指数函数积分法(精选12篇)
指数函数积分法 篇1
在不定积分中,计算含有三角函数有理式的积分占有很大的比重. 如果采用一般的万能代换能求出结果,但使用万能代换往往工作量大、计算复杂,所以并不一定是最好的方法,因此在解题时要根据被积函数的结构特点,尽量采用其他方法,在万不得已时才使用万能代换. 本文谈谈含有三角函数积分的其他方法.
一、利用三角恒等式求积分
例1 求∫3( sin4x·sex2x·cotx + cos4x·csc2x·tanx + 2sinx·cosx) dx.
解观察被积函数的特点,利用三角恒等式先对被积函数化简,其结果为:
例 2 求
解利用三角恒等式: 1 = sin2x + cos2x,可将被积函数化为:
二、利用三角函数的互余性求积分
例 3 求
三、利用添项减项( 乘项除项) 求积分
四、利用特殊公式求积分
在吉米多维奇的《数学分析习题集》中,有如下公式:
指数函数积分法 篇2
学习目的和要求
学习本章,要求读者掌握多元函数及其偏导数的概念、偏导数的求导法则及利用偏导数讨论多元函数的极值、最大值和最小值,学会使用拉格朗日乘数法研究条件极值并应用最小二乘法等讨论经济问题,了解二重积分的数学含义,学会计算一些简单的二重积分.
第一节 多元函数
1.二元函数
设有3个变量 的二元函数.记作 为因变量.
如果当变量
在一定的范围D内任意取定一对值或称为自变量,D称为定义域,z时,变量z按照一定的规律,总有确定的数值和它们对应,则变量z叫做变量
类似地,可以定义三元函数及更多元函数,二元以及二元以上的函数称为多元函数.
2.二元函数的极限
设函数 的某一邻域内有定义,是该邻域内
以任何方式趋近于 时,函数的对应值
时的异于 的任意一点.如果点
趋近于一个确定的常数A,我们就说 二重极限,记作
或
3.二重极限和二次极限
对于二元函数 的极,这个极限称为二次极限,记限,可得极限函数 为
.4.有界闭区域上多元连续函数的性质(不作证明)有最大最小值定理、中间值定理、有界性定理、零点存在定理.
第二节 偏 导 数
1.定义 设函数 的某一邻域内有定义.当 固定在
时,相应地函数有增量
如果极限 在点
存在,则称此极限值为函数 的偏导数,记作
类似地,可定义函数 2.求导法则
(1)和:设
(2)积:设
则 的偏导数。
2(3)商:设
3.高阶偏导数
高阶偏导数可定义为相应的低一阶偏导数的偏导数
例如:
第三节 全 微 分
二元函数全微分的定义 若二元函数 的全增量
可表示为
其中
阶无穷小量,则称函数 点(x,y)的全微分.可微,并称
进一步讨论可知: 的高在故得
关于二元函数,有如下结论:若
及其某一邻域内存在,且在该点连续,则函数在该点可微.
第四节 多元复合函数求导法则、隐函数求导公式 1.设函数
.若成立条件: 的函数,(1)在点
处存在编导数的相应点可微,则有
(2)
2.隐函数求导公式 设函数 的某一邻域内具有连续的偏导数,的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数 ,偏导数可由
它满足条件
即
来确定.第五节 多元函数偏导数的应用
1.多元函数的极值
设函数值
如果都有 反之,若成立 的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于,则称函数在点(,则称函数在点)有极大
有极小值
.使函数取得极值的点称为极值点.(1)极值存在的必要条件 设函数 偏导数
(2)极值存在的充分条件 设函数 且有一阶二阶连续偏导数,又 记 ① 小值; ② ⑧ 时无极值; 时待定.
则
处取极值,且当A
可微分(或存在)处有极值,则在该点的偏导数必为零,即 的某个邻域内连续2.条件极值、拉格朗日乘数法
在讨论极值问题中,除对自变量给出定义域外,并无其他条件,则称为无条件极值,而若对自变量还附有其他条件的极值问题称为条件极值. 拉格朗日乘数法:要找函数 以先构造函数 其中λ为某一常数,求 程 联立起来: 的一阶偏导数,并使之为零,然后与方
下的极值可疑点,可 5
由上述方程组解出 3.最小二乘法
即为极值可疑点.
在经济分析中,我们经常要研究一些经济变量间的相互关系,其中最简单最常见的则为线性关系 有数据.记
称为计算误差或残差.我们希望利用一组已有的资料
能很好地吻合已来寻找这一线性关系,使找到的
我们希望找到这样的 条件来选择常数
取到最小值,这种根据残差的平方和为最小的的方法叫做最小二乘法.
必须满足 由极值存在的必要条件,使
从而可解得
若记 则又可得下面比较简单的表达式:
4.应用举例
(1)生产函数 考察一个企业的生产能力常常涉及各种因素,但就其根本来说,决定企业内部生产能力的主要因素是劳动力
.
在经济分析中,有所谓要素报酬递减定律,也就是边际收益会递减.例如我们假定资金保持不变,则随着劳动力的增加,产量也将随着增加,但劳动力的边际产量将会下降,如图7.1所示.,因而可记生产函数为
如果资金和劳动力是可以相互替代的,则为得一不变产量水平可以有各种不同的劳动力和资金投入,而且若拥有资金越来越少,此时劳动力就要大量增加.同样,如果只有极少的劳动力,此时若再减少一些劳动力,则资金增量就要大得多,7 这样我们就可得到一族等量线K=K(L),且等量线为单调下降的下凸曲线(两阶导数大于零),如图7.2所示
在等量线上,Q为常数,所以
故得
定义为技术替代率,或要素的边际替代率.
