函数的单调性与导数

函数的单调性与导数（精选8篇）

函数的单调性与导数 篇1

在高考中, 导数已从前几年的辅导地位上升到研究函数性质必不可少的工具.高考的导数试题, 一般都是利用导数的符号, 判断函数的单调性, 再来确定函数的极值和最值, 寻求参数的范围, 进一步研究实际问题.下面仅以2008年高考试题为例, 说明有关导数问题的解决方法.

一、求导开路, 判断函数的单调性

例1 (2008年福建卷) 已知函数f (x) =ln (1+x) -x, 求f (x) 的单调区间.

解:因为函数f (x) =ln (1+x) -x的定义域为 (-1, +∞) , 且.

由f′ (x) >0得-10, 故f (x) 的单调递减区间为 (0, +∞) .

例2 (2008年北京卷) 已知函数, 求导数f′ (x) , 并确定f (x) 的单调区间.

令f′ (x) =0, 得x=b-1.

当b-1<1, 即b<2时, f′ (x) 的变化情况如表1.

当b-1>1, 即b>2时, f′ (x) 的变化情况, 如表2.

所以当b<2时, 函数f (x) 在 (-∞, b-1) 上单调递减, 在 (b-1, 1) 上单调递增, 在 (1, +∞) 上单调递减.

当b>2时, 函数f (x) 在 (-∞, 1) 上单调递减, 在 (1, b-1) 上单调递增, 在 (b-1, +∞) 上单调递减.

当b-1=1, 即b=2时, , 所以函数f (x) 在 (-∞, 1) 上单调递减, 在 (1, +∞) 上单调递减.

点评:因为导数的符号可判断函数的单调性, 所以首先由求导开路.对于导数等于零的点1, 要分三种情况讨论.

二、通过函数的单调性, 求极值和最值

例3 (2008年浙江卷) 已知a是实数, 函数f (x) =x2 (x-a) .求f (x) 在区间[0, 2]上的最大值.

解:.令f′ (x) =0, 解得x1=0, .

当, 即a≤0时, f (x) 在[0, 2]上单调递增.从而fmax=f (2) =8-4a.

当, 即a≥3时, f (x) 在[0, 2]上单调递减.从而fmax=f (0) =0.

点评:求导开路, 分两类讨论函数的单调性, 即可在端点处求得最大值.

三、通过函数的单调性, 寻求参数范围

例4 (2008年陕西卷) 设函数f (x) =x3+ax2-a2x+1, g (x) =ax2-2x+1, 其中实数a≠0. (Ⅰ) 若a>0, 求函数f (x) 的单调区间; (Ⅱ) 若f (x) 与g (x) 在区间 (a, 2a) 内为增函数, 求a的取值范围.

解: (Ⅰ) 因为, 而a>0.所以当x<-a或时, f′ (x) >0;当时, f′ (x) <0.所以f (x) 在 (-∞, -a) 和内是增函数, 在内是减函数.

(Ⅱ) 当a>0时, f (x) 在 (-∞, -a) 和内是增函数, g (x) 在内是增函数.

由题意得:, 解得a≥1.

当a<0时, f (x) 在和 (-a, +∞) 内是增函数, g (x) 在内是增函数.

由题意得:, 解得a≤-3.

综上可知, 实数a的取值范围是 (-∞, -3) ∪[1, +∞) .

点评: (1) f′ (x) 和g (x) 虽然都是二次函数, 但判断单调性的方法不同.前者是由f′ (x) 的符号判断f (x) 的单调性, 而后者g (x) 则由其对称轴的左、右两侧, 来确定其单调性. (2) 最后, 利用复合函数的单调性, 确定参数的范围.

四、借助导数解决实际问题

例5 (2008年湖北卷) 水库的蓄水量随时间而变化.现用t表示时间, 以月为单位, 年初为起点.根据历年数据.某水库的蓄水量 (单位:亿立方米) 关于t的近似函数关系式为:

(1) 该水库的蓄水量小于50的时期为枯水期, 以i-1

(2) 求一年内该水库的最大蓄水量 (取e=2.7计算) .

解: (1) 利用解不等式可得枯水期为1月, 2月, 3月, 4月, 11月, 12月, 共6个月.

