函数与方程的思想方法

函数与方程的思想方法（精选12篇）

函数与方程的思想方法 篇1

函数的思想是用运动和变化的观点、集合与对应的思想, 去分析和研究数学问题中的数量关系, 建立函数关系或构造函数, 运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题, 从而使问题获得解决.方程的思想就是从问题的数量关系入手分析数学问题中的等量关系, 从而建立方程或方程组或者构造方程, 通过解方程或方程组, 或者运用方程的性质去分析、转化问题, 从而使问题获得解决.方程的思想与函数的思想密切相关, 对于函数y=f (x) , 当y=0时, 就转化为方程f (x) =0, 也可以把函数式y=f (x) 看做二元方程y-f (x) =0, 函数与方程这种相互转化的关系也十分重要.

函数与方程的思想方法的运用:

1.实际应用题中, 建立适当的数学模型和函数关系式, 应用函数性质或不等式知识解答, 或依据题中的等量关系列方程 (组) , 通过解方程 (组) 使问题得以解决.

例1 某兴趣小组测量电视塔AE的高度H (单位:m) , 如示意图, 垂直放置的标杆BC高h=4 m, 仰角∠ABE=α, ∠ADE=β.

(1) 该小组已经测得一组α, β的值, 算出了tanα=1.24, tanβ=1.20, 请据此算出H的值;

(2) 该小组分析若干测得的数据后, 认为适当调整标杆到电视塔的距离d (单位:m) , 使α与β之差较大, 可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为125 m, 试问d为多大时, α-β最大?

解 (1) 由undefined

及AB+BD=AD, 得undefined,

解得undefined

因此, 算出的电视塔的高度H是124 m.

(2) 由题设知d=AB, 得undefined

undefined

当且仅当undefined,

即undefined时, 上式取等号.

∴当undefined时, tan (α-β) 最大.

2.直接研究具体函数, 求解函数性质问题, 如极值、最值、单调区间、周期性等.

例2 如图所示, 半圆的直径AB=2, O为圆心, C是半圆上不同于A, B的任意一点.若P为半径OC上的动点, 则 (PA+PB) ·PC的最小值是.

解 设PC长为x (0≤x≤1) , 则PO长为 (1-x) .

设t= (PA+PB) ·PC, 则undefined

当undefined时, t有最小值undefined

故 (PA+PB) ·PC的最小值为undefined

将题设条件恰当转化, 转化为函数问题, 借助函数相关知识, 使问题顺利解决.其中要特别注意函数所依赖的未知数的设立及其取值范围的确定, 不同的量作未知数, 所得的函数解析式不同, 自变量的取值范围不同.

3.对不等式问题的研究, 可以构造出函数, 转化为函数值域限定问题处理.

例3 已知关于n的不等式undefined对于一切大于1的正整数n都成立, 试求实数a的取值范围.

undefined

∴f (n) 是关于n的递增函数.

∴当n≥2时, undefined

要使undefined对于一切n≥2恒成立, 必须且只需undefined, 即

故所求a的取值范围是undefined

对于不等式, 引入新的参数化简了不等式后, 构造二次函数利用函数的图像和单调性解决问题, 其中也联系到了方程无解, 体现了方程思想和函数思想.一般地, 我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系, 将问题进行相互转化.

4.数列是特殊的函数, 是定义在正自然数集 (或其子集) 上的函数, 数列的通项公式、前n项和公式都可以看成是关于n的函数.数列问题完全可以用方程和函数的思想方法解决.

例4 已知数列{an}是公差为d的等差数列, 它的前n项和为undefined求公差d的值; (2) 若undefined, 求数列{bn}中的最大项和最小项的值; (3) 若对任意的n∈N*, 都有bn≤b8成立, 求a1的取值范围.

undefined

undefined,

∴数列{an}的通项公式为undefined

undefined

∵函数undefined在undefined和undefined上是单调函数, ∴b3

(3) 由undefined, 得undefined

又函数undefined在 (-∞, 1-a1) 和 (1-a1, +∞) 上均是单调函数, 且x< (1-a1) 时, y<1;x> (1-a1) 时, y>1.∵对任意的n∈N*, 都有bn≤b8, ∴7<1-a1<8.

∴-7

数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数, 因此可利用函数思想来分析解决;也可以利用方程的思想, 设出未知的量, 建立等式关系即方程, 将问题进行算式化, 从而简捷明快.由次可见, 利用函数与方程的思想来解决问题, 要求灵活地运用、巧妙地结合, 发展思维品质的深刻性、独创性.

5.将函数解析式转化为方程 (注意转化后未知数的范围仍服从于原自变量与函数值的取值范围) , 利用方程有解的条件解决有关问题.

例5 求函数undefined的值域.

解undefined,

∴ (y-1) x2+ (y-1) x+6y+1=0. ①

当y-1=0, 即y=1时, 方程①为7=0, 不成立, 故y≠1;

当y-1≠0, 即y≠1时,

Δ= (y-1) 2-4 (y-1) (6y+1) ≥0,

即 (y-1) (23y+5) ≤0时, 解得undefined

综上, 得原函数的值域为undefined

原是函数问题, 通过变形, 发现其等式具有“二次”特点, 于是联想了一元二次方程, 将问题变成代数中的方程有实解的问题, 从而使问题得到解决.

6.将方程或不等式中某个合适的未知可变量作为主变量 (也可能是含有多个变量的数学问题) , 构造出恰当的函数解析式, 揭示出其中的函数关系式, 依据函数性质解决问题.

例6 设不等式2x-1>m (x2-1) 对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立, 求x的取值范围.

解 问题可变成关于m的一次不等式 (x2-1) m- (2x-1) <0在[-2, 2]恒成立, 设f (m) = (x2-1) m- (2x-1) , 则undefined

解得undefined

在一个含有多个变量的数学问题中, 要确定合适的变量和参数, 从而揭示函数关系, 使问题更明朗化.或者含有参数的函数中, 将函数自变量作为参数, 而参数作为函数, 更具有灵活性, 从而巧妙地解决有关问题.

函数与方程思想的应用概括地讲, 一是构建函数与方程, 二是应用函数与方程的性质思考问题.含有一个变量的等式就是方程, 含有多个变量的等式可理解为方程, 也可转化为函数.理解为方程就是要考虑有解的条件及解方程过程的合理性;理解为函数就在于确定解析式与定义域, 构造函数解决数学问题.函数与方程的思想是分析与解决常见数学问题的方法技巧, 我们要自觉地充分合理地运用函数与方程的思想, 提高数学意识和数学思维的能力.只有平时多加强训练并注意总结积累, 不断提高能力, 解题时才能得心应手、运用自如.

