函数思想

2024-07-20

函数思想（共12篇）

函数思想篇1

摘要：函数的学习在整个中学数学学习中, 占有重要的地位, 函数概念是中学数学中的核心概念。函数思想贯穿中学教材的始终, 而函数概念的学习是初中数学学习的一个重难点。

关键词：函数概念,函数思想,函数应用

函数概念教学中, 重视函数思想方法的教学, 渗透函数思想, 这一思想是通过对函数概念的教学来实现。

一、高度重视函数思想的作用

1. 函数内容无处不在。

我们的生活离不开函数, 函数与每个人都息息相关。如一个人的身高、体重等都是时间 (年龄) 的函数;电话费、水电费是时间的函数;许多科学知识只有用函数才能表达清楚。如物理学中的自由落体运动、生物学中的细胞繁殖速度等也是时间的函数;生产成本的核算、生产工效的提高等都是相应自变量的函数。即函数知识与其他学科知识有着密切的关系, 所以, 在教学中可揭示并加强这种联系, 是我们渗透函数思想方法的一种极好的方法。渗透函数思想的方法: (1) 与其他数学思想方法有机结合, 函数思想方法与方程思想方法、变换思想方法等有着密切的联系。例1.已知二次函数y=a (x+b) 2+h, 今将其图像先向右平移2个单位, 再向下平移2个单位, 试求最后所得的二次函数式子。解:向右平移2个单位得y=a (x-2+b) 2+h, 向下移2个单位, 最后得y=a (x-2+b) 2+h-2.这个例子就是把函数思想方法与变换思想方法相结合的例子。显然, 此例题将函数思想方法与方程思想方法有机结合在一起, 从而快速地解决了所求问题。 (2) 与其他数学知识相结合。函数与初中其它各个知识点有着密不可分的联系, 挖掘并应用这种联系, 综合运用多种数学知识与方法解决问题, 可以培养学生的创造和探索能力。因此, 在有关函数知识的教学中, 我们要给学生营造一种自由发挥的天地, 尽可能多地让学生考虑综合运用各方面的知识, 这样可以加深学生对有关知识的理解和灵活运用的程度。如, 剪一块面积为150平方厘米的长方形铁片, 使它的长比宽多5厘米, 这块铁片应如何剪?这个问题我们用反比例函数和一个一次函数的图像即可解决。用函数来解决这个问题最大优势在于从图像中可以直观地看到, 当长方形的面积一定时, 该长方形的长和宽的变化规律。 (3) 与学生的现实生活相结合。我们的生活离不开函数。函数与每个人都息息相关, 从日常生活选取学生熟悉的实际问题是渗透函数思想方法的重要途径。近几年的各地中考经常出现类似下面的题目:例:一个父亲, 母亲, 叔叔和一个孩子组成的家庭去某地旅游, 甲旅行社的收费标准是:如果买4张全票, 则其余人按半价优惠;乙旅行社的收费标准是:家庭旅游算团体票, 按原价的3/4优惠, 这2家旅行社的原价均为100元/人, 试比较随孩子人数的变化, 哪家旅行社的收费额更优惠?此例题与前面所举的例子, 在思想方法上一样的, 是一道典型的渗透函数思想的题目。

2. 函数思想具有凝聚数学概念和命题、原则和方法的作用。

函数思想能把处于游离状态的知识点 (块) 凝聚成优化的知识结构, 有了它, 数学概念和命题才能“活起来”, 数学原则和方法才有“生命力”。它们才能做到相互紧扣, 互相支持, 从而组成一个有机的整体。

3. 函数思想是教材体系的灵魂。

在初中数学教材中处处充满着、存在着函数思想。数轴、有理数与实数的概念和运算、代数式的运算以及恒等变形等都是学习函数的基础。映射是函数思想的核心观点, 初中数学中不少概念都反映着函数思想。如相反数是从实数集到实数集的映射;绝对值是从实数集到非负实数集的映射。中学数学中的运算法则, 如加 (减) 法法则、乘除法法则、乘 (开) 方法则等在实质上也是一个映射。几何变换、旋转变换等都是从一个图形集到另一个图形, 由此可见, 知识才能不再成为孤立的、零散的东西。所以说, 函数思想是数学教材的灵魂。

二、大力加强函数的实际应用教学

函数的建立和发展, 沟通了常量数学与变量数学之间的关系, 抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解, 我们生活空间的各种事物都处在相互联系、相互制约的动态平衡中, 这是客观存在的普遍规律。在数学教学中, 应从日常生活、生产实际问题来用函数的思想解决, 帮助学生树立运用函数思想思考问题的意识, 以深化对函数概念的理解。如让学生解决类似下面的问题, 对于学生理解和应用函数概念都是有非常重要有意义的。某单位计划在新年间组织员工到某地旅游, 参加旅游人数估计为10~25人, 甲、乙两家旅行社的服务质量相同, 且报价都是每人200元。经过协商, 甲旅行社表示可以给予每位游客七五折优惠;乙旅行社表示先免去一位游客的旅游费用, 其余游客8折优惠。该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少?分析:这是一道实际问题, 需要首先建构函数关系式, 并画出函数的图像, 再据函数图像求解。解:设该单位参加这次旅游的人数是X人, 选择甲旅行社时, 所需的费用为Y1元;选择乙旅行社时, 所需的费用为Y2元。则:即Y1=200*0.75X, 即Y1=150X;Y2=200*0.8 (X-1) , 即Y2=160X-160。画出函数Y1、Y2的图像, 由图像判断:当10≤X≤15时, 乙旅行社收费优惠;当X=16时, 两家旅行社收费相同;当17≤X≤25时, 甲旅行社收费优惠。

总之, 函数概念的学习, 一直是我们作为一线老师教学中的一个难点。我想, 这需要几方面的共同努力和配合, 学生的思维特点和知识结构、阶段性概念 (渗透阶段、认识阶段) 的处理、与其它学科思想方法的相互结合、学生抽象思维能力和认识能力的提高, 还有最重要一点是, 学生要适应函数的学习方式, 才能达到较满意的效果。

函数思想篇2

本文列举几例分类剖析：

一、方程思想

1.知三求二

等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.

例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.

解(1)由a10=a1+9d=30，

a20=a1+19d=50，

解得a1=12，

因为n∈N*，所以n=11.

2.转化为基本量

在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.

例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.

解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)

由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.

将a1q3=―8代入(1)，

得q2=―2(舍去);

将a1q3=8代入(1)，得q=±2.

当q=2时，a1=1，S8=255;

当q=―2时，a1=―1，S8=85.

3.加减消元法利用Sn求an

利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.

例3(佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：

a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.

若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.

解将等式左边看成Sn，令

Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.

依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)

又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)

两式相减可得

Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).

又因为数列{bn}的通项公式为

bn=2n―1，

所以an=n (n≥2).

当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.

从而对一切n∈N*，都有an=n.

所以数列{an}的通项公式是an=n.

4.等差、等比的综合问题

这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.

例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.

解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.

