函数的单调性的证明

2024-09-29

函数的单调性的证明（精选14篇）

函数的单调性的证明篇1

函数单调性的证明

函数的单调性需抓住单调性定义来证明，这是目前高一阶段唯一的方法。

一、证明方法步骤为：

① 在给定区间上任取两个自变量x1、x2且x1＜x2 ② 将fx1与fx2作差或作商（分母不为零）

③ 比较差值（商）与0（1）的大小 ④ 下结论，确定函数的单调性。

在做差比较时，我们常将差化为积讨论，常用因式分解（整式）、通分（分式）、有理化（无理式）、配方等手段。

二、常见的类型有两种：

（一）已知函数的解析式：

1例1：证明：函数fx=在x∈（1，+∞）单调递减

1例2：证明：函数fx=x+x+1在x∈R时单调递增

3[1，+）时单调递增例3：证明：函数fx=x-1在x∈2

例4：讨论函数fx=x+

1在（1，+）的单调性，并求最小值 x-1

例5：求函数fx= x+2的单调区间 x-1+）单调递增练习：

1、证明函数fx=x+（a＞0）在（a，2、讨论函数fx=1+x-x的单调性

2ax

（二）fx抽象函数的单调性：

抽象函数的单调性关键是抽象函数关系式的运用，同时，要注意选择作差还是作商，这一点可观察题意中与0比较，应作差；与1比较，应作商。如下三例：

例1：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞0时，＞0.证明：f(x)在R上单调递增.例2：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞1时，0.证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增.例3：已知函数满足x、y∈R时，f(xy)f(x)f(y)恒成立，且当x＞1时，1.若f(x)0.证明：f(x)在(0,+∞)上单调递增.练习：

1、已知函数

fx对于任意的x、y∈R，fx+fy=fx+y，且当x＞0时，fx＜0；f1=-23.f(x)＞f(x)＞总有（1）求证：fx在R上是减函数

（2）求fx在[-3，3]上的最大值与最小值

2、已知函数fx的定义域为R，且m、n∈R，恒有fm+fn=fm+n+1，且f-＞-1=0，当x21时，fx＞0.2（1）求证：fx是单调递增函数（2）求fx在[-2,2]的最大值与最小值.3、定义在R上的函数fx恒为正，且满足fx+y=fxfy，当x＞0时，fx＞1.（1）证明：fx在R上单调递增.2（2）若函数fx的定义域为[-1,1]时，解不等式fx-1＞f2x



4、函数fx的定义域为R，对于任意的a、b∈R皆有fa+fb=fa+b+1，且x＞0时，fx＞1（1）求证：fx是R上的增函数

2（2）若f4=5，解不等式f3m-m-2＜3

3

函数的单调性的证明篇2

一般地, 设函数f (x) 的定义域为I.如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1f (x2) , 那么就说函数f (x) 在区间D上是减函数.若函数f (x) 可导, 函数f (x) 的单调递增 (或递减) 区间是D:不等式f! (x) >0 (<0) 的解集是区间D;函数f (x) 在区间D上单调递增 (或递减) :不等式f! (x) ≥0 (≤0) 对于x"D恒成立.

一、利用函数单调性定义证明函数f (x) =-x3+1在 (-∞, +∞) 上是减函数

证取任意两个值x1, x2∈ (-∞, +∞) 且x1

故f (x) 在 (-∞, +∞) 上是减函数.

二、函数单调性在解不等式中的应用

1.函数f (x) 对任意a, b∈R都有f (a+b) =f (a) +f (b) -1, 并且当x>0时, 有f (x) >1. (1) 求证:f (x) 是R上的增函数; (2) 若f (4) =5, 解不等式f (3m2-m-2) <3.

2.函数f (x) 对任意a, b∈R都有f (a+b) =f (a) +f (b) -1, 并且当x>0时, 有f (x) >1. (1) 求证:f (x) 是R上的增函数; (2) 若f (4) =5, 解不等式f (3m2-m-2) <3.

(1) 证由已知, 对任意的x1, x2∈ (-∞, +∞) 且x1

f (x2) -f (x1) =f[ (x2-x1) +x1]-f (x1) =f (x2-x1) -1.

∵x2-x1>0,

∴f (x2-x1) >1.

∴f (x2-x1) -1>0.

∴f (x2) -f (x1) >0.

即f (x2) >f (x1) .

∴f (x) 是R上的增函数.

(2) 解∵f (4) =5, 令a=b=2得

f (4) =f (2) +f (2) -1,

从而f (2) =3,

∴原不等式等价于f (3m2-m-2)

∵f (x) 是R上的增函数,

∴3m2-m-2<2, 即3m2-m-4<0.

解得-1

故不等式f (3m2-m-2) <3的解集为.

三、函数单调性在值域中的应用

1. 实数α, β满足等式α3+3α2+5α=1, β-32+5β=5, 求α+β的值.

构造函数f (t) =t3+2t, 易知它是奇函数且在R上单调递增, 所以f (α-1) =-f (β-1) =f (1-β) =-2,

即f (α-1) =f (1-β) ,

故α-1=1-β, 所以α+β=2.

解由x3+sinx-2a=0, 得x3+sinx=2a,

由4y3+sinycosy+a=0, 得-8y3-2sinycosy=2a,

即 (-2y) 3+sin (-2y) =2a.

构造函数f (t) =t3+sint, t∈, 易知它是奇函数且在上单调递增,

由x, y∈知x、-2y∈,

所以f (x) =f (-2y) =2a, 故x=-2y,

即x+2y=0,

所以cos (x+2y) =1.

摘要：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一, 函数的单调性是研究具体函数的单调性理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;本文从定义域、应用方面对函数的单调性作一些分析.

