函数单调性应用教案

函数单调性应用教案（精选14篇）

函数单调性应用教案 篇1

函数单调性

一、教学目标

1、建立增（减）函数及单调性、单调区间的概念

2、掌握如何从函数图象上看出单调区间及单调性

3、掌握如何利用定义证明一段区间上的函数单调性

二、教学重难点

1、了解增（减）函数定义

2、用定义法证明一段区间上的函数单调性

三、教材、学情分析

单调性是处于教材《数学•必修一》B版第二章第一节，初中对单调性有着初步感性认识，到这节课我们给单调性严格的定义。单调性是对函数概念的延续和扩展，也是我们后续研究函数的基础，可以说，起到了承上启下的作用。

四、教学方法

数形结合法、讲解法

五、教具、参考书

三角尺、PPT、数学必修

一、教师教学用书

六、教学过程

（一）知识导入

引入广宁县一天气温变化折线图

询问学生今天的温度是如何变化的？

学生答：气温先上升，到了14时开始不断下降。

由此导入函数图像的上升下降变化，给出f（x）=x和f（x）=x²的图像，询问学生，这两个函数图象是如何变化的？

学生答：前一个不断上升，后一个在y轴左边下降，在y轴右边上升。再询问学生并提醒学生回答：从上面的观察分析，能得出什么结论？

不同的函数，其图像的变化趋势不同，同一函数在不同区间上的变化趋势也不同，函数图像的变化规律就是函数性质的反映。

教师：那么这就是我们要研究的单调性。

（二）给出定义。

教师：首先我们来看一下一元二次函数y=x²的图象的对应值表，当x从0到5上变化时，y是如何变化的。生：随着x的增大而增大

教师：那么我们在这段上升区间中任取两个x1，x2，x1

教师顺势引导出增函数的概念，再由增函数类比画图演示，引导出减函数的概念。强调增（减）函数概念，尤其是在区间内任取x1，x2这句话的理解。由增（减）函数可以引出单调区间的定义，不作很详细讲解。给出例题让学生思考作答，进一步巩固知识点。

（三）证明方法

让学生们思考例二（思想为用定义法证明一段区间的单调性）并尝试解答，一段时间后教师给学生讲解。

讲解完例题后，引导学生归纳用定义法正明一段区间的单调性的方法：

1、设元。

2、做差。

3、变形。

4、断号。

5、定论。

（四）巩固深化

思考：函数y=1/x 的定义域I是什么？在定义域I上的单调性是怎样的？

通过这道问题的讲解说明，让学生们意识到单调性是离不开区间的且单调区间不能求并。

（五）课堂小结

再次对

1、增（减）函数定义。

2、增（减）函数的图象有什么特点？如何根据图象指出单调区间。

3、怎样用定义证明函数的单调性？三个问题进行阐述，牢固学生记忆和理解。

（六）布置作业。

函数单调性应用教案 篇2

一般地, 设函数f (x) 的定义域为I.如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1f (x2) , 那么就说函数f (x) 在区间D上是减函数.若函数f (x) 可导, 函数f (x) 的单调递增 (或递减) 区间是D:不等式f! (x) >0 (<0) 的解集是区间D;函数f (x) 在区间D上单调递增 (或递减) :不等式f! (x) ≥0 (≤0) 对于x"D恒成立.

一、利用函数单调性定义证明函数f (x) =-x3+1在 (-∞, +∞) 上是减函数

证取任意两个值x1, x2∈ (-∞, +∞) 且x1

故f (x) 在 (-∞, +∞) 上是减函数.

二、函数单调性在解不等式中的应用

1.函数f (x) 对任意a, b∈R都有f (a+b) =f (a) +f (b) -1, 并且当x>0时, 有f (x) >1. (1) 求证:f (x) 是R上的增函数; (2) 若f (4) =5, 解不等式f (3m2-m-2) <3.

2.函数f (x) 对任意a, b∈R都有f (a+b) =f (a) +f (b) -1, 并且当x>0时, 有f (x) >1. (1) 求证:f (x) 是R上的增函数; (2) 若f (4) =5, 解不等式f (3m2-m-2) <3.

(1) 证由已知, 对任意的x1, x2∈ (-∞, +∞) 且x1

f (x2) -f (x1) =f[ (x2-x1) +x1]-f (x1) =f (x2-x1) -1.

∵x2-x1>0,

∴f (x2-x1) >1.

∴f (x2-x1) -1>0.

∴f (x2) -f (x1) >0.

即f (x2) >f (x1) .

∴f (x) 是R上的增函数.

(2) 解∵f (4) =5, 令a=b=2得

f (4) =f (2) +f (2) -1,

从而f (2) =3,

∴原不等式等价于f (3m2-m-2)

∵f (x) 是R上的增函数,

∴3m2-m-2<2, 即3m2-m-4<0.

解得-1

故不等式f (3m2-m-2) <3的解集为.

三、函数单调性在值域中的应用

1. 实数α, β满足等式α3+3α2+5α=1, β-32+5β=5, 求α+β的值.

构造函数f (t) =t3+2t, 易知它是奇函数且在R上单调递增, 所以f (α-1) =-f (β-1) =f (1-β) =-2,

即f (α-1) =f (1-β) ,

故α-1=1-β, 所以α+β=2.

解由x3+sinx-2a=0, 得x3+sinx=2a,

由4y3+sinycosy+a=0, 得-8y3-2sinycosy=2a,

即 (-2y) 3+sin (-2y) =2a.

构造函数f (t) =t3+sint, t∈, 易知它是奇函数且在上单调递增,

由x, y∈知x、-2y∈,

所以f (x) =f (-2y) =2a, 故x=-2y,

即x+2y=0,

所以cos (x+2y) =1.

摘要：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一, 函数的单调性是研究具体函数的单调性理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;本文从定义域、应用方面对函数的单调性作一些分析.

函数单调性定义应用例谈 篇3

（1） 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

（2） 如果对于属于定义域A内某个区间I上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1

现找出其中的核心内容:① x1

本文就三种情形分别谈谈函数单调性定义的简单应用.

1． ①②③,即根据定义判断或证明函数的单调性

例1 确定函数f(x)=11-2x的单调性.

简解:由1-2x＞0,得x＜12.

设x1＜x2＜12,由f(x1)-f(x2)=11-2x1-11-2x2=1-2x2-1-2x11-2x1•1-2x2

=(1-2x2-1-2x1)(1-2x2+1-2x1)1-2x1•1-2x2•(1-2x2+1-2x1)=2(x1-x2)1-2x1•1-2x2•(1-2x2+1-2x1)＜0,得f(x1)＜f(x2).

∴f(x)在-∞,12上是增函数.