由已知得a1+a2+a3=7，

(a1+3)+(a3+4)2=3a2.

解得a2=2.设数列{an}的公比为q，

由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.

又S3=7，可知2q+2+2q=7，

即2q2―5q+2=0，

解得q1=2，q2=12.

由题意得q>1，所以q=2.

可得a1=1，

从而数列{an}的通项为an=2n―1.

二、函数思想

数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式

an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，

前n项和的公式

Sn=na1+n(n―1)2d

=d2n2+(a1―d2)n，

当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.

1.运用函数解析式解数列问题

在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.

例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.

分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.

解设Sn=an2+bn(a≠0)，则

a×102+b×10=100，

a×1002+b×100=10.

解得a=―11100，

b=11110.

所以Sn=―11100n2+11110n.

从而S110=―11100×1102+11110×110

=―110.

函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为

n=111102×11100=55211=50211.

因为n∈N*，

所以n=50时Sn有最大值.

2.利用函数单调性解数列问题

通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.

例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.

解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，

则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，

所以x1+x<1，ln(1+x)>1，

所以f ′(x)<0.

即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.

故当n≥2时，an>an+1.

例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.

(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;

(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.

(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.

解由题设易得an=n―72，

所以bn=2n―52n―7.

由bn=2n―52n―7=1+22n―7，

可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.

当x<72时，f(x)为减函数，

且f(x)<1;

当x>72时，f(x)为减函数，

且f(x)>1.

所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.

(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.

由于bn=1+1n―1+a1，

故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.

解由题，得an=n―1+a1，

所以bn=1+1n―1+a1.

考察函数f(x)=1+1x―1+a1，

当x<1―a1时，f(x)为减函数，

且f(x)<1;

当x>1―a1时，f(x)为减函数，

且f(x)>1.

所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，

所以a1的取值范围是―7

3.利用函数周期性解数列问题

例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.

分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.

解由已知

两式相减得

通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.

高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识;基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。

数学思想方法是对数学及规律的理性认识，是对数学知识的本质认识，是数学认识过程中提炼上升的数学观点方法。学生大脑中若不蕴含数学思想方法，会导致数学学习缺乏自主性，往往就成为离不开教师这个拐棍的被动学习者，学的数学知识不能用数学思想方法有效连接，支离破碎。所以，学生在数学学习中，大脑有了数学思想，学习才有方向导引，心中有了明确方向，才能主动思考，才有利于对数学本质的认识，才能知道如何去思考和解决问题。

高中数学基本数学思想

1.转化与化归思想：

是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想.这种化归应是等价转化，即要求转化过程中的前因后果应是充分必要的，这样才能保证转化后所得结果仍为原题的结果. 高中数学中新知识的学习过程，就是一个在已有知识和新概念的基础上进行化归的过程.因此，化归思想在数学中无处不在. 化归思想在解题教学中的的运用可概括为：化未知为已知，化难为易，化繁为简.从而达到知识迁移使问题获得解决.但若化归不当也可能使问题的解决陷入困境. 例证

2.逻辑划分思想(即分类与整合思想)：

是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时，而根据其不同点选择适当的划分标准分类求解，并综合得出答案的一种基本数学思想.但要注意按划分标准所分各类间应满足互相排斥，不重复，不遗漏，最简洁的要求. 在解题教学中常用的划分标准有：按定义划分;按公式或定理的适用范围划分;按运算法则的适用条件范围划分;按函数性质划分;按图形的位置和形状的变化划分;按结论可能出现的不同情况划分等.需说明的是：有些问题既可用分类思想求解又可运用化归思想或数形结合思想等将其转化到一个新的知识环境中去考虑，而避免分类求解.运用分类思想的关键是寻找引起分类的原因和找准划分标准. 例证

3. 函数与方程思想(即联系思想或运动变化的思想)：

就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系，抽象其数量特征，建立函数关系式，利用函数或方程有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想.

4. 数形结合思想：

将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形的性质(或位置关系);或者把几何图形的性质(或位置关系)抽象为适当的数量关系，使抽象思维与形象思维结合起来，实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系和转化，从而使隐蔽的条件明朗化，是化难为易，探索解题思维途径的重要的基本数学思想.

5. 整体思想：

处理数学问题的着眼点或在整体或在局部.它是从整体角度出发，分析条件与目标之间的结构关系，对应关系，相互联系及变化规律，从而找出最优解题途径的重要的数学思想.它是控制论，信息论，系统论中“整体—部分—整体”原则在数学中的体现.在解题中，为了便于掌握和运用整体思想，可将这一思想概括为：记住已知(用过哪些条件?还有哪些条件未用上?如何创造机会把未用上的条件用上?)，想着目标(向着目标步步推理，必要时可利用图形标示出已知和求证);看联系，抓变化，或化归;或数形转换，寻求解答.一般来说，整体范围看得越大，解法可能越好.

在整体思想指导下，解题技巧只需记住已知，想着目标，步步正确推理就够了.

中学数学中还有一些数学思想，如：

集合的思想;

补集思想;

归纳与递推思想;

对称思想;

逆反思想;

类比思想;

参变数思想

有限与无限的思想;

特殊与一般的思想.

用函数思想解决数列问题篇3

【关键词】数列；函数思想；数学

数列性质的研究主要是通过其通项公式和前n项和公式及相邻项的关系来进行的. 我们可以把数列看成是一种以正整数n为变量的函数，数列的性质就可以通过函数的性质反映过来. 这为数列问题的解决提供了一种新的方向.

一、an及Sn与n的函数关系

数列的通项及前n项和的作用在于刻画an及Sn与n的函数关系，因而等差等比数列的通项及前n项和都可以看作关于n的函数，其图像都是一列离散的点.

等差数列的通项公式为an=a1+（n-1）d，这表明（n，an）在直线y=dx+（a1-d）上，其图像是该直线上一系列离散的点；

等差数列的前n项和公式为Sn=na1+■d，这表明当d≠0时，点（n，Sn）在抛物线y=■x2+（a1-■）x上，其图像是该抛物线上的一系列离散的点；另外■=■n+（a1-■），这表明（n，■）在直线y=dx+（a1-d）上，其图像是该直线上的一系列离散的点；

等比数列的通项公式为an=a1qn-1=■qn，这表明当q≠1时，点（n，an）在函数y=■qx图像上，是一系列离散的点；

等比数列的前n项和公式当q≠1时Sn=■=■-■=-qn（q≠1），这表明（n，Sn）在函数y=■-■qx（q≠1）的图像上，类似于指数函数式的结构特征，其图像是类指数函数图像上的一系列离散的点.

二、典型例题

例1：在等差数列｛an｝中，Sn是｛an｝的前n项和，q，p∈N+，且q≠p.

（1）若Sp=Sq，求证：Sp+q=0；

（2）若Sp=q，Sq=p，求证：Sp+q=-（p+q）.

分析：因为数列是一种特殊的函数，故在解决数列问题时我们可以用函数思想去解决往往会达到事半功倍的效果.

