有理函数的积分问题

有理函数的积分问题（精选6篇）

有理函数的积分问题 篇1

积分在数学分析中占有很重要的地位, 但由于被积函数形式及积分区域的复杂性, 其计算非常麻烦.然而, 如果能充分利用函数奇偶性及积分区域对称性解决积分问题, 则可以化难为易, 简化计算, 达到事半功倍的效果。本文将函数的奇偶性和区域的对称性在曲线积分和曲面积分计算中的应用进行总结, 归纳出简明实用的结论, 并通过示例具体阐述函数奇偶性及积分区域对称性简化积分计算的方法, 进而将其作为求解积分问题的一个有力的工具。

1 利用函数奇偶性及积分曲线弧的对称性计算曲线积分

1.1 在计算第一型曲线积分中的应用

(1) 若积分曲线是平面上的曲线弧, 则第一型曲线积分有如下性质:

定理1设L为xoy面上关于x轴对称的一条 (分段) 光滑曲线弧, 方程为:y=±y (x) , a≤x≤b分别记L1, L2为

证明:取x为参数, 则

又因为

f (y20xf, (yx) , +yf) (x, -若y若) f=f ( (xx, , yy) ) 是是关关于于yy的的单单元元偏偏偶奇函函数数

所以

(2) 若积分曲线是空间中的曲线弧, 则第一型曲线积分有如下性质:

定理2设空间曲线弧Γ (分段) 光滑, 且关于坐标面yoz对称, 记Γ1, Γ2分别为Γ在yoz坐标面x≥0部分和x≤0部分, 函数f (x, y, z) 在Γ上连续, 则

证明:设Γ1, Γ2参数方程分别为:

显然有

因为

所以

1.2 在计算第二型曲线积分中的应用

定理3设Γ为一有向 (分段) 光滑空间曲线, 且关于xoz坐标面对称, 记Γ1, Γ2分别为Γ在xoz坐标面y≥0的部分和y≤0的部分, 并且关于xoz坐标面同向对称, 函数f (x, y, z) 在Γ上连续, 则

证明:设Γ1, Γ2参数方程分别为:

显然

因为

所以

解:显然Γ关于坐标面zox同向对称, 函数f (x, y, z) =z2是关于y的单元偏偶函数, 不妨设Γ关于坐标面zox同向对称的两段曲线的参数方程为:

2 利用函数奇偶性及积分曲面的对称性计算曲面积分

2.1 在计算第一型曲面积分中的应用

定理4设曲面∑分片光滑且关于坐标面xoy对称, 函数f (x, y, z) 在曲面∑上连续, 则

其中∑1, ∑2, 分别是∑位于坐标面xoy上方一侧的部分区域z=z (x, y) 和坐标面xoy下方一侧的部分区域z=-z (x, y) 。

证明:

因为

所以

注:若积分曲线关于其它坐标面对称, 被积函数关于相应变量有奇偶性, 则可得到类似的结论。

2.2 在计算第二型曲面积分中的应用

定理5设f (x, y, z) 是分片光滑的曲面∑的连续函数, 且∑关于坐标面xoy面对称, 取外侧为正向, 则

其中∑1与∑2分别为在平面xoy上侧和下侧部分的区域。

证明:显然

其中Dxy为∑在xoy面的投影,

因为

所以

注:若积分曲线关于其它坐标面对称, 被积函数关于相应变量有奇偶性, 则可得到类似的结论。

例题5计算第二型曲面积分S蒽xdydz+cosydzdx+dxdy, 其中S为x2+y2+z2=1的外侧。

3 据对称积分区域有方向与否讨论函数奇偶性在积分计算中的应用

3.1 统一定义积分形式

不同类型的积分可统一划分为有方向积分和无方向积分两类.然而, 不同类型的积分虽表现形式不同, 但实质却是一致的, 统一将展布在几何形体Ω上的积分表示为

其中:动点M∈Ω;dΩ为Ω中微元的度量。若Ω是直线上的区间、平面上的区域或空间中的区域.则上述积分就是定积分、二重积分或三重积分;若Ω是曲线或曲面, 则上述积分就是第一类型的曲线积分或曲面积分。假定所涉及到的积分均存在。

3.2 无方向的积分的性质

定理6若是积分区域上的连续函数, 且关于变量对称, 则

3.3 有方向的积分的性质

其中Γ1为Γ在x≥0的部分区域。

注:将关于变量x的对称性换成关于变量y或z的对称性可得类似结论。

参考文献

[1]马巧云, 胡丽平.区域对称性和函数奇偶性在积分计算中的应用[J].河南科学, 2008.26 (12) :1451-1454

[2]徐海娜.对称性在曲线积分计算中的应用[J].高校理科研究:416-418

[3]王湘平.对称原理在积分计算中的应用[J].陇东学院学报, 2009.20 (2) :21-22.

