初中数学二次函数组卷

初中数学二次函数组卷（共12篇）

初中数学二次函数组卷 篇1

1、已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点A（3，0），C（﹣1，0）．

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图，点P是二次函数图象的对称轴上的一个动点，二次函数的图象与y轴交于点B，当PB+PC最小时，求点P的坐标；

(3)在第一象限内的抛物线上有一点Q，当△QAB的面积最大时，求点Q的坐标．

2、如图，直线y＝－33x＋3分别与x轴、y轴交于B、C两点，点A在x轴上，∠ACB＝90°,抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A、B两点．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）点M是直线BC上方抛物线上的一点，过点M从作MH⊥BC于点H，作轴MD∥y轴交BC于点D，求△DMH周长的最大值．

3、如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4,0)，并且0A=OC=4OB,动点P在过A,B，C三点的抛物线上.(1)

求抛物线的解析式;

(2)过动点P作PE垂直于y轴于点E,交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为F,连接EF,当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标;

(3)

是否存在点P,使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形?

若存在，求出所有符合条件的点P的坐标;

若不存在，说明理由

4、如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（3，0）两点，点C是抛物线与y轴的交点．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）当0＜x＜3时，求y的取值范围；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△BCM是等腰三角形？若存在请直接写出点M坐标，若不存在请说明理由．

5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（-2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；．

6、如图，已知抛物线经过点A（-1,0），B（4,0）C（0,2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线交抛物线于点Q，交直线BD于点M．

（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？

7、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，且OA＝4，OC＝3，若抛物线经过O，A两点，且顶点在BC边上，点E的坐标分别为（0，1），对称轴交BE于点F．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）点M在对称轴右侧的抛物线上，点N在x轴上，请问是否存在以点A，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

8、如图，一次函数y=－1/2X+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？

(3)在(2)的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐

9、如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（32，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；

（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

10、如图，在平面直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求以C、E、F为顶点三角形与△COD相似时点P的坐标．

11、如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）连接AC，在x轴上是否存在点Q，使以P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

初中数学二次函数组卷 篇2

一、立足教材,理解概念

1. 苏教版初中数学教材的特点

苏教版是江苏教育出版社出版的一系列教材的简称.苏教版初中数学从2004年开始正式的投入到课堂的学习和教学当中,距今已有超过十年的使用历史.相比较于之前的初中数学教材课本,苏教版初中数学教材在内容的设置、知识的衔接等各方面都有所不同,呈现出别具一格的特点,具体表现在以下三个方面:首先,在教材内容的安排上,将一些繁、难、旧的知识点进行有效的删除,从社会的需求和数学的特点出发,遵循初中数学新课程标准的课程基本理念,提高了常用基础教材内容所占的比例,而且这些教材内容大多数是来自实际生活,因此更加的符合初中学生的认知规律,从而便于初中学生的学习.其次,在知识点的安排和衔接等方面,打破了以往初中数学教材中各个知识点之间孤立、零散的局面,以各个知识点之间的共同点为线索,将各个知识有效的串联起来,形成一个整体,从而更加便于学生对教材内容的学习、理解、掌握和运用,进而让学生在思维上树立一个整体观.除此之外,这样也更加便于教师进行教学.苏教版初中数学教材不仅将各个知识点进行有效的结合,更是与其他的学科进行有效的连接,在潜移默化中向学生传递出如果想学好数学也需要学好其他学科的这一学习理念,让学生在学习的过程中做到融会贯通.最后,苏教版初中数学教材以学生是学习的主体,充分尊重学生的主体地位为基本理念,在教学方式的选择上面,改变了传统的填鸭式的教学手段,通过自主学习、合作探究,创设问题等方式,充分调动起学生的学习兴趣,把活动化作为初中数学教学的核心手段,让学生从我要学转变成我想学,从而提高教学的质量和效率.[1]

2. 对二次函数概念的理解

初中学生在心理上正处于一个半成熟、半幼稚的状态,虽然初中生的抽象思维能力相比较于小学生有所提高,但是主要还是以具体思维为主.[2]二次函数作为一个抽象的概念,如果教师在讲解的过程中按照照本宣科的方式进行教学,势必会让一部分的学生无法理解二次函数的概念,从而影响今后的数学学习,因此教师在讲解二次函数概念的过程中应该在联系以前学过知识的基础上,结合实际生活,化抽象为具象,从而更加便于学生去理解.比如,在上课的时候,教师可以和学生一起回顾在初二阶段学过的正比例函数y=kx的函数(k为常数,x的次数为1,且k≠0)和一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0),然后在此基础上,联系学生之前学过的圆的面积公式S=лR2,其中R为圆的半径,当把S换成Y,把л换成常数k,把R换成x,则整个公式便成为Y=kx2.用总长为90m的篱笆围成矩形场地,则矩形面积Y与矩形一边长x之间的关系式为Y=x(90-x)=90x-x2.通过这两个公式可以让学生在思维上对二次函数有一个大概的了解.除此之外,教师在教学的过程中应该多举一些实例,让学生在一个个简单易懂的实例中逐渐理解二次函数的概念,从而加深对二次函数的整体把握,学会举一反三,灵活变通,从而锻炼和培养学生的应变能力.例如,二次函数的一般表现形式为y=ax2+bx+c,当a=0的时候,y=ax2+bx+c变为一次函数y=bx+c,当a=c=0的时候,y=ax2+bx+c变为正比例函数y=bx,因此除了注意自变量x和因变量y之外,更应注意作为常数的a、b、c三个的限制条件,只有这样才能从根本上掌握二次函数的相关概念.

二、丰富形式,激发兴趣

初中数学不管是在知识面的广度,还是所涉及内容的深度与小学数学相比都有一个质的飞越,因此初中成为很多学生数学成绩的分水岭,要么十分好,要么十分坏,在加上与语文、历史等文科相比,数学成天与数字和各种公式打交道,从而让很多学生在学习数学的过程中产生数学不仅难而且枯燥无聊的学习感受,从而大大降低了学生的学习兴趣[3].兴趣是最好的教师,特别在初中阶段,学生的心理还不够成熟,在思想上并没形成相应的责任意识,是否感兴趣就成为初中学生决定是否学习的最大标准,因此教师在教学过程中应该积极引导学生的学习兴趣,在立足传统的教学形式的基础上,汲取先进的教学经验,丰富教学形式,让学生在欢乐愉快的气氛和主动积极的状态中去学习,从而提高学生的学习兴趣.更为重要的是教师应该打破传统教学模式的限制,从教材出发,结合学生的兴趣,将多种教学模式运用到课堂当中,例如传递———接受式、自学———辅导式、探究式教学、概念获得模式等,从而提高学生学习的主动性.例如,在填写二次函数表达式的过程中,有很多学生经常容易将a≠0这个充分必要的条件遗忘,或者不能很好的区分各种函数之间的不同,这时候教师就可以先运用自学辅导式的教学模式先让学生自己思考,然后在通过合作探究的方式,以大家来找茬为教学形式,让学生在游戏中对不同的函数进行有效的区分,寓教于乐,从而调动起学生学习的积极性.