证明：（1）由于Sn是关于n的二次函数，可设f（n）=a■■+bn，又Sp=Sq.

∴ f（p）=f（q），因此它的对称轴为n=■.

∴ f（p+q）=f（0）=0.

（2）解法1：用一次函数求解

由（1）可知■是关于n的一次函数，因此点（p，■），（q，■），（p+q，■）在同一直线上.

∴ ■=■.

∴ Sp+q=-（p+q）.

解法2：用二次函数求解

设等差数列｛an｝的前n项和Sn=a■■+bn，则Sp=a■■+bp=q，Sq=a■■+bq=p，两式相减得a（p2-q2）+b（p-q）=-（p-q），而q≠p，则a（p+q）+b=-1.

∴ Sp+q=a（p+q）2+b（p+q）=（p+q）［a（p+q）+b］=-（p+q）.

例2：｛an｝，｛bn｝分别是等差数列和等比数列，a2=b2>0，a4=b4>0，且a2≠a4，b1>0，试比较an与bn的大小并说明理由.

分析：该问题如果从常规思路求解需求出an与bn的通项公式并求差，但从现有的条件来看an与bn的通项公式求不出来，所以我们只能另辟蹊径，利用函数思想求解，借助函数图像问题便可迎刃而解.

解析：设等差数列的通项可以表示成an=an+b.

∵ a2≠a4，∴ a≠0，从图像上来看表示这个数列的各点均在一次函数y=ax+b的图像上；

设等比数列的通项bn=b1qn-1=■qn，由b2≠b4，则q≠1，q>0，从图像上来看表示这个数列的各点均在指数型函数y=■qx的图像上；

当q>1时，an与bn的图像如图1所示；

当0

■

从这两个图中可以得出结论：a1

例3：（1）在等差数列｛an｝中，a1=25，S17=S9，问此数列前多少项和最大，并求出最大值.

（2）在等差数列｛an｝中，a4=84，前n项和Sn，已知S9>0，S10<0，则当n=______?摇时Sn最大.

解析：（1）从函数的角度分析此题，等差数列｛an｝的公差d<0，Sn的图像是开口向下的抛物线上的一群离散点，最高点的坐标为■=13，所以S13最大，易求得最大值为169.

（2）从函数的角度分析此题，等差数列｛an｝的公差d<0，Sn的图像是开口向下的抛物线上的一群离散点，并且该函数图像过（0，0）点，另一个交点的横坐标在区间（9，10）内，可见其顶点横坐标在区间（4.5，5）内，故当n=5时，Sn最大.

评析：数列是特殊的函数，因此求最值问题就是一个重要题型，又因为等差数列前n项和一般是不含常数项的二次函数，因此求最值问题可用二次函数法，也可用对称轴来判断. 由此我们可以总结出以下结论：在等差数列｛an｝中，首项a1>0，前n项和Sn，若Sm=Sk（m，k为常数且m≠k），当m+k为偶数时，则当n=■时，Sn有最大值；当m+k为奇数时，则当n=■时有最大值.

函数思想的应用篇4

一﹑函数在数列问题中的应用

由于数列是特殊的函数, 所以有很多的数列知识是用函数知识来解决的.

例1函数f (x) =x2-2 (10-3n) x+9n2-61n+100其中nεN, 则

(1) 设函数y=f (x) 的图象的顶点的横坐标构成数列{an}, 求证:数列{an}为等差数列;

(2) 设函数y=f (x) 的图象的顶点到y轴的距离构成数列{dn}, 求数列{{dn}的前n项和Sn;

(3) 对于 (1) 中的数列 , 求数列{Cn}中的最大项与最小项

解: (1) 二次函数f (x) =x2-2 (10-3n) x+9n2-61n+100 (nεN) 的图象的顶点的横坐标为10-3n, an=10-3n (n∈N) .

Qn+1-an=10-3 (n+1) - (10-3n) =-3

数列﹛an﹜是等差数列.

函数思想篇5

在高中数学教学的过程中，数学的函数思想一直是我们从事教学的理念之一，函数的定义起始于初中阶段，进入到高中以后，不断的在原来的基础上增加了新的函数概念，主要是用映射的观点来阐明函数，这就要求我们学生对函数要有更加深层的理解，了解函数的思想，认清函数的理念，来解决函数中的各种问题.函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.学习函数要重点解决好以下三个问题：

一、准确、深刻理解函数的有关概念

函数是中学数学中的一个重要概念，函数是高中数学的基础.学生学习函数的知识分四个阶段.第一个阶段是在初中，学生已经接受了初步的函数知识，掌握了一些简单函数的表示法、性质、图像.

第二个阶段(数学必修1)，第三个阶段将学习三角函数(数学必修4)、数列(数学必修5)，第四个阶段在选修课程中，如导数及其应用、概率(选修系列2)、参数方程(选修系列4)等都仍然要涉及函数知识的再认识，是对函数及其应用研究的深化和提高.

对于函数概念的引入，教材通过具体实例，让学生体会函数是数集之间的一种特殊的对应关系.教学应从学生已有的函数知识入手，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的变化，在集合的基础上，构建函数的一般概念.如：

(1)随着二氧化碳的大量排放，地球正在逐渐变暖;

(2)打电话时，通话费用与通话时间之间的关系;

(3)中国的国内生产总值正在逐年增长;

等等.

二、揭示并认识函数与其他数学知识的内在联系

在解决函数综合问题时，要认真分析、处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是注意等价转化、分类讨论、数形结合等思想的综合运用，综合问题的求解往往需要应用多种知识和技能.函数是研究变量及相互联系的数学概念，是变量数学的基础，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线与方程等内容，在利用函数和方程的思想进行思维中，动与静、变量与常量如此生动的辩证统一，函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式.三、把握数形结合的特征和方法

数形结合的思想，在数学的几乎全部的知识中，处处以数学对象的直观表象及深刻精确的数量表达这两方面给人以启迪，为问题的解决提供简捷明快的途径.函数图像的几何特征与函数性质的数量特征紧密结合，有效地揭示了各类函数和定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性，体现了数形结合的`特征与方法，为此，既要从定形、定性、定理、定位各方面精确地观察图形、绘制图形，又要熟练地掌握函数图像的平移变换、对称变换

例：如果f(x)=x2+bx+c对于任意实数t都有f(2+t)=f(2—t)，那么

A。f(2)

C。f(2)

本题若用代数方法求解较为困难，可以引导学生由题设条件f(2+t)=f(2—t)所反映的几何特征，据此画出抛物线示意图，根据它的单调性就可分辨f(2)

例题是通过数形结合，利用函数图像的性质解题.数形结合又是解析几何的基本特征之一，坐标系的建立给数学提供了一个双向的工具：集合概念可以用代数表示，几何目标可以通过代数表达，通过数形结合，利用曲线方程图像的性质解题，可以收到意想不到的效果.

