初中数学《反比例函数的应用》的教案(精选9篇)
初中数学《反比例函数的应用》的教案 篇1
关于教学设计:
备课过程,我认真研读教材,认为本节课重点和难点就是掌握反比例函数的概念,以及如何与一次函数及一次函数中的正比例函数的区别。所以,我在讲授新课前安排了对“函数”、“一次函数”及“正比例函数”概念及“一次函数”和“正比例函数”一般式的复习。
为了更好的引入“反比例函数”的概念,并能突出重点,我采用了课本上的问题情境,同时调整了课本上提供的“思考”的问题的位置,将它放到函数概念引出之后,让学生体会在生活中有很多反比例关系。
情境设置:
汽车从南京开往上海,全程约300km,全程所用的时间t(h)随v(km/h)的变化而变化。
(1)你能用含v的代数式来表示t吗?
(2)时间t是速度v的函数吗?
设计意图:与前面复习内容相呼应,让同学们能在“做一做”和“议一仪”中感受两个量之间的函数关系,同时也能注意到与所学“一次函数”,尤其是“正比例函数”的不同。从而自然地引入“反比例函数”概念。
为帮助学生更深刻的认识和掌握反比例函数概念,我引导学生将反比例函数的一般式进行变形,并安排了相应的例题。
一般式变形:(其中k均不为0)
通过对一般式的变形,让学生从“形”上掌握“反比例函数”的概念,在结合“思考”的几个问题,让学生从“神”神上体验“反比例函数”。
为加深难度,我又补充了几个练习:
1、为何值时,为反比例函数?
2是的反比例函数,是的正比例函数,则与成什么关系?
关于课堂教学:
由于备课充分,我信心十足,课堂上情绪饱满,学生们也受到我的影响,精神饱满,课堂气氛相对活跃。
在复习“函数”这一概念的时候,很多学生显露出难色,显然不是忘记了就是不知到如何表达。我举了两个简单的实例,学生们立即就回忆起函数的本质含义,为学习反比例函数做了很好的铺垫。一路走来,非常轻松。
对反比例函数一般式的变形,是课堂教学中较成功的一笔,就是因为这一探索过程,对于我补充的练习1这类属中等难度的题型,班级中成绩偏下的同学也能很好的掌握。
而对于练习3,对于初学反比例函数的学生来说,有点难度,大部分学生显露出感兴趣的神情,不少学生能很好得解答此类题。
经验感想:
1、课前认真准备,对授课效果的影响是不容忽视的。
2、教师的精神状态直接影响学生的精神状态。
3、数学教学一定要重概念,抓本质。
4、课堂上要注重学生情感,表情,可适当调整教学深度。
初中数学《反比例函数的应用》的教案 篇2
一、营造有利的教学环境
情境具有强烈的吸引力, 对培养学生的数学思维及创造能力有着至关重要的作用。要形成学生主动学习、积极动脑、踊跃参与的课堂教学氛围, 教师就必须深入研究教材, 突出学生的主体地位, 尊重学生的不同观点, 鼓励学生想象、质疑甚至标新立异, 给予每位学生发表自己见解的机会, 最大限度地消除学生的心理障碍。
如讲到“反比例函数的图像上有点A (3, 2) , 求k的值”时, 学生通过代入x计算, 可以求出k的值。如果教师停留在此不再深入讲解求解的技巧, 对下面的反比例函数图像中关于面积的题目的讲解起不到帮助作用。所以可以提问:如果A坐标改为 () , 赛一赛谁能最快求出k的值?引导学生探索, 最终得出:用去分母的办法可得xy=k, 即只要是反比例函数图像上的点 (x, y) , 都满足k=xy。
要求学生充分利用这个等式, 接下来就可以出题, 如:
若反比例函数的图像过点 (2, 5) , 则点 () 也在这个反比例函数的图像上。
有了上面的引入, 这题无需求m的值, 即可选出答案B。
二、充分揭示数学思维过程
在反比例函数图像上的点, 满足xy=k, 在平面直角坐标系的第一象限中可随便描几个在同一反比例函数图像上的点, 如图1所示。
在描点的过程中, 学生可以看出点A (a, b) , B (s, t) , ab=k, st=k, 就是两个矩形的面积。如果把矩形的一条过原点的对角线连接 (如图2所示) , 则可发现进而让学生考虑:如果画在其他象限内的点, 是否也有如上的规律?如果把这条对角线与双曲线的另一支交点也画出, 那么这条直线和双曲线构成的是什么图形?这个结论对以后的解题是否有帮助?
教学中引导学生运用逻辑思维、形象思维以及直觉思维等多种思维方式, 使题目中的相关信息有序化, 通过学生的自主思考产生积极的效果或成果, 这种创造性思维能力是正常人通过后天的思考、培养就可以具备的。
三、精选练习, 紧扣重点
要培养学生的数学思维能力, 教学中就必须采用开放式的教学方法, 充分揭示解题的思维过程。因为学生学习的数学知识虽然是前人创造性思维的成果, 但是学生作为学习的主体处于再发现的地位, 学习活动本质上仍然具有发现和创造的性质, 因此解题的思维过程比题目答案本身更应值得重视。
如图3所示, 直线l和双曲线交于A、B两点, P是线段AB上的点 (不与A、B重合) , 过点A, B, P分别向x轴作垂线, 垂足分别为C, D, E, 连接OA, OB, OP, 设S△AOC=S1, S△BOD=S2, S△POE=S3, 试比较S1, S2, S3的大小:______。
解答:经过上面知识的学习, 如图4所示, 因为点A、B在双曲线上, 所以而点P不在反比例函数的图像上, 所以设PE与双曲线交点为F, 连接OF, 所以答案是S1=S2<S3。
如图5所示, 正比例函数y=x与反比例函数的图像交于A、C两点, AB⊥x轴于B, CD⊥x轴于D, 则的面积=____。
分析:由上面的讨论, 直线、双曲线都是中心对称图形, 如果一条经过原点的直线和双曲线相交则还是构成中心对称图形, 因此A、C两点关于原点成中心对称, 即AB与CD平行且相等, 则四边形ABCD为平行四边形, 那么对角线AC、BD则把ABCD面积四等分。
解答:是4个△AOB的面积, 答案是
著名德国数学家希尔伯特在哥廷根大学任教时, 常常在课堂上即兴提出一些新的数学问题, 并立即着手解决。虽然他并非每次都能得到圆满的解答, 甚至有时把自己“挂”在黑板上, 但他发现的思维过程却使学生受益匪浅。我国数学家华罗庚教授在自己的教学生涯中, 也一向重视概念产生、命题形成及思路获得的思维过程的教学, 并着意回答学生提出的“你是怎样想出来的”一类问题。这些事例充分说明了展现数学思维过程对于培养学生数学思维的重要作用。
四、激发学生的好奇心、求知欲
李政道说:“好奇心很重要, 有了好奇心, 才敢提出问题。”教师最重要的一项职责就在于, 要把学生的好奇心引导到探求科学知识上去, 使这种好奇心升华为求知欲, 从而激发学生自主学习的积极性。
经过上面几道求面积的题目训练后, 对于下面几题, 学生们应该跃跃欲试了。
如图6所示, 在反比例函数的图像上, 有点P1, P2, P3, P4, 它们的横坐标依次为1, 2, 3, 4。分别过这些点作x轴与y轴的垂线, 图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1, S2, S3, 则S1+S2+S3=_____。
解答:可利用面积割补法, 把S1, S2, S3放到由P1与x、y轴构成的矩形中, 而由P4与x、y轴构成的矩形被四等分, 得出
如图7所示, 两个反比例函数 (其中k1>k2>0) 在第一象限内的图像依次是C1和C2, 设点P在C1上, PC⊥x轴于点C, 交C2于点A, PD⊥y轴于点D, 交C 2于点B, 则四边形P A O B的面积为_________。
解答:构成的阴影部分面积, 正好是矩形面积减去两个直角三角形面积, 即k1-k2。
教学过程中, 只有通过选择和安排合理的、有引导性的问题, 才能不断激发学生的好奇心与求知欲。一个恰当而富有吸引力的问题往往能拨动全班学生思维之弦, 奏出一曲耐人寻味, 甚至波澜起伏的大合唱。因此善问是数学教师的基本功, 也是所有数学教育家十分重视并长期研究的一项课题。
五、结束语
数学教学中只有培养学生的“爱学”态度、“乐学”情绪、“会学”技巧、“自学”能力, 突出“优化思维品质, 培养思维能力”, 开阔视野, 理论联系实际, 培养解决问题能力, 才能使学生更适应社会发展。
参考文献
[1]任樟辉.数学思维理论[M].南宁:广西教育出版社, 2001.
