集合逻辑

集合逻辑（共7篇）

集合逻辑 篇1

集合与简易逻辑在高考一轮复习中位于各章之首,集合与简易逻辑在历年的高考题中考核的知识多数以基础为主,但也有部分学生尤其是学习层次较好的学生对此部分的知识重视程度不够导致失分,因此对这部分知识掌握好相应的复习策略有利于在高考中取得好成绩。针对高三一轮复习中经常出现的集合与简易逻辑问题以及在高考中经常出现的失分问题加以分析。

首先,针对集合与简易逻辑这部分知识的要点要做到心中有数。在一轮复习的过程中应引导学生对《考试大纲》和《普通高中数学课程标准》的重视,在复习时应首先明确集合与简易逻辑这一知识板块在考纲和新课程标准中的要求,做到学有目标,对考纲中明确提出的能识别给定集合的子集、会求两个简单集合的并集与交集;会求给定集合的补集;能使用韦恩图表达集合间的基本关系;会分析四种命题的相互关系;能正确地对含有一个量词的命题进行否定等内容要重点复习、加强训练。

其次,知识点是构建知识网络的必要条件,因此在复习每节课之前应该适当地给学生一些时间看教材,这样做的目的是让学生在复习每一节课时对知识点都能事先了解,使教师在建构每个知识板块的网络时可以改变学生的被动地位,真正地在复习课中成为课堂的主人,教师要在复习课中做课堂的引领者。在知识点的整合方面尽管不用像新授课那样由学生生成知识,至少是学生在主动构建知识网络图。学生在复习中要有记笔记的习惯,记录知识点,记录典型的例题,记录在复习中易错的知识和习题等,以便在日后复习巩固知识。

一、集合与简易逻辑部分解题中应注意的问题

1. 解决集合问题时应注意要认清集合中的元素属性(是点集、数集还是其他类型集合),要对集合进行化简。

解析:集合A中代表元素是实数,而集合B中的代表元素是点,因此两个集合的交集为8。

2. 韦恩图和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,在应用数轴图示法时要特别注意端点能否取到。

4. 解决已知两个集合基本关系求参数问题时,关键将条件转化为元素或两个集合区间端点的关系,运用数轴图示法来研究和解决这类问题比较直观,解决此类问题的难点就是两个集合的端点能否重合。

5. 当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提不动。

6. 在对命题进行否定的时候应先确定命题为真命题时所满足的条件,再写出该命题的否定形式,以免造成失分。

集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题。解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算。研究集合的关系,处理集合的交、并、补的运算问题,常用韦恩图、数轴等几何工具辅助解题。一般地,对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算,可借助韦恩图,而对连续的集合间的运算及关系,可借助数轴的直观性,进行合理转化。

二、处理集合与简易逻辑问题造成失分的几种情况

1. 忽视空集,导致失分。

由于空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,因此在解决含有参数的集合问题时,要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。

2. 忽视集合中元素的性质中的互异性导致失分。

集合中的元素具有确定性、互异性、无序性,集合中元素的三个性质中互异性对解题的影响很大,特别是含有参数的集合,实际上就隐含着对参数的一些要求。

3. 混淆命题的否定与否命题。

命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念,命题p的否定是只否定结论,而“否命题”是对“若p,则q”形式的命题而言,既要否定命题的条件也要否定命题的结论。

几点注意:

(1)注意命题是全称命题还是特称命题,是正确写出命题否定的关键。

(2)注意命题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定。

(3)注意“或”“且”的否定,“或”的否定为“且”,“且”的否定为“或”。

4. 对充分条件、必要条件概念掌握不牢。

对于两个条件A,B,如果AB成立,则A是B的充分条件,也可以说成B的充分条件是A;B是A的必要条件或A的必要条件是B。如果BA成立,则A是B的必要条件或B的必要条件是A,B是A的充分条件或A的充分条件是B;如果AB,则A,B互为充分必要条件。解题时最容易出错的就是混淆充分性与必要性,所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断,注意以上对应的说法。

5.“或”“且”“非”理解不准或符号弄混淆导致失误。

这就要求在教学中教师要强化符号的记忆,帮助学生加深对符号的理解。

三、集合与简易逻辑在高考中的考查形式

一种是考查集合的概念、集合之间的关系和运算;另一种是以集合为工具,考查对集合语言、集合思想的理解和运用,往往与函数、方程、不等式等知识融合在一起,体现出一种小题目综合化的命题趋势,考核难度以基础为主。对常用逻辑用语的考查主要体现在以下三个方面,一是考查对四种命题之间关系的理解;二是考查对充分、必要条件的推理与判断;三是考查常用逻辑联结词以及全称命题、特称命题的理解,考查命题时一般以基本概念为考查对象,题型以选择题、填空题为主。

A.[0,1) B.(0,2] C.(1,2) D.[1,2]

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

四、复习中的建议

集合是一个不加定义的概念,教学中应结合学生的生活经验和已有的数学知识,通过列举丰富的实例,使学生理解集合的含义,学习集合语言最好的方法是使用,在教学中要创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会,以使学生在实际使用中逐渐熟悉自然语言、集合语言、图形语言各自的特点,进行相互转换并掌握集合语言。在关于集合之间的关系和运算的复习中,使用Ven图是重要的,有助于学生学习、掌握、运用集合语言和其他数学语言。

在常用逻辑用语高三复习备考中,应注意以下几个问题:

(1)在常用逻辑用语的复习中,对“命题及其三种形式的命题”只要求做一般性的了解,重点关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。

(2)对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义,只要求通过数学实例加以了解,帮助学生正确地表述相关的数学内容。

(3)对于量词,重在理解它们的含义,不要追求它们的形式化定义。

(4)注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程中,掌握常用逻辑用语的用法,纠正出现的错误逻辑。

总之,在复习备考中教师要重视本部分知识的复习,进而引起学生的重视,越简单的问题往往也是造成学生不必要失分的主要原因。

摘要：集合与简易逻辑是高考中每年必考知识,题目以基础为主,该部分在高三一轮复习中位于各章之首,在高考中考核比较简单,学生对该部分知识重视不够导致失分情况很多。就高三一轮复习中常见的问题以及在高考中造成失分的问题加以分析,以便在高三复习时能寻求出更好的复习策略。

关键词：集合,简易逻辑,命题,充分条件,必要条件

参考文献

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(实验)[S].北京:人民教育出版社,2003.

集合逻辑 篇2

4集合与逻辑用语三级训练

一、基本训练

1.【2012山东文2】已知全集U{0,1,2,3,4}，集合A{1,2,3}，B{2,4}，则（CUA）B为（）

(A){1,2,4}(B){2,3,4}(C){0,2,4}(D){0,2,3,4}

2．（2009广东1）已知全集U=R，则正确表示集合M=｛—1，0，1｝和N=｛xx10｝关系的韦恩（Venn）图是（）

23.【2012湖北文4】命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）

A.任意一个有理数，它的平方是有理数B.任意一个无理数，它的平方不是有理数

C.存在一个有理数，它的平方是有理数D.存在一个无理数，它的平方不是有理数

4．（09北京6．“

6”是“cos2

1”的（）2B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 A． 充分而不必要条件

C． 充分必要条件5.【2012上海文2】若集合Axlg(2x)0，Bxx1，则AB＝

二、能力训练

1.（2011湖北2）已知Uy|ylog2x,x1,Py|y

1,x2,则CUP=（）x

A.[,)B.0,1211(,0][,)0,C.D.22

2（2013上海（文））设常数aR,集合Ax|x1xa0,Bx|xa1.若

ABR,则a的取值范围为（）B．,22A．,2 C．2, D．2, 3.【2012湖北文1】已知集合A{x| x-3x +2=0,x∈R }，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A

C B 的集合C的个数为（）

A 1B 2C3D

44.（08陕西2．已知全集U{1集合A{x|x3x20}，2，3，4，5}，B{x|x2a，aA}，则集合ðU(AA．1

2B)中元素的个数为（）B．2C．3D．41

5.（07安徽5．若A{xZ2≤22x8}，B{xRlog2x1}，则A

为（）

A．0B．1C．2D．3(ðRB)的元素个数

6.(2012 年全国)已知集合 A＝{1,3}，B＝{1，m}，A ∪B＝A，则 m＝()

A．0或3B．0或3C．1或3D．1或3

7.已知集合A{xR|ylg(x2x2)},B{xR|y，则A ∩ B 等于（）

A.(1,2)B.[1,2]C.(1,1)D.(1,1]

8．（07福建4．“x2”是“x2x60”的（）

Ａ．充分而不必要条件

Ｃ．充要条件Ｂ．必要而不充分条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

9．（2013课标Ⅰ卷（文））已知命题p:xR,2x3x;命题q:xR,x31x2,则下列命

题中为真命题的是:（）

A．pq B．pq C．pq D．pq

10.（2012年高考（福建理））下列命题中,真命题是（）

A．x0R,ex00 B． xR,2xx2

C．ab0的充要条件是a1 bD．a1,b1是ab1的充分条件

x2y2

1}，B{(x,y)|y3x}，则AB的子集11.（2010湖北理2）．设集合A{x,y|416的个数是（）

A．4B．3C ．2D．1

12.（2011全国(5)）下面四个条件中，使ab成立的充分而不必要的条件是（）

（A）a＞b1（B）a＞b1（C）a＞b（D）a＞b

13.（09江苏11.已知集合A2233x|log2x2，B(,a)，若AB则实数a的取值范

2围是(c,)，其中c.14．下列命题中：①“b0”是函数f(x)axbxc是偶函数的充分必要条件；

② 若函数ylogax是(0,)的增函数，则a12； ③ xR,x2x10； 2

④ 若集合A,B满足ABB，则AB。其中正确命题的序号是________________

15．已知命题甲：a＋b≠4，命题乙：a≠1且b≠3，则命题甲是命题乙的________条件．

三、拓展训练

1.【2012四川文7】设a、下列四个条件中，使b都是非零向量，ab成立的充分条件是（）|a||b|

A、|a||b|且a//bB、abC、a//bD、a2b

2.（08江西:ABzzxy,xA,yB.设A1,2,B0,2,则集合AB 的所有元素之和为()