浅析运用函数思想解决实际问题篇6

【关键词】函数思想初中数学实际问题

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）20-0136-01

引言

数学在实际生活中的应用并不少见，随着初中数学理论知识难度的增加，很多初中生会感觉数学理论知识抽象而复杂，不易理解。而实际上如果从实际问题出发去分析和理解数学问题，就能将复杂抽象的问题变得简单而具体了。初中学生在数学方面的思维还处于具体运算逐渐过渡到形式运算的阶段，因此，教师需要以演绎法，情景教学的教学方法来引导初中学生理解初中数学的理论知识及教学内容，灵活运用函数思想来解决生活中遇到的实际问题。

一、函数思想和实际问题之间的关系

就初中生而言，函数思想主要是一种变量的思想，所谓变量就是一个变化过程，常用的变量是x 与y。在函数知识的实际应用中，确定了x 值，就能相应的确定一个y 值，y 是x 的函数，而x 是自变量，y 是因变量。因此，变量之间的关系是相互依存的。教师可以通过一些实际案例来进行函数思想的应用，很多函数思想也在实际生活的场景中得以灵活应用。例如：以某超市商家促销活动或者优惠时的计算为例，洗发水一瓶20元，护发素5元，商家推出优惠活动，第一种是购买一个洗发水，送一瓶护发素。第二种是打九折。那么我们在遇到这样的问题时就会考虑哪种优惠方式更适合我自己？那来计算一下：假定我买4瓶洗发水，来验证一下哪种优惠更适合我。

设护发素为x 个，总价为y 元，如果采用第一种付款方式：y1 =4×20+（x-4）×5=5x+6，采用第二种付款方式：y2=（20×4+5x）×90%=4.5x+72

将两种计算方式进行对比：d =y1—y2，分别对d =0， d >0，d <0 这三种情况进行分析，然后选择购买方式，以确定那种优惠更适合自己。而在实际生活中的函数应用过程中，很多问题的解决较为复杂，但是初中生已经可以用函数思想来解决实际问题了，那么在基本思路正确的情况下，就可以解决很多实际问题，尤其是在购物活动中。

二、函数思想在解决实际问题中的具体体现

初中生将函数思想应用到实际解决问题的过程中有很多具体的方法，具体论述如下：

（1）择优方案：在日常生活中，数学知识运用得非常多，购活、体育、旅游及很多方面都能运用到数学知识。数学知识和实际生活的紧密联系才能使得数学变得更加具体生动，通过函数思想来选择最佳解决问题的方案会让人有解决实际问题的成就感。例如：教师要带学生外出踏青，假定总人数是500人，教师要计算出行车辆的人数，以能承载40人的大客车为例，每辆租金是100元，小客车25人，租金75元，那么教师就需要计算租用哪种客车更加节约成本。

教师可以鼓励学生们以函数思想进行方案的设计，然后针对不同的方案进行比较，最终选择最为节约成本的那个方案。选择不同类型的客车，租车的数量和费用就会发生变化，因此鼓励学生以函数思想进行发散思维，最终找到最合理的租车方案。

（2）来源于生活的练习设计：运用函数思想来解决实际问题需要教师设计一些和实际生活有关的题目来引导学生进行练习，将课堂中学到的数学知识和实际生活相联系。例如，某大型宾馆需要进行改造，宾馆共有房间120间，每天的日租金是50元，但是经过装修之后，假定日租金上涨5元，但是房间的综述减少了6间，装修改造后剩余114间。现在需要通过初中函数知识的运用来计算一下，装修后的日租金上涨多少，宾馆的租房收入是最大的？假设日租金提升x 个5 元，即5x 元，每天房间出租数则会减少6x，总收入为y 元，则： y=（50+5x）（120-6x），经计算，当x =5 的时候，y 取得最大值。这就验证了之前的假设，说明装修改造后上涨5元租金是合理的。

利用函数思想来解决实际问题能够使得初中生获得基本的函数思维，使得学生将课堂中学到的数学知识应用到实际生活中，长期的练习可以使得他们思维敏捷，迅速而准确的利用函数思想进行实际问题的解决，拓宽思维，强化计算能力。

（3）在实际运算中体验函数思维

数学知识的理论是抽象的，但是和实际问题联系起来之后就会变得具体而生动，能有效的提高学生学习数学知识的兴趣，并且在实际生活中善于观察和应用课堂中的数学知识，发现问题，同时也能够主动的去解决问题，以函数思想积极主动的进行数学知识的应用和实践，有效的提高了他们学习数学的主观能动性。

实际上函数思想在实际生活的应用可以说是无处不在。假定以个人写作后所得的稿费为例：不高于800元时，个人不需要缴纳所得税。高于800但不高于4000元的，需要缴纳超过800元的那部分稿费的14%，作为个人稿费的所得税。稿费超过4000元，则要缴纳全部稿费的11%个人所得税。现在我们来设定一个场景：李女士在撰写稿件后获得一笔稿费，缴纳了280元的税，那么李女士共得到多少稿费。就这个问题而言，教师可以引导学生进行思考：李女士既然缴纳了280元的税，那么她的稿费超过了800元，但是不超过4000元。如果超过4000元，李女士缴纳的税按照刚才的比例应该是4000乘以11%，共缴纳440元。由此可见，李女士的稿费数额是高于800元，低于4000元的。设定李女士的稿费为x 元，那么函数方程式应该为：（x-800）×14% =280。通过计算，计算出李女士最终的稿费数额。

结束语

从以上分析可以看出，数学知识的学习实际上是为了更好的应用，能够帮助解决实际生活中的问题。函数思想包含了复杂的数学公式及原理，如果仅仅是在课堂上学习，会显得复杂而抽象，但是如果和实际生活中的问题相联系，就会显得简单而具体，而且能够很好的提升学生对函数学习的兴趣，培养他们发现问题，研究问题及解决问题的能力。

参考文献：

[1]谭守贵：浅谈初中数学函数思想的体现和应用，辽宁教学学院学报，2008，06

[2]陈雄伟：运用函数思想解决方程有解问题的两条途径，中学数学，2012，03

[3]郭登杰：浅析一次函数中所涉及的数学思想[J]，教育教学论坛，2009，04

[4]许生友：揭开庐山真面目———一次函数考点例析[J]，数理化解题研究（初中版），2011，09

函数思想篇7

关键词：函数,方程思想,数学教学

文献中, 原题是求一个函数y = x +槡x ( 2 - x) 的值域.作者给出了四种解法, 有通法, 也有精妙的构思. 但笔者在看到第一种解法, 即利用函数与方程的关系, 将函数问题转化为二次方程判别式问题的方法时, 觉得这种解法的解释不够完美, 不能很好地解释函数与方程的关系. 所以希望能做补充和解释, 不当之处, 望各位同行批评指正. 现将原解答摘抄如下:

但函数的定义域为{ x|0≤x≤2} , 而Δ≥0仅保证关于x的方程1在实数集R上有实数根, 但不能确保实数根在区间[0, 2]内, 即不能确保方程1在[0, 2]上有实数根, 因此, 由Δ≥0求出的y的范围可能比y的实际范围大, 故函数的值域不一定恰好是[1 -21/2, 1 +21/2], 因此采取以下的方法进一步确定原函数的值域.

