生产函数法（共6篇）
生产函数法 篇1
函数思想和方法重在揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量的动态研究,从变量的运动变化、联系和发展角度进行思维.
在中学数学中,函数思想方法,主要体现在根据问题的需要,构造函数模型,从而将所给问题转化为函数问题,利用函数的性质( 如单调性、奇偶性、周期性、图像、最值等) 使问题得以解决. 下面就利用函数思想方法解决不等式问题举出两例:
例1设不等式mx2- 2x - m + 1 < 0对于满足m ≤2的一切m的值都成立,求x的取值范围.
从表面看,这是一个含参数m( - 2≤m ≤2) 的关于的一元二次不等式问题,实质上,本题通过变形化为关于m的一元一次不等式,且已知它的解集为[- 2,2],求参数的取值范围. 用分类讨论思想解法如下:
从以上解法看比较繁琐,利用函数思想可非常容易得出结论:
两种解法对照,显而易见,构造函数法要简明得多.
构造函数法,揭示了两个变量之间的本质联系. 即函数f( x) = ( x2- 1) m - 2x + 1当自变量m在[- 2,2]上取值时对应的函数值f( m) 都小于零( 函数图像在x轴下方) . 依据一次函数的单调性,只要m取两端点值时函数值f( 2) 和f( - 2) 小于零,即满足题意,所以解不等式组
即得出结论.
例2不等式x3-1/2x2-2x + c < c2对任意x∈[- 1,2 ]恒成立,求实数c的取值范围 .
这是一个求不等式中参系数问题,我们可通过构造函数,利用函数性质,将不等式转化得出结论.
解原不等式即为
当x变化时,y',y的变化情况如下表:
从表中可知f( x) 在[- 1,2]上最大值为2.
两个例题,从表面看是两个不同题型,但均可采用函数思想解答. 因为两个问题都反映两个变量间关系. 例1是已知不等式中参系数m的取值范围,求变量x的取值范围,将问题转化为已知函数定义域与函数值域,求待定系数x,不等式化归为关于m的一次函数,利用一次函数单调性得解; 例2是给定不等式中变量x的取值范围,求参系数c的取值范围,化归为函数后,求出函数在定义域内的最大值得关于c的不等式,使问题得到解决.
函数思想方法的应用十分广泛,在此只列举了两个含参数的条件不等式. 利用函数思想将不等式化归为函数,然后利用函数的单调性,最值来处理,使问题解得简洁、明快、 易懂. 函数的伟大就在于此.
比较函数奇偶性的代数法和图像法 篇2
【2012年高考广东文4】下列函数为偶函数的是（ ）
A. y=sinx B. y=x3 C. y=ex D. y=In■
【分析】研究函数的奇偶性主要在两个方面：
1. 求出函数的定义域，通过数轴去看定义域是否关于原点对称.2. 验证函数表达式是否满足f（-x）=-f（x）或f（-x）=f（x），满足前一个等式是奇函数，后一个等式是偶函数，两个等式都不满足的是非奇非偶函数.
对于本题的四个选项的函数的定义域都是R，关于原点对称．然后通过验证函数表达式易知选项A 、B为奇函数，选项C为非奇非偶函数，对于D有f（-x）=In■=In■=f（x），为偶函数.此法称为代数法.
另解：对于函数的奇偶性也可通过观察函数的图像进行快速判断：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称.选项A，B，C都是常见函数，容易画出它们的图像，易看出A，B的函数图像关于原点对称，是奇函数，C的函数图像既不关于原点对称也不关于y轴对称，是非奇非偶函数，因此都被排除，D是正确答案.此法称为图像法.
【答案】D.
小结：对于函数奇偶性的判断问题，如果能够画出图像的，优先考虑图像法；图像法解决不了的再考虑代数法.
变式训练1：【2012年高考陕西文2】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A. y=x+1 B. y=-x2 C. y=■ D. y=x｜x｜
【解析】图像法：容易画出选项A，B，C的函数图像，通过观察图像可知A为非奇非偶函数；B为偶函数；C为奇函数；但在（-∞，0），（0，+∞）上是减函数；而D则先转化为分段函数 y=x2，x≥0-x2，x＜0，再画出它的图像，通过观察可得是奇函数，而且是增函数.因此，选D.