三、勤加练习,培养能力

初中学生在学习的过程中经常存在着明明已经将各种公式烂熟于心,但是在实际的做题和运用的过程中却不知如何下手,不知道如何将各种知识进行灵活的变通和运用的这一情况.针对这种情况,教师在教学的过程中除了要帮助学生将各种公式和概念弄透之外,还应该加强学生的练习,需要注意的是这里的练习并不同于题海战术,应该注重习题的质量而不是习题的数量,让学生在练习不同类型的习题的过程中对不同的知识点进行归纳和总结,从而提高学生的应变能力和归纳能力.虽然数学受学科性质的制约,使得经常只存在唯一和固定的答案,但是在寻求答案和结果的过程中不仅仅只有一种方法而是也有着多种方法,因此教师在教学过程中不应该就只教授和提倡一种固定和唯一的解题思路和方式,应该鼓励学生从不同层面进行思考,允许多种解题思维的存在,培养学生的发散思维,从而提高学生的解题能力.

综上所述,教师在教授苏教版初中数学“二次函数”的过程中,应该在遵循新课程标准相关要求的基础下,立足教材,联系生活,帮助学生深刻透彻的理解二次函数.除此之外,教师应该提高对学生兴趣的重视,丰富多种多样的教学形式,加强对学生发散思维的训练,探索出更好的教学模式,从而促进学生数学思维能力的形成.

参考文献

[1]涂圣德.初中数学“二次函数”的教学案例分析及反思[J].数学学习与研究,2011(22).

[2]孙晓芳.苏教版初中数学“二次函数”的教学实践[J].文理导航:上旬,2013(05).

初中数学“二次函数”教学设计 篇3

1.知识目标

学生能够依据实际问题，寻找变量之间的关系，列出函数关系式，求出自变量的取值范围。

2.能力目标

培养学生数形结合的数学思想，能利用数形结合的数学思维方法思考数学问题，培养学生用数学知识解决实际问题的能力。

3.情感、态度与价值观目标

体验数学来源于生活，应用于生活。理论联系实际，培养学生良好的学习习惯。

二、教学重点和难点

1.重点

列二次函数关系式，求自变量的取值范围。

2.难点

学生数形思想的培养，解决实际问题的能力培养。

三、教学手段

多媒体技术，激发学习兴趣;小组合作交流，学生主动参与。

四、教学步骤

1.复习前面方程的知识，引入二次函数概念，完成由方程到函数的转变

初中数学中二次函数概念至关重要，教师在日常教学中要渗透二次函数的概念。如教师提出问题：设圆的面积为S，半径为R，写出圆的面积函数表达式。教师利用具体的实例，阐述二次函数的概念，y=ax2+bx+c（a≠0）叫做二次函数，学生依据具体实例理解二次函数的概念，并对二次函数的定义域做出明确的解释，弄清y随x的变化而变化，y是x的二次函数。教师明确：这个等式不单是一个方程式，也是两个量的一种变化关系，一个未知数的变化必然引起另一个未知数的变化，第一个未知数叫自变量，第二个未知数就是第一个未知数的函数，两个量之间存在函数关系。完成由方程式向函数概念的转变。

2.創设生活情境，分小组合作，把函数知识应用于生活实际

例如，某超市经营的一种商品，成本价格是每件20元，若按每件25元销售，一个月能售出300件，销售价每涨1元，月销售量就减少50件，当销售价为每件28元时，计算销售量和月利润。教师提出问题让学生分组讨论，（1）商品的月利润与进价、售价、销售量之间存在怎样的关系？（2）如果不改变售价，每件商品利润是多少？一个月的利润是多少？（3）如果每件商品涨x元，每件商品的利润是多少？一个月的利润是多少？在学生对问题初步了解的基础上，分小组合作探究，通过讨论，找到解决实际问题的方法，激发探究问题的主动性。

3.用多媒体展示商品月利润随销售价格变化的图象，渗透数形结合思想

用多媒体课件展示二次函数的图象，形象直观，学生从多维度来体验知识的形成过程，活跃学生的思维，为学生提供动手的机会，学生由知识的接受者变为知识的主动探索者。

教师利用学生的生活经验，将数形结合的实例运用到数学教学中，在课堂上渗透数形结合思想，提高学生用数形结合思想解决实际问题的能力，抽象的函数概念，只有在具体的应用中才能理解深刻，通过用函数性质比较大小等活动，深化函数概念。

4.二次函数概念的形成

教师引导学生观察二次函数关系式，提出问题，学生思考后回答：（1）函数关系式的变量有几个？（2）关系式是几次多项式？学生讨论交流后，教师归纳总结：自变量是何值时，函数值最大。明确二次函数的定义：y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫做x的二次函数，a、b分别是二次函数、一次项的系数，c是常数项。

5.课堂训练

下列函数中属于二次函数的是哪些？（1）y=2x+3，（2）y=3x2+1，（3）y=4x3-x2，（4）y=2x4-2x+5，学生思考后回答。

6.课堂小结

（1）让学生复述二次函数的定义。

（2）让学生联系生活实际，自编二次函数的应用题，列出函数关系式。

7.布置作业

寻找生活中与二次函数有关的实例，将课堂知识延伸到课外。

五、教学反思

1.渗透数形结合的数学思想，培养学生的创新思维

数形结合是根据题设和结论之间的联系，把数学问题数量关系和几何图形结合起来，分析数学问题的数量关系和几何意义，形成探求解决数学问题的思路方法，联系学生的生活实际，将数形结合的实例运用到数学教学中，在课堂上渗透数形结合思想，提高学生用数形结合思想解决实际问题的能力，收到良好的教学效果。

2.运用现代教育技术，锻炼学生判断推理能力

初中阶段是逻辑思维能力形成的重要时期，初中数学函数教学是教学的重点，但函数知识比较抽象，函数概念难以理解。教学中单靠教师的口头讲解，学生容易产生厌倦情绪，引入多媒体教学，可以增强学生学习的兴趣，增加课堂的容量，培养学生的观察力和判断推理能力，收到良好的教学效果。

参考文献：

[1]马旭军.初中数学函数知识教学模式探析.中学教学参考，2010（3）.

[2]董爱国.浅析初中数学函数教学中思维能力的培养.新课程，2009（4）.