浅谈函数单调性的应用篇3

1．函数单调性应用的常见几类问题

1．1 定义证明函数的单调性

利用函数单调性定义来判定函数的单调性，能更深刻的理解概念

例1 讨论f(x)=1-x2在区间［-1,1］上的单调性

解：设x1,x2∈［-1,1］且x1＜x2即-1≤x1＜x2≤1

则f(x1)-f(x2)=1-x21=1-x21-(1-x22)1-x21+1-x22=(x2-x1)(x2+x1)1-x21+1-x22

当x1＞0，x2＞0时x1+x2＞0那么f(x1)＞f(x2)

当x1＜0，x2＜0时x1+x2＜0那么f(x1)＜f(x2)

故f(x)=1-x2在区间［-1,0］上为增函数f(x)=1-x2在区间［0,1］上为减函数

1．2 利用函数单调性比较大小

比较两个含有幂指数的大小，往往显得比较复杂，把其转化为函数，利用函数的单调性就显的比较容易.

例2 比较20062007与20072006的大小

解:经过归纳，我们可以发现，当n=1,2时nn+1＜(n+1)n当n=3,4,5时nn+1＞(n+1)n因此可以猜测当n＞3时nn+1＞(n+1)n下面构造函数f(x)，利用函数的单调性证明nn+1＞(n+1)n

构造函数f(x)=xx+1(x+1)x(x≥3)则有

f(x+1)-f(x)=(x+1)x+2(x+2)x+1-xx+1(x+1)x=(x+1)2x+2-［x(x+2)］x+1(x+2)x+1(x+1)x=(x2+2x+1)x+1-(x2+2x)x+1(x+2)x+1(x+1)x＞0

所以函数f(x)在［3,+∞)∩Z上单调增加

因为f(3)=3443=8164＞1 故当n＞3时，f(n)=nn+1(n+1)n＞1

即nn+1＞(n+1)n 所以20062007＞20072006

1．3 求函数最值

根据函数单调性的增加（或减少）的性质，来解决函数的最值问题，问题显的更加简洁，容易解决

例3 已知数列{an}中，a1=1且点(an,an+1)在直线x+y-1=0上

（1）求数列{an}的通项公式

（2）若f(n)=1n+a1+1n+a2+…+1n+an(n∈N,n≥2)求f(n)的最小值

解:（1）因为点(an,an+1)在直线x+y-1=0上

所以an+1-an=1 由{an}是首项和公差为1的等差数列故an=n

（2）因为f(n)=1n+1+1n+2+…+12n

f(n+1)-f(n)=1n+2+1n+3+…+12n+2-1n+1+…+12n

=12n+1+12n+2-1n+1=1(2n+1)(2n+2)>0

所以f(n)为增函数由f(n)≥f(2)=12+1+12+2=712则f(n)min=712

1．4 函数单调性在不等式中的应用

不等式是数学中重要组成部分，在实际应用中，最为简捷的方法，利用函数单调性来解决不等式中的问题.

例4 a,b∈R+ a+b=1,求解a+1ab+1b的最值.

解由a+1ab+1b=ab+2ab+2而0＜ab≤a+b22=14

令ab=x0＜x≤14构造函数f(x)=x+2x+2则f′(x)=1-2x2

显然当0＜x＜2时，f′(x)＜0又f(x)在x∈(0,2］上为严格单调减函数,f(x)在x∈0,14为减函数当x∈0,14时,f(x)≥f14则x+2x+2≥14+8-2=254

所以ab+2ab-2≥254即a+1ab+1b≥254

1．5 利用单调性解决数列问题

数列{an}中的an是以n为自变量的函数，所以在解决有关数列的最值问题时，可考察其单调性.

例5 已知an=1n+1+1n+2+…+13n+1(n∈N+),

若an＞2b-5恒成立,且b为自然数.求b的最大值

解因为an=1n+1+1n+2+…+13n+1 an+1=1n+2+1n+3+…+13n+4

则an+1-an=13n+2+13n+3+13n+4-1n+1=13n+2+13n+4-23n+3

=23(n+1)(3n+2)(3n+4)＞0

所以an+1>an所以数列｛an｝是递增数列

{an}min=a1=12+13+14=1312

则由2b-5＜1312可解得b＜7324

2. 函数单调性在高考中的应用

函数是高中数学的重要内容,是高考重点考察的对象，也是常考不衰的考点不但考察函数单调性的概念，而且更主要的是考察其思想.

例6 （2005年全国卷Ⅱ）设函数f(x)=2｜x+1｜-｜x-1｜，求f(x)≥22使的取值范围？

解:要求f(x)≥22即2｜x+1｜-｜x-1｜≥22

又y=2x是增函数所以｜x+1｜-｜x-1｜≥32 (1)

1. 当x≥1时｜x+1｜-｜x-1｜=2时(1)恒成立

2. 当-1＜x＜1时｜x+1｜-｜x-1｜=2x(1)式化为2x≥32得x≥34

即34≤x＜134≤x＜1

3. 当x≤-1时｜x+1｜-｜x-1｜=-2 (1)式无解

综上x取值范围34,+∞

导数与函数的单调性的教学反思篇4

1.注重教学设计

本节课由于提前撰写了教学设计，并且经过了精心的修改，通过课堂教学的实施，能够把新课标理念渗透到教学中去，体现了以学生为主体，以教师为主导的作用发挥的比较到位，学生能极思考，思维敏捷，合作学习氛围浓厚，是一堂成功的教学设计课。

2.注重探究方法和数学思想的渗透

教学过程中教师指导启发学生以循序渐进的模式由简到难，再从理论上探究验证，这个过程中既让学生获得了关于新知的内容，更可贵的是让学生体会到如何研究一个新问题，即探究方法的体验与感知。同时也渗透了归纳推理的数学思想方法。培养了学生的探索精神，积累了探究经验。