点评:根据定义判断或证明单调性的一般步骤:设数→作差→变形→判号→结论.关键是“变形”要到位.本例中变形运用了“分子有理化”这一运算方法.

2． ①③②,即利用单调性比较函数值大小

例2 若偶函数f(x)在［0,π］上单调递增,则f(-π),f-π2,flog214的大小关系为 .

简解:∵f(-π)=f(π),f-π2=fπ2,flog214=f(-2)=f(2),

而fπ2＜f(2)＜f(π),

∴f-π2＜flog214＜f(-π).

点评:此应用是三种应用中最简单的一种.

3． ②③①,即利用单调性“脱去”f,将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系

例3 已知定义在［-1,1］上的函数f(x)是减函数,且是奇函数,若f(a2-a-1)+f(4a-5)>0,求实数a的取值范围.

简解:易得f(a2-a-1)＞-f(4a-5)=f(5-4a)

∴-1≤a2-a-1≤1-1≤5-4a≤1a2-a-1＜5-4a,解之得,1≤a＜-3+332.

点评:（1） 要将f(a2-a-1)+f(4a-5)>0标准化为单调性定义中f(x1)＞f(x2)的形式;

（2） 不要遗忘函数的定义域要求.

例4 已知函数f(x)对任意的a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x＞0时,f(x)＞1.（1） 求证:f(x)是R上的增函数;（2） 若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.

简解:（1） 设x1＜x2,由f(a+b)=f(a)+f(b)-1,可得

f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1

∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1,

∴f(x2)-f(x1)＞0,即f(x2)＞f(x1).∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函数.

（2） 令a=b=2,∴f(2)=3.

∵f(x)在R上是增函数

∴当且仅当x=2时f(2)=3.

∴f(3m2-m-2)＜f(2)

∴3m2-m-2＜2,解之得-1＜m＜43.

高一数学教案：函数单调性 篇4

会运用图象判断单调性;理解函数的单调性，能判断或证明一些简单函数单调性;注意必须在定义域内或其子集内讨论函数的单调性。

重 点

函数单调性的证明及判断。

难 点

函数单调性证明及其应用。

一、复习引入

1、函数的定义域、值域、图象、表示方法

2、函数单调性

(1)单调增函数

(2)单调减函数

(3)单调区间

二、例题分析

例

1、画出下列函数图象，并写出单调区间：

(1)(2)(2)

例

2、求证：函数 在区间 上是单调增函数。

例

3、讨论函数 的单调性，并证明你的结论。

变(1)讨论函数 的单调性，并证明你的结论

变(2)讨论函数 的单调性，并证明你的结论。

例

4、试判断函数 在 上的单调性。

三、随堂练习

1、判断下列说法正确的是。

(1)若定义在 上的函数 满足，则函数 是 上的单调增函数;

(2)若定义在 上的函数 满足，则函数 在 上不是单调减函数;

(3)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数;

(4)若定义在 上的函数 在区间 上是单调增函数，在区间 上也是单调增函数，则函数 是 上的单调增函数。

2、若一次函数 在 上是单调减函数，则点 在直角坐标平面的()

A.上半平面 B.下半平面 C.左半平面 D.右半平面

3、函数 在 上是___ ___;函数 在 上是__ _____。

3.下图分别为函数 和 的图象，求函数 和 的单调增区间。

4、求证：函数 是定义域上的单调减函数。

四、回顾小结

1、函数单调性的判断及证明。

课后作业

一、基础题

1、求下列函数的单调区间

(1)(2)

2、画函数 的图象，并写出单调区间。

二、提高题

3、求证：函数 在 上是单调增函数。

4、若函数，求函数 的单调区间。

5、若函数 在 上是增函数，在 上是减函数，试比较 与 的大小。

三、能力题

6、已知函数，试讨论函数f(x)在区间 上的单调性。

函数单调性应用教案 篇5

教案

概念反思：

数学是一种工具：通过它可以很好的分析和解决问题。数学总是在不断的发明创造中去解决所遇到的问题。

2为了研究自然界中量与量之间的变化关系发明了函数……同样为了进一步研究函数值的增减变化情况发明了单调性的概念……导数概念的发明使我们对函数性质的了解在单调性的基础上又更深入一步……增减变化的快慢

概念回顾:

函数单调性的定义

方法梳理:

函数单调性的判断及运用：

①观察法：

同增异减

②导数法：在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．

③图像法：变换

④用定义来判断函数的单调性

对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f＜f，那么函数f就是区间I上的增函数

对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f＞f，那么函数f就是区间I上的减函数

在函数=f比较复杂的情况下，比较f与f的大小并不很容易

体验回顾:

下列说法正确的是

．）定义在R上的函数满足，则为R上的单调增函数

2）定义在R上的函数在上是单调增函数，在上是单调增函数，则为R上的单调增函数

3）定义在R上的函数在上是单调减函数，在上是单调减函数，则为R上的单调减函数

4）定义在R上的函数满足，则为R上不是单调减函数

2求下列函数的单调区间

．

①；

②

3函数的单调减区间是

．

4函数

，单调区间

函数的最小值是

经典探究:

例:已知函数,对于上的任意,有如下条：①；②；③其中是的充分条是

___________

②,③

变式：已知函数

与的定义域都是,值域分别是与,在上是增函数而是减函数,求证 分:

在上为减函数

变式：函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围。

解：设且，则

而在上是单调函数，在上恒正或恒负。

又，由知只有符合题意，时，在上单减

变式：若函数f＝4xx2＋1在区间上是单调递增函数，则∈__________

解析 ∵f′＝42，令f′>0，得－1

又∵f在上单调递增，∴≥－1，2＋1≤1，∴－1≤≤0

∵区间中2＋1>，∴>－1

综上，－1<≤0

答案

①若，当时，则在I上是增函数

②函数在R上是增函数

③函数在定义域上是增函数

④的单调区间是

2若函数的零点，则所有满足条的的和为?