A．0B．2C．3D．6

3.（2011湖北10）.若实数a，b满足a0,b0，且ab0，则称

a与b互补，记

(a,b)ab,那么(a,b)0是a与b互补的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4：(2012 年安徽)设平面α与平面β相交于直线 m，直线a在平面α内，直线 b 在平面β内，且 b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的 _____________________________条件.5.（2010四川文数）（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意x,yS，都有xy,xy,xyS，则称S为封闭集。下列命题：①集合S＝{a＋bi|（a,b为整数，i为虚数单位）}为封闭集； ②若S为封闭集，则一定有0S；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足STC的任意集合T也是封闭集.其中真命题是（写出所有真命题的序号）

四、综合解答训练

1：已知 a＞0，设命题 p：函数yax 在 R 上单调递增；命题 q：不等式 ax－ax＋1＞0 对2

∀x∈R 恒成立．若 p∧q 为假，p∨q 为真，求 a 的取值范围。

2.已知p:x1p是q的必要非充分条件，22 q: x－2x+1－m ≤0(m>0)，若求实数m2；3的取值范围。

解：

3．设所有可表示为两整数的平方差的整数组成的集合为M。

（1）证明所有奇数都属于M；

（2）若偶数2tM,t应满足什么条件？

集合与常用逻辑用语考点预测 篇3

2014年高考已过去，2015年高考集合与简易逻辑用语版块怎样考是我们师生都相当关注的问题，本文从广东高考题目中经常考查的集合与简易逻辑用语热点考点的高考考纲要求、命题形式、分值等入手，结合一些最新的高考模拟题进行剖析， 预测2015年高考集合与简易逻辑用语版块的命题方向，旨在帮助学生熟练掌握集合与简易逻辑用语版块问题的解答方法. 供同学们在冲刺阶段时参考.

集合篇

一、考情分析

涉及集合的问题是广东高考中的必考题，一般以选择题、填空题的形式出现，分值为5-10分，重点考查三个方面：一是考查集合的含义及其表示，如2011年广东卷第2题；二是考查集合间的基本关系，如2008年广东卷第1题、2009年广东卷第1题；三是考查集合的基本运算（交、并、补）， 如2007年广东卷第1题， 2010年广东卷第1题、2012年广东卷第2题， 2013年广东卷第1题、2014年广东卷第1题等，是高考的热点内容，主要与不等式、函数的定义域（值域）等知识相结合，考查借助数轴或韦恩图进行集合运算的数形结合思想和基本运算能力，从近几年的考情来看，对于集合的基本运算，高考命题以两个集合的交与补集为主，多与不等式相结合进行考查，在进行两个集合的运算时，多借助于数轴或韦恩图，准确求出相应的集合是解题的关键；四是考查 集合中的信息迁移题， 如2013年广东卷第8题、2014年第8题等 ，以集合中的信息迁移题作为压轴题是近几年广东高考在选择题命题方面的一大亮丽的风景线.

二、热点考题预测

热点一：考查集合的含义、性质及其表示

例1. 已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

分析：解答本题的关键是理解集合B的含义，写出集合B中的所有元素.

解析：由题中集合B所满足的条件，可知集合B中的元素有（1，1），（1，2），（2，1），共3个，故选B.

【点评】本题考查了集合的概念，主要应该分清集合的元素是数集、点集或其他元素的集合，和不同元素集合的正确表示方法，本知识点的考查是每年的必考知识点，在复习时要特别注意一些特殊情形的考虑，例如单元素点集的表示，与空集有关的运算等.

牛刀小试1：已知M={x|y=x2-1}，N={y|y=x2-1}那么M∩N=（ ）

A. ？覫 B. M C. N D. R

提示：M={x|x∈R}，N={y|y≥1}，∴ M∩N=N，故选C.

例2. 设a，b∈R，集合{a，，1}={a2，a+b，0}，求a2015+b2015的值.

分析：因为a为分母，所以a≠0，从而=0，故b=0，所以a2=1，最后求出a，b的值，则问题可解.

解析：由已知得a≠0，从而=0，故b=0，则在集合{{a2，a+b，0}中，a2=1，解得a±1，又a=1时，不合题意，所以a=-1，故a2015+b2015=-1.

【点评】本题主要考查集合的性质，解决集合相关问题常用到集合元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口解决问题，二可以检验所求结果是否正确.

牛刀小试2：已知集合A={1，a，b}，B={a，b，ab}，若A=B，则实数a，b的值分别为 .

提示：由A=B得（I）a2=1，ab=b或（II）a2=b，ab=1，因为a≠1，b≠1，由（I）得a=-1，b=0.由（II）得a3=1，无解.故a=-1，b=0.

热点二：考查集合间的基本关系

例3. 设集合A={x|x2+ax+1=0，x∈R}，B={1，2}，且A？哿B，求实数a的取值范围.

分析：A？哿B意味着中的元素一定是中的元素或者没有元素，以此建立等量关系或不等式.

解析：若A= ？覫，则？驻=a2-4<0，解得-2

若1∈A，则12+a+1=0，解得a=-2，此时A={1}，符合题意；

若2∈A，则22+2a+1=0，，解得a=-，此时A={2，}，符合题意.

综上所述，实数a的取值范围是[-2，2）.

【点评】在解决两个集合关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答. 不要忽略对空集的讨论，注意检验.

牛刀小试3：设集合A={x|-1≤x<3}，B={x|m-2≤x≤m+2}. 若A∩（CRB）=A，求实数m的取值范围.

提示∵B={x|m-2≤x≤m+2}，∴？蒿uB={x|xm+2}.

∵A∩（CRB）=A，∴A？哿CRB，∴3≤m-2或m+2<-1，∴m≥5或m<-3.

∴实数m的取值范围为（-∞，-3）∪[5，+∞）.

热点三：考查集合的基本运算

例4. 已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B= .

分析：解题时，先由A∩B={}分别求出a，b的值，再求出A∪B.

解析：由A∩B={}可知，∈A，所以2a=，a=-1又∈B，所以b=，则A∪B={-1，，1}.

【点评】本题主要考查集合的交、并运算，考查考生的运算求解能力. 从考查内容上看，广东高考主要以考查概念和计算为主，考查集合的交集、并集、补集且常与不等式联系起来，以小题形式出现.

例5. 已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B={x|-1

分析： 此类题主要是将不等式在数轴上表示出来.

解析：因为U=R，A={x|-4≤x<2}，B={x|-13}，所以（CuB）∪P={x|x≤0或x≥}.

【点评】当集合是不等式时，求两个集合的交集、补集的运算时，要充分利用数轴来帮助解答.

牛刀小试4：已知I为实数集，M={x|-12}，则M∩（CIN）= .

提示：M={x|-1

热点四：考查集合的创新信息题

例6. 设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X}，且三条件x

A.（y，z，w）∈S，（x，y，w）？埸S

B.（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S

C.（y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S

D.（y，z，w）？埸S，（x，y，w）？埸S

分析：根据题意我们可以采用取一组特殊值的方法进行验证来解决.

解析：特殊值法，不妨令x=2，y=3，z=4，w=1，则（y，z，w）=（3，4，1）∈S ， （x，y，w）=（2，3，1）∈S ，故选B.

【点评】解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定义（或新运算）.思路是找到与此新知识有关的所学知识，帮助理解.同时，找出新知识与所学相关知识的不同之处，通过对比加深对新知识的认识.

牛刀小试5：对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n=m+n；当中m，n一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n=mn，则在此定义下，集合M={（p，q）|p⊙q}=10，p∈N*，q∈N*中元素的个数是 .

提示：若p，q都为正偶数或正奇数时，有p+q=10，解得p=1，q=9，p=2，q=8，p=3，q=7，p=4，q=6，p=5，q=5，p=9，q=1，p=8，q=2，p=7，q=3，p=6，q=4，共9个；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，有pq=10，解得p=1，q=10，p=2，q=5，p=10，q=1，p=5，q=2，共4个，所以总数有13个.

常用逻辑用语篇

一、考情分析

涉及常用逻辑用语的问题在近几年广东高考中出现的频率还是比较高的，一般以选择题、填空题的形式出现，分值为5分，当然也可能是解答题，如2011年高考广东理科第21题就是考查充分性、必要性证明的难题，得分率极低，重点考查三个方面：一是充分条件与必要条件的推理判断问题，如2010年广东卷第5题，预测2015年广东高考，还会是以其他的数学知识为载体进行考查，如与函数、不等式、数列、解析几何、立体几何等内容相结合进行考查；充分必要条件的判定方法有定义法、集合法、等价转换法；二是四种命题及其相互关系、含有逻辑联结词的命题的真假判断的考查，如2008年广东卷，预测2015年广东高考，对于命题的真假判断、给出一个命题写出它的其它三种命题并判断真假仍然是考试的热点，对于四种命题、逻辑联结词，常和函数、方程、三角、立体几何、解析几何等知识点结合进行考查；三是全称命题与特称命题的真假判断及其写出其否定形式，近几年广东新课标高考还没有考查过，预测2015年广东高考，这部分出题的可能性极高.

二、热点考题预测

热点五：充分必要条件

例7.“a<1”是“一元二次方程x2+2x+a=0有实数解”的

条件.

分析：我们把“a<1”看作是P，“一元二次方程x2+2x+a=0有实数解” 看作是q，为此解答本题的关键是由一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，根据方程的判别式？驻>0得到a的范围或利用配方法及非负数的意义得到a的范围，再借助充分、必要的含义来判断即可.

解析：设p：“a<1”，q：“一元二次方程x2+2x+a=0有实数解”，由x2+2x+a=0有实数解知，4-4a≥0？圳a≤1，即p：“a<1”，q：“a≤1”，p ？圯q，反之不成立，故填“充分不必要”.

【点评】高考考纲要求是理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 利用定义法判断命题充要条件的核心就是判断充分性及必要性是否成立，其基本步骤是①定条件：确定哪是条件，哪是结论②找推理式：确定p与q中哪一个能推出哪一个；③下结论：根据推理式和定义下结论. 若A，B都是集合，则有下列结论：①A？哿B，则A是B的充分条件；②A？勐B，则A是B的必要条件；③A=B，则A是B的充要条件.

牛刀小试6：若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的 .