(2)Cobb—Douglas生产函数 20世纪30年代,西方经济学界提出如下形式: 的生产函数,称为Cobb—Douglas生产函数,这类函数有如下一些优点,因而得到较广泛的应用: ① 它是 次齐次函数;
② 等量线为单调下降和下凸的;
③ 常弹性,资金弹性为α,劳力弹性为β; ④ 系数A表示技术进步。(3)齐次函数和欧拉定理 若
特别地,当 时,有
次齐次函数,则
它表示:资本投入量乘以边际产量加上劳力投入量乘以劳动力边际产量等于总产量。
第六节 二重积分
2.二重积分的概念
设函数 在闭区域 D上连续,将区域D任意分成 n个小区域 在每个小区域
(i=1,2,…,n),并作和
如果各小区域的直径中的最大值λ趋于零时,这和式的极限存在,则称此极限值为函数,即,作乘积,其中 叫做被积函数,为积分区域.2.二重积分的性质(1)
.(2)
(3)
这里假定将区域 D分成两个区域 D1与 D2.(4)若在 D上,成立,则有不等式:
特别地有:
(5)设 则有
上的最大值和最小值, 的面积,(6)设函数 存在一点
在闭区域
上连续,的面积,则在
上至少,成立
3.二重积分的计算(1)化二重积分为二次积分(a)先对y后对x积分
(b)先对x后对y积分
(2)利用极坐标计算二重积分 令
则
若
第五章 多元函数微积分
例1.下列平面方程中,过点(1,1,-1)的方程是()
(A)x+y+Z=0(B)x+y+Z=1(C)x+y-Z=1(D)x+y-Z=0 解:判断一个点是否在平面上,只需将点的坐标代入,看看是否满足相应的平面方程即可。易见应选(B)。例2.指出下列平面的特殊位置
(1)x+2z=1;(2)x-2y=0;(3)x-2y+3z=0;(4)z-5=0.解:设平面方程为 Ax+By+Cz+D=0
(1)方程中y的系数为B=0,故该平面平行于oy轴(垂直于zox平面);(2)方程中z的系数C=0且D=0,故平面过oz轴;
(3)方程中常数D=0,故该平面过原点;
(4)方程中x的系数A=0 且y的系数B=0,故该平面垂直于oz轴(平行于xoy平面)。
例3.求过点(3,2,1)且平行于yoz平面的平面方程。
解:平行于yoz平面即垂直于ox轴,故可设所求平面方程为Ax+D=0,将已知点(3,2,1)的坐标代入上式,得D=-3A,从而所求方程为x-3=0。
注意:在求平面方程时,Ax+By+Cz+D=0中的四个待定常数不是完全独立的,计算时可用其中的一个表示其余的三个,然后通过化简得出所求结果。例4.求点M(2,-3,1)分别关于xOy平面、Oy轴和原点的对称点。解:点M关于xOy平面的对称点是第三个分量变号,即(2,-3,-1),关于Oy轴的对称点是第一,第三分量变号,即(-2,-3,-1),关于原点的对称点是三个分量都变号即(-2,3,-1)。
例5.求平面3x+2y-z-6=0分别在三条坐标轴上的截距。
解:将平面方程化为截距式方程,得
因此该平面在Ox轴、Oy轴和Oz轴上的截距依次为2、3、和-6。例6.求球面 的球心坐标和半径。
解:对方程进行配方,化为一般形式的球面方程
从而球心坐标为(3,-1,0),半径为。
例7.下列方程在空间直角坐标系中,表示施转抛物面的方程是()(A)解:
(B)
(C)
(D)
只能x=y=z=0,它表示空间直角坐标系中的原点。
是一次方程,D=0表示过原点的一个平面。
即
物面。
表示绕z轴旋转张口朝z轴负方向的旋转抛表示双曲抛物面(马鞍面)故应选(C)
例8.函数
(A)(B)的定义域是()。
(C)(D)
解:由函数的表达式知函数的定义域为
即,故应选(C)。
例9.设
(A)(B)
(C)
(D)
解:由题设,(A)。例10.设 在点
处偏导数存在,则
故应选
(A)
(B)(C)
(D)
解:根据偏导数的定义,有
故应选(C)。
例11.设 证明
证明:
于是 左
注意,本例还可以利用二元函数隐函数来解偏导数:
两边取对数
代入左端即可得结论。例12.设
(A)
其中f为可微函数,则
(B)
(C)
(D)
故应选(D)。例13.设
因此,例14.设
例15.设z=z(x,y)是由方程
确定的函数,求
注意:在求隐函数的偏导数时,其结果中可以有变量度z的出现,结果表达式也常常不是惟一的,如本例用 代入两个偏导还可以表示成
例16.设(A)
(B)
(C)
(D)
解1:变量之间的关系图为
故应选(A)
注意:这里解法2经过代入后变成了一个一元函数求导问题,简洁明了。
例17.
证明:设
变量之间的关系为
例18.求函数
解:函数 的定义域为的极值。
全平面,得驻点
例19.某厂生产甲、乙两种产品,其销售单位分别为10万元和9万元,若生产x件甲种产品和y件乙种产品的总成本,又已知两种产品的总产量为100件,求企业获得最大利润时两种产品的产量各为多少?
