) ≥ψ (y) ) , 直线y=c, y=d (c

例1 计算由两条曲线和所围成的平面图形的面积。

解求两曲线的交点, 即解方程组

得交点为 (0, 0) (1, 1) .作出其平面图形 (如图2) .可得面积S为

undefined

例2 计算由直线x=1, x=5和x轴及曲线y=x2-4所围成的平面图形的面积。

解作出平面图形 (如图3) .可得面积S为

2 求旋转体的体积

由连续曲线y=f (x) (不妨设f (x) ≥0) , 直线x=a, x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所成的立体称为旋转体。如图4所示。仿照求曲边梯形面积的方法, 可以求出旋转体的体积V.

用垂直于轴的平面截旋转体, 所得截面是一个圆, 其面积为

S (x) =πy2=πf2 (x)

在小区间[x, x+△x]上对应的一小立体薄片之体积, 可近似地看成是以S (x) 为底, 为高的小圆柱体的体积 , 即

V≈S (x) △x

即 dV=S (x) dx=πf2 (x) dx

为体积元素。故所求旋转体的体积为

Vx=ʃabdV=πpʃabf2 (x) dx

同理可得由连续曲线x=φ (y) (φ (y) ≥0) , 直线y=c, y=d及y轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周所成的旋转体

(如图5) 的体积Vy为

Vy=πʃcdφ2 (y) dy.

例3 求椭圆undefined分别绕x轴与y轴旋转而得的旋转体的体积 (如图6) .

解 (1) 求Vx

由椭圆的方程undefined得undefined

上半椭圆绕轴旋转与下半椭圆绕轴旋转所得的结果相同, 故绕轴旋转的旋转体的体积为

(2) 同理得椭圆绕y轴旋转而得的旋转体的体积为

特别, 若a=b=R, 可得球的体积公式为undefined

3 定积分在经济中的应用

在经济管理中, 由边际函数求总函数, 一般采用不定积分来解决, 或求一个变上限的定积分;如果求总函数在某个范围的改变量, 则采用定积分来解决。

例4 已知某产品总产量的变化率为

Qt (t) =40+12t (件/天)

求从第5天到第10天产品的总产量。

解所求的总产量为

Q=ʃ510Qt (t) dt=ʃ510 (40+12t) dt= (40t+6t2) |510= (400+600) - (200+150) (件)

例5 设生产x个产品的边际成本C=100+2x, 其固定成本为C0=1000元, 产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售, 问生产量为多少时利润最大?并求出最大利润。

解总成本函数为

C (x) =ʃ0x (100+2t) dt+C (0) =100x+x2+100

总收益函数为 R (x) =500x

总利润 L (x) =R (x) -C (x) =400x-x2-1000

L′=400-2x

令L′=0, 得x=200

因为 L″ (200) <0

所以, 生产量为200单位时, 利润最大。最大利润为

L (200) =400×200-2002-1000=39000 (元) 。

参考文献

[1]聂洪珍, 朱玉芳.高等数学 (一) 微积分[M].北京:中国对外经济贸易出版社, 2003, (6) .

[2]王杏云.一元微积分在经济学中的意义和应用[J].西藏大学学报, 2006, (9) .

例析定积分的简单应用篇3

几种典型的曲边梯形面积的计算方法：

如图1所示，由三条直线[x=a,x=b(a

[S=abf(x)dx].

[图1]

如图2所示，由三条直线[x=a，x=b(a

[S=|abf(x)dx|=-abf(x)dx.]

[图2]

如图3所示，由两条直线[x=a，x=b(ag(x))]围成的曲边梯形的面积

[图3]

题型1 不可分割型图形面积的求解

例1 计算由直线[y=x+3]，曲线[y=x2-6x+13]所围成图形的面积[S].

分析作出直线与曲线的草图，所求图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的差，求出直线与曲线交点的横坐标，利用定积分求面积.

解作出直线[y=x+3]，曲线[y=x2-6x+13]的草图，如图4所示.

所求面积为图中阴影部分的面积.

解方程组[y=x2-6x+13y=x+3]得交点坐标为（2，5）

和（5，8），

因此，所求图形的面积

[S=25(-x2+7x-10)dx=(-13x3+72x2-10x)|52]

[=92.]

点拨求不可分割图形面积的一般步骤：

（1）画图形，在坐标系中画出由直线与曲线围成的图形；

（2）求坐标，求出直线与曲线交点的横坐标确定积分上下限；

（3）面积表示，用定积分表示图形的面积；

（4）求面积，求定积分进而求图形的面积.

题型2 可分割型图形面积的求解

例2 求由曲线[f(x)=x2，x∈[0，1]2-x，x∈[1，2]]和[y=0]所围图形的面积.

分析本题由分段函数给出曲线，作出草图，通过分段函数的定义域确定积分的上、下限，然后分段利用公式求解.

解画出草图，如图5所示

[图5]

[S=01 x2dx+12(2-x)dx]

[=13x3|10+(2x-12x2)|21]

[=13+(4-2-2+12)]

[=56].

点拨由两条或两条以上的曲线围成的较复杂的图形，在不同的区段内位于上方和下方的函数有所变化，通过解方程组求出曲线的不同的交点坐标，可以将积分区间进行细化分段，然后根据图象对各个区段分别求面积进而求和，在每个区段上被积函数均是用上减下.

