函数奇偶性

2024-11-10

函数奇偶性（共12篇）

函数奇偶性篇1

函数是中学教学的一条主线,也是高中数学的核心内容,要真正掌握函数,其中最主要的就是函数的基本性质,并通过其性质解决函数问题,本文将通过函数的奇偶性及其综合应用探讨函数中的有关问题。

一、对函数的奇偶性定理的探究

定义:(1)一般地,如果对于函数y=f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)叫做偶函数。

(2)如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数y=f(x)就叫做奇函数。

对定义的理解:

1.由等式f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)可知,f(x)在x与-x处都有意义,所以,函数的奇偶性存在的前提条件是定义域必须是一个对称空间。

例1:判断函数的奇偶性。

所以是偶函数。

错解的原因是忽略了函数的定义域。

正解:因为函数的定义域是

而函数在处有意义,显然定义域不对称。

所以此函数是非奇非偶函数。

2.由定理中相关的等式f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)变形得

在处理具体问题时,有时候运用(*)式子判断函数的奇偶性比较容易。

例2:已知函数判断该函数的奇偶性。

解:函数的定义域是-∞,+∞,

所以该函数是奇函数。

在处理该问题若运用f(-x)=-f(x)来判断结论:

学生不易想到分子有理化。

3.图象特征

(1)奇函数的图象关于原点对称,奇函数在其对称区间上单调性相同。

特别地:若奇函数在x=0处有意义,则有f(0)=0。

(2)偶函数的图像关于y轴对称,偶函数在其对称区间上的单调性相反。

例3:已知函数是R上的奇函数,求a的值。

又因为f(x)是R上的奇函数,

所以f(0)=0,即,即2a2=1,

综合(1)、(2)可得。

二、函数的奇偶性综合应用探究

在函数中往往是把函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性联系起来解决实际问题。

例4:设f(x)是R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)=＿＿＿＿＿＿。

A.0.5 B.-0.5 C.1.5 D.-1.5

解:因为f(x)是R上的奇函数,

所以点(0,0)是其对称中心。

又因为f(x+2)=-f(x)=f(-x),

即f(1+x)=f(1-x),

所以直线x=1是y=f(x)的对称轴。

故y=f(x)是周期为2的周期函数,

所以f(7.5)=f[8+(-0.5)]=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5

故答案为B。

例5:已知函数f(x)的定义域为D={x|x≠0},且满足对于任意x1,x2∈D,有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)。

(1)判断f(x)的奇偶性。

(2)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)≤3且f(x)在(0,+∞)上是增函数,求x的取值范围。

解:(1)令x1=x2=-x,

得f(x2)=f(-x)+f(-x),

所以f(-x)=f(x),故该函数为偶函数。

(2)因为f(4)=1,

所以f(16)=f(4)+f(4)=2,

f(64)=f(16)+f(4)=3,

因为f(3x+1)+f(2x-6)≤3,

所以f(3x+1)+f(2x-6)≤f(64),

又因为f(x)在(0,+∞)上是增函数且f(x)是D上的偶函数,

解得或3<x≤5,

所以x的取值范围是

对于奇偶函数,不仅要在形式上记住f(-x)=f(x)及f(-x)=-f(x),还要理解概念的前提:一是定义域的对称性,二是值域的对称性。正是这两个对称性,构成了奇偶函数图象的对称性。因此,对函数奇偶性的认识还应结合函数的图象来理解,同时,通过对函数奇偶性这一重要性质的理解还可以加深对函数的进一步认识。

数学是一门演绎性很强的学科,而教材中很多概念、公式、定理的展示过程往往没有详细完整地给出,只给出完美的结论,这就要求教师在课前深入钻研教材,精心设计,在课堂中渗透教学思想和方法,克服学生思维的被动性。

以上仅对函数的奇偶性略作探讨,更多本质的东西及其综合应用还有待读者去挖掘。总之,学好数学的关键是透过现象看本质,若能把数学中的概念、公式、定理等基本知识点弄通弄透,系统地、有机地存储在大脑中,学好数学指日可待。平时多开展研究性学习,这不仅能跳出“题海”,还能巩固基础知识,准确把握数学概念,掌握数学思想方法,深化数学的本质内涵,养成学求甚解的良好学风,正所谓:吹尽黄沙始到金,字里行间取真经。

函数奇偶性篇2

1、先分解函数为常见的一般函数，比如多项式x^n，三角函数，判断奇偶性。

2、根据分解的函数之间的运算法则判断，一般只有三种种f(x)g(x)、f(x)+g(x），f(g(x))（除法或减法可以变成相应的乘法和加法）

3、若f（x）、g(x）其中一个为奇函数，另一个为偶函数，则f(x)g(x)奇、f(x)+g(x）非奇非偶函数，f(g(x))奇。

4、若f（x）、g(x）都是偶函数，则f(x)g(x)偶、f(x)+g(x）偶，f(g(x))偶。

函数奇偶性判断的常见误区篇3

误区一忽略定义域

例1 判断函数f(x)=2x2+2xx+1的奇偶性.