3已知函数

．

（1）若，求的单调区间；

（2）若，设在区间的最小值为，求的表达式；

（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

解析：

2分

∴的单调增区间为，,的单调减区间为，由于，当∈[1,2]时，0

即

即

即时

综上可得

在区间[1,2]上任取、，且

则

∵

∴

∴可转化为对任意、即

0

当

由

得

解得

得

函数单调性应用教案 篇6

2、在结论得出后，继续引导学生思考，提出自己的困惑，因为确实有学生对结论有不一样的想法，所以，尽可能地暴露问题，让学生彻底理解、掌握。

3、铺垫：在引入部分，我涉及到了一个三次的函数，而例2就是此题的变式，这样既可以在开始引起学生兴趣，后来他们自己解决了看似复杂的问题，增加了信心，也做到了首尾呼应。

4、在知识应用中重点指导学生解题步骤，在学生自己总结解题步骤时，发现学生忽略了第一点求函数定义域，所以我就将错就错，给出了求函数的单调区间，很多学生栽了跟头，然后自己总结出应该先求函数定义域。虽然这道题花了些时间，但我觉得很值得，我想学生印象也会更深刻。

5、数形结合：数形结合不是光口头去说，而是利用一切机会去实施，在例1的教学中，我让学生先熟练法则，再从形上分析，加深印象，这样在后面紧接的高考题中（没有给解析式），学生会迎刃而解。

导数在研究函数单调性中的应用 篇7

利用导数,函数的单调性判别法则为:在区间B上,若f(x)>0则f(x)在B上是增函数;若f(x)<0,则f(x)在B上是减函数。反之,若f(x)在B内可导,那么若f(x)在B上是增(减)函数,一定有f(x)≥0(≤0)。下面,谈谈导数在研究函数单调性中的应用。

一、求函数的单调区间

例1确定函数y=x2-2x+4的单调区间。

解:y'=2x-2,解不等式y'=2x-2>0,得x>1,因此y在(1,+∞)内是增函数;解不等式y'=2x-2<0,得x<1,因此y在(-∞,1)内是减函数。

例2确定函数y=ln(2-3x)的单调区间。

解:函数y=ln(2-3x)的定义域是在内y'<0,∴y在内单调递减。

注意:利用导数讨论函数的单调区间时,首先要注意原函数的定义域。比如例2,如果认为在内是增函数,那就错了。因为,原函数无定义,解题时,只能在原函数的定义域内讨论。

利用导数求函数单调区间的一般步骤为:(1)确定函数f(x)的定义域,(2)求导数f'(x),(3)在f(x)的定义域内解不等式f'(x)>0和f'(x)<0,(4)写出f(x)的单调区间。

二、证明不等式

说明:构造一个函数f(x),通过研究f(x)的增减性,从而证明不等式。

三、参数问题

例4如果函数在[1,3]上为增函数,求实数a的取值范围。

解:f(x)在[1,3]上为增函数,即在(1,3)上为增函数。

f'(x)=(a-1)x+a

当a=1时,f'(x)=0无解,此时,f'(x)=1>0,所以f(x)满足在(1,3)上为增函数。当a≠1时,由f'(x)=0,得,所以f'(x)在(1,3)上为增函数。当且仅当f'(x)≥0在(1,3)上恒成立,即,x∈(1,3)时恒成立。所以。综上可得,a取值范围是。

“函数的单调性”教学设计 篇8

认识目标：掌握函数单调性的概念；会判断一些简单函数的单调性。

能力目标：培养学生的分析、归纳和总结能力；培养学生运动变化和数形结合的数学思想；培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想。

情感目标：营造亲切、活跃的课堂气氛，实施多元化评价，激励学生，使学生尝试成功，以点燃学生的学习热情。

教学重点、难点

重点：函数单调性概念和函数单调性的判断。

难点：判断函数的单调性。

教学过程设计与分析

创设问题情境

多媒体：学校的简介。（利用Flash进行演示）

提出问题：学校准备建造一个长方形的花坛，面积设计为16平方米。由于周围环境的限制，其中一边的长度长不能超过10米，短不能少于4米，求花坛半周长的最小值和最大值。

教师说明：此环节为创设情境。我们学校是上海市投资新建的郊区四所寄宿制重点高中之一，有着一流的硬件设施，绿化建设正在进行之中。抓住这一点，我设计了这节课的引例，切合实际，让学生有种亲切感。提出问题后，让学生思考、讨论下列问题：如何把实际问题归结为数学问题？经过思考、讨论，估计学生可以把问题归结为：设受限制一边长为x米，4≤x≤10，则另一边为16/x米，求半周长y＝x＋16/x（4≤x≤10）的最小值和最大值。如何求最小值？——运用基本不等式。如何求最大值？经过思考、讨论，最后大家一致认为利用y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像可以得出结论。

多媒体：利用Flash演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的图像,如图1所示。

教师说明：利用Flash给出函数的图像，从函数图像可以直观地得出结论，但是缺乏理论依据。指出缺乏理论依据的结论是站不住脚的，所以问题转化为寻找其理论依据，从而引入课题。这样可以培养学生严谨的治学态度。

揭示课题，引入新课

1.几何画板演示，点明课题。

多媒体：利用几何画板演示y＝x＋16/x（4≤x≤10）的动态的变化过程。用鼠标从左向右缓慢拖动y＝x＋16/x（4≤x≤10）上的A点，引导学生观察A点的纵坐标的变化情况（随着自变量x的增大，函数值y也在增大），如图2所示。

2.请学生根据自己的理解给出增函数定义。

一般地，对于给定区间上的函数f(x)：如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值x₁和x₂，当x₁＜x₂时，都有f(x₁)＜f(x₂)，那么就说函数f(x)在这个区间上是增函数。

3.请学生通过类比得出减函数的定义。

教师说明：在减函数定义的教学过程中，我改变了以往“灌输结论”的做法，让学生通过对增函数定义的理解从而得到减函数的定义，培养了学生的类比的重要数学思想方法，对于学生学习新知识、新概念有很大的帮助。

巩固新知，深化扩展

1.一次函数的单调性问题。

[例1]证明函数f(x)＝3x＋2在区间(－∞，＋∞)上是增函数。

引申：探索一次函数f(x)＝kx＋b(k≠0)在区间(－∞，＋∞)上的单调性。

2.二次函数的单调性问题。

[例2]判断函数f(x)＝x₂－2x的单调区间，并加以证明。

教师说明：例题的给出由简单的一次函数到二次函数，遵循了学生一般的认知规律，使学生容易接受，易于理解。在二次函数f(x)＝x²－2x的单调性的证明中，分工合作，第一、二组的学生完成函数在[1，＋∞)上的证明；第三、四组的学生完成函数在(－∞，1]上的证明，倡导自主学习、合作学习的新的学习方式。通过例1、例2的解决，让学生归纳判断函数单调性的基本步骤，培养学生分析、归纳和总结的能力。

判断函数单调性的基本步骤：

第一步，设x₁、x₂是区间内的任意两个实数，且x₁＜x₂。

第二步，比较f(x₁)、f(x₂)的大小。

第三步，给出结论。

自主解决——[引例]的解决

教师说明：有了上述理论作基础，一开始提出的问题就能迎刃而解：证明函数y＝x＋16/x在区间[4，10]上是增函数；得出结论，当x=10时，y_max=11.6。此环节起到了首尾呼应的作用，让学生体会到数学源于生活又服务于生活，体会到数学的魅力，并指出，函数单调性的研究为解决函数的最值问题提供了又一重要方法，可见研究函数的单调性是非常有必要的。那么我们为何不乘胜追击，探索更一般的情况，研究函数y=x+k/x(k∈Ｒ)的单调性。