函数与方程的思想方法 篇2

本文列举几例分类剖析：

一、方程思想

1.知三求二

等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的.

例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值.

解(1)由a10=a1+9d=30，

a20=a1+19d=50，

解得a1=12，

因为n∈N*，所以n=11.

2.转化为基本量

在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得.

例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8.

解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1)

由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8.

将a1q3=―8代入(1)，

得q2=―2(舍去);

将a1q3=8代入(1)，得q=±2.

当q=2时，a1=1，S8=255;

当q=―2时，a1=―1，S8=85.

3.加减消元法利用Sn求an

利用Sn求an是求通项公式的一种重要方法，其实这种方法就是方程思想中加减消元法的运用.

例3(佛山二模)已知数列{an}、{bn}中，对任何正整数n都有：

a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=(n―1)?2n+1.

若数列{bn}是首项为1、公比为2的等比数列，求数列{an}的通项公式.

解将等式左边看成Sn，令

Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.

依题意Sn=(n―1)?2n+1，(1)

又构造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=(n―2)?2n―1+1，(2)

两式相减可得

Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1(n≥2).

又因为数列{bn}的通项公式为

bn=2n―1，

所以an=n (n≥2).

当n=1，由题设式子可得a1=1，符合an=n.

从而对一切n∈N*，都有an=n.

所以数列{an}的通项公式是an=n.

4.等差、等比的综合问题

这一类的综合问题往往还是回归到数列的基本量去建立方程组.

例4设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，求数列{an}的通项公式.

解根据求和定义和等差中项建立关于a1，a2，a3的方程组.

由已知得a1+a2+a3=7，

(a1+3)+(a3+4)2=3a2.

解得a2=2.设数列{an}的公比为q，

由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.

又S3=7，可知2q+2+2q=7，

即2q2―5q+2=0，

解得q1=2，q2=12.

由题意得q>1，所以q=2.

可得a1=1，

从而数列{an}的通项为an=2n―1.

二、函数思想

数列是一类定义在正整数或它的有限子集上的特殊函数.可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.如一次、二次函数的性质、函数的单调性、周期性等在数列中有广泛的应用.如等差数列{an}的通项公式

an=a1+(n―1)d=dn+(a1―d)，

前n项和的公式

Sn=na1+n(n―1)2d

=d2n2+(a1―d2)n，

当d≠0时，可以看作自变量n的一次和二次函数.因此我们在解决数列问题时，应充分利用函数有关知识，以它的概念、图象、性质为纽带，架起函数与数列间的桥梁，揭示了它们间的内在联系，从而有效地分解数列问题.

1.运用函数解析式解数列问题

在等差数列中，Sn是关于n的二次函数，故可用研究二次函数的方法进行解题.

例5等差数列{an}的前n项的和为Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出当n为何值时Sn有最大值.

分析显然公差d≠0，所以Sn是n的二次函数且无常数项.

解设Sn=an2+bn(a≠0)，则

a×102+b×10=100，

a×1002+b×100=10.

解得a=―11100，

b=11110.

所以Sn=―11100n2+11110n.

从而S110=―11100×1102+11110×110

=―110.

函数Sn=―11100n2+11110n的对称轴为

n=111102×11100=55211=50211.

因为n∈N*，

所以n=50时Sn有最大值.

2.利用函数单调性解数列问题

通过构造函数，求导判断函数的单调性，从而证明数列的单调性.

例6已知数列{an}中an=ln(1+n)n (n≥2)，求证an>an+1.

解设f(x)=ln(1+x)x(x≥2)，

则f ′(x)=x1+x―ln(1+x)x2. 因为x≥2，

所以x1+x<1，ln(1+x)>1，

所以f ′(x)<0.

即f(x)在[2，+∞)上是单调减函数.

故当n≥2时，an>an+1.

例7已知数列{an}是公差为1的等差数列，bn=1+anan.

(1)若a1=―52，求数列{bn}中的最大项和最小项的值;

(2)若对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范围.

(1)分析最大、最小是函数的一个特征，一般可以从研究函数的单调性入手，用来研究函数最大值或最小值的方法同样适用于研究数列的最大项或最小项.

解由题设易得an=n―72，

所以bn=2n―52n―7.

由bn=2n―52n―7=1+22n―7，

可考察函数f(x)=1+22x―7的单调性.

当x<72时，f(x)为减函数，

且f(x)<1;

当x>72时，f(x)为减函数，

且f(x)>1.

所以数列{bn}的最大项为b4=3，最小项为b3=―1.

(2)分析由于对任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本题实际上就是求数列{bn}中的最大项.

由于bn=1+1n―1+a1，

故可以考察函数f(x)=1+1x―1+a1的形态.

解由题，得an=n―1+a1，

所以bn=1+1n―1+a1.

考察函数f(x)=1+1x―1+a1，

当x<1―a1时，f(x)为减函数，

且f(x)<1;

当x>1―a1时，f(x)为减函数，

且f(x)>1.

所以要使b8是最大项，当且仅当7<1―a1<8，

所以a1的取值范围是―7

3.利用函数周期性解数列问题

例8数列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.试求S100=a1+a2+…+a100的值.

分析从递推式不易直接求通项，观察前几项a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜测该数列是以4为周期的周期数列.

解由已知

两式相减得

通过上述实例的分析与说明，我们可以发现，在数列的教学中，应重视方程函数思想的渗透，应该把函数概念、图象、性质有机地融入到数列中，通过数列与函数知识的相互交汇，使学生的知识网络得以不断优化与完善，同时也使学生的思维能力得以不断发展与提高.

高中数学思想方法介绍，高中数学解题思想方法与讲解

数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识;基本数学思想则是体现或应该体现于基础数学中的具有奠基性、总结性和最广泛的数学思想，它们含有传统数学思想的精华和现代数学思想的基本特征，并且是历史地发展着的。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。

数学思想方法是对数学及规律的理性认识，是对数学知识的本质认识，是数学认识过程中提炼上升的数学观点方法。学生大脑中若不蕴含数学思想方法，会导致数学学习缺乏自主性，往往就成为离不开教师这个拐棍的被动学习者，学的数学知识不能用数学思想方法有效连接，支离破碎。所以，学生在数学学习中，大脑有了数学思想，学习才有方向导引，心中有了明确方向，才能主动思考，才有利于对数学本质的认识，才能知道如何去思考和解决问题。