有理函数的积分问题 篇2

二重积分的计算方法与应用。

（一）在作二次积分时，首先是把一个自变量看成是一个参数，而不是看成变量，这样第一步是作单变量函数的定积分，然后得到一个包含第二个变量的表达式，再对第二个变量求定积分，这样就得到了二重积分的值。这里对于选择进行积分运算的自变量的顺序是完全任意的，也就是说，假设函数的积分区间，是由曲线

yy1(x)yy2(x)

和，x=a，x=b

所围成的区域，那么f在这个区域上的二重积分为

by(x)b

f(x,y)dxdyadxy2(x)f(x,y)dyy2((xx))dyaf(x,y)dxy11D

（二）另外一种常常更为简单的计算二重积分的方法，是在极坐标下，通过把二重积分转变为二次积分来得到结果。

一般公式就是

r2f(rcos,rsin)rdrf(x,y)ddr()1



()

D

三重积分及其应用与计算。

在这两种坐标里计算多重积分，首先是给出分别在这些坐标系里的体积微元的表达式： 在圆柱坐标系里是dvrdrddz；

在球面坐标系里是dvrsindrdd。

因此可以分别得到在这两个坐标系里的三重积分的计算公式： 在圆柱坐标系里是在

f(x,y,z)dvf(rcos,rsin,z)rdrddz





； 里

是

球



面坐标系

多元函数积分定义的微课设计 篇3

摘 要：本文针对多元函数积分定义的微课设计作了初步的探讨。

关键词：多元函数的积分；定义；微课；设计

多元函数积分部分是高等数学课程的核心内容之一，也是这门课程的重点和难点。多年的教学经验告诉我们定义是数学的灵魂，它直接决定着学生对这部分知识掌握的程度。因此我们将多种多元函数积分的定义放到一起构成知识单元，通过类比的方法加深学生对各类多元函数积分概念的理解，达到复杂问题简单化的目的。下面就是我们具体的做法：

首先，教师在制作微课程之前应该对该部分内容做一个系统地设计（最好是图表形式，间接直观） ，给微课制作者提供一个可行的整体方案。

我们将各类多元函数积分的定义放到一起称之为一个单元，这个单元中包含了二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第二类曲线积分、第一类曲面积分和第二类曲面积分共六种多元函数的积分。为了更好地引入多元函数积分的定义，我们将定积分作为复习模块纳入这个单元，从而将单元划分为七个知识点；将每个知识点细分为引例、这类积分的思想方法、定义（符号）、几何或物理意义、积分域、你对这类积分的概念（符号）的理解、与定义有关的习题七个模块；说明每一个模块呈现的方式、方法（教案、视频、图片、讲义、试卷、题库等形式）；通过学习要求学生完成的线上作业，并说明此次作业成绩占单元成绩的百分比。

其次，教师团队按照之前制定的整体方案分工合作，将我们录制好的视频、图片以及讲义、试卷、题库等分类到不同模块，以不同形式上传到学校的网络教学平台，分享给学生使用。下面就以定积分和二重积分两个模块的设计来说明我们具体的做法：

定积分放到这个单元，目的是帮助学生回忆定积分的思想方法，温习定积分的定义以及它所代表的几何、物理意义，并和多元函数积分的定义形成类比。二重积分定义知识点（或其他知识点）与定积分定义知识点中的引例模块都是通过PPT教案的形式展现，通过学生线上自学完成教师提出的问题“曲边梯形面积的计算与曲顶柱体体积的计算有何异同？”。对比两类积分的引例，实质上它们采取的都是“以直代曲、以常代变、找近似和、取极限”的思想方法。为了达到学生能够灵活的运用这种方法自学其他类型积分定义的目的，这部分再通过教师讲解的微视频展现。定义（符号）以教师在纸上或黑板上讲解的有声图片形式呈现，通过类比使学生深刻理解定积分和二重积分实质上都是是离散和的极限值—也就是离散和的推广“连续和”（这样说有可能不科学，但学生可以会意地去理解），只不过它们作和的范围不同（积分域不同）；定积分在几何上代表的是曲边梯形的面积，在物理上代表变速直线运动的位移（由此引出定积分的基本公式），二重积分在几何上代表的是曲顶柱体的体积（由此引出二重积分的计算方法）。二者在物理上具有共同的特性：定积分代表直线型构件的质量，二重积分代表平面型构件的质量，并且这种物理解释可以延续到三重积分、第一类曲线和第一类曲面积分上。教师通过微视频讲解提醒学生注意，同时提出问题“如何求三维空间中的立体、曲线型、曲面型构件的质量”，这样后续模块的铺垫自然完成。