多媒体：利用Authorware进行探索、总结y=x+k/x(k∈Ｒ)图像，寻找一般的结果。（从特殊到一般）如图3、4所示。

学生总结、教师归纳

教师说明：提出问题，这节课你学到了哪些数学知识？学生一一罗列：函数单调性的概念、判断函数单调性的常用方法、证明函数单调性的基本步骤。进一步提出问题：整堂课体现了哪些重要的数学思维？自问自答：从特殊到一般的研究方法；从大胆的猜想到严格的证明；数形结合、类比的思想。利用计算机使我们探索数学问题的过程更加直观、简洁和生动。

（作者单位：上海市南汇中学 201300）

点评

“问题是数学的心脏”。一个好的问题能引起学生兴趣，启迪学生的思考，将思维引向深刻。闵丽红老师的“学校花坛问题”是一个很好的实际问题：在学校绿化建设中，如何建造其费用最省？闵老师通过引导学生观察问题、发现问题、提出问题、探究和解决问题，使学生感受到数学源于生活又服务于生活，以培养学生形成科学观，培养学生的创新精神和实践能力。

这节课最大的特点是贯穿始终的现代软件技术的应用，娴熟地运用了PowerPoint、Authorware、Flash和几何画板等多种教学媒体和手段，通过直观的画面和动态的影像，将数学知识的发生和发展淋漓尽致地展现在学生面前。尤其在利用Authorware进行探索、总结图像的过程中，首先，研究特殊情况（当k=2时）,使用列表描点、几何绘图两种方法，利用计算机动态地绘画出它的图像。紧接着，探索、总结其一般结果：随机地输入k的值，随即电脑显示相应函数的图像。最后，显示所有情况，一目了然，使每位学生对于图像都有了清晰的、精确的认识。利用多媒体处理这一部分达到的效果，是传统教学所不及的，充分地体现了现代技术的优越性。

函数单调性定义证明 篇9

例

1、用函数单调性定义证明:

(1)为常数)在 上是增函数.(2)在 上是减函数.分析：虽然两个函数均为含有字母系数的函数，但字母对于函数的单调性并没有影响，故无须讨论.证明:(1)设

则 是 上的任意两个实数，且，=

由 得，由

得，.于是，即即..(2)设在 是 上是增函数.上的任意两个实数，且，则

由 得，由

得

于是 即.又，..在 上是减函数.小结：由(1)中所得结论可知二次函数的单调区间只与对称轴的位置和开口方向有关，与常数 无关.若函数解析式是分式，通常变形时需要通分，将分子、分母都化成乘积的形式便于判断符号.根据单调性确定参数

例

1、函数

在上是减函数，求的取值集合.分析：首先需要对 前面的系数进行分类讨论，确定函数的类型，再做进一步研究.解：当

具备增减性.当，解得

.故所求的取值集合为

.时，函数此时为，是常数函数，在上不时，为一次函数，若在上是减函数，则有

《函数的单调性》教学目标 篇10

《函数的单调性》

教学目标： 1.知识目标 ①理解函数的单调性的概念，掌握判断或证明函数单调性的方法和步骤； ②会求函数的单调区间.2.能力目标 ①通过对函数单调性的证明及单调区间的求法的复习，培养学生应用化归转化和分类讨论的数学思想解决问题的能力.②通过本节课的复习，使学生体验和理解从特殊到一般的归纳推理的能力.③通过课堂的练习，提高学生分析问题和解决问题的能力.3.情感目标 培养学生的逻辑推理能力和创新意识，同时，培养学生对数学美的艺术体验.教学重点：证明函数的单调性以及求函数的单调区间.教学难点：函数单调区间的求法.《简单的幂函数》

教学目标：

1．了解指数是整数的幂函数的概念;能通过观察总结幂函数的变化情况和性质;2．学会利用定义证明简单函数的奇偶性,了解用函数的奇偶性画函数图象和研究函数的方法

3．培养学生从特殊归纳出一般的意识，培养学生利用图像研究函数奇偶性的能力，引导学生发现数学中的对称美，让学生在识图和画图中获得乐趣。教学重点：幂函数的概念，奇偶函数的概念.教学难点：幂函数图像性质，研究函数奇偶性。

《正比例函数》

教学目标：知识与技能： ⑴理解正比例函数及正比例的意义；

⑵根据正比例的意义判定两个变量之间是否成正比例关系； ⑶识别正比例函数，根据已知条件求正比例函数的解析式或比例系数。

过程与方法： ⑴通过现实生活中的具体事例引入正比例关系通过画图像的操作 实践，体验“描点法”； ⑵经历利用正比例函数图像直观分析正比例函数基本性质的过程，体会数形结合的思想方法和研究函数的方法

情感态度与价值观： 积极参与数学活动，对其产生好奇心和求知欲．形成合 作交流、独立思考的学习习惯．

教学重点： 理解正比例和正比例函数的意义

教学难点：

判定两个变量之间是否存在正比例的关系

《体积和体积单位》

☆【教学目标】

1.让学生初步建立起空间大小的概念，知道“体积”的含义，发展学生的空间观念。2.让学生通过观察、操作、实验体会并理解体积的含义，认识常用的体积单位：立方米、立方分米、立方毫米。

3.初步掌握计量物体的体积的方法，能选择恰当的体积单位估算常见物体的体积。4.培养学生的实验能力、观察能力以及合作学习的能力，扩展学生的思维，进一步发展学生的空间观念。

【教学重点】使学生感知物体的体积，初步建立1立方米、1立方分米、1立方厘米的体积观念。【教学难点】帮助学生建立1立方米、1立方分米、1立方厘米的表象，能正确应用体积单位估算常见物体的体积。

☆ 【教学目标】

1、通过实验观察，使学生理解体积的含义，认识常用的体积单位：立方米、立方分米、立方厘米。

2、使学生知道计量物体的体积，就要看它所含体积单位的个数。

3、使学生初步了解体积单位与长度单位、面积单位的区别和联系。

4、通过学生对体积意义的探索，发展学生的空间观念，培养学生的推理能力。

【教学重点】使学生感知物体的体积，掌握体积和体积单位的知识。

【教学难点】使学生建立体积是1立方米、1立方分米、1立方厘米的空间观念，能正确应用体积单位估算常见物体的体积。

《轴对称与坐标变化》

教学目标 【知识目标】：

1、在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形的轴对称变换之间的关系．

2、经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。【能力目标】： 1．经历探究物体与图形的形状、大小、位置关系和变换的过程，掌握空间与图形的基础知识和基本技能，培养学生的探索能力。【情感目标】 1．丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。2．通过有趣的图形的研究，激发学生对数学学习的好奇心与求知