初中数学二次函数组卷 篇4

〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1.理解二次函数的概念;2.会把二次函数的一般式化为顶点式,确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向,会

用描点法画二次函数的图象;3.会平移二次函数 y =ax 2(a≠ 0 的图象得到二次函数 y =a(ax+m 2+k 的图象, 了解特 殊与一般相互联系和转化的思想;4.会用待定系数法求二次函数的解析式;5.利用二次函数的图象,了解二次函数的增减性,会求二次函数的图象与 x 轴的交点

坐标和函数的最大值、最小值,了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。

内容

(1二次函数及其图象

如果 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数, a ≠ 0, 那么, y 叫做 x 的二次函数。二次函数的图象是抛物线,可用描点法画出二次函数的图象。(2抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线 y=ax2 +bx+c(a≠ 0 的顶点是 44, 2(2 a

b ac a b--,对称轴是 a b x 2-=,当 a>0时, 抛物线开口向上,当 a<0时,抛物线开口向下。抛物线 y=a(x+h 2+k(a≠ 0 的顶点是(-h , k ,对称轴是 x=-h.〖考查重点与常见题型〗

1.考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如: 已知以 x 为自变量的二次函数 y =(m-2x 2+m 2-m-2额图像经过原点, 则 m 的值是

2.综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角

坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如: 如图,如果函数 y =kx +b 的图像在第一、二、三象限内,那么函数 y =kx 2+bx-1的图像大致是（3.考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中

档解答题和选拔性的综合题,如: 已知一条抛物线经过(0,3,(4,6两点,对称轴为 x =5 3 ,求这条抛物线的解析式。

4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题, 如: 已知抛物线 y =ax 2 +bx +c(a ≠ 0与 x 轴的两个交点的横坐标是-

1、3,与 y 轴交点的纵坐 标是-3 2(1确定抛物线的解析式;(2用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐

标.5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。习题 1:

一、填空题:(每小题 3分,共 30分

1、已知A(3,6在第一象限,则点B(3,-6在第 象限

2、对于y=-1 x ,当x>0时,y随x的增大而

3、二次函数y=x 2+x-5取最小值是,自变量x的值是

4、抛物线y=(x-1 2

-7的对称轴是直线x=

5、直线y=-5x-8在y轴上的截距是

6、函数y=1 2-4x 中,自变量x的取值范围是

7、若函数y=(m+1x m2+3m+1是反比例函数,则 m 的值为

8、在公式 1-a 2+a =b中,如果b是已知数,则a=

9、已知关于x的一次函数y=(m-1x+7,如果y随x的增大而减小,则m的取值 范围是

10、某乡粮食总产值为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨 ,与该乡人口数x的函

数关系式是

二、选择题:(每题 3分,共 30分

11、函数y= 中,自变量x的取值范围((A x>5(B x<5(C x≤5(D x≥5

12、抛物线y=(x+3 2-2的顶点在((A 第一象限(B 第二象限(C 第三象限(D 第四象限

13、抛物线y=(x-1(x-2与坐标轴交点的个数为((A 0(B 1(C 2(D 3

14、下列各图中能表示函数和在同一坐标系中的图象大致是（(A(B(C(D

15.平面三角坐标系内与点(3,-5关于y轴对称点的坐标为((A(-3,5(B(3,5(C(-3,-5(D(3,-5 16.下列抛物线,对称轴是直线x=1 2 的是((A y=12x 2(B y=x 2+2x(C y=x 2+x+2(D y=x 2-x-2 17.函数y=3x 1-2x 中,x的取值范围是((A x≠ 0(B x>12(C x≠ 12(D x<1 2 18.已知 A(0,0 , B(3,2两点,则经过 A、B 两点的直线是((A y=23x(B y=32x(C y=3x(D y=1 3

x+1 19.不论m为何实数,直线y=x+2m与y=-x+4 的交点不可能在((A 第一象限(B 第二象限(C 第三象限(D 第四象限 20.某幢建筑物,从 10米高的窗口 A 用水管和向外喷水,喷的水流呈抛物线(抛 物线所在平面与墙面垂直,(如图 如果抛物线的最高点 M 离墙 1米, 40 3米，则水流下落点 B 离墙距离 OB 是((A 2米(B 3米(C 4米(D 5米

三.解答下列各题(21题 6分, 22----25每题 4分, 26-----28每题 6分, 共 40分 21.已知:直线y=1 2x+k过点 A(4,-3。(1求k的值;(2判断点 B(-2,-6 是否在这条直线上;(3指出这条直线不过哪个象限。22.已知抛物线经过 A(0, 3 , B(4,6两点,对称轴为x=53 ,(1 求这条抛物线的解析式;

(2 试证明这条抛物线与 X 轴的两个交点中,必有一点 C ,使得对于x轴上任意一点 D 都

有 AC +BC ≤ AD +BD。

23.已知:金属棒的长 1是温度t的一次函数,现有一根金属棒,在 O ℃时长度为 200cm, 温度提高 1℃,它就伸长 0.002cm。

(1 求这根金属棒长度l与温度t的函数关系式;(2 当温度为 100℃时,求这根金属棒的长度;(3 当这根金属棒加热后长度伸长到 201.6cm时,求这时金属棒的温度。24.已知x 1,x 2,是关于x的方程x 2-3x+m=0的两个不同的实数根,设s=x 12 +x 22(1 求 S 关于m的解析式;并求m的取值范围;(2 当函数值s=7时,求x 13+8x 2的值;25.已知抛物线y=x 2-(a+2x+9顶点在坐标轴上,求a的值。

26、如图,在直角梯形ABCD中,∠A=∠D=Rt∠,截取AE=BF=DG=x, 已知AB=6,CD=3,AD=4,求:(1 四边形CGEF的面积S关于x的函数表达式和X的取值范围;(2 当x为何值时,S的数值是x的4倍。

D A

B C E F G X X X

27、国家对某种产品的税收标准原定每销售100元需缴税8元(即税率为8% ,台洲经 济开发区某工厂计划销售这种产品m吨,每吨2000元。国家为了减轻工人负担,将税收 调整为每100元缴税(8-x元(即税率为(8-x% ,这样工厂扩大了生产,实际 销售比原计划增加2x%。

(1 写出调整后税款y(元与x的函数关系式,指出x的取值范围;(2 要使调整后税款等于原计划税款(销售m吨,税率为8%的78%,求x的值.28、已知抛物线y=x 2+(2-mx-2m(m≠2与y轴的交点为A,与x轴的交 点为B,C(B点在C点左边