[2]李玉琪.中学数学教学与实践研究[M].北京:高等教育出版社, 2001.
[3]傅海伦数学教学论[M].北京:科学出版社, 2004.
[4]肖利民.数学教学与学生创造思维能力的培养的影响[J].濮阳教育学院学报, 2003 (2) :51-52.
[5]谢传建.浅谈数学教学中创造思维能力的培养[J].福建教育学院学报, 2003 (3) :62.
[6]陶国富.创造心理学[M].上海:立信会计出版社, 2002.
[7]林志浩.数学教学创造性思维能力的培养[M].北京:科学出版社, 2000.
反比例函数中的数学思想 篇3
一、分类讨论思想
分类讨论思想就是根据问题可能存在的情况,进行分类讨论,从而解决问题的一种数学思想。这是一种重要的数学思想,对培养思维的周密性大有好处。在分类讨论时应明确标准,不重不漏。
已知点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在反比例函数y=的图像上,且x1>x2,比较y1与y2的大小。
分析 讨论反比例函数图像的增减性有一个前提条件:x在哪一象限内,而已知条件中点是否在同一象限不确定,所以要分类讨论。
解 (1)当两点在同一象限时,即当x1>x2>0或0>x1>x2时,由于k>0,所以y随x的增大而减小。因为x1>x2,所以y1<y2;
(2)当两点不在同一象限时,即当x1>0>x2时,因为k>0,x1>0,所以y1>0。同理y2<0,所以y1>y2。
点评 比较函数值的大小问题时,若反比例函数y=中的k的符号不确定时要进行分类。
二、数形结合思想
数形结合,主要是指数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而达到优化解题途径的目的。
如图1,正比例函数y1=k1x的图像与反比例函数y2=的图像相交于A、B点,已知点A的坐标为(4,n),BD⊥x轴于点D,且S△BDO=4。过点A的一次函数y3=k3x+b与反比例函数的图像交于另一点C,与x轴交于点E(5,0)。
(1)求正比例函数y1、反比例函数y2和一次函数y3的解析式;
(2)结合图像,求出当k3x+b>>k1x时x的取值范围。
分析 (1)因为S△BDO=4,由k的几何意义得y2=。由A点可得y1,由A、E两点可得y3。在第(2)问中,就是求y3>y2>y1时x的取值范围,要结合图像,通过观察直接写出结果。
解 (1)y1=x;y2=;y3=-2x+10;
(2)x<-4或1<x<4。
点评 对第(2)问,以形助数观察出结果很重要,不要去解不等式,直接观察图像就可得出答案,这也是解这类题的通法。
三、方程思想
方程思想就是根据所要解决的问题建立方程模型。
如图2,P1是反比例函数y=(k>0)图像在第一象限的一点,点A1的坐标为(2,0)。
(1)当点P1的横坐标逐渐增大时,△P1OA1的面积将如何变化?
(2)若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形,求此反比例函数的解析式及A2点的坐标。
分析 第(2)问中有正三角形,可想到作正三角形底边上的高:作P1C⊥OA1于C,作P2D⊥A1A2于D。先求出P1的坐标,则函数的解析式也就知道了。若能表示出P2的坐标,则可代入函数解析式列方程求解。
解 (1)△P1OA1的面积将逐渐减小;
(2)作P1C⊥OA1于点C,因为△P1OA1为等边三角形,
所以OC=1,P1C=,所以P1(1,)。
把点P1的坐标代入y=,得k=,所以反比例函数的解析式为y=。
作P2D⊥A1A2于点D,设A1D=a,则OD=2+a,P2D=a,所以P2(2+a,a)。
把点P2的坐标代入y=,得(2+a)a=,化简得a2+2a-1=0。
解得:a=-1±。
因为a>0,所以a=-1+。
所以点A2的坐标为(2,0)。
点评 若把图2中的两个正三角形改为正方形或等腰直角三角形,仍可列方程求解。
四、转化思想
转化思想就是将未知的、陌生的、复杂的问题通过演绎归纳转化为已知的、熟悉的、简单的问题来解决的一种数学思想。
如图3,过y轴上任意一点P作x轴的平行线,分别与反比例函数y=-和y=的图像交于A点和B点,若C为x轴上任意一点,连接AC、BC,则△ABC的面积为( )
A.3B.
C.2D.4
分析 连接AO、BO,将S△ABC转化为S△ABO,然后运用k的几何意义求解。
解 因为AB∥x轴,所以△ABC与△ABO同底等高。
所以S△ABC=S△ABO=S△APO+S△PBO=+=,故答案选B。
初中数学《反比例函数的应用》的教案 篇4
数学 2018.7
本试卷共8页,120分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题 共10小题,每小题3分,共30分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
1.若反比例函数y=的图象经过点(2,3),则k的值是()
A. 6
B. ﹣6
C.
3D. ﹣3
2.如图,Rt△ABO中,∠AOB=90°,点A在第一象限,点B在第二象限,且AO:BO=1:2,若经过点A的反比例函数解析式为y=,则经过点B(x,y)的反比例函数解析式为()
A. y=
B. y=﹣
C. y=﹣
D. y=﹣ 3.如图、点为双曲线上一点,轴,则双曲线的解析式为()
A.
B.
C.
D.
4.下列函数是反比例函数的是()
A.
B. y=
C. y=x²+2x
D. y=4x+8
试卷第1页,总8页 5.如图,在直角坐标系中,点为原点,点坐标为在第二象限交于点,直线、与双曲线,则的值为()
A.
B.
C.
D.
6.杨树乡共有耕地公顷,该乡人均耕地面积与总人口之间的函数图象大致为()
A.
B.
C.
D.
7.函数与在同一坐标系中的大致图象是()
A.
B.
C.
D.
8.已知点A.
B. 在反比例函数上,则的值等于()
C.
D.
9.如图,点A在函数y=(x>0)的图象上,点B在函数y=(x>0)的图象上,且AB∥x轴,BC⊥x轴于点C,则四边形ABCO的面积为()
A.
1B.
2C.
3D. 4
试卷第2页,总8页 10.若反比例函数的图象位于第二、四象限,则的取值可能是()
A.-
1B.
2C.
3D.
4二、填空题 共10小题,每小题3分,共30分。
11.双曲线y=﹣经过平行四边形ABCO的对角线的交点D,且AC⊥OC于点C,则平行四边形OABC的面积是_____.
12.如图,在函数y1=(x<0)和y2=(x>0)的图象上,分别有A、B两点,若AB∥x轴,交y轴于点C,且OA⊥OB,S△AOC=,S△BOC=,则线段AB的长度=__.