欲，能积极参与数学学习活动。3．通过“坐标与轴对称”，让学生体验数学活动充满着探索与创造。

教学重点： 经历图形坐标变化与图形轴对称之间关系的探索过程，明确图形坐标变化与图形轴对称之间关系。

教学难点： 由坐标的变化探索新旧图形之间的变化探索过程，发展形象思维能力和数形结合意识。

《倍的认识》

☆教学目的：

1、初步建立“倍”的概念，理解“几倍”与“几个几”的联系。

2、培养学生观察、推理、迁移能力及语言表达能力。

3、培养学生善于动脑的良好学习习惯和对数学的学习兴趣。

4、培养他们的创新意识和实践操作能力。

教学重点：初步建立“倍”的概念。理解和掌握：“一个数是另一个数的几倍”的含义 ☆教学目标：

1、基本目标

（1）学生紧密联系生活实际，通过操作，把“倍”的概念与学生已有的认识基础“份”联系起来，理解“倍”的含义，建立“倍”的概念。

（2）学会分析一个数是另一个数的几倍的实际问题的数量关系。（3）学生在学习过程中体会数学知识之间的内在联系，发展观察、比较、抽象、概括和合情推理能力。（4）学生在情境中探究解题的过程，体会探究带来的成功体验。

2、发展目标

（1）学生充分体验数学与日常生活的密切关系，培养生活中的数感。（2）培养学生积极探究、大胆尝试的自主学习能力和同学间协作互助的精神。

（3）学生进一步体会数学与现实生活的联系，培养学生认真观察、善于思考的良好学习习惯，增强学习数学的兴趣和信心。

教学重点：建立“倍“的概念。

浅谈高中数学函数的单调性 篇11

关键词：高中数学；函数；单调性；难点；对策

函数的单调性是高中数学中基础的教学内容，其贯穿于整个高中数学教学中。学好函数的单调性才能够支撑学生学习更深层次的高中数学。

因此，提高函数单调性的教学质量是高中数学教师不得不正视的问题。基于此，本文在此浅谈高中数学函数的单调性的学习难点，并提出相应的应对策略，以期能为有关人士提供有益参考。

一、高中数学函数的单调性的学习难点

1.学生没有掌握数形结合的学习方法

数形结合是一种非常重要的数学学习方法，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

但大部分学生并没有这种习惯和意识，没有掌握数形结合的正确方法。而函数的单调性仅依靠学生的想象是难以理解的，没有这种正确的学习方法会极大地阻碍学生的学习。

2.对定义域的理解较为抽象

定义域作为函数中非常重要的一个组成部分，在函数单调性中的作用不可忽视。定义域往往决定了函数的单调性，但学生对定义域的理解较为抽象，没有深刻领悟到定义域的内涵和其对于函数单调性的重要作用。

例如，已知函数f（x2）的定义域为-1≤x≤1，求函数f（x）的定义域。在这种复合函数中，学生难以理解定义域，难以得到正确的答案，也就无法进一步确定函数的单调性。

二、高中数学函数的单调性学习难点的应对策略

1.养成学生画图的习惯

首先，教师要针对学生的数学学习方法进行重点突破，也就是要让学生学会数形结合的重要方法，养成看题画图、以形解题的习惯和意识，要培养学生将抽象的条件通过直观的图形表现出来，并以此为根据进行正确的分析。

在函数单调性的教学中，教师就要引导学生制作坐标轴，必须要将函数绘制在坐标系中，将各种限制条件如函数的定义域等等标注出来，再以此为背景进行解题。通过直观的坐标系学生对函数的分析更加透彻，也更容易通过观察得出函数的单调性，并且不容易遗忘定义域的限制，最终得出正确答案。

要养成学生画图的习惯关键就在于教师的引导，教师应该引导学生在读题的同时进行绘制，将题中的条件一一标注出来。通过不断地引导和培养，学生就能够在日后读题的时候养成数形结合的习惯和意识。

2.通过一定的练习提高学生的能力

要提高函数单调性的教学质量，单纯的书面讲解是绝对行不通的，特别是针对函数定义域这种难以理解的抽象知识，必须要通过一定的练习，让学生在练习中发现问题、解决问题和总结问题。

只有在反复练习的过程中，学生才能够逐步理解相关题型的解题技巧，并且对定义域这一类知识有更深的领悟。

教师需要注意的是，学生的练习并不是盲目的，必须要有目的性和针对性，不能将不同的题型混在一起，这样容易让学生思维混乱，进一步阻碍学生的学习。因此，教师必须做好引导工作，要为学生安排好练习的题目，最好是以专题训练的方式对学生的弱点进行集中练习。

另外，教师必须要重视课后总结，也就是要让学生在练习后总结和回顾，而不是一味的反复练习，只有通过不断总结，才可以不断提升，避免出现重复的问题并且对知识体系进行梳理和总结，达到巩固的效果。

总的来说，高中数学中函数的单调性是基础性的教学内容，其对于学生的难点就在于定义域这一类抽象的知识难以把握，而且学生没有掌握数形结合这种正确的学习方法。要提高学生学习函数单调性的效率就必须针对这两个难点，通过引导和练习的方式让学生养成使用数形结合方法的意识和习惯，并且得到解题技巧，在练习和总结中进步。

参考文献：

运用函数的单调性解题 篇12

函数的单调性是函数的重要性质之一, 在解题时若能合理巧妙地加以运用, 定会给你带来快捷的解题思路.本文举例谈谈函数的单调性在解题中的多方面应用.

一、用于比较两个数的大小

例1 比较 log2 (x+1) 与 log2 (2x+3) 的大小.

分析:从题设的两个对数式, 便联想起 y=log2u在 (0, +∞) 上是单调函数, 因此只要比较两个真数的大小, 原题就可获解.

解:由

$\{\begin{array}{l}x+1＞0‚\\ 2x+3＞0‚\end{array}$

解得 x>-1.

当 x>-1时, 有0<x+1<2x+3.

又因为函数 y=log2u 在 (0, +∞) 上单调递增, 所以 log2 (x+1) <log2 (2x+3) .

二、用于证明不等式

例2 已知 a、b、c∈R+, c<a+b 且 c>a-b, 求证$\frac{c}{c+1}＜\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}.$

分析:观察题中的$\frac{c}{c+1}‚\frac{a}{a+1}‚\frac{b}{b+1}$的特征, 自然会考虑函数$f(x)=\frac{x}{x+1}$.然后利用此函数在 (0, +∞) 上是增函数, 可获结论.