错解因为f(x)=2x(x+1)x+1=2x，所以f(-x)=-2x=-f(x).

所以函数f(x)是奇函数.

剖析在刚学完函数奇偶性的概念时，对于这道题，大约会有30%的同学出现上述解答错误而不自知.事实上，根据奇（偶）函数的定义中“x的任意性”我们可以知道，“对于定义域内任意的x，都有f(-x)=-f(x)（或f(-x)=f(x)）成立”这句话首先就意味着“f(-x)有意义”，也就是说，奇（偶）函数的定义域必定关于原点对称！再换一种说法，那就是：如果一个函数的定义域不关于原点对称，那么它一定是非奇非偶函数.因此，我们在判断函数的奇偶性时强调要有定义域“优先意识”.

正解因为f(x)的定义域{x|x≠-1}不关于原点对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

例2 证明函数f(x)=x2-2x+3,

x＞0,0,

x=0,

-x2-2x-3,x＜0是奇函数.

剖析证明本题时，很多同学往往会给出诸如“当x＞0时，有f(-x)=-f(x)，所以此时函数f(x)是奇函数；同理，当x＜0及x=0时，函数f(x)也都是奇函数，所以函数f(x)在（-∞,+∞）是奇函数”的论证过程.乍看起来，这一过程好像没有什么问题，但是函数的奇偶性是定义在整个定义域上的，在定义域内的某个区间上谈函数的奇偶性是没有道理的，将定义域随意分割来证明函数奇偶性是不正确的！因此，判断（或证明）分段函数的奇偶性时一定要在“分段函数，分段处理”的基础上，强化定义域“整体意识”.

证明当x＞0时，-x＜0,则f(x)=x2-2x+3,f(-x)

=-(-x)2-2(-x)-3=-x2+2x-3

=-(x2-2x+3)=-f(x);

当x=0时，f(x)=0=-f(-x);

当x＜0时，-x＞0,则f(x)=-x2-2x-3,f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=x2+2x+3=-(x2+2x+3)=-f(x).

无论x＞0，x＜0还是x=0，总有f(-x)=-f(x)，所以函数f(x)在(-∞,+∞)是奇函数.

误区二转化意识不够

例3 函数f(x)=lg(x2+1-x)是函数.

A. 奇

B. 偶

C. 既奇又偶

D. 非奇非偶

剖析本题容易错选D.出错的原因主要有两个：一是不会求定义域；二是缺乏利用函数奇偶性的定义结合对数的运算法则进行合理转化的意识和能力.

事实上，本题可以这样判断：

因为x2+1＞x2=|x|≥x恒成立，所以f(x)的定义域为R；又f(x)+f(-x)=lg(x2+1-x)+lg(x2+1+x)=lg1=0，所以f(x)=-f(-x),故f(x)是奇函数.

正确答案为A.

误区三定义式理解不清

例4 已知f(x)是一个定义在R上的函数，求证：

(1) g(x)=f(x)+f(-x)是偶函数；

(2) h(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.

剖析这道题是课本中的一道复习题，意在通过一个简单的抽象函数奇偶性的判断，来考查同学们对函数奇偶性概念的理解，尤其是对定义式的整体把握情况.尽管本题十分简单，但肯定还是会有同学对这种抽象函数的处理很不适应，即使硬套定义式证出了结果，头脑里也还模模糊糊，有种似是而非的感觉.

事实上，欲证g(x)是偶函数，依定义，只需证g(-x)=g(x)即可；而g(-x)=f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)=g(x)显然成立，命题得证.同理，h(x)=f(x)-f(-x)=-[f(-x)-f(x)]=-h(-x),是奇函数.

有兴趣的同学请思考：

“任何一个定义在R上的函数f(x)都可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和”这句话正确吗？为什么？

由f(x)=[f(x)+f(-x)]+[f(x)-f(-x)]2及例4的结论,可知该命题正确.

例5 定义在R上的函数f(x)，对任意的x，y∈R均有：f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(0)≠0.求证：f(x)是偶函数.