最后，教师搜集学生作业中出现的典型问题，通过线下课堂教学加以讲解纠正，将六类多元函数积分符号与其物理意义相对照书写出来（表格形式），加以比较，找到各类积分的共同点（没有方向的积分代表质量，有方向的积分代表的是功和流量）与不同点（积分域不同），让学生彻底理解各类多元函数积分的定义不过就是离散和的极限---连续和，只是不同类型的积分做和的范围不同而已。通过学生线上的学习，不仅节省了教师讲授的时间，而且使得教师的讲解更有针对性，使得像多元函数积分定义这样繁琐的问题一次性地类比解决，让学生看到多元函数的积分原来很容易，真正做到使复杂的问题简单化，轻松消化课堂上的难点，激发他们进一步研究各类积分的性质和计算方法的兴趣，达到提高教学质量的目的。

参考文献：

[1]同济大学数学系，高等数学第七版，高等教育出版社.

超越函数定积分的积分方法 篇4

特别D是矩形区域[α, b, c, d], 则有

利用引理可以得到的主要结果是:

超越函数定积分的积分方法一:把超越函数定积分I看作是某个参变量y的函数, 记为I (y) , 利用微分运算可通过积分号的引理1, 先微分, 再积分, 最后确定I。

超越函数定积分的积分方法二:把超越函数定积分转化为二元函数的二重积分, 利用二重积分顺序可交换的引理2, 恰当选择积分顺序, 从而得到超越函数定积分的计算。

于是有I (y) =ln (1+y) +c, 令y=α, 于是有

I (α) =ln (1+α) +c=0, c=-ln (1+α) , 从而得到

利用超越函数定积分的积分方法二:

摘要：本文利用二元函数的微分学和积分学的理论和方法, 研究超越函数定积分的两种积分方法。

关键词：初等函数,超越函数,定积分,二重积分

参考文献

[1]复旦大学数学系主编.数学分析.上海:科技出版社.1964年

[2]徐利治, 王兴华编.数学分析的方法及例题选讲 (修订版) .北京:高等教育出版社.1984年

多元向量值函数积分自测题 篇5

1）设L为取正向的圆周x2y29则曲线积分22xy2ydxx4xdy L

18。

x2）设曲线积分fxesinydxfxcosydy与积分路径无关，其中fx一阶L

连续可导，且f00，则fx

3）1x1xee。22y

2zdydzxz2dzdxyx2dxdy0,其中为单位球面

x2y2z21的外侧。

x224）设Aesinyi2xyzjxzyk，则divA1,0,10，rotA1,0,1

1,0,e。

2、计算下列曲线积分

1）

Lx2y2x2xydy，其中L为椭圆221，由点Aa,0经点C0,b到点ab2

Ba,0的弧段。

解：L的参数方程为xacost，t从0到。ybsint



原式

032sin3t222costacost2absintcostbcostdtabsint32ab3 0

42ab

32）x2ydxx2y2dyxyzdz，其中L是xyz11与zxy1 L2222

2的交线，其方向与z轴正方向呈右手系。

xxy2解：L一般方程可化为，其参数方程为y，从0到2



z3z322

原式

2

021cos44sin2cos2dd 02

sin4

sin 2803、计算下列曲面积分

1）z，其中是上半球面的上侧。yzdzdx2dxdy

2

解：化为第一型曲面积分计算

zx,zy



取定侧对应法向量n，1 

nxy，n22

y2z原式

dS 2x2y24 x2y242ydxdy220d2rr3sin2dr 0

22

044sin2d2062cos2d12

zy2

2）xdydzydzdxzdxdy，其中是曲线x0的上侧。

解：此曲面方程为zxy22z1绕z轴旋转所得旋转面z1，化为第一型曲面积分计算

zx2x,zy2y

取定侧对应法向量n2x,2y,1 

n,n

原式2, 22

x2y21xy2dxdy

2

0dr3dr0124、设曲线积分xy2dxyxdy与路径无关，其中x连续可导，且00，求L



解：1,10,0xy2dxyxdy。PQ2xyyxx2xxx2C yx

由00可得C0，即xx

21,10,0xy2dxyxdy1,1

0,0xy2dxyx2dyydy011 2



5、求向量A2xiyjzk通过0x1,0y1,0z1的边界曲面流向外侧的通

量。

解：2xdydzydzdxzdxdy211dv

2



6、求向量场Axyicosxyjcosxzk在点,1,1处的散度。2

解：divAyxsinxyxsinxz

有理函数的积分问题 篇6

关键词：复变函数与积分变换教材题库实践教学

大学的教育不同于中学的“应试”教育，只讲授理论知识或只应对一张卷子是远远不够的。应该把培养学生认知和运用理论知识解决问题的能力放在首位。这也是现今广大教育工作者极为关心的问题。大学数学教育起着使学生个人得到完善和发展方面的不可替代的作用，不断促使我琢磨一个“永恒”的主题。即使学校给我们配备的硬件条件再好，教学计划再完美，但是没有相当数量的高水平的教师的积极、主动、有创见地参与实践，大学数学教育目的难以达到，教学改革则更难以奏实效。

《复变函数与积分变换》是高等数学的后续课程，是机电类专业必修的基础课， 它在电路理论、通信工程、信息处理、自动控制、信号与系统等多门专业课中有着广泛的应用。它对培养对象未来的业务素质、专业能力和创新精神是非常重要的。通过本课程的学习，可以使学生掌握复变函数与积分变换中的基本理论和方法，为学习相关专业课程及实际应用提供必要的数学基础，扩大学生继高等数学之后相关课程的知识面，也是培养学生推理、归纳、演绎和创新能力、培养学生的数学素质及应用复变函数与积分变换的知识解决本专业实际问题的能力的一门很好的课程，因此学好这门课程对学生来说是非常重要的。近年来，为了解决教学学时紧张的矛盾，许多教师、学者纷纷提出在课程教学中“轻理论重应用”的指导思想，以期达到学以致用的目的。但是，复变函数与积分变换的实际授课时数相对比较少，有限的时间内如何使学生既掌握理论与方法，又了解知识的应用？面对这个难题，对课堂教学的改革，已经是每个任课教师不得不着手解决的问题。下面浅谈在教学中的一点经验和做法。

一、教材建设

教学是由教师的教和学生的学构成的共同活动，教学活动是围绕着教学内容的传授而展开的，因此，教学活动的中介就是教材。好的教材是首选课堂教学内容改革的成败，教材无疑是至关重要的。本着增加现代，增加实际应用和数学模型的建立与求解等现代技术要求，对教材的内容和体系进行改革。由于教材的针对性较强，既要完成教学大纲规定的教学要求，也要让学生掌握各章节知识点在实际问题中的应用，还要降低难度系数，让学生易于接受。理论部分有选择性的尽其所能的简单明了，将繁琐的计算可引用Matlab命令帮助实现。在选材上要体现寓教于乐，定义、性质及公式等寓于实例中，从中抽象出定义、性质及公式等。选材要本着趣味性强，同时也要涵盖某一类知识点，还要实现对学生的素质教育，所选例题及练习与测试均具有典型性和代表性，注重了例题分析和解题技巧，使其与教材能相辅相成，从而使学生能在较短的时间内掌握本课程的精髓，提高学生分析和解决问题的能力，对于学生以后的进一步深造打下较为扎实的基础。为了配合课程的教学，编写了科学出版社出版的《复变函数与积分变换》的教材。

二、明确教学目标

设定科学明确的教学目标教学活动是一种特殊的认知活动，是教师和学生之间的一种双边活动。教学目标的拟定是教学活动中的一个重要环节，是教师课堂教学设计的重要内容，也是规定或规范课堂师生行为的指南，是指引课堂教学有效进行的最好指路标，只要目标准确把握，上课时才不会偏离重点。

三、队伍建设

本课程教师队伍建设的目的是建成一支专业素质精、实践能力强的教学队伍。采取的措施为以科研促进教师带动队伍的专业素质提高；通过教学研讨形成针对性较强的教学内容和高效的教学方法，达到统一目标和保证教学质量；用案例交流和指导学生素质教育实践来提高教师的实践能力和实践指导能力。

四、课堂教学模式改革

（一）在问题设置中，要抓住要点，要明确着重发展学生哪个方面的能力，并注意循序渐进，要能抓住激发学生思维的兴奋点，引起讨论而设置问题。应如本文几个案例那样帮助学生进入讨论，讨论后得到提高：

（二）要充分照顾学生的个体差异。一般方法是教师要特别关注那些学习、行为较弱的学生或“慢热”的学生，对他们的帮助要切实有效。不仅要多启发、共同探究，有意识地请他们多发言，还要在课堂上或课堂外多进行思想、感情交流，帮助他们克服心理障碍，成为学习的成功者。