13.某种蓄电池的电压为定值,使用此电源时,电流系如图所示,当用电器的电流为
与可变电阻
之间的函数关
时,用电器的可变电阻为________.
14.已知反比例函数的图象经过点,则这个函数的表达式是________.
15.已知反比例函数(填“”,“”或“”)的图象上有两点,且,则________
试卷第3页,总8页 16.已知图中的曲线是反比例函数(为常数)图象的一支.
这个反比例函数图象的另一支在第________象限,常数的取值范围是________. 若该函数的图象任取一点,过点作轴的垂线,垂足为,当求反比例函数的解析式. 的面积为时,17.如图,抛物线与反比例函数的图象交于点,若点横坐标为,则关于的不等式的解是________.
18.双曲线经过点和点,则________ .(填“”、“”或“”)
19.已知:点一点,使是上一点,连接并反向延长交于点,试在直线上找为直角三角形,则点的坐标为________.
20.如图,过反比例函数,连接,设
与的图象上任意两点,分别作轴的垂线,垂足为,的交点为,与梯形的面积分别为,则________(填、或)
试卷第4页,总8页
三、解答题 共10小题,每小题6分,共60分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
21.我市某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为的条件下生长最快的新品种.下图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度随时间(小时)变化的函数图象,其中段是双曲线的一部分.请根据图中信息解答下列问题:
恒温系统在这天保持大棚内温度当的时间有________小时;
时,大棚内的温度约为多少度?
22.如图双曲线上,且
与矩形,求. 的边、分别交于、点,、在坐标轴
23.如图,点在反比例函数的面积是. 的图象上,过点作轴,交轴负半轴于点,且求反比例函数若,求直线的解析式; 的解析式.
试卷第5页,总8页
24.如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于,两点,与轴交于点,与轴交于点,已知求反比例函数的解析式; 求一次函数的解析式; 在轴上存在一点,使得
与,点的坐标为.
相似,请你求出点的坐标.
25.饮水机接通电源就进入自动程序,若在水温为时间的关系如图.开机加热时每分钟上升
时,接通电源后,水温,加热到
和,饮水机关机停止,的加热,水温开始下降,下降时水温与开机后的时间成反比例关系.当水温降至饮水机自动开机,重复上述自动程序.若上午水?说明理由.
开机,则
时能否喝到超过
26.在平面直角坐标系交于第一象限的点
中,直线与轴、轴分别交于点、,与双曲线
和第三象限的点,点的纵坐标为
试卷第6页,总8页
求和的值;
求不等式:的解集
过轴上的点的面积. 作平行于轴的直线,分别与直线和双曲线交于点、,求27.已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于第一象限内的P(,8),Q(4,m)两点,与x轴交于A点.(1)分别求出这两个函数的表达式;
(2)直接写出不等式k1x+b≥的解集;
(3)M为线段PQ上一点,且MN⊥x轴于N,求△MON的面积最大值及对应的M点坐标.
28.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=nx+2的图象与反比例函数y=在第一象限内的图象交于点A,与x轴交于点B,线段OA=5,C为x轴正半轴上一点,且sin∠AOC=.(1)求一次函数和反比例函数的解析式;(2)求△AOB的面积.
试卷第7页,总8页(3)请直接写出nx≤﹣2的解集.
29.已知,如图所示直线y=kx+2(k≠0)与反比例函数y=(m≠0)分别交于点P,与y轴、x轴分别交于点A和点B,且cos∠ABO=AC,(1)求一次函数的解析式.,过P点作x轴的垂线交于点C,连接(2)若AC是△PCB的中线,求反比例函数的关系式.
30.如图,已知直线与双曲线(k>0)交于A、B两点,点B的坐标为(﹣4,﹣2),C为双曲线(1)求双曲线的解析式;(2)求点C的坐标.
(k>0)上一点,且在第一象限内,若△AOC的面积为6.
试卷第8页,总8页
参考答案
1.C 【解析】 【分析】
把(2,3)代入y=【详解】 即可求出k的值.把(2,3)代入y=得,3=,∴k=3.故选C.【点睛】
本题考查了反比例函数的图像与性质,反比例函数图像上点的横纵坐标满足反比例函数解析式.2.C 【解析】 【分析】
过A作AC⊥x轴于点C,过B作BD⊥x轴于点D,可证明△AOC∽△OBD,由点A在y=上,可求得△AOC的面积,由相似三角形的性质可求得△BOD的面积,可求得答案. 【详解】
如图,过A作AC⊥x轴,过B作BD⊥x轴,垂足分别为C.D,∵∠AOB=90°,答案第1页,总25页
∴∠BOD+∠AOC=∠DBO+∠BOD,∴∠DBO=∠AOC,∴△AOC∽△OBD,∴设A点坐标为(xA,yA),∵点A在函数y=的图象上,∴xAyA=1,∴∴=xAyA=,=4=2,设B点坐标为(xB,yB),∴xByB=2,∴xByB=4,∴过B点的反比例函数的解析式为y=−,故选C.【点睛】
本题考查了反比例函数的性质和待定系数法求反比例函数解析式,解题的关键是掌握反比例函数的性质并设出解析式.3.C 【解析】 【分析】
面积的2倍即是k值.【详解】
△OAB的面积=OBAB,即OBAB=6,所以k=6.答案第2页,总25页
【点睛】
许多学生通常忘记乘2,造成误选.4.B 【解析】 【分析】 见解析.【详解】
根据反比例函数的一般形式可知B选项正确.【点睛】
了解反比例函数的一般形式是解题的关键.5.D 【解析】 【分析】
过P点作PD⊥AO,垂足为D,根据∠ABO=∠AOP=30°,即可求出∠APO=30°,进而求出AP=AO,在Rt△PDA中,求出PD和AD的长度,进而求出P点坐标,P点在反比例函数图象上,于是求出k的值. 【详解】
过P点作PD⊥AO,垂足为D,∵∠ABO=∠AOP=30°,∴∠APO=30°,∴AP=AO=,在Rt△PDA中,sin30°=ADAP,∴AD=,PD=,答案第3页,总25页
∴P点坐标为(−,),又∵P点在反比例函数图象上,故k=−,故选:D. 【点睛】
本题主要考查反比例函数的综合题,解答本题的关键是求出AP=AO,此题难度不大. 6.B 【解析】 【分析】
由题意可知s=xy,当s为常量时,x和y就是反比例函数,根据反比例函数的图象性质作答即可. 【详解】
∵杨树乡共有耕地S公顷,总人口x,人均耕地面积y,∴xy=s,即y=.
根据反比例函数的性质:当x>0,y>0时,其图象在第一象限. 故选:B. 【点睛】
本题考查了反比例函数的图形以及应用,现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用实际意义确定其所在的象限. 7.D 【解析】 【分析】
先根据二次函数的开口方向确定二次项系数a的符号,看它是否满足反比例函数的图象,及二次函数与y轴的交点的位置. 【详解】
A、二次函数开口向下,则a<0,与y轴交于正半轴,所以a>0,所以选项A不正确;
答案第4页,总25页
B、二次函数开口向下,则a<0,所以y=(a≠0)在一、三象限,所以选项B不正确; C、二次函数开口向上,则a>0,与y轴交于负半轴,所以a<0,所以选项C不正确;
D、二次函数开口向下,则a<0,且交于y轴负半轴,所以y=(a≠0)在二、四象限,所以选项D正确; 故选:D. 【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质及反比例函数的图象与性质,明确二次函数的开口方向确定a的正负:①开口向下→a<0,②开口向上→a>0,熟记二次函数与y轴的交点确定常数项c的值:①交于y轴正半轴→c>0,②交于y轴负半轴→c<0,③交于原点→c=0;反比例函数中,当k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限,当k<0,双曲线的两支分别位于第二、第四象限. 8.B 【解析】 【分析】
把点P(−2,3)代入反比例函数y=,求出k的值即可. 【详解】
∵点P(−2,3)在反比例函数y=上,∴3=,k=−6.