剖析本题选自我校2006年高一第一学期期中数学试卷，和例4一样，同属抽象函数奇偶性的判断问题，但对函数奇偶性定义式的理解比例4考查得更加深入、灵活，对高一同学来说有一定的难度.有好多同学是这样证明的：

在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中令y=x,得f(2x)+f(0)=2f2(x)，①

再令y=-x,得f(0)+f(2x)=2f(x)f(-x)②

比较①、②两式，可得2f2(x)=2f(x)f(-x)，即f(-x)=f(x)，故f(x)是偶函数.

上述证法基本能扣住偶函数的定义式f(-x)=f(x)，证明过程似乎也没有什么问题，但是整个过程没有用到题设条件f(0)≠0！此条件是否多余？再细细推敲，你就会发现，上述证明的最后一步犯了逻辑上不能推出的错误——当f(0)=0时，得不到f(-x)=f(x)！而根据题设又不能排除“f(x)=0”的可能性.

正确的证明过程如下：

在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中令x=y=0，得2f(0)=2f2(0)，又f(0)≠0，故f(0)=1.

再令x=0，则有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y)，所以f(-y)=f(y)，即f(-x)=f(x)，故f(x)是偶函数.

很多同学认为，要证f(x)是偶函数，就是要证f(-x)=f(x)，他们压根儿就没有想过还可以令x=0，得出f(-y)=f(y),即为f(-x)=f(x),这样对定义式的理解是死板的、机械的，没有抓住本质.

对于前面同学的证法，可以在最后补上分类证明“当f(x)≠0时，有f(-x)=f(x)成立；当f(x)=0时，必有f(-x)=0，此时也满足f(-x)=f(x)，故f(x)是偶函数”.不过这样一来，问题就又凸现出来了：没有“f(0)≠0”这一条件照样能证明f(x)是偶函数？！那么，若“f(0)=0”，究竟会产生什么样的情况呢？有兴趣的同学不妨作一番探究.

巩固练习

1. 函数f(x)=x2+2|x|-1，x∈[0,+∞）是函数.

A. 奇

B. 偶

C. 既奇又偶

D. 不奇不偶

2. 已知函数f(x)是一个定义在R上的奇函数，且x＞0时，f(x)=1.试求函数f(x)的表达式.

3. 判断函数f(x)=lg(1-x)-lg(1+x)的奇偶性.

4. 已知定义在R上的函数f(x)满足条件：对任意的x，y∈R，总有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数.

谈谈“函数的奇偶性”的教学篇4

1 讲授基础知识,要注意加强过程。

教材是按演绎的方法写的,比较注意逻辑上的相通,但是对知识的发生,发展阐述较少,教学要把这个过程体现出来。二是学生思维过程的还原。要遵循学生认识过程的规律,教学概念时,不能直接把概念端给学生,一定要有个过程,要把这个概念还原出来。在过程中教师要循循善诱,,让学生展开思维,并加以正确的引导。教者可以通过对以下三个函数对应数表的编制,观察,对比和归纳来创设问题情景,加强了知识形成过程的教学,做好两个还原工作。

请说出下列函数的定义域,并完成对应的数值表。

师生共同填好三张数值表。教师提出问题:

(1)观察以上三表,当自变量x在定义域内取互为相反的两个数时,对应的函数值有何关系?

(2)再看看从函数的解析式能否得到相同的结论?

通过师生的共同总结得到奇函数与偶函数的定义:

一般地,对于函数f(x)

(1)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。

(2)如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。

根据函数奇偶性的定义得到下列两个定义:

(3)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数,称为既奇又偶函数。

(4)如果对于函数定义域内的任意一个x,f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)都不能成立,那么函数f(x)既不是奇函数又不是偶函数,称为非奇非偶函数。

2 讲授基础知识,要注意概况,进而推广为同类事物的本质属性或特征

提出问题:两个定义的相同处是什么?两个定义的不同处是什么?(提问后总结概况)

相同:这里的“任一”和“都有”是两个关键词。象对第(3)个函数f(x)=x+1来讲,当x=0时,可得f(-x)=f(x)=1,但当x在在定义域内取其它值时,f(-x)f(x),因此不满足“任一”和“都有”的要求。这里还应该注意,如果我们设定义域为M,则因为x M,-x M,所以M一定是关于原点对称的区间,既奇、偶函数的定义域关于原点对称。

不同:等式不同,名称不同。

做出以上集中结论就叫做判断函数的奇偶性。综上所述,你认为应该怎样判断一个函数的奇偶性?判断后的结论是什么?(提问后总结概况)

(1)先看函数的定义域是否关于原点对称;

(2)再看等式f(-x)=-f(x)或者f(-x)=f(x)是否成立。

判断后所得的结论为函数是奇函数或者偶函数或者非奇非偶函数。

讲授基础知识,第一要注意概况,概况有两层意思:一是归纳出某种事物一般的,共同的属性和特征;二是推广为同类事物的属性和特征,即迁移。教师在提出定义后,引导学生比较两个定义的相同处与不同处是什么从而概括出判断函数奇偶性的方法。一切学习的迁移和知识的应用,都离不开概况。这里概况的过程尽量注意了师生的共同活动,判断函数奇偶性方法的获得是师生双边活动的结果。

3 记忆是智慧的仓库

例1判断下列函数的奇偶性

(1)f(x)=2+3;

(2)f(x)=+;

(3)f(x)=;

(4)f(x)=.