高中数学基本数学思想

1.转化与化归思想：

是把那些待解决或难解决的问题化归到已有知识范围内可解问题的一种重要的基本数学思想.这种化归应是等价转化，即要求转化过程中的前因后果应是充分必要的，这样才能保证转化后所得结果仍为原题的结果. 高中数学中新知识的学习过程，就是一个在已有知识和新概念的基础上进行化归的过程.因此，化归思想在数学中无处不在. 化归思想在解题教学中的的运用可概括为：化未知为已知，化难为易，化繁为简.从而达到知识迁移使问题获得解决.但若化归不当也可能使问题的解决陷入困境. 例证

2.逻辑划分思想(即分类与整合思想)：

是当数学对象的本质属性在局部上有不同点而又不便化归为单一本质属性的问题解决时，而根据其不同点选择适当的划分标准分类求解，并综合得出答案的一种基本数学思想.但要注意按划分标准所分各类间应满足互相排斥，不重复，不遗漏，最简洁的要求. 在解题教学中常用的划分标准有：按定义划分;按公式或定理的适用范围划分;按运算法则的适用条件范围划分;按函数性质划分;按图形的位置和形状的变化划分;按结论可能出现的不同情况划分等.需说明的是： 有些问题既可用分类思想求解又可运用化归思想或数形结合思想等将其转化到一个新的知识环境中去考虑，而避免分类求解.运用分类思想的关键是寻找引起分类的原因和找准划分标准. 例证

3. 函数与方程思想(即联系思想或运动变化的思想)：

就是用运动和变化的观点去分析研究具体问题中的数量关系，抽象其数量特征，建立函数关系式，利用函数或方程有关知识解决问题的一种重要的基本数学思想.

4. 数形结合思想：

将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形的性质(或位置关系);或者把几何图形的性质(或位置关系)抽象为适当的数量关系，使抽象思维与形象思维结合起来，实现抽象的数量关系与直观的具体形象的联系和转化，从而使隐蔽的条件明朗化，是化难为易，探索解题思维途径的重要的基本数学思想.

5. 整体思想：

处理数学问题的着眼点或在整体或在局部.它是从整体角度出发，分析条件与目标之间的结构关系，对应关系，相互联系及变化规律，从而找出最优解题途径的重要的数学思想.它是控制论，信息论，系统论中“整体—部分—整体”原则在数学中的体现.在解题中，为了便于掌握和运用整体思想，可将这一思想概括为：记住已知(用过哪些条件?还有哪些条件未用上?如何创造机会把未用上的条件用上?)，想着目标(向着目标步步推理，必要时可利用图形标示出已知和求证);看联系，抓变化，或化归;或数形转换，寻求解答.一般来说，整体范围看得越大，解法可能越好.

在整体思想指导下，解题技巧只需记住已知，想着目标， 步步正确推理就够了.

中学数学中还有一些数学思想，如：

集合的思想;

补集思想;

归纳与递推思想;

对称思想;

逆反思想;

类比思想;

参变数思想

有限与无限的思想;

特殊与一般的思想.

高中数学中函数与方程思想的互化 篇3

关键词：高中数学;函数与方程;相互转化

函数与方程是两个不同的概念，但它们之间又有着密切的联系。对于函数y=f（x），当y=0时，就得到相应的方程f（x）=0，也可以把函数y=f（x）看作二元方程f（x）-y=0，函数y=f（x）的圖象与x轴交点的横坐标就是方程f（x）=0的实数根。方程f（x）=0的实数根就是函数y=f（x）的零点。因此，方程思想与函数思想可以相互转化，以下结合具体例题谈谈本人对这一部分内容的理解。

一、函数问题转化为方程问题求解

例1.如果函数y=的最大值是4，最小值是-1，求实数a，b的值。

解析：函数的定义域为R，由函数的最大值为4可知，存在实数x使得=4，即方程4x2-ax+4-b=0有实数根，所以？驻1=a2-16（4-b）≥0，又因为4是函数的最大值，所以对任意的x，≤4恒成立，即4x2-ax+4-b≥0恒成立，所以？驻2=a2-16（4-b）≥0，所以 a2-16（4-b）=0①。由函数的最小值是-1可知，存在实数x使得=-1，即方程x2+ax+b+1=0有实根，所以？驻2=a2-4（b+1）≥0，又因为-1是函数的最小值，所以对任意的x，≥-1恒成立，即x2+ax+b+1≥0恒成立，所以？驻2=a2-4（b+1）≤0，所以a2-4（b+1）=0②，由①②解得a=4b=3或a=-4b=3。

二、方程问题转化为函数问题求解

例2.若a>2，求方程x3-ax2+1=0在（0，2）的实根个数。

解析：设f（x）=x3-ax2+1，则f'（x）=x2-2ax=x（x-2a），∵02，

∴f'（x）<0，∴f（x）在（0，2）上是减函数，又∵f（0）=1>0，f（2）=-4a+1=-4a<0，所以f（x）在（0，2）上只有一个零点。所以方程x3-ax2+1=0在（0，2）只有一个实根。

评析：本题是一道求方程根的问题，我们构造函数，考虑这个函数的零点的个数，应用导数的方法判断这个函数在（0，2）上的单调性，并结合零点存在性定理，便可得出结论。

三、方程思想与函数思想综合应用

例3.若抛物线y=-2x2+kx-3和端点分别为A（0，4），B（4，0）的线段AB有两个不同的交点，求实数k的取值范围。

解析：线段AB的方程为+=1（0≤x≤4），即y=4-x（0≤x≤4）

将上式代入y=-2x2+kx-3得2x2-（k+1）x+7=0（0≤x≤4）

令f（x）=2x2-（k+1）x+7，因为抛物线与线段AB有两个不同的交点。

所以方程2x2-（k+1）x+7=0在[0，4]上有两个不等的实数根。

所以应该有？驻=（k+1）2-4×2×7>00<<4f（0）=7>0f（4）=32-4（k+1）+7≥0

解得2-1

故k的取值范围是（2-1，]。

评析：本题先将函数图象有交点问题转化为方程有解的问题，再将方程有解的问题转化为二次函数根的分布问题，结合图象，从判别式、对称轴、函数值的大小等方面考虑使结论成立的所有约束条件，建立不等式再求解得到所求范围。本题在求解过程中遵循了“函数→方程→函数”的转化过程，由此可见，方程与函数联系紧密，做题时注意两者的灵活转化。

总之，函数与方程的思想是重要的数学思想，应用非常广泛，主要依据题意，构造恰当的函数或建立相应的方程来解决问题，遇到题目时，注意转化角度，改变思维，可以使复杂问题简单化。

参考文献：

[1]罗建宇.函数与方程的思想在解题中的应用[J].中学数学研究，2008（2）.

[2]王太青.函数与方程思想解题的体会[J].沧州师范专科学校学报，2009（3）.