故选:B. 【点睛】
此题比较简单,考查的是用待定系数法求反比例函数的系数,是中学阶段的重点. 9.C 【解析】 【分析】
延长BA交y轴与点D,根据k的几何意义得出四边形BCOD和△AOD的面积,从而得出
答案第5页,总25页
四边形ABCO的面积. 【详解】
延长BA交y轴与点D,∴【点睛】
本题主要考查的是反比例函数中k的几何意义,属于中等难度题型.理解k的几何意义是解决这个问题的关键. 10.A 【解析】 【分析】
根据反比例函数的性质可知“当k<0时,函数图象位于第二、四象限”,结合四个选项即可得出结论. 【详解】,∴,故选C.
∵反比例函数y=的图象位于第二、四象限,∴k<0.结合4个选项可知k=−1.故选A.【点睛】
本题考查了反比例函数的性质,解题的关键是熟练掌握性质并加以运用.11.3 【解析】 【分析】
根据平行四边形的性质结合反比例函数系数k的几何意义,即可得出SABCO=4S△COD=2|k|,代入
平行四边形
k值即可得出结论.
【详解】
∵点D为▱ABCD的对角线交点,双曲线经过点D,AC⊥y轴,∴S平行四边形ABCO=4S△COD故答案为:3. 【点睛】
本题考查了反比例函数系数k的几何意义以及平行四边形的性质,根据平行四边形的性质以
答案第6页,总25页
及反比例函数系数k的几何意义,找出S平行四边形ABCO=4S△COD=2|k|是解题的关键.
12.【解析】 【分析】
已知S△AOC=,S△BOC=,根据反比例函数k的几何意义可得k1=﹣1,k2=9,即可得两反比例解析式为y=﹣,y=;设B点坐标为(,t)(t>0),由AB∥x轴,可得A点的纵坐标为t,代入y=﹣求得A点坐标为(﹣,t);再证明Rt△AOC∽Rt△OBC,根据相似三角形的性质可得OC:BC=AC:OC,代入数据可得t: =:t,解得t=,由此可得A点坐标为(﹣【详解】,),B点坐标为(3,),即可求得线段AB的长度.
∵S△AOC=,S△BOC=,∴|k1|=,|k2|=,∴k1=﹣1,k2=9,∴两反比例解析式为y=﹣,y=,设B点坐标为(,t)(t>0),∵AB∥x轴,∴A点的纵坐标为t,把y=t代入y=﹣得x=﹣,答案第7页,总25页
∴A点坐标为(﹣,t),∵OA⊥OB,∴∠AOC=∠OBC,∴Rt△AOC∽Rt△OBC,∴OC:BC=AC:OC,即t: =:t,∴t=,∴A点坐标为(﹣,),B点坐标为(3,),∴线段AB的长度=3﹣(﹣)=.
故答案为:【点睛】 .
本题考查了反比例函数y=(k≠0)系数k的几何意义:从反比例函数y=(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线,垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|. 13.
【解析】 【分析】
利用反比例函数的性质求解即可.【详解】
因为电流与电阻成反比,所以,当电流变为10A时,电阻为4910=3.6 【点睛】
掌握反比例函数的性质是解题的关键.14.【解析】
答案第8页,总25页
【分析】
将点坐标代入求解即可.【详解】
因为反比例函数的图像经过(2,,–3),所以函数的表达式为【点睛】
代入点坐标求表达式是解这类题的通法.15. 【解析】 【分析】 见解析.【详解】
当x1 掌握反比例函数的单调性是解题的关键.16.第三【解析】 【分析】 .(1)根据反比例函数的性质可求得比例函数的图象分布在第一、第三象限,所以m−5>0即可求解; (2)设点A(a,),根据三角形的面积列方程即可求出反比例函数解析式. 【详解】 (1)这个反比例函数图象的另一支在第三象限,∵这个反比例函数y=∴m−5>0,解得m>5; 故答案为:第三,m>5; 的图象分布在第一、第三象限,答案第9页,总25页 设点∵ 轴,∴点的坐标为∵,∴∴,反比例函数的解析式为【点睛】 . 此题主要考查了反比例函数的性质,三角形的面积公式,解决问题的关键是根据正比例函数结合三角形ABO的面积求出A点坐标. 17.【解析】 【分析】 作出反比例函数关于x轴对称的图形,然后写出抛物线在反比例函数图象上方部分的x的取值范围即可. 【详解】 反比例函数y=−如图所示,∵点P的横坐标为1,∴点P关于y轴的对称点的横坐标为−1,∴ax2>−即故答案为:−1 18.> 【解析】 【分析】 根据双曲线上的点,直接求出两点纵坐标直接比较.【详解】 则y1>y2.【点睛】 本题直接考查学生代入计算能力,计算能力是学生解决此题的关键.19.【解析】 【分析】 ;;; 根据三角形ABP为直角三角形,然后分类讨论哪个点位于直角点,进行设P点纵坐标进行列等式,即勾股定理解答.【详解】 设点P为(x,2),当点A为直角点,则BP2=AP2+AB2,而根据题目数据,AB2=100,AP2=(x-3)2+4,BP2=(x+3)2+36,解得x=,同理可求出P的其它坐标,分别为;【点睛】 ;;.本题考查了学生对直角三角形勾股定理的运用,分类讨论是解决此题的关键.20.= 【解析】 【分析】 根据简单的图形组合就可将不是很常见的图形变为比较好表示面积的常见图形.【详解】 =1,则S1=S2 答案第11页,总25页 【点睛】 主要考查学生对图形组合表示不规则图形面积的能力,进行适当的图形组合是解决本题的关键.21.(1)8;(2)【解析】 【分析】 找出临界点即可.【详解】(1)8;.∵点在双曲线上,∴,. ∴解得:当所以当时,. 时,大棚内的温度约为【点睛】 理解临界点的含义是解题的关键.22.K=-2 【解析】 【分析】 利用面积求边长即可.【详解】 解:如图:连接 答案第12页,总25页,在双曲线,得 . 由,得,当时,即. 由,得 .,解得. 【点睛】 掌握反比例函数的性质是解题的关键.,23. ;. 【解析】 【分析】 (1)设C点坐标为(x,y),根据k的几何意义得到|k|=2×3=6,而图象在第四象限,则 答案第13页,总25页 k=−6; (2)由于CD=1,则点C(1,y),利用反比例函数解析式确定C点坐标,然后根据待定系数法求直线OC的解析式. 【详解】 设点坐标为∵,的面积是,∴∴而∴,,∴所求反比例函数解析式为∵,即点,; 把代入,得,. ∴ 点坐标为设直线把 ∴直线的解析式为代入得,. 的解析式为:【点睛】 本题考查了反比例函数y=的系数k的几何意义:过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线,所得的矩形面积为|k|.也考查了待定系数法求函数的解析式. 24. ; 点坐标为. 答案第14页,总25页 【解析】 【分析】 (1)中,因为OA=,tan∠AOC=,则可过A作AE垂直x轴,垂足为E,利用三角函数和勾股定理即可求出AE=1,OE=3,从而可知A(3,1),又因点A在反比例函数y=的图象上,由此可求出开k=3,从而求出反比例函数的解析式; (2)中,因为一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A,B两点,点B的坐标为(m,−2).所以3=−2x.即m=−,B(−,−2).然后把点A、B的坐标代入一次函数的解析式,得到关于a、b的方程组,解之即可求出a、b的值,最终写出一次函数的解析式; (3)因为在y轴上存在一点P,使得△PDC与△ODC相似,而∠PDC和∠ODC是公共角,所以有△PDC∽△CDO,,而点C、D分别是一次函数y=x−1的图象与x轴、y轴的交点,因此有C(,0)、D(0,−1).OC=,OD=1,DC=.