3.突出学生主体地位，教师做好组织者和引导者

教师在整个教学过程一直保持着组织者与引导者的身份，通过抛出的若干问题，促使学生主动探索、积极思维。充分发挥学生的主动性，让学生在动脑、动口、动手的活动中掌握知识和方法，提炼规律。并体验发现规律的喜悦感，激发热爱数学的积极情绪。

4.现代信息技术的合理使用

多媒体的使用，第一，在教学上节省了时间，让学生有更多时间去探究。第二，利用几何画板的优势，使原本不能画出的图像都通过几何画板画出，直观的验证了函数的导数的正负与单调性的关系。帮助学生发现规律。使探究落到实处。

二、本节课存在的不足之处是：

(1)课件中有些漏掉的部分。

(2)作业部分未展示。

(3)复习导数概念时，由于学生说不清楚，教师没及时中断，导致引入时间有点长。

三、改进思路：

(1)加强学习现代信息技术，提高制作多媒体技术的水平。

函数的单调性的证明篇5

ax11ax

xf(x)，所以f(x)为奇函数。（1）f(x)xa1a1

ax1(ax1)221（2）f(x)x，a1ax1ax1

因为a0，所以a11，所以0

所以f(x)的值域为(1,1).（3）任取x1,x2R，且x1x2，则 xx22，ax1

ax11ax2122f(x1)f(x2)x1x2x2x1 a1a1a1a1

2(ax11)2(ax21)2(ax1ax2) x1(ax11)(ax21)(a1)(ax21)

xx因为a1，x1x2，所以a1a2，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)

函数的单调性教学反思篇6

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据。对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．

1、新课标明确指出：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，不仅把函数看成是变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想将贯穿高中数学课程的始终《函数的单调性》的课标教学要求，从结合实际问题出发，让学生感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的间断问题。数学新课标还提到：要注重提高学生的数学思维能力，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知，观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。所以在本节课的教学设计中在分析学生的认知发展水平和已有的只是经验的基础上，让学生通过观察函数图像的变化规律，然后归纳猜测，勇于实践探究式的教学方法，取得了较好的教学成果。

2、函数的单调性是函数的一个重要性质

在理解函数单调性的定义时，值得注意下列三点：(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性.在讨论函数的单调性时，特别要注意,若f(x)在区间D1，D2上分别是增函数，但f(x)不一定在区间D1∪D2上是增函数，例如：函数

f(x)=(x-1)/(x+1)在(－∞,－1)上是增函数，在(－1，+∞)上也是增函数，但在(－∞,－1)∪(－1,+∞)上不是增函数，f(1)

f(x1)x2)，这说明单调性使得自变量间的不等关系和函数值之间的不等关系可以“正逆互推”.

2.判断函数的单调性或单调区间时，可以结合函数的图象升降进行判定，对于一般函数需用增、减函数定义加以证明，用定义的证明函数的单调性学生还存在问题较多。

3.一次函数、二次函数、反比例函数及y=x+a/x(a>0)型的函数的单调性和单调区间要记熟，把它们作为性质，可应用到一般函数单调性的判断上.

函数的单调性的证明篇7

一、函数中应用

1.求函数的单调区间

例1试确定函数y=-ln (x+1) 的单调区间.

解:定义域为 (-1, 0) ∪ (0, +∞) .

由y′>0解得x<-1 (舍去) , 由y′<0解得x>-1.

所以函数无递增区间, 函数的递减区间为 (-1, 0) 和 (0, +∞)

评注:求函数单调区间的步骤是:

(1) 确定定义域D

(3) 求不等式组的交集来确定递增区间;求不等式组的交集来确定递减区间.

2.求函数的极值与最值

例2求函数的极值

评注:求可导函数的极值的步骤是:

(1) 求f′ (x) ;

(2) 求方程f′ (x) =0的根;

(3) 列表检查f′ (x) =0根的左右值符号;左正右负为极大值, 左负右正为极小值.

例3已知f (x) =ax3-6ax2+b在[-1, 2]上最大值是3, 最小值是-29, 求a、b的值.

解:显然a≠0, 否则f (x) =b, 不可能有最大值为3, 最小值-29.

f′ (x) =3ax2-12ax=3ax (x-4) , 解f′ (x) =0得:x1=0, x2=4 (舍去) .

当a>0时

因为b-16a

所以[f (x) ]最大值=f (0) =b=3

[f (x) ]最小值=f (2) =b-16a=-29.

解得a=2, b=3.

当a<0时, 同理可求得a=-2, b=-29.

评注:若函数f (x) 在[a, b]上连续, (a, b) 内可导, 求f (x) 在[a, b]上最值步骤是:

(1) 求f (x) 在 (a, b) 内极值;

(2) 比较各极值与端点值f (a) , f (b) 的大小, 最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值.

3.求函数的值域

例4求函数的值域.

所以函数的定义域为[-2, +∞) .

又f (-2) =-1, 所以值域为[-1, +∞) .

评注:求函数的值域没有通性通法, 只能依据函数解析式的结构特征来确定相应的方法, 其中求区间上的连续函数的值域可考虑用单调性来解决.

二、不等式中的应用

证明不等式

例5已知x>1, 求证:不等式x>ln (1+x)

证明:构造f (x) =x-ln (1+x) (x>1)

因为x>1, 所以f′ (x) >0.

所以f (x) 在 (1, +∞) 上是增函数, 所以f (x) >f (1) .

又f (1) =1-ln2>1-lne=0,

所以f (x) >0, 所以x>ln (1+x) .

评注:利用函数单调性证不等式, 关键在于构造好相应函数, 然后在相应区间上用导数知识判定其单调性, 再得到所证不等式.

三、方程中的应用

求有关方程根的问题

例6求证:方程x-sinx=0只有一个根.

证明:构造函数

因为

所以f (x) 在R上单调递增.