浅谈函数与方程的思想方法 篇4

方程思想,是分析数学中变量间的相等关系,进而建立方程或方程组,运用解方程或方程的性质去解决问题.

一、函数思想

所谓函数思想,是通过构造函数关系,用函数来分析问题、解决问题的方法.

1. 构造函数,运用函数的性质

例1已知关于x的方程x2+ 2cosx - a2= 0有唯一解,求a的值;

分析构造函数x2+ 2cosx - a2= 0,则此题转化为求函数f( x) 的零点唯一时的a值.

解析设f( x) = x2+ 2cosx - a2,x∈R,∵f( - x) =( - x)2+ 2cos( - x) - a2= x2+ 2cosx - a2= f( x) .

∴f( x) 是偶函数.

∴f( x) 的图像关于y轴对称,而由题意知方程f( x) = 0有唯一解,所以方程的解必为x = 0,∴f( 0) = 0 + 2 - a2= 0,解得

点评解有关不等式、方程之类的问题,通过构造函数关系式,利用函数的图像和性质,常常可以使问题简单得解.

2. 选定主元,揭示函数关系

例2对于a∈[- 1,1]的一切值,求使不等 式恒成立的x的取值范围.

分析从一个题中分析出哪个是自变量,利用函数与方程的思想,把不等式转化为函数去解,从而使问题简化.

1. 当x = 1时,不定式1不成立.

2. 当 x≠1 时,设 f( a) = a( x - 1) + ( x - 1)2.

( 1) 当x > 1时,f ( a) 是[- 1,1]上的增函数,要使f( a) > 0恒成立,则只要f( - 1) > 0,即( 1 - x) + ( x - 1)2>0,∴x > 2.

( 2) 当x < 1时,f ( a) 是[- 1,1]上的减函数,要使f( a) > 0恒成立,则只要f( 1) > 0,即( x - 1) + ( x - 1)2> 0,∴x < 0.

综上所述: x的取值范围是( - ∞ ,0) ∪( 2,+ ∞ ) .

点评本题的巧妙之处是求x反而以a为自变量对进行讨论.

3. 选取变元,确定函数关系

二、方程思想

函数与方程密切相关,在解题中,方程的思想占有重要的地位,也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一.

通过换元构造新方程

例3关于x的方程9x+ ( 4 + a) 3x+ 4 = 0恒有解,求的取值范围.

分析通过换元法将方程变为二次方程恒有正根问题,同时利用根与系数的关系解决问题.

解析设3x= t,( t > 0) ,所以方程t2+ ( 4 + a) t + 4 = 0有正根,

解得a≤ - 8.

点评本题利用换元法,将问题转化为二次方程,利用根与系数的关系或判别式来解决问题.

三、函数与方程相互转化的思想

解题时,不能只局限于函数思想或方程思想,而应该根据两者之间的相互关系,使其能相互转化,以达到快速解题之目的.

例4已知抛物线y = ( m - 1) x2+ ( m + 2 ) x - 1 ( m∈R) ,当m为何值时,抛物线与x轴有两个交点?

分析令y = 0,则转化为求方程有两个不等实根时m的值.

解析 ( 1) 令y = 0,则( m - 1) x2+ ( m + 2) x - 1 = 0,由题意∴ m > 0 或 m < - 8且 m≠1.

函数与二次方程 篇5

22、（8分）某商场购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商店决定提高销售价格．经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每有销售件数y﹝件﹞是价格x﹝元∕件﹞的一次函数.⑴试求y与x之间的函数关系式； ⑵在商品下积压，且不考虑其他因素的前提下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？﹝总利润总收入总成本﹞

函数与方程的思想方法 篇6

【关键词】 初中数学；方程函数；转化思想

初中数学思想涉及面很多，其中函数和方程的转化思想是初中数学学习方程和函数经常用的思想理论，对于方程和函数结合的题目有着重大的意义，是初中数学学习过程中不能缺少的重要思想。转化思想的内涵就是将未知的难题转化成已学的问题，将抽象的表述转化为具象的描述，极大的减轻了数学学习的困难，给初中生带来了很大的便利。

一、方程和函数的转化理论基础

方程和函数是两个完全不同的知识点，方程思想主要是指通过问题的数量关系，将数学语言描述的问题变成带有未知数的数学模型，包括不等式、方程、方程组等，解方程来得到答案。函数思想主要是运用函数的性质和概念，通过函数图像的分析解决问题。方程思想和函数思想虽然存在很大的差异，但是有密切的关系，能够实现相互转化。

函数表达式就可以看成是方程，二元方程的两个未知数若是单值就可以看成是函数，一元方程，两端都可以看成函数，两个图像的交点就是方程的解。方程和函数之间的相互转化，深入的渗透在初中数学的解题过程中，需要同学们加强学习。

二、教材中体现转化思想

转化思想在教材中得到了广泛的体现，例如有理数的加减法中，相反数的应用，加法转化为减法，减法就是加法移项以后得到的，加上一个数就是等于减去这个数的相反数，转化思想将加减法统一在了一起。还有就是倒数的运用，乘法和除法就是通过倒数来进行转化的。乘以一个数就是除以这个数的倒数，除以一个数就是乘以这个数的倒数，这就是乘除法法则。转化思想将乘法和除法联系在一起。在初中数学中，分工问题就是转化成为整体问题解决，分式方程一般采取将分式的分母通分，整体转化为整事方程进行解决的。最常见的是一元一次方程，多元方程可以通过转化，消去一个未知数，转化为成为一元一次方程，简化了解题步骤。

转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题进行解决，不但在代数中应用广泛，在几何图形的学习中也用的很多。例如集合图形强调定理，而定理的证明往往就是将要证明的定理转为成为已经学过的定理或者已经学过的公理进行证明。这种定理证明最能体现转化思想。转化思想在其他的方面也有很多的应用，在解题过程中，将复杂的图像转化为整体，从而简化图形也是常用的方法。

转化思想已经深入的渗透在初中数学学习的方方面面，学生要加强对转化思想的体会，将代数、几何的问题进行转化，就能发现数学学习的乐趣，并且能够领会数学的发展过程，享受其中。

三、转化思想的案例分析

1.函数思想在方程中的应用。函数思想解决方程问题，已经成为初中数学的重要方法之一，体现在最佳方案问题和极值问题。一般采用的步骤是，将实际问题抽象化，列出函数解析式，能够轻易的得到答案。