提示：当m=2时，A={1，4}，B={2，4}，则有A∩B={4}，当A∩B={4}时，不能得到m=2，因为m=-2也合题意，所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.

热点六：四种命题及其相互关系

例8. 命题“若函数f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是（ ）

A. 若loga2<0，则函数f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数

B. 若loga2≥0，则函数f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数

C. 若loga2<0，则函数f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数

D. 若loga2≥0，则函数f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数

分析：因为命题是“若p，则q”的形式，所以要写出它的逆否命题，只需同时否定条件p与结论q，然后互换即可，即为“若，则”.

解析： 依题意为函数f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数；为loga2≥0，故选B.

【点评】高考考纲要求是了解“若p则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题.理解命题的概念，会分析四种命题的关系由一命题作为原命题写出它的其它命题时，可以按相应命题的形式进行，注意有大前提条件的条件应保留在条件中.

牛刀小试7：下列说法中正确的是（ ）

A.“a>b，c<0 ”与“a+c>b+c”不等价

B. 一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真

C. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

D.“x2+y2=0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y全不为0， 则x2+y2≠0”

提示：“a>b，c<0”与“a+c>b+c ”等价，A不正确；一个命题的逆命题为真，则它的否命题不一定为真，B不正确；否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性，所以正确，故选C.

热点七：全称量词与存在量词

例9. 已知命题p：？坌x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）≥0，则是（ ）

A. ？埚x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）≤0

B. ？坌x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）≤0

C. ？埚x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）<0

D. ？坌x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）<0

分析：的意思是命题的否定.本题含有全称量词“任意”，否定时只需把全称量词改为存在量词，同时把结论否定即可.

解析：命题p为全称命题，所以其否定应是特称命题，又命题（f（x2）-f（x1））（x2-x1）≥0的否定为（f（x2）-f（x1））（x2-x1）<0，故选C.

【点评】高考考纲要求是理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.对于含量词的命题的否定只对“量”进行否定即可，且得出以下结论：全称命题p：？坌x∈M，p（x），的否定为 ：？埚x∈M，（x）；特称命题p：？埚x∈M，p（x）的否定为：？坌x∈M，（x）.

牛刀小试8：已知命题p：？坌x∈R，cosx≤1，则是 .

提示：因为全称命题的否定形式是特称命题，所以“”形式的命题是？埚x∈R，cosx>1.

热点八：四个考点的综合考查

例10. 已知下列命题：①命题“若？埚x∈R，x2+1>3x”的否定是“若？坌x∈R，x2+1<3x”； ②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“∧”为真命题；③“ a>2”是“ a>5”的充分不必要条件；④命题“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题是真命题. 其中所有真命题的序号是 .

分析：判断一个命题为假时，只需用特殊值法，举出一个反例即可，而判断一个命题为真时则要严格推理，有时还可以用反证法，将每一个问题逐一判断其正误即可.

解析：命题“若？埚x∈R，x2+1>3x”的否定是“若？坌x∈R，x2+1>3x”，故①错；“p∨q”为假命题，说明p与q均为假命题，则“∧”为真命题，②对a>5？圯a>2；反过来不成立，所以“ a>2”是“ a>5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy=0，则x=0或y=0”，所以原命题为假命题，则它的逆否命题为假命题.故④错，故填②.

【点评】将充要条件、四个命题及其关系、简单的逻辑联结词、全称命题与特称命题这四个考点放在一起利用填空题（或选择题）的形式来进行考查也是高考命题的一种方向，这种题型较灵活，考查的知识点多面广.

例11. 已知命题p：“若 x>1，则lgx >0”，命题q：“？坌x∈R，2x≥1”则下列命题中为真命题的是（ ）

A. （∨q） B. p∨ q C. （）∧（） D. （）∨（）

分析：解答含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假性的判断问题的关键是先判断命题p、命题q的真假，再结合真值表逐一判断即可.

解析：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，则为假命题，为真命题，对于A，与q为假命题，故（）∨q为假命题；对于B，因为q为假命题，故p∨q为假命题；对于C，因为为假命题，故（）∧（）为假命题；从而上述叙述中只有（）∨（）为真命题，选D.

【点评】高考考纲要求是了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 本题是含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假性的判断问题，解决这类问题的关键是先判断命题p与q的真假，而p∨q，p∧q，的形式的命题的真假性判断的诀窍分别是一真即真、一假即假、非假即真（非真即假）.

牛刀小试9：已知命题p：实数m满足m-1≤0，命题q：函数y=（9-4m）x是增函数.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为 .

提示：命题p为真时，实数m满足m-1≤0，从而m≤1；命题q为真时，9-4m>1？圯m<2.若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题. 若p为真，q为假时，无解；p若为假，q为真时，结果为1

备考建议篇

广东高考对集合与简易逻辑部分的命题是以选择题、填空题为主， 主要考查考生的基础知识、基本技能，题目多是容易题，在复习备考冲刺中，建议同学们一定要牢牢掌握好基础知识，平时考试、训练要重视应用通性通法解题，要加强对基本知识、基本方法、基本技能的运用，不要做难题，应尽力完善知识体系，消除知识漏洞，做到方法到位，思路清晰，学会灵活转化，能够透过现象看本质.

（作者单位：五华县五华中学）

责任编校 徐国坚

集合逻辑 篇4

高一数学第一章中的“集合”和“简易逻辑”作为基本工具, 与其它各章节都有着密切的联系.下面我们通过具体的例子, 谈谈如何运用集合、简易逻辑工具来理解和计算排列组合中的题目.

排列组合题目—般有两条常见的解题途径:间接作差和直接分类法.什么样的问题用间接作差法较为合理, 什么样的问题用直接分类法较为合理?用这两种方法时如何才能有效避免遗漏、重复等错误?解决好上述两个问题是高效而正确运用上述两种方法解排列组合题目的关键, 充分而合理引入集合与简易逻辑知识来辅助分析题目, 又是解决好上述两个问题的有效途径.

例1 集合A有10个元素, 集合B有4个元素, 且A∩B=Φ, 从A、B中共取出5个元素组成集合D, 当满足下列条件之下, 求集合D 的个数:

(1) BD; (2) B⊈D; (3) B∩D=Φ; (4) B∩D≠Φ且B⊈D; (5) B∩D含有不多于2个元素, 且B∩D≠Φ; (6) B∩D含有不少于2个元素.

分析:列表1.

解: (1) 属于⑤号取法, 即集合D的个数是C${}_{10}^1$C${}_4^4$=10.

(2) 属于①或②或③或④号取法, 用间接作差法较简单, 即集合D的个数是

C${}_{14}^5$-C${}_{10}^1$C${}_4^4$=1992.

(3) 属于①号取法, 集合D的个数是C${}_{10}^5$C${}_4^0$=252.

(4) 属于②或③或④号取法, 可用直接分类法:C${}_{10}^4$C${}_4^1$+C${}_{10}^3$C${}_4^2$+C${}_{10}^2$C${}_4^3$=1740, 或间接作差法:C${}_{14}^5$-C${}_{10}^1$C${}_4^4$-C${}_{10}^5$C${}_4^0$=1740.

(5) 属于②或③号取法, 集合D的个数是C${}_{10}^4$C${}_4^1$+C${}_{10}^3$C${}_4^2$=1560.

(6) 属于③或④或⑤号取法, 集合D的个数C${}_{10}^3$C${}_4^2$+C${}_{10}^2$C${}_4^3$+C${}_{10}^1$C${}_4^4$=910.

说明:例1更为—般化的情况, 就是组合中“至多至少”类型问题的一个一般模型, 实质也是从集合的角度解释了这类问题在什么情况下用直接分类法比较简单, 什么情况下用间接作差法比较简单.

对于 (4) 间接作差法时, 实质运用了简易逻辑中“或类型复合命题的否定”这一知识, 而且只有充分运用“或、且类型复合命题的否定”才会有效避免解题中的遗漏或重复.

例2 现将7个人排成一行, 满足下列条件之一的排法有几种:

(1) 甲不排首位且乙不排末位; (2) 甲不排首位或乙不排末位.

分析:对于甲、乙是否排首位、末位和中间五位有如下七种情况:①甲排首位且乙排末位;②甲排首位且乙排中间五位;③甲排中间五位且乙排首位;④甲排中间五位且乙排末位;⑤甲排中间五位且乙排中间五位;⑥甲排末位且乙排首位;⑦甲排末位且乙排中间五位.

对于问题 (1) , 直接分类法解是情况③或⑤或⑥或⑦;用间接作差法解是减情况①或②或④, 所以直接分类法与间接作差法难易程度差不多.对于问题 (2) , 直接分类法解是②或③或④或⑤或⑥或⑦;间接作差法解是减①, 所以间接作差法较简单.

解: (1) 直接分类法:A${}_5^1$A${}_5^5$+A${}_5^2$A${}_5^5$+A${}_5^5$+A${}_5^1$A${}_5^5$=3720, 由于③和⑤, ⑥和⑦可以分别合并计算, 所以也可以是:A${}_5^1$A${}_5^1$A${}_5^5$+A${}_6^6$=3720,

或间接作差法:

A${}_7^7$-A${}_5^5$-A${}_5^1$A${}_5^5$-A${}_5^1$A${}_5^5$=3720.

(2) 间接作差法:A${}_7^7$-A${}_5^5$=4920.

说明:对于 (1) , 还有—种常见计算为A${}_7^7$-2A${}_6^6$+A${}_5^5$=3720.学生往往想不到要加A${}_5^5$, 其实从“且复合命题的否定”结合上面的分析可知, “甲不排首位且乙不排末位”的否定为“甲排首位或乙排末位, 即为情况①或②或④”, 甲排首位有情况①或②, 乙排末位有情况①或④, 所以减甲排首位及乙排末位的情况, 其实减了两次①, 所以要加上多减的一次①,

例3 四个男生, 三个女生—起拍照, 男生排—起, 女生也排在—起, 且男甲和女乙不相邻排成一行的排法有多少种?

分析:在“男生排在—起, 女生也排在—起”的大前提下, 男甲和女乙相邻的情况只有两种:男左女右且男甲和女乙相邻;男右女左且男甲和女乙相邻, 所以间接作差法简单.

解:“捆绑法”结合“间接作差法”:A${}_2^2$A${}_4^4$A${}_3^3$-2A${}_3^3$A${}_2^2$=264.

