集合函数

2024-10-16

集合函数（精选5篇）

集合函数篇1

集合函数知识的学习是在高一上学期,它是众多今后将要学习的高中数学知识的基础,同时也是重要的高考考核内容。教师在教学过程中,应该给学生打下良好的高中数学基础,以便今后对其他与集合函数有关的知识进行有效的学习与掌握。

一、集合函数的教学思路

集合函数在高中数学教学中有着重要的地位,同时也是高考的必考点,因此数学教师对于集合函数的教学思路,应该系统地分为三个部分。

首先,对教学目标有一定认识,它是数学教学活动的开展的导向,针对集合函数在数学学习中的具体要求而言,教学目的应该与高考有关考点相匹配。明确了数学教学活动的需求才能让数学老师在教学中得心应手。再有就是数学老师应对集合函数的相关教学计划有着良好的安排。教学计划有主要分两个部分,一是针对集合函数的教学内容,二是针对集合函数的教学方法。最后就是针对集合函数的理论知识进行开展在高中数学教学过程中,应当使学生了解掌握集合函数的理论知识,由易到难,渐进式地展开对集合函数的教学工作,让学生逐渐对集合函数有更深层的掌握。

二、集合函数教学的开展

(一)培养学生的反向思考意识

反向思考是高中数学中需要学生熟练运用的重要思考方式,在针对某些数学问题时,正向思维往往很容易碰到障碍所以很多情况下,学生从反方向进行解答,会获得出其不意的好效果。因此,老师在高中数学教学中,需要加强学生对反向思考的训练,并且以此为基础,针对性地设置相关题目训练学生的反向能力,逐渐使学生培养出反向思考的意识。

例如,“存在有两个相同的集合A与B,其中A={1,x,x2-x}B={1,2,x},则x的值为多少?”针对这道问题,老师就可以引导学生使用反向思考解答问题,观察集合B,依据集合的元素互异性可得,x≠1且x≠2,所以可以求出有且只有一个满足条件的等式即x2-x=2,可以求得x=-1。观察结题的全过程,该题首先利用集合元素之间的互异性对x的范围进行限制,在这个基础上建立满足x的限制条件的式子,进一步求得x的唯一解为-1。

以这道题作为典型例子,老师就可以依照该类型的数学问题展开有关教学活动,逐渐对学生思维进行有效引导。让学生对集合函数的理论知识与相关规律有更高层次的掌握,从而为学生今后的高中数学学习打下良好的基础。

(二)将数学思想传递给学生

有良好的数学思想是学好数学的核心,因此在高中数学集合函数这一章的教学中,老师需要把良好的数学思想传递给学生,这对于学生今后的数学学习有着积极而深远的意义。老师传递给学生数学思想有三个积极作用。首先,稳固学生的基础理论知识,以便今后教学活动的顺利开展。其次,集合函数教学中老师使用数学思想,可以让学生产生深刻的认识。最后,对实际问题使用数学思想进行解答,强化学生的数学意识。

例如,有函数y=lgx,求下列的所有选项中,哪个函数的定义域与y=lgx相同?

A.f(x)=lnx B.F(x)=0 C.F(x)=|x|D.f(x)=ex

针对这个问题的四个选项,其实只需要依据函数的性质思考就能轻松找出正确答案。y=lgx的定义域是x>0,而纵观下列四个选项,A选项的定义域是x>0;B选项的定义域是x≥0;C选项的定义域是R;D选项的定义域也是R。因此,可以看出只有A选项满足这道题的要求。

(三)集合函数知识的综合使用

因为集合函数主要涵盖了集合和函数这两个部分的知识,所以老师在今后的高中数学教学过程中,应该注重把这两个部分的理论知识加以综合,进行教学活动,保证学生拥有综合使用集合函数这些理论知识的能力。在高中集合函数的实际教学之中,数学老师可以随堂设计一些综合性较强的集合函数问题,指导学生通过集合函数问题学会使用多种数学方法解决问题。

例如,已知存在有函数f(x)=x2-3x-10的两个零点分别是x1和x2,并且有A={x|x≤1,或x≥2},B={x|2m-1<x<3m+2}。如果此时的A、B都不是空集,试问m的取值范围是多少?