题型3 综合应用

例3 已知函数[f(x)=ex-1]，直线[l1:x=1，][l2:y=et-1]（[t]为常数，且[0≤t≤1]），直线[l1]、[l2]与函数[f(x)]的图象围成的封闭图形，以及直线[l2，y]轴与函数[f(x)]的图象围成的封闭图形. 如图6中阴影部分所示，当[t]变化时，阴影部分的面积的最小值为 .

[图6]

分析由题目可获取以下主要信息：

（1）曲线[f(x)=ex-1]与直线[y=et-1]及[x=t]围成的区域[S1]面积易求.

（2）曲线[f(x)=ex-1]与直线[x=t，x=1]及[y=et-1]围成的区域[S2]面积易求，再根据题意列式求解.

解 [S1+S2=0t (et-1-ex+1)dx+t1 (ex-1-et+1)dx]

[=0t (et-ex)dx+t1 (ex-et)dx]

[=(xet-ex)|t0+(ex-xet)|1t=(2t-3)et+e+1.]

设[g(t)=(2t-3)et+e+1（0≤t≤1）]，

令[g′(t)=0]，解得[t=12]，当[t∈[0，12]]时，[g′(t)<0]，[g(t)]是减函数，当[t∈[12]，1]时，[g′(t)>0]，[g(t)]是增函数，因此[g(t)]的最小值为[g(12)=e+1-2e12][=(e-1)2.]

故阴影部分面积的最小值为（[e-1]）2.

点拨涉及到不规则平面图形的面积问题，都可考虑用定积分来处理. 解决此类问题的关键在于：（1）利用定积分正确地表示各相关量间的关系；（2）定积分的正确计算.

二、定积分在物理中的应用

1. 变速直线运动的路程

做变速直线运动的物体所经过的路程[S]，等于其速度函数[v]=[v]（t）（[v]（t）≥0）在时间区间[[a,b]]上的定积分，即[S=ab v(t)dt].

2. 变力作功

如果物体在变力[F(x)]的作用下做直线运动，并且物体沿着与[F(x)]相同的方向从[x=a]移到[x=b][(a

题型4 求变速直线运动的路程、位移

例4 有一动点[P]沿[x]轴运动，在时间[t]时的速度为[v(t)=8t-2t2]（速度的正方向与[x]轴正方向一致），求：

（1）[P]从原点出发，当[t=6]时，求点[P]的路程和位移；

（2）[P]从原点出发，经过时间[t]后又返回原点时的[t]值.

分析（1）解不等式[v(t)]>0或[v(t)]<0，确定积分区间，再求[t=6]时的路程以及位移.

（2）求定积分[0tv(t)dt]，再令[0tv(t)dt=0]，求[t]的值.

解（1）由[v(t)=8t-2t2]≥0得[0≤t≤4]，即当[0≤t≤4]时，[P]点向[x]轴正方向运动.

当[t>4]时，[P]点向[x]轴负方向运动，故[t=6]时，点[P]离开原点的路程

[l=04 (8t-2t2)dt-46 (8t-2t2)dt]

=[(4t2-23t3)|40-(4t2-23t3)|64=1283.]

（2）当[t=6]时，点[P]的位移为

[S=06 (8t-2t2)dt=(4t2-23t3)|60=0.]

依题意[0t (8t-2t2)dt=0,]即[4t2-23t3=0]，解得[t=0或t=6.]

[∵t=0]对应于[P]点刚开始从原点出发的情况，

[∴t=6]是所求的值.

点拨（1）用定积分解决变速直线运动的位移和路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键. （2）路程是位移的绝对值之和，因此在求路程时，要先判断速度在区间内是否恒正，若符号不定，应求出使速度恒正或恒负的区间，然后分别计算，否则会出现计算失误.

题型5 变力做功的求解

例5 一物体在力[F(x)]（单位：N）作用下沿与力[F]相同的方向做直线运动，力——位移曲线如图7所示，求该物体从[x=0]处运动到[x=4]（单位:m）处力[F(x)]做的功.

[图7] [1 2 3 4][16

分析先根据图象确定力关于位移的函数关系式，再利用定积分求解.

解由图知

[F(x)=10， 0≤x≤23x+4，2≤x≤4]

因此该物体从[x=0]处运动到[x=4]处，力[F(x)]做的功为

[W=02 10dx+24 (3x+4)dx=10x|20+(32x2+4x)|42]

[=46(J)]

定积分的计算方法小结篇4

为大家献上定积分的计算方法小结的论文，欢迎各位数学毕业的同学阅数列通项公式的求法!