教师在解题格式上作了适当示范后,以上几题分别由学生口答或笔答,并再次强调要先看函数的定义域是否关于原点对称。

例2已知函数f(x)是奇函数,并且在(0,+)上是增函数,f(x)在(,0)上是增函数还是减函数?

问题一:本题有几个已知条件?有没有给出明确的结论?如何判断f(x)在(,0)上是增函数还是减函数?

由学生回答(有三个已知条件,没有给出明确的结论。要判断f(x)在(,0)上是增函数还是减函数,只要在(,0)上任取自变量的值,然后再比较f()与f()的大小。)。师生共同写出解法(略)并概括出解题步骤:(1)设值;(2)转化;(3)用性质;(4)判断。

记忆是知识的仓库。记忆的方法有:(1)抓住输入信息,表象记忆。(2)掌握特点规律,组织记忆。(3)对比类比,联想记忆。(4)提炼概况,口诀记忆。(5)式形结合,图示记忆。教师对奇,偶函数的定义及奇偶性判断的方法,采用了对比,类比,联想记忆。对例2的解题步骤,采用提炼概况,口诀记忆。

问题二:例2的已知条件有三个,题目没有给出明确的结论。你能否改变例2的条件,得到新的问题吗?

回答1:例2可改为:已知函数f(x)是偶函数,并且在(0,+)上是增函数,f(x)在(,0)上是增函数还是减函数?

回答2:例2可改为:已知函数f(x)是奇函数,并且在(0,+)上是减函数,f(x)在(,0)上是增函数还是减函数?

回答3:例2可改为:已知函数f(x)是偶函数,并且在(0,+)上是减函数,f(x)在(,0)上是增函数还是减函数?

回答4:把以上四个问题中的区间(0,+)与(,0)対调一下,又可以得到四个新的问题。

那么这些新问题怎样解答呢?引导学生按照四步(设值,转化,用性质,判断)解题步骤进行。

例2是开放型问题,是数学教材中不多见的一种题型。解答开放型问题需要学生去观察,实验,类比,归纳,猜测出条件或结论,然后严格证明。这时,学生要做一个发现者,研究者,探索者。教学开放型问题有利于提高学生的观察,联系,分析,推理与猜想的能力。教师要抓住这个机遇,在例2的教学中重视了审题,引导学生回忆与联系了函数的单调性的判断方法,展现了分析与综合的思维过程,归纳了推理的步骤。在此基础上,让学生变更题目的条件,提出猜想。青少年学生思维活跃,开发,具有丰富的想象力和强烈的好奇心,带有挑战性的开放型问题,使他们的才华有了用武之地。在大胆猜想后,教师又引导学生证明,注重培养推理意识。所以解题教学可以培养学生良好的教学思维能力。

通过本课学习,学生需掌握教学基础知识(奇,偶函数的定义,判断函数奇偶性的方法。)与数学思想方法(归纳:具体抽象,特殊一般;转化:未知已知)。

数学思想是从教学内容中抽象总结出来的,他能提示思考的方向,它带有普遍的应用意义。教学中渗透基本的数学思想,无疑对发展学生的思维能力是有益的。中职数学的数学思想主要有集合与对应的思想,函数与方程的思想,数形结合的思想,分解与组合的思想,相互转化的思想等。本课渗透了多种数学思想,教师在总结时,不但总结基础知识,也总结数学思想方法。注重培养学生的数学观念,有利于知识和能力的进一步迁移。教学的对象是学生,外因是通过内因起作用,没有学生的积极性,发展思维能力也就成了一句空话,学生的参与程度直接影响教学成果。教师注意课题上师生的情感交流,提问或讲评多用激励性的语言。如观察三张表中对应的函数值有何关系?两个定义的异同是什么?你认为应该怎样判断函数的奇偶性?你能改变例2的条件,得到新的问题吗?这些新问题怎样解答?教师积极引导学生不断地发现问题,解决问题,从而使学生在发现问题和解决问题的过程中体验到成功感,满足感,快乐感和自尊感。增强了学生解决问题的细心和毅力。培养了学生对数学的兴趣,爱好,激发了学生学好数学的内在动机。教师通过引导学生积极参与教学全过程,把培养学生学习数学兴趣的工作贯穿于讲授新课之前,概念命题的教学之中,问题的探索与解决之时,以及实际应用数学知识之日。

参考文献

[1]丁茂荣.初等函数的主要性质.数学教学研究[J].2005年第四期.