进而可求出PD=,OP=.写出点P的坐标. 【详解】 过作垂直轴,垂足为,∵,∴ 答案第15页,总25页 ∵∴,.,∴点的坐标为∵点在双曲线上,∴∴,. ∴双曲线的解析式为; ∵点在双曲线上,∴,∴. ∴点的坐标为. ∴,∴ ∴一次函数的解析式为过点作 ;,交轴于点,∵,两点在直线上,∴,的坐标分别是:,. 答案第16页,总25页 即:,∴∵.,∴,∴ 又 ∴点坐标为【点睛】 . 此类题目往往和三角函数相联系,在考查学生待定系数法的同时,也综合考查了学生的解直角三角形、相似三角形的知识,是数形结合的典型题例,它的解决需要学生各方面知识的灵活运用. 25.开机,则时不能喝到超过的水 【解析】 【分析】 首先根据题意求出两个函数的解析式,然后再求出饮水机完成一个循环周期所需要的时间,再计算求出每一个循环周期内,水温超过50℃的时间段,最后根据时间确定答案. 【详解】 ∵开机加热时每分钟上升∴从到,需要分钟,得,设一次函数关系式为:将,代入 答案第17页,总25页 ∴,令,解得 ; 设反比例函数关系式为:,将代入得,∴,将代入,解得; ∴令,解得,. 所以,饮水机的一个循环周期为过∴. 开机,则 分钟.每一个循环周期内,在时间段内,水温超时不能喝到超过的水. 【点睛】 本题考查了反比例函数的应用和一元二次函数的应用,解题的关键是要能从实际问题抽象出数学关系式.26.(1)k=4(2)当【解析】 【分析】 或时,即(3) (1)先把C(1,m)代入y=2x+2可求出m,确定C点坐标,然后把C点坐标代入直线y=可求得k的值; 答案第18页,总25页 (2)根据函数的图象即可求得; (3)先利用直线y=2x+2,令x=0和3,分别确定A点和P点坐标;再通过y=,令x=3,确定Q点坐标,然后利用三角形面积公式计算即可. 【详解】 解:把代入,中得,解得,∴点坐标为把代入得,解得;解得,根据图象可知,当则得到点坐标为令,则,;,则,或时,即;∵对于,令,得到点坐标为对于,令,则,得到点坐标为,∴的面积. 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解题的关键是把两个函数关系式联立成方程组求解.27.(1)y=,y=﹣2x+9;(2)当x<0或<x<4时,k1x+b≥;(3)当x=时,面积最大 答案第19页,总25页 值为,M(,)【解析】 【分析】 (1)首先把P(,8)代入反比例函数解析式中确定k2的值,得到反比例函数解析式;然后把Q(4,m)代入反比例函数确定m的值,再根据P,Q两点坐标利用待定系数法确定一次函数解析式; (2)根据函数的图象即可求得; (3)设M(x,﹣2x+9),则ON=x,MN=﹣2X+9,根据三角形面积公式即可得到关于x的二次函数,将其化为顶点式,即可得到函数的最大值,从而确定M点的坐标. 【详解】 (1)∵点P(,8)在反比例函数图象上,∴8=,∴k2=4,∴反比例函数的表达式为:,∵Q(4,m)在反比例函数的图象上,∴m==1,∴Q(4,1),把P(,8),Q(4,1)分别代入一次函数y=k1x+b中,∴,解得:k1=-2,b=9,∴一次函数的表达式为y=﹣2x+9; 答案第20页,总25页 即反比例函数的表达式:,一次函数的表达式为:y=﹣2x+9; (2)由图象得:当x<0或<x<4时,k1x+b≥.(3)设M(x,﹣2x+9),∴ON=x,MN=﹣2X+9,∴S△MON=×ON×MN=x×(﹣2x+9)=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,∴当x=时,面积最大值为,即M(,). 【点睛】 本题主要考查反比例函数的图象与性质,主要利用了待定系数法求函数解析式,二次函数的最值问题,熟练掌握知识点是解题的关键. 28.(1)y=x+2(2)6(3)x<﹣6或0<x<3 【解析】 【分析】 (1)过A点作AD⊥x轴于点D,根据已知的∠AOC的正弦值以及OA的长,利用三角形函数的定义求出AD的长,再利用勾股定理求出OD的长,即可得到点A的坐标,把点A的坐标分别代入到反比例函数和一次函数的解析式中即可确定出两函数的解析式; (2)根据x轴上点的特征,令一次函数的y=0,求出x的值,确定出点B的坐标,得到线段OB的长,利用三角形的面积公式即可求出三角形AOB的面积; (3)根据图示可知,不等式nx≤﹣2的解集. 【详解】 (1)过A点作AD⊥x轴于点D. ∵sin∠AOC==,OA=5,∴AD=4.在Rt△AOD中,由勾股定理得:DO=3. 答案第21页,总25页 ∵点A在第一象限,∴点A的坐标为(3,4),将A的坐标为(3,4)代入y=,得m=3×4=12,∴该反比例函数的解析式为y=,将A的坐标为(3,4)代入y=nx+2得:n=,∴一次函数的解析式是y=x+2; (2)在y=x+2中,令y=0,则x=﹣3,∴点B的坐标是(﹣3,0),∴OB=3,又AD=4,∴S△AOB=OB•AD=×3×4=6,∴△AOB的面积为6; (3)依题意,得:,解得:或,所以A(3,4),B(﹣6,﹣2),根据图示知,当x<﹣6或0<x<3时,nx≤﹣2. 故nx≤﹣2的解集是:x<﹣6或0<x<3. 【点睛】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,涉及的知识有:勾股定理,待定系数法求函数的解析式,三角形的面积,以及三角函数的定义,用待定系数法确定函数的解析式,是常用的一种解题方法. 29.(1)y=2x+2;(2)y=. 【解析】 【分析】 答案第22页,总25页 (1)由cos∠ABO=,可得到tan∠ABO=2,从而可得到k=2; (2)先求得A、B的坐标,然后依据中点坐标公式可求得点P的坐标,将点P的坐标代入反比例函数的解析式可求得m的值. 【详解】 (1)∵cos∠ABO=∴tan∠ABO=2. ∴k=2.,∴一次函数的解析式为y=2x+2.(2)当x=0时,y=2,∴A(0,2). 当y=0时,2x+2=0,解得:x=﹣1. ∴B(﹣1,0). ∵AC是△PCB的中线,∴P(1,4). ∴m=xy=1×4=4,∴反例函数的解析式为y=. 【点睛】 本题主要考查的是反比例函数与一次函数的交点、锐角三角函数的定义、中点坐标公式的应用,确定一次函数系数k=tan∠ABO是解题的关键. 30.(1)双曲线的解析式为y=;(2)点C的坐标为(2,4)或(8,1). 【解析】 【分析】 (1)根据双曲线上已知点求双曲线解析式,直接代入双曲线上点即可得出双曲线的k;(2)根据题目可以分情况讨论,分别为点C在点A 的上方或者下方,然后进行通过图形分割和组合进行求点C 的位置,具体分割和组合情况见详解.【详解】 答案第23页,总25页 (1)∵点B(﹣4,﹣2)在双曲线∴k=﹣4×(﹣2)=8,∴双曲线的解析式为y=; (k>0)上,(2)根据中心对称性,点A、B关于原点对称,所以,A(4,2). 如图,过点A作AE⊥x轴于E,过点C作CF⊥x轴于F,则S△COF=S△AOE=4. 设点C的坐标为(a,),①如果S△AOC=S△COF+S梯形ACFE﹣S△AOE =S梯形ACFE =×(2+)(4﹣a) =,∵△AOC的面积为6,∴=6,整理得,a2+6a﹣16=0,解得a1=2,a2=﹣8(舍去),∴a=2,此时=4,∴点C的坐标为(2,4). ②如果S△AOC=S△AOE+S梯形ACFE﹣S△COF =S梯形ACFE =×(+2)(a﹣4) =,∴=6,解得:a=8或a=﹣2(舍去)∴点C的坐标为(8,1). 