摘要：本文通过对定积分计算方法的总结以达到更进一步提高高职学生学习高等数学的积极性，提高解题能力，增强分析问题解决问题的技能。

关键词：定积分;原函数;对称性;奇偶性

在高职高专院校高等数学的教学过程中，微积分是一个很重要的内容。其中定积分是函数微积分的重要组成部分。本文中给出几种常用定积分的计算方法，这是本人在数学实践中的一些总结，仅供参考。

1.原函数方法

此方法先求出被积函数的原函数，然后借助于积分的基本公式把原积分转化成原函数在积分区间端点上函数之差。设f(x)在[a,b]上连续,且, 则。

例1 求。

解因为x2是x/2的一个原函数，所以。

2.分部积分法

设f(x)，g(x)在[a,b]上有连续的导数, 则。

例2 求。

解在分布积分公式中取f(x)=Inx，g(x)=x，于是有。

3.换元法

设f(x)在[a,b]上连续，在上有连续的导数，其中且在上不变号。则

例3求

解令u=1+2x，有

。

4.利用奇偶函数性质计算积分

奇偶函数在对称区间上的`积分性质：

例4求。

解因为x/2在[-2,2]上是奇函数，所以。

5.利用周期函数性质计算积分

周期函数的性质：设T为一个正的常数，对x均有：f(x+T)=f(x)成立，又设a为任意实数，n为正实数，则有：。

例5 求。

解是以为周期的周期函数。于是有

计算定积分的方法还有很多，如泰勒级数法，递推公式法，欧拉公式等。以上给出的方法是比较基本常用的方法，比较符合学生的知识功底，适合高职学生学习掌握。

参考文献:

[1]严子谦等. 数学分析[M]. 北京：高等教育出版社. .

定积分证明题方法总结篇5

1. 凑微分法

2. 裂项法

3. 变量代换法

1) 三角代换

2) 根幂代换

3) 倒代换

4. 配方后积分

5. 有理化

6. 和差化积法

7. 分部积分法(反、对、幂、指、三)

8. 降幂法

二、定积分的计算方法

1. 利用函数奇偶性

2. 利用函数周期性

3. 参考不定积分计算方法

三、定积分与极限

1. 积和式极限

2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限

3. 洛必达法则

4. 等价无穷小

四、定积分的估值及其不等式的应用

1. 不计算积分，比较积分值的大小

1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有

f(x)>=g(x),则 >= dx

2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)

b) 当0

2. 估计具体函数定积分的值

积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则

M(b-a)<= <=M(b-a)

3. 具体函数的定积分不等式证法

1) 积分估值定理

2) 放缩法

3) 柯西积分不等式

≤ %

4. 抽象函数的定积分不等式的证法

1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性

2) 积分中值定理

3) 常数变易法

4) 利用泰勒公式展开法

定积分的生活应用篇6

1.定义：b

af(x)dxlimf(k)xk 0k1n

2.可积性：

1）必要条件：f(x)有界；

2）充分条件:f(x)连续或仅有有限个第一类间断点；

3.计算1）b

af(x)dxF(b)F(a)

2）换元法

3）分部积分法

4）利用奇偶性，周期性

5）利用公式 n1n31,n偶nnnn222(1)2sinxdx2cosxdx 00n1n32,n奇nn23

(2)

4.变上限积分：π0xf(sinx)dx20f(sinx)dx x

af(t)dt

1)连续性：设f(x)在[a,b]上可积，则

2）可导性：设f(x)在[a,b]上连续，则

变上限求导的三个类型： xaxaf(t)dt在[a,b]上连续。f(t)dt医学考研论坛在[a,b]上可导且(f(t)dt)f(x).ax

(x)(1)f(t)dtf((x))(x)f((x))(x)(x)

(x)x(2)f(x,t)dt例1:F(x)(tx)f(t)dx 0(x)

bdx2(3)f(x,t)dt例2:sin(xt)dt0adx

3）奇偶性：i）若f(x)为奇函数，则x

0f(t)dt为偶函数。

ii）若f(x)为偶函数，则5.性质：



f(t)dt为奇函数。

1)不等式：i)若f(x)g(x), 则



f(x)dxg(x)dx.a

ii)若f(x)在[a,b]上连续，则m(ba)iii)



f(x)dxM(ba).

f(x)dx|f(x)|dx.a

2)中值定理： i）若f(x)在[a,b]上连续，则



f(x)dxf(c)(ba),acb

g(x)不变号，则

ii）若f(x),g(x)在[a,b]上连续医学考研论坛，

f(x)g(x)dxf(c)g(x)dx,acb.a

【例1】I



n0

x dx;

【解法1】原式=n=n=n=n





sin2







(cossin)2 cosxsinx

(cosxsinx)dx(sinxcosx)22n.

40



【解法2】原式=n

54



54

sin2xdx





(cosxsinx)2dx

454





(sinxcosx)dx2.ex4

sinxdx;【例2】 I

1ex2

xt

ee44

sinxdx2sintdt【解析】I2

xt1e1e22



(xt)



sin1ettdt





12ex1442sinxdxsinxdx

1ex221ex

2

2sinxdx

22







sin4xdx

313

海文考研钻石卡 

42216

【例3】已知f(x)连续，【解析】令xtu得





tf(xt)dt1cosx,求2f(x)dx的值.

tf(xt)dt(xu)f(u)duxf(u)duuf(u)du，xxx

xxxdx，从而有tf(xt)dtf(u)duxf(x)xf(x)f(u)duf(u)dusinx 0000dx

令x



得



f(u)dusin



1.1n

12n

【例4】求 lim121n21n2nn

11222n212n

(2)ln1(2)ln1(2) 【解析】令yn(12)(12)(12)，则lnynln1nnnnnnn

2x2

ln22(1)limlnynln(1x)dxxln(1x)001x20n4

原式e

ln22(1

)