小结：解本题也可以用代数法来判断四个选项的奇偶性，但是在判断单调性时还是用到图像法比较容易解决.因此一开始就采用图像法可以达到一举两得的效果.
变式训练2：【2012年高考重庆文12】函数f（x）=
（x+a）（x-4）为偶函数，则实数a= .
【解析】本题涉及的函数为二次函数，同学们对它的图像较为熟悉，因此可以用图像法.
图像法：f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，由二次函数知识可知图像为抛物线，对称轴为x=-■，要使二次函数为偶函数，则对称轴应为y轴，即x=-■=0,这时得a-4=0，得到a=4.
代数法：因为函数f（x）=（x+a）（x-4）为偶函数，所以满足f（-x）=f（x），由f（x）=（x+a）（x-4）=x2+（a-4）x-4a，f（-x）=x2-（a-4）x-4a，得x2-（a-4）x-4a=x2+（a-4）x-4a，即a-4=0，得到a=4.
小结：对比可知图像法比代数法运算量少，节省时间，减少出错机会.
在高考中，考查函数的奇偶性还会与单调性或周期等知识综合出现，还有一种情况是函数的局部奇偶性，这时应选用图像法还是代数法？请看以下高考题：
【2012年高考浙江文16】设函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1，则
f（■）=______.
【解析】本题是对函数的奇偶性和周期性等知识的综合考查，有一定的难度，用代数法：f（■）=f（■-2）=
f（-■）=f（■）=■+1=■.
另：本题也可用图像法，第一步：先画出当x∈[0，1]时，f（x）=x＋1的图像，即图1；第二步：由条件f（x）是偶函数可得它的图像关于y轴对称，因此由图1画出关于y轴对称的图像，即图2；第三步：由条件f（x）是定义在R上的周期为2，可由图2得到图3，这时观察图像可求得当x∈[1，2]时f（x）的函数表达式，f（x）=-x＋3 ，最后得到f（■）=-■+3=■.
小结：对比可知在本题中代数法和图像法各有特点.
变式训练3：【2012年高考重庆理7】已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0，1]为上的增函数”是“f（x）为[3，4]上的减函数”的（ ）
A． 既不充分也不必要的条件
B． 充分而不必要的条件
C． 必要而不充分的条件
D． 充要条件
【解析】本题属于抽象函数问题，通过图像法去推理可以起到化抽象为具体的作用，过程如下：先考虑充分性，若f（x）为[0，1]上的增函数，草图可如图4，由条件f（x）是定义在R上的偶函数可知f（x）的图像关于y轴对称，如图5,所以f（x）在[-1，0]上为减函数；再由条件
f（x）以2为周期可知，f（x）在[-1，0]，[-1+2，0+2]= [1，1]，[1+2，2+2] =[3，4]这三个区间上的图像是相同的，如图6，因此具有相同的单调性，都为减函数.因此充分性成立.必要性的原理同上，具体过程留给同学们完成.
而本题若用代数法的话则要繁琐很多，不建议使用.
【答案】D.
【2012年高考上海文9】已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（-1）= .
【解析】本题也属于抽象函数问题，由于没有涉及周期，因此较难用图像来表达函数的特点.而从代数法的角度考虑，g（x）为非奇非偶函数，但是f（x）是g（x）表达式的一部分，是奇函数，也就是说g（x）具有局部奇函数的性质，利用f（-x）=-f（x）便可解决问题.具体过程如下：由g（1）=f（1）+2=1，得f（1）=-1，所以g（-x）=f（-1）+2=-f（1）+2=3.
【答案】3.
变式训练4：【2012年高考上海理9】已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（-1）= .
【解析】本题与上题一样，难用图像法去解决.从代数法去考虑g（-1）=f（-1）+2，设h（x）=f（x）+x2，因为h（x）为奇函数，所以有h（-x） =-h（x），即f（-x）+（-x）2=-f（x）-x2，整理得f（-x）=-f（x）-2x2，因此有f（-1）=-f（1）-2=-1-2=-3，最后得g（-1）=f（-1）+2=-3+2=-1.