答案第24页,总25页 综上所述,点C的坐标为(2,4)或(8,1). 【点睛】 教学内容 教科书第59页例2及练习十三4~6题。 教学目标 1.能运用反比例知识解决简单的实际问题,培养学生的数学应用意识和解决问题的能力。 2.经历探索反比例应用的学习过程,体会反比例知识与生活的联系。 3.使学生感受事物的普遍联系,受到辩证唯物主义观点的启蒙教育。 教学重点 根据反比例的意义解决有关反比例的实际问题。 教学难点 理解反比例应用题的解题思路。 教学准备 教师先准备好复习题和增加的练习题。 教学过程 一、激趣引入,复习铺垫 1.运一堆煤 车的载重量(t) 辆数(辆) 根据表格中的.内容,你能写出多少个等量关系式? 2.判断 (1)当速度一定,路程和时间成什么比例?为什么? (2)当时间一定,路程和速度成什么比例?为什么? (3)当路程一定,速度和时间成什么比例?为什么? 教师:运用反比例和以前学过的知识,我们可以解决生活中的一些问题。 板书课题:反比例的应用 二、合作学习,探索方法 1?教学例2 引导学生理解题意,找出题中的两种量。 反馈:速度和时间是两种相关联的量。 教师:看到这两种量,你还联想到了哪种量?(路程) 教师:上题中路程是一定的量吗? 着重引导学生明白:“青年突击队”参加泥石流抢险,从出发到目的地的路程是一定的。 教师:路程一定,速度和时间成什么关系?为什么? 反馈:速度和时间是两种相关联的量,速度扩大或缩小几倍,时间反而缩小或扩大相同的倍数,它们的积(路程)一定,所以速度和时间成反比例。 2.解答例2 (1)接着出示例2后面的内容:“出发时接到紧急通知要求3时之内必须到达,他们每时至少需行多少千米?” 让学生说出,现在增加的这个条件和问题应该对应在表的哪个位置?突出让学生找准对应关系。 (2)合作学习:要求学生独立思考后,再试着用多种方法解答这个问题,然后在小组内交流。 交流要求:把思路和解答方法说给自己小组的成员听,把同组同学认为正确的解答方法,请组长板书在黑板上。如果有其他组长已经写在黑板上了,另一组长就不再板书同样的解决方法。如果你用的解答方法,同组的同学不能准确判断对错,或者引起了争议的解答方法,可以自己上来把它板书在黑板上。 学生活动,教师巡视指导。(把黑板分成3大块,供学生板书解答方法) (3)集体交流,结合黑板上的板书,师生共同理解解法: 预设方法1:6×4÷3=8(km) 抽生说出,算式6×4表示什么意思? 预设方法2:解:设他们每时至少行x km。 3x=6×4 x=24÷3 x=8 教师:这样列式的根据是什么? 反馈:根据速度和时间成反比例,它们的路程相等,列出等量关系。 预设方法3:解:设他们每时至少行x km。 6∶x=3∶4或x∶6=4∶3 这种列式的方法有时会在学生中出现,应该由写这种解答方法的同学来说说他的想法。在这里主要还得根据课堂上学生出现的各种解法来引导他们理解解题思路。 三、巩固应用,促进发展 1.基本练习 (1)将例2的最后一句话改编成2道应用题。 如果要想2时到达,他们平均每时需行多少千米? 如果每时行8 km,要几时才能到达目的地? (2)练习十三第4题,先独立完成,再集体订正。 2.对比练习 (1)完成练习十三5题和6题。 教师引导提示:题中有哪两种相关联的量?哪种量是一定的?根据一定的量找出它们的等量关系,再解答。 (2)补充练习:修一条路,原计划每天修400 m,25天完成。实际前4天修200 m,照这样的速度,修完要用多少天?(沟通区别与联系) 小组讨论后反馈: ①每天的米数--天数 ②总米数--天数 反比例知识解答:200÷4×x=400×25 正比例知识解答:200∶4=(400×25)∶x 提问:为什么一道题既能用正比例解答又能用反比例解答呢? 引导学生明白:因为题中既有速度(照这样的速度)一定,也有总米数(一条路长度)一定。 小结:在解答时,一定要认真审题,具体问题具体分析。 说一说生活中还有哪些问题可以用反比例来解答。 四、总结 教学目标: 1.能够写出实际问题中反比例关系的函数解析式,从而解决实际问题。 2.用描点法画出反比例函数的图象,当k0时,双曲线的两支在一、三象限;当k0时,双曲线的两支在二、四象限,双曲线是关于原点的对称图形,这一点在作图时很重要。 3.用一元方程求解反比例函数的解析式,学习中与正比例函数相类比。 4.掌握反比例函数增减性,k0时,y随x的增大而减小,k0时,y随x的增大而增大。 5.熟练反比例函数有关的面积问题。 二.重点、难点 重点:反比例函数的定义、图象性质。 难点:反比例函数增减性的理解。 典型例题: 例1.下列各题中,哪些是反比例函数关系。 (1)三角形的面积S一定时,它的底a与这个底边上的高h的关系; (2)多边形的内角和与边数的关系; (3)正三角形的面积与边长之间的关系; (4)直角三角形中两锐角间的关系; (5)正多边形每一个中心角的度数与正多边形的边数的关系; (6)有一个角为30的直角三角形的斜边与一直角边的关系。 解:成反比例关系的是(1)、(5) 点拨:若判断困难时,应一一写出函数关系式来进行求解。 例2.在同一坐标系中,画出 y8x和y2x的图象,并求出交点坐标。 点悟:y8x的图象是双曲线,两支分别在一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小。并且每一支都向两方无限接近x、y轴。而y2x的图象是过原点的直线。 解: x-4-2-4 11 2216 2 4 4 2 y x-2-16 8x12yx22xy14y4y2x ,2 y8x与直线y2x相交于(2,4),(2,4)两点。 双曲线 点拨:本题求解使用了“数形结合”的思想。 例3.当n取什么值时,y(n2n)x2n2n1是反比例函数?它的图象在第几象限内?在每个象限内,y随x增大而增大或是减小? 点悟:根据反比例函数的定义: yk(k0)2n2n1y(n2n)xx,可知是反比例22函数,必须且只需n2n0且nn11 2ny(n2n)x 解:2n2n02 nn11 2n1是反比例函数,则 n0且n2 n0或n1 即n1 2n 故当n1时,y(n2n)x2n1表示反比例函数 1x k10 双曲线两支分别在二、四象限内,并且y随x的增大而增大。y 点拨:判断一个函数是否是反比例函数,惟一的标准就是看它是否符合定义。 m22m1yx 例4.若点(3,4)是反比例函数图象上一点,则此函数图象必经过点() A.(2,6) C.(4,-3) B.(2,-6) D.(3,-4) (2002年武汉) 点悟:将点(3,4)代入函数式求出m的值。 解:将点(3,4)代入已知反比例函数解析式,得 34m2m1 即m2m112,m2m13 222m22m113112yxxx 将A点坐标代入满足上式,故选A。 点拨:本题中求m2m的值的整体思想是巧妙解题的关键。2y122x2a7a14是反比例函数?求函数解析式? 例5.a取哪些值时,2a3a 解:2a7a141 2解得a132,a25 当a3332a23a2()23()02时,22 当a5时,2a3a25350 y165y22x2a7a14是反比例函数,其解析式为x 当a5时,函数2a3a 点拨:反比例函数可写成ykx,在具体解题时应注意这种表达形式,应特别注意对k0这一条件的讨论。 2mm3y(mm)x 例6.若函数是反比例函数,求其函数解析式。 