2e

2

.【例5】求证:【解析】



sinx2dx0.2



2

sinxdx =



sint20

（令x2t）





sint2t



2

sint2t



而



2

sinusint

=du（令tu）

2u

则



sinxdx

0

sint11

dt0.2t

【例6】设f(x)在[a,b]上连续，单调增。求证:【证法1】令F(x)

bab

axf(x)dx2af(x)dx



tf(t)

xax

f(t)dt a2

只要证明F(b)0，显然F(a)0

2a1x

f(x)f(t)dt 22a

=(xa)f(x)f(t)dt

a2

=(xa)f(x)(xa)f(c)(acx)

而F(x)xf(x)0 则F(b)F(a)0 原式得证.【证法2】由于f(x)在[a,b]上单调海文考研钻石卡增，则

(x

abab)(f(x)f())0 22

从而有即又则即



(x

abab)f(x)f()dx0 22

ababbab

(x)f(x)dxf()(x)dx0 a

22a2bab(x)dx0 a

2bab(x)f(x)dx0 a

定积分的几种应用篇7

关键词：定积分,微积分,应用

高等数学是数学专业、物理专业、经济管理专业等开设的重要基础课。定积分的应用既是高等数学教学的重点又是一个难点。因此应用定积分来解决这些领域的实际问题是教学中必须解决的课题。

一、定积分在几何上的应用

1.求平面图形的面积

由定积分的几何意义可知, 曲线y=f (x) (f (x) ≥0) 及直线x=a, x=b (a

例1:计算由两条抛物线:y2=x, y=x2所围成的图形的面积。

解: (如图2) 取横坐标x为积分变量, 变化区间为[0, 1], 取微元为小矩形部分, 则小矩形部分的面积为undefined, 即undefined, 故所求面积为

undefined

说明:以上解法也称为X-型解法, 即在微元小矩形上固定积分变量x不动, 让y由小到大变化, y的变化值就是最后定积分的被积函数, 最后再让x在区间[0, 1]上变化。

注:例1也可按另一种方法进行求解 (如图3) , 取纵坐标y为积分变量, 变化区间为[0, 1], 取微元为小矩形部分, 则小矩形部分的面积为undefined, 即undefined, 故所求面积为

undefined

以上解法也称为Y-型解法, 即在微元小矩形上固定积分变量y不动, 让x由小到大变化, x的变化值就是最后定积分的被积函数, 最后再让y在区间[0, 1]上变化。

2.求旋转体的体积

由连续曲线y=f (x) 、直线x=a, x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体称为旋转体。取横坐标x为积分变量, 它的变化区间为[a, b]。对于[a, b]上的任一小区间[x, x+dx]的窄曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积近似于以f (x) 为底半径, dx为高的扁圆柱体的体积 (如图4) , 即体积元素

dV=π[f (x) ]2dx

以π[f (x) ]2dx为被积表达式, 在闭区间[a, b]上作定积分, 得旋转体的体积为

V=∫undefinedπ[f (x) ]2dx

例2:连接坐标原点O及点A (h, r) 的直线、直线x=h及x轴围成一个直角三角形 (如图5) 。将它绕x轴旋转一周构成一个底半径为r, 高为h的圆锥体。计算圆锥体的体积。

解:过原点O及点A (h, r) 的直线方程为undefined, 取横坐标x为积分变量, 则积分区间为[0, h], 圆锥体中相应于[0, h]上任一微小区间[x, x+dx]的薄片的体积为undefined。于是所求圆锥体的体积为

undefined

说明:利用微元法求旋转体的体积, 关键要找出体积元素, 即求出dV, 而实际上, 无论求什么样图形的体积, 我们都把dV看成是小圆柱的体积。

二、定积分在物理上的应用

1.力的作功问题

例3:一圆柱形的贮水桶高为6m, 底面半径为3m, 桶内盛满了水, 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功?

解:作x轴如图6, 因为要把桶内的水吸出, 只需克服重力作功, 故取深度x为积分变量, 变化区间为[0, 6], 做薄层微元为图中小矩形部分, 小矩形部分水的重力为9.8π32dx (KN) , 把这部分水吸出桶外需作功为dW=88.2πxdx, 故所求的功为W=∫6088.2πxdx≈4984KJ。

说明:计算这类问题关键在于怎样找dW, 只要找到了dW问题也就解决了。我们在计算微元小矩形部分的重力时, 要把微元看成是一个高为dx的圆柱体, 这时的高dx不可忽略不计, 而当计算吸出微元这部分水所作功时, 因为涉及到作功的距离, 这时的距离就为微元x, dx就忽略不计了, 这时的微元确确实实就是“微元”了。

2.求水压力问题

例4:有一等腰梯形闸门, 它的两条底边各长10m和6m, 高为20m。较长的底边与水面相齐。计算闸门的一侧所受的水压力。

解:选取坐标系如图7所示, 则AB的方程为undefined。

取x为积分变量, 在它的积分区间[0, 20]上任取微小区间[x, x+dx], 在水下深为xm处相应于[x, x+dx]的窄条上各点处的压强近似值为9.8xKN/m2, 窄条的面积为undefined, 因此, 窄条一侧所受水压力的近似值, 即压力元素为

undefined

于是所求压力为

undefined

说明:计算这类问题关键是找出压力元素dF, 而计算压力元素的关键是求出窄条的面积和窄条的压强。窄条的压强很好计算, 关键是计算窄条的面积, 我们把窄条都看成是矩形, 因此只需计算矩形的面积就可以了。

三、定积分在经济学中的应用——求总函数

在经济管理中, 应用定积分可以解决由边际函数求总函数或者求总函数在某个范围的改变量问题。

例5:已知某产品总量的变化率为Q′ (t) =40+12t (件/天) , 求从第一天到第四天产品的总产量。

解:设总产量为Q, 已知第t天总产量的变化率为Q′ (t) , 它随t变化, 则总产量Q在[t, t+dt]内的微元dQ为

dQ=Q′ (t) dt= (40+12t) dt

故在[1]内总产量为

Q=∫undefined (40+12t) dt=304 (件)

例6:设生产x个产品的边际成本C=50+3x, 其固定成本为C0=1000元, 产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售, 问生产量为多少时利润最大?