又f (0) =0.所以曲线f (x) 与x轴只有一个交点 (0, 0) , 即方程x-sinx=0有惟一的根x=0.

四、解析几何中的应用

1.求切线方程

例7求过曲线y=x2++5上一点P (2, 19) 的切线方程.

所以切线斜率k=所以切线方程为

即15x-4y+8=0.

评注:函数y=f (x) 在点x0处的导数的几何意义就是曲线y=f (x) 在点 (x0, f (x0) ) 处的切线斜率, 即k=f′ (x0) .

2.求解析式

例8设函数y=f (x) =ax3+bx2+cx+d的图像与y轴的交点为P, 且曲线在P点处的切线方程为24x+y-12=0.若函数在x=2处取得极值-16, 试求函数解析式, 并确定函数的单调递减区间.

解:切线方程为y=-24x+12, 与y轴的交点即为P (0, 12) .将P (0, 12) 代入f (x) =ax3+bx2+cx+d得d=12.f′ (x) =3ax2+2bx+c, 所以k切线=f′ (0) =c=-24.

所以f (x) =ax3+bx2-24x+12, 又因为在x=2处取得极值-16,

所以f (x) =x+3x-24x+12, f′ (x) =3x2+6x-24.

令f′ (x) <0得-4

评注:若函数y=f (x) 在x0取得极值m, 则必有

五、在实际应用问题中的应用

例9 (2000年高考) 用总长14.8m的钢条做一个长方体容器的框架, 如果所做容器的底面的一边比另一边长0.5m, 那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容器.

:xm, (x+0.5) m, 高为=3.2-2x, 由3.2-2x>0和x>0 0

ym, y=x (x+0.5) (3.2-2x) (0

即y=-2x+2.2x+1.6x, 令y′=0有-6x2+4.4x+1.6=0.

即15x-11x-4=0 x1=1, x2=- (舍去) .

所以当x=1时,

=1.5×1.2=1.8 (m 3) .

评注:在实际问题中, 有时会遇到函数在某区间内只有一个极值点, 那么可不与端点值比较即可判定该极值为最值

六、在相关学科内的应用

例10如图1, 有一杠杆的支点在它的一端, 而在距支点1m挂一个490kg的物体, 同时加力于杆的另一端使杠杆保持水平.若杠杆本身每米重为5kg, 求最省力的杆长.

5中点D即为重力作用点.由杠杆原理知:Fx=490+5x·, 所以

令F′x=0, 得x=14.

关于复合函数的单调性问题篇8

一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：

例1已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )

(A).(0,1) (B).(1,2)(C).(0,2) (D). 2，+∞)

解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，

∵ 函数y=loga u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，

∴ y= logau是u∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，

令g(x)= 2-ax，由{g(0)=2-a•0>0g(1)=2-a•1>0 ，解得a<2，∴1

二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型：

例2讨论函数y=㏑(x2－4x+3)的单调性

解：令y= ㏑u，u= x2－4x+3，由x2－4x+3>0知函数的定义域为x＜1或x＞3

因y=㏑u在u∈(0,+∞)上是增函数，而u= x2－4x+3在x∈(-∞，1)上是减函数，

在(3，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，

函数y=㏑(x2－4x+3) 在x∈(-∞，1)上是减函数，在(3，+ ∞)上是增函数。

例3讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。

解：函数定义域为R。

令u=x2-4x+3，y=0.8u。

指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，

u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，

∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：

例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+π4)的单调递增区间是( )

(A).[π2，π](B).[0，π4] (C).[-π，0](D). [π4，π2]

解：令y=sinu，u=x+π4，∵y=sinu在u ∈[2kπ- π2，2kπ+ π2](k∈Z)上单调递增，

在u ∈[2kπ- π2，2kπ+π2](k∈Z)上单调递增，而u=x+π4在R上是增函数，

根据函数单调性的复合规律，由2kπ- π2≤x+π4≤2kπ+ π2得

2kπ- 3π4≤x≤2kπ+π4，当k=0时，- 3π4≤x≤π4，故选(B) .

例5讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。

解：显然函数定义域为(0，+∞)。

令 u=log2x，y=u2+u

∵ u=log2x在(0，+∞)上是增函数，

y=u2+u在(-∞， ]上是减函数，在[ ，+∞)上是增函数(注意(-∞， ]及

[ ，+∞)是u的取值范围)

因为u≤log2x≤ ，0＜x≤ ，(u≥ log2x≥ x≥ )

所以y=(log2x)2+log2x在(0， ]上是减函数，在[ ，+∞)上是增函数。

四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型：

例6已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) ()

(A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数；

(C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数.

解：令g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，则

(1) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈(-∞，1]上是增函数，与u=2-x2具有相同的增减性，

由2-x2≤1得 x≤-1或x≥1，而u在x∈(-∞，-1]上是增函数，

u在x∈[1,+∞)上是减函数，

∴g(x)在区间(-∞，-1]上是增函数, 在区间[1，+∞)上是减函数.

(2) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈[1,+∞)上是减函数，与u=2-x2具有相反的增减性，

由2-x2≥1得 -1≤x≤1，而u=2-x2在x∈ [-1,0] 上是增函数，

在x∈(0， 1]上是减函数，

∴g(x) =-(u-1) 2+9在区间[-1，0]上是减函数, 在区间(0，1]上是增函数.