例20.计算二重积分
解:作积分区域D的草图,如图7-1
(图7-1)19
例21.求
解:作积分区域D的草图,如图7-2
(图7-2)
例22.计算二重积分
解: 积分区域D是一个圆环:内半径为
用极坐标系计算。
注意:当积分区域是圆及其部分,被积函数又比较容易化成极坐标时,应考虑使用在极坐标系之下积分。
本例关于 和关于r的积分上下限均是常数,同时被积函数可以分离,这时二重积分可化成两个定积分的乘积。
例23.计算
其中
解法1:
即圆心在(0,a)半径为a的圆。又 ,因此是右半半圆(如图7-3)。
(图7-3)用极坐标系计算。
解法2:用直角坐标系计算,先对x后对y积分右半圆的方程为
第五章 多元函数微积分
单元测试
一、选择题
1、点
,则 的中点坐标为()
A、(0,2,-2)B、(1,-2,1)C、(0,4,-4)D、(2,4,2)
2、点 关于坐标原点的对称点是()
A、(-2,3,-1)B、(-2,-3,-1)C、(2,-3,-1)D、(-2,3,1)
3、点 关于XOY平面的对称点是()
A、(-2,3,-1)B、(-2,-3,-1)C、(2,-3,-1)D、(-2,3,1)
4、过Y轴上的点(0,1,0)且平行与XOZ平面的平面方程是()
5、下列方程中,其图形是下半球的是()
6、设,则
()
7、函数 的定义域是()
8、设
在(0,0)点连续,则 K=()
A、1 B、0 C、1/2 D、不存在
9、设
()
10、若
11、设 则
=()
()
A、0 B、1/2 C、-1 D、1
12、设,则
=()
13、设,则
()
14、若,则
()
A、10 B、-10 C、15 D、-15
15、设
则
()
16、若,则
()
17、设
()
18、若
()
19、设
()
20、设函数
()
21、设
()
22、函数 z=f(x,y)在点 函数在该点存在全微分的(处具有两个偏导数)
是
A、充分条件 B、充要条件 C、必要条件 D、既不是充分条件,又不是必要条件
23、若函数,则
()
24、设 是由方程
确定的隐函数,则
=()
25、若
则
26、二元函数 的驻点为()
=()
27、若,则
在
处()
A、一定连续 B、一定偏导数存在 C、一定可微 D、一定有极值
28、设二元函数()
有极大值且两个一阶偏导数都存在,则必有
29、设函数 是它的驻点,在点 的某一邻域内有连续的二阶偏导数,且
则)是极大值的充分条件是(A、B、C、D、30、设 是函数 的驻点且有
若,则
一定()
A、是极大值 B、是极小值 C、不是极值 D、是极值
31、函数
在点(0,0)处()
A、有极大值 B、有极小值 C、无极值 D、不是驻点
32、对于函数,原点(0,0)()
A、不是驻点 B、是驻点但非极值点 C、是驻点且为极大值点 D、是驻点且为极小值点
33、若D是由
所围成的平面区域,则
()
34、若D是平面区域,则二重积分
()
35、设D:,则
()
36、设二重积分的积分区域D是
37、若D是平面区域,y≥0则
二、计算题(一)
(),则
()
1、设 解:设
则。
2、设 解:
3、计算二重积分 的第一象限的图形。,其中区域D是由
所围成解:区域D在极坐标下可表示为
于是 =
三、计算题(二)
1、设
解:
2、已知
解:
3、设 解法一:在。
两边分别对 和 求偏导数,得
整理得
解法二:
4、设 确定函数,求
解:令
∴
5、设函数,由方程
确定,其中
解: 同理
6、设D是由
所围成的区域,计算
解:先对x积分,再对y积分。
7、计算二重积分
所围成.,其中区域由抛物线 及直线
解:
8、计算二重积分,其中D为
解:采用极坐标系
9、计算二重积分 成且在直线,其中D是由直线 和圆
所围下方的平面区域。
解法一:用极坐标系
解法二:用直角坐标系
=
=
=
10、计算二重积分
圆
围成的区域。
解:圆 的极坐标方程是
因此
四、证明题
1、设
(a,b 均为常数)
求证:
证:∵
∴
2、设 ∵ ∴
∴
3、设
证:∵
∴
即
4、设,证明它满足等式:
证:
指数函数积分法 篇3
关键词: 《复变函数与积分变换》课程 教学改革 教学方法 学时 考核办法
《复变函数与积分变换》是我校电子信息学院和地球物理和石油资源学院一门重要的专业必修课,在其他自然科学和工程领域特别电子信号处理和地球物理勘探等研究方面有着广泛的应用。正如我国著名数学家陈省身所言“没有复数,就没有电学;没有电学,就没有现代文明”,它的理论方法给其他科学提供了一种重要的解析工具,因此熟练掌握和利用该工具显得十分重要。但是同许多数学类基础课程一样,复变函数与积分变换存在学生大都有畏难情绪、不够重视、内容抽象等实际情况。另外,在当前各高等院校不断压缩学时的大环境下,复变函数与积分变换的课程教学变得更迫切需要我们进行教学研究改革寻求对策。
随着我国高等教育改革力度的不断加大,复变函数与积分变换也迎来了与时俱进、自我修正、跨越发展的机会与挑战,笔者结合几年的教学经验,为了上好复变函数与积分变换课程,应该从如下方面进行复变函数与积分变换教学研究改革。
一、改进教学方法,提高学习兴趣