解:首先由边际成本C=50+3x求总成本, 利用变上限定积分得

undefined

所以最后的总成本为

undefined

又因为总收益函数为

R (x) =500x

所以总利润为

undefined

令L′ (x) =0, 即

undefined

得x=150 (个)

故生产量为150个时, 利润最大。

说明:解决此类问题, 关键要知道由边际成本来求总成本采用的是变上限定积分。然后由利润=收益-总成本, 即可求得。

参考文献

[1]辛普元.定积分的应用研究[J].现代商贸工业, 2008, (11) .

有关定积分等式的证明篇8

【关键词】定积分；等式；证明

定积分等式属于积分学重要内容，在学习和应用中，会碰到大量有关积分等式命题的证明。从积分等式命题的证明探求过程可以看出，它并非是一种纯粹的积分接替计算智能活动，证明往往具有较强的灵活性和技巧性。通常求证一道积分等式命题要用到多种技巧，而对同一个积分等式命题能用几种方法来证明的情形也较多。所以，有时很难确切对其证法进行分类。为了分析和解决这些问题，这里我们把导致问题获得解决的主要关键作为分类依据。常用的若干典型证法有换元法、辅助函数法、分部积分法等，常用的定理有连续函数在闭区间上的性质，积分性质及中值定理等。

定积分的生活应用篇9

为促进丰溪村生活垃圾分类，对符合分类投放要求的个人给予积分，并以积分兑换方式予以物质奖励。

如何参与积分兑换

村民对日常生活中的垃圾进行简单分类、收集、打包、投放，丰溪村提供回收服务，同时根据回收的重量给予积分奖励，村民使用积分兑换礼品。

第一步：将生活中的可回收垃圾进行收集。第二步：将收集的可回收垃圾进行简单分类处理。第三步：把处理好的可回收垃圾自行打包。第四步：将打包后垃圾投放到丰溪村专用回收箱中。积分回馈机制

根据村民投放的可回收垃圾重量进行积分回馈：

1、每100克常态可回收垃圾（纸、塑料、金属）=1积分

2、每200克玻璃=1个积分

3、每500克衣服=1个积分

4、不足10克不积分

50积分可以兑换20个垃圾袋，60积分可以兑换1块透明皂，150积分可有兑换一支牙膏，400积分可以兑换一把雨伞，800积分可以兑换1袋洗衣液，1500积分可以兑换1只电水壶。积分规则

1、日常回收：主要回收日常产生的垃圾。例如饮料瓶、旧纸壳等体积和重量都不是很大的物品。

2、专场回收：主要回收体积较大、重量较大不好搬运的物品。例如玻璃尤其是碎玻璃、衣服、比较大件的物品。

500g衣服=1分

200g玻璃=1分；通常一个空啤酒瓶重约500g，就可以换2.5个积分。

3、如果您投递的垃圾不是可回收垃圾或者垃圾袋中包含了非可回收垃圾，反而会被扣掉5分。

积分使用期限

微积分在经济中的应用篇10

复利与贴现问题

复利公式

实利率与虚利率

数e的经济解释

贴现问题

增长率

级数应用举例

银行通过存款和放款“创造〞货币问题

投资费用

库存问题

〔一〕

成批到货，不允许短缺的库存模型

〔二〕

陆续到货，不允许短缺的模型

〔三〕

成批到货，允许短缺的模型

由于现代化生产开展的需要，经济学中定量分析有了长足的进步，数学的一些分支如数学分析、线性代数、概率统计、微分方程等等已进入经济学，出现了数理统计学、经济计量学、经济控制论等新分支，这些新分支通常成为数量经济学。数量经济学的目的在于探索客观经济过程的数量规律，以便用来知道客观经济实践。应用数量经济学研究客观经济现象的关键就是要把所考察的对象描述成能够用数学方法来解答的数学经济模型。这里我们简单介绍一下一元微积分与多元微积分在经济中的一些简单应用。

复利与贴现问题

复利公式

货币所有者〔债权人〕因贷出货币而从借款人〔债务人〕手中所得之报酬称为利息。利息以“期〞，即单位时间〔一般以一年或一月为期〕进行结算。在这一期内利息总额与贷款额〔又称本金〕之比，成为利息率，简称利率，通常利率用百分数表示。

如果在贷款的全部期限内，煤气结算利息，都只用初始本金按规定利率计算，这种计息方法叫单利。在结算利息时，如果将前一期之利息于前一期之末并入前一期原有本金，并以此和为下一期计算利息的新本金，这就是所谓的复利。通俗说法就是“利滚利〞。