[2]经柏龙.教师专业化背景下的教育理论与实践[M].沈阳:辽宁人民出版社,2005.

[3]张芳盛,李世杰.函数中容易混淆的典型个例剖析(第一版)[M].上海:上海大学出版社:63-106.

《函数的奇偶性》评课篇5

这堂课给人的感觉是水到渠成，如沐春风，教师教得亲切，自然，活泼，学生学得轻松愉快，有以下优点值得我们学习:

1、本节课教师教学设计合理，教学内容难度符合该班学情。教学过程从特殊到一般，利用一元二次函数图像引出偶函数概念，利用反比例函数图像引出奇函数概念。

2、这节课上的很好，充分利用多媒体技术形象展示了函数图像的性质，还采用了数学中的类比法、观察法等帮助学生去记相关概念。

3、这节课采用了从启发式到发现式到探究式的教学方法，达到了预设的效果。依据由图形进一步启发学生研究函数奇偶性,让学生从图形中发现结论。

4、数学概念是构建数学理论大厦的基础。清晰、准确的数学概念是正确思维的前提,也是提高解题能力的必备条件,因此, 函数的奇偶性这个数学概念如何提出、理解,引导学生如何探索、发现,是本教学设计的重点与难点。

函数的周期性与奇偶性篇6

一、函数的周期性

一般地说，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使取定义域内的每一个x值时， f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。理解周期性要注意以下几点：1.定义适合定义域中的每一个x值。2.并不是所有周期函数都存在最小正周期，如常数函数f(x)=c，所有的正数都是它的周期，但没有最小值，故常数函数没有最小正周期。3.周期函数的周期不止一个，若T是周期，则kT(?资∈?篆+)也是周期。4.周期函数的定义域一定是无限集，而且定义域一定无上界或无下界。5.设a为非零常数，若对于f(x)定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立：①f（x+a）=-f (x) ②f（x+a）= ③f（x+a）=- ④ f（x+a）=⑤ f（x+a）=⑥ f（x+a）=f（x-a），则函数y=f（x）是周期函数。

二、函数的奇偶性

如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f（-x）=-f（x），那么函数y=f（x）就叫做奇函数；如果对于函数（x）定义域内的任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数y=f（x）为偶函数。理解奇偶性要注意以下几点：1.定义域必定关于原点对称，即定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件。2.奇偶性是研究函数在整个定义域内的函数值的对称问题。3.若函数f（x）既是奇函数又是偶函数，则f（x）=0，反过来不一定成立，如：f（x）=0（-1

三、周期性与奇偶性的结合

周期性解决的问题是自变量相差常数（周期的倍数）时，对应的函数值相等；奇偶性解决的问题是自变量互为相反数时，函数值的关系。当求某一函数值时，可以先考虑一方面进行变化，如得不到结果，再从另一方面进行变化，从而解答相关问题。现举例如下：

例1：已知f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，且当 x∈（0，1）时，f（x）=2x-1 ，则f（log212）的值为。

解析：∵3

∴f（log212） =f（log212-4）=f（4-log212）=24-log212-1=

评析：函数的周期为2，则自变量相差2的整数倍的函数值相等，但只给了（0,1）时的解析式，所以再利用偶函数性质，互为相反数的两个自变量对应的函数值相等，得出所要求的函数值。

例2：（2010?安徽卷）若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f（1）=1，f（2）＝2 ，则f（3）-f（4）= （） A.-1 B.1 C.-2 D.2

解析：由周期性得f（3）=f（-2），再由奇函数得 f（-2）＝-f（2） ∴f（3）=-f（2）同理f（4）＝-f（1）∴f（3）-f（4）=f（1）-f（2）=1

评析：函数是奇函数可求互为相反数的两个自变量所对应的函数值，周期可得自变量相差5的倍数的函数值相等。只有两个性质灵活运用才能顺利解决问题。

练习：已知f（x）是定义在R上的以4为周期的偶函数，若当x∈（0，2）时，f（x）=lg（x+1），则有（）。A.f（-）>f（1）>f（） B.f（-）>f（）>f（1） C.f（1）>f（-）>f（）

D.f（）>f（1）>（-）B. （答案A）

例3：已知定義在R上的函数f（x）既是奇函数，又是周期函数，T是它的一个正周期，若将方程f(x)=0在闭区间[-T,T]上的根的个数记为n，则n可能为（）A.0 B.1 C.3 D.5