说明:从集合的角度思考, “男生排在—起, 女生也排在一起”的排法是全集, 男甲和女乙不相邻的否定, 是上述全集前提下的补集.

浙江省绍兴市第二中学

集合逻辑 篇5

1.[北京卷]已知集合A{x|x22x0},B{0,1,2}，则A

}D.{0,1, 2}A.{0}B.{0,1}C.{0,22、[安徽卷]“x0”是“ln(x1)0”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3、.[北京理卷] 设{an}是公比为q的等比数列，则“q1”是“{an}”为递增数列的（）B()

A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4、[福建]直线l:ykx1与圆O:x2y21相交于A,B两点，则“k1”是“ABC的1面积为”的（）2

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

5、[广东]已知集合M{1,0,1},N{0,1,2},则MN

A．{1,0,1}B.{1,0,1,2}C.{1,0,2}D.{0,1}

6、[2014·湖北卷] U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的()

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

7、已知命题p:若xy,则xy；命题q:若xy,则x2y2.在命题 ①pq;②pq;③p(q);④（p）q中，真命题是（）

A①③B.①④C.②③D.②④

8、[辽宁]已知全集UR,A{x|x0},B{x|x1}，则集合CU(A B)（）

A．{x|x0}B．{x|x1}C．{x|0x1}D．{x|0x1}

9、[辽宁]设a,b,c是非零向量，学科 网已知命题P：若ab0，bc0，则ac0；命题q：若a//b,b//c，则a//c，则下列命题中真命题是（）

A．pqB．pqC．(p)(q)D．p(q)

210、[全国]设集合M{x|x3x40}，N{x|0x5}，则MN（）

A．(0,4]B．[0,4)C．[1,0)D．(1,0]

x11、[山东]设集合A{xx2},B{yy2,x[0,2]},则AB

A．[0,2]B．(1,3)C． [1,3)D．(1,4)

12、[山东]用反证法证明命题“设a,bR,则方程xaxb0至少有一个实根”时要做的假设是

A．方程xaxb0没有实根B．方程xaxb0至多有一个实根

C．方程xaxb0至多有两个实根D．方程xaxb0恰好有两个实根

13、[陕西]已知集合M{x|x0},N{x|x1,xR}，则M222222N（）

A.[0,1]B.[0,1)C.(0, 1 ]D.(0,1)

14、[陕西]原命题为“若z1,z2互为共轭复数，则z1z2”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）

（A）真，假，真（B）假，假，真（C）真，真，假（D）假，假，假

15、[上海]设a,bR,则“ab4”是“a2,且b2”的（）

（A）充分非必要条件（B）必要非充分条件

（C）充要条件（D）既非充分也非必要条件

16、[天津]设a,bÎR，则|“a>b”是“aa>bb”的（）

（A）充要不必要条件（B）必要不充分条件

（C）充要条件（D）既不充要也不必要条件

217、[全国]已知集合A={x|x2x30}，B=x2x2，则AB= 

A.[-2,-1]B.[-1,2）C.[-1,1]D.[1,2）

18、[全国]不等式组xy1的解集记为D.有下面四个命题：

x2y4

p1：(x,y)D,x2y2，p2：(x,y)D,x2y2,P3：(x,y)D,x2y3，p4：(x,y)D,x2y1.其中真命题是

B.p1，p4C.p1，p2D.p1，PA.p2，P3319、已知命题

xp:对任意xR，总有20；

“"x2”的充分不必要条件q:"x1是

则下列命题为真命题的是（）

集合逻辑 篇6

(1) 甲、乙两人相邻的排法有多少种?

(2) 甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?

1-1. (改编)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有多少个?

1-2. (改编)用字母A,B,C,D,E,F,G,H组成无重复字母的英语单词,要求A与B相邻,C与D相邻,E与F相邻,G与H不相邻,这样的英语单词有多少个?

2. (人教A版选修2-3第1.2.2点“组合”例3)(1)平面内有10个点,以其中任意2个点为端点的线段有多少条?

(2)平面内有10个点,以其中任意2个点为端点的有向线段有多少条?

2-1. (改编)空间中有8个点,其中任何四点不共面,则经过其中任意两点的所有直线中异面直线有多少对?

2-2. (改编)用6种不同的颜色把右图中的A,B,C,D四块区域分开,允许不同的区域涂同一颜色,但相邻的区域不能涂同一颜色,则不同的涂

法共有多少种?

3. (人教A版选修2-3第1.3节“二项式定理”例2)(1) 求(1+2x)7的展开式中第4项的系数;

(2) 求x+9的展开式中x3项的系数.

3-1. (改编)求(1+x)3+(1+x)4+(1+x)5+…+(1+x)100的展开式中x2项的系数.

3-2. (改编)设(1-3x)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,求下列各式的值:(1)a0,(2)a1+a2+a3+…+a10,(3)a1+a3+a5+…+a9.

4. (人教B版必修1第1.1.3点“集合的基本运算”P18练习B第4题)已知集合A={a,b,c},集合B满足A∪B=A,试问这样的集合B有多少个?如果满足A∩B=B呢?

4-1. (改编)满足M?哿{a1,a2,a3,a4｝,且M∩{a1,a2,a3｝={a1,a2}的集合M的个数是_______.

4-2. (改编)若集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},且A∩B=B,求实数m的取值集合.

5. (人教A版选修1-1第1.2.2点“充要条件”例3)下列各题中,哪些p是q的充要条件?

(1) p∶b=0,q:f(x)=ax2+bx+c是偶函数;

(2) p∶x>0,y>0,q∶xy>0;

(3) p∶a>b,q∶a+c>b+c.

5-1. (改编)设集合P={x||x-a|<4},Q={x|x2-4x+3<0},若x∈P是x∈Q的必要不充分条件,求实数a的取值范围.

5-2. (改编)求关于x的方程x2-2ax+4=0的两根x1,x2均大于1的充要条件.

6. (人教A版必修3第1.1.2点“程序框图与算法结构”例6)设计一个计算1+2+3+…+100的值的算法,并画出程序框图.

6-1. (改编)用程序框图求+++…+的值.

6-2. (改编)已知等差数列{an}的各项均为正数,观察下面的程序框图,若k=5和k=10时,分别有S=和S=,试求数列{an}的通项.

1-1. 先确定末位数字,有2,4两种可能.若末位为2,则次末位为1,其余位任意,有A3 3 种可能;若末位为4,则先让1,2相邻,有A2 2 种可能,再视“1,2”为整体,和3,5排列,有A3 3 种可能.故共有A3 3 +A2 2 A3 3 =18个.

1-2. A与B相邻,C与D相邻,E与F相邻,先捆绑,有A2 2 A2 2 A2 2 种可能;再作为三个整体排列,有A3 3 种可能;G与H不相邻,插入三个整体形成的四个空中的两个空中,有A2 4 种可能.故共有A2 2 A2 2 A2 2 A3 3 A2 4 =576个.

2-1. 直接找异面直线不好找,可先找以其中任意四点为顶点的四面体,共有C4 8 =70个.又1个四面体中有3对异面直线,故共有210对异面直线.

2-2. 法一 用4种颜色涂,有A4 6 种涂法;用3种颜色涂,有C3 6 C1 3 A2 2 种涂法.故共有480种涂法.

法二 由于A,B,C三块区域两两相邻,故依题意有A3 6 种涂法.而区域D另有4种涂法,故共有A3 6•4=

480种涂法.

3-1. 法一 直接展开,有x2项的系数为C2 3 +C2 4 +C2 5 +…+C2 100 =C3 3 +C2 3 +C2 4 +C2 5 +…+C2 100 -1=C3 101 -1=166 650(因为C3 n +C2 n =C3 n+1 ).

法二 先求和,有原式==,故即求分子展开后的x3项的系数,应为C3 101 -1=166 650.

3-2. (1) 令x=0,得a0=1;

(2) 令x=1,得a0+a1+a2+…+a10=(1-3)10=210,即a1+a2+a3+…+a10=210-1;

(3) 令x=-1,得a0-a1+a2-a3+…+a8-a9+a10=(1+3)10=410,再与a0+a1+a2+…+a10=210作差,得a1+a3+a5+…+a9=29-219.

4. 无论A∪B=A,还是A∩B=B,都得B?哿A,故集合B共有23=8个.

4-1. 即求{a4}的子集的个数,故为2.

4-2. 易知A={x|-2≤x≤5}.

由A∩B=B,知B?哿A.

故若B=,得m+1>2m-1,即m<2;

若B≠,得m+1≤2m-1,m+1≥-2,2m-1≤5,即2≤m≤3.

综上,有m≤3.

5-1. 由题意知Q是P的真子集,又P={x|a-4

5-2. 由二次函数性质,知f(1)=5-2a>0,Δ=4a2-16≥0,a>1,解得2≤a<.

6-1.