下面推出按福利计息方法的复利公式。

现有本金A0，年利率r=p%，假设以复利计息，t年末A0将增值到At，试计算At。

假设以年为一期计算利息：

一年末的本利和为A1=A0〔1+r〕

二年末的本利和为A2=A0〔1+r〕+A0〔1+r〕r=

A0〔1+r〕2

类推，t年末的本利和为At=

A0〔1+r〕t

〔1〕

假设把一年均分成m期计算利息，这时，每期利率可以认为是，容易推得

〔2〕

公式〔1〕和〔2〕是按离散情况——计息的“期〞是确定的时间间隔，因而计息次数有限——推得的计算At的复利公式。

假设计息的“期〞的时间间隔无限缩短，从而计息次数，这时，由于

所以，假设以连续复利计算利息，其复利公式是

例1

A0＝100元，r=8%，t＝1，那么

一年计息1期

一年计息2期

一年计息4期

一年计息12期

一年计息100期

连续复利计息

实利率与虚利率

由例1知，年利率相同，而一年计息期数不同时，一年所得之利息也不同。当年利率为8％，一年计息1期，确实按8％计算利息；一年计息2期，实际上所得利息是按8.16％计算的结果；一年计息4期，实际上所得利息是按8.243％计算；一年计息12期，实际上是按8.3％计算；一年计息100次，实际所得利息是按8.325计算利息。

这样，对于年期以下的复利，我们称年利率8％为虚利率或名义利率，而实际计算利息之利率称为实利率。如8.16％为一年复利2期的实利率，8.3％为一年复利12期的实利率，8.329％为一年连续复利的实利率。

记r为名义年利率，rm为一年计息m期的实利率，本金A0，按名义利率一年计息m期，一年末将增值到A0〔1+〕m，按实利率计息，一年末将增值到A0〔1+rm〕。于是，有

1+rm＝〔1+〕m，即是离散情况下实利率与虚利率之间的关系式。

假设记rm为连续复利的实利率，由于

所以，实利率与虚利率之间的关系为。

数e的经济解释

设年利率为100%，连续复利计息，一元本金到年末的本利和为

这就是说，按名义利率100%，连续复利计息，一元本金年末将增长到e元。这可作为数e的经济解释。

由于，所以，这是的实利率大约为172％。

贴现问题

我们已经知道，初时本金A0，年利率r，t年末的本利和At，以年为期的复利公式是，一年均分为m期的复利公式是，连续复利公式是。

假设称A0为现在之，At为未来值，一只现在值求未来值是复利问题，与此相反，假设未来值At求现在值A0，那么称贴现问题，这时利率r称为贴现率。

由复利公式，容易推得：

离散的贴现公式为

连续的贴现公式为

例2

设年利率为6.5％，按连续复利计算，现投资多少元，16年之末可得1200元。

这里，贴现率r=6.5％，未来值At=1200，t=16。所以，现在值

增长率

设变量y是时间t的函数y

（t），那么比值

为函数f

（t）在时间区间上的相对改变量；如果f

（t）可微，那么定义极限

为函数f

（t）在时间点t的瞬时增长率。

对指数函数而言，由于，因此，该函数在任何时间点t上都以常数比率r增长。

这样，关系式

〔*〕

就不仅可作为复利公式，在经济学中还有广泛的应用。如企业的资金、投资、国民收入、人口、劳动力等这些变量都是时间t的函数，假设这些变量在一个较长的时间内以常数比率增长，都可以用〔*〕式来描述。因此，指数函数中的“r〞在经济学中就一般的解释为在任意时刻点t的增长率。

如果当函数中的r取负值时，也认为是瞬时增长率，这是负增长，这时也称r为衰减率。贴现问题就是负增长。

例3

某国现有劳动力两千万，预计在今后的50年内劳动力每年增长2%，问按预计在2056年将有多少劳动力。

由于未来值A0=2000，r=0.02，t=50，所以，50年后将有劳动力

例4

某机械设备折旧率为每年5％，问连续折旧多少年，其价值是原价值的一半。

假设原价值为A0，经t年后，价值为，这里r=-0.05。由，假设取，易算出t=13.86〔年〕，即大约经过13.86年，机械设备的价值是原价值的一半。

级数应用举例

银行通过存款和放款“创造〞货币问题

商业银行吸收存款后，必须按照法定的比率保存规定数额的法定准备金，其余局部才能用作放款。得到一笔贷款的企业把它作为活期存款，存入另一家银行，这银行也按比率保存法定准备金，其余局部作为放款。如此继续下去，这就是银行通过存款和放款“创造〞货币。

设R表示最初存款，D表示存款总额〔即最初存款“创造〞的货币总额〕，r表示法定准备金占存款的比例，r<1。当n趋于无穷大时，那么有

假设记

它称为货币创造乘数。显然，假设最初存款是既定的，法定准备率r越低，银行存款和放款的总额越大。

这是一个等比级数问题。

例如

设最初存款为1000万元，法定准备率20%，求银行存款总额和贷款总额。

这里，R=1000，r=0.2，存款总额D1由级数

1000+1000（1-0.2）+1000（1-0.2）2+…

决定，其和

贷款总额D2由级数

1000（1-0.2）+1000（1-0.2）2+…

决定，显然

D2=4000〔万元〕

投资费用

这里，投资费用是指每隔一定时期重复一次的一系列效劳或购进设备所需费用的现在值。将各次费用化为现值，用以比拟间隔时间不同的效劳工程或具有不同使用寿命的设备。

设初期投资为p，年利率为r，t年重复一次投资。这样，第一次更新费用的现值为,第二次更新费用的现值为，以此类推。如此，投资费用D为以下等比级数之和：

于是

例如，建造一座钢桥的费用为380000元，每隔10年需要油漆一次，每次费用为40000元，桥的期望寿命为40年；建造一座木桥的费用为200000元，每隔2年需油漆一次，每次费用为20000元，其期望寿命为15年，假设年利率为10%，问建造哪一种桥较为经济？