(2) 由 (1) 知, V (t) 的最大值只能在 (4, 10) 内达到.由V′ (t) =0, 解得t=8 (t=-2舍去) .当t变化时, V′ (t) 与V (t) 的变化情况, 如表3所示.

由表3, V (t) 在t=8时取得最大值V (8) =8e2+50=108.32 (亿立方米) .

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.

点评:本题是通过函数的单调性, 求最值的一个很好的实际范例.

练习

1.设f (x) =ax3+bx2-3a2x+1 (a, b∈R) 在x=x1, x=x2处取得极值, 且|x1-x2|=2. (1) 若a=1, 求b的值.并求f (x) 的单调区间; (2) 若a>0, 求b的取值范围.

2.已知a是实数, 函数, 求函数f (x) 的单调区间.

3.设函数f (x) =ax+bx+c (a≠0) , 曲线y=f (x) 通过点 (0, 2a+3) , 且在点 (-1, f (-1) ) 处的切线垂直于y轴. (1) 用a分别表示b和c; (2) 当bc取得最小值时, 求函数g (x) =-f (x) e-x的单调区间.

参考答案

1. (1) b=0, 在 (-1, 1) 上单调递减.在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 上单调递增 (2) .

2.当a≤0时, f (x) 的递增区间[0, +∞) ;当a>0时, f (x) 的递减区间, 递增区间.

3. (1) b=2a, c=2a+3; (2) g (x) 的递减区间为 (-∞, -2) 和 (2, +∞) , 递增区间为 (-2, 2) .

函数的单调性与导数 篇2

本节课的内容是苏教版选修1-1第一章第二部分的内容（文科）。这一知识点在高考中是热点，06年、08、09年广东、江苏高考均以解答题出现，从这节课中我有以下反思：

一、有明确的教学目标

（一）知识目标（考试大纲与考试说明）

1、了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间．

2、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函

数的极大值、极小值；会求闭区间上函数的最大值、最小值（注：对多项式函数一般不超过三次）．

３、生活中的优化问题．会用导数解决某些实际问题．

（二）能力目标：让学生具有解高考题的能力。

（三）情感目标：通过本节课的教学，让学生知道数学来源于生活。并且应用于生活。通过研究导数的实际应用增强学生的数学应用意识体现数学价值；另一方面，在近几年高考中导数应用几乎连连出现。

二、能突出重点、分散难点

本课的教学重点是：（1）利用导数研究函数的性质；（2）导数在实际生活中的应用。这是由于：一方面，通过初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的比较，让学生体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性。本课的教学难点是：函数的单调性与导数的关系；极值概念的理解。由于选修课本没有极值概念而用极限引入导数，导致许多学生不理解导数的本质，因此学习中只能将导数作为一种规则。然而新课程强调对导数本质的认识，不仅将导数作为一种规则，更作为一种重要的思想方法来学习。另外，由于当时高二下学期时间紧，教学时仅仅让学生知道如何解题而已，而对于相互间的关系和概念的理解很少涉及，因此在现在复习中很有必要解决这些问题。在教学中采用选择题或填空题形式在基础题中先让学生练习找出问题及出错原因，然后通过知识整合加以总结，再通过典型例题分析加以强化，从而真正突破难点。

三、善于应用现代化教学手段并结合学案教学。

应用多媒体教学和学案教学，（一）有效地增大堂课的课容量，（二）减轻板书的工作量，有更多精力讲深讲透所举例子，提高讲解效率；

（三）是直观性强，容易激发起学生的学习兴趣，有利于提高学生的学习主动性；四是有利于对整堂课所学内容进行回顾和小结。在课堂教学结束时，教师引导学生总结本堂课的内容学习的重点和难点。同时通过投影仪，同步地将内容在瞬间跃然“幕”上，使学生进一步理解和掌握本堂课的内容。

四、根据具体内容，选择恰当的教学方法

本课教学中以讲练结合为主，同时配合使用导思点拨等教学方法。高三学生通过前面复习与练习已经对相关内容有了一定的认识，但是在解题规范性与运算技巧的掌握等细节上仍存在问题，因此课堂上教师多给学生练习时间，再通过适时讲评实现总结与提高。当然对综合题的解决与解题突破口的选择也需要老师在课堂上适时和适当的点拨。

课堂上还将采用多媒体展示、学生独立回答和集体回答、学生板演等多种手段，激发学生的学习兴趣，提高课堂复习效率。当然，在学生回答之后，老师要及时给学生一个鼓励性的评价，以增强学生回答的信心，使课堂始终保持一种热烈、积极、主动的学习气氛。