针对这道问题,它的重点就是融合了集合和函数的有关知识,对于学生掌握集合函数的能力有了深入的测试。

分析:已知AB不是空集,由此可得2m-1≥-2,或3m+2≤5,并且有3m+2>2m-1,或3m+2<2m-1;所以,由结论可得{m|-12≤m≤1,m<-3}。

通过实际的解答过程很容易发现,该题综合运用了函数和集合的有关知识。所以在高中数学教学过程中,应强化集合函数知识的综合使用,最大限度地优化教学。

结语

在高中数学教学过程中,集合函数作为教学中的重点内容,同时也是高考的必考点。所以,要从基础理论知识上训练学生的反向思考意识,再者是传递给学生在解答集合函数相关数学问题的数学思想,最后要强化学生综合使用集合函数知识的能力。做到了这几步,就可以保证集合函数的教学工作开展顺利。

摘要：作为高考数学的重要考点,集合函数同时还是函数知识的几何表达,它包含了集合与函数两方面的数学性质。在高中数学教学过程中,集合函数教学也要从这两个方面入手。本文从介绍集合函数入手,提出了一些集合函数教学开展的策略,希望可以给高中数学教育工作者提供帮助。

关键词：高中数学教学,集合函数,教学思路,教学方法

集合函数篇2

为了系统掌握第一章的知识，教师直接点出课题.推进新课新知探究提出问题

①第一节是集合，分为几部分？ ②第二节是函数，分为几部分？

③第三节是函数的基本性质，分为几部分？ ④画出本章的知识结构图.讨论结果:①分为：集合的含义、集合间的基本关系和集合的运算三部分.②分为：定义、定义域、解析式、值域四部分；其中又把函数的概念拓展为映射.③分为：单调性、最值和奇偶性三部分.④第一章的知识结构图如图1-1所示，图1-1 应用示例

例1若P={x|y=x2},Q={(x,y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A.P∩Q= B.PQ

C.P=Q

D.PQ

点评：判断用描述法表示的集合间关系时，一定要搞清两集合的含义，明确集合中的元素.形如集合{x|x∈P(x),x∈R}是数集，形如集合{(x,y)|x、y∈P(x,y),x、y∈R}是点集，数集和点集的交集是空集.变式训练

1.2007山东威海一模，文1设集合M=｛x| x>1｝，P={x| x2-6x+9=0}，则下列关系中正确的是（）A.M=P

B.PM

C.MP

D.M∩P=R

2.2007河南周口高三期末调研，理6定义集合A与B的运算A*B={x|x∈A或x∈B,且xA∩B},则(A*B)*A等于（）A.A∩B

B.A∪B

C.A

D.B 点评：解决新定义集合运算问题的关键是抓住新运算定义的本质，本题A*B的本质就是集合A与B的并集中除去它们公共元素组成的集合.例2求函数y=x2+1的最小值.分析：思路一:利用实数运算的性质x2≥0，结合不等式的性质得函数的最小值；思路二:直接利用二次函数的最值公式，写出此函数的最小值.点评：求函数最值的方法：

观察法：当函数的解析式中仅含有x2或|x|或x时，通常利用常见的结论x2≥0,|x|≥0,x≥0等，直接观察写出函数的最值；

公式法：求基本初等函数（正、反比例函数，一次、二次函数）的最值时，应用基本初等函数的最值结论（看成最值公式），直接写出其最值.例3求函数y=3x的最大值和最小值.2x4分析：把变量y看成常数，则函数的解析式可以整理成必有实数根的关于x的方程，利用判别式的符号得关于y的不等式，解不等式得y的取值范围，从而得函数的最值.ax2bxc点评：形如函数y=2(d≠0)，当函数的定义域是R（此时e2-4df<0）时，常用判dxcxf别式法求最值，其步骤是①把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2+nx+k=0；②分类讨论m＝0是否符合题意；③当m≠0时，关于x的方程mx2+nx+k=0中有x∈R，则此一元二次方程必有实数根，得n2-4mk≥0即关于y的不等式，解不等式组n24mk0,此不等式组的解集与②中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大m0.值和最小值.例42007河南开封一模，文10函数f(x)=x2-2ax+a在区间（-∞，1）上有最小值，则函数g(x)=f(x)在区间（1，+∞）上一定（）xA.有最小值