函数的单调性教学设计篇9

设计理念

新课程背景下的数学教学既要注重逻辑推理，又要关注直觉思维的启迪，不仅要让学生学会，更要让学生会学，要让学生学习的过程成为其心灵愉悦的主动认知的过程．基于以上设计理念，对于本节课，我从背景分析、教学目标设计、课堂结构设计、教学媒体设计、教学过程设计及教学评价等六个方面进行简单说明。

一、教材分析

函数的单调性是在研究函数的概念之后的第一个函数的性质，既是函数概念的延续和拓展，又为后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容奠定了基础，同时为初高中知识的衔接起着承上启下的作用。函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。根据函数单调性在教材中的地位和作用及课程标准的要求，本节课教学目标如下：知识与技能

使学生理解函数单调性的概念，初步掌握判定函数单调性的方法；过程与方法通过探究活动渗透“ 数形结合”思想，使学生明白考虑问题要细致缜密，说理要严密明确。

情感态度与价值观感受数形结合的数学之美，使学生认识到事物在一定条件下可以相互转化的辨证观点

根据上述教学目标，本节课的教学重点是函数单调性的概念形成．

虽然高一学生对函数单调性有一定的感性认识，但抽象思维能力还有待加强．因此，本节课的学习难点是函数单调性的概念形成与应用．

二、教法学法

1．在教法上采取了：通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性，从而正确形成概念． 2．在学法上重视了：让学生利用图形直观启迪思维，通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力．

3．教学手段：借助信息技术辅助教学，提供直观感性材料，他不仅可以激发学生的学习兴趣，提高课堂效率，促进师生交流，提高课堂的交互性。

三、教学过程

下面我们来重点探讨本节课的教学设计和整合点分析。

以课前学案的形式，布置个学习小组利用几何画板作出下列函数的图象。意在健全学生的基础认知结构，熟练几何画板的操作，同时可以感受函数图象变化趋势，为教学做好准备。

教学情境引入，采用天气预报声音文件和幻灯片同步播放的方式。在传统教学模式中，恰当地创设情境往往受很多条件的限制，而幻灯片展示图片资料方便快捷，天气预报声音文件的使用激发学生的学习兴趣。

教师趁势展开定义生成的探究活动。要生成定义就要由描述性语言过渡到数学语言，这是认知过程中一个质的飞跃。也是本节教学的一个难点。我借助几何画板的同步直观演示，帮助学生探究增函数的一大重大特征：因变量随着自变量的增大而增大。进一步引导学生探究发现，在某些区间因变量随着自变量的增大而减小。自变量在给定区间变化的重要性。从而生成了增函数的概念。利用信息技术突破了本节课的教学难点。在定义生成的规程中，我们发现有大容量的板书，借助幻灯片展示文本信息，方便快捷。教师可以借助多媒体帮助学生分析图象，进一步理解函数概念。

组织学生小组探究函数的单调性，并请小组代表展示探究成果。

学生刚接触定义，运用并判断函数单调性的能力有待提高.而小组合作可提高学习热情，画图观察便于学生先根据“形”判断单调性；实物展示平台展示绘图成果便于绘图经验的示范与推广．

在交流与练习中，观察函数图象规律是“数形”结合解题的关键，但手绘图象往往耗时较长.学生借助几何画板软件分析函数的单调性，信息技术的介入帮助学生“数形”结合解题，使其体会到手脑并用、成功解决问题的快乐．教师运用数学实验室无线局域网络的辅助教学,可将主机切换到各小组的操作界面。不仅实现了小组实验表现和结论的展示，又实现了实验资源的共享。解决了在传统教学模式中，各小组间的交流与比较非常困难.作业布置，引导学生运用所学的知识解决生活中的常见问题“糖水加糖甜更甜”的生活现象。通过数学建模，构造以糖的份量为自变量的xy浓度函数，通过操作几何画板，学生可以轻松地发现随着糖x1份量的增加，糖水的浓度也增大，从而运用数学知识解决了化学问题。也让学生意识到知识来源于生活，更能应用于生活。

教学反思，本节课的教学是以实验活动为中心，以探索数学规律为出发点，以学生的可持续发展探究能力为培养目标。是将信息技术与课堂教学整合的一次新的尝试。在教学过程中，大量加工处理并使用了声音、图片、动画、几何画板、实物展示平台等多种信息技术，进而突出重点，突破难点。不仅把信息技术作为教学的辅助手段，也作为促进学生自主学习数学知识的认知工具和情感激励工具。

教学评价。参与程度、合作意识、思考习惯、发现能力。尤其是在分小组实验中，基础薄弱的同学容易产生厌怠的情绪，而且承担的任务量较小。针对这种现象，采用分层教学。

总之，这节课达到了预设与生成的辩证统一。从课后反馈的效果来看，我的教学是成功的。最后，是我的板书设计。谢谢大家！

（一）创设情境提出问题

问题是数学的心脏，问题是学生思维的开始，问题是学生兴趣的开始．首先创设情景，通过两个问题，引发学生学习的好奇心．

（问题情境）（播放中央电视台天气预报的音乐）．如图为某地区2009年元旦这一天24小时内的气温变化图，观察这张气温变化图：

[教师活动]引导学生观察图象，提出问题：

问题1：说出气温在哪些时段内是逐步升高的或下降的？

问题2：怎样用数学语言刻画上述时段内“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？

（二）探究发现建构概念

[学生活动]对于问题1，学生容易给出答案．问题2对学生来说较为抽象，不易回答．

[教师活动]为了引导学生解决问题2，先让学生观察图象，通过具体情形，例如，“t1=8时，f(t1)=1，t2=10时，f(t2)= 4”这一情形进行描述．引导学生回答：对于自变量8<10，对应的函数值有1<4.举几个例子表述一下.然后给出一个铺垫性的问题：结合图象，请你用自己的语言，描述“在区间［4，14］上，气温随时间增大而升高”这一特征．

在学生对于单调增函数的特征有一定直观认识时，进一步提出：

问题3:对于任意的t1、t2∈[4，16]时，当t1< t2时，是否都有f(t1)

[学生活动]通过观察图象、进行实验（计算机）、正反对比，发现数量关系，由具体到抽象，由模糊到清晰逐步归纳、概括、抽象出单调增函数概念的本质属性，并尝试用符号语言进行初步的表述。