(1 写出A,B,C三点的坐标;(2 设m=a 2-2a+4试问是否存在实数a, 使△ABC为Rt△?若存在, 求出a的 值,若不存在,请说明理由;(3 设m=a 2-2a+4,当∠BAC最大时,求实数a的值。习题 2: 一.填空(20分 1.二次函数 =2(x1 2(x+1 2+3的顶点坐标((A(1, 3(B(1,-3(C(-1,-3(D(-1, 3 13

y=kx2+bx-1的图象大致是(14.函数 y= 1 x + x(A x ≤2(B x<2(C x>x的图象与图象 y=x+1的交点在((A 第一象限(B 第二象限(C 第三象限(D 第四象限 18.如果以 y 轴为对称轴的抛物线 y=ax2+bx+c的图象,如图, 则代数式 b+c-a与 0的关系((A b+c-a=0(B b+c-a>0(C b+c-a<0(D 不能确定 19.已知:二直线 y=2,它们与 y 轴所围成的三角形的面积为((A 6(B 10(C 20(D 12 20.某学生从家里去学校,开始时匀速跑步前进,跑累了后,再匀速步行余下的路程。下图 所示图中,横轴表示该生从家里出发的时间 t ,纵轴表示离学校的路程 s ,则路程 s 与时间 t

三.解答题(21~23每题 5分, 24~28每题 7分,共 50分

21.已知抛物线 y=ax2+bx+c(a ≠0与 x 轴的两交点的横坐标分别是-1和 3,与 y 轴交点的

纵坐标是-3 2;y x O s t o s t o s t o s t o

A B C D x y o x y o x y o 1-1-1 B C D（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标。

22、如图抛物线与直线

都经过坐标轴的正半轴上 A，B 两点，该抛物线的对称 Y B 轴 x=—1，与 x 轴交于点 C,且∠ABC=90°求：(1直线 AB 的解析式；(2抛物线的解析式。C A O X

23、某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增 加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现每件衬衫降价 1 元，商 场平均每天可多售出 2 件：(1若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫要降价多少元，(2每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多?

24、已知：二次函数

和 的图象都经过 x 轴 2 2 2 上两个不同的点 M、N，求 a、b 的值。

25、如图，已知⊿ABC 是边长为 4 的正三角形，AB

在 x 轴上，点 C 在第一象限，AC 与 y 轴交 于点 D，点 A 的坐标为{—1，0，求(1B，C，D 三点的坐标；(2抛物线

经过 B，C，D 三点，求它的解析式； 2(3过点 D 作 DE∥AB 交过 B，C，D 三点的抛物线于 E，求 DE 的长。Y C D E A O B X 26 某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超 100 度 时，按每度 0．57 元计费：每月用电超过 100 度时．其中的 100 度仍按原标准收费，超过部 分按每度 0．50 元计费。(1设月用电 x 度时，应交电费 y 元，当 x≤100 和 x>100 时，分别写出 y 关于 x 的函数 关系式；(2小王家第一季度交纳电费情况如下： 月 份 一月份 76 元 二月份 63 元 三月份 45 元 6 角 合 计 交费金额 184 元 6 角 问小王家第一季度共用电多少度?

27、巳知：抛物线

求证；不论 m 取何值，抛物线与 x 轴必有两个交点，并且有一个交点是 A(2，0；(2设抛物线与 x 轴的另一个交点为 B，AB 的长为 d，求 d 与 m 之间的函数关系式；(3设 d=10，P(a，b为抛物线上一点： ①当⊿AＢＰ是直角三角形时，求 b 的值； ②当⊿ABＰ是锐角三角形，钝角三角形时，分别写出 b 的取值范围(第 2 题不要求写 出过程

28、已知二次函数的图象

二次函数数学教案 篇5

一、重视每一堂复习课 数学复习课不比新课，讲的都是已经学过的东西，我想许多老师都和我有相同的体会，那就是复习课比新课难上。

二、重视每一个学生 学生是课堂的主体，离开学生谈课堂效率肯定是行不通的。而我校的学生数学基础大多不太好，上课的积极性普遍不高，对学习的热情也不是很高，这些都是十分现实的事情，既然现状无法更改，那么我们只能去适应它，这就对我们老师提出了更高的要求

三、做好课外与学生的沟通，学生对你教学理念认同和教学常规配合与否，功夫往往在课外，只有在课外与学生多进行交流和沟通，和学生建立起比较深厚的师生情谊，那么最顽皮的学生也能在他喜欢的老师的课堂上听进一点

二次函数数学教学方案 篇6

教学目标：

1.经历探索二次函数y=ax2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。

2.能够利用描点法作出函数y=ax2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。

3.能根据二次函数y=ax2的图象，探索二次函数的性质(开口方向、对称轴、顶点坐标)。

教学重点：二次函数y=ax2的图象的作法和性质

教学难点：建立二次函数表达式与图象之间的联系

教学方法：自主探索，数形结合

教学建议：

利用具体的二次函数图象讨论二次函数y=ax2的性质时，应尽可能多地运用小组活动的形式，通过学生之间的合作与交流，进行图象和图象之间的比较，表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系，以达到学生对二次函数性质的真正理解。

教学过程：

一、认知准备：

1.正比例函数、一次函数、反比例函数的图象分别是什么?

2.画函数图象的方法和步骤是什么?(学生口答)

你会作二次函数y=ax2的图象吗?你想直观地了解它的性质吗?本节课我们一起探索。

二、新授：

(一)动手实践：作二次函数y=x2和y=-x2的图象

(同桌二人，南边作二次函数y=x2的图象，北边作二次函数y=-x2的图象，两名学生黑板完成)

(二)对照黑板图象议一议：(先由学生独立思考，再小组交流)

1.你能描述该图象的形状吗?

2.该图象与x轴有公共点吗?如果有公共点坐标是什么?

3.当x<0时，随着x的增大，y如何变化?当x>0时呢?

4.当x取什么值时，y值最小?最小值是什么?你是如何知道的?

5.该图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点。

(三)学生交流：

1.交流上面的五个问题(由问题1引出抛物线的.概念，由问题2引出抛物线的顶点)

2.二次函数y=x2和y=-x2的图象有哪些相同点和不同点?

3.教师出示同一直角坐标系中的两个函数y=x2和y=-x2图象，根据图象回答：

(1)二次函数y=x2和y=-x2的图象关于哪条直线对称?

(2)两个图象关于哪个点对称?

(3)由y=x2的图象如何得到y=-x2的图象?

(四)动手做一做：

1.作出函数y=2x2和y=-2x2的图象

(同桌二人，南边作二次函数y=-2x2的图象，北边作二次函数y=2x2的图象，两名学生黑板完成)

2.对照黑板图象，数形结合，研讨性质：

(1)你能说出二次函数y=2x2具有哪些性质吗?

(2)你能说出二次函数y=-2x2具有哪些性质吗?

(3)你能发现二次函数y=ax2的图象有什么性质吗?