钢桥费用包括两局部：建桥的系列费用和油漆的系列费用。

对建钢桥，p=380000，r=0.1，t=40，因，那么建桥费用

查表知，于是

同样，油漆钢桥费用

故建钢桥总费用的现值

类似的，建木桥费用

油漆木桥费用

故建木桥总费用的现值

由计算知，建木桥有利。

现假设价格每年以百分率i涨价，年利率为r，假设某种效劳或工程的现在费用为p0时，那么t年后的费用为

其现值为

。这说明，在通货膨胀情况下，计算总费用D的等比级数是

例如，在上述建桥问题中，假设每年物价上涨7%，试重新考虑建木桥还是建钢桥经济？

这里，r=0.1，i=0.07，r-i=0.03，此时，对钢桥，建桥费用和油漆费用分别为

建钢桥总费用的现在值

D=D1+D2=698100〔元〕

对木桥，建桥费用和油漆费用分别为

建钢桥总费用的现在值

D=D3+D4=895550〔元〕

根据以上计算，在每年通货膨胀7%的情况下，建钢桥经济。

库存问题

库存或存贮在生产系统，商业系统，乃至各个系统中都是一个重要的问题。需求可由库存的输出来供给和满足，库存也要由输入来维持和补充，库存起到调节供给与需求，生产与销售之间不协调的作用。

我们的问题是库存数量为多少时最适宜。控制存货数量的目的是把存货总费用降低到最小。这里，假设存货总费用包括如下三个方面的费用：

1.生产准备费或订购费：工厂生产产品成批投产，每次投产要支付生产准备费；商店向外订货，每次订货都要支付订购费。假设每次投产的准备费或每次的订购费与投产或订货数量无关。

2.货物的库存费用：货物存放仓库的保管费。假设在某一时间内单位产品的库存费不变。

3.缺货损失费：因不能及时满足需求而带来的损失。

另外，还假设需求是连续的，均匀的，即单位时间内的需求是常数，因而在一个方案期内需求的总量是的，简言之，需求是一致的，这是确定性库存模型。

我们讨论以下模型：

成批到货，不允许短缺的库存模型

陆续到货，不允许短缺的库存模型

成批到货，允许短缺的库存模型

（一）成批到货，不允许短缺的库存模型

所谓成批到货，不允许短缺，就是每批产品或每次订购的货物整批存入仓库，由仓库均匀提取〔因需求是一致的〕投放市场，当前一批库存提取完后，下一批货物立即补足。在这种理想情况下，库存水平变动情况如图1所示：库存量由最高水平逐渐〔或线性〕的减少到0，此时，库存水平又立即到达最高水平，再循环前过程。这样，在一个方案期内，平均库存量可以认为是最高库存量的一半。图中的t表示一个存贮循环延续时间。

Q〔库存水平〕

每批数量

最高库存水平

平均库存水平

T〔时间〕

图1

由于在一个方案期内需求量是固定的，在这方案期内，如果每批投产或每次订购数量多，自然库存量多，自然库存量多，因而库存费多；但是，这时因投产或订购数少，因此生产准备费或订购费少。如果每批投产或每次订购量少，库存费减少，但因投产或订购次数多，自然，生产准备费或订购费增多。在这两种费用一多一少的矛盾情况下，我们的问题是，如何确定每批投产或每次订购的数量，即选择最有批量以使这两项费用之和为最小。

假设

D：一个方案期内的需求数量，即生产或订货的总量；

C1：一个方案期内每件产品所付库存费；

C2：每批生产准备费或每次订购费；

Q：每批投产或每次订货的数量，即批量；

E：一个方案期内存货总费用，即生产准备费或订购费与库存费之和。

这样，在一个方案期内，自始至终，按图1之分析，库存数量应认为是，即库存量恰是批量之半，所以库存费为；生产次数或订购次数，即批数应为，因此，生产准备费或订购费为。于是，存货总费用E与每批数量Q的函数关系为

现存的问题是：决策变量Q，使目标函数取极小值。

由极值存在的必要条件：

或

〔1〕

由上式解得

〔2〕

由极值的充分条件：

所以，当批量时，总费用最小，其值：

即

（3）

这就得到了求最优批量及最小总费用的一般表达式〔2〕和〔3〕。

表达式〔2〕在库存理论中称为“经济订购量〞或“经济批量〞公式。简称为“EOQ〞公式。

注意到〔1〕式：〔极值存在的必要条件〕可写作：

〔4〕

〔4〕式左端正式一个方案期内的库存费，而右端那么是一个方案期内的生产准备费或订购费，因此，对“一致需求，成批到货，不许短缺〞的库存模型有如下结论：

使库存费与生产准备费〔或订购费〕相等的批量，是经济批量。

这样，对上述库存问题，我们也可直接由公式〔4〕来经济批量。

例1

某厂生产摄影机，年产量1000台，每台本钱800元，每一季度每台摄影机的库存费是本钱的5％；工厂分批生产，每批生产准备费为5000元；市场对产品一致需求，不许缺货，产品整批存入仓库。试确定经济批量及一年最小存货总费用。