复变函数与积分变换课程教学改革,教学方法的改进乃重中之重。本身复变函数与积分变换的知识就比较抽象难懂,原来的教师主导式、课堂“填鸭式”教学已不能提高学生的学习热情,学生被动接受,使得学习丧失主动性乃至厌学,强化教学效果就成了纸上谈兵。为了更好地提高学生学习兴趣和合理进行教学改革,应该从以下方面进行考虑[1]:①认真上好第一节课。良好的开端是成功的一半,每一门课程的学习都遵从这一朴素真理,同学们已经学习了高等数学,如何更好地引入复数概念就成了第一节课成功的关键。我们可从无理数历史缘起和解这个经典方程x2+10x+40=0出发,逐步引入复数概念,既不突兀,又展示了这段艰辛的数学发展历程,从而抓住了同学们的注意力。②教学过程中,要多采用启发式、引导式和类比式提高教学质量。为了使同学们更好地理解复变函数导数、连续性、解析等概念,可以采用类比教学法进行教学[2],通过回忆高等数学中实函数相对应的导数、连续性、区间可导等概念,从中理解实变函数与复变函数之间的区别和联系,使学生有更大的好奇心探索以后的学习。另外,课程中的很多定理推导或证明,可以发挥大家的主观能动性,教师重在引导大家群策群力,变被动学习为主动参与。③现代教育技术融入复变函数与积分变换教学。随着现代科学技术的发展,界面友好形式多样的现代教育技术正在大学课程学习中发挥着越来越重要的作用。鉴于复变函数与积分变换课程理论性强推导计算多等特点[3],应多采用现代多媒体教学手段与传统板书教学相结合的现代课堂教学模式组织课堂教学。常见复杂公式、常规定理内容等可以借助多媒体课件进行展示,定理推导证明及复杂计算课程则通过板书体现教学思维的连续性。④Matlab等数学软件可以促进教学改革研究。Matlab是一款功能强大、作图优美的数学应用软件,在很多数学类课程中都有着良好的应用,复变函数与积分变换也不例外[4]。复变函数与积分变换的留数计算、有理函数的部分分式展开、图形绘制、Fourier变换及逆变换等内容可以通过Matlab软件实现,寓教于乐,锻炼了学生的动手能力,对于理解掌握课程内容也有一定的辅助作用。
二、合理安排学时,体现专业特点
复变函数与积分变换包含复数、解析函数、复积分、复级数、留数定理、共形映射、Fourier变换和Laplace变换等八章内容,但仅有40学时(有些院校已压缩到32学时),如何在有限时间内进行教学,是一个我们必须思考的问题。笔者认为应该在保证整体框架完整的基础上,合理安排学时。有些内容较多的定理可以通过多媒体课件来展示,一些内容如复数项级数、泰勒级数、共形映射、Fourier积分由来等知识学时上必须压缩。但是对于以后专业课程中经常利用到的一些重点性质与思想,如围道积分、单位脉冲函数性质、Fourier变换和Laplace变换在实际问题中的应用等应做进一步的加强教学。我们希望通过这次教学研究改革,通过发放问卷调查和同后续专业课程教师研讨会的方式,确定哪些知识点是我们应该在复变函数与积分变换课程教学中要加强学习的,这样做可以真正做到有的放矢,既结合专业特点,又会使平时教学更具有针对性。
三、改革考核方法,提倡科学考核
同很多数学类基础课程类似,复变函数与积分变换大多采用平时成绩与期末考试成绩相结合的考核方法。这种考核方法存在平时成绩给定过于笼统、主观随意性大、有些学生不注重平时知识积累考前突击复习也能及格等弊端,改革考核方法,提倡科学考核是一项该课程教学改革的重要举措。长江大学教务处正在进行课程考核的全面改革,我们希望通过这次教研项目改革,能更好地对复变函数与积分变换课程进行科学考核,具体做法包括:①加大平时成绩所占比重,最高可达到40%~50%。这些平时成绩可以通过作业、课程随机点名及课堂综合表现、每章内容总结小论文等形式呈现,任课教师必须在每一个教学环节中如实记录,以保证这些平时成绩给定的真实合理性。②期末考试可以尝试开卷或半开卷考试方式进行。采取这种开卷或半开卷期末考试方式要求任课教师要在试卷广度和难度方面有所加强,更体现试卷的综合性与灵活性,不能从书本上直接获取答案,无形中增大了考核要求,又能考查出同学们的真实水平。
综上所述,随着我国高等教育的迅猛发展,数学类课程受到了巨大冲击,也迎来了机遇和挑战。在当前工科专业数学类课程更强调实际应用的大背景下,只有从不断改进教学方法、合理安排学时、提倡科学考核等方面入手,注重课堂教学效果与专业知识紧密结合,才能更好地推动复变函数与积分变换课程的教学改革,取得更好的教学效果。
参考文献:
[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数[M].北京:高等教育出版社,1996.
[2]刘显全.复变函数教学法探讨[J].大学数学,2012,28(2):155-158.
[3]尹景本,趙晨萍.复变函数课程的教学方法探讨[J].长沙大学学报,2013,27(2):125-126.
[4]贺凯.MATLAB在《复变函数与积分变换》中的应用[J].沙洲职业工学院学报,2006.9:22-24.
待定函数法求解一类不定积分 篇4
1 对于∫xnexdx型, 设y=qn (x) ex (qn (x) 为x的n次多项式)
例1:求不定积分∫x3exdx
解设y= (ax3+bx2+cx+d) ex
易知a=1;b=-3;c=6;d=-6
2 对于∫xnsinxdx型, 设
例2:求不定积分∫x4 sinxdx
解:设y=ax4sinx+bx3cosx+cx2sinx+dxcosx+esinx
易知a=1;b=4;c=-12;d=-24;e=24
3 对于∫emxsinnxdx型, 则设y=emx (asinnx+bcosnx)
例3:求不定积分∫e5xsin2xdx
解:设y=e5x (asin2x+bcos2x)
4 若为∫xexsinxdx型, 则设y= (ax+b) exsinx+ (cx+d) excosx
例4:求不定积分∫xexsinxdx
解:设y= (ax+b) exsinx+ (cx+d) excosx
5 其它被积函数为分式, 而又不适于用换元法求解的
有时, 可能会碰到形如类型的不定积分, 乍一看无从下手, 其实也属于分部积分求解类的, 不过因隐藏较深不易观察而已。当然对于此类问题, 我们也可以利用待定函数法比较方便的求解。
指数函数积分法 篇5
二重积分的计算方法与应用。
(一)在作二次积分时,首先是把一个自变量看成是一个参数,而不是看成变量,这样第一步是作单变量函数的定积分,然后得到一个包含第二个变量的表达式,再对第二个变量求定积分,这样就得到了二重积分的值。这里对于选择进行积分运算的自变量的顺序是完全任意的,也就是说,假设函数的积分区间,是由曲线
yy1(x)yy2(x)
和,x=a,x=b
所围成的区域,那么f在这个区域上的二重积分为
by(x)b
f(x,y)dxdyadxy2(x)f(x,y)dyy2((xx))dyaf(x,y)dxy11D