（三）合理、有效地使用电化、电教、信息技术进行课堂教学，级激发学生的学习热情，促进学生感性认知与理性思维的结合，提升学生的探究学习能力。跨学科知识的渗透、交融，能扩大学生的视野，开发学生的思维，这是在实行“讨论式”教学模式时，教师不可或忘的原则。

（四）“讨论式”教学模式的作业，既可以是课堂讨论的延续，也可以是讨论结果的检验。教师在布置作业时既要考虑到这两个方面的比例，又要考虑到不加重学生们学业负担。任何课堂教学模式的构建都是为提高教育教学质量、培养合格人才服务的。为实现全面推进素质教育而立足于新课程理念上的“讨论式”课堂教学模式，确立了学生在课堂活动中的主，为养成学生自主、探究、合作的学习习惯，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，培养他们的创新精神，提供了很好的平台。教师是“讨论式”课堂教学模式的组织者、引导者，教师的心有多大，舞台就有多大。

从知识的掌握到应用不是一件简单、自然而然就能实现的事情，学生应用能力的培养是一项艰巨的任务。我国大学本科教育质量不比发达国家差，甚至还要高一些，但到研究生阶段就差很多，究其原因，就是我国大学生基础理论知识虽然学得扎实，应考能力也较强，但动手能力、分析问题和解决问题的能力比较差。虽然近年来，国家对大学生用能力的培养比较重视，但以理论教学为中心的教学管理体制还没有从根本上得到转变。尤其是对实践性教学环节重视不够，加上投入不足，一些高校的“课程教学改革”也只能停留在口头上，数学课的教学改革更是如此。这就要求我们在现有条件下的每个教学环节中，注意加强培养，使学生自觉地应用数学知识、方法去观察、分析和解决实际中的问题。

五、题库建设

（一）理论试题

经过课题组成员广泛收集和整理可用于练习及考试的复变函数与积分变换试题，先后收集了1000多道题目，按章、节、题型及分数、时间、难度等分别编成套题。题型有选择、填空、计算、证明、实例应用等题型，覆盖工科复变函数与积分变换课程的所有章节。

（二）应用试题

常言道：“课内出人才，课外出天才.”因此，应注重课堂教育、课外教育与社会教育的有机结合，要以创新设计为重要载体，活跃学生的第二课堂，提高学生的自学能力、动手能力和创新能力。让学生真正体会到复变函数与积分变换知识在现实中的应用。只有认真学习和灵活应用，才能具备解决现实生活问题的能力，从而激起学生热爱数学、乐于实践的强烈愿望，也达到了复变函数与积分变换的应用和数学建模方法的训练。将学生素质和实践能力培养融于公共基础课教学之中。收集整理了教学案例，并指导学生自主完成部分实践题的解答。

六、教学课件的制作

多媒体技术的发展引起了教育领域的又一场革命。开发多媒体教学课件是促进现代教育技术应用和普及，实现教育信息化、现代化的关键。现代化的教学手段——计算机多媒体技术能够制造环境，形象、直观、生动、富有吸引力，并能节省课堂教学时间，激发学生学习数学的积极性，从而能更好地调动学生去思维，帮助学生去理解，起到事半功倍的效果。鉴于上述原因，制作了《复变函数与积分变换》多媒体教学课件，这既节省了大量用黑板加粉笔进行繁杂推演计算的时间（这是枯燥而乏味的），又使学生了解了数学软件中统计功能的使用，为他们今后使用这些软件解决实际问题提供了便利。

七、考查课考核改革

在考查课的考核中一改以往一张试卷或平时成绩定结果。在原有考核方法的基础上增加了撰写实践征文，在期末成绩中占有一定的比重。通过撰写实践征文，学生们有一个共同的体会：加深了对所学知识的理解。实践表明：数学知识和应用能力共同提高的最佳结合点是启迪创新意识、锻炼创新能力，这是培养高层次创新人才的一条重要途径。

该教改实践创新了教学模式，不仅为学习复变函数与积分变换课程的学生提供了一套完备的学习工具，而且为广大教师提供了一套完整的复变函数与积分变换课程教学资源。此外，实践表明，在教学中注意数学模型的建立与求解，能培养学生应用数学的能力和创新意识，而应用多媒体等辅助教学手段可以激发学生学习数学的兴趣。今后我们将进一步建设和完善网络教学资源，使之成为一套完整的教学资源。

参考文献：

[1] 汤胜道. 大学数学课程教法探讨[D]. 安徽：安徽工业大学学报（社会科学版），2006.11.

[2] 艾亮.浅谈高职院校精品课程网站的建设. 现代企业教育 2012（21）.

[3] 唐兢. 计算机专业大学数学教育的思考与实践[D].北京：工科数学，2000.4.