【答案】-1.
总结：
1． 对于函数奇偶性的问题，若是常见函数的话，一般情况下用图像法会比较直观快速地解决.
2． 对于函数奇偶性与周期性的综合问题，一般来讲图像法与代数法各有特点或图像法优于代数法.
3． 对于局部奇偶性的问题，往往是用不了图像法的，只能用代数法.
希望同学们在平时解题要善于总结这两种方法的优劣，最后做到取长补短，又快又准地解决问题.
（作者单位：佛山市顺德区乐从中学）
函数列表法的应用 篇3
一、列表法的概念
1. 列表法的定义
列表法就是通过列出表格来表示两个变量的函数关系的方法.
2. 列表法的优缺点
列表法优点是对于表中自变量的每一个值, 可以不通过计算, 直接把函数值找到, 查询时很方便, 这种表格常常应用到实际生产和生活中.缺点是表中不一定能把所有的自变量与函数对应值全部列出, 而且从表中看不出变量间的对应规律.
例1某种笔记本的单价是5元, 买x (x∈{1, 2, 3, 4, 5}) 个笔记本需要y元, 试用函数的三种表示法表示函数y=f (x) .
解这个函数的定义域是数集{1, 2, 3, 4, 5}.
(1) 用解析法可以将函数y=f (x) 表示为y=5x, x∈{1, 2, 3, 4, 5}.
(2) 用列表法可以将函数y=f (x) 表示为 (如表1所示) :
(3) 图像法 (如图1所示) .
通过以上三种方法的比较可以看到三种表示方法及它们各自的特点, 而本题利用列表法可以更直接明了的知道所需要的钱.也就是说当自变量的取值较简单又少时我们可以考虑利用列表法来表示函数, 达到直观、形象的目的.
二、列表法的应用
(一) 在作图中的应用
例2画出函数的图像.
解先利用五点法列表 (如表2所示) .
再描点画图, 然后由周期性, 通过向左、向右平移 (每次π个单位) 得整个图像 (如图2所示) .
评注因为它是一个周期函数, 所以可通过列表法将一个周期中的五个关键点列出, 达到作出图像的目的.同时利用多媒体技术提供直观、逼真的呈现周期变换的图像, 引发学生的好奇心, 激发学生学习和探索数学的动机, 渲染了轻松活跃的课堂气氛, 寓学于乐.使学生在轻松愉悦的氛围中获取新知识.
(二) 在实际生活中的应用
例3假设你有一笔资金用于投资, 现有三种投资方案供你选择, 这三种方案的回报如下:
方案一:每天回报40元.
方案二:第一天回报10元, 以后每天比前天多回报10元.
方案三:第一天回报0.4元, 以后每天的回报比前一天翻一番.
请问:你会选择哪种投资方案?
分析我们可以先建立三种投资方案所对应的函数模型, 再通过比较它们的增长情况, 为选择投资方案提供依据.
解设第x天所得回报是y元.
第一方案的函数模型:y=40 (x∈N*) .
第二方案的函数模型:y=10x (x∈N*) .
第三方案的函数模型:y=0.4×0.2x-1 (x∈N*) .
列表比较 (如表3所示) :
根据以上的分析, 你会发现:
·投资5天以下选方案一.
·投资5～8天以下选方案二.
·投资8天以上选方案三.
评注正所谓:事实胜于雄辩.本题中不同的函数增长模型, 增长变化存在很大差异, 无从下手.而通过多媒体展示大量的数据、图形, 让学生能够充分地观察物体, 以培养学生的决策能力和协作精神, 并直观地体现它们的增长趋势, 从而为我们的投资提供依据.
三、与新课改的联系
可通过多媒体对以上三道例题进行分析, 直观地体现了列表法在解决各类函数问题的实际运用, 让学生体验了学习数学的过程, 感受学习数学带来的喜悦.