(学生分小组活动，交流各自的发现)

3.师生归纳总结二次函数y=ax2的图象及性质：

(1)二次函数y=ax2的图象是一条抛物线

(2)性质

a:开口方向:a>0，抛物线开口向上，a〈0，抛物线开口向下[

b:顶点坐标是(0，0)

c:对称轴是y轴

d:最值：a>0，当x=0时，y的最小值=0，a〈0，当x=0时，y的最大值=0

e:增减性：a>0时，在对称轴的左侧(X<0)，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧(x>0)，y随x的增大而增大，a〈0时，在对称轴的左侧(X<0)，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧(x>0)，y随x的增大而减小。

4.应用：(1)说出二次函数y=1/3x2和y=-5x2有哪些性质

(2)说出二次函数y=4x2和y=-1/4x2有哪些相同点和不同点?

三、小结：

通过本节课学习，你有哪些收获?(学生小结)

1.会画二次函数y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线

2.知道二次函数y=ax2的性质：

a:开口方向:a>0，抛物线开口向上，a〈0，抛物线开口向下

b:顶点坐标是(0，0)

c:对称轴是y轴

d:最值：a>0，当x=0时，y的最小值=0，a〈0，当x=0时，y的最大值=0

初中数学二次函数组卷 篇7

1. 提高学生学习兴趣

数学知识中大部分内容比较枯燥, 并且理解起来具有一定的难度. 学生在学习中容易产生畏难心理. 因此在教学过程中让学生对学习数学产生兴趣非常重要. 二次函数是初中数学知识中的重点内容, 也是每年中考的必考知识点, 教师应激发学生学习的兴趣, 提高学生的学习效率. 科学在发展, 时代在进步, 教学课件也应该跟随前进的步伐. 教师在二次函数教学中, 可以根据实际的生活情况, 创设与函数相关的情境, 并通过应用信息技术帮助学生理解二次函数知识. 平时可以让学生自己动手画二次函数的图像, 感受到画出图形的乐趣, 教师也可以让学生观察发现生活中有哪些事物的图像与二次函数的图像类似, 从而增加学生学习的兴趣并且数形结合形象地记住了二次函数的图像. 另外可以加深拓展, 联系之前学习的函数进行对比, 在学习二次函数之前, 学生已经学习过一次函数y = ax + b, 正比例函数y = ax, 反比例函数, 那么对于二次函数y = c + bx + ax2, 若式子中的a不为零, 这个式子就是二次函数;若a为零, 则是一次函数.所以二次函数只是一个比一次函数复杂一些的函数. 同时进行解释和说明, 解释式子中的关系变化, 前者为自变量, 后者为因变量, 两者之间存在函数关系. 同时教师应安排好课后的练习, 并注意控制作业的数量和难度, 促进学生学习的主动性, 让学生承受适当的学习压力, 促进学生学习能力的提高.

2. 帮助学生理解函数知识

首先应让学生了解二次函数和初中数学相关知识的区别和联系, 提高学生的思维能力、运用所学知识解决问题的能力. 二次函数和其他知识有着紧密的联系, 若分辨不清很有可能出现理解的误区. 因此教师必须让学生明白二次函数和其他数学知识的联系. 如让学生明白一次函数和二次函数、反比例函数之间的关系和区别, 了解函数是表达自变量与因变量之间关系的一种方法. 教师再利用归纳法对其区分, 让学生明白函数可以通过未知数次数、常数项等要素进行分析, 加深学生对二次函数的理解. 同时应让学生掌握数形结合的思维方式, 数形结合是促进学生对知识理解的重要思想, 教师可以利用图像来让学生更好的理解二次函数知识, 通过结合图像来提高学生的观察能力, 并让学生充分理解二次函数的相关性质. 如教师可以要求学生在遇到二次函数时画出相应的函数图像, 并标出二次函数在坐标系中的形状和位置. 如函数y = c + bx + ax2, 可以要求学生根据式子画出相应的图像, 并明确函数图像的顶点位置、开口方向、对称轴等信息, 让学生能够结合图形巧妙地解决遇到的问题. 同时应结合函数图像, 帮助学生进行有效的判断, 形成清晰明确的解题思路, 从而提高学生的逻辑思维能力.

3. 多样化提高学习效率

单一的教学方式无法满足学生的需求, 教师应采取多样化的教学方法来激发学生学习的兴趣, 并通过不同的学习方法获得多种解题的方法. 二次函数是初中数学中的重难点, 教师应根据初中数学的特点, 进行分层式的教学, 充分结合教学的实际情况完善教学程序, 并且应向学生介绍实际生活中所应用的二次函数的范例, 让学生意识到学习二次函数的意义, 激发学生学习的兴趣. 并学会从中不断进行总结和归纳, 让学生建立起二次函数的知识体系, 实现初中数学教学目标. 同时教师应采取正确的方式来提高学生的逻辑思维能力, 让学生能够形成正确的学习方式, 同时让学生不断积累分析判断问题的方法, 促进学生思维的长远发展. 教师还应丰富教学手段, 传统的教学方法主要是教师通过黑板和口头讲解来进行教学, 这种方式无法将初中二次函数知识直观的展示给学生, 因此教师可以借助一些工具来辅助数学二次函数的教学. 教师可以通过信息技术来丰富学生的学习方式.多媒体具有图片、视频、音频等多种功能, 丰富二次函数教学资源, 提高初中数学效率, 并引起学生学习数学的兴趣. 教师可以根据初中二次函数的具体内容来设计制作PPT, 然后在数学课堂上展示, 让学生能够直观的感受知识点, 并让学生能够将知识点和相应的图像共同展示出来, 引导学生更进一步的理解. 如教师可以给出y = c + bx + ax2这个二次函数式的图像, 然后让学生将y = bx + ax2的函数图像画出来, 然后比较这个图像的共同点和不同点, 提高学生分析问题、解决问题的能力. 同时对于数学二次函数教学中比较复杂的函数内容应进行生动有趣的讲解, 引起学生探究和思考的兴趣, 加深学生对数学知识的理解, 促进学生学习效率的提高.

总之, 教师应采取灵活的教学方法帮助学生掌握初中数学二次函数的相关知识点, 并将其与实际生活中的一些案例相结合, 让学生意识到学习函数知识的意义和价值, 让学生产生学习数学知识的动力, 促进学生思维能力和实践能力的提高, 帮助学生更好的掌握初中数学二次函数知识, 保证初中数学教学质量.

参考文献

[1]王正美.初中数学中“二次函数”的教学策略研究[J].学周刊A版, 2014, 04 (8) :45-46.

[2]谭小霞.浅谈初中数学的二次函数教学[J].中国校外教育, 2013, 09 (21) :71-72.