证明:构造函数$f(x)=\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$, 由此可知 f (x) 在 (0, +∞) 上是单调递增函数.

又由 c<a+b, 有 f (c) <f (a+b) ,

$\begin{array}{l}\text{即}\frac{c}{c+1}＜\frac{a+b}{(a+b)+1}\\ =\frac{a}{(a+b)+1}+\frac{b}{(a+b)+1}\\ ＜\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}‚\end{array}$

故$\frac{c}{c+1}＜\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}.$

三、用于求函数的最值

例3 求函数$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}$的最大值.

$\begin{array}{l}\text{解}:\text{由}f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}\\ =\frac{4}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3}}‚\end{array}$

知函数$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}$在其定义域[3, +∞) 上是减函数, 所以函数$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}$的最大值是 f (3) =2.

四、用于求解方程

例4 解方程2x+3x+6x=7x.

解:原方程可变形为

$(\frac{2}{7}){}^x+(\frac{3}{7}){}^x+(\frac{6}{7}){}^x=1.$

设$f(x)=(\frac{2}{7}){}^x+(\frac{3}{7}){}^x+(\frac{6}{7}){}^x$,

因为$0＜\frac{2}{7}‚\frac{3}{7}‚\frac{6}{7}＜1$,

所以$f(x)=(\frac{2}{7}){}^x+(\frac{3}{7}){}^x+(\frac{6}{7}){}^x$在R内单调递减.

$\begin{array}{l}\text{而}f(2)=(\frac{2}{7}){}^2+(\frac{3}{7}){}^2+(\frac{6}{7}){}^2\\ =\frac{4+9+36}{49}=1‚\end{array}$

所以要使$f(x)=(\frac{2}{7}){}^x+(\frac{3}{7}){}^x+(\frac{6}{7}){}^x=1=f(2)$, 有且只有 x=2, 所以原方程的解为 x=2.

五、用于求不等式的解集

例5 设 f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的增函数, 且$f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y)‚f(3)=1$, 求解不等式$f(x)-f(\frac{1}{x-3})＞2.$

解:由于$f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y)$,

所以$f(x)-f(\frac{1}{x-3})=f(x{}^2-3x).$

令 x=9, y=3, 则

f (3) =f (9) -f (3) ,

故 f (9) =2f (3) =2, 原不等式即为

f (x2-3x) >f (9) .

由于 f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的增函数, 故原不等式等价于

$\{\begin{array}{l}x＞0‚\\ x-3＞0‚\\ x{}^2-3x＞9.\end{array}$

解得$x＞\frac{3+3\sqrt{5}}{2}.$

所以原不等式解集为$\{x|x＞\frac{3+3\sqrt{5}}{2}\}.$

六、用于求参数的取值范围

例6 设函数

$f(x)=\lg \frac{1+2{}^x+3{}^x+\cdots +(n-1){}^x+n{}^{x}a}{n}(a\in \mathbf{R}‚n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}‚n\ge 2)$.若当 x∈ (-∞, 1]时, f (x) 有意义, 求 a 的取值范围.

解:由 f (x) 有意义, 则

1+2x+3x+…+ (n-1) x+nxa>0,

于是$a＞-[(\frac{1}{n}){}^x+(\frac{2}{n}){}^x+(\frac{3}{n}){}^x+\cdots +(\frac{n-1}{n}){}^x](n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}‚n\ge 2)$在 x∈ (-∞, 1]上恒成立.

设$g(x)=-[(\frac{1}{n}){}^x+(\frac{2}{n}){}^x+(\frac{3}{n}){}^x+\cdots +(\frac{n-1}{n}){}^x]$,

由$-(\frac{m}{n}){}^x(m=1‚2‚3‚\cdots ‚n-1)$在 x∈ (-∞, 1]上均为增函数, 知 g (x) 在 (-∞, 1]上为增函数.

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}g(x)\le g(1)\\ =-(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdots +\frac{n-1}{n})\\ =\frac{1-n}{2}.\end{array}$

所以当$a＞\frac{1-n}{2}$时, a>g (x) 在 x∈ (-∞, 1]上恒成立, 从而得 a 的取值范围是$(\frac{1-n}{2}‚+\infty ).$

七、用于求值

例7 实数 x, y 满足$(x+\sqrt{x{}^2+1})(y+\sqrt{y{}^2+1})=1$, 求 x+y 的值.

解:设$f(t)=t+\sqrt{t{}^2+1}(t\in \mathbf{R})$, 则 f (t) 在R上单调递增.由题设等式可得

$\begin{array}{l}x+\sqrt{x{}^2+1}=\frac{1}{y+\sqrt{y{}^2+1}}\\ =-y+\sqrt{(-y){}^2+1}‚\end{array}$

所以 f (x) =f (-y) ,

即 x=-y, 故 x+y=0.

八、用于求值域

例8 求函数$y=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{2}+\frac{2}{\text{s}\text{i}\text{n}x}(0＜x＜\text{π})$的值域.

解:令$\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{2}=t$, 则$f(t)=t+\frac{1}{t}‚t\in (0‚\frac{1}{2}].$

又 f (t) 在$(0‚\frac{1}{2}]$上单调递减, 则 f (t) 的最小值是$f(\frac{1}{2})=\frac{5}{2}$.故函数$y=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{2}+\frac{2}{\text{s}\text{i}\text{n}x}(0＜x＜\text{π})$的值域为$[\frac{5}{2}‚+\infty ).$

从上述各例不难看出, 运用函数的单调性解题, 关键在于合理的利用题设条件, 构造出相应的函数, 并将原问题进行等价转换, 通过函数的单调性使问题得以解决.

江苏省南京市溧水县第二高级中学

函数单调性教学案例分析 篇13

数学概念的教学是培养学生创新精神和实践能力的一个很好的切入点，重视数学概念的发生、发展、形成的过程的体验，让学生进行深入的思考和全方位的探索。对于提高学生学习数学的兴趣，培养学生创新精神和实践能力将是十分有利的。现以《函数的单调性》教学实例来进行分析：

一、案例

课题：函数的单调性（第一课时）

二、实施过程（注：课堂实录已经简化）

1．问题引入

师：我们观察某自来水厂在一天24小时内，水压Y随时间X的的变化情况。不妨设其函数解析式：y=f(x);x[0,24]

师： “在哪些时间段内，水压在逐渐上升?在哪能些时间段内，水压在下降?”（很快得出正确答案。）

师：在某一时间段内水压在上升，实际上是水压Y的值随时间X的增大在逐渐增大，于是我说函数y=f(x)在区间[0，3]上，是单调递增函数。同理，函数y=f(x)在区间[3,9]上是单调递减函数。这就是我们要研究的函数的又一特性——函数的单调性。2．定义探究