解

由题设知，D＝1000台，C2＝5000元，每年每台库存费

C1＝800×5%×4＝160〔元〕

存货总费用E与每批生产台数Q的函数关系：

由〔2〕式，经济批量

一年最小存货总费用

图

200

300

400

250

Q〔台〕

E〔万元〕

由图2可知，库存费用曲线与生产准备费用曲线：

交点的横坐标就是经济批量，其纵坐标刚好是存货总费用的一半。

（二）陆续到货，不允许短缺的模型

陆续到货，就是每批投产或每次订购的数量Q，不是整批到货，立即补足库存，而是从库存为零时起，经过时间t1才能全部到货。

在此，需补充假设

P：每单位时间内的到货量，即到货率；

u：每单位时间内的需求量，即需求率。

显然，假设P>u，每单位时间内净增加存货为P-u，到时刻t1终了库存出现一个顶点，这时，库存量为t1（P-u）。

由于经历时间t1到货总量为Q，因此，从而最大库存量为

这种库存模型的库存水平变动情况如图3所示。

T〔时间〕

图3

Q〔库存水平〕

t1（P-u）

平均库存水平

这样，在一个方案期内，平均库存量应为最大库存量之半，因而库存费为。

本问题中，因为生产准备费或订购费与“成批到货，不许短缺〞库存模型一样，因此，存货总费用E与每批数量Q的函数关系，即目标函数是

为决策变量Q，由极值的必要条件和充分条件，容易算得，经济批量

这时，库存总费用的最小值

最优批量Q*的表达式〔6〕也可由下式得到：

例2

同例1，但产品陆续存入仓库，每月到货200台，试确定经济批量和最正确费用。

解

条件是：

由〔5〕〔6〕〔7〕可得经济批量为327.3台，这时最正确费用为30550元。

（三）成批到货，允许短缺的模型

前面讨论的两个库存模型是不允许缺货。允许缺货是指，缺货时未能满足的需求，在下一批货物到货时要予以满足，而且缺货时的需求直接输出而不经过库存。其它情况同模型一。如果缺货带来的损失很小，且不会因暂时缺货而失去销售时机，缺货现象是允许存在的。

允许缺货情况，库存水平变动情况见图4。图中的t是一个存贮循环延续时间，从前一批到货至库存量减少为0的时间为t1，从库存是0至下一批货物到达的时间为t2。

Q〔库存水平〕

批量Q

最高库存水平

T〔时间〕

图4

Q－B

这里尚需补充假设

B：库存得到补充之前的允许缺货量；

C3：在一个方案期内，缺一件产品的损失费。

需要注意的是每批投产或每次订购的数量Q包括了最大的允许缺货量B。

本库存模型中，生产准备费与订购费与前面模型相同：

库存费：因有货时间t1占一个存贮循环时间的比率为，所以，在一个时机期内，有货时间所占比率也为。有货时，最大库存量为Q-B，从而平均库存量为，由图4中

相似三角形易知

因此，在一个方案期内，库存费为

缺货费：在缺货时间t2占一个存贮循环时间的比率为，在一个方案期内，缺货总时间所占比例也为。最大缺货量为B，因此，平均缺货量为，由图4的相似三角形得知。因此，在一个方案期内，缺货量为.综上，在一个方案期内，库存总费用

或写作

这是该问题的目标函数。

现在的问题是决策两个变量Q和B，以使目标函数取极小值。

根据〔8’〕式，由二元函数极值存在的必要条件，有

解该方程组，可得

可以验证极值存在的充分条件满足：，因此，将

代入〔8〕式，可得存货总费用的最小值：

比拟〔9〕式和〔3〕式，如果缺一件产品的损失费C3为无穷大，因，那么〔9〕式就是〔3〕式，这说明：不允许缺货可视为缺货损失为无穷大的情况。此式，又因，由〔10〕式知，恰有缺货量B*=0。

例3

某厂，一年劳动日为300天，生产率〔单位时间内的产量〕固定，一年可组装机床1500台；假设组装一台机床的零部件价值14400元，而一年的保管费为其价值的22％，因缺零部件而停工，少装一台机床的损失费为零部件价值的50％；又每次订购零部件的手续费为7500元，为使一年存货总费用最小，试就以下各种情况决策最优批量和允许缺货量〔如果允许缺货的话〕并计算最正确费用：

〔1〕不管每次订购数量为多少，都可立即到货，不允许停工待料；

〔2〕假设订货后，每天可到货30台机床的零部件，不允许停工待料；

〔3〕不管每次订货多少，都可立即到货，允许停工待料，但缺料时未完成的任务，当到货后，可不占劳动日就能完成。

解

由题设知

〔1〕这是成批到货，不许缺货的情况。目标函数为：，由〔2〕式得最优批量84.27，可取Q*=84台；由目标函数可得最正确费用E*＝266985元。

〔2〕这是陆续到货，不许短缺的情况。目标函数为

由〔6〕式得最优批量92.3，取Q*=92台；最正确费用E*＝243723元。

下面，比拟成批到货和陆续到货两种情况：

成批到货

陆续到货

最优批量