B.有最大值

C.是减函数

D.是增函数

点评：定义法判断函数f(x)的单调性的步骤是①在所给区间上任取两个变量x1、x2；②比较f(x1)与f(x2)的大小，通常利用作差比较它们的大小，先作差，后将差变形，变形的手段是通分、分解因式，变形的结果常是完全平方加上一个常数或因式的积（商）等；③由②中差的符号确定函数的单调性.注意：函数f(x)在开区间D上是单调函数，则f(x)在开区间D上没有最大值，也没有最小值.变式训练

求函数f(x)=x-1的单调区间.点评：复合函数是指由若干个函数复合而成的函数，它的单调性与构成它的函数的单调性有密切联系，其单调性的规律为：“同增异减”，即复合函数y=f［g(x)］，如果y=f(u)，u=g(x)2

有相同的单调性时，函数y=f［g(x)］为增函数，如果具有相异（即相反）的单调性，则函数y=f［g(x)］为减函数.讨论复合函数单调性的步骤是：①求复合函数的定义域；②把复合函数分解成若干个常见的基本初等函数并判断其单调性；③依据复合函数的单调性规律口诀：“同增异减”，判断或写出函数的单调性或单调区间.注意：本题如果忽视函数的定义域，会错误地得到单调递增区间是［0,+∞)，单调递减区间是(-∞,0］.其避免方法是讨论函数的性质要遵守定义域优先的原则.例5集合A={x|x2-3x-4=0},B={x|mx-1=0}，若BA，则实数m＝________.黑色陷阱：本题任意忽视B=的情况，导致出现错误m=-1,问题要全面，要注意空集是任何集合的子集.变式训练

1.避免此类错误的方法是考虑4x20已知集合A={x|}，B={x|p+1≤x≤2p-1}，若A∩B=B，求实数p的取值范围.5x0

点评：本题是已知集合运算的结果，求参数的值，解决此类问题的关键是依据集合运算的含义，观察明确各集合中的元素，要注意集合元素的互异性在解决含参数集合问题中的作用；空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，求解有关集合间的关系问题时一定要首先考虑空集；

要重视常见结论A∩B=BA∪B=ABA的应用，此时通常要分类讨论解决集合问题，分类讨论时要考虑全面，做到不重不漏.例6求函数y=x+4,x∈［1,3］的最大值和最小值.x分析：利用函数的单调性来求得函数的最值.转化为讨论函数的单调性.点评：如果能够确定函数的单调性，那么可以利用函数的单调性求函数最值，这种方法称为单调法，主要应用以下结论：函数y=f(x)在区间［a,b］上是减函数，在区间［b,c］上是增函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c］上的最大值是f(a)与f(c)的最大值，最小值是f(b)；函数y=f(x)在区间［a,b］上是增函数，在区间［b,c］上是减函数，那么函数y=f(x)在区间［a,c］上的最小值是f(a)与f(c)的最大值，最大值是f(b).单调法求函数最值的难点是确定函数的单调区间，借助于函数的图象，常用单调性的定义来判断，还要靠经验的积累.例7求函数y=x4+2x2-2的最小值.点评：求形如函数y=ax2m+bxm+c(ab≠0)或y=ax+bxc(ab≠0)的最值时，常用设xm=t或bxc=t，利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题，这种求最值的方法称为换元法.此时要注意换元后函数的定义域.例82007江西金太阳全国第二次大联考，理22定义在(-1，1)上的函数f(x)满足：对任意x,y∈(-1，1)，都有f(x)+f(y)=f（xy).1xy(1)求证：函数f(x)是奇函数；

(2)若当x∈(-1，0)时，有f(x)>0，求证：f(x)在(-1，1)上是减函数.点评：对于抽象函数的单调性和奇偶性问题时，必用单调性和奇偶性的定义来解决，即定义法是解决抽象函数单调性和奇偶性问题的通法；判断抽象函数的奇偶性与单调性时，在依托定义的基础上，用好赋值法，注意赋值的科学性、合理性，知能训练

1.2006陕西高考，文1已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x-6=0},则P∩Q等于（）A.{1,2,3}

B.{2,3}

C.{1,2}

D.{2} 2.2006安徽高考，文1设全集U={1,2,3,4,5,6,7,8}，集合S={1,3,5}，T={3,6}，则等于（）A. B.{2,4,7,8}

C.{1,3,5,6}

D.{2,4,6,8} 3.已知二次函数f（x）满足条件f（0）=1和f（x＋1）-f（x）=2x.（1）求f（x）；

（2）求f（x）在区间［-1，1］上的最大值和最小值.课堂小结

本节课学习了：总结了第一章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法.作业

集合函数导数综合测试卷篇3

1.集合{-1，0，1}共有个子集.