利用构造函数法求解不等式问题 篇4
[关键词] 构造函数法 不等式
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0056
构造函数法是解决不等式问题的有效方法，如何构造函数显得尤为重要.下面举例谈谈构造函数法在解不等式问题中的应用.
一、比较函数值大小
这类题型主要采用从结论入手来构造函数的方法，即分析结论的结构特点，建立可导的函数f（x），再利用f（x）的导函数，判断函数的单调性，从而比较出函数值的大小.
【例1】 若定义在 R 上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）>f（x），则f（2011）与f（2009）e2的大小关系为（ ）.
A.f（2011）>f（2009）e2
B.f（2011）=f（2009）e2
C.f（2011） D.不能确定 分析： 构造函数，令F（x）=e-xf（x），则F′（x）=e-xf′（x）-e-xf（x）= e-x（f′（x）-f（x））>0，∴F（x） 单调递增， ∴F（2011）>F（2009），即e-2011f（2011）>e-2009f（2009） ， ∴f（2011）>f（2009）e2，故答案为A. 二、求函数不等式的解集 对于形如f（x）>g（x）（或f（x） 化为f（x）-g（x）>0（或<0），再构造新函数h（x）=f（x） -g（x），利用h′（x）来求解. 【例2】 定义在 R 上的函数f（x）满足：f′（x）>1- f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，求不等式exf（x）>ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集. 分析： 由题意可知，不等式为exf（x）-ex-5>0，构造函数，设g（x）=exf（x）-ex-5， ∴g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex= ex[f（x）+f′（x）-1]>0， ∴函数g（x）在定义域上单调递增. 又∵g（0）=0， ∴g（x）>0的解集为{x|x>0}. 三、求参数的取值范围 求函数不等式中参数的取值范围是一类重点、热点问题.虽然函数不等式问题有多种解法途径，但通过分离参数，可把问题转化为a>f（x）（或a 【例3】 已知f（x）=lnx-x+a+1，若存在x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的取值范围. 分析： 由题意知，当x>0时， f（x）=lnx-x+a+1≥0， ∴a≥-lnx+x-1. 构造函数，令g（x）=-lnx+x-1， 则g′（x）=- 1 x +1= x-1 x . 令g′（x）=0，解得：x=1. ∵当0 当x≥1时，g′（x）>0，∴g（x）在[1，+∞）上为增函数， ∴g（x）min=g（1）=0， ∴a≥g（1）=0. ∴a的取值范围为[0，+∞）. 四、证明不等式 对于不等式的证明，大部分学生都望而生畏，找不到解决问题的突破口.很多不等式都有函数的背景，如果能挖掘已知函数与不等式的关系，根据所要证明的不等式，恰当地构造函数，利用函数的单调性、最值、有界性等，可以达到证明不等式的目的. 【例4】 当x≥1时，x-lnx-1≥0， 求证： 1 2 x2+ax-a≥xlnx+ 1 2 . 证明： 原不等式可化为 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ≥0（x≥1，a≥0）. 构造函数，令G（x）= 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ，则G′（x）=x+a-lnx-1且G（1）=0. 由题意可知，当x≥1时，x-lnx-1≥0， 则G′（x）=x+a-lnx-1≥x-lnx-1≥0， ∴G（x）在[1，+∞）上单调递增， ∴G（x）≥G（1）=0， ∴ 1 2 x2+ax-xlnx-a- 1 2 ≥0，故原不等式成立. 