解析：∵f （x）为奇函数且周期为T，∴f(0)=0 ∴ f(T)=f(-T)=0 又∵ f(-)=f(-+T)=f()=-f(∴f()=0, f(-)=0 ∴f(x) 在 [-T,T]上至少有5个根。(答案D)

评析：1.奇函数定义域包含0，则f(0)=0。2.奇函数得出 f(-)=-f(),周期性得出 f(-)=-f() ∴f()=0。此题通过两个性质的巧妙结合可以培养学生分析问题和解决问题的能力。

练习：若f(x)是R上周期为3的奇函数，且f(2)=0，则方程f(x)=0在区间（0，6）内的解至少有（）。 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 (答案D )

例4：已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称，并且x∈(0,1]时，f(x)=x2+1，则f(462)的值为（）。A.2 B.0 C.1 D.-1

解析：由奇函数得f(x)=-f(x)，由图象关于直线x=1对称得 f(-x)=f(2+x)∴f(2+x)=-f(x)∴T=4 ∴f(462)=f(2)=f(0)=0

评析：函数既有奇偶性，又关于直线x=a(a≠0)对称，则函数必为周期函数，又奇函数f(0)=0，结合关于x=1对称，∴f(2)=f(0)=0 ∴f(462)=0

练习:已知函数f(x)是定义在R上的偶函数且满足f(x+1)+f(x)=3，当 x∈[0,1]时f(x)=2-x，则f(2011.5)= 。（答案1.5）

函数的周期性和奇偶性的结合自然巧妙，旨在考查学生理解定义和灵活运用所学知识的能力，是培养学生分析问题、解决问题的很好的题型。以上是我对函数周期性和奇偶性的一点认识，愿与各位同仁共同探讨。

函数奇偶性篇7

一、在函数奇偶性教学中应用信息技术的动态性

动态性是信息技术的特点之一,也就是可以利用信息技术和设备动态形象的表达有关内容。因此,在函数奇偶性教学中,有条件的学校可以使用电脑机房来教学,条件不允许的话可以利用多媒体技术来教学。以函数奇偶性图像的分析为例,教师可以例题,比如f(x)=4x3这个函数,首先让学生结合所学知识在脑海中构建这个函数的图像,并且做出该函数单调性的判断,然后让学生自己画出该函数的图形,在这个过程中,教师不要对学生错误直接指出来,而是利用多媒体设备进行函数图形的动态构建,一步一步地做出该函数的图形,让学生不但能认识到该函数的对称性,还能知道该对称性的原理。对于一些图形没有画正确的学生,鼓励他们自己利用Flash等软件来表现该函数图形,并让他们描述f(x)=4x3的图形特点,思考幂函数的图形是否存在中心对称和轴对称的情况。在运用信息技术的教学中,不仅要发挥信息技术可以动态表现函数图形的优点,还要鼓励学生自己来操作相关设备软件,这样不仅可以激发学生探究知识的兴趣与动力,还可以强化学生对于函数奇偶性知识的记忆与理解。

二、在函数奇偶性教学中应用信息技术的直观性

信息技术的直观性和动态性具有紧密的联系,二者需要结合使用。在函数奇偶性教学中,在学生已经学习掌握了一些简单函数,并且掌握了判断函数奇偶性的方法和技巧后,教师会进行一些复杂函数的教学,比如y=3x3、y=2x2+3x等这些函数,学生很难通过构建函数图形的方法来判断它们的奇偶性,那么就需要利用信息技术的直观性来促进教学效果的提升。具体而言,教师要指导学生对这些函数进行简化分解,对于y=3x+x3这个函数,大部分学生无法理解它的奇偶性,即便有少部分学生可以判断出它的奇偶性,但是没有深刻掌握其中的规律与方法,可能下一次碰到y=4x+x3时就会判断错了。因此教师可以利用信息技术来将这个函数简化,首先是通过几何画板和多媒体来展示y=x3图形,然后在投影上展示y=3x的图形,最后再作出y=3x+x3的函数图形,在这种图形直观的对比下,学生可以明显看出y=3x+x3这个函数的奇偶性,而且知道了这个函数图形是怎么得出来的,正所谓 “授之以鱼不如授之以渔”。通过在在函数奇偶性教学中应用信息技术的直观性,让学生通过不同函数之间的直观对比,掌握函数奇偶性的规律,这样无论以后遇到如何复杂的函数,学生都能依据规律简单快速地判断出函数奇偶性。