例：2012年某地区商业用水和居民家庭用水一共是7亿立方米，居民用水比商业用水的三倍还多0.2平方米，求居民用水和商业用水各是多少？

这是一道常见的题型，按照方程思想解答过程如下：

设商业用水X亿立方米，居民用水（3X+0.2）亿立方米，根据题意列出下列方程X+3X+0.2=7

解得X=1.7

3X+0.2=5.3

所以，居民用水是5.3亿立方米，商业用水是1.7亿立方米。

按照函数思想解题过程如下：

设商业用水X亿立方米，居民用水是Y亿立方米，列出相关函数为

X+Y=7

3X+0.2=Y

做出两个函数的图像，取函数图像的交点，就能够得到答案。

通过以上解题过程我们能够发现，函数思想能够发散学生的解题思维，思路独特，方法新颖，是数学学习中不可缺少的重要部分。

2.方程思想在函数中的应用。函数问题一般都很抽象，学生读题都存在困难，更不要说解题过程了。函数学习是初中学习的重点和难点，也是学生最难的部分之一，因此需要学生加强练习。若是能够将函数问题转化为方程问题，能够在一定程度上减少解题的难度，是老师和同学们认真探讨的方法。方程思想在函数中也有广泛的应用，如追击问题等，方程代替函数往往能够起到事半功倍的效果。

方程解题的主要特点是将语言化为了方程模型，通过一元一次方程、一元二次方程、一元高次方程或者是多元一次方程、多元几次方程的使用，将抽象的函数关系具象化，学生只要能够找到他们之间的数量关系列出方程，就可以将题做出来。

3.转化思想策略。转化思想并不是任何问题都可以进行转化，主要有以下有几种转化思想策略：①将生疏的问题转化为熟悉的问题；②将复杂的问题向简单问题转化；③将部分问题转化为整体问题；④将方程高次问题转化为低次问题；⑤将实现中实际问题向数学问题进行转化。

这些转化的引用，将数学问题简单化，帮助同学们减轻了学习数学的难度，成为学生首选的方式。

函数问题和方程问题在很大程度上是一样的，都是把语言表达的问题进行数量化，抓住数学问题中的数量关系，进行解题。函数思想解决方程问题或者是方程问题解决函数问题，都是常见的初中数学的解题方法，同学们在做题的过程中要善于思考，经常总结，就能够提高学习成绩，收获理想分数。

【参考文献】

[1]李军.浅谈初中数学函数思想与方程思想的转化[J].新课程.教师，2011（10）52～53.

[2]丁良志.初中数学中的转化思想[J].课程教育研究（新教师教学），2013（29）：85～86.

高中数学函数与方程的思想探析 篇7

1. 函数的思想

就是利用函数的图像和性质分析问题,通常将一些方程、不等式的问题转化为函数的问题。具体体现有求方程的根的问题、不等式恒成立的问题,特别是一些超越方程或超越不等式中,巧用函数的思想,会使问题迎刃而解。

2. 方程的思想

就是把函数构造成方程,利用方程进一步研究方程的思想。具体体现有求函数的值域的问题、解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系问题,都可利用解二元方程组来巧妙解决。

二、典例分析

1.(题型1)构造函数,并利用函数的图像和性质来解决有关问题

例1 若x1满足2x+2x=5,x2满足2x+2log2(x-1)=5,求x1+x2的值。

分析:方程2x+2x=5与方程2x+2log2(x-1)=5都是超越方程,其中方程的根都是不能直接求解,所以应找到两个方程之间的联系,转化为函数的思想来解答。

解:由2x+2x=5⇒2x=5-2x⇒

2x+2log2(x-1)=5⇒2log2(x-1)=5-2x⇒

由(1)式知x1可以看做函数y=2x-1与函数y=5/2-x的产生的交点A的横坐标;

由(2)式知x2可以看做函数y=log2(x-1)与函数y=5/2-x产生的交点B的横坐标。

而y=2x-1与y=log2(x-1)分别由y=2x与y=logx同时向右平移一个单位得到y=2x与y=logx函数图像关于y=x对称,即y=2x-1与log2(x-1)函数图像关于y=x-1直线对称。因为y=x-1与y=5/2-x互相垂直,其交点C坐标为(7/4,3/4),同时A、B两点关于C点对称,所以x1+x2=2×7/4=7/2。

点评:本例由已知方程构成函数,巧用指对函数图像的对称性来巧妙地解决问题。

变式:设a,b∈R且(a-1)3+2002(a-1)=-1,(b-1)3+2002(b-1)=1,求a+b的值。

分析:观察已知条件中结构形式,构造函数f(x)=x3+2002x,有f(a-1)=-f(b-1),知y=f(x)为奇函数且y=f(x)在R递增的,f(a-1)=f(1-b)⇒a-1=1-b⇒a+b=2。

例2 设不等式2x-1>m(x2-1)对满足的一切实数恒成立,求实数的取值范围。

分析:不等式f(x)≥g(x)恒成立,往往都是构造F(x)=f(x)-g(x),往求F(x)min,使得F(x)min≥0,即可达到解决问题的目的。若构造二次函数F(x)=2x-1-m(x2-1),m∈[-2,2],往求F(x)min,利用分类讨论思想较为复杂化,若变换以m为主元,x为辅元,即一次函数F(m)=(x2-1)m-(2x-1),-2≤m≤2,往求F(m)max,即可使得F(m)max<0。

只要,

∴实数x的取值范围为。

点评:本例将不等式恒成立问题构造函数,利用函数的性质巧妙解决问题。

2.(题型2)建立方程,利用方程的思想解决有关问题

例3 如果函数的最大值是4,最小值是-1,求实数的值。

分析:函数的定义域为R,值域为-1≤y≤4,由转化为yx2-ax+y-b=0关于x的一元二次方程有实数根,使用到别式。

解:定义域为R⇒yx2-ax+y-b=0有实数根⇒(-a)2-4y(y-b)≥0⇒4y2-4by-a2≤0。

∵-1≤y≤4,∴4y2-4by-a2-=0产生有两根-1,4。

点评:本例巧妙地将函数问题转化成方程根的问题解决问题。

例4 已知函数f(x)=ax+x2-xlna(a>0,a≠1)。

(1)当a>1时,求证:函数f(x)在(0,+∞)单调递增。

(2)若函数y=f(x)-t-1有三个零点,求的值。

分析:函数y=f(x)-t-1有三个零点转化方程f(x)-t-1=0有三个根,再转化成f(x)=t±1方程有三个根,再转化成函数y=f(x)与函数y==t±1有三个交点,利用函数与方程思想相互转化。