集合逻辑 篇7

对于什么是数理逻辑这样一个问题，它的全面回答应该涉及数理逻辑的定义、研究对象、研究领域与学科归属等四个方面。当然，其中定义这个方面是最根本的，但迄今为止对此尚没有一个统一而被一致公认的定义，数理逻辑著作与教材也完全不谈这个问题[1]。而如果要用纯粹的数学方法研究逻辑，就必须像算法的概念一样使“逻辑”的概念精确化，给出能严格刻画逻辑的数学定义，使其成为明确的数学对象，不仅足以适应代数和分析的要求，而且充分满足经典和非经典逻辑的需要。进而，能在共同的基础上获得生成和处理逻辑的一般方法和途径，以便进一步系统地探讨各种各样的逻辑。为此，本文在ZFC公理系统的基础上通过引入变量的赋值运算而导出可分析集合与笛卡尔逻辑的的概念，并讨论一些相关的数学基础问题。

1可分析集合的概念

1.1集合的可分析定义及其注释

根据公理集合论，假定有一个一对一的变换把一个集H变上X，那末X是一个集，如果把每个象源h(∈H)的象记作xh(∈X)，把X记作

那末H称为X的标号集，每个h称为xh的标号。

反过来，一个集总有标号集的。因为至少它自己就可以看作自己的标号集。因此(1)式这种表示法是普遍适用的。在公理集合论中，应用这种记号的时候不一定再说明是H标号集，只要规定这种记号里写在H位置上的必定是标号集[2]。在这种表示法中，当把集合X自己看作它自己的标号集，由(1)式可得X={xx|x∈X)}。因为xx就是x，所以X={x|x∈X)}[3]。由此，通过变量的赋值运算可得如下定义：

定义1存在p，对于x，当给x赋值a,b,c,…等等时使它们可以替代x，不考虑它们的次序和重复，这些x的值恰可组成p，则记：p∶={x|p∋x}。

其中，x是与p相关的元或变量，p是以x为元的一个集合;而{x|p∋x}表示对于这个p所言存在于p∋x中的这些x之值所组成的集合，且这个集合恰是p，即p∶={x|p∋x}，那末p被称为可分析的。给x所赋之值a,b,c,…等称为集合p或{x|p∋x}的元素或者元x关于集合p或{x|p∋x}的根(或解)。以所列举x的值a,b,c,…为元素或根的集记为{a,b,c,…}，即{x|{a,b,c,…}∋x}∶={x|{x|{a,b,c,…}∋x}∋x}∶={a,b,c,…}。

[定义的注释]

1°当a是元x的根或是集p的元素时，记作：x∶=a或a=∶x;p∋a或a∈p。

符号“∶=”表示左赋值，称为“指代”、或“代指”;“=∶”表示右赋值，称为“取代”、或“代入”;“∋”表示右含有，称为“含有”;“∈”表示左含有，称为“属于”。

2°在分析学上，元或变量通常指没有固定数值的一个量。更一般地，它是一个其值变化或可以变化而通过一个名字来标识的实体，可以用赋值的方法(使用“∶=”或“=∶”)来分配一个值。给元或变量一个名称或标识符称为变量的定义或创建。根据ZF公理系统，标识符有各种符号、项和公式，如变元符号、谓词和函数词符号、个体词和个体常项等。

赋值(∶=&=∶)，也称为赋值运算，它们是用来将一个集合作为值送给元或变量的，改变这个元或变量已有的值为所送给的值，于是变量将具有该值，直到下次被再赋值为止[4]。变量所对应的集合就是变量的值，变量在不同阶段可以有不同的值，而始终不改变其可以对应的值的变量称为常量。赋值运算是一种特殊的运算，它不仅可以产生一个值，同时还可以改变其变量的值。可以想象，一个变量就是在程序执行过程中其所含的特定值不断能够变化的一个存储单元。每一种计算机语言，对于变量都有许多精彩的详细阐述，这些不同的表述实质上都有相同的含义。由集的可分析定义我们可知，一个变量就是一个值的函数，即x∶=x(a)且x(a)=∶a。因此，x∶=a.设x∶=a，则x(∶=a)∶=∶a。这时x与a有相同的取值，是相同的(或同一的)。特别地，(x)∶=x。

当元x的值除它自身这个集合以外不能是别的值，或者是始终不改变其值的变量，这样的变量称为常量。对于常量来说，符号“∶=”可以理解为其左边是代表右边的标识符或左边是由右边定义出来的。常量作为根(或值)可给某一变量赋值，但不能通过赋值而改变或更新。用一个标识符来代表一个常量，称为符号常量[4]。不是常量的变量，称为非常量变量.

创建变量x，如果它与任意给定的集合相关，即任意集合中的元素都是x的可取值，则可用∀x与∃x表示给元x赋值的论述范围，是一个表示元x的值的论域或个体域，称为元x的约束或格式化，其中∀x意指“对于任意集合中所有的(每一个或任一个)元素x”;∃x意指“对于任意集合中一些元素x”、“在任意集合中至少有一个元素x”或“存在于任意集合中的元素x”。那末被创建或定义的变量x就表示“某一x，且对于所有的x一次只可取一个值”。对于变量x，若其取值可以列举为a,b,c,…时，则记为x∶=(a`b`c`…)，其中，倒引号“`”是分隔符。当x∶=a时称为变量x的值a时刻，当x∶=b时称为变量x的值b时刻，且x的值a时刻在值b时刻之前，值b时刻在值a时刻之后。这样的变量称为串行形式变量，(a`b`c`…)也是串行形式变量的一种表述方式，即：

称之为变量的顺序赋值。特别地，((a`a`a`…)∶=a`(a`a`a`…)∶=a`(a`a`a`…)∶=a)，这称为变量有重复的赋值而且(a`a`a`…)是一个被重复赋值的常量，即变量在任一个时刻都是相同的值。对于变量x，若其取值没有顺序和重复的差别，则称为并行形式变量，记为：

其中，右边的标识符就是并行形式变量的一种表述方式。

3°假定(p∋x)∶={p}，那末集合{x|p∋x}中不含有任何元素，称这样的集合为空集或零，记作0。因此，0∶={x|0∋x}∶=0;假定a是一个常量且a∶=a，则p∶={a|p∋a}∶={a}，即{a}∶={x|{a}∋x}，称之为单元集合，它是只有一个元素的集合。0的集合{0}就是一个单元集合。任给二个对象a与b，假设集合p使得p∶={(a`b)|p∋(a`b)}。因为((a`b)∶=a`(a`b)∶=b，所以可求得p∶={a,b},即元素a在先b在后为一序列的集合;假设集合p使得p∶={(b`a)|p∋(b`a)}。因为((b`a)∶=b`(b`a)∶=a)，所以可求得p∶={b,a},即元素b在先a在后也为一序列的集合。在这里，标识符{a,b}与{b,a}分别是指a与b先后次序不同所形成的不相同的集合，即{a,b}∶≠∶{b,a}，它们的元素构成不同的序列。这可以作为两个对象a与b所构成的一种有序事物的一种表示，称为有序可分析集，或称之为排列。在这种有序标识符的表示下，根据可分析集合的定义，{x|{a,b}∋x}或{x|{b,a}∋x}称为无序对集合，且{x|{a,b}∋x}∶={x|{b,a}∋x}∶={a,b}或{x|{b,a}∋x}∶={x|{a,b}∋x}∶={b,a}。由于{x|{a,b}∋x}∶={x|{x|{a,b}∋x}∋x}。因此，无序对集合是可分析集合定义下一种非常量变量的可分析集合，这样的集合也称为组合。

特别地，对于重复取值的变量(a`a)，即((a`a)∶=a`(a`a)∶=a)，如果考虑它们的无序对集合，即{a,a}∶={(a`a)|{a,a}∋(a`a)}，则我们称这些以重复的值为元素的集合为有重复的元素的集合或称之为有重复的组合。可见，{a,a}∶≠∶{a}。因此，根据集的可分析定义，若仅考虑元素的重复与否而不考虑次序，则集合就称为组合。有重复的元素的集合称为有重复的组合。

对于两个对象a与b所构成的有序事物，历史上曾出现过多种不同的定义法。1921年波兰数学家库兰达夫斯基(K.Kuratowski)给出了一种有序事物的一个著名定义，称其为有序对集合，即∶={a},{a,b}[5]。特别地，∶={a},{a,a}∶≠∶{a}。有序对是针对无序对来说的，可以证明，∶=∶当且仅当u∶=∶x并且v∶=∶y，而无序对跟元素的先后次序无关。这是“序”所要求的。有序对也是一种变量，又称序偶，它的元素a与b被称为分量。很多教科书和著述也常用(a,b)表示有序对，这里，我们用表示有序对，而(a,b)作为一种变量，表示一种运算，也即函数或类函数，而不仅仅可以指有序对，类似这样的用法在数学各分支中也是常见的。

我们可以把无序对集合推广到不同元素个数的集合，不考虑有无重复时称为n元集合，考虑有无重复时称为n元组;我们也可以把有序对的概念推广到三元有序集，称有序三元组，按照有序对的定义有序三元组可定义为∶=<,z>。其中，x,y,z为任意的集合，类似地，能够定义有序四元组，五元组，以至于对于任意的自然数，可以定义有序n元组。一般地，我们约定一元组：∶=x[5]。

4°假定一个集合s不是变量x的值，那末变量x是不能接受和处理这个集合的，即集合s不能代入x，称为溢出，即：(x∶=s)∶={0}，又记为：x∶≠s。此时，根据变量和函数的定义，我们可得x∶=x(s)∶=x。溢出的值超出了变量可以使用的范围，是不能被使用或不可以操作的即所谓无意义的。一个被定义或创建的变量如果不能被赋值任一集合，则称为无集合可赋值的变量，是不可以在集合的论域中被赋值使用的，讨论其赋值运算也是没有意义的。反之，假定(x∶≠s)∶={0}，则又记为x∶=s。按照一阶逻辑的说法，它们同真或同假，是逻辑等价(或逻辑等值)的，即((x∶=s)∶={0})≡(x∶≠s)或者((x∶≠s)∶={0})≡(x∶=s)。这里，对于变量x与y我们用“x≡y”表示：假定x∶={0}，则y∶={0};假定x∶≠{0}，则y∶≠{0}。

5°由集的可分析定义，给定p，如果对于{x|p∋x}总有(p∶={x|p∋x})∶={0}，则p就不是一个可分析集合，称为非可分析集合。假定存在一个集合u，对于任意的集合x，使得x∉u且u∶≠0成立，则称u为原子或本元。由于{x|u∋/x}∶=0，因此原子是非可分析集合。

6°假定(p∋x)∶={0}。那末记为p∋/a。反之，假定(p∋/a)∶={0}。那末又记为p∋a。同样按照一阶逻辑的说法，它们是逻辑等价的，即

((p∋a)∶={0})≡(p∋/a)或者(p∋/a∶={0})≡(p∋a)。

7°由集的可分析定义和外延公理，二元个体等词定义为(a=b)∶=∀x(z∈a≡z∈b)，即∀x(z∈a≡z∈b)。其中，“≡”表示逻辑等值。假定a∶=b。那末a=b;反之，当a=b时，a∶≠b或a≠∶b都是可能的。