(二)另外一种常常更为简单的计算二重积分的方法,是在极坐标下,通过把二重积分转变为二次积分来得到结果。
一般公式就是
r2f(rcos,rsin)rdrf(x,y)ddr()1
()
D
三重积分及其应用与计算。
在这两种坐标里计算多重积分,首先是给出分别在这些坐标系里的体积微元的表达式: 在圆柱坐标系里是dvrdrddz;
在球面坐标系里是dvrsindrdd。
因此可以分别得到在这两个坐标系里的三重积分的计算公式: 在圆柱坐标系里是在
f(x,y,z)dvf(rcos,rsin,z)rdrddz
; 里
是
球
面坐标系
指数函数积分法 篇6
关键词:复变函数与积分变换教材题库实践教学
大学的教育不同于中学的“应试”教育,只讲授理论知识或只应对一张卷子是远远不够的。应该把培养学生认知和运用理论知识解决问题的能力放在首位。这也是现今广大教育工作者极为关心的问题。大学数学教育起着使学生个人得到完善和发展方面的不可替代的作用,不断促使我琢磨一个“永恒”的主题。即使学校给我们配备的硬件条件再好,教学计划再完美,但是没有相当数量的高水平的教师的积极、主动、有创见地参与实践,大学数学教育目的难以达到,教学改革则更难以奏实效。
《复变函数与积分变换》是高等数学的后续课程,是机电类专业必修的基础课, 它在电路理论、通信工程、信息处理、自动控制、信号与系统等多门专业课中有着广泛的应用。它对培养对象未来的业务素质、专业能力和创新精神是非常重要的。通过本课程的学习,可以使学生掌握复变函数与积分变换中的基本理论和方法,为学习相关专业课程及实际应用提供必要的数学基础,扩大学生继高等数学之后相关课程的知识面,也是培养学生推理、归纳、演绎和创新能力、培养学生的数学素质及应用复变函数与积分变换的知识解决本专业实际问题的能力的一门很好的课程,因此学好这门课程对学生来说是非常重要的。近年来,为了解决教学学时紧张的矛盾,许多教师、学者纷纷提出在课程教学中“轻理论重应用”的指导思想,以期达到学以致用的目的。但是,复变函数与积分变换的实际授课时数相对比较少,有限的时间内如何使学生既掌握理论与方法,又了解知识的应用?面对这个难题,对课堂教学的改革,已经是每个任课教师不得不着手解决的问题。下面浅谈在教学中的一点经验和做法。
一、教材建设
教学是由教师的教和学生的学构成的共同活动,教学活动是围绕着教学内容的传授而展开的,因此,教学活动的中介就是教材。好的教材是首选课堂教学内容改革的成败,教材无疑是至关重要的。本着增加现代,增加实际应用和数学模型的建立与求解等现代技术要求,对教材的内容和体系进行改革。由于教材的针对性较强,既要完成教学大纲规定的教学要求,也要让学生掌握各章节知识点在实际问题中的应用,还要降低难度系数,让学生易于接受。理论部分有选择性的尽其所能的简单明了,将繁琐的计算可引用Matlab命令帮助实现。在选材上要体现寓教于乐,定义、性质及公式等寓于实例中,从中抽象出定义、性质及公式等。选材要本着趣味性强,同时也要涵盖某一类知识点,还要实现对学生的素质教育,所选例题及练习与测试均具有典型性和代表性,注重了例题分析和解题技巧,使其与教材能相辅相成,从而使学生能在较短的时间内掌握本课程的精髓,提高学生分析和解决问题的能力,对于学生以后的进一步深造打下较为扎实的基础。为了配合课程的教学,编写了科学出版社出版的《复变函数与积分变换》的教材。
二、明确教学目标
设定科学明确的教学目标教学活动是一种特殊的认知活动,是教师和学生之间的一种双边活动。教学目标的拟定是教学活动中的一个重要环节,是教师课堂教学设计的重要内容,也是规定或规范课堂师生行为的指南,是指引课堂教学有效进行的最好指路标,只要目标准确把握,上课时才不会偏离重点。
三、队伍建设
本课程教师队伍建设的目的是建成一支专业素质精、实践能力强的教学队伍。采取的措施为以科研促进教师带动队伍的专业素质提高;通过教学研讨形成针对性较强的教学内容和高效的教学方法,达到统一目标和保证教学质量;用案例交流和指导学生素质教育实践来提高教师的实践能力和实践指导能力。
四、课堂教学模式改革
(一)在问题设置中,要抓住要点,要明确着重发展学生哪个方面的能力,并注意循序渐进,要能抓住激发学生思维的兴奋点,引起讨论而设置问题。应如本文几个案例那样帮助学生进入讨论,讨论后得到提高:
(二)要充分照顾学生的个体差异。一般方法是教师要特别关注那些学习、行为较弱的学生或“慢热”的学生,对他们的帮助要切实有效。不仅要多启发、共同探究,有意识地请他们多发言,还要在课堂上或课堂外多进行思想、感情交流,帮助他们克服心理障碍,成为学习的成功者。
(三)合理、有效地使用电化、电教、信息技术进行课堂教学,级激发学生的学习热情,促进学生感性认知与理性思维的结合,提升学生的探究学习能力。跨学科知识的渗透、交融,能扩大学生的视野,开发学生的思维,这是在实行“讨论式”教学模式时,教师不可或忘的原则。
(四)“讨论式”教学模式的作业,既可以是课堂讨论的延续,也可以是讨论结果的检验。教师在布置作业时既要考虑到这两个方面的比例,又要考虑到不加重学生们学业负担。任何课堂教学模式的构建都是为提高教育教学质量、培养合格人才服务的。为实现全面推进素质教育而立足于新课程理念上的“讨论式”课堂教学模式,确立了学生在课堂活动中的主,为养成学生自主、探究、合作的学习习惯,提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力,培养他们的创新精神,提供了很好的平台。教师是“讨论式”课堂教学模式的组织者、引导者,教师的心有多大,舞台就有多大。
从知识的掌握到应用不是一件简单、自然而然就能实现的事情,学生应用能力的培养是一项艰巨的任务。我国大学本科教育质量不比发达国家差,甚至还要高一些,但到研究生阶段就差很多,究其原因,就是我国大学生基础理论知识虽然学得扎实,应考能力也较强,但动手能力、分析问题和解决问题的能力比较差。虽然近年来,国家对大学生用能力的培养比较重视,但以理论教学为中心的教学管理体制还没有从根本上得到转变。尤其是对实践性教学环节重视不够,加上投入不足,一些高校的“课程教学改革”也只能停留在口头上,数学课的教学改革更是如此。这就要求我们在现有条件下的每个教学环节中,注意加强培养,使学生自觉地应用数学知识、方法去观察、分析和解决实际中的问题。