∵ 0≤x≤2,

∴ ymin= 0.

把y = 1 +21/2代入方程1,

解得x = 1 +21/2/2∈[0, 2].

即当x = 1 +21/2/2时, y取得最大值1 +21/2.

∴原函数的值域为[0, 1 +21/2].

在评注中, 作者提到该解法是学生容易想到的方法, 但若考虑不细致, 容易将值域求错.

笔者认为, 这个思路虽然能解决此题, 但若换成另一题, 未必适用. 同时, 对于错误的形成, 分析得不够明确, 事实上, 学生易错此题并不只是考虑不细致, 而是对函数与方程思想理解得似是而非. 笔者接下来举例, 说明上述方法的缺点.

变式: 求函数

此题若仍按上述解法, 得到方程两边平方得

又由Δ≥0, 解得y≥3或y≤ - 3, 又此函数定义域为R,

按上法分析, 值域即为{ y| y≥3或y≤ - 3} .

而此题正确答案是[3, + ∞ ) .

为什么会出现这样的答案? 原题给出的解答是:故 y > x, 当 x > 0 时, y > 0; 当 x < 0 时, . 因此, 原函数的值域为[3, + ∞ )

事实上, 等价条件转化中, 学生为什么总会漏掉条件?往往是因为对于条件转化中两个条件是否等价并不明确, 包括这两道题的作者的解法对此问题阐述得也不够明确.这样去找条件限制值域, 显得目标不够明确, 往往只是抓住题目中的一个必要条件, 这样的条件如何找? 学生往往会很迷茫. 那么, 这种题目产生错解的原因究竟是什么呢? 我们先以原题举例.

( y - x) 2= x ( 2 - x) 已经包含着函数的定义域为{ x | 0≤x≤2} 这一事实. 所以, 错解的原因并不是定义域的问题.

的等价形式明显不是, 因为含有两个方程, 使得有根的y才是使得值域范围变大的原因.

笔者给出的解答如下:

这样, 我们就可以将一个函数求值域的问题, 转化为一个含参数y的关于x的二次方程有解的问题, 而由等价条件, ( y - x) 2= x ( 2 - x) 不但应该有解, 解的范围还应该满足y≥x.

那么, 这就变成了一个一元二次方程根的分布的问题.

两边平方整理得

若方程的根均满足x > y, 则根据根的分布的知识, 有, 解得y < 0.

即若要保证x≤y时有根, 需要同时满足

即原函数的值域为[0, 1 +21/2].

注意到, 笔者的任何转化都是等价的, 所以求出的结果当然无需检验或者细致地重新考虑各个条件, 结果一定是正确的. 首先的值域问题即为关于x的方程中使得方程有根的y的范围的问题, 这属于函数与方程思想的范围. 而接下来我们只需要研究无理方程有根的问题, 即转化为等价形式

笔者在教学过程中发现, 学生在解题时, 对于判别式法这一求值域的有力工具往往用不好, 只能注意到Δ≥0这一个条件, 这就导致了往往结果是正确的, 但求值域的过程是有问题的. 笔者上面列举的思路其实可以作为解决这一类型函数的通法. 这样就避免了前面原题和变式作者给出的解答学生无法理解的情况.

我们用同样的思路解答笔者给出的变式.

笔者所举例的变式解法非常多, 如三角换元、导数法, 或者利用“数形结合”的构造法. 但本文旨在说明这种类型函数, 用函数与方程的想法解题时如何避免探讨非等价条件解错值域. 这里就不一一将其他方法列举, 只说明这些方法都是可行的, 读者若感兴趣, 可自行证明.

参考文献

函数思想与方程观点篇8

1.函数的思想, 是用运动和变化的观点, 分析和研究数学中的数量关系, 建立函数关系或构造函数, 运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题, 从而使问题获得解决

例1若正数a, b满足ab=a+b+3, 求ab的取值范围.

解这道题看上去似乎与函数无缘, 但是经过变形, 可以把它转化为某一个变量的函数

由ab=a+b+3, 得

显然 (1) 式表示a的函数, 要求此函数的值域, 首先确定其定义域.

回到已知, 因为b>0, 所以

∵a>0, ∴a+3>0, ∴a-1>0, 即a>1.

当且仅当, 即a=3时, 上式等号成立.

故ab的取值范围是[9, +∞) .

评析不是函数看做函数, 这不正是函数思想的实质吗?

2.方程的思想, 就是分析数学问题中变量间的等量关系, 建立方程或方程组, 或者构造方程, 通过解方程或方程组, 或者运用方程的性质去分析、转化问题, 使问题获得解决

例2定义在 (-∞, +∞) 上的任意函数f (x) 都可以表示成一个奇函数g (x) 和一个偶函数h (x) 之和.如果f (x) =lg (10x+1) , x∈ (-∞, +∞) , 那么 () .

A.g (x) =x, h (x) =lg (10x+10-x+2)

解析本题所给内容虽是高等数学中的一个命题, 但从方程的观点看, 由已知条件有

f (x) =g (x) +h (x) , (1)

∴f (-x) =g (-x) +h (-x) .

∵g (x) 为奇函数, h (x) 为偶函数,

∴g (-x) =-g (x) , h (-x) =h (x) .

∴f (-x) =-g (x) +h (x) . (2)

(1) (2) 可以看做是以g (x) 和h (x) 为未知数的“二元一次方程组”, 解这个方程组, 得

将f (x) =lg (10x+1) 代入, 得

故应选C.

评析 (1) 在求出g (x) =后, 可直接代入 (1) 式求h (x) .

(2) 根据选择题的特点, 在求出g (x) =后, 便可否定A, B, D.

3.结语

方程在中学数学中的应用是非常广泛的, 可以说, 它贯穿于整个中学数学的始终.特别是方程思想和观点, 对于培养学生良好的数学素质和思维品质, 开发智力, 实现等价转化, 都起着重要的桥梁和纽带作用.

函数思想具有创造性, 对能力的要求较高.它是函数概念、性质等知识更高层次的提炼和概括, 是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法.

函数与方程的思想方法篇9

函数与方程的思想方法的运用:

1.实际应用题中, 建立适当的数学模型和函数关系式, 应用函数性质或不等式知识解答, 或依据题中的等量关系列方程 (组) , 通过解方程 (组) 使问题得以解决.

例1 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H (单位:m) , 如示意图, 垂直放置的标杆BC高h=4 m, 仰角∠ABE=α, ∠ADE=β.

(1) 该小组已经测得一组α, β的值, 算出了tanα=1.24, tanβ=1.20, 请据此算出H的值;

(2) 该小组分析若干测得的数据后, 认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位:m) , 使α与β之差较大, 可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为125 m, 试问d为多大时, α-β最大?

解 (1) 由undefined

及AB+BD=AD, 得undefined,

解得undefined

因此, 算出的电视塔的高度H是124 m.

(2) 由题设知d=AB, 得undefined

undefined

当且仅当undefined,

即undefined时, 上式取等号.