2 1解:由题意,得 2mm312 mm0 m12,m21 得m0且m1 m2 故所求解析式为y6x16x 点拨:在确定函数解析式时,不仅要对指数进行讨论,而且要注意对x的系数的条件的讨论,二者缺一不可。 2例7.(1)已知yy1y2,而y1与x1成反比例,y2与x成正比例,并且x1时,y2;x0时,y2,求y与x的函数关系式; (2)直线l:ykxb与y2x平行且过点(3,4),求l的解析式。 解:(1)y1与x1成反比例,y2与x成正比例 y1k12x1,y2k2x k1k2x2x1 yy1y2 把x1,y2及x0,y2代入 k12k22 得2k10 k12 k21 2yx2x1 (2)ykxb与y2x平行 k2 又ykxb过点(3,4) 3kb4,b2 直线l的解析式为y2x2 点拨:这是一道综合题,应注意综合应用有关知识来解之。 3.kg/m 例8.一定质量的二氧化碳,当它的体积V5m时,它的密度198 3(1)求与V的函数关系式; (2)求当V9m时二氧化碳的密度。3 解:(1)由物理知识可知,质量m,体积V,密度之间的关系为 mV。由198.kg/m3,V5m3,得 .59.9(kg) mV198 9.9V 3(2)将V9m代入上式,得 点拨:这是课本上的一道习题,它具有典型性,其意义在于此题与物理知识、化学知识形成了很好的结合,且V的取值可变化。 例9.在以坐标轴为渐近线的双曲线上,有一点P(m,n),它的坐标是方程9.911.(kg/m3)9 t24t20的两个根,求双曲线的函数解析式。 ykx的图象是以坐标轴为渐近线的双曲线。所以,不妨设所 点悟:因为反比例函数求的函数解析式为2ykx。然后把双曲线上一点的坐标代入,即可求出k的值。 解:由方程t4t20解得 t126,t226 P点坐标为(26,26)或(26,26) 设双曲线的函数解析式为 ykx,则 将x26,y26代入 ykx,得k2 kx,得k2 将x26,y26代入 y 故所求函数解析式为 y2x 点拨:只需知道曲线 ykx上一点即可确定k。 例10.如图,RtABC的锐角顶点是直线yxm与双曲线点,且SAOB(1)求m的值 (2)求SABC的值 ymx在第一象限的交 解:(1)设A点坐标为(a,b)(a0,b0) 则OBa,ABb SAOB1ab32,ab6 ymx上 又A在双曲线 bma,即abm,m6 (2)点A是直线与双曲线的交点 6ba1315a2315ab3151 ba6或b2315 a0,b0 A(315,315) 由直线知C(-6,0) OC6,OB315,AB315 SABC1(OBOC)AB2 1(3156)(315)12315 点拨:三角形面积和反比例函数的关系,常用来求某些未知元素(如本例中的m) 模拟试题: 一.选择题 m2m9y(m2)x 1.函数是反比例函数,则m的值是() 2A.m4或m2 B.m4 C.m2 D.m1 2.下列函数中,是反比例函数的是() A.yx2 B.y12x C.y11x D.y1x2 3.函数ykx与ykx(k0)的图象的交点个数是() A.0 B.1 C.2 D.不确定 4.函数ykxb与yk(kb0)x的图象可能是() A B C D 5.若y与x成正比,y与z的倒数成反比,则z是x的() A.正比例函数 B.反比例函数 C.二次函数 D.z随x增大而增大 6.下列函数中y既不是x的正比例函数,也不是反比例函数的是() A.y19x B.10x:5y C.y4x 二.填空题 1xy2D.5 7.一般地,函数__________是反比例函数,其图象是__________,当k0时,图象两支在__________象限内。 8.已知反比例函数y2x,当y6时,x_________ a22a 49.反比例函数y(a3)x的函数值为4时,自变量x的值是_________ 10.反比例函数的图象过点(-3,5),则它的解析式为_________ 11.若函数y4x与 三.解答题 y11x的图象有一个交点是(2,2),则另一个交点坐标是_________ 3kyx相交于B、C两点,12.直线ykxb过x轴上的点A(2,0),且与双曲线1已知B点坐标为(2,4),求直线和双曲线的解析式。ykx的图象的一个交点为P(a,b),且P 13.已知一次函数yx2与反比例函数到原点的距离是10,求a、b的值及反比例函数的解析式。 14.已知函数y(m2m)x2m2m12是一次函数,它的图象与反比例函数 ykx的图 1象交于一点,交点的横坐标是3,求反比例函数的解析式。 试题答案: 一.1.B 2.B 3.A 4.A 5.A 6.C 二.7.ykx,k0;双曲线; 二、四 y15x 111.(2,2) 1 8.3 9.1 10.31三.12.由题意知点A(2,0),点B(2,4)在直线ykxb上,由此得 30kb241kb2 k2 b3 1kyx上 点B(2,4)在双曲线4 k12,k2 y2x 双曲线解析式为 13.由题设,得 ba2kba22ab100 a16a28b18b26 k48,k48 a6,b8或a8,b6 14.由已知条件 2m2m02 mm10 y48x m0,m2m2或m1 m1使y3x2 代入y2kx 3x2xk0 因图象交于一点,0 即412k0 1y3x 一、“形”在求“解”中的作用 【例1】已知等腰直角△ABC的顶点B (2, 6) 、C (2, 2) , 求顶点A的坐标. 解:先在平面直角坐标系上确定B、C的位置. 如果以线段BC为斜边, 利用等腰直角三角形的性质较易得到A的坐标为A1 (4, 4) 、A2 (0, 4) ; 如果以线段BC为直角边更易得到A的坐标为A3 (6, 2) 、A4 (6, 6) 、A5 (-2, 2) 、A6 (-2, 6) . 所以A的坐标有六解. 此题不利用图象学生很难求完整. 【例2】试判断方程1x=-x2+2x+1的解的个数. 解:方程的解的个数即是函数y=x1与y=-x2+2x+1图象交点的个数.利用图形易得x的值有3个. 二、“形”在确定某些函数式中的系数符号的作用 这类问题讨论较多的是一次函数y=kx+b中k、b的符号, 反比例函数中k的符号和二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 中a、b、c、b2-4ac的符号三种. 【例3】抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 经过原点, 开口向下且顶点在第二象限, 请判断a、b、c、b2-4ac的符号. 解:先根据题意画出能显示数量特征的示意图. ∵开口向下, ∴a<0. ∵抛物线经过原点, ∴即x=0时, c=y=0. ∵顶点在第二象限, ∴对称轴. 又∵a<0, ∴b<0. ∵抛物线顶点在第二象限且经过原点, ∴抛物线必与x轴有两个交点, 即b2-4ac>0. 三、“形”在求某些函数解析式中的应用 【例4】把抛物线y=-2x2+4x+1向右平移2个单位, 再向上平移5个单位.求所得抛物线的函数解析式. 解:因为抛物线平移时它的顶点与对称轴也随之平移, 顶点的横坐标的值就是对称轴的值, 所以对抛物线的平移要抓住顶点坐标的变化.本例的平移实质上就是“a不变, 顶点动.” ∵y=-2x2+4x+1的顶点坐标是 (1, 3) , ∴平移后的抛物线顶点坐标是 (3, 8) . ∴所求抛物线的函数解析式为y=-2 (x-3) 2+8, 即y=-2x2+12x-10. 四、“形”在讨论函数某些性质时的应用 【例5】已知抛物线如下图, 且︳OC︳=︳OA︳=2, 对称轴x=4, 求抛物线的函数解析式;与x轴的交点坐标;当x取何值时, y=0、y>0、y<0. 