[教师活动]为了获得单调增函数概念，对于不同学生的表述进行分析、归类，引导学生得出关键词“区间内”、“任意”、“当家集体给出单调增函数概念的数学表述．提出：

问题4：类比单调增函数概念，你能给出单调减函数的概念吗？

最后完成单调性和单调区间概念的整体表述．

[设计意图]数学概念的形成来自解决实际问题和数学自身发展的需要．但概念的高度抽象，造成了难懂、难教和难学，这就需要让学生置身于符合自身实际的学习活动中去，从自己的经验和已有的知识基础出发，经历“数学化”、“再创造”的活动过程．刚升入高一的学生已经具备了一定的几何形象思维能力，但抽象思维能力不强．从日常的描述性语言概念升华到用数学符号语言精确刻画概念是本节课的难点．

时，都有

”，最后由大

（三）自我尝试运用概念

1．为了理解函数单调性的概念，及时地进行运用是十分必要的．

[教师活动]问题5：（1）你能找出气温图中的单调区间吗？

（2）你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明．

[学生活动]对于（1），学生容易看出：气温图中分别有两个单调减区间和一个单调增区间．对于（2），学生容易举出具体函数如：，，并画出函数的草图，根据函数的图象说出函数的单调区间．

[教师活动]利用实物投影仪，投影出学生画的草图和标出的单调区间，并指出学生回答时可能出现的错误，如：在叙述函数的单调区间时写成并集．

[设计意图]在学生已有认知结构的基础上提出新问题，使学生明了，过去所研究的函数的相关特征，就是现在所学的函数的单调性，从而加深对函数单调性概念的理解．

2．对于给定图象的函数，借助于图象，我们可以直观地判定函数的单调性，也能找到单调区间．而对于一般的函数，我们怎样去判定函数的单调性呢？

[教师活动]问题6：证明在区间（0，+ ∞）上是单调减函数．

[学生活动]学生相互讨论，尝试自主进行函数单调性的证明，可能会出现不知如何比较与的大小、不会正确表述、变形不到位或根本不会变形等困难．

[教师活动]教师深入学生中，与学生交流，了解学生思考问题的进展过程，投影学生的证明过程，纠正出现的错误，规范书写的格式．

[学生活动]学生自我归纳证明函数单调性的一般方法和步骤：取值、作差变形、定号、判断．

[设计意图]有效的数学学习过程，不能单纯的模仿与记忆，数学思想的领悟和学习过程更是如此．利用学生自己提出的问题，让学生在解题过程中亲身经历和实践体验，师生互动学习，生生合作交流，共同探究．

（四）回顾反思深化概念

[教师活动]给出一组题：

1、定义在R上的单调函数函数还是单调减函数？

2、若定义在R上的单调减函数取值范围吗？

[学生活动]学生，并通过问题，归纳总结本节课的内容和方法.[设计意图]通过学生的互相讨论，使学生在探求问题的解答和问题的解决过程中，深切体会本节课的主要内容和思想方法，从而实现对函数单调性认识的再次深化.[教师活动]作业布置：

（1）阅读教材

（2）书面作业：

必做：教材 P43 1、7、11 选做：二次函数一吗？

在［0，＋∞）是增函数，满足条件的实数的值唯

满足，你能确定实数的满足，那么函数

是R上的单调增探究：函数在定义域内是增函数，函数有两个单调减区间，由这两个基本函数构成的函数的单调性如何？请证明你得到的结论．

[设计意图]通过两方面的作业，使学生养成先看书，后做作业的习惯．基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题、巩固理解题和深化探究题三层．学生完成作业的形式为必做、选做和探究三种，使学生在完成必修教材基本学习任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣，促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成．

四、教学评价

《函数的单调性》教学设计篇10

【教材分析】

《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力及分析问题和解决问题的能力.

【学生分析】

从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么,从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的.积极心向是学生学好本节课的情感基础。

【教学目标】

1.使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念.

2.通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力.

3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程.

【教学重点】函数单调性的概念.

【教学难点】从形与数两方面理解函数单调性的概念.

【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习.

【教学手段】计算机、投影仪.

【教学过程】教学基本流程

1、视频导入------营造气氛激发兴趣

2、直观的认识增(减)函数-----问题探究

3、定量分析增(减)函数)-----归纳规律

4、给出增(减)函数的定义------展示结果

5、微课教学设计函数的单调性定义重点强调 ------ 巩固深化

7、课堂收获 ------提高升华

(一) 创设情景，揭示课题

1.钱江潮，自古称之为“天下奇观”。“八月十八潮，壮观天下”。当江潮从东面来时，似一条银线，“当潮来时，大声如雷”。潮起潮落，牵动了无数人的心。

如何用函数形式来表示，起和落?

2.教师和学生一起回忆

如何用学过的函数图象来描绘这潮起潮落呢?

设计意图：创设钱塘江潮潮起潮落，图象的问题情境，让学生用朴素的生活语言描述他们，对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。

温故知新

(二)问题：观察学生绘制的函数的图象(实际教学中可根据学生回答的情况而定)，指出图象的变化的趋势。

观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。

设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。

创设情景，揭示课题

1. 借助图象，直观感知

同学们能用数学语言把上面函数图象上升或下降的特征描述出来吗?

画出下列函数的图象，观察其变化规律：(学生动手)

请作出函数f(x) = x+1并观察自变量变化时，函数值的变化规律.

(学生先自己观察，然后通过多媒体----几何画板形象观察)

2. 微课教学设计函数的单调性

1 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而________ .

2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ .

3、从上面的观察分析，能得出什么结论?