∴当undefined时, tan (α-β) 最大.

2.直接研究具体函数, 求解函数性质问题, 如极值、最值、单调区间、周期性等.

例2 如图所示, 半圆的直径AB=2, O为圆心, C是半圆上不同于A, B的任意一点.若P为半径OC上的动点, 则 (PA+PB) ·PC的最小值是.

解设PC长为x (0≤x≤1) , 则PO长为 (1-x) .

设t= (PA+PB) ·PC, 则undefined

当undefined时, t有最小值undefined

故 (PA+PB) ·PC的最小值为undefined

将题设条件恰当转化, 转化为函数问题, 借助函数相关知识, 使问题顺利解决.其中要特别注意函数所依赖的未知数的设立及其取值范围的确定, 不同的量作未知数, 所得的函数解析式不同, 自变量的取值范围不同.

3.对不等式问题的研究, 可以构造出函数, 转化为函数值域限定问题处理.

例3 已知关于n的不等式undefined对于一切大于1的正整数n都成立, 试求实数a的取值范围.

undefined

∴f (n) 是关于n的递增函数.

∴当n≥2时, undefined

要使undefined对于一切n≥2恒成立, 必须且只需undefined, 即

故所求a的取值范围是undefined

对于不等式, 引入新的参数化简了不等式后, 构造二次函数利用函数的图像和单调性解决问题, 其中也联系到了方程无解, 体现了方程思想和函数思想.一般地, 我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系, 将问题进行相互转化.

4.数列是特殊的函数, 是定义在正自然数集 (或其子集) 上的函数, 数列的通项公式、前n项和公式都可以看成是关于n的函数.数列问题完全可以用方程和函数的思想方法解决.

例4 已知数列{an}是公差为d的等差数列, 它的前n项和为undefined求公差d的值; (2) 若undefined, 求数列{bn}中的最大项和最小项的值; (3) 若对任意的n∈N*, 都有bn≤b8成立, 求a1的取值范围.

undefined

undefined,

∴数列{an}的通项公式为undefined

undefined

∵函数undefined在undefined和undefined上是单调函数, ∴b3

(3) 由undefined, 得undefined

又函数undefined在 (-∞, 1-a1) 和 (1-a1, +∞) 上均是单调函数, 且x< (1-a1) 时, y<1;x> (1-a1) 时, y>1.∵对任意的n∈N*, 都有bn≤b8, ∴7<1-a1<8.

∴-7

数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数, 因此可利用函数思想来分析解决;也可以利用方程的思想, 设出未知的量, 建立等式关系即方程, 将问题进行算式化, 从而简捷明快.由次可见, 利用函数与方程的思想来解决问题, 要求灵活地运用、巧妙地结合, 发展思维品质的深刻性、独创性.

5.将函数解析式转化为方程 (注意转化后未知数的范围仍服从于原自变量与函数值的取值范围) , 利用方程有解的条件解决有关问题.

例5 求函数undefined的值域.

解undefined,

∴ (y-1) x2+ (y-1) x+6y+1=0. ①

当y-1=0, 即y=1时, 方程①为7=0, 不成立, 故y≠1;

当y-1≠0, 即y≠1时,

Δ= (y-1) 2-4 (y-1) (6y+1) ≥0,

即 (y-1) (23y+5) ≤0时, 解得undefined

综上, 得原函数的值域为undefined

原是函数问题, 通过变形, 发现其等式具有“二次”特点, 于是联想了一元二次方程, 将问题变成代数中的方程有实解的问题, 从而使问题得到解决.

6.将方程或不等式中某个合适的未知可变量作为主变量 (也可能是含有多个变量的数学问题) , 构造出恰当的函数解析式, 揭示出其中的函数关系式, 依据函数性质解决问题.

例6 设不等式2x-1>m (x2-1) 对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立, 求x的取值范围.

解问题可变成关于m的一次不等式 (x2-1) m- (2x-1) <0在[-2, 2]恒成立, 设f (m) = (x2-1) m- (2x-1) , 则undefined

解得undefined

在一个含有多个变量的数学问题中, 要确定合适的变量和参数, 从而揭示函数关系, 使问题更明朗化.或者含有参数的函数中, 将函数自变量作为参数, 而参数作为函数, 更具有灵活性, 从而巧妙地解决有关问题.

妙用函数思想提高解题能力篇10

一、妙用函数思想, 提高学生的解题速度

数列是非常重要且难度较大的知识点.因为数列是一些按顺序或按规律排列的数字, 所以数列的通项公式就可以看做是项数的函数公式.所以对高中生来说, 可以运用函数思想解决数列问题.

比如, 在《数列》这一章的学习中, 学生会遇到很多数列与函数结合的习题.所以在解数列题的过程中, 学生可以充分运用函数思想, 把数列转化成函数, 用函数的知识解决问题.这样可以提高解题速度.

【例1】设数列{an}的前n项和为Sn, 已知a1=a, an+1=Sn+3n, (n∈N+) .

(1) bn=Sn-3n, 求数列{bn}的通项公式;

(2) 若an+1≥an, (n∈N+) , 求a的取值范围.

解析:在这一题中, 第一问很简单, 把an+1=Sn+3n代入bn=Sn-3n, 很快就求出答案.现在观察第二问, 如果我们不借助函数, 单纯地运用数列公式和性质去解题, 会浪费很多时间, 而且解题的正确率还不高.但是, 如果我们借助函数思想, 就为我们解题带来了便利.因为an+1≥an, 所以{an}是一个单调递增的数列, 那么关系式an+1-an≥0是恒成立的.因此, 从这个等式中可得出a的取值范围.这一题把数列与函数的单调性结合起来, 求取值范围.这就要求学生在解题过程中灵活运用函数思想, 提高解题速度.

数列与函数有相似性.这就要求学生学会灵活变通, 把数列和函数结合起来, 充分利用函数思想来解决数列问题, 从而提高解题的速度, 提高解题能力.

二、妙用函数思想, 培养学生的建模能力

学生学习数学知识就是希望可以学以致用.所以在现实生活中, 我们也可以通过运用函数思想来解决实际问题.正式地说, 就是把实际问题数学化, 通过把实际问题转化成数学的函数模型, 然后轻松得出答案, 有效解决实际问题.所以函数思想在实际问题中的巧妙运用, 有利于培养学生的建模能力.

比如, 在《函数模型及其应用》的学习中, 学生面对大量的信息数据, 可以通过构建函数模型来理清题意, 找到逻辑对应关系, 从而迅速找到正确的解题思路和方法.

【例2】一个进价为8元的杯子单价为10元, 每天可以卖出100个.若这个杯子的单价增加1 元, 那日销售量就会减少10个.为了获得最大利润, 商家应把该杯子的日销售价定为每个多少元?