初中数学二次函数组卷 篇8

一、设置趣味性问题，引入二次函数的基本概念

兴趣是学生最好的老师。在初中数学“二次函数”的教学实践中，如何有效激发学生的学习兴趣，成为数学教师教学过程中首先关注的问题。掌握学生兴趣点的激发，需要对学生的兴趣有一个大体的了解，并利用多媒体技术，在教学活动开始时，吸引学生的注意力。例如，在教学活动开始时，教师可以在课堂上播放2分钟的NBA全明星比赛视频，吸引学生的注意力。同时，在视频播放完毕之后，向学生提问：“篮球的运动路线是什么样的曲线？”“如何计算篮球最高点的高度？”通过层次性与系统性的提问，从而激发学生的学习兴趣。

二、加强学生之间的合作学习，提升学生合作学习能力

合作学习是初中数学“二次函数”的教学活动中常用的一种教学方式，在教学实践中起到了较好的效果。合作学习通过教师的积极引导，实现师生、生生之间的有效互动，从而在合作交流中获得知识。合作学习需要在班级中合理、科学划分小组，使小组成员之间能够得到有效互动、优势互补，从而提升学生整体的学习水平。例如，在下面的例题中，如何充分利用合作学习的方法，实现教学质量以及水平的提升，就需要教师加强在其中的引导功能。

例：利用适当的函数解析式表示下列问题中x与y之间的关系：

李先生将月工资存入银行3万元，首先存了一个一年定期，到期后将本息自动转为又一个一年定期，假设一年定期的年存款利率为x，两年后李先生获得本息y万元。

在教学实践过程中，首先进行提问抢答环节，让每个小组派一名代表上台列出上式中的函数表达式，并让学生检查发言，检查所列式子中的错误。其次，观察正确的表达式：y=2（1+x）2，从而观察式子的结构特点。教师可以依据以往的所教知识，另外列出几个函数表达式。最后，教师综合各个小组的观察结果，引导学生建立完整的表达式。在此过程中，要充分调动学生的积极性，通过小组成员之间的有效交流，提升教学质量水平。

三、加强数形结合，拓展学生的想象空间

数形结合是教学过程中尤为重要的方法，也是数学“二次函数”教学活动中重要解题思想。数形结合的最大妙用在于将代数问题有了更大的直观性，从而降低了数学学习的难度。二次函数分析的是运动过程，通过直观的数据分析，从而得到有效的关系式。在这其中锻炼学生的逻辑推理能力，从而提升数学学习素养。

例：二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴只有一个公共点P，与y轴交点为Q。过Q点的直线y=2x+m与x轴交于点A，与这个二次函数的图象交于另一点B。若S?QBP=3S?QPA求这个二次函数的解析式。

在上式中，教师可以引导学生展开画图作业，通过以数助形方式，求出图像上的B点坐标。其次通过引导学生对S?QBP=3S?QPA展开深入分析，构件关于b、c的方程组，从而得出结论。数形结合的教学过程中，需要将教学内容与学生自身水平结合起来，教学过程中如果发现学生难以理解，可以延长教学时间，确保学生对数形结合方法充分掌握。

四、综合利用现代教学技术，提升教学质量

计算机水平的应用，为初中数学“二次函数”的教学提供了有利的教学条件。利用多媒体技术可以直观、简洁的指出教学中的重点与难点，从而降低了学生习的难度。由于“二次函数”描绘的是运动的过程，因此，利用动画可以生动的模拟出运动的过程，从而为学生在画图作业中提供了更多的想象空间。多媒体教学技术的应用，充分实现了教学方式的多元化要求，从而为学生提供了更加直观的数学模型。其次，利用“几何画板”“超级画板”等数学应用软件，能够展现出数学“二次函数”形成过程，使学生对教学内容更加深刻，巩固了教学课堂知识。例如，在二次函数的顶点式y=a（x-h）2+k，学生对于字母系数对图形变化的关系认识不到位，缺乏理解，就可以充分利用几何画板帮助学生加强记忆，正确理解二次函数字母系数与图像变化的内在联系。

五、及时进行教学信息的收集与反馈，及时改进教学方式

学生对于教学方式的反馈需要教师在课堂的后期或者是课下进行信息的有效收集。学生对于课堂内容的信息反馈，是教师教学的重要评价指标，需要教师加强与学生之间的交流与沟通，鼓励学生大胆说出自己的内心想法，避免信息收集过程的形式化。同时，教师的信息收集要有针对性，能够进行深入的实践与探究，积极了解教学过程中薄弱点，并与其他教师加强交流，及时改进自身的短板，从而实现教学活动的高效率与高质量。

初中数学二次函数组卷 篇9

在二次函数教学中，根据它在初中数学函数在教学中的地位，细心地准备《二次函数》的教学，教学重点为二次函数的图象性质及应用，教学难点为与二次函数的图象的关系。根据反思备课过程和讲课效果，感受颇深，有收获，也有不足。

本章的教学是我对选题有了进一步认识，要体现教学目标，要有实际意义。要体现学生的“最近发展区”，有利于学生分析。如为了帮助学生建立二次函数的概念，从学生非常熟悉的正方形的面积的研究出发，通过建立函数解析式，归纳解析式特点，给出二次函数的定义．建立了二次函数概念后，再通过三个例题的分析和解决，促进学生理解和建构二次函数的概念，在建构概念的过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程．体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义．教学主要从“抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性”循序渐进，由特殊到一般的学习二次函数的性质，并帮助学生总结性的去记忆。在学习过程中加强利用配方法将二次函数一般式化顶点式、判断抛物线对称轴、借图象分析函数增减性等的训练。这部分内容就是中等偏下的学生容易混淆，还需掌握方法，加强记忆，强调必须利用图形去分析。通过教学，让学生对建模思想、图形结合思想及分类讨论思想都有了较清晰的认识，学会了分析问题的初步方法。

本章中二次函数上下左右的平移是我觉得上的比较成功的一部分，主要是借助多媒体，动态的展示了二次函数的平移过程，让学生自己总结规律，很形象，便于记忆。

在学习了二次函数的知识后，我们尝试运用于解决三个实际问题．问题是根据实际问题建立函数解析式并学习如何确定函数的定义域；问题二是根据二次函数的解析式，分析二次函数的性质，并通过画函数图像检验作出的分析和判断是否；问题三是综合应用一次函数、二次函数的知识确定函数的解析式和定义域，并尝试解决销售问题中最大利润的问题；通过这三个问题的分析和解决，让学生初步体会二次函数在实际生活中的运用，再次感悟数学源于生活又服务于生活。