可以看出，对于不等式的问题，我们可以通过构造恰当的函数，使问题迎刃而解.其关键是如何构造函数；构造什么样的函数.这就要求我们结合函数的性质和特点，发展思维，反复总结、提炼构造规律.比如，对于左右两边结构相同（或者可化为左右两边结构相同）的不等式，构造函数f（x），使原不等式成为形如f（a）>f（b）的形式；对于形如f（x）>g（x）的不等式，构造函数F（x）=f（x）-g（x）；等等. 函数零点的性质原是大学的内容, 由于学生在求解函数零点时往往无从下手. 以原来的教学方法似乎不能达到新课程的要求, 希望能寻找更好的解决办法. 通过对大学函数的学习和研究, 结合新课程改革的教学思想发现: 高中解高次不等式会用到零点的性质, 那么令不等式等于0, 解出零点, 再用数轴画出示意图, 根据图像就可以得出答案[2]. 受此启发, 利用“函数零点”解出函数的零点个数, 在直角坐标系中标出零点, 根据最值, 画出示意图, 判断函数零点的情况, 简称“零点坐标法”, 似乎是一种新的求解函数零点的方法[3]. 不难看出函数零点体现了函数与方程的思想, 由于与高等数学相衔接, 利用函数零点解决函数问题已成为高考命题的一个热点. 例1 求证y = 2x+ lg ( x + 1) - 2 在 ( 0, 2) 有且仅有一个零点. 解: 令f ( x) = 2x+ lg ( x + 1) - 2, 因为f ( 0) = - 1 < 0, f ( 2) = 2 + lg3 > 0, 则f (0) f (2) <0, 只需证明该函数在 (0, 2) 内单调性即可 即f ( x1) < f ( x2) , 则f ( x) = 2x+ lg ( x + 1) - 2 在 ( 0, 2) 单增, 所以y = 2x+ lg ( x + 1) - 2 在 ( 0, 2) 有且仅有一个零点. 说明: 此例利用零点存在定理和单调性证明函数存在唯一零点, 如果函数存在多个零点, 此解法就比较繁琐. 例2 试求函数y = ( x2- 1) 2- | x2- 1 | + k的零点个数. 解法1: 函数零点等价于方程 ( x2- 1) 2- | x2- 1 | + k = 0 的根 令t = | x2- 1 | , k = - t2+ t. 利用复合函数函数单调性画出图3. 解法2:令f (x) = (x2-1) 2-|x2-1|, 则F (x) =f (x) +k. 则将空间分为6 个区间, 在各区间中代入一点可画出法一示意图, 则显然F ( x) = 0 可能有2 个零点, 5 个零点, 8 个零点. 说明: ( 1) 使用常规的换元法解此题思路繁琐, 计算量大, 易出错. ( 2) 用函数零点解题就简单方便, 只需求出函数的零点和最值, 然后画出示意图根据图像即可判断函数零点的个数, 此方法是否可以推广求多项式函数的零点个数? 例3 求f ( x) = ax2+ bx的零点. 说明: 此方法可以判断二次多项式的零点个数, 那么这样是否就可以求三次多项式的零点个数呢? 例4求y=ax3+bx2+cx+d (a≠0) 的零点? 解:f (x) =ax3+bx2+cx=x (ax2+bx+c=0. 代入f ( x) = ax3+ bx2+ cx求出其最大值和最小值为k1和k2. 画出示意图4. 当d > - k2或d < - k1时, y =ax3+ bx2+ cx + d只有一个零点; 当- k1< d < - k2时, y = ax3+bx2+ cx + d只有三个零点. 说明: 此例通过设f ( x) = 0, 将三次多项式降次为二次, 再利用二次多项式求零点的个数的方法来求一般三次多项式的零点个数.那么, 我们是否可以通过这样来求四次多项式、五次多项式……的零点个数呢? 由上面的例子可以总结用“零点坐标法”求一般多项式的零点时, 通过降次, 求零点, 最值, 循环使用上面的步骤, 则可求解y = anxn+ an - 1xn - 1+ … + a1x + a0的零点个数. 摘要：“零点坐标法”, 是一种新的求解函数零点的方法, 函数零点体现了函数与方程的思想, 本文对高中数学中利用“零点坐标法”求解函数零点的题目的示范, 浅析此法在题目中的应用. 关键词：零点坐标法,函数,求解 参考文献 [1]阳志长.