例如，如果考虑集合中元素是否有序时，则对于集合{a,b}与{b,a}，有{a,b}∶≠∶{b,a}且{a,b}={b,a}，而对于有序对集合与则不然。在一般情况下∶≠∶且≠。这就是这两种“序”所各自要求的。如果考虑集合中元素是否重复时，则对于无序对集合{a,a}与单元集合{a}，虽然{a,a}∶≠∶{a}，但是{a,a}={a}。这里，我们把相同(或同一)与相等作了区别，也就是说，相同的(或同一的)一定相等，但相等的却不一定相同(或同一)。相等的集合组成一个等价类，说“一个集合”就是指称这样一个等价类，它以这个等价类中任意一个可分析集合为代表，或者说，“一个集合”这个称呼就是表达在与其相等的集合中任取一个代表集合而已。

8°集合都由ZFC规定且由上述定义及其注释所区分描述，其中，ZFC包括九个公理，即：(1)外延公理，(2)空集存在公理，(3)无序对集合存在公理，(4)幂集存在公理，(5)并集存在公理，(6)分离公理模式，(7)替换公理模式，(8)无穷公理，(9)正则公理，(10)选择公理[6]。由ZFC所规定的集合都是可分析集合，它们分为常量可分析集合与非常量变量的可分析集合。常量可分析集合一定是集合，但集合却并非都是常量可分析集合。

9°根据公理集合论与集合的可分析定义及其注释，设R是一个从A到B的关系。当∈R时，aRb∶={}，称为单元关系;否则，aRb∶={0}。对于任意的变量a,b，当∈R时，RC(a,b)∶=;当∉R时，RC(a,b)∶=0。那末RC(a,b)称为R的可分析序对。作为关系的特例，空集0称为空关系，空集的单元集合{0}称为单一关系或假关系。

对于任一关系R，我们可以给出它的定义域、值域和变域，也可以给出一个与某一集合a以R相关的对象的集合R(a)∶={z|R(a)∋z}，使得对于每一个z的值都有(aRz)≡(R(a)∋z)[7]。当a不属于R的定义域时，R(a)∶=0，这种性质也可以推广应用函数中。设f∶A→B是一个函数，根据关系的理论，从严格的意义上讲，表示为f(x)∶={y}[7]，

而且∪f(x)∶=y。对于任意的个体常项a,b，当∉f即afb∶={0}且a不属于f的定义域时，f(a)∶=0。此时，虽有∪f(a)∶=0，可任一y值都不是其函数值，即afy∶={0}，这意味着∪f(a)并不总表示该函数的函数值。因而，在引入赋值运算后，函数f在习惯上仍可表示为存在x和y使得f(x)∶=y成立。这是不易引起混淆的[7]。一般来说，函数的这两种表示法都可以使用。这里当然要注意，赋值运算作为一种类函数与由关系R所定义的作为集合的变量R(a)之间的差别。如果都将它们视为运算，则它们是两种不同操作性质的运算，不能混淆。

在一阶逻辑语言中，用以表示关系的标识符称为谓词符号。谓词必须包括个体词和谓词字母两部分。如果F是n元谓词字母，a1,a2,a3,…，an是个体词，则F(a1,a2,a3,…，an)就是n元谓词符号。通常，对n≥1，一元谓词表达了个体的“性质”，而多元谓词表达了个体之间的“关系”。更为一般的，所谓“性质”必定也是一个个体与其内部或外部的其它个体间的相互作用与联系，而多元关系又是二元关系的推广，可以通过二元关系来定义。因此，就本质而言，不论是所谓性质还是所谓多元关系都可以作为二元关系来讨论，用二元谓词所表述。

根据可分析集合的定义及其注释，每一次赋值作为一种二元关系具有以下性质：

定理1设x是一个被创建的变量，a是一个常量。则：

1.2可分析集合的一般表示法

引理1设z是一个取任意值的变量。若给定一个可分析集合a和关系R，使得a以R与z相关即aRz，则存在一个集合R(a)∶={z|aRz}。

证明根据集的可分析定义及其注释，假定存在一个集合s，对于任一z，使得s∋z≡aRx。那末由于s∋z与aRz中z的取值完全相同，我们可用aRz替代s∋z而不影响变量{z|s∋z}的值，即s∶={z|s∋z}∶={z|aRz}。给定关系R和可分析集合a，又由关系的理论，我们有集合R(a)∶={z|R(a)∋z}使得对于每一个z的值，都有(aRz)≡(R(a)∋z)。因此，R(a)∶={z|R(a)∋z}∶={z|aRz}。即：R(a)∶={z|aRz}。

由引理1，我们在可分析集合与关系间可建立起固定的联系，据此可以定义出许多具体的集合。

1.3受囿变量

定义2给定一个谓词公式F(x)。如果可以创建一个与x相关且受F限制的被赋值使用的变量，记为xF，使得对于任一x，当F(x)∶≠{0}时，x=∶xF;当F(x)∶={0}时，x≠∶xF。那末我们称xF是x的F(x)受囿变量或F(x)受囿的x，也记作：x(∶=xF)或x(F(x))。

例如x(∶=a)和x(x∈A)都是受囿变量。假定M≡N，那末M(M≡N)就是M的与N逻辑等价的受囿变量。就本质而言，任何变量都是一种受囿变量。由可分析集合的定义及其注释，论域最大的受囿变量就是全称量词所限定的变量，可记为x∀。由于这里约定全称量词的论域是任意集合中所有的元素，因此x∀可简记作x。除非特别说明，我们假定以后的讨论都是在这同一个论域下进行的，而没有下标的变量就是全称量词所限定的变量。

2笛卡尔逻辑

2.1笛卡尔逻辑的概念

从关系的角度探讨逻辑，通过考察各种特殊的逻辑推理系统和方法，从中抽象保存它们共同反映的内在的本质的性质，同时排除它们所具有的任何额外的附加的差别，这样我们可以采用下述方法来定义和处理逻辑，它被称为笛卡尔逻辑：

定义4设x和i都是非常量变量，如果A和B是任意两个非空的可分析集合，则A在B上的笛卡尔逻辑就是一个类函数L对A×B的限制L|A×B∶A×B→A×LB且

其中，x∈A且i∈B,L(x,i)被称为逻辑对。在每一逻辑对中，x的取值被称为i的取值的逻辑命题，i的取值被称为x的取值的逻辑值。当x的取值是A的元素，i的取值是B的元素时，任一x的所有逻辑值中有一个且仅有一个使得L(x,i)∶=，这时i的值是x所指代的命题的真值。一个命题和它的真值构成的有序对被称为逻辑真对。除逻辑真对外，其它的逻辑对只表示零，记作：L(x,i)∶=0。假如不是这样，就称为自相矛盾，这是定义所不允许的。

如果A在B上的笛卡尔逻辑是A×LB，则A是基于B上的命题集，B是与A相应的真值集。特别地，如果A是非空集合而B是单元集合，则A×LB被称为A在B上的单值逻辑;如果A是空集，B是非空集合或是空集，即：A∶=0且B∶≠0或B∶=0，则A×LB就是{0}，被称为单一逻辑或假逻辑;如果A是非空集合，B是空集，即：A∶≠0且B∶=0，则A×LB就是0，被称为空逻辑。[5]

定义5设A×LB是A在B上的笛卡尔逻辑，则我们称A在B上的一个真逻辑就是

A×LB的一个非空子集，且它的元素都是逻辑真对。

定义6对于任意非空的集合S，笛卡尔逻辑S×LS被称为是S上的固有逻辑。

在公理集合论中，根据J.冯·诺伊曼的序数定义，设1∶={0}，则由定义1及其注释：

定义7给定1∶={0}。设A∶={p}和B∶={0,1}，则A在B上的笛卡尔逻辑即：

(1)当L(p,0)只指代，L(p,1)只指代0，即：L(p,0)∶=，L(p,1)∶=0时，则称p为永真命题或重言命题;

(2)当L(p,1)只指代，L(p,0)只指代0，即：L(p,1)∶=，L(p,0)∶=0时，则称p为永假命题或归谬命题;

(3)当L(p,0)可指代时，L(p,1)被赋值0;当L(p,1)可指代时，L(p,0)被赋值0。则称p为或许命题或不定命题。

这里A在B(∶={0,1})上的笛卡尔逻辑就是一种二值逻辑，命题的逻辑真值中引入了“真”与“假”。由于笛卡尔逻辑及其逻辑运算是这样确定真假的：0表示真，1表示假。即：0≡真，1≡假。因此，为避免自相矛盾，根据笛卡尔逻辑的定义容易证明：

定理2设S∶={0,1}。对于S上的固有逻辑S×LS，必有L(0,0)∶=<0,0>与L(1,1)∶=<1,1>，即：

进一步，考虑S×LS在S上的逻辑，由有序对的定义，可得

因此，根据笛卡尔逻辑的定义，我们有L(<0,0>,0)∶=<<0,0>,0>和L(<1,1>,0)∶=<<1,1>,0>。

2.2命题间的可推导性关系

2.2.1笛卡尔二值逻辑命题间的二元可推导性关系

定义8设A∶={p,q}和B∶={0,1}.A×LB是A在B上的笛卡尔逻辑，即：

且p和q在{0,1}上的真逻辑分别可被记作：

则从p到q的可推导性关系就是笛卡尔积：

的所有非空子集。

由公理集合论可知，Tl(p)×Tl(q)的所有非空子集共有15种即：

1)左右重言或重言对立：

2)左右归谬或归谬对立：

3)左重言右归谬：

4)左归谬右重言：

5)左重言右不定：

6)左归谬右不定：

7)左不定右重言：

8)左不定右归谬：

9)不定命题对立：

10)不定命题排中：

11)反对：

12)矛盾：

13)存在：

14)全称：

15)独立：

由定义6，我们有：

定理3设p和q是笛卡尔二值逻辑中任意两个命题，则从p到q的可推导性关系共有15种且它们在集合的包含关系下形成一个偏序关系。

根据定理3，可以得知，左重言右归谬或左归谬右重言一定是排中关系，排中关系也一定既是矛盾关系又是反对关系，反之则不尽然。命题的可推导性关系也可看作是传统逻辑中直言命题之间对当关系的推广与扩充。

[真值表表示法]

如果用真值表来刻画，从p到q和从q到p的可推导性关系可归纳为下列9类，称为p和q间的可推导性关系：

1)对立关系(D!!)：见表1

2)排中关系(D!¬)：见表23)重言关系(D!T)：见表3

4)归谬关系(D!F)：见表4

5)反对关系(D!#)：见表5

6)矛盾关系(D!+)：见表6

7)存在关系(D!∃)：见表7

8)全称关系(D!∀)：见表8

9)独立关系(D!∇)：见表9

[集合表示法]