学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性(引出课题)。

在区间I内

浅谈高中数学函数的单调性篇11

关键词：高中；函数；单调性

G633.6

函数是高中数学的函数学习当中的重点，所以在学习有关函数的知识时，我会从多个方面对函数进行认识与理解，包括函数的概念与定义、函数的性质等。其中很重要的一条性质便是函数的单调性，学好函数的单调性对于学好函数是必不可少的一步。函数的单调性在函数中具有很广泛的应用。比如，可以利用函数的单调性比较函数值的大小，也可以转化为比较自变量的大小；利用函数的单调性可以求函数的值域、最大值、最小值等等。

一、什么是函数的单调性

函数的单调性是函数的一条重要性质，它反映了函数值的变化规律。学习函数单调性的重点在于函数的单调性的有关概念。

1.增函数与减函数定义

对于函数的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值，：若当 < 时，都有 < ，则说在这个区间上是增函数；

若当 < 时，都有 > ，则说在这个区间上是增函数。

因而，判断一个函数为增函数还是减函数，是相对于定义域内某个区间而言的。有的函数在某个区间上是增函数，而在另一个区间上可能变成减函数。有这样特性的最典型的函数便是函数，当时为增函数，当时是减函数。

2.单调性与单调区间

若函数在某个区间是增函数或减函数，则就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

需要注意的是函数的单调区间是其定义域的子集，应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。

二、函数单调性的应用

函数的单调性在高考试卷上必不可少，而且对其的考查各式各样，考查的深度也远远高于课本。在考试中，对于函数单调性的考查难点往往在于证明或判断函数的单调性。在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行，因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集。接下来我想谈谈函数单调性的应用。

1.函数单调性的判别

2.定义法

在数学中，解题过程中最基本的方法就是依靠定义。万变不离其宗，无论是什么解题方法，都是由最基本的定义衍生而来的。因此，函数单调性判别的定义法为，自变量增大函数值变小为减函数；反之，为增函数。

3.函数变换法

由上面的定义法我们可以得到单调函数运算后的一些结论：在同一个区间上，若、都是单凋增（减）函数，则 + 也是单凋增（减）函数；若单凋递增，单凋递减，则 - 单调递增；若单凋递减，单凋递增，则 - 单调递减.

4.复合函数法

设函数由两个函数与复合而成，则与单调性相同时，单调递增；与单调性不同时，单调递减，这就是通常所说的同增异减。多层复合，依此类推。

4.作差比较法

根据定义证明函数单调性是判断函数单调性的最重要的方法。其步骤为：（1）设值：即在单调区间上设出两个不相等的自变量、，且 < ；（2）比较：即比较）与大小，通常采用作差或作商的方法；（3）判断：即根据定义结合前两个步骤得出结论。

5.等价变形法

三、函数单调性学习过程中的学习难点

了解了函数单调性的概念与定义，也知道了通过哪些方法可以判别函数的单调性，但是往往在应用中无法将这些定义与判别方法融会贯通，函数单调性经常是解题的关键点，如果无法将函数的这一性质运用得当，就无法轻松快速地解题，这也是我曾经在函数学习过程中遇到的一大困扰。我根据自己的理解，总结了一下这些问题的症结所在。

1.没有掌握数形结合的解题方法

華罗庚先生说过：“数无形，少直观；形无数，难入微。”数形结合的方法就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题，数形结合可以有效地解决许多数学问题。以形助数，以数辅形，可以使许多数学问题变得简易化，我觉得这也很关键。

因为函数的单调性只凭想象是不好理解的，所以需要依靠直观的几何图形，把数与形一一结合起来，才能使得抽象问题具体化，优化解题步骤，解出正确答案。而我们在学习数学过程中，尤其是学习函数时，总是没有数形结合的习惯和意识，这给我们学习带来不利的因素。培养数形结合的解题意识，掌握好数形结合的解题方法，不但可以使我们学习函数单调性时遇到的问题迎刃而解，更对我们在以后学习数学的过程有很大的帮助。

2.不能深刻理解定义域的内涵

定义域也是函数中非常重要的一部分，而定义域与函数的单调性也是密不可分的，因为定义域决定了函数的单调性。而在平时的学习过程中，我们对定义域的理解往往太过于抽象，没办法深刻理解定义域的内涵，就不能在解题过程中得到正确的答案。因此，深刻理解函数的定义域，对于我们更好得运用函数的单调性有重要的意义。

若是在学习函数单调性的过程中遇到瓶颈，大家可以在这两个方面找原因，找突破口，问题也就迎刃而解了。以上便是我自己对函数单调性的认识与理解。

利用函数的单调性证明不等式篇12

一、利用一次函数的单调性证明不等式

例1已知|a|<1, |b|<1, |c|<1, 求证:abc+2>a+b+c.

证明:欲证abc+2>a+b+c, 需证 (bc-1) a+2-b-c>0.视a为主元, 构造函数f (a) = (bc-1) a+2-b-c.因为|b|<1, |c|<1, 所以bc-1<0, 故函数f (a) 在 (-1, 1) 上是减函数.又f (1) =bc-1+2-b-c= (1-b) (1-c) >0, 所以当a∈ (-1, 1) 时, 总有f (a) >0, 故原不等式得证.

二、利用三次函数的单调性证明不等式

例2已知p3+q3=2, 求证:p+q≤2.

证明:设f (x) =x3+q3-2, 则函数f (x) 在R上是增函数, 因为f (2-q) = (2-q) 3+q3-2=6 (1-q) 2≥0, f (p) =p3+q3-2=0, 所以f (2-q) ≥f (p) , 从而2-q≥p, 故原不等式得证.

三、利用分式函数的单调性证明不等式

四、利用指数函数的单调性证明不等式

例4已知a、b、c>0, 且a2+b2=c2, n>2且n∈N*, 求证:an+bn

例5已知a∈R, 求证:a8-a5+a2-a+1>0.