五、关爱学生，及时鼓励

本节课的宗旨是着眼于学生的发展。对学生在课堂上的表现，及时加以总结，适当给予鼓励，并处理好课堂的偶发事件，及时调整课堂教学。

六、充分发挥学生主体作用，调动学生的学习积极

性

学生是学习的主体，教师要围绕着学生展开教学。在教学过程中，自始至终让学生唱主角，使学生变被动学习为主动学习，让学生成为学习的主人，教师成为学习的领路人。

在这节课中，我尽量少讲，让学生多动手，动脑操作

7、渗透教学思想方法，培养综合运用能

力

常用的数学思想方法有：转化的思想，类比归纳与类比联想的思想，分类讨论的思想，数形结合的思想以及配方法、换元法、待定系数法、反证法等。本节课我采用了数形结合的思想、转化的思想。

8、对教学效果的反思

函数的单调性与导数 篇3

【关键词】参数；单调性；分类讨论；二次函数；判别式；方程的根

导数是研究函数的重要工具，而利用导数来判断函数的单调性也是高考重点考查的内容之一。用导数来判断函数的单调性，其一般步骤为：

1.确定函数y=f（x）的定义域；

2.求导函数f'（x）；

3.在函数f（x）的定义域的范围内解不等式f'（x）＞0或f'（x）＜0；

4.根据3的结果确定函数f（x）的单调区间。

例1：求函数 的单调区间。

解：函数f（x）的定义域为R，f'（x）=x2-2x-3，解不等式f'（x）＜0，得-1＜x＜3；解不等式f'（x）＞0，得x＜-1或x＞3。所以f（x）的单调递减区间为（-1，3），单调递增区间为（-∞，-1）（3，+∞）。当我们遇到含参数函数时，基本上也要按照这个步骤进行。

例2：求函数的单调减区间。

解：函数f（x）的定义域为R， f'（x）=x2-（2a+1）x+2a，解方程f'（x）=0，得x1=1，x2=2a，只需解不等式f'（x）＜0即可，但需要对x1，x2之间的大小关系进行讨论。

若x1＞x2，即时，f'（x）＜0的解集为：（2a，1）；

若x1＜x2，即时，f'（x）＞0的解集为：（1，2a）。

所以，当时，f（x）的单调递减区间为（2a，1）； 当时，f（x）的单调递减区间为（1，2a）。

通过例2可以发现，含参数函数问题，往往需要分类讨论，而且有的时候，含参数类问题的讨论并不仅仅像例2那样，只是对两个根之间大小关系的讨论，其讨论的过程会更加复杂，运算会更加繁琐。不少同学解答起来会感觉很混乱，无从下手。下面，就对上述问题进行一些探讨和研究。看看如何才能在这个混乱的“局面”中找到解题的思路，做到“乱中有序”。

先看一个例题：

例3：设函数f（x）=mx2-ln（x+1），其中m∈R，求f（x）的单调区间。

分析：函数f（x）的定义域为（-1，+∞），

这里通过通分的方法，得到，这样做的好处是显而易见的，因为x+1＞0，所以只需判断好2mx2+2mx-1的符号。不妨设，则，不等式f'（x）＞0等价于 ，不等式f'（x）＜0等价于，看来问题可以得到解决了，但是在解决的过程中，有一些确是不容回避的：

1.是否为二次函数？这需要通过对m=0或m≠0来加以讨论；

2.若 为二次函数，则是否恒为正（负）？这一点，可以通过判别式△来判断。

3.若△＞0，则方程=0的两个解x1，x2之间的大小关系是否确定？x1，x2是否在定义域（-1，+∞）内？如不确定需要分类讨论，这也直接关系到不等式 或 的解集。