解析:这是一个实际问题, 我们可以运用函数思想, 借助二次函数模型解决生活实际问题.首先, 我们需要设每个杯子涨价为x元, 利润为y元.然后, 根据题意, 得出以下关系式:杯子的实际销售价格为 (10+x) 元, 销售个数为 (100-10x) 个, 利润为y= (10+x) (100-10x) -8 (100-10x) =-10 (x-4) 2+360, (0≤x≤10) .最后, 根据二次函数的图像, 解得x=4, 即当实际销售价格为 (10+x) =14元时, 商家能获得最大利润.

可见, 在面对大量的数字信息时, 我们可以通过列函数关系式, 建立相应的函数模型, 轻松整合题目中有用的信息.这要求学生在解决应用问题时, 学会运用函数思想, 把实际问题数学化, 提高建模能力.

三、妙用函数思想, 提高学生的思维能力

在高中数学知识的教学中, 巧妙运用函数思想, 有利于提高学生的思维品质.因为学生在遇到一些数学问题时, 通过结合函数思想, 不仅提高了解题速度和解题的正确率, 而且拓展了思路, 发展了思维, 从而提高思维能力.

比如, 在《一元二次不等式》的教学中, 有效运用函数思想, 可大大提高学生的分析能力和思维能力.

【例3】不等式 (a-2) x2+2 (a-2) x-4<0, 对一x∈R切恒成立, 则a的取值范围为 ( ) .

解析:可以看出, 这道题是函数与不等式相结合的题目.根据题意分析, 当a=2时, 不等式就变成了-4<0, 符合题意; (2) 当a≠2时, 令f (x) = (a-2) x2+2 (a-2) x-4, 根据一元二次函数的性质, 要使f (x) <0, (x∈R) , 那么f (x) 必须满足, 解得:-2<a<2.综上所述, a的取值范围为 (-2, 2].在这一解题过程中, 学生的解题能力得到了锻炼, 思维能力也得到了一定的提高.

所以在解决数学问题时, 巧妙运用函数思想, 能够不断拓展学生的思路, 发展学生的思维, 提高学生的解题能力.

巧妙运用函数思想, 可以帮助学生提高解题速度, 培养学生的建模能力, 提高学生的思维能力, 解决生活实际问题.因此, 教师应引导学生学会巧妙运用函数思想去解决问题, 提高学生的学习成绩.

摘要：函数思想在高中数学中起着非常重要的作用.巧妙地运用函数思想, 能更好地解决实际问题, 提高解题能力.教师主要从高中数学的几个重要章节出发, 研究函数思想的具体运用, 探讨如何运用函数思想, 提高学生的解题能力.

浅析函数与方程思想及其实际运用篇11

[关键词] 函数；方程思想；运用

数学思想与数学方法相伴而生，具有伴生性；它藏匿于各个数学问题中，具有内隐性；相对于显性的数学知识点，数学思想具有一定深度和难度. 数学思想的伴生性和内隐性决定了数学思想不能以直接的方式而只能以渗透的方式来传递给学生. 数学思想的深度和难度以及学生现阶段具有的知识水平，决定了中学阶段并不能穷尽数学思想，而只能接触一些与现阶段知识相契合的数学思想. 通常在高中阶段遇到的数学思想有：函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合和分类讨论思想.这其中又以函数与方程思想运用得最多，因为高中数学是以函数为基本脉络的. 文章尝试从函数与方程思想在不同知识层面的运用来浅析函数与方程思想.

函数与方程思想的理论分析

所谓函数与方程思想其实包含着两类思想，即函数思想和方程思想，这两类思想之间存在着一定的相关性，它们之间可以相互转化，例如对于函数y=f（x），通过移项可将其转化成一个二元方程y-f（x）=0，若令y=0，则函数转化成一个一元方程f（x）=0. 因此，在教学过程中通常将函数思想与方程思想并列说明.

具体说来，函数思想是指解题过程中，以函数为桥梁运用它的概念与性质来解读、转化和解决问题，其本质是运用和变化的观点来看待问题，以变量（未知）和变量（未知）的关系为基础，构建相关函数的模型，来分析和研究数学问题中的各个变量之间的关系，从而达到解决问题的功能. 方程思想是指解决问题中分析问题的各个数量之间的等量关系，以等量关系为前提，建立方程或方程组、不等式或不等式组，并利用方程（不等式）的性质和方程（不等式）的求解达到解决问题目的，其本质是运用和变化的观点来看待问题，以定量（已知）和变量（未知）的关系为基础，构建相关方程或不等式的模型，来分析和研究问题定量与变量之间的关系，以达到解决问题的目的.

作为高中知识脉络的主线，函数几乎可以出现在任意知识章节中，结合常见考题可以发现同函数与方程思想结合的问题类型通常有如下几类：首先，不等式与函数的相互转化，例如不等式ax2+bx+c>0中的多项式可看成函数y=ax2+bx+c，而函数y=f（x）可令y>0，则函数又可转化成为不等式，函数与不等式之间可转化的特性，决定了解决不等式问题时常可借助函数的手段来处理. 其次，数列的函数特性，数列的本质是一个离散型函数，其通项公式与前n项求和公式均可看成是以正整数为自变量的函数，因此用函数的观点来处理数列问题是一种常见的手段. 第三，有关解三角形和三角函数求值的问题，解三角形中的正余弦定理带有明显的方程思想，而三角函数本身作为一种特殊的函数本身就具有函数的特点. 第四，解析几何中也是方程思想运用得比较多的地方，比如在处理直线与曲线位置关系时，常将两者的方程联立转化成一元二次方程来处理，再比如在解析几何中求解几何最值时，通常的处理方式是将待求的几何量表示成某个变量的函数表达式，利用函数性质求解最值.

当然上述的理论分析仅仅是从知识的逻辑体系上来分析函数与方程思想，这只能是对函数与方程思想的抽象认识，要深刻理解函数与方程思想，需要更为具象的实例作为支撑.

函数与方程思想的实例运用

扫描近年来的高考题和各市调研试题可以大致将函数与方程思想运用的热点问题归结为如下几类：其一，函数与方程思想在不等式中的运用；其二，函数与方程思想在数列中的运用；其三，函数与方程思想在解析几何中的运用.

1. 函数与方程思想在不等式中的运用

（2015年新课标Ⅱ全国卷）设f ′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（-1）=0，当x>0时，xf ′（x）-f（x）<0，使得f（x）>0成立的x的取值范围是多少？

解析：根据题设xf ′（x）-f（x）<0，可以构造函数h（x）=，所以当x>0时，h（x）=<0，可得h（x）=在（0，+∞）上单调递减；h（-x）=，函数f（x）为奇函数，所以h（-x）==h（x），函数h（x）为偶函数，所以h（x）在（-∞，0）上单调递增，f（-1）=0？圯h（-1）=h（1）=0. 由构造函数h（x）=可知，f（x）=x·h（x），所以f（x）>0？圳x·h（x）>0，也即h（x）与x同号. 所以当x>0时，h（x）>0，即0

反思：利用题设所给条件构造一个与已知函数相关的新函数，利用新函数的图象和性质解决不等式问题，这是典型的函数思想. 在解决不等式问题时，有时直接令题设中的多项式为某一变量的函数，有时根据要求构造与已知表达式相关的函数，利用函数的性质和图象解决问题，是一种常见的思路.