解:(1)f'(x)=axlna+2x-lna=(ax-1)lna+2x。

∵x>0,a>1,∴ax>1,ax-1>0,lna>0,2x>0。

∴(ax-1)lna+2x>0,即f'(x)>0。∴y=f(x)在(0,+∞)是单调递增的。

(2)函数y=|f(x)-t|-1有三个零点圳方程|f(x)-t|-1=0有三个根⇔f(x)=t±1方程有三个根⇔函数y=f(x)与函数f=t±1有三个交点。

由(1)式知当a>1时,函数f(x)在(0,+∞)单调递增,∵f'(x)=(ax-1)lna+2x,当a>1时,若x<0时ax-1<0 lna>0,2x<0,∴(ax-1)lna<0,f'(x)<0。

∴当a>1时,y=f(x)在(-∞,0)单调递减。

当00时,ax-1<0 lna<0,2x>0,∴(ax-1)lna<0,f'(x)>0。

当a>1时,y=f(x)在(-∞,0)单调递增。

当00 lna<0,2x<0。

∴(ax-1)lna<0,f'(x)<0。

当0

∴y=f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增。

∵y=f(x)与y=t±1有三个不同的交点,又∵t+1>t-1,∴y=t-1=f(0)=1时,且t=2时满足要求。

∴t=2。

点评:本例巧妙利用函数与方程相互转化的思想解决问题。

函数与方程思想及其应用 篇8

方程思想是未知和已知的思想, 是先分析问题中的各个变量及其关系, 列出方程 (组) 、不等式 (组) , 然后通过求方程 (组) 、不等式 (组) 的解 (集) , 使问题得以解决的数学思想.

函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面:一是借助相关初等函数的性质, 处理有关求值、解 (证) 不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题研究中, 通过建立函数关系式或构造中间函数, 把所研究的问题转化为讨论函数有关性质的问题, 化难为易, 化繁为简.方程思想的应用可分为逐步提高的四个层次:⑴解方程;⑵含参数方程的讨论;⑶转化为对方程的研究, 如直线与圆锥曲线的位置关系、函数的性质;⑷构造方程求解.

一、三个“二次” (一元二次方程、二次函数、一元二次不等式) 中的函数与方程思想

二、数列中的函数与方程思想

三、三角中的函数与方程思想

四、解析几何中的函数与方程思想

五、立体几何中的函数与方程思想

(Ⅰ) 求V (x) 的表达式;

(Ⅱ) 当x为何值时, V (x) 取得最大值?

浅析高中数学函数与方程思想 篇9

在高考中主要考查的是函数的概念、性质及图像的应用, 包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。

方程的思想, 就是分析数学问题中变量间的等量关系, 建立方程或方程组, 或者构造方程, 通过解方程或方程组, 或者运用方程的性质去分析、转化问题, 使问题获得解决。方程思想是动中求静, 包括研究运动中的等量关系数法、换元法、转换法和构造方程法四个方面。

函数思想与方程思想的联系十分密切。解方程f (x) =0就是求函数y=f (x) 当函数值为零时自变量x的值。求综合方程f (x) =g (x) 的根或根的个数就是求函数y=f (x) 与y=g (x) 的图象的交点或交点个数。参数方程f (x, y, t) =0具有函数因素, 属能随参数的变化而变化的动态方程。它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点, 而是具有某种共性的几何曲线。正是这些联系, 促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换, 丰富了数学解题的思想宝库。

一、显化函数关系

在高中数学的很多解题过程中, 可以将原有的隐含的函数关系凸显出来, 从而用函数的知识和方法来使问题得到解决。

例1:在数列{an}中, a1=15, 以后各项为 an+1=an-2, 求数列{an}的前n项和的最大值。

二、转换函数关系

在研究函数的性质, 数列和圆锥曲线等恒成立问题中逆求参数的取值范围, 按照原来的函数很难解决时, 当我们转换思维角度, 放弃题设的主参限制, 从其他的角度重新设变量, 利用新的函数关系, 使原问题获解。

例2:已知函数$f(x)=\lg \frac{1+2{}^x+4{}^x\cdot a}{a{}^2-a+1}$, 其中a为常数, 若当x∈ (-∞, 1]时, f (x) 有意义, 求实数a的取值范围。

三、构造函数关系

在我们解决一些非函数问题的时候, 通过联想、抽象、概括等方法, 构造出一定的函数关系, 利用函数的思想方法使原来的问题得到解决, 这是用函数思想解题的更高层次的体现。在构造的时候, 要认真审题, 发现题目中的可以类比、联想的条件, 促进思维迁移。

例3:求函数$y=(\log {}_{\frac{1}{4}}x){}^2-\log {}_{\frac{1}{4}}x{}^2+5,x\in [2,4]$的值域。

解:令$t=\log {}_{\frac{1}{4}}x,x\in [2,4],t\in [-1,-\frac{1}{2}]$, 函数y=t2-2t+5= (t-1) 2+4, 在$t\in [-1,-\frac{1}{2}]$上单调递减, 所以函数的值域为$\frac{25}{4}\le y\le 8$。

点拨解疑:通过构造辅助函数$t=\log {}_{\frac{1}{4}}x,x\in [2,4],t\in [-1,-\frac{1}{2}]$, 借助函数的单调性, 运用复合函数的单调性, 求原函数的值域。

四、建立方程模型

例5:甲、乙两地相距s千米, 汽车从甲地匀速驶到乙地, 速度不得超过c千米/小时, 已知汽车每小时的运输成本 (以元为单位) 由可变部分和固定部分组成, 可变部分与速度v (km/h) 的平方成正比, 比例系数为b, 固定部分为a元。

(1) 把全程运输成本y (元) 表示为v (km/h) 的函数, 并指出这个函数的定义域;

(2) 为了使全程运输成本最小, 汽车应以多大速度行驶?

分析:本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识, 还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力。学会将实际问题抽象转化为具体的函数问题, 不要忽略对参变量的限制条件。技巧与方法: ①读题;②建模;③求解;④评价。

五、待定系数法

一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式, 这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组, 其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数, 或找出某些系数所满足的关系式, 这种解决问题的方法叫做待定系数法。

例5:是否存在常数 a, b, c, 使得等式$1\cdot 2{}^2+2\cdot 3{}^2+3\cdot 4{}^2+\cdots +n(n+1){}^2=\frac{n(n+1)}{12}(an{}^2+bn+c)$对于一切自然数n都成立?并证明你的结论。

六、转换方程形式

例6:设二次函数f (x) =ax2十bx十c (a> 0) , 方程f (x) -x=0的两个根满足$0＜x{}_1＜x{}_2＜\frac{1}{a},$

(1) 当x∈ (0, x1) 时, 证明x<f (x) <x1;

(2) 设函数f (x) 的图象关于直线x=x0对称, 证明$x{}_0＜\frac{x{}_1}{2}$。

分析:本例是有一定难度的代数推理题, 审题中要细心分清函数f (x) 与方程f (x) -x=0是两个不同的条件, x=x0是函数f (x) 的对称轴, x1, x2则是方程f (x) -x=0的根, 它们之间的联系通过a, b, c隐蔽地给出, 因而充分利用二次函数的性质, 引进辅助函数g (x) =f (x) -x, 凸现已知条件的联系, 是解题的关键.