看来这个问题涵盖了三个层次的分类讨论，当它们叠加在一起的时候，需要我们有很好的分析问题和解决问题的能力，同时还需要有一定的耐心。具体解答如下：

解：函数f（x）的定义域为（-1，+∞），

设=2mx2+2mx-1，①m=0时， ，此时 ，

∴f（x）在区间（-1，+∞）单调递减，②m≠0时，=2mx2+2mx

-1为二次函数，其中△=4m2+8m。

1.若△≤0，即-2≤m＜0时，函数=2mx2+2mx-1的图像是开口向下的抛物线，故≤0恒成立，此时在定义域x∈（-1，+∞）上也恒成立。

∴f（x）在区间（-1，+∞）单调递减

2.若△＞0，即m＞0或m＜-2时，=0的两个根分别为

，。

①当m＞0时，，故在

上 ＜0，此时；在上 ＜0，此时。

∴f（x）在区间 单调递减，在区间（，+∞）上单调递增。

②当m＜-2时，由于m＜-2，

，所以-1＜x2＜-，故在区间（，）上 ＞

0，此时f'（x）＞0，在区间上＜0，此时f'（x）＜0，∴f（x）在区间 单调递增，在区间

上单调递减。

综上可得：当m＜-2时，f（x）的单调递增区间为： ，单调递减区间为： ；当-2≤m≤0时，f（x）的单调递减区间为（-1，+∞），无单调递增区间；当m＞0时，f（x）的单调递增区间为： ，单调递减区间为：（-1， ）。

通过解答的过程，我们可以发现，像这样的，导函数f'（x）可以转化成二次函数的题型，其解答的一般步骤为：

1.确定函数f（x）的定义域，求导函数f'（x），并将f'（x）转化成用二次函数，（可设为 ）来表示；要注意两点：①若f'（x）本身就是二次函数，则无需转化；②若 的二次项系数不确定，需再加一步讨论。

2.先讨论二次函数的判别式△，一般是分△≤0和△＞0。因为当△≤0时，往往 恒为正（负），此时，f'（x）的符号就可以较为容易的判断出来，先将这一部分问题解决后，再解决△＞0时的部分；

3.当△＞0时，对应方程=0有两个不同的根，需要进一步讨论x1，x2。这一块主要讨论两点：①x1，x2之间的大小关系；②x1，x2是否在定义域或题目条件指定的区域中。这一部分运算往往比较繁琐，讨论容易出现混乱，解答时思路要清晰，还要有耐心。

解答这类问题时，要严格按照上面的步骤和要求，有序进行，解答的过程才能更加全面和彻底，不会有遗漏。

仿照例3，按上述的步骤和要求，再来训练一个题目。

例4：已知函数f（x）=x2-（2a+1）x+alnx，求函数f（x）在区间[1，e]上的最小值。

分析：需要确定函数f（x）在区间[1，e]上的单调性，按步骤进行。

解：第一步：确定函数f（x）的定义域，求导函数f'（x），并将f'（x）转化成用二次函数来表示。

函数f（x）的定义域为（0，+∞）， ，

设=2x2-（2a+1）x+a，则 ，

第二步：讨论二次函数 的判别式△。

因为这里的△=（2a+1）2-8a=4a2-4a+1=（2a-1）2恒大于等于0，所以不需要再讨论，直接求出方程 =2x2-（2a+1）x+a=（2x-1）

（x-a）=0的根： 。

第三步：讨论x1，x2之间的大小关系，x1，x2是否在区间[1，e]上。

=（2x-1）（x-a），x∈[1，e]时，

1.当a≤1时， =（2x-1）（x-a）≥0对任意x∈[1，e]恒成立，此时 ≥0对任意x∈[1，e]也恒成立，

∴f（x）在区间[1，e]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=-2a

2.当1＜a＜e时，

若x∈[1，a]时，则 =（2x-1）（x-a）＜0，此时 ＜0

若x∈[a，e]时，则 =（2x-1）（x-a）＞0，此时 ＞0

∴f（x）在区间[1，a]上单调递减，在区间[a，e]上单调递增，

∴f（x）min=f（a）=a（lna-a-1）

3.当a≥e时，=（2x-1）（x-a）≤0对任意x∈[1，e]恒成立，此时 ≤0对任意x∈[1，e]也恒成立，

∴f（x）在区间[1，e]上单调递减，∴f（x）min=f（e）=e2-e（2a+1）+a

综上可得：a≤1时，f（x）min=f（1）=-2a；

1＜a＜e时，f（x）min=f（a）=a（lna-a-1）

a≥e时，f（x）min=f（e）=e2-e（2a+1）+a

第三步可以通过绘制草图或列表格来辅助完成。

导数在研究函数单调性中的应用 篇4

利用导数,函数的单调性判别法则为:在区间B上,若f(x)>0则f(x)在B上是增函数;若f(x)<0,则f(x)在B上是减函数。反之,若f(x)在B内可导,那么若f(x)在B上是增(减)函数,一定有f(x)≥0(≤0)。下面,谈谈导数在研究函数单调性中的应用。