分析探讨, 零点突破[J].中学数学, 2012 (12) :32-34. [2]赵霞.函数零点问题探讨[J].理科考试研究:高中版, 2015, 22 (5) :10-11. [关键词] 三角函数 一角一函数 解题模型 [中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674 6058（2016）17 0051 三角函数是高中数学中基本的初等函数之一，该部分内容历来是高考的重点、热点之一.因其难度相对较低，普遍属于基础题、中档题，利用公式化简三角函数解析式并求其性质，是大多数学生的争分点. 对于求三角函数的性质，如周期性、最值、值域、单调区间、对称性、奇偶性等，若函数解析式已经是一角一函数y=Asin（ωx+φ）+b形式，学生可以直接求解； 若函数解析式不是y=Asin（ωx+φ）+b形式，就必须先利用公式将函数解析式化简成该形式，才能求其性质.众所周知，三角函数是整个中学数学课程内容中公式最为繁多的知识.面对众多的三角函数公式，该怎样从中选择合适的公式来化简解析式呢？许多学生觉得无从下手.虽然也有很多学生能化简出来，但他们也有一种思绪凌乱，难以把握规律的感觉.本文针对一角一函数的化简，给学生总结、归纳一个规律方法和解题技巧. 对复杂的三角函数解析式的化简，我们所用的解题简模型为： 在化简过程中，每个步骤都有明显的标志，但每次做题并不是五个步骤都要用上，有时只用到其中的一个或几个.具体的做法如下. 第一步，有轴线角（或相关的角）用诱导公式 判断表达式有没有轴线角或者与轴线角有关的角，如 π 2 +α， 3π 2 ±α ，kπ±α，2kπ±α，（k∈ Z ），若有，就可以马上用诱导公式；若没有，可以进行第二步. 第二步，有特殊角用两角和差公式 判断有没有两角和或差，如sin（x+ π 3 ），cos（x- π 4 ）等，它们通常会含有 π 3 ， π 4 ， π 6 等特殊角.若有特殊角，即可直接用两角和差公式展开；若没有特殊角，则进行第三步. 第三步，有平方则用降幂公式 判断解析式有没有sin2x或cos2x，若有，就分别用sin2= 1-cos2x 2 ，cos2x= 1+cos2x 2 进行降幂；若没有，则进行第四步. 第四步，含同角正余弦乘积逆用正弦二倍角公式 判断解析式是否含有sinx·cosx，若有，就用2sinx·cosx=sin2x代入；若没有，则可以进行最后一步. 第五步，用辅助角公式收官 经过上面四个步骤的变化，解析式会带有asinx+bcosx的形式，最后用辅助角公式asinx+bcosx= a2+b2 sin（x+φ） ，就能达到最终的目的. 下面，我们来看经典例题： 【例1】 把以下各式化简成y=Asin（ωx+φ）+b的形式. （1）f（x）=sin（ π 3 -2x）+sin2x； （2）f（x）=2sin（π-x）cosx； （3）f（x）=2sinxcosx+2 3 sin2x； （4）f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx； （5）f（x）=2sinxcos（ π 2 -x）- 3 sin（π+x）cosx+sin（ π 2 +x）cosx. 解析： （1）此题没有轴线角，不用第一步诱导公式；没有sin2x，cos2x，不用第三步降幂公式；没有sinx·cosx，不用第四步. f（x）=sin（ π 3 -2x）+sin2x（有 π 3 -2x，用第二步两角和差公式） = 3 2 cos2x- 1 2 sin2x+sin2x = 3 2 cos2x+ 1 2 sin2x（用第五步辅助角公式） =sin（2x+ π 3 ）. （2）此题不用第二步两角和差公式；没有sin2x，cos2x，不用第三步降幂公式. f（x）=2sin（π-x）cosx（用第一步诱导公式） =2sinxcosx（用第四步逆用正弦二倍角公式） =sin2x.