五、题库建设
(一)理论试题
经过课题组成员广泛收集和整理可用于练习及考试的复变函数与积分变换试题,先后收集了1000多道题目,按章、节、题型及分数、时间、难度等分别编成套题。题型有选择、填空、计算、证明、实例应用等题型,覆盖工科复变函数与积分变换课程的所有章节。
(二)应用试题
常言道:“课内出人才,课外出天才.”因此,应注重课堂教育、课外教育与社会教育的有机结合,要以创新设计为重要载体,活跃学生的第二课堂,提高学生的自学能力、动手能力和创新能力。让学生真正体会到复变函数与积分变换知识在现实中的应用。只有认真学习和灵活应用,才能具备解决现实生活问题的能力,从而激起学生热爱数学、乐于实践的强烈愿望,也达到了复变函数与积分变换的应用和数学建模方法的训练。将学生素质和实践能力培养融于公共基础课教学之中。收集整理了教学案例,并指导学生自主完成部分实践题的解答。
六、教学课件的制作
多媒体技术的发展引起了教育领域的又一场革命。开发多媒体教学课件是促进现代教育技术应用和普及,实现教育信息化、现代化的关键。现代化的教学手段——计算机多媒体技术能够制造环境,形象、直观、生动、富有吸引力,并能节省课堂教学时间,激发学生学习数学的积极性,从而能更好地调动学生去思维,帮助学生去理解,起到事半功倍的效果。鉴于上述原因,制作了《复变函数与积分变换》多媒体教学课件,这既节省了大量用黑板加粉笔进行繁杂推演计算的时间(这是枯燥而乏味的),又使学生了解了数学软件中统计功能的使用,为他们今后使用这些软件解决实际问题提供了便利。
七、考查课考核改革
在考查课的考核中一改以往一张试卷或平时成绩定结果。在原有考核方法的基础上增加了撰写实践征文,在期末成绩中占有一定的比重。通过撰写实践征文,学生们有一个共同的体会:加深了对所学知识的理解。实践表明:数学知识和应用能力共同提高的最佳结合点是启迪创新意识、锻炼创新能力,这是培养高层次创新人才的一条重要途径。
该教改实践创新了教学模式,不仅为学习复变函数与积分变换课程的学生提供了一套完备的学习工具,而且为广大教师提供了一套完整的复变函数与积分变换课程教学资源。此外,实践表明,在教学中注意数学模型的建立与求解,能培养学生应用数学的能力和创新意识,而应用多媒体等辅助教学手段可以激发学生学习数学的兴趣。今后我们将进一步建设和完善网络教学资源,使之成为一套完整的教学资源。
参考文献:
[1] 汤胜道. 大学数学课程教法探讨[D]. 安徽:安徽工业大学学报(社会科学版),2006.11.
[2] 艾亮.浅谈高职院校精品课程网站的建设. 现代企业教育 2012(21).
[3] 唐兢. 计算机专业大学数学教育的思考与实践[D].北京:工科数学,2000.4.
复变函数中积分的计算 篇7
纵观复变函数的发展史, 我们不难看出复变函数在解决实际问题中的重要性.解析函数作为复变函数的主要研究对象, 而解析函数的性质许多是由复变函数的积分来获取的, 故而, 掌握并且灵活运用复变函数积分的计算尤为重要, 复积分中的柯西积分定理是理论的关键所在, 而由其产生的柯西公式、幅角原理、留数定理等都与积分的计算息息相关.其中, 积分在孤立奇点的计算要运用到洛朗展式.级数与积分的结合在计算的运用将复变函数这一理论推向了又一高峰.文章重点介绍留数与幅角原理、级数法、柯西公式法进行复积分计算的方法, 使得计算更为方便.
一、柯西公式
柯西定理是复变函数论的重要基础之一, 也是复变函数论的核心定理.柯西公式以及留数定理也是由其发展得出的结论.
柯西定理:设f (z) 是单连通区域D内的解析函数.
(1) 设C是D内任一条简单闭合曲线, 那么∫Cf (z) dz=0, 在这里沿C的积分是按反时针方向取.
(2) 设C是在D内连接m和n两点的任一条简单曲线, 那么沿C从m到n的积分的值由m和n决定, 不依赖于曲线C, 这个积分也可记作∫mnf (x) dx.
柯西定理讨论一个区域D上的复函数在什么条件下在D上积分与路径无关, 最简单的柯西积分定理的形式为:当D是单连通区域, 而f (z) 是D上的解析函数时, 以下3个互相等价的结论成立: (1) f (z) 在D内沿任意可求长曲线积分与路径无关. (2) f (z) 在D内沿任意可求长闭曲线积分为零. (3) f (z) 在D上有原函数.如果在连续函数类中讨论, 则以上定理还是可逆的.
二、级数法
将函数展开成泰勒级数或者洛朗级数可以解决复变函数中的复积分问题.
泰勒级数:设f (z) 在区域D内解析a∈D, 若K:|z-a|
(1) 称为f (z) 的洛朗展式.
注:同一函数在不同的圆环内的洛朗展式不同.
所以, 原式=2πi+0=2πi.
三、留数与幅角原理
留数定理:D是复平面上的游街区域, D的边界是一条或者有限条闭合曲线C.函数f (z) 在D内除去有孤立奇点外在每一点都解析, 且它在C上每一点也解析, 则我们有
这里沿C的积分是按关于区域D的正向取的.
留数理论及其应用是复变函数论在发展过程中的重要推动力之一.在复分析中, 留数定理是用来计算解析函数沿着闭曲线的路径积分的一个有力的工具, 也可以用来计算实函数的积分.通过留数定理的运用, 我们能够更快捷地计算积分.在应用留数定理时, 我们需要认真分析所积函数f (z) 的孤立奇点, 根据孤立奇点的类型来解决不同问题.在三种类型的孤立奇点中, 在级点的留数的方法又是多种多样, 由级点的阶数不同, 我们能运用不同的方法来计算留数.
解依题意得:
而Res (f, 2) =-1,
故而, 由留数定理我们可知:原式=-2πi.
四、总结
曲线函数及其微积分 篇8
函数是近代数学的奠基石, 是微积分理论的最基本的载体. 我们通常讨论的函数都是在直角坐标系下, 但也需要研究弯曲空间中的数学. 本文所讨论的曲线函数及其微积分可以为研究弯曲空间的相关问题做好铺垫.