2. 函数与方程思想在数列中的运用

（2015年保定一模）设等差数列{an}满足a1=1，an>0，其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值为多少？

解析：数列{an}为等差数列，所以Sn=n=n·，=.

又数列{}也为等差数列，因此，2=+？圯2=1+，所以d=2，可得an=2n-1，Sn=n2，因此==+，不妨令f（n）=+，将待求表达式看成关于自变量n的函数，函数f（n）在（0，+∞）上单调递减，所以f（n）≤f（1）=11，因此的最大值为121.

反思：将待求数列的表达式看成是关于正整数n的函数，利用函数的单调性求解待求表达式的最值，是典型函数与方程思想. 数列在本质上可以看作定义域为正整数集或其子集的离散型函数，与数列基本量相关的表达式实质就是相应函数的解析式，因此，解决数列问题应当注意利用函数思想解决问题.

3. 函数与方程思想在解析几何中的运用

（2014年福建）设P，Q分别为圆x2+（y-6）2=2和椭圆+y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是多少？

解析：根据圆方程和椭圆方程可知圆与椭圆没有公共点，所以可将椭圆上的点视为圆外的点，根据几何意义可知圆外任意一点到圆的最大距离是此点与圆心的距离与半径之和. 所以不妨设Q点坐标为（x，y），所以点Q与圆心的距离d1=. 又因为点Q在椭圆上，所以坐标满足方程+y2=1，即x2=10-10y2，即d1=，化简后可得d=，不妨令h（y）= -9y2-12y+46，y∈[-1，1]，所以当y=-时，h（y）取最大值50，即d1最大值为5，所以PQmax=6.

反思：将两点之间的距离表示成一个关于y的多项式，利用y的取值范围确定多项式的取值范围，显然这是典型的函数求值域的思想. 在解析几何中，求解几何最值是高考的高频热点，而处理这类问题的指导思想就是函数思想：将待求量表示成一个或几个变量的表达式，利用函数求最值的方式来处理几何最值.

浅析高中数学函数与方程思想篇12

在高考中主要考查的是函数的概念、性质及图像的应用, 包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。

方程的思想, 就是分析数学问题中变量间的等量关系, 建立方程或方程组, 或者构造方程, 通过解方程或方程组, 或者运用方程的性质去分析、转化问题, 使问题获得解决。方程思想是动中求静, 包括研究运动中的等量关系数法、换元法、转换法和构造方程法四个方面。

函数思想与方程思想的联系十分密切。解方程f (x) =0就是求函数y=f (x) 当函数值为零时自变量x的值。求综合方程f (x) =g (x) 的根或根的个数就是求函数y=f (x) 与y=g (x) 的图象的交点或交点个数。参数方程f (x, y, t) =0具有函数因素, 属能随参数的变化而变化的动态方程。它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点, 而是具有某种共性的几何曲线。正是这些联系, 促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换, 丰富了数学解题的思想宝库。

一、显化函数关系

在高中数学的很多解题过程中, 可以将原有的隐含的函数关系凸显出来, 从而用函数的知识和方法来使问题得到解决。

例1:在数列{an}中, a1=15, 以后各项为 an+1=an-2, 求数列{an}的前n项和的最大值。

二、转换函数关系

在研究函数的性质, 数列和圆锥曲线等恒成立问题中逆求参数的取值范围, 按照原来的函数很难解决时, 当我们转换思维角度, 放弃题设的主参限制, 从其他的角度重新设变量, 利用新的函数关系, 使原问题获解。

例2:已知函数 $f (x) = \lg \frac{1 + 2^{x} + 4^{x} \cdot a}{a^{2} - a + 1}$ , 其中a为常数, 若当x∈ (-∞, 1]时, f (x) 有意义, 求实数a的取值范围。

三、构造函数关系

在我们解决一些非函数问题的时候, 通过联想、抽象、概括等方法, 构造出一定的函数关系, 利用函数的思想方法使原来的问题得到解决, 这是用函数思想解题的更高层次的体现。在构造的时候, 要认真审题, 发现题目中的可以类比、联想的条件, 促进思维迁移。

例3:求函数 $y = (\log_{\frac{1}{4}} x)^{2} - \log_{\frac{1}{4}} x^{2} + 5, x \in [2, 4]$ 的值域。

解:令 $t = \log_{\frac{1}{4}} x, x \in [2, 4], t \in [- 1, - \frac{1}{2}]$ , 函数y=t2-2t+5= (t-1) 2+4, 在 $t \in [- 1, - \frac{1}{2}]$ 上单调递减, 所以函数的值域为 $\frac{25}{4} \leq y \leq 8$ 。

点拨解疑:通过构造辅助函数 $t = \log_{\frac{1}{4}} x, x \in [2, 4], t \in [- 1, - \frac{1}{2}]$ , 借助函数的单调性, 运用复合函数的单调性, 求原函数的值域。

四、建立方程模型

例5:甲、乙两地相距s千米, 汽车从甲地匀速驶到乙地, 速度不得超过c千米/小时, 已知汽车每小时的运输成本 (以元为单位) 由可变部分和固定部分组成, 可变部分与速度v (km/h) 的平方成正比, 比例系数为b, 固定部分为a元。

(1) 把全程运输成本y (元) 表示为v (km/h) 的函数, 并指出这个函数的定义域;

(2) 为了使全程运输成本最小, 汽车应以多大速度行驶?

分析:本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识, 还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力。学会将实际问题抽象转化为具体的函数问题, 不要忽略对参变量的限制条件。技巧与方法: ①读题;②建模;③求解;④评价。

五、待定系数法

一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式, 这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组, 其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数, 或找出某些系数所满足的关系式, 这种解决问题的方法叫做待定系数法。

例5:是否存在常数 a, b, c, 使得等式 $1 \cdot 2^{2} + 2 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 4^{2} + \dots + n (n + 1)^{2} = \frac{n (n + 1)}{12} (a n^{2} + b n + c)$ 对于一切自然数n都成立?并证明你的结论。

六、转换方程形式

例6:设二次函数f (x) =ax2十bx十c (a> 0) , 方程f (x) -x=0的两个根满足 $0 ＜ x_{1} ＜ x_{2} ＜ \frac{1}{a},$

(1) 当x∈ (0, x1) 时, 证明x<f (x) <x1;

(2) 设函数f (x) 的图象关于直线x=x0对称, 证明 $x_{0} ＜ \frac{x_{1}}{2}$ 。

分析:本例是有一定难度的代数推理题, 审题中要细心分清函数f (x) 与方程f (x) -x=0是两个不同的条件, x=x0是函数f (x) 的对称轴, x1, x2则是方程f (x) -x=0的根, 它们之间的联系通过a, b, c隐蔽地给出, 因而充分利用二次函数的性质, 引进辅助函数g (x) =f (x) -x, 凸现已知条件的联系, 是解题的关键.