教学中，我自认为热情不够，没有积极调动学生学习热情的语言，感染力不足。今后备课时要重视创设丰富而风趣的语言，来调动学生的积极性。

九年级数学二次函数教学反思 篇10

设计意图：

这节课是在学生学习了一次函数、一元二次方程之后的二次函数的第一节课。从课本的体系来看，这节课的知识目标，学生在原有知识的储备基础上是很容易迁移和接受的。那么这节课还有什么好设计的呢？……重新思索教材的编写意图，发现课本这部分内容大部分篇幅是在讲三个实际问题，由此引出了二次函数，我意识到这节课的教学重点是“让学生经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验，从而形成定义”，有了这个认识，一切就变得简单了！

设计流程：

整节课的教学流程概括如下：学生感兴趣的简单实际问题——引出学过的一次函数——复习学过的所有函数形式——设问：有没有新的函数形式呢？——探索新的问题——形成关系式——是函数吗？——是学过的函数吗？——探索出新的函数形式——概括新函数形式的特点——将特点公式化——形成二次函数定义——练习巩固定义特点——返回实际问题讨论实际问题对自变量的限制——提出新的问题，深入讨论——课堂的小结。

这样一气呵成的设计，感觉上无拖沓生硬之处，最关键的是我认为这符合学生的基本认知规律，让学生亲自经历探索和概括的过程，从而形成新知识。

设计说明：

1、对于实际问题的选择，我将4个问题整合于同一个实际背景下，这样设计既能引起学生兴趣，也尽量减少学生审题的时间，显得很有层次性，这些实际问题贯穿整个课堂的始终，使整个课堂有浑然天成的感觉。

2、对于练习的设计，尽量做到每题针对一个问题，并进行及时小结，也遵循了从开放到封闭的原则，达到了良好的效果。

初中数学二次函数组卷 篇11

关键词：初中数学；二次函数；教学方法

新课改后要求二次函数教学不仅要使学生掌握二次函数定义、简单变量之间的二次函数关系，而且要灵活应用二次函数解决生活中的最值问题，使二次函数的教学难度加大，所以优化二次函数教学方法已经成为二次函数教学目标实现的必然选择。

一、深入相关概念引导教学，全面学生对二次函数的认知

抽象的知识容易使初中生在学习的过程中丧失方向，所以教师应利用概念强化学生对二次函数的认识，使其在学习中能够不脱离概念，逐渐深化吸收。二次函数即一个多项式中只存在一个未知自变量且其最高次幂为2，表示为y=ax2+bx+c（a≠0），通过概念学生可对表达式是否是二次函数进行初步判断，教师在教学的过程中，可有意识地引导学生对概念进行深化，例如为什么要强调a≠0，学生在讨论的过程中会发现a=0的情况下，表达式变为y=bx+c，与概念中自变量的最高次幂为2相违背，而b=0或c=0仍能满足概念要求，进而学生会发现二次函数与二元一次方程的区别。教师在学生对概念有所理解的基础上，可以引导学生对学习过的知识中存在的二次函数进行归纳，学生会发现，圆的面积公式等同样属于二次函数，学生的探究过程实质上是学生区别二次函数与其他表达式的实践过程。

二、数形结合方法，辅助学生理解

数形结合可以将抽象复杂的数量关系用直观的几何图形表达出来，不仅可以降低学生理解的难度，而且学生的注意力更容易集中，所以二次函数教学中应用图形结合方法也至关重要，因此引导学生通过图形观察，掌握二次函数的基本性质、特征等，可以使其对二次函数的数量关系、抽象知识等产生更全面的了解。例如，某二次函数的对称轴为x=2，而抛物线上A、B两点的连线与对称轴平行，已知A点坐标为（0，5），求B点坐标。学生在刚接触问题时通常摸不着头脑，但通过画图可以发现A、B两点连线与对称轴平行，这两点的纵坐标将相同，所以B点的纵坐标为5，而A在抛物线上，可以计算获得c和b的数值，进而对x的值进行计算判定，获取B点坐标，此方法使抽象的问题直接具体化，学生可以结合图形逐步探索，符合初中生的思維方式，教学效果更理想。

三、有效提问，逐步探索中提升学生学习兴趣

学生用理论指导实践的能力与其探究意识具有直接关系，所以在教学的过程中教师应有意识地设置与生活相关的二次函数问题，并引导学生探究，这不仅有利于学生对知识点的理解、掌握，而且学习兴趣也更容易调动。例如，教师在引进二次函数例题前，可以有目的地问学生是否见过拱桥，然后让学生描述拱桥的形状。在学生的参与积极性被调动起来的情况下，提问如果这个拱桥需要横跨宽度为14米的河流，其正中央的桥墩已经设定为7米，那么在离河流两侧4米处的桥墩要多高呢，学生在教师提问的过程中会结合生活中拱桥的形状，在脑海中形成相关的画面，当教师将问题向二次函数知识引导的过程中，学生会对抽象的二次函数知识产生具体的认知，提升二次函数教学与生活实践之间的联系。

四、创造某种情境，使学生对二次函数的理解自然强化

在学习二次函数时，教师可以利用现代化教学手段，引导学生对学过的知识进行逐步回忆，例如函数的定义、自变量的定义、一次函数与反比例函数的表达式等，学生在回忆的过程中，会燃起对二次函数进行探知的兴趣，教师在此过程中逐渐引进二次函数的相关知识，学生更容易接受和理解，而且这种方式有利于学生在学习的过程中自主地对不同函数进行区分，使二次函数的理解难度在不自觉中降低，为后期的深入学习奠定基础。由此可见，教师在进行二次函数教学的过程中，通过有意识地创造某种学习情境，可以使学生的思路更加集中、清晰，除这种将学过的函数知识进行汇总的教学情境外，教师还可以为学生打造小组自主探究、讨论论证知识点等情境，其主要目的都是吸引学生注意力，使学生产生自主探究的兴趣和信心，进而在掌握基本知识的基础上，能够灵活地应用。大量实践证明，情境创设教学法应用到二次函数教学中效果较理想，但其对教师课堂把握能力和组织能力等具有较高的要求。

通过上述分析可以发现，二次函数教学目标强调理论与实际相结合，用二次函数的理论知识解决生活中的相关问题，而初中生对抽象知识与实际问题之间的转化能力并不突出，所以初中二次函数教学应有意识地对其教学方法进行优化，并在实际教学中不断完善。

参考文献：

赵玲萍.初中数学二次函数的教学思路分析[J].中学时代，2012（20）：127.

数学思想在二次函数中的应用 篇12

一、方程思想

通过列方程 (组) 求解数学问题的一种解题策略, 我们称之为方程思想.在本章中许多问题都可以通过列、解方程 (组) 解决, 其中方程思想体现最多的是利用待定系数法求二次函数解析式.