2.已知集合A={0，2，a2}，B={1，a}，若A∪B={0，1，2，4}，则实数a的值为.

3.已知f（x3）=lgx（x>0），则f（4）的值为.

4.若集合P={x|3

5.已知函数f（x）=2x+1，x<1，x2+ax，x≥1，若f（f（0））=4a，则实数a等于.

6.设f（x2+1）=loga（4-x4）（a>1），则f（x）的值域是.

7.已知f（x）=x3-ax在[1，+∞）上是单调增函数，则a的最大值是.

8.设函数f（x）=x（ex+ae-x）（x∈R）是偶函数，则实数a=.

9.已知函数f（x）=4x-2xt+t+1在区间（0，+∞）上的图象恒在x轴上方，则实数t的取值范围是.

10.在平面直角坐标系xOy中，点P（0，1）在曲线C：y=x3-x2-ax+b（a，b为实数）上，已知曲线C在点P处的切线方程为y=2x+1，则a+b=.

11.若a>3，则方程x3-ax2+1=0在（0，2）上恰有个实根.

12.若f（x）是定义在R上的函数，对任意实数x都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2，且f（1）=1，则f（2014）=.

13.某同学为研究函数f（x）=1+x2+1+（1-x）2（0≤x≤1）的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则AP+PF=f（x）.请你参考这些信息，推知函数f（x）的极值点是；函数f（x）的值域是.

14.已知函数f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），对任意的x∈R，恒有f′（x）≤f（x）.若对满足题设条件的任意b，c，不等式f（c）-f（b）≤M（c2-b2）恒成立，则M的最小值为.

二、解答题

15.已知集合A=xlog12（x+2）>-3x2≤2x+15，B={x|m+1≤x≤2m-1}.

（1）求集合A；

（2）若BA，求实数m的取值范围.

16.设函数f（x）=x-（x+1）ln（x+1）（x>-1）.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）证明：当n>m>0时，（1+n）m<（1+m）n.

17.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x.

（1）求函数g（x）的解析式；

（2）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；

（3）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围.

18.轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动.如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1m的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点.现在运动员的滑行轮迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A（0，4），另一端点C（3，1），点B（2，0），单位：m.

（1）求助跑道所在的抛物线方程；

（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4m到6m之间（包括4m和6m），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围.

（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值）

19.给出定义在（0，+∞）上的三个函数：f（x）=lnx，g（x）=x2-af（x），h（x）=x-ax，已知g（x）在x=1处取极值.

（1）确定函数h（x）的单调性；

（2）求证：当1

（3）把函数h（x）的图象向上平移6个单位得到函数h1（x）的图象，试确定函数y=g（x）-h1（x）的零点个数，并说明理由.

20.已知二次函数f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c·lnx（abc≠0）.

（1）证明：当a<0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；

（2）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记直线AB的斜率为k，若f（x）满足k=f′（x0），则称其为“K函数”.判断函数f（x）=ax2+bx+c与g（x）=ax2+bx+c·lnx（abc≠0）是否为“K函数”？并证明你的结论.

参考答案

一、填空题

1.8

2.2

3.23lg2

4.（6，9]

5.2

6.（-∞，loga4]

7.3

8.-1

9.（-∞，2+22）

10.-1

11.1

12.2014

13.x=12； [5，2+1]

14.32

二、解答题

15.解：（1）解不等式log12（x+2）>-3得：

-2

解不等式x2≤2x+15得：-3≤x≤5.②

由①②求交集得-2

即集合A=（-2，5].

（2）当B=时，m+1>2m-1，

解得m<2；

当B≠时，由m+1≤2m-1，m+1>-2，2m-1≤5

解得2≤m≤3，

故实数m的取值范围为（-∞，3].

16.解：（1）f′（x）=1-ln（x+1）-x+1x+1=-ln（x+1），

当f′（x）≥0，即-1

当f′（x）≤0，即x≥0时，f（x）单调递减.

综上得f（x）的单调递增区间为（-1，0），单调递减区间为[0，+∞）.

（2）证明：设g（x）=ln（1+x）x（x>0），

则g′（x）=x1+x-ln（1+x）x2

=x-（1+x）ln（1+x）x2（1+x）.