2. 曲线函数
定义1设xOy面上一曲线L, 在L上任取一点M作为基点, 并规定L的正方向, 则曲线L的参数方程为其中s为弧长参数 ( 或称自然参数) . 设函数z = f ( x, y) 为定义在L上的二元函数, 则z = f ( φ ( s) , ψ ( s) ) =g ( s) 称为定义在曲线L上的曲线函数. 其中s称为自变量, z称为因变量.
由定义1可知, 当曲线L为与x轴平行或重合的直线时, 上述函数即为一元函数z = g ( x) .
曲线函数的极限和连续与一元函数y = f ( x) 类似.
3. 曲线函数的导数
定义2设z = g ( s) 为定义在曲线L上的曲线函数, s0为L上任意一点, 给s一个增量Δs, 则沿着曲线L, z相应地也有一个增量Δz. 若存在, 则称曲线函数z = g ( s) 在s0处沿曲线L可导, 并称该极限值为曲线函数z = g ( s) 在s0处的导数. 记作
曲线函数的导数的定义式也可表示成
由定义2可知, 当曲线L为x轴或与x轴平行的直线时, 上述定义即为一元函数z = g ( x) 的导数g' ( x) .
曲线函数的导数的性质和微分与一元函数类似.
此外, 我们可导出n维空间曲线相应的曲线函数和曲线函数的导数.
4. 曲线函数的微分中值定理
由极值的定义和曲线函数的导数的性质可得出:
定理1设曲线函数z = g ( s) 在s0的某邻域内有定义, 且在s0处的导数存在. 若点s0为z = g ( s) 的极值点, 则必有g's ( s0) = 0.
由一元函数的罗尔中值定理的证明过程和定理1可得出:
定理2若曲线函数z = g ( s) 满足以下条件:
( ⅰ) 曲线函数z = g ( s) 在闭区间[a, b]上连续;
( ⅱ) 曲线函数z = g ( s) 在开区间 ( a, b) 内的每一点的导数存在;
( ⅲ) g ( a) = g ( b) ,
则至少存在一点ξ∈ ( a, b) , 使得g's ( ξ) = 0.
此外, 我们还可由定理2得出与曲线函数相对应的拉格朗日中值定理和柯西中值定理:
定理3若曲线函数z = g ( s) 满足以下条件:
( ⅰ) 曲线函数z = g ( s) 在闭区间[a, b]上连续;
( ⅱ) 曲线函数z = g ( s) 在开区间 ( a, b) 内的每一点的导数存在,
则至少存在一点ξ∈ ( a, b) , 使得
定理4若曲线函数f ( s) 和g ( s) 满足以下条件:
( ⅰ) 曲线函数f ( s) 和g ( s) 在闭区间[a, b]上均连续;
( ⅱ) 曲线函数f ( s) 和g ( s) 在开区间 ( a, b) 内的每一点的导数均存在;
( ⅲ) 对于任意的s∈ ( a, b) , g's ( s) ≠0;
( ⅳ) g ( a) ≠ g ( b) ,
则至少存在一点ξ∈ ( a, b) , 使得
5. 曲线函数的积分
( 1) 广义第一型曲线积分
我们先来定义曲线的方向.
定义3若曲线沿s递增的方向, 则称为正向曲线.反之, 称为负向曲线.
按定积分的定义, 记号只有当a < b时才有意义, 但通过以下规定:
( 2) 广义第一型曲线积分的牛顿 ( Newton) —莱布尼茨 ( Leibniz) 公式
有一元函数的牛顿 ( Newton) —莱布尼茨 ( Leibniz) 公式和曲线函数的定义可得出:
定理5若曲线函数z = g ( s) 在闭区间[a, b]上连续, 则1
其中G ( s) 为g ( s) 的一个原函数, G ( s) 对应的二元函数为F ( x, y) , 且称F ( x, y) 为f ( x, y) 在曲线上的一个原函数.
1式称为广义第一型曲线积分的牛顿 ( Newton) —莱布尼茨 ( Leibniz) 公式.
参考文献
[1]华东师范大学数学系.数学分析:第三版上册[M].北京:高等教育出版社, 2001.
[2]华东师范大学数学系.数学分析:第三版下册[M].北京:高等教育出版社, 2001.
[3]同济大学数学系.高等数学:第六版上册[M].北京:高等教育出版社, 2007.
[4]同济大学数学系.高等数学:第六版下册[M].北京:高等教育出版社, 2007.
[5]梅向明, 黄敬之.微分几何[M].北京:高等教育出版社, 1988.
对变限积分函数的探讨 篇9
一﹑定义与性质
定义设f (x) 在[a, b]上可积, 则变上限积分
是定义于[a, b]上的关于x的连续函
基本性质性质1.F (x) 在区间[a, b]上具有连续性, 且F (x) 在[a, b]上是有界的.
性质2.若f (x) >0 (∀x∈[a, b]) , 则F (x) 在[a, b]上是单调递增函数;
若f (x) <0 (∀x∈[a, b]) , 则F (x) 在[a, b]上是单调递减函数.
性质3.设f (x) 是 (-∞, +∞) 上连续函数, 如果f (x) 是偶函数, 则F (x) 为奇函数;
如果f (x) 是奇函数, 则F (x) 是偶函数.
性质4.F (x) 是f (x) 在[a, b]上的原函数, F (x) 是可导的, F′ (x) =f (x) .
二﹑变限积分函数的导数
例1:计算下列积分变限函数的导数
注若被积函数中含x, 不能直接用公式求导, 应先作变量代换使被积函数不含x, 再求导.
三﹑变限积分函数的应用
1、求连续函数的原函数
例2设 , 求f (x) 在[0, 2]内的表达式.⎩x2, 1
解因为f (x) 在[0, 2]上是连续的, 所以f (x) 的原函数存在.即
2、利用积分变限函数构造辅助函数
例3设f (x) 在[a, b]上连续且f (x) >0, 证明∃ξ∈[a, b]使
证明令 则F (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导.