对于真值集{0,1}上的任意命题p和q，我们定义D(p)是q的集合，即q∈D(p),分别记为：

[量词表示法]

这些表示命题可推导性关系的简记符号一方面起着限定命题个体域的作用，具有量词的特征;另一方面又可通过真值表明确其逻辑含义，因而具有逻辑连接词的性质，可称为逻辑量词。如果考虑命题p被指派真值时，命题q真值的不确定性，用“-”表示，则每个逻辑量词的含义见真值表10。

2.2.2笛卡尔二值逻辑命题间的一元可推导性关系

定义7设p是B∶={0,1}上的命题，笛卡尔逻辑

则它的笛卡尔积为：

或者：

因此，我们定义命题p的一元可推导性关系是：

1)同一关系(D≅)：也称全同或全等关系，记作：

同一关系用集合表示：D≅(p)∶={p}。简言之，p≅p。因此，p的同一命题就是p自身。这与传统形式逻辑中的基本规律——同一律的内涵是完全相同的，违反它的逻辑错误就是“自相矛盾”。

2)不矛盾关系(D$)：指以下集合或它们的并集：

或

根据笛卡尔逻辑的概念，L(p,0)和L(p,1)中必有且仅有一个是用空集来刻画的。命题间所有的可推导性关系都表现为对同一个命题既真又假的这样一种自相矛盾状态的排除。这也是传统逻辑中不矛盾律所要求的。沿用此习惯称其为不矛盾关系，违反它的逻辑错误也是“自相矛盾”。

2.3命题的逻辑运算

2.3.1笛卡尔二值逻辑命题的双目(或二元)运算

定义9对于笛卡尔逻辑S×LI，它的一个双目运算是函数f:S×LI→S×LI。对于任意p∈S,q∈S和I∶={0,1}。若u∈I,v∈I,L(q,v)∶=，则：

其中(p,q)∈S且(u,v)∈I。

习惯上，我们可用*代替f，表示为：

一般地，我们也将其表示为：

L(p,u),L(q,v)∶=L((p,q),(u,v))∶=<(p,q),(u,v)>或

其中，(p,q)∈S且(u,v)∈I或(p,q)f∈S且(u,v)f∈I。

如果p和q为两个相互独立的命题，那么它们的逻辑运算见表11，其中“□”中可填入u*v的值，“£”表示此时逻辑对的赋值有溢出，运算无意义，因为不是(L(p,1)∶=)∶={0}就是(L(p,0)∶=)∶={0}。由运算表11，这样的双目运算包含了命题逻辑连接词所表述的所有逻辑运算。根据笛卡尔逻辑的运算，实数的每一种运算本质上就是一种逻辑运算。

从运算表11可知，一阶逻辑命题连接词所反映的逻辑运算只是其极小一部分，定义它们的真值表也不过是这个运算表的一种简化形式。对于一般的二元逻辑运算来说，它更充分地考虑了参与运算的命题的顺序与重复。笛卡尔逻辑S×LI连同定义在该集合上的每一种双目逻辑运算总是组成一个广群，而不仅仅只是半群或群。下面是它的一个简单例子：

[游戏的逻辑]

有一则小学生运动的游戏，该游戏要求，小学生们必须从A点跑到B点，再从B点跑回A点，游戏就算完成。否则为没有完成游戏。

从逻辑上分析这个例子。设P：某学生从A点跑到B点;Q：某学生从B点跑到A点。则L(p,0)(∶=)表示该学生“从A点跑到B点是真”;L(p,1)(∶=)表示该学生“从A点跑到B点是假”;L(Q,0)(∶=)表示该学生“从B点跑到A点是真”;L(Q,1)(∶=)表示该学生“从B点跑到A点是假”。根据游戏规则，可列逻辑运算表12。除L(p,0)(∶=)和L(p,1)(∶=)，L(Q,0)(∶=)和L(Q,1)(∶=)不能同时成立参与运算外，由运算表可知，只有

表示该学生顺利完成这个运动游戏。其中P*P表示“该学生从A点跑到B点，然后他不论以何种方式又从B点回到A点，只要不是从B点跑到A点就可以。而后，他再从A点跑到B点”。

显然，可以把笛卡尔逻辑及其运算推广到多真值的情形。布尔代数、多值逻辑的代数系统与多值逻辑函数的结构理论只是其研究的一部分。

2.3.2笛卡尔二值逻辑命题的单目(或一元)运算

定义10对于笛卡尔逻辑S×LI，它的一个单目运算是函数f:S×LI→S×LI。对

于任意的p∈S和I∶={0,1}。若u∈I,L(q,u)∶=，则：

其中f(p)∈S且f(u)∈I.

对于不同的逻辑单目运算，我们可用不同的符号代替f，如常见的逻辑否定运算表示为：

¬L(p,u)∶=L(¬(p),¬(u))∶=<¬p,¬u>.其中，¬p是与p为排中关系的一个命题。又如逻辑等值运算，简写为：p≡q.其中q是与p为对立关系的一个命题。

根据笛卡尔逻辑和一阶逻辑运算的规则，也很容易证明：

定理4给定0和1(∶={0})，则：

定理5设p是在集合{0,1}上的逻辑命题，则：

2.3.3笛卡尔二值逻辑命题的量词约束运算

定义11对于任一谓词公式P(x)，我们称谓词的量词约束运算为∀xP(x)和∃xP(x)，它们是任意集合在{0,1}上的笛卡尔逻辑的一种逻辑运算，即：

(1)如果当x指代任意集合中所有的元素a1,a2,a3,…,an…时，由谓词运算我们有：

那么只要没有x使得P(x)≡{0}就有∀xP(x)≡0，且

反之，∀xP(x)∶={0}。

(2)如果当x指代任意集合中所有的元素a1,a2,a3,…,an…时，由谓词运算我们有：

∃x P(x)≡P(a1)∨P(a2)∨…∨P(an)∨…。

那么∃xP(x)∶=P(a1)∪P(a2)∪…∪P(an)∪…。反之，∃xP(x)∶={0}。

3矛盾与自相矛盾

命题间的所有逻辑关系都表现为对自相矛盾状态的排除，自相矛盾的命题自然无法进行逻辑运算，它们同时参与运算也无任何逻辑的意义，只能导致思维的混乱。如果将命题p在真值集{0,1(∶={0})}上的逻辑关系描述为{),L(p,1)(∶=)>}，则意味着一个命题既是真的同时又是假的这样一种逻辑状态。这显然与逻辑的观点不能相符，违反不矛盾关系或不矛盾律的要求，这样的逻辑错误就是自相矛盾。

[自相矛盾]尽人皆知中国古书《韩非子·难一》所讲寓言故事[8]：“楚人有鬻盾与矛者，誉之曰：‘吾盾之坚，物莫能陷也。’又誉其矛曰：‘吾矛之利，于物无不陷也。’或曰：‘以子之矛陷子之盾，何如?’其人弗能应也。夫不可陷之盾与无不陷之矛，不可同世而立。”

设p：我之盾，物莫能陷;q：我之矛，于物无不陷。由真值表6,p和q互为矛盾关系，不能同真，可以同假。我们说，“p是真的，q是假的”、“p是假的，q是真的”或者“p是假的，q是假的”都可能是真实的，这是合乎逻辑的，协调的，只有当“以子之矛陷子之盾”即“p是真的，q也是真的”才是自相矛盾而不合逻辑的。

分析命题的逻辑关系，如果依据一定的推理规则，能够导出p和¬p的两个符号系列，经过解释后表示(L(p,0)∶=)≡(L(¬p,1)∶=<¬p,1>)。其中，p是真值为“真”的语句，¬p是真值为“假”的语句。依据排中律，虽然它们互相否定，真值相反，具有排中关系，但都是真语句，见真值表2。反之，如果导出这样一种表示：

或(L(p,1)∶=)≡(L(¬p,1)∶=<¬p,1>)

即具有排中关系的命题同真或同假，则必自相矛盾。

根据笛卡尔逻辑命题间的可推导性关系，即定理3，可以得知，排中关系一定是矛盾关系，反之则不尽然。由于排中关系不考虑一个命题对象的真或假，而要求同一命题不能既真又假，这与逻辑运算式如p∨¬p和p∧¬p等不同，它们只是命题逻辑运算后所得到的重言或归谬的命题。命题真假、排中关系、矛盾关系、逻辑运算和自相矛盾是不能随意混淆的。

自相矛盾的基本形态除关系表示外，还有逻辑等值形式

命题的自相矛盾不可能存在，自相矛盾的命题也不可能共存。而符合矛盾关系或排中关系真值指派的两个命题却能以不自相矛盾的真值特性同时存在。逻辑演算的目的之一就是为明确命题间固有的逻辑关系，推知哪些命题或命题公式的真值为“真”而哪些命题或命题公式的真值为“假”，避免自相矛盾。我们说任一事物或命题时，总是将自相矛盾排除在外。

考察数学的无矛盾性问题归根结底就是有无自相矛盾的问题，只要理论上存在自相矛盾，就一定说明我们还有认识上的盲区或误区，存在有待去解决的问题。

1)对立型自相矛盾：

(L(p,0)∶=)≡(L(!!p,1)∶=)或

2)排中型自相矛盾：

(L(p,0)∶=)≡(L(!¬p,0)∶=)或

3)反对型自相矛盾：

4)矛盾型自相矛盾：

5)存在型自相矛盾：

6)全称型自相矛盾：

4两个悖论的笛卡尔逻辑解读

4.1欧布里得(Eubulide)悖论

欧布里得悖论是说慌者悖论的变种。假如我说：“我现在说的是一句假话。”是假话吗?如果是假话，那么我在说假话就是假的，因此我必定在说真话;如果我在说真话，那么我在说假话就是真的，因此我确实是在说慌。结果永远无法确定我说的到底是真话还是假话。在此基础上，人们又构造了一个与之等价的“永恒的说慌者悖论”，表述为：“在本半页这两行里所印的这句话是慌话”[9]。