由（1）知，f（x）=x-（1+x）ln（1+x）在（0，+∞）上单调递减，

所以x-（1+x）ln（1+x）

g（x）在（0，+∞）上单调递减，

而n>m>0，所以g（n）

即ln（1+n）n

得mln（1+n）

故（1+n）m<（1+m）n.

17.解：（1）设函数y=f（x）的图象上任一点Q（x0，y0）关于原点的对称点为P（x，y），

则x0+x2=0，y0+y2=0，即x0=-x，y0=-y.

又∵点Q（x0，y0）在函数y=f（x）的图象上，

∴-y=x2-2x，∴y=-x2+2x.

即g（x）=-x2+2x.

（2）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得

2x2-|x-1|≤0.

当x≥1时，2x2-x+1≤0，此时不等式无解；

当x<1时，2x2+x-1≤0，∴-1≤x≤12.

因此，原不等式的解集为[-1，12].

（3）h（x）=-（1+λ）x2+2（1-λ）x+1.

①当λ=-1时，h（x）=4x+1在[-1，1]上是增函数，故λ=-1适合题意.

②当λ≠-1时，对称轴的方程为x=1-λ1+λ.

当λ<-1时，1-λ1+λ≤-1，解得λ<-1；

当λ>-1时，1-λ1+λ≥1，解得-1<λ≤0.

综上所述，λ≤0.

故实数λ的取值范围为（-∞，0].

18.解：（1）设助跑道所在的抛物线方程为f（x）=a0x2+b0x+c0，依题意c0=4，4a0+2b0+c0=0，9a0+3b0+c0=1，解得a0=1，b0=-4，c0=4，

所以助跑道所在的抛物线方程为

f（x）=x2-4x+4，x∈[0，3].

（2）设飞行轨迹所在抛物线为g（x）=ax2+bx+c（a<0），

依题意f（3）=g（3），f′（3）=g′（3），即9a+3b+c=1，6a+b=2，

解得b=2-6a，c=9a-5，

所以g（x）=ax2+（2-6a）x+9a-5

=a（x-3a-1a）2+1-1a.

令g（x）=1，得（x-3a-1a）2=1a2.

因为a<0，所以x=3a-1a-1a=3-2a.

当x=3a-1a时，g（x）有最大值，为1-1a，

则运动员的飞行距离d=3-2a-3=-2a，

飞行过程中距离平台最大高度h=1-1a-1=-1a，

依题意，4≤-2a≤6，即2≤-1a≤3，

即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2m到3m之间.

19.解：（1）由题设，g（x）=x2-alnx，则g′（x）=2x-ax.

由已知，g′（1）=0，即2-a=0a=2.于是h（x）=x-2x，则h′（x）=1-1x.

由h′（x）=1-1x>0x>1，h′（x）=1-1x<00

所以h（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数.

（2）当1

欲证x<2+f（x）2-f（x），只需证x[2-f（x）]<2+f（x），即证f（x）>2（x-1）x+1.

设φ（x）=f（x）-2（x-1）x+1=lnx-2（x-1）x+1，

则φ′（x）=1x-2（x+1）-2（x-1）（x+1）2=（x-1）2x（x+1）2.当10，所以φ（x）在区间（1，e2）上为增函数.

从而当1φ（1）=0，即f（x）>2（x-1）x+1，故x<2+f（x）2-f（x）.

（3）由题设，h1（x）=x-2x+6.令g（x）-h1（x）=0，则x2-2lnx-（x-2x+6）=0，

设m（x）=x2-2lnx-x+2x-6，

m′（x）=2x-2x-1+1x=2x2-2-x+xx

=2（x-1）（x+1）（x+1）-x（x-1）x

=（x-1）（2xx+2x+x+2）x，

令m′（x）=0得x=1，当x∈（0，1）时，m′（x）<0；当x∈（1，+∞）时，m′（x）>0.

所以m（x）min=m（1）=-4<0，而x→0时，m（x）→+∞，x→+∞时，m（x）→+∞.

故函数m（x）的图象与x轴有且仅有两个交点，也就是说函数y=g（x）-h1（x）有两个零点.

20.解：（1）假设g（x）在定义域（0，+∞）上为增函数，

则有g′（x）=2ax+b+cx=2ax2+bx+cx>0对于一切x>0恒成立，

从而必有2ax2+bx+c>0对于一切x>0恒成立.