（不用第五步辅助角公式） （3）此题没有轴线角，不用第一步诱导公式，不用第二步两角和差公式. f（x）=2sinxcosx+2 3 sin2x（用第三步降幂公式和第四步逆用正弦二倍角公式） =sin2x+2 3 · 1-cos2x 2 =sin2x+ 3 cos2x+ 3 （用第五步辅助角公式） =2sin（2x+ π 3 ）+ 3 . （4）此题没有轴线角，不用第一步诱导公式，不用第二步两角和差公式. f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（用第三步降幂公式） =sin2ωx+cos2ωx+2sinωxcosωx+2· 1+cos2ωx 2 （逆用正弦二倍角公式） =sin2ωx+cos2ωx+2 = 2 sin（2ωx+ π 4 ）+2.（用第五步辅助角公式） （5）不用第二步两角和差公式. f（x）=2sinxcos（ π 2 -x）- 3 sin（π+x）cosx+sin（ π 2 +x）cosx（用第一步诱导公式） =2sin2x+ 3 sinxcosx+cos2x（用第三步降幂公式和第四步逆用正弦二倍角公式） =2· 1-cos2x 2 + 3 2 sin2x+ 1+cos2x 2 = 3 2 sin2x- 1 2 cos2x+ 3 2 （用第五步辅助角公式） =sin（2x- π 6 ）+ 3 2 . 【例2】 （2013·安徽）已知函数f（x）=4cosωx·sin（ωx+ π 4 ）（ω>0）的最小正周期为π. （1）求ω的值； （2）讨论f（x）在区间[0， π 2 ]上的单调性. 分析： 此题 不需要用 第一步诱导公式、第三步降幂公式，只要用第二步两角和差公式、第四步逆用正弦二倍和公式和第五步辅助角公式. 解： （1）f（x）=4cosωx·sin（ωx+ π 4 ） =2 2 sinωx·cosωx+2 2 cos2ωx = 2 （sin2ωx+cos2ωx）+ 2 =2sin（2ωx+ π 4 ）+ 2 . 因为f（x）的最小正周期为π，且ω>0， 从而有 2π 2ω =π，故ω=1. （2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+ π 4 ）+ 2 . 由0≤x≤ π 2 ，得 π 4 ≤2x+ π 4 ≤ 5π 4 . 当 π 4 ≤2x+ π 4 ≤ π 2 ，即0≤x≤ π 8 时，f（x）单调递增； 当 π 2 ≤2x+ π 4 ≤ 5π 4 ，即 π 8 ≤x≤ π 2 时，f（x）单调递减. 综上可知，f（x）在区间[0， π 8 ]上单调递增，在区间[ π 8 ， π 2 ]上单调递减. 【例3】 （2013·陕西）已知向量 a =（cosx，- 1 2 ）， b =（ 3 sinx，cos2x），x∈ R ，设函数f（x）= a · b . （1）求f（x）的最小正周期. （2）求f（x）在[0， π 2 ]上的最大值和最小值. 分析： 此题是三角与向量的简单结合， 不需要用 第一步诱导公式、第二步两角和差公式和第三步降幂公式，只要用第四步逆用正弦二倍角公式和第五步辅助角公式. 解析： f（x）=（cosx，- 1 2 ）·（ 3 sinx，cos2x） = 3 cosxsinx- 1 2 cos2x = 3 2 sin2x- 1 2 cos2x =sin（2x- π 6 ）. （1）f（x）最小正周期为T= 2π ω = 2π 2 =π. （2）∵0≤x≤ π 2 ，∴- π 6 ≤2x- π 6 ≤ 5π 6 . 由正弦函数的性质，知 当2x- π 6 = π 2 ，即x= π 3 时，f（x）取得最大值1. 当2x- π 6 =- π 6 ，即x=0时，f（x）取得最小值- 1 2 . 因此，f（x）在[0， π 2 ]上的最大值是1，最小值是- 1 2 . 模型解题法是近年来国家研究的重点课题.面对数学问题，我们需要不断地提炼、总结解题策略，形成程序化的思考过程或步骤.这被称为解题思维策略模型.我们可把一些题目的解决方法进行系统的归纳、概括，从中抽出有共性的、规律性的东西，形成解题的统一思维模型.我们称之为数学模型解题法. 用解题模型的具体操作方法进行思考与应用，能形成条件反射，变成我们解题的自觉行为，从而高效解题.本文介绍了—角—函数的化简五部曲，如果学生掌握了这五部曲，找到规律，便能轻而易举地化简解析式.“零点坐标法”求解函数零点 篇5
高中数学模型解题法之三角函数 篇6