三、在函数奇偶性教学中应用信息技术的探究性

由于高中数学教学目标中有培养学生运用所学知识探究问题的要求,所以在函数奇偶性教学中,学生在基本掌握有关函数奇偶性知识后,会在习题中碰到不少特殊的函数,甚至有些函数不能简单根据规律来判断它们的奇偶性。比如f(x)=-x(-1<x<3),这个函数时,学生会就这个函数的奇偶性形成不同的意见。在遇到这种情况,教师不应当给出答案,因为就算给出答案,学生也是“知其然而不知其所以然”。所以最好的方式应当是应用信息技术的探究性,鼓励学生利用网络技术,自主查找有关数学资料, 自主分析问题,并且通过班级QQ群讨论等形式发表自己的观点,教师也要利用网络通信技术保持和学生的及时沟通, 引导学生自主探究的方向,一般不用多长时间学生就会认识到在f(x)=-x (-1<x<3),这个函数中,由于该函数具有给定的区间,所以它不具有对称性。但是教学不应当浅尝辄止,教师还应当继续提问,比如“为什么f(x)=-x(-1<x<3), 这个函数符合奇偶性的定义,却既不是偶函数也不是奇函数呢”、“需要什么样的条件这个函数才具有奇偶性呢”“你对于这类函数在奇偶性规律有什么认识” 等问题,促使学生继续利用信息技术查找资料并绘制图形,一步一步地分析问题,探究其中的本质规律。这种在函数奇偶性教学中应用信息技术的探究性非常有助于培养学生自主学习能力,也符合高中数学教学目标中培养学生运用所学知识探究问题的要求,而且师生之间的讨论交流更助于新型师生关系的构建, 促进师生关系的和谐发展,只有这样课堂氛围才能融洽,教学效果才能不断地提升。

综上所述,在函数奇偶性的教学中, 要积极发挥应用信息技术动态性、直观性的特点,但是在这个过程中,教师要积极引导,注重利用网络技术和学生积极沟通交流,帮助学生解决信息技术上的问题, 并利用信息技术拉近师生之间的距离。通过技术和人的完美结合,推动高中数学函数奇偶性的教学效果不断提升。

摘要：随着高中新课程改革的不断贯彻落实,信息技术在高中数学教学中的重要性日益凸显。本文结合信息技术的特点,重点分析了函数奇偶性教学中运用信息技术的方法和手段,以此提高高中数学教学的效果。

函数奇偶性篇8

一、质疑:预习工作的核心

要想能够发现疑问, 并且能够做到提出疑问, 学生就必须做好预习的工作.如果是教师设计好相关的提纲及其思考题, 学生带着这些既定的提纲与问题去预习, 还是属于被动式的学习方式.“问题发现法”则不同, 譬如教学《函数奇偶性》时, 无论是提纲的设计、思考问题的提出等, 均由学生自己把握, 掌握学习的主动权.学生将完成好的学习成果上交之后, 教师展开综合性的评价与整理, 得到以下几个问题:

(1) 奇、偶函数有什么实用性? (2) 函数关系式中, 自变量x所具有任意性特点的原因是什么? (3) 在f (-x) =-f (x) 与f (-x) =f (x) 的关系式中, 等号两边的不同, 代表什么意思, 为何有-x与x的不同? (4) f (-x) =-f (x) 与f (-x) =f (x) 的变型关系式还有哪些? (5) 据奇偶性特点, 除奇函数与偶函数外, 是否还有其他混合型函数? (6) 判断奇偶函数的方法有哪些?

二、议疑:小组研究的模式

采取分组研究的模式对疑问进行商议.将处于两头极端水平的学生分为优等生组和学困生组, 在学困生组中额外地分配一名优等生;其余的学生则依据“较好”、“中等”、“及格”的大体标准分组, 每组5人左右.在小组讨论交流的过程中, 各自对奇偶性的问题提出自己的看法.这不但可以有效地解决问题, 同时, 还能够加深对知识点的理解.教师在巡视过程中听取各小组的意见, 必要时适当加以点拨, 促使小组研究的顺利进行.这样分层次、分小组的研究学习, 能够注重实际情况, 能够比较充分地“逼”学习积极性不高的学生, 在大家的共同参与下, 学生自己提出的疑问自己解决.

三、释疑:自我提高的过程

从实际效果看, 释疑可以达到“一箭三雕”的效果:首先, 学生的数学逻辑思维及口头表达能力得到了强化;其次, 分享其他学生的学习成果, 并将其作为自己学习的参考;最后, 可以检测学生对于教学内容的实际掌握情况.例如, 在教学《函数的奇偶性》过程中, 对于上述问题 (3) , 学生的释疑为:x与-x表示的均为f (x) 定义域中的任一数值, 因此无论是x抑或是-x, 都符合定义域的要求.更难能可贵的是, 学生还得出奇偶函数定义域关于原点对称的特征.关于上述问题 (5) , 依照奇偶性的标准, 除去奇函数与偶函数之外, 还有“交集”——既是奇函数也是偶函数, 与“空集”——既非奇函数也非偶函数等两种类型.