一、求函数的单调区间

例1确定函数y=x2-2x+4的单调区间。

解:y'=2x-2,解不等式y'=2x-2>0,得x>1,因此y在(1,+∞)内是增函数;解不等式y'=2x-2<0,得x<1,因此y在(-∞,1)内是减函数。

例2确定函数y=ln(2-3x)的单调区间。

解:函数y=ln(2-3x)的定义域是在内y'<0,∴y在内单调递减。

注意:利用导数讨论函数的单调区间时,首先要注意原函数的定义域。比如例2,如果认为在内是增函数,那就错了。因为,原函数无定义,解题时,只能在原函数的定义域内讨论。

利用导数求函数单调区间的一般步骤为:(1)确定函数f(x)的定义域,(2)求导数f'(x),(3)在f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0,(4)写出f(x)的单调区间。

二、证明不等式

说明:构造一个函数f(x),通过研究f(x)的增减性,从而证明不等式。

三、参数问题

例4如果函数在[1,3]上为增函数,求实数a的取值范围。

解:f(x)在[1,3]上为增函数,即在(1,3)上为增函数。

f'(x)=(a-1)x+a

当a=1时,f'(x)=0无解,此时,f'(x)=1>0,所以f(x)满足在(1,3)上为增函数。当a≠1时,由f'(x)=0,得,所以f'(x)在(1,3)上为增函数。当且仅当f'(x)≥0在(1,3)上恒成立,即,x∈(1,3)时恒成立。所以。综上可得,a取值范围是。

导数与函数的单调性的教学反思 篇5

第一、教学上应突出数学思想方法，本课时的定位是探究课，作为一堂探究课，学生是课堂的主体，必须把课堂时间交给学生。本节课通过复习二次函数的单调性，让学生动手发现探究原函数的单调性与其导数符号的关系，最后归纳出结论：一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则导函数的符号与函数的单调性之间具有如下关系：

1)如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是增加的。

2)如果在某个区间内，函数的导数，则在这个区间上，函数是减少的。

优点：

1、从熟悉的二次函数入手，简单复习回顾以前学过的确定函数单调性的方法，使知识学习有连贯性。

2、由不熟悉的三次函数单调性的确定问题，使学生体会到，用定义法太麻烦，而图像又不清楚，必须寻求一个新的解决办法，产生认知冲突，认识到再次研究单调性的必要性。

3、从简单的、熟悉的二次函数图象入手，引导学生从函数的切线斜率变化观察函数单调性的变化，再与新学的导数联系起来，形成结论。再用代数法求出导数进行验证。另外，也使学生感受到解决数学问题的一般方法：从简单到复杂，从特殊到一般，同时体会数形结合的思想方法。

4、学生分组探讨，用导数的几何意义和代数法两种方法探讨，每组选出中心发言人，将本组讨论的结果公布出来，从而抽象概括一般性的结论。这个过程充分体现了学生的合作学习、自主学习、探究学习。

第二、例题和变式练习体现层次性、思想性。例题设计的两重用意：一是利用已知的二次函数的知识再次体验归纳结论的正确性，前面得到的是通过归纳得到的结论，没有严格的证明，这样处理有利于培养学生严谨的数学思想;二是对于二次以下的多项式函数，不仅可以通过用导数求单调性，也可以用图像法和定义法，都比较简单，也为了突出再求三次、三次以上的多项式函数或图像比较难画时的函数的单调性，应用导数的优越性。

1.通过例题让学生总结导数法求函数的单调区间的步骤，体会算法思想。

2、定义域的强调：对于求导，学生容易急于求成，往往忽略了定义域，让学生去讲例题，学生之间发现问题，他们印象会更深刻。

3、时刻注意学生基本功，学生的计算能力一直是薄弱点，每节课刻意去强调这些基本功，这样到高三就不会在这些方面费太多时间。

第三、教学中让学生“形成知识还是形成思想?”数学思想方法是以知识为载体，依附在具体的数学知识之中，是数学教学的隐形知识体系，但具体教学知识的教学不能代替数学思想方法的教学。数学思想方法将零散、具体的数学知识串起来，优化知识结构、、迅速构建学生的认知结构，从而对学生的数学思维产生深刻而持久的影响。相对而言，知识的有效性是短暂的，思想方法则是潜在的，持久的。因此，方法的掌握、思想的形成，才能使知识转化为能力，才是数学教学教育的最终目标。