函数与方程的思想方法 篇10

关键词：函数,方程思想,数学教学

文献中, 原题是求一个函数y = x +槡x ( 2 - x) 的值域.作者给出了四种解法, 有通法, 也有精妙的构思. 但笔者在看到第一种解法, 即利用函数与方程的关系, 将函数问题转化为二次方程判别式问题的方法时, 觉得这种解法的解释不够完美, 不能很好地解释函数与方程的关系. 所以希望能做补充和解释, 不当之处, 望各位同行批评指正. 现将原解答摘抄如下:

但函数的定义域为{ x|0≤x≤2} , 而Δ≥0仅保证关于x的方程1在实数集R上有实数根, 但不能确保实数根在区间[0, 2]内, 即不能确保方程1在[0, 2]上有实数根, 因此, 由Δ≥0求出的y的范围可能比y的实际范围大, 故函数的值域不一定恰好是[1 -21/2, 1 +21/2], 因此采取以下的方法进一步确定原函数的值域.

∵ 0≤x≤2,

∴ ymin= 0.

把y = 1 +21/2代入方程1,

解得x = 1 +21/2/2∈[0, 2].

即当x = 1 +21/2/2时, y取得最大值1 +21/2.

∴原函数的值域为[0, 1 +21/2].

在评注中, 作者提到该解法是学生容易想到的方法, 但若考虑不细致, 容易将值域求错.

笔者认为, 这个思路虽然能解决此题, 但若换成另一题, 未必适用. 同时, 对于错误的形成, 分析得不够明确, 事实上, 学生易错此题并不只是考虑不细致, 而是对函数与方程思想理解得似是而非. 笔者接下来举例, 说明上述方法的缺点.

变式: 求函数

此题若仍按上述解法, 得到方程两边平方得

又由Δ≥0, 解得y≥3或y≤ - 3, 又此函数定义域为R,

按上法分析, 值域即为{ y| y≥3或y≤ - 3} .

而此题正确答案是[3, + ∞ ) .

为什么会出现这样的答案? 原题给出的解答是:故 y > x, 当 x > 0 时, y > 0; 当 x < 0 时, . 因此, 原函数的值域为[3, + ∞ )

事实上, 等价条件转化中, 学生为什么总会漏掉条件?往往是因为对于条件转化中两个条件是否等价并不明确, 包括这两道题的作者的解法对此问题阐述得也不够明确.这样去找条件限制值域, 显得目标不够明确, 往往只是抓住题目中的一个必要条件, 这样的条件如何找? 学生往往会很迷茫. 那么, 这种题目产生错解的原因究竟是什么呢? 我们先以原题举例.

( y - x) 2= x ( 2 - x) 已经包含着函数的定义域为{ x | 0≤x≤2} 这一事实. 所以, 错解的原因并不是定义域的问题.

的等价形 式明显不 是, 因为含有两个方程, 使得有根的y才是使得值域范围变大的原因.

笔者给出的解答如下:

这样, 我们就可以将一个函数求值域的问题, 转化为一个含参数y的关于x的二次方程有解的问题, 而由等价条件, ( y - x) 2= x ( 2 - x) 不但应该有解, 解的范围还应该满足y≥x.

那么, 这就变成了一个一元二次方程根的分布的问题.

两边平方整理得

若方程的根均满足x > y, 则根据根的分布的知识, 有, 解得y < 0.

即若要保证x≤y时有根, 需要同时满足

即原函数的值域为[0, 1 +21/2].

注意到, 笔者的任何转化都是等价的, 所以求出的结果当然无需检验或者细致地重新考虑各个条件, 结果一定是正确的. 首先的值域问题即为关于x的方程中使得方程有根的y的范围的问题, 这属于函数与方程思想的范围. 而接下来我们只需要研究无理方程有根的问题, 即转化为等价形式

笔者在教学过程中发现, 学生在解题时, 对于判别式法这一求值域的有力工具往往用不好, 只能注意到Δ≥0这一个条件, 这就导致了往往结果是正确的, 但求值域的过程是有问题的. 笔者上面列举的思路其实可以作为解决这一类型函数的通法. 这样就避免了前面原题和变式作者给出的解答学生无法理解的情况.

我们用同样的思路解答笔者给出的变式.

笔者所举例的变式解法非常多, 如三角换元、导数法, 或者利用“数形结合”的构造法. 但本文旨在说明这种类型函数, 用函数与方程的想法解题时如何避免探讨非等价条件解错值域. 这里就不一一将其他方法列举, 只说明这些方法都是可行的, 读者若感兴趣, 可自行证明.

参考文献

函数与方程的思想方法 篇11

百年大计，教育为本。随着我国教育事业的发展，初中数学教育越来越重视学生数学思想的培养。数学思想在数学教育之中有着重要的地位，它是数学学习的灵魂所在，关系着学生数学学习的效率及学生对于数学问题的解答质量。初中生数学思想的培养旨在帮助学生更好地理解初中数学中的概念及重点。初中数学教学大纲中涉及的数学思想主要有：函数思想、方程思想、建模思想、转化思想及数形结合思想等。其中，函数与方程思想是初中数学教育的重点培养思想。本文通过分析二者概念的定义，并结合具体的应用实例，旨在帮助中学生更好地理解函数思想及方程的本质，提高学生在面对具体数学问题时的应用能力。

二、相关概念

（一）函数思想

在初中数学教学中，首先引出的是函数的概念。函数描述的是自然界中数量之间存在的关系。函数思想主要是通过具体问题的数学特征，分析具体数学量之间的关系，进而建立数学模型，从而进行问题的深入研究。初中数学中的函数思想主要体现在学生“联系和变化”的能力。在具体解题中，首先应该根据题意构建函数y，然后再利用函数的增减性、最大值和最小值、图像变换等对问题进行具体的分析。初中数学中的函数模型主要有一次函数、反比例函数、二次函数、锐角三角函数等几类，大部分的数学函数题也是围绕这几类函数模型的。