又a<0，由二次函数的图象可知：2ax2+bx+c>0对于一切x>0恒成立是不可能的.

因此当a<0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数.

（2）函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”，

g（x）=ax2+bx+c·lnx（abc≠0）不是“K函数”.

证明如下：对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，

k=f（x1）-f（x2）x1-x2=a（x22-x21）+b（x2-x1）x2-x1

=a（x2+x1）+b=2ax0+b.

又f′（x0）=2ax0+b，故k=f′（x0）.

故函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”.

对于函数g（x）=ax2+bx+c·lnx（abc≠0）（x>0），

不妨设x2>x1>0，

则k=g（x1）-g（x2）x1-x2

=a（x21-x22）+b（x1-x2）+clnx1x2x1-x2

=2ax0+b+clnx1x2x1-x2.

又g′（x0）=2ax0+b+cx0，

若g（x）为“K函数”，则必满足k=g′（x0），

即有2ax0+b+clnx1x2x1-x2=2ax0+b+cx0，

也即clnx1x2x1-x2=2cx1+x2（c≠0），

所以lnx1x2x1-x2=2x1+x2.

设t=x1x2，则0

设s（t）=lnt-2（t-1）1+t，则s′（t）=（t-1）2t（1+t）2>0，

所以s（t）在t∈（0，1）上为增函数，s（t）

故lnt≠2（t-1）1+t.②

①与②矛盾，因此，函数g（x）=ax2+bx+c·lnx（abc≠0）不是“K函数”.

（作者：朱振华，江苏省海门中学）

集合函数篇4

关键词：航站楼,位置服务,定位技术,集合,加权径向基函数

0 引言

为了满足航空旅客在航站楼内的位置服务需要,机场决定开发面向航空旅客的位置服务技术,例如登机口指引,机场服务设施引导等。针对这种情况,提出采用航站楼内已部署好的无线通信设施为用户提供精确的位置信息。

现有的基于信号强度的无线定位技术主要分为传播模型和位置指纹。对于复杂的室内环境很难建立精确的传播模型,因此传播模型定位精度受到很大的限制。位置指纹技术在每个采样单元的中心收集AP信息,形成采样数据库; 在定位阶段,将实测数据与采样数据库中的数据对比,最终确定位置。最简单的对比算法是最近邻,在文献[1,2]中通过统计学方法降低环境因素引起的信号强度波动,提高了最近邻算法的准确度。文献[3]提出了加权最近邻,根据采样点处样本数和样本方差确定权值。文献[4]提出根据AP在各采样点的信号强度变化情况确定权值,并将其应用到径向基核函数中。文献[5,6]证明了信号强度的变化近似符合正态分布,并将其应用到各自的定位算法中。文献[7 - 11]都采用一些人工智能算法提高了定位准确率和精度。文献[12]介绍了一种基于隐状态排序的半异构无线定位技术。文献[13]通过计算未知节点信号向量与各个样本点对应向量的贴近度,最终确定未知节点的坐标。文献[14,15]详细分析和总结了现有基于信号强度的定位技术及其普适性。

考虑到航站楼实际环境中,旅客非常多且走动频繁,由于人体大约90% 的成分是水,水的共振频率大约为2. 4 GHz,而无线局域网也工作于该频段,因此旅客会对无线信号产生较大的影响。因此,如何降低人对信号的影响是提高航站楼内定位准确度的关键。本文提出通过多次采集AP信息,来降低人对信号强度的随机性影响,同时采用集合和加权径向基融合的定位技术,实现用户的准确定位。

1 定位算法

与传统指纹定位技术一样,本文方法也分为两个阶段: 离线采样阶段和实施定位阶段。在离线采样阶段,本文分别提取了采样数据的集合特征和数值特性,集合特性描述了信号较弱的AP对定位的作用,数值特性主要描述信号较强的AP对定位的作用。在实施定位阶段,先通过集合特征缩小定位范围,再通过数值特征实现准确定位,其定位方法框架如图1所示。采用集合的方式处理AP信息,第一能够降低人对信号的随机性影响,第二利用了信号较弱的AP对定位作用,可以弥补传统定位算法只是用信号强的AP的不足,第三对于某个AP的突然故障不敏感,降低了对定位影响。