由F (x) 的单调递增性, 设m=F (a) , M=F (b) 则
3、求幂函数的和函数
摘要:变限积分函数的计算在高等数学的学习中是个难点, 本文从变限积分函数的性质, 导数及应用这三个方面对该函数进行了讨论, 从而对该函数有了更深的理解。
关键词:变限积分函数,导数,幂函数
参考文献
[1]同济大学应用数学系:《高等数学》 (上册) , 高等教育出版社, 2006年。[1]同济大学应用数学系:《高等数学》 (上册) , 高等教育出版社, 2006年。
“积不出”函数的判定与积分 篇10
为了解决以上三方面的问题, 从替换定理[1]出发, 本文先用Liouville第三定理[2]证明指数函数类的“积不出”函数, 用欧拉公式和Liouville第四定理[2]证明三角函数类的“积不出”函数, 用换元法和分部积分法给出更多的“积不出”函数, 最后再给出寻找“积不出”函数的原函数的一些方法。
一、指数函数类“积不出”函数
证明1:, b≠0不是初等函数。
其中P (x) 和Q (x) 是互质多项式, 于是有, x P (x) Q' (x) =[x P (x) +bx P' (x) -Q (x) ]Q (x) , 若Q (x) 不是常数, 此式表明Q (x) 的r重非“0”零点同时也都是Q' (x) 的r重非“0”零点, 矛盾, 若“0”是Q (x) 的r重零点, 则上述等式左端“0”是r重零点, 右端“0”是r+1重的, 矛盾。若Q (x) 是常数, 有Q=[x P (x) +bx P' (x) ], 要求x P (x) '与bx P (x) 有相同次数, 由导数理论知矛盾。故不是初等函数。
由Liouville第四定理及证明2得
二、三角函数类“积不出”函数
由Liouville第四定理的推论和证明1可知上述积分是非初等函数。
由结论1及Liouville第四定理的推论知
三、关于“积不出”函数的积分
1.“积不出”函数的原函数有些可以用幂级数来表示。
2.“积不出”函数的广义积分有些可以借助二重积分来表示。如工程上常用的
摘要:一般高等数学书对于“积不出”函数的处理都是只给出三、四个简单函数, 没有证明。学生不知如何判别所遇到的积分是否是“积不出”函数以及如何处理这类函数的积分, 常常会感到困惑。本文从Liouville第三、四定理出发证明了三类“积不出”函数。不仅给出了较多的“积不出”函数, 也给出了判别“积不出”函数的常见方法。最后又介绍了处理“积不出”函数积分的两种方法。
关键词:不定积分,“积不出”函数,初等函数,Liouville定理
参考文献
[1]张从军.数学分析概要二十讲[M].合肥:安徽大学出版社, 2000:93-94.
[2]J.Liouville, Menreire sar lintegrtino dune classe de funcations tran scrndandres, J.Reine Angew.Math.1835, vol.12:93-118.
简谈不定积分的知识串联法 篇11
关键词: 不定积分 知识 串联法
一、定义
针对不同的被积函数,运用知识把不定积分的几种方法联想在一起,很快做出解决问题的方法,被称为不定积分的知识串联法.
二、在求不定积分的过程中,学生存在的困惑
由于求不定积分的方法较多,学完不定积分这章后,学生往往感觉很是模糊,遇到求不定积分的问题不能很快判断出用哪种方法解决.
三、如何解决学生在求不定积分过程中的困惑(不定积分的知识串联法的具体运用)
针对学生在求不定积分过程中的困惑,以下通过不同但看起来有些相近的例子作对比,得出具体的解决问题的方法.
1.直接积分法(直接运用积分公式的方法)
法一(凑微分法):
以上四种方法,允许结果相差一个常数.显然,凑微分法要比换元积分法简单,况且换元积分法的最后一步还要还原变量.
3.分部积分法
分部积分公式:
4.第二换元法中的无理代换法
5.第二换元法中的三角代换法
从以上看出:凑微分法,突出的是一个“凑”字,这就要求学生掌握凑的技巧;分部积分法,突出的是“分部”,也就是关键是分清u、v两部分;第二换元法中的无理代换法与三角代换法的区分:无理代换法是令整个根式为一个新的变量,从而将根式去掉,而三角代换法是利用三角函数的恒等变形,将根号去掉,一般二次根式中的被开方式子中的未知数的次数是一次的,就用无理代换法,当被开方式子中的未知数的次数是二次的,一般就用三角代换法,但也不是绝对的.
四、结语
求不定积分的方法,除直接代入公式以外,凑微分法及分部积分法是较简单的方法,换元积分法较繁杂,因此做题时尽量避免用换元法,除非非用不可.所以,针对不同的被积函数,先看能否直接积分,不能再看是否可用凑微分法,若不能,再考虑分部积分法,最后考虑第二换元法.当然,这种求不定积分的知识串联法,也需建立在学生熟记不定积分公式及凑的技巧的基础上.
参考文献:
[1]高职考专规划新教材编审委员会编.高等数学.吉林出版社,2010.6.
[2]张国楚.大学文科数学.高教出版社,2005.
[3]姚孟臣.大学文科高等数学.高教出版社,2010.5.
指数函数积分法 篇12
一、柯西积分定理
柯西积分定理:设C是一条周线, D为C的内部, 函数f (z) 在D内解析, 在D-=D+C上连续, 则∮cf (z) dz=0.
例1:
解:因为符合柯西积分定理的条件, 则有
令
所以
从例1我们可以看出, 如果按照常规方法, 将所要求解的, 用万能公式代换的话, 将变得相当复杂, 而柯西积分定理却避免了这种复杂性, 使得解题思路清晰, 解题过程简洁明了, 很大程度上提高了解题效率, 不失为求解这种实函数的好办法。
二、柯西积分公式
柯西积分公式:设区域D的边界是周线 (或复周线) C, 函数f (z) 在D内解析
例2:求积分从而证明:
证明:因为
即原式得证。
从例2我们可以看到, 如果单纯地去看所要求证的结果, 根本无法入手, 然而柯西积分定理却能完全不去顾及所要求证的结果, 轻而易举地解决这道实函数题目, 事半功倍。
摘要:通过柯西积分定理及柯西积分公式来求解或证明实函数积分, 可以简化实函数积分计算的问题。
关键词:柯西积分定理,柯西积分公式,实函数,积分
参考文献
[1]钟玉泉.复变函数论[M].北京:高等教育出版社, 2004.
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