首先，我们令S指代一句话，集合{0,1(∶={0})}是与S相应的真值集，其中，0表示真，1(∶={0})示假。根据笛卡尔逻辑和受囿变量的概念，真话作为S的受囿变量ST可定义为：(ST∶=S)≡(L(S,0)∶=);假话作为S的受囿变量SF可定义为(SF∶=S)≡(L(S,1)∶=)。又根据集合的可分析定义及其注释，可知SF∶={0}。可见，假话与假的含义是同一的，“在本半页这两行里所印的这句话是慌话”与“在本半页这两行里所印的这句话是假的”是同一关系。因此，对于永恒的说慌者悖论“在本半页这两行里所印的这句话是慌话”，关键就是要考虑其中“是”的涵义。不失一般性，假设排中律成立，P表示“在本半页这两行里所印的这句话是慌话”。根据经典逻辑和笛卡尔逻辑，对“是”作如下形式的逻辑解读：

1)“是”表示逻辑等值运算即“≡”：由悖论的叙述，显然有P∶=(P≡1)，这与经典语句表示法[3]P∶P≡1涵义相同。那末

(P≡0)≡((P≡1)≡0)≡(P≡1)，自相矛盾;

2)“是”表示双条件运算(当且仅当)即“⇔”：由悖论的叙述，显然有P∶=(P⇔1)，这与经典语句表示法P∶P⇔1涵义相同。那末(P⇔0)≡((P⇔1)≡0)≡(P⇔1)，自相矛盾;

3)“是”表示赋值运算即“∶=”：由悖论的叙述，显然有P∶=(P∶=1)，这与经典语句表示法P∶P∶=1涵义相同。那末(P∶=1)≡((P∶=1)∶=1)≡(P∶=0)，自相矛盾。

可见，无论“是”解释为逻辑运算还是赋值运算都将不可避免的导致自相矛盾。这种解读是不成立的。

其实，根据笛卡尔逻辑的概念，该悖论并不是一个涉及逻辑运算的话题，而是一个有关逻辑构成中命题及其逻辑值形成逻辑对和逻辑有序对(即逻辑真对)的问题。基于笛卡尔逻辑的定义，“在本半页这两行里所印的这句话是慌话”表示L(P,1)，即：P∶=L(P,1)。“在本半页这两行里所印的这句话”之所“指”与“在本半页这两行里所印的这句话是慌话”之所“是”是不同的涵义，不能将它们混淆。否则，就要违反“同一律”的要求。

假定L(P,1)∶=。

如果L(L(P,1),0)∶=，则

这和假定自相矛盾;如果L(L(P,1),1)∶=，简言之，则

这和假定保持同一。

然而，不论L(P,1)∶=还是L(P,1)∶=0，我们总有：

因此，在欧布里得悖论中，P∶=L(P,1)∶=0，即L(P,0)∶=。

这是显然的。一般而言，如果我们说“P是假的”并不是意味着它表示一种逻辑运算，而常常是指L(P,1)∶=，即逻辑有序对除非L(P,1)∶=0，即“P是假的”就是“0”，这也就是说，“P”或者“P是假的”只是一句空话。可见假话就是假话，真话却有两类，一类是空话，仅仅是说话而已，是无所谓意义的话，相当于“0”;另一类是实话，是确有真实所指的话，是所谓有意义的话。

总之，所谓“P是假的”表示“L(P,1)”，它不是“”就是“0”。相应地，“P是真的”表示“L(P,0)”，它不是“0”就是“”。“L(P,1)”、“L(P,0)”、“”、“”和“0”在逻辑上不是同一的，虽然它们自身都是真的。

可见，欧布里得悖论这个历史悠久的著名论题不是有关逻辑运算议题的争论，而是有关逻辑到底如何定义的困惑，它的发生也是语言表述局限性和歧义性所导致的结果。

4.2死囚悖论

据说，一个国王制定了一条法律，他允许即将被处死的人在被处死前说一句话。如果他讲的是真话，那他就要被砍头;如果他讲的是假话，那他就得被绞死。在国王看来，这是无懈可击的，因为不管犯人说什么话，非真即假，他总得被处死。但有一次，一个聪明的犯人说：“我将要被绞死了。”这一下，国王被难住了，如果将这个犯人绞死，那么他说的就是真话，根据法令，他应该被砍头;如果将这个犯人砍头，那么他说的就是假话，他又应该被绞死。在这个逻辑悖论面前国王毫无办法，只得把犯人放了。

这个逻辑悖论是有关命题一元逻辑运算的生动例子。设a表示该犯人，C(a)表示a将被砍头，H(a)表示a将被绞死，p表示a被处死前说的一句话。按照国王的逻辑，有逻辑运算f，使得

因此，不论p是真(即0)还是假(即1)，总有或者，犯人终究难逃一死。使国王始料不及的是，如果p∶=H(a)，则该逻辑的运算就会变得无法进行，此时，依照国王的法律就会无所适从。

从一元逻辑运算的角度分析死囚悖论，我们有：

在运算中，f(p)应是相同的命题，它与p为重言关系。然而，国王却认为f(p)既可以是C(a)，也可以是H(a)。这不遵循逻辑同一关系即同一律的要求，当然只会招致自相矛盾，陷入左右为难的窘境而不能自拔。

5可分析集合的基本关系和运算

5.1可分析集合的基本关系

5.1.1含有与集合

设y和z是可取任意值的变量，给定集P和a,P∋a≡(P∋a)∋。由可分析集合的定义及其注释9°与引理1，可知：

引入变量x(x∶=(a`b`c`…))，则

即P∋x∶=(P∋a`P∋b`P∋c`…)。这里，P∋x是x的一个非常量的函数，一个随自变量x变化而变化的因变量，而P却是x的一个常函数，它不会随着x的变化而改变。而且，

5.1.2属于与集合

由于(a∈P)∶=(P∋s)-1，因此，

引入变量x(x∶=(a`b`c`…))，则

(x,P)}。

根据笛卡尔逻辑，对于空集0而言，对于任一x,x∈0为归谬式，又由集的可分析定义和关系，可知：

定理6设x是变量，则

5.1.3不属于与集合

由可分析集合的定义及其注释，∈和∉都可在任意集合的任意两个元素(也是集合)之间建立一种关联。显然，∈和∉都是类关系。由排中律，假定a与P是两个集合，那末a∈P和a∉P不能都成立，也不能都不成立，即它们在逻辑上彼此相否定(或非)。引入非常量变量x,P∋/x是P∋x的否定，且P∋/x∶=(x∉P)-1即：P∋/x是x∉P的逆关系。由可分析集合的定义及其注释可知(P∋/x)∶={(P∋/x)C(y,z)|(P∋/x)∋((P∋/x)C

设g∶={x|P∋/x}。如果g是一常量集合，那末由排中律g∈P和g∉P不能都成立。假定g∈P，那末，由于P∉P，应有P∈g，因此g∈P且P∈g，这与正则公理自相矛盾。假定g∉P，那末，g应该满足所说的条件P∋/x，因此，g∈g，这又与正则公理自相矛盾。可见，g是一与x相关的非常量变量即x的非常值函数。设g∶=g(x)，则对于任一x，可得：(P∋/x≡x∈g(x))≡(P∋/x≡x∈g(x)∧x∉P≡x∈g(x)P)。因此，对于任一x,g(x)=g(x)P。

5.2可分析集合的基本运算

根据集的可分析定义及其注释与笛卡尔逻辑，由引理1，我们可定义如下的集合运算：

定义12设S∶={x|S∋x}，R是一关系，即

Re(R)∶=∀y∈Rordpr(y)[6]。则：

(1)幂集合：P(S)∶={x|P(S)∋x(P(S)∋x≡S⊃x)};

(2)替换集：

(3)分离集：

(4)广义并：

(5)广义交：

定义13设A∶={x|A∋x}，B∶={x|B∋x}。则：

(1)集合的并：

(2)集合的交：

(3)集合的余(或相对补)：

(4)集合的对称差：

A⊕B∶={x|A⊕B∋x(A⊕B∋x≡(A∋x∧B∋/x)∨(A∋/x∧B∋x))}。定理7设Z是常量，则对于任一x，(x∉x⇔x∈Z)≡x∈(x⊕Z)。证明根据一阶逻辑的双条件运算(即当且仅当)和定义13，可得：

由定理7可知，公式x∉x⇔x∈Z无法用来揭示集Z的内涵，是不能用来刻画Z的。由公理集合论与笛卡尔逻辑，∀x(x∉x)≡0且∃x(x∉x)≡0。显然，它们都是类关系而不是关系。

设z∶={x|x∉x}。则它不是公理集合论所规定的常量集合。反之，由排中律，或者z∈z，或者z∉z。然而，假定z∈z，那末z应该满足所说的条件x∉x，因此z∉z，自相矛盾;假定z∉z，那末z已经满足所说的条件x∉x，因此z∈z，又自相矛盾。总之，无论哪种情况，总与假定自相矛盾，罗素(Russell)悖论[1]。由公理集合论与可分析集合的定义，z只能是与x相关的非常量变量，即一x的非常值函数。设z∶=z(x)，则对于任一x，可知：(x∉x≡x∉z(x))≡(x∉x≡x∈x∈z(x)∧x∉x)≡(x∉x≡x∈x∈z(x)x)。

因此，对于任一x,z(x)=z(x)x。当然，这样的函数z∶=z(x)可有很多种，例如，当z(x)∶={x}时，∀x(x∉x≡x∈{x})成立。特别地，由式(2)，空集合的广义交[6]也是z这样的变量，即∩0∶=z∶=z(x)。

6结论

本文在公理集合论的基础上通过引入计算机科学中的赋值运算，给出了可分析集合与笛卡尔逻辑的定义。可分析集合的概念是公理集合论所规定集合的一个更加严格而精密的表述，能够对公理集合论所规定的集合做出更为详尽、明确和细微的区别。由可分析集合的定义及其注释，所有的数学对象都是变量。除本元外，所有的集合都是可分析集合，只需判别它们是常量的变量还是非常量的变量。而对于逻辑来说，由此得到的笛卡尔逻辑的概念已经足够广阔，它可以作为描述很多种逻辑的数学基础和共同起点，也可以说它就是“泛逻辑”。按照这样的概念、思路和方法在逻辑学及其相关领域还有许多工作可做。

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