函数思想并不只是针对函数类数学题而存在的。函数思想虽然基于学生对函数的概念及性质的掌握，但是在各类数学题中都能得到体现。这就要求在具体的解题中，应该善于挖掘题中的隐含条件，进而构造出函数模型。初中生在解数学题过程中应该锻炼自己的审题能力，能够对题目进行充分、全面的解读，这是培养学生函数思想的重要前提。

（二）方程思想

初中数学教材中涉及的方程思想主要立足于具体数学问题的数量关系，然后通过学生正确理解，将问题中所给的语言文字转化为相应的数学语言，进而转化为既定的数学模型。这里提到的数学模型包括方程、不等式、混合式（方程与不等式共存），然后通过计算获得方程或者不等式的解，从而使得数学问题得到解决。值得强调的是，与函数思想一样，方程思想的适用范围很广，它并不只针对方程问题存在。就像前面提到过的不等式中同样用到了方程思想。随着对初中数学的进一步学习，我们能够体会到方程思想的用处很广，它会潜移默化地影响学生的解题思路，帮助学生提高解题能力。

笛卡尔将方程思想进行了具体的概括，他认为的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。在数学领域，几乎到处都有等式与不等式存在。初中数学作为数学教育的基础教育，大部分内容都是建立在等式与不等式之上的。哪里有等式，哪里就有方程思想。具体应用到初中数学中，设未知数、列方程、研究方程、解方程都是学生应用方程思想的重要体现。

三、应用案例

（一）函数思想的应用

我们在初中数学中所遇到的数量关系有时没有那么直观，如果利用函数思想建立数学量之间的函数关系模型就能够有效解决这一问题。通过构建具体的函数模型研究初中数学问题，可以使很多东西简单化。同时，培养学生的函数思想有助于其学习能力的提高、学习成绩的进步。

例如：据报载，我省人均耕地已从1951年的2.93亩减少到1999年的1.02亩，平均每年减少0.04亩。若不采取措施，继续按此速度减下去，若干年后我省将无地可耕，无地可耕的情况最早会发生在（    ）。

A.2022年？摇？摇B.2023年？摇？摇C.2024年？摇？摇D.2025年

解：设x年后我省可耕地为y亩，则y与x的函数关系式为y=2.93-0.04x。

令y=0得x=73.25。

考慮实际情况x应取74，无地可耕的情况最早会发生在1951+74=2025，所以应该选D。

上述例题的解答问题就体现了函数思想。通过建立时间与耕地面积的函数关系使题目简单化。倘若直接计算，也能得到正确答案，只是解答过程会相对繁琐并且容易出现错误。其实，利用函数思想解决初中数学问题的中心思想很简单，就是构建函数关系式。但具体应用起来并非易事。学生要综合考虑函数的性质、图形及实际情况解答问题，并不是单纯地列出函数式就可以了。教师应加强学生的相关练习。

（二）方程思想的应用

1.方程的思想在代数中的应用：对于一些概念性的问题可以用方程的思想解决。

例如：1）■+1与■互为相反数，求m的值;

2）p（x，x+y）与q（y+5，x-7）关于x轴对称，求p、q的坐标。

解题思路就是根据给出的语言描述，利用相反数的概念及关于x轴对称的性质列出相应的方程式，然后对方程式进行求解。

2.方程的思想在几何中的应用：最典型的就是给出边（角、对角线、圆的半径）的比，求有关的问题。

例如：若三角形三个内角之比是1∶1∶2，判断这个三角形的形状。

解题思路为：设每一份为x，三个角分别就是x，x，2x，

则x+x+2x=180，解方程得x=45，所以该三角形为等腰直角三角形。

从上面的例子可以看出，方程思想在具体应用中就是利用方程观点，用已知量和未知量列出等式或者不等式，然后再对方程进行求解。教师应该加强培养学生根据题意列方程的能力，这是利用方程思想解题的关键所在。

四、结语

函数思想与方程思想作为重要的数学思想，都能体现出数学的本质、数学能力及数学的学科特点。这两种数学思想在初中数学中属于最基本的解题思想。对于初中学生而言，加强函数与方程思想的训练能够不断增强学生思维的灵活性，进而提高初中学生的数学解题能力。

函数与方程的思想方法 篇12

函数与导数在历年高考中都占有较大的比重, 内容丰富, 概念众多, 题型多样, 综合性较强。特别是函数解答题, 常用函数与方程思想方法来解决。

例:已知函数f (x) =1n (x+a) -x2-x在x=0处取得极值,

(1) 求实数a的值;

评析:本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识, 考查运用导数研究函数的性质的方法, 考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。

二、在解几中应用研究

解析几何是高考的重要内容之一, 解答题基本都是压轴题, 以考查解析几何的基本思想方法。最值问题、参数范围问题、存在性问题, 都是解析几何的考查重点。教学时, 突出强调以代数方法研究几何的基本思想, 应将数形结合、函数与方程的思想贯穿于教学的始终。

例:设直线l∶y=k (x+1) (k≠0) 与椭圆3x2+y2=a2 (a>0) 相交于A、B两个不同的点, 与x轴相交于点C, 记O为坐标原点.

评析:解析几何题主要涉及到直线与圆锥曲线问题, 需联立方程先判断有根时参数范围。然后写出所出面积与参数之间的关系, 利用函数思想求出面积的最值。

三、在数列中应用研究

数列是高考的必考点, 以基础题为主, 侧重考查等差数列、等比数列的基本概念及基本量的运算等。数列是特殊的函数, 可以从运动变化的观点来研究数列, 应用函数与方程思想方法来解决数列问题。例如数列中求某项的范围问题、最值问题。

例:已知数列{an}的前n项和为Sn, a1=1, 且3an+1+2Sn=3 (n为正整数) 。

(1) 求数列{an}的通项公式;

(2) 记S=a1+a2+⋯+an+⋯.若对任意正整数n, k S≤Sn恒成立, 求实数k的最大值。

评析:此题先利用an与sn关系式求出an关于n的函数关系式, 第二小不题求参数k的范围, 需写出k与n的函数关系式, 利用函数单调性求出最值, 从而得出k的范围。

函数与方程思想方法贯串于高中各知识点, 是解决问题的重要思想方法。因此在教学中重视学生函数与方程思想的培养, 这是提高学生数学能力的关键。

摘要：函数与方程思想是最重要的一种数学思想, 在历年高考中所占比重较大, 特别是高考解答题中常渗透函数与方程思想方法.函数思想是指运用运动变化的观点, 分析和研究数学中的数量关系, 通过建立函数关系 (或构造函数) 运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想, 是从问题的数量关系入手, 运用数学语言将问题转化为方程或不等式模型去解决问题。利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。如研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容, 一直是高考的热点、重点内容。以下举一些例子说明函数与方程思想体现在各知识点中。