函数的单调性与导数 篇6

本次课,以军事中的99式主战坦克上的破甲弹引入,观看破甲弹击毁装甲目标的录像。引入破甲弹的内部结构,得到破甲弹剖面图,破甲弹头螺的长度影响破甲弹的破甲深度,这里需要求出其头螺长度与其口径的比值。要解决这个问题,我们就必须得研究破甲弹的破甲深度随这个比值变化的增减范围,带着这个问题,来学习函数的单调性。

二、概念回顾

提出问题:什么是函数的单调性呢?

首先从几何图形上看,如果曲线沿着x轴正方向是上升的,函数就是单调递增的;如果曲线沿着x轴正方向是下降的,函数就是单调递减的。从解析式上看,对于区间内任意两点,如果函数是递增的自变量越大对应的函数值就越大,反过来,如果函数是递减的,自变量越大对应的函数值就越小。换句话说也就是,可以通过函数值差值的符号来判断函数的单调性。任取x1,x2(a,b),不妨设x1(27)x2,则f(x2)-f(x1)如果差值是正的函数就是单调递增的,差值是负的函数就是单调递减的。

三、探索

回顾了函数单调性的概念,解决引例中的问题。在理想状态下,通过采集一些相关数据,运用数学建模中拟合的方法可以得到破甲弹的破甲深度随头螺长度与口径变化的解析式:f(x)(28)-x3(10)4x2(10)3x(10)11。如果利用图像,不能有效的精确量化出这个点。利用定义法求解呢?发现差值的符号不容易判定。这就急切的需要我们寻找一种新的更有效的方法来判定函数的单调性。

四、判定定理

设函数f(x)在[a,b]连续,在(7)a,b(8)可导,如果

五、界点

单调性函数的局部概念,对于有些函数在其定义区间上导数符号不唯一的,我们要通过划分区间来谈论他们的单调性。如何划分区间呢?分界点很关键。

发现一:单调区间的分界点可能出现在驻点处。

发现二、单调区间的分界点可能出现在不可导点处。

发现三、驻点和不可导点不一定是函数单调性的分界点。

六、归纳总结利用判定定理求函数单调性的解题步骤

(一)确定函数的定义区间;

(二)求导函数;

(三)找疑点(驻点、不可导点);

(四)列表考察,得出结论。

七、解决问题

(4)列表格:

函数在(03,)单调递增,在(,3(10))单调递减。

有了这个具体的增减区间,可以很清晰的看到界点3就是要求的破甲弹有利比值。即破甲弹头螺长度与口径比值为3时,破甲深度最大。

八、课堂小结

函数的单调性时函数的一种很重要的几何性态,今天高等数学提供了一种更为便捷的方法——借助导数。本次课大家要熟记一个判定定理在给定区间内如果闭区间连续、开区间可导,,则函数单调递增;,则函数单调递减。同时掌握用判定定理解题的4个步骤,最有用一个口诀概况今天所学知识:定理记心间;正负定增减;符号看导数;找疑是关键。

摘要：以前利用单调性定义和函数图像求单调性时,对于很多复杂的函数我们难以得到它们的图像,利用定义法求解时很难计算甚至根本无法实现。我们学习完“导数”这个工具后,使得函数单调性的求解既简便又有效。下面是我对“利用导数求函数单调性”的教学设计,为了调动学生的学习兴趣,我用实例引入,又利用设问、猜想、证明带动学生思考,建立了利用导数判断函数单调性的新方法。

函数的单调性与导数 篇7

例求函数f ( x) = x3+ x2- x的单调区间.

这是一道难度不大的习题, 先由学生自行解答, 然后给出规范答案.

接下来由学生总结出求函数的单调区间的方法:

先确定函数y = f ( x) 的定义域及f' ( x) ; 接着有两种做法.

法一1解不等式f' ( x) > 0, 解集在定义域内的部分为单调递增区间;

2解不等式f' ( x) < 0, 解集在定义域内的部分为单调递减区间.