证明: (1) 当a≤0或a=1时, 原不等式显然成立.

(2) 当a>1时, 函数y=ax在R上是增函数, 所以a8>a5, a2>a, 所以a8-a5+a2-a+1>0.

(3) 当0a5, 1>a, 又a8>0, 所以a8-a5+a2-a+1>0.

综上, 对一切a∈R, 不等式a8-a5+a2-a+1>0成立.

五、利用三角函数的单调性证明不等式

六、利用“莱克”函数的单调性证明不等式

函数的单调性性教学反思篇13

函数的单调性性教学反思

在教学过程中针对学生已经初步认识了函数是刻画某些运动变化数量关系的数学概念，在教学中借助图像对函数进行研究特别是对函数加以直接考察，利用一次函数，二次函数，反比例函数等几个具体函数了解它们的图像和性质。“图像是上升的，函数是单调增的；图像是下降的，函数是单调减的”仅就图像角度直观描述函数单调性的特征，学生并不感到困难。困难在于，把具体的，直观形象的函数单调性抽象出来，用数学的符号语言描述，教学中通过像及数值变化特征的研究，得到“图像是上升的”，相应地，即“随着x的增大，Y也增大，”初步提出单调性的说法。通过讨论、交流，让学生尝试，就一般情况进行刻画，提出单调性的定义，然后通过辨析，练习等帮助学生理解一概念。

在教学中要适当把握节奏，在一节课企图让学生完成对单调性的真正理解是不可能的，在今后的教学中学生通过判断函数单调性，寻找函数单调区间，应用函数单调性解决具体问题，等一系列学习活动逐步理解这一概念。

必修一《函数的单调性》教学设计篇14

必修一《函数的单调性》教学设计

本节课是北师大版必修1,§3《函数的单调性》新授课的微课程教学设计。

课程标准：

通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义。

教学目标：

1.理解函数单调性的定义，掌握其图象特征；

2.能够根据函数的图象，读出函数的单调区间；

3.会用定义法证明函数的单调性；

4.能够判断抽象函数的单调性.教学重点：

函数单调性的定义，及单调函数的图象特征。

教学难点：

数形结合的数学思想方法在函数单调性中的应用。

教学过程：

第1个环节：复习函数单调性的定义。

一般地，设函数f(x)的定义域内的一个区间A上：

如果对于属于A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是增函数.如果对于属于A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2).那么就说f(x)在这个区间上是减函数.给出函数单调性的定义，强调定义中的“任意”二字，指出函数的单调性是一个整体的概念，在给定的区间内的所有的均要满足单调性的数学表达式。

【设计意图】对函数单调性的定义进行学习，特别是要领会定义中的“任意”二字。

第2个环节：单调函数的图象特征。

给出3个具体的例子，剖析函数单调性的图象特征。

然后给出一个函数的图象，读出单调递增和单调递减区间，将抽象的定义具体化。

在本环节，要重点突出的两个问题：

（1）单调区间区间端点的“开”和“闭”的问题；

因为函数的单调性是一个整体的概念，在区间端点讨论单调性是毫无意义的。但是要注意，如果函数在区间端点处没有定义，则区间端点必须是“开”的，有定义则“可开可闭”。

（2）单调区间不能写成并集的形式。

两个集合的并集相当于是进行集合的运算，结果是一个集合，而显然函数在[0,4]∪[14,24]图象不是一直下降的，所以不能写成并集的形式。

【设计意图】数形结合提升学生对函数单调性的认识，会根据图象读出函数的单调区间。

第3个环节：用定义法证明函数的单调性。

给出一个具体的例题，讲解单调性证明的步骤。

例:证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数.步骤：

（1）任取定义域内某区间上的两变量x1，x2，设x1<

（2）判断f(x2)– f(x1)的正、负情况；

（3）得出结论.证明：

在R上任取x1，x2，设x1<

△y= f(x2)– f(x1)

=(3x2+2)-(3x1+2)

=3(x2-x1)0

∴ f(x)=3x+2在R上是增函数.强调符号的判断是最重要的一个环节，特别是要将最终的式子化简成因式相乘和相除的形式，然后逐一判断符号。

【设计意图】强调单调性判断或证明的步骤。结合具体的证明步骤学习如何用定义法证明函数的单调性。

第4个环节：抽象函数的单调性的判断。

研究两个问题：

（1）函数y=f(x)与y=f(x)+c（c为常数）具有相同的单调性。

借助一个函数的图象进行学习，深化理解。

举例：

如：函数y=x2 与y=x2-1具有相同的单调性.（2）函数y=f(x)与y=c f(x)（c为常数）的单调性之间的关系。

举例：

如：函数y=x2与y=-x2的单调性.分析：在(-∞,0)单调性相反，（0，+ ∞）单调性相反.如：函数y=x2与y=2x2的单调性.分析：在(-∞,0)单调性相同，（0，+ ∞）单调性相同.对这两个问题，只要求借助于具体的函数单调性归纳得出，不要求给出严格的证明。对学生的要求是记住结论，能够使用这两个结论进行简单函数单调性的判断即可。

【设计意图】将许多函数单调性的判断简单化，克服每题从定义出发，进行证明的弊端，从而提升能力。

第5个环节：课堂小结。

1.函数单调性的定义是什么？

2.单调函数的图象特征是什么？

3.函数单调性的判断有哪两种方法？

4.本节课你学习了哪些数学思想方法？

【设计意图】总结回顾本节课学过的知识。

评价设计：

本微课程的设计具有以下特色：

（1）突出学生自主学习能力的提升。

微课程的设计旨在让学生通过自主学习，让学生在课前预习、上课听讲、课后复习等环节得到提升，因此特别注重举例，例子虽然简单，却能激发学生思考。

（2）注重数形结合思想方法的培养。