师：在某个区间上：①函数值Y随X的增大而增大（图象从左——右，呈上升趋势），就说这个函数在这个区间上是增函数。②函数值Y随X的增大而减小（图象从左——右，呈下降趋势），就说这个函数在这个区间上是减函数。

提出问题1：请同学仔细阅读课本中函数单调性的定义，思考课本定义方法和上面定义方法是否一致？如果一致，定义中哪一句表达了该意思？

生：我认为是一致的．定义中的“当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”描述了y随x的增大而增大；“当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2）”描述了y随x的增大而减少． 师：说得非常正确．定义中用了两个简单的不等关系“x1＜x2”和“f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）”，它刻划了函数的单调递增或单调递减的性质．这就是数学的魅力！定义中只用了两个简单的不等关系，就刻划出了单调递增和单调递减的性质特征，把文字语言表达为数学语言，简单明了。

师：提出问题2：我们思考这样一个问题：定义中有哪些关键的词语或句子至关重要？能不能把它找出来。（有的同学回答不准确）

生1：我们认为在定义中，有一个词“给定区间”是定义中的关键词语．（阐述了理由）。师：很好，我们在学习任何一个概念的时候，都要善于抓住定义中的关键词语．增函数和减函数都是对相应的区间而言的，离开了相应的区间就根本谈不上函数的增减性．还有没有其他的关键词语？

生2：还有定义中的“任意”和“都有”也是关键词语． 生3：“属于” 也是关键词。师：能解释一下为什么吗？

生3：“属于”就是说两个自变量x1，x2必须取自给定的区间，不能从其他区间上取． 师：那么“任意”和“都有”又如何理解？

生4：“任意”就是指不能取特定的值来判断函数的增减性，而“都有”则是说只要x1＜x2，f（x1）就必须都小于f（x2），或f（x1）都大于f（x2）．

师：能不能构造一个反例来说明“任意” 和“都有”呢？

（让学生思考，但有些学生仍有困难，我设计了三个判断题）提出问题3：判断下列命题的真假：

①函数y=x2 在(-∞,0)上是减函数，在[0，+∞]上是增函数，所以函数 y=x2 在定义域R上是增函数或是减函数。

②已知函数f(x)=x2(-2≤x≤2)。取x1=-2,x2=1，则x1f(x2)，所以函数在区间[-2，2]上是减函数。

③若函数y=1/x在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）也单调递减，则该函数在定义域内单调递减。

（三个问题的提出，引起很大凡响，学生发言踊跃，互相讨论、补充，把本节课推向高潮）师：因此，要判定一个函数的增减性，主要途径就是依照定义，抓住关键，在给定区间内任取两个自变量x1，x2，根据它们的函数值f（x1）和f（x2）的大小来判定。3．定义应用

提出问题4：判断函数f(x)=1/x在（0，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明。解：略

师：易知函数f(x)=1/x在（-∞,0）上也是单调递减函数，请同学归纳一下要证明一个函数在某个区间上单调性的方法和步骤？ 第八组：①设量；②作差；③判断；④定论。

4．课堂小结（由学生回答）（略）

5．布置作业

（略）

三、案例分析

（一）本节课的设计思路 1．知识目标设计：

（1）在探究中，寻求函数单调性规律并形成概念。

（2）熟练运用函数单调性的概念证明函数在某个区间上的单调性。2．能力目标设计：

（1）通过对单调性概念的发生、发展的分析过程，培养学生的数学意识、逻辑思维能力;（2）通过本节课的教学探究，培养学生用数学语言代替文字语言的表达能力。提高对数学美的鉴赏能力;（3）对学生进行由“特殊”到“一般”的辩证唯物主义教育。3．教学过程设计：

针对本节课教学目标，教学过程分为三个阶段：

（1）问题引入阶段：问题的提出具有实际意义，引起学生的兴趣，锻炼学生的观察能力，又直逼主题，学生容易接受。通过图形的直观感觉，给学生函数单调性的感性认识，为突破难点做好铺垫。从而自然导入主题。

（2）定义探究阶段：本节课的中心内容，围绕三个问题的提出，对定义进行探究，层层深入，发动学生，分组讨论，积极思考，在巡视过程中，启发引导学生，及时掌握学生的动向，寻求函数单调性规律并形成概念。

（3）概念应用阶段：函数的单调性定义应用只设计了问题4，这一过程由学生来完成，使学生自主进行学习，独立探究问题，在解决问题的过程中进行自我评判和调控，会对已有的经验进行反思，总结出解题的步骤和规律。

（二）本案例课堂教学的特点

1、抓住课堂教学的基本原则

(1)主体性原则：尊重学生的主体地位，发挥教师的主导作用，教师创造性地教，学生创造性地学，使教、学的主体共同参与整个教学过程。在本案例课堂教学活动过程中，教师围绕三个阶段，以问题的形式提供给学生，学生主动参与。特别是问题2、3的提出，学生产生许多疑惑，矛盾升级，老师便组织学生开展了互相交流和讨论，适时介入，和学生一起相互启发和梳理，并洞察课堂中发生地各种问题，准确地判断发生问题的原因，能动地、有效地处理这种问题，这一过程体现师生相互平等，教学相长的良好课堂氛围。

(2)探索性原则：教师努力使教学活动富有探索性，为学生创设进行观察、探索、发现的学习环境，鼓励学生质疑问难，大胆联想，激发学生的学习兴趣和创造兴趣，引导学生通过亲身体验获取新知，把教学过程转化为学生自觉进行探索新知的过程，使学生积极主动地在学习中体验探索的乐趣。通过对问题2、3的讨论，大部分学生对单调性概念的发生、发展有了较深刻的理解，探索到函数单调性规律并形成了概念。同时培养了学生用数学语言代替文字语言的表达能力，提高对数学美的鉴赏力。这一教学过程使学生认识到看似简单的定义中有很多值得去推敲，去研究的东西，通过对问题的分析、总结，把包含在概念中的复杂和隐蔽的内涵，层层剥离，进行多层面的展开，从而使教学由表及里，深入清晰地揭示出概念的本质。因为学生理解程度的差异，老师提出问题4，这是本节课的亮点，简单的三个判断题，再一次揭示了概念的本质。把函数单调性概念的探究推向高潮，通过反向思维使学生的思维素质得以提升，促使学生能够在获得对概念理解的同时，逐步学会学习和思考，增长经验和智慧。这一部分课堂效果非常好。