解:由图可知A (-2, 0) 、C (0, 2) . ∵A (-2, 0) 且对称轴x=4, ∴B (10, 0) . 即抛物线与x轴的交点坐标为A (-2, 0) , B (10, 0) . 设抛物线的函数解析式为y=a (x-x1) (x-x2) . ∵抛物线的图象经过点C (0, 2) , ∴函数的解析式为 由图易得:当x=-2或10时, y=0; 当-2<x<10时, y>0; 当x<-2或x>10时, y<0. 1. 若函数y=的图像经过点(3,-7),那么它一定还经过点( ). 7. 在下列选项中,是反比例函数关系的为( ). A. 在直角三角形中,30°角所对的直角边y与斜边x之间的关系 B. 在等腰三角形中,顶角y与底角x之间的关系 C. 圆的面积S与它的直径d之间的关系 D. 面积为20的菱形,其中一条对角线a与另一条对角线b之间的关系 D. 1≤k<4 二、 填空题(每题4分,共24分) 9. 如图,反比例函数y=的图像位于第一、三象限,其中第一象限内的图像经过点A(1,2),请在第三象限内的图像上找一个你喜欢的点P,你选择的P点坐标为______. (1) 写出y与x的函数关系式; (2) 画出该函数的图像; (3) x等于多少时,该直角三角形是等腰直角三角形? 18. 京沪高速公路全长1 262千米,汽车沿京沪高速公路从上海往北京. (1) 那么汽车行驶全程所需的时间t(小时)与行驶的平均速度v(千米/时)之间有怎样的关系?t是v的什么函数? (2) 若平均速度为100千米/时,大约需几小时跑完全程? (3) 我们知道高速公路上,小轿车限速120千米/时,张师傅在不违规条件下,从北京到上海,10个小时能到达吗?为什么? (作者单位:江苏省泗阳县实验初级中学) 例1 (2014·徐州)某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx-75. 其图像如图1. (1) 销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元? (2) 销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元? 【思路突破】(1) 由函数y=ax2+bx-75的图像过点(5,0)、(7,16),根据待定系数法,可得二次函数解析式,进而求得顶点坐标可确定最值; (2) 根据函数值大于或等于16,列出不等式,求出x的值,得出单价销售范围. 解:(1) y=ax2+bx-75图像过点(5,0)、(7,16),∴25a+5b-75=0,49a+7b-75=16,解得a=-1,b=20. ∴y=-x2+20x-75=-(x-10)2+25,顶点坐标是(10,25), 即当x=10时,y最大=25. 答:销售单价为10元时,该种商品每天的销售利润最大,最大利润为25元. (2) (方法一)∵函数y=-x2+20x-75图像的对称轴为直线x=10,可知点(7,16)关于对称轴的对称点是(13,16), 又∵函数y=-x2+20x-75图像开口向下, ∴当7≤x≤13时,y≥16. (方法二)由-(x-10)2+25=16, 得x1=13,x2=7. 又∵函数y=-x2+20x-75图像开口向下, ∴当7≤x≤13时,y≥16. 答:销售单价不少于7元且不超过13元时,该种商品每天的销售利润不低于16元. 【解后反思】本题解题关键在于利用二次函数图像的特点,结合待定系数法求解析式,再利用顶点坐标求最值.方法一利用对称点求不等式的解集;方法二通过解方程-(x-10)2+25=16得x1=13,x2=7.两种方法各体现了函数与方程思想的应用,其实很多时候函数问题都可以转化为方程问题来解决. 例2 (2015·安徽)如图2,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图像相交于P、Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x+c的图像可能是( ). 【思路突破】由一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图像相交于P、Q两点,得出方程ax2+(b-1)x+c=0有两个不相等的实数根,进而得出函数y=ax2+(b-1)x+c【解后反思】本题考查了二次函数的图像,直线和抛物线的交点,交点坐标和方程的关系以及方程和二次函数的关系等,函数与方程有着相辅相成的关系,熟练掌握函数与方程问题的相互转化及二次函数的性质是解题的关键. 例3 (2015·连云港)在某市组织的大型商业演出活动中,对团体购买门票实行优惠,决定在原定票价基础上每张降价80元,这样按原定票价需花费6 000元购买的门票张数,现在只花费了4 800元. (1) 求每张门票的原定票价; (2) 根据实际情况,活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策,原定票价经过连续二次降价后降为324元,求平均每次降价的百分率. 【思路突破】(1) 设每张门票的原定票价为x元,则现在每张门票的票价为(x-80)元,根据“按原定票价需花费6 000元购买的门票张数,现在只花费了4 800元”建立方程,解方程即可. (2) 设平均每次降价的百分率为y,根据“原定票价经过连续二次降价后降为324元”建立方程. (2) 设平均每次降价的百分率为y,根据题意得 400(1-y)2=324, 解得:y1=0.1,y2=1.9(不合题意,舍去). 答:平均每次降价10%. 【解后反思】方程应用类型的题目解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解. 例5 (2015·南通)关于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的两个不相等的实数根都在-1和0之间(不包括-1和0),则a的取值范围是______. 【思路突破】首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围,然后根据两个不相等的实数根都在-1和0之间(不包括-1和0),结合函数图像确定其函数值的取【解后反思】关于二次方程的根的分布问题,如果仅仅从方程的角度只考虑Δ>0是远远不够的,这样仅能说明有两个不等实数根而已,要进一步满足两根在-1和0之间,必须将方程转化为对应的二次函数,然后结合二次函数图像的特点(开口方向,对称轴,图像与x轴的交点等)进一步列出参数需要满足的条件方可. 【初中数学《反比例函数的应用》的教案】推荐阅读: 初中数学应用题的教学05-28 初中数学函数教学11-08 初中数学函数教学策略11-04 二次函数初中数学06-10 如何提高初中数学应用题的解题能力08-10 九年级数学下册 第2章 二次函数 2.4 二次函数的应用 2.4.1 二次函数的应用教案 (新版)北师大版06-26 初中数学《平行四边形的性质及应用》说课稿10-07 初中数学二次函数组卷09-22 浅谈创新性教学在初中数学课堂的应用10-15 “几何画板”在初中数学教学中的应用探析10-18初中数学《反比例函数的应用》的教案 篇5
反比例函数教案[模版] 篇6
例谈函数图象在初中数学中的应用 篇7
初中数学《反比例函数的应用》的教案 篇8
初中数学《反比例函数的应用》的教案 篇9