1. 1 离线采样与预处理

与传统位置指纹定位技术一样,离线采样阶段的目标是构建一个关于采样点与采样点感测到的AP的关系数据库。为了获取这些数据,首先需要在待定位环境里划分采样点,例如可以将定位环境用网格划分,每1或2 m2为一个采样点,然后遍历所有采样点,记录下每个采样点收到的AP信息。采样点实测到的AP信息集合表示为:

其中APi,j表示在第i个采样点第j次采样的AP信息集合,api,j,k表示在第i个采样点处,第j次采样感测到的第k个AP信息,maci,j,k和rssii,j,k分别表示相应AP的MAC地址和信号强度值。

1. 1. 1 提取集合特征

在不同采样点处无线网卡能够感测到AP的数量存在差异。即使在同一位置处检测到AP的数量也在变化,因为在航站楼内旅客非常多,走动非常频繁,对无线信号的影响非常大,因此造成无线网卡感测到的AP的数量不稳定。因此,对采样数据应采用集合的方式处理。

以集合的方式处理采样数据,就是充分利用信号强度较弱的AP对定位的贡献。例如某些AP只有少部分采样点能够感测到,假如在定位阶段时能够感测这些AP就可以迅速缩小候选定位位置集合。相反,如果每一个采样点都能感测到某个AP,那么这个AP不能用于区分位置。航站楼是一个面积较大的建筑楼层,且内部部署了大量无线AP,这就会存在某些采样点能够感测到一个或几个信号较弱的AP,而其他采样点则是无法感测到,充分利用这些AP能大幅降低定位时的比较次数、提高准确率。这种方法充分利用信号较弱的AP对定位的贡献,弥补了传统定位算法只使用信号较强的AP的缺点。

基于以上思想处理采样数据,第一步获取每个采样点能够感测的AP集合,例如第i个采样点感测到的AP的MAC地址集合可以表示如下:

其中MACi,j表示第i个采样点第j次采样的AP对应MAC地址集合,MACi表示第i个采样点m次采样感测到的所有AP的MAC地址集合,m表示在第i个采样点处采样的次数。

第二步根据MACi集合建立能够感测到某个AP的所有位置集合,例如能够感测到第k个AP的位置集合表示如下:

其中positioni( 0≤i≤l) 表示第i个位置。

1. 1. 2 提取数据特征

无线信号随着传播距离逐渐衰减,加之航站楼内墙壁、设备、人员走动对信号的干扰,在采样点某些AP会出现时有时无,不稳定状态,这些AP对于数值方式定位的贡献非常小。因此,在数值处理时只使用在某采样点处的m次采样中出现比例超过70% 的AP,通过数学统计得到采样点的数值特征包括均值和方差,最终形成采样点数字特征集合,例如第i个采样点数值特征集合表示如下:

其中,表示第k个AP的m次采样值的均值,δi,k表示第k个AP的m次采样值的标准差,在采样数据中,存在某些AP在某几次采样中没有出现,这时使用能够感测到AP信号的极小值作为缺省值,通过实验选择为 - 95 d Bm。

1. 1. 3 确定权值

对于不同的AP在数值定位算法中贡献并不相同,例如: 某些AP在各个采样点感测到的信号强度变化幅度非常大,那么这些AP在数值定位算法贡献也大,可用于区分位置; 相反,如果在各个采样点处的信号强度变化不大,那么这些AP对数值定位算法的贡献也就小。因此在数值定位中应该有区别地对待各个AP。本文采用不同采样点感测到的AP信号强度的方差描述AP的权值。因为方差越大,说明不同采样点感测到该AP的信号强度变化越大,越容易区分位置,反之,如果方差很小,说明不同采样点感测到该AP的信号强度相差不大,很难用于区分位置。其第k个AP的权值计算方式如下:

其中,l表示采样点的总数,表示第k个AP在所有采样点处信号强度的均值,同样在计算中存在缺失值问题,与上面一样默认缺失值为 - 95 d Bm。

1. 2 实现定位

为了降低航站楼内人员频繁走动对定位准确度的影响,在实验中采用连续多次收集AP信息的方式来降低人对无线信号的影响。对于收集到的数据,其处理过程与采样阶段一样,最后得到需定位位置的MAC集合和Num集合。MAC集合表示感测到AP的MAC地址集合,通过该集合可以缩小定位范围,Num集合表示感测到AP的数值特征集合,通过数值特征比对实现准确定位。