法二1令f' ( x) = 0, 解此方程, 求出在定义区间内的一切实根;

2把函数f ( x) 的间断点 ( 即f ( x) 的无定义点) 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来, 然后用这些点把函数f ( x) 的定义区间分成若干个小区间;

3确定f' ( x) 在各个区间内的符号, 根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.

注意单调区间之间用“, ”连接, 不能用“∪”连接.

拓展1求函数f (x) =x3-ax2-a2x的单调区间.

师问:此时系数含有参数怎么办?

生答: 先求函数的导数, 再根据导数的根的情况进行分析, 分a = 0, a < 0, a > 0三种情况讨论.

规律方法1要对参数a进行分类讨论; 2要确定分类的标准, 做到不重不漏.

拓展2已知函数f ( x) = x3- ax2- a2x的递减区间恰为, 求实数a的值.

师问: 单调区间恰为应如何理解?

生1答: 函数在区间没有递增或常数函数的情况.

生2答:函数在区间之外没有递减部分.

生3答:可结合拓展1求解或利用-1和1/3是f' (x) =0的根求解.

通过师生的共同探讨, 得到两种解答.

规律方法关键是理解y = f ( x) 的递减区间恰好为的含义.

拓展3若函数f ( x ) = x3+ ax2- a2在区间上是增函数, 求实数a的取值范围.

师问:函数在区间上是增函数, 是不是单调递增区间就是呢?

生答:不一定, 在区间外还有可能存在递增的情况.

师问: 怎样求实数a的取值范围?

生答:因为函数在区间上是增函数, 所以y=f' (x) 在都是大于或等于零, 只要不出现有恒为零即可.

师问: 为什么?

生答: 如f ( x) = x3, f' ( x) = 3x2≥0当且仅当x = 0时取 “= ”, 而f ( x) = x3在R上是增函数.

通过本例的研究得到已知函数单调性, 求参数范围的两个方法:

( 1) 利用集合间的包含关系处理: y = f ( x) 在 ( a, b) 上单调, 则区间 ( a, b) 是相应单调区间的子集.

( 2) 转化为不等式的恒成立问题: 即“若函数单调递增, 则f' ( x) ≥0; 若函数单调递减, 则f' ( x) ≤0”来求解, 注意式子中的等号不能省略, 否则漏解. 注意可导函数f ( x) 在 ( a, b) 上是增 ( 减) 函数的充要条件是: 对 x ∈ ( a, b ) , 都有f' ( x) ≥0 ( f' ( x) ≤0) , 且f' ( x) 在 ( a, b) 的任何子区间内都不恒为零.

拓展4已知函数f (x) =x3-ax2+2x在上存在单调递减区间, 求实数a的取值范围.

师问:如何理解函数在区间上存在单调递减区间?

生答:函数在区间有递减的情况, 也就是存在使得f' (x) <0.

著名的教育家波利亚曾说: “好问题跟某种蘑菇有些像, 它们都成堆生长, 找到一个以后, 应该在周围再找找, 很可能附近就有好几个. ”由此在数学教学中, 引导学生从一个问题出发, 通过逆向思维求其逆命题; 通过设常量为变量拓展问题; 通过引入参量推广问题; 通过弱化或强化条件与结论, 进行横向的拓宽和纵向的深入等方法去探索问题的变化, 则能使学生发现问题的本质, 去揭示其中的数学思想. 这样, 我们通过“问题”情境的创设, 营造良好的课堂心理氛围, 诱发学生的学习欲望使其更好发挥探究的主动性, 从而体验数学知识的拓展变化, 这样既有利于学生学习知识, 又有利于培养学生发散思维、建构知识的能力和创新能力.

摘要：高中数学新课程标准提出:“倡导积极的、主动的探究式学习, 培养学生的创新精神和实践能力.”数学探究是指学生围绕某个数学问题, 自主探究、学习的过程.在这个过程中学生始终处于主动探索、主动思考、主动建构的地位.如果教师事先能在进行精心设计, 积极在教学中开展拓展性教学, 并在学生探究过程中起画龙点睛的引导, 就能使教师指导作用与学生主体作用充分结合.这样学生不需要大量、重复地做同一样类型的题目, 也能掌握相关的知识与方法, 从而实现真正的减负, 不仅提高了学习的效率, 更有利于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯, 提高他们发现、提出、解决数学问题的能力以及发展他们的创新意识和实践能力.