例1已知二次函数的图象顶点是 (1, -4) , 且经过点 (3, 0) , 求这个二次函数的解析式.

【分析】为了拓宽同学们的视野, 我们分别采用一般式、顶点式及交点式三种方法求二次函数解析式.

【解法2】因为抛物线的顶点为 (1, -4) , 所以设二次函数的解析式为:y=a (x-1) 2-4, 把 (3, 0) 代入上式, 得a (3-1) 2-4=0, 解得a=1, 则二次函数解析式为:y= (x-1) 2-4, 即y=x2-2x-3.

【解法3】因为抛物线的顶点为 (1, -4) , 且经过点 (3, 0) , 可知抛物线经过点 (-1, 0) , 所以设二次函数的解析式为:y=a (x-3) · (x+1) , 把 (1, -4) 代入解析式, 解得a=1, 则二次函数解析式为:y= (x-3) (x+1) , 即y=x2-2x-3.

【点评】方程思想体现了已知与未知的对立统一关系, 解法1是设一般式求解, 即利用顶点坐标公式和点的坐标满足解析式来列方程组;解法2是利用顶点式求解;解法3利用抛物线与x轴的两个交点, 得到交点式解析式, 然后把点 (1, -4) 代入所设的解析式, 从而得解.显然解法2是本题的最佳解法.

二、数形结合思想

“数无形时少直观, 形少数时难入微”, 数形结合思想就是充分利用数量关系和图形的结合, 寻求解题思路, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合, 从而达到以形助数、以数解形的效果.

例2已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象如图1所示, 有下列5个结论: (1) abc>0; (2) a-b+c>0; (3) 4a+2b+c<0; (4) 2c<3b; (5) a+b>m (am+b) (m≠1) , 其中正确结论的个数有 () .

A.2个B.3个

C.4个D.5个

【分析】观察抛物线的位置走向、关键点的位置坐标以及解析式中各系数与图象的对应关系, 从而作出判断.

【点评】二次函数的图象与二次函数中的字母系数有着密切关系, 利用二次函数的图象信息, 将数与形有效地结合与转化, 根据图象信息转化为方程或不等式再求解, 从而较好地实现以形助数、以数解形的效果, 这也是近几年中考的热点.

三、函数模型思想

函数模型思想意在把错综复杂的实际问题简化、抽象为数量间关系, 即用数学语言描述实际现象.生活中的许多问题, 如最大利润、最小成本、方案最优化等, 常常需要建立函数模型解决.

例3某宾馆客房部有60个房间供游客居住.当每个房间的收费定为每天200元时, 房间可以住满;当每个房间每天的定价每增加10元时, 就会有一个房间空闲.对游客入住的房间, 宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用.设每个房间每天的定价增加x元, 求:

(1) 房间每天的入住量y (间) 关于x (元) 的函数解析式;

(2) 该宾馆每天的利润W (元) 关于x (元) 的函数解析式;当每个房间的定价为每天多少元时, W取得最大值.

【分析】每天的入住量=总房间数-每天的定价增加量÷10, 每天的房间收费=每间定价×每天入住量, 每天的利润=每天的房间收费-各种费用总和.

【点评】二次函数是能够刻画现实生活中某些情境的数学模型.一般先根据题意把实际问题中的条件转为数学条件, 再确定函数解析式, 利用函数解析式去解决实际问题.求解过程中关键要求出自变量的取值范围, 再运用二次函数的性质求解.

四、转化思想

转化思想是将未知问题或难以解决的问题, 通过观察、分析、类比等途径, 转化为我们已解决或易于解决的问题.简单地说, 就是把“新知识”转化为“旧知识”, 把“未知”转化为“已知”, 通过转化, 使复杂问题变得简单.

例4利用函数图象判断方程2x2-x-1=0有没有实数解, 若有, 求出它的解 (精确到十分位) .

【分析】求一元二次方程的近似解可以转化为用函数图象解方程, 这里介绍两种方法:一是看函数y=2x2-x-1与x轴交点的横坐标;二是看二次函数与一次函数图象交点的横坐标, 如看函数y=2x2与y=x+1的图象的交点的横坐标.

【解法1】设y=2x2-x-1, 则方程2x2-x-1=0的解就是该函数图象与x轴交点的横坐标.同学们不妨在平面直角坐标中画出函数y=2x2-x-1的图象, 设其与x轴交点为A、B, 则点A、B的横坐标x1、x2就是方程的解.由图象可知x1≈-0.5, x2≈1.0.

【解法2】在平面直角坐标系中, 画出函数y=2x2与y=x+1的图象, 得到两函数图象的两个交点A、B, 且A、B两点的横坐标x1、x2就是方程的解.由图象可知x1≈-0.5, x2≈1.0.

【点评】转化思想就是换一种方式去思考, 使问题朝着有利于解决的方向去发展.本例把求一元二次方程的近似解转化为利用函数图象解方程, 从而达到化抽象为具体、化复杂为简单的效果.转化思想在本章中有很多的应用, 如通过平移二次函数图象把复杂的二次函数转化为简单的二次函数, 如通过观察二次函数的图象巧妙地求解一元二次不等式问题以及一元二次方程的有无实数解问题, 如把实际问题中的求最值问题转化为二次函数的求最值问题等等.学好用好转化思想, 有如顺水推舟, 能大幅提升解题能力.

五、分类思想

当问题包含多种可能情况, 不能一概而论时, 必须按可能出现的所有情况来分别求解, 这种方法称之为分类讨论思想.分类必须遵循以下两条原则: (1) 每一次分类要按照同一种标准进行; (2) 不重复, 不遗漏.

例5如图2所示, 在平面直角坐标系中, 四边形OABC是菱形, 点C的坐标为 (4, 0) , ∠AOC=60°, 垂直于x轴的直线l从y轴出发, 沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移, 设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N (点M在点N的上方) , 若△OMN的面积为S, 直线l的运动时间为t秒 (0≤t≤4) , 求S关于t的函数关系式.

【分析】当0≤t≤4时, 随着直线l的平移, 点N在线段OC上, 点M可能在线段OA上, 也有可能在线段AB上, 因此计算△OMN的面积时要进行分类讨论.

例6若函数y= (a-1) x2-2ax+a与x轴总有交点, 求a的取值范围.

【分析】由于题设中未说明函数的次数, 也未说明图象与x轴的交点个数, 因此题设中的函数可能是二次函数也可能是一次函数.

解:当a-1=0时, 即当a=1时, 原函数是一次函数y=-2x+1, 显然与x轴有一个交点.当a-1≠0时, 解得a≠1, 原函数为二次函数, 由函数与x轴总有交点, 可得:Δ=4a2-4 (a-1) a≥0, 最终得a≥0且a≠1.综上可得, a的取值范围为a≥0.