1. 2. 1 以集合方式缩小定位算法

在定位阶段能够感测到的AP的集合可以表示为:

根据MAC集合的各个元素查找相应的Position集合,选择元素最少的Position集合作为目标位置集合。

其中,Count( APk) 计算APk集合的元素个数,Positiontarget表示元素个数最少的AP集合。

1. 2. 2 以数值方式准确定位

定义1径向基满足K( x,c) = f( ‖x - c‖) ,其中c是中心点。

径向基函数是一个取值仅依赖于离中心点距离的实值函数,一般距离选择欧式距离。在大量采集数据的前提下,某一位置感测的固定AP的信号强度基本满足高斯分布,这一结论在文献[5,6]中已经得到验证。因此,本文选择高斯函数作为径向基函数,可以表示为如下:

在数值定位阶段计算得到待定位位置的数值特征集合表示为如下:

在本文中,选择样本均值作为径向基函数的中心点c ,δ为样本的方差。由径向基函数定义可以看出,距离中心点越近的值,径向基值越大。在数值定位阶段,集合Positiontarget中各个位置的数值特征分别与待定位置Num的数值特征计算径向基值,并将其作为相似值。最终选择具有最大相似度的候选位置作为旅客位置,其计算公式如下:

其中,计算径向基值也涉及到缺省值,与前面类似采用缺失值 - 95 d Bm。

2 建立实验环境

实验为了模仿航站楼旅客多,走动频繁等特点,实验选择中国民航大学南院第四教学楼五楼( 见图2所示) ,该教学楼的第二、三、四层都部署了大量无线AP,因为五楼为计算机学院实验机房,平时上机人员非常多,且走动非常频繁。采样工作和定位选在学生上机时间,以达到与航站楼的最大相似性。

实验中使用Android智能手机和装有Linux操作系统的笔记本作为移动终端,实验软件由Java语言编写实现,再结合本文的定位算法完成实验。对于采样阶段,本文采用网格划分采样点,其中每个采样点面积约为2 m2,第一次在各采样点中心位置采样40 ~ 50次,其中每次采样间隔5分钟,以保证收到的AP集合不受随机性事件影响,用于离线阶段的提取集合和数值特征。第二次在每个采样点连续采样15 ~ 20次用于实测定位实验,验证本文算法的有效性。

3 实验结果与分析

在实验验证中,第一次采集的数据用于提取各个采样点的集合特征和数值特征,第二次采集的数据用于验证本文定位算法的准确度。从第一次采样数据中随机选择3个采样点,统计扫描次数与扫描到的AP个数的关系如图3所示。

图3显示了3个采样点在30次采样时感测到AP的数量,实验结果表明不同采样点处能够感测到的AP数量不同,即使在同一采样点处感测的AP的数量也是一直变化的,这说明实验室的电子设备、学生的走动对无线信号产生很大的影响。因此,在实施定位阶段应该以集合角度处理数据,另外可以采用多次收集AP信息以保证数据的完整性。

本文统计了某个采样点在30次采样中4个AP信号强度的变化情况如图4所示,通过统计结果可以看到AP信号强度越大,信号强度变化幅度就大,这也进一步说明人员的走动对无线信号的影响非常大。因此,在提取集合和数据特征时采用多次收集AP信息能够降低随机性对信号强度的影响。

通过图3和图4可以看出单次采样具有很大随机性,这正是人员频繁的走动造成的。为了降低随机性对提取位置特征的影响,在实验中采用连续多次采样和加入5分钟时间的方式来降低随机事件对无线信号的影响。

为了说明本文方法在定位准确度上的性能,在误差2 m内条件下,与参考文献中的最近邻算法、加权最近邻、加权核函数、高斯分布四种定位算法进行了对比如图5所示。

通过在图5可以看出在精度2 m内的条件下,各算法随着采样次数的增加,定位准确度逐渐升高。同时与最近邻算法、加权最近邻、加权核函数、高斯分布方法的对比,可以看出本文方法在定位误差为2 m内、采样次数为7时,相对最近邻算法、加权最近邻、加权核函数、高斯分布,定位准确率分别提高了33% 、25% 、17% 、20% 。通过实验与现有的定位技术进行对比,表明本文算法能够降低人员频繁走动对定位的影响,同时大幅提高定位精度,能满足航站楼内位置服务的需要。

4 结语