(3)实践性原则：在教学中要重视理论联系实际，要结合实例进行教学，鼓励学生动口、动脑、动手，让学生参与到数学概念的形成过程；要组织有效的练习，引导学生运用所学到的知识去解决实际问题，使学生获得运用知识的能力。函数的单调性定义应用只设计了问题5，典型的反比例函数，这一过程由学生来完成，但学生的证明过程也存在一定问题，老师再次强调定义，对照解答的层次性，再让学生自主订正，使学生自主进行学习，独立探究问题，在解决问题的过程中进行自我评判和调控，会对已有的经验进行反思、质疑，总结出解题的步骤和规律。问题5的提出起到前后呼应，加深印象、画龙点睛的作用，既是对本节课的反馈，又是引发对本节课的思考。由于时间的关系，课上讨论的并不透彻和完美，但给学生课后进一步的思考、探究留下了空间。

(4)激励性原则：要帮助学生实现成功，让学生在学和做中能经常感受到成功的喜悦和愉悦，认识到自身的价值，以此来激励学生的求知欲和成就感，从而培养学生的自尊心和自信心，增强学生的创造动机和创造热情，使学生能不断地追求新知，积极进取，勇于创新。

2、体现能力培养的指导思想

概念教学有利于培养学生的发现能力；有利于培养学生的创新精神；有利于培养学生的实践能力。概念教学的基本目标是帮助学生形成概念，而学生形成概念的关键是发现事物的本质属性或规律。发现是创造的一种重要形式，创造需要一种实践活动的过程。现代著名心理学家布鲁纳认为：“发现不限于那种寻求人类尚未知晓的事物的行为，正确地说，发现包括着用自己的头脑亲自获得知识的一切形式。”由此可以看出，学生用自己的头脑去亲自获得知识也是一种发现。在过程中发现，在发现中创新。因此，在数学教学中，教师要努力创造条件，给学生提供自主探索的机会，给学生充分的思考空间，让学生在观察、实验、归纳、分析的过程中去理解数学概念的形成和发展过程，进行数学的再发现、再创造，培养学生的发现能力和创新能力。

(三)本案例课堂教学引发的反思

1、概念教学的方法应灵活多样 中学数学教材展现在学生面前的往往是由概念到定理，法则再到例题的三步曲，这在一定程度上掩盖了数学概念和思想方法的形成，发展过程，从而也掩盖了数学发现、数学创造、数学应用所经历的思维活动过程，抽象的概念也会给学生造成厌恶的感觉。所以数学概念教学不应简单地给出定义，而应加强概念的引入和概念属性的感知，本案例的引入，从实际生活中提炼，通俗易懂，平易近人。教学时应创设情境，方法灵活多样，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与教学活动中来，亲身体验、主动建构，使学生了解知识的发生与发展的背景和过程，使学生对数学的学习感到乐趣。为此，从引进新概念开始就要创造启发式的教学环境，揭示概念的本质属性，并用简单的文字加以表达，在对概念进行结构分析和概念的应用，形成一个生动的概念发生的过程，这一过程需分层次递进，低层次的理解是高层次理解的基础，各层次之间最好不要越级，任何急功近利的想法或做法都是不可取的。

2、正确认识和处理探究过程与时间限定的矛盾

探究活动比较费时间，教师都很重视课堂效率，而且对调控教学节奏，颇有一些办法，是不是一发现学生得到了正确的结论，就让其回答，并结束这个探究过程？由于教学时间的限定，如果探究的不够完美、透彻，或本节课的教学内容没有全部完成，那么总感到一种缺憾，所以在这个矛盾的驱使下，往往追求进度，多讲几个例题，忽略学生的经历。而新课程标准则强调让学生经历“直观感知”、“观察发现”……等思维过程来形成思维能力。这就要求我们要以学生体验、理解、掌握知识为中心，重视数学概念的构作，数学思维的建立，数学意识的形成，所以，教师应设计好每节课的内容与容量，本案例延长了概念的探究过程，重视学生的数学意识、思维品质的培养，使学生懂得数学的意义与价值。虽然只有一个例题，但非常典型，同样收到很好的效果。

落实新课程改革精神，并不是

函数单调性应用教案 篇14

1．复合函数的概念

如果y是的函数，又是x的函数，即yf()，g(x)，那么y关于x的函数yf[g(x)]叫做函数yf()和g(x)的复合函数，其中是中间变量，自变量为x，函数值y。

例如：函数y()x1322x是由y()，x2x复合而成立。

221函数ylg(34xx)是由ylg，34xx复合而成立，、是中间变量。

2．复合函数单调性

一般地，定理：设函数g(x)在区间M上有意义，函数yf()在区间N上有意义，且当xM时，N

有以下四种情况：

（1）若g(x)在M上是增函数，yf()在N上是增函数，则yf[g(x)]在M上也是增函数；

（2）若g(x)在M上是增函数，yf()在N上是减函数，则yf[g(x)]在M上也是减函数；

（3）若g(x)在M上是减函数，yf()在N上是增函数，则yf[g(x)]在M上也是减函数；

（4）若g(x)在M上是减函数，yf()在N上是减函数，则yf[g(x)]在M上也是增函数。

即：同增异减

注意：内层函数g(x)的值域是外层函数yf()的定义域的子集。

例

1、讨论下列函数的单调性（注意：要求定义域）

（1）y()

解：

213x22x（2）ylg(34xx)

练习1：

1．求下列函数的单调区间。

（1）y

2（3）y

例

2、已知yf(x)，且lglgylg3xlg(3x)。

（1）求yf(x)的表达式及定义域；

（2）讨论yf(x)的单调性。

练习2 1．已知f(x)82xx，g(x)f(2x)，求g(x)的单调区间。

2．讨论函数yloga(x4x3)的单调性。2x25x2

（2）ylog1(x2x3)

22xx1（4）y(3xx)221222

练习题

1．若函数yf(x)的图象过点(0,1)，则yf(x4)的图象必过点（）

A．(4,1)

B．(1,4)C．(4,1)

D．(1,1)

2．函数ylog2x在区间,00,上（）2A.是奇函数，且在0,上是增函数 B.是偶函数，且在0,上是增函数 C.是奇函数，且在0,上是减函数 D.是偶函数，且在0,上是减函数

3．函数y166xx2(0x4)的最大值与最小值分别是（）

A．25，16 B．5，0 C．5，4 D．4，0 11x4．函数y321值域为（）

A．(,1)

B．(,1)

C．[,1)

D．[,)5．函数f(x)log1(6xx)的单调递增区间是()31313132A．[11,)

B．[,2)22x22(a1)x1C．(,)

D．(3,)

12126．函数f(x)2在区间[5,)上是增函数，则实数a的取值范围是()A.[6,+)

B.(6,)

C.(,6]

D.(,6)7．已知yloga(2ax)在0,1上是x的减函数，则a的取值范围是（）A.0,1

B.1,2

C.0,2