函数的单调性与导数 篇8

判断函数f (x) 在某个区间内的单调性时, 常常利用导数来判断。一般会用单调性的充分条件。

定理1 (函数单调性的充分条件)

设函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内可微。

(1) 若当时, , 则f (x) 在内 (a, b) 单调递增。

(2) 若当时, , 则f (x) 在 (a, b) 内单调递减。

例1讨论函数 的单调性。

列表得:

由表知, 函数 在内单调递增, 在 内单调递减。

2 极值点的判别

判断函数f (x) 在一点x0处是否取得极值, 常常用到极值的定义以及极值的第一充分条件, 即极值判别法Ⅰ。

定义1 (极值的定义)

设函数y=f (x) 在x0的一个邻域内有定义, 若对于该邻域内异于x0的x恒有:

(1) f (x0) >f (x) , 则称f (x0) 为函数f (x) 的极大值, x0称为f (x) 的极大值点。

(2) f (x0)

定理2 (极值判别法Ⅰ)

设函数y=f (x) 在x0的一个空心邻域内可微 (在x0处可以不可微, 但必须连续) , 若当在该邻域内由小于x0连续地变为大于x0时, 其导数f` (x) 改变符号, 则f (x0) 为函数的极值, x0为函数的极值点, 并且

(1) 若导数f` (x) 的符号由“+”变为“-”, 则x0为极大值点, f (x0) 为f (x) 的极大值。

(2) 若导数 的符号由“-”变为“+”, 则x0为极小值点, f (x0) 为f (x) 的极小值。

而当x在该邻域内由小于x0连续地变为大于x0时, 其导数f` (x) 不改变符号, 则f (x0) 不是函数的极值。x0也不是函数的极值点。

定理3 (极值的必要条件) 设函数y=f (x) 在点x0处可导, 且f (x0) 为函数的极值 (x0为极值点) , 则

定义3 (驻点) 使 的点, 称为函数f (x) 的驻点。

2.1 驻点不一定是极值点

例2

由此图1可以观察得知, 曲线y=f (x) 在点x1、x2、x3和x5处的切线都平行于x轴, 即这四个点都是函数f (x) 的驻点, 但是根据极值定义可以知道, 点x1、x2、x3都是极值点, 而点x5却不是极值点。所以, 驻点不一定是极值点。

2.2 连续不可导点可能是极值点

在图1中, 我们得知点x1、x2、x3都是函数f (x) 的驻点, 且都是极值点, 另外, 我们也可以发现函数f (x) 在点x4处没有导数, 但是在点连续, 并且点x4也是函数f (x) 的极值点之一。

例3求函数 的极值。

解:定义域 , 令 , 得驻点x=2, 当时 不存在。列表得:

在例3中, 虽然x=1时, 不存在, 但根据极值判别法Ⅰ, 在x=1两侧的符号由“+”变为“-”, 可知为极值点, 且为极大值点。所以, 连续不可导点可能是极值点。

2.3 不在定义域内的点一定不是极值点

在上表中, 我们可以得知 在x=1两侧的符号由“+”变为“-”, 但实际上函数f (x) 在x=-1没有定义, 即x=-1不是该函数的极值点。所以, 不在定义域内的点一定不是极值点。

3 最值点的判别

函数最值点的取值在极值点或端点, 那么极值点与最值点之间是否是互为充分的呢?结果是否定的。

3.1极值点不一定是最值点

例5

由图1可得知, 在闭区间[a, b]上, 虽然点x1、x2、x3、x4都是函数f (x) 的极值点, 但都不是最值点。此时函数f (x) 在左端点x=a取得最小值, 右端点x=b取得最大值。3.2最值点不一定是极值点

由函数在一点可导的定义可知, 该函数f (x) 在x=0处可导且, 并且函数f (x) 的最小值为0, 点x=0是f (x) 的最小值点之一。但在以原点0为中心的任何邻域内, 存在无穷个 使f (x) =0, 此时皆不成立f (x) >0, 根据函数极值的定义, 可知最小值点x=0不是f (x) 的极小值点, 即最值点不一定是极值点。

摘要：在单调区间、极值点以及最值点的判断中, 会出现不同的情况, 本文通过一些例题来归纳说明它们之间的联系, 以及一些特殊情况。