四、精讲:教师点拨的作用

教师应该摈弃以往“满堂灌”的教学模式, 突出精讲知识点, 拎清知识的主线, 并形成相应的知识网络结构, 切实解决存在的知识盲点.尤其是重点、难点部分更应该着重强调.例如, 在教学《函数奇偶性》过程中, 对于上述问题 (4) , 可以通过讲解让学生认识到这几种类型:f (-x) =-f (x) 的变式有f (-x) +f (x) =0;同样, f (-x) =f (x) 的变式有f (-x) -f (x) =0等;偶函数的变式还有f (x) /f (-x) =1 (f (-x) ≠0) ;奇函数的变式有f (x) /f (-x) =-1 (f (-x) ≠0) 等.

又如, 对于上述问题 (6) , 教师可以对奇偶函数进行一定程度的系统化总结:第一步, 从f (x) 的定义域着手, 整个函数能够被定义为奇偶函数的条件在于定义域处于原点对称的区间;第二步, 引入变量x, 以-x代替x, 对函数f (x) 进行考察, 即其函数是否符合f (-x) =f (x) 或满足f (-x) =-f (x) , 只要符合其中之一的条件, 那么就能够判定函数的奇偶性, 最后通过具体例题展开讲解.

五、精练:巩固知识的环节

教师精讲之后, 需要准备具有梯度的习题, 让学生能够对于问题的认识逐渐深化, 从而真正游刃有余地掌握知识技能.例如, 在教学《函数的奇偶性》的过程中, 可以设置如下的“题组”:

2. 寻求使得f (x) =ax2-bx-1为奇函数的情况下a、b的数值大小.

3. 假若函数f (x) =ax3-bx2+cx+d为奇函数, 且在区间[1, 4]上为减函数.求证:f (x) 在[-4, -1]上是否具有单调性?如果有单调性, 那么请说明是何种函数?

4. 设a为实数, 且f (x) =x2-|x+a|-2, 试析其函数的奇偶性.

六、总结:教学精华的提炼

该环节是整个教学的末尾阶段, 即对教学进行一定程度的分析、归纳与总结, 提炼出相应的数学方法及其内在的规律.整个过程的展开, 包含学生自主性总结以及教师总结两个过程.

函数奇偶性篇9

一、巧借函数的奇偶性, 探究函数的对称性

以上各结论均是借助构造函数, 利用函数的奇偶性, 研究函数f (x) 本身的对称性, 在教学中可以发挥小组的团队作用, 通过小组的合作交流, 大多数问题都是可以自行解决的.

二、借助函数对称性的结论, 继续探究函数的周期性

函数奇偶性篇10

(一)首先奇偶函数及周期函数的定义及定义式:f(-x)= (x);f(-x)=-f(x);f(x+T)=f(x)函数的奇偶性定义中涉及两个方面关系,f(-x)与f(x),f(-x)与-f(x)。有理由问一下周期函数定义中若考虑两方面关系又会怎样呢?即有问题:f(x+T)=-f(x)时,f(x)的周期性怎样呢?不难证明,此时2T为f(x)的周期;其次,再对比f(-x).f(x)。把f(x+T)=f(x)与f(x+T)=-f(x)中f(x)用f(-x)代换,则又将有什么结论呢?同样不难证明:若f(x+T)=f(-x),则f(x)为偶函数时,T为f(x)的周期;f(x)为奇函数时,2T为f(x)的周期.若f(x+ T)=-f(-x),则f(x)为偶函数时,2T为f(x)的周期;f(x)为奇函数时,T为f(x)的周期。但事实上此时f(x)不一定是偶函数或奇函数那么单从f(x+T)=f(-x)或f(x+T)=-f(-x)就不一定:若f(x+T)=f(-x能推出f(x)的周期,可以证明:若f(x+T)=f(-x),则f(x+T)为偶函数;若f(x+T)=-f(-x),则f(x+T)为奇函数。

至此,小结前面结果即有下面结论。

定理1:若f(x+T)=f(x),则f(x)是周期函数,且T为f(x)的周期;若f(x+T)=-f(x),则f(x)是周期函数,且2T为f(x)的周期;定理2:若f(x+T)=f(-x),则f(x)为偶函数时,T为f(x)的周期;f(x)为奇函数时,2T为f(x)的周期.定理3:若f(x+T)=-f(-x),则f(x)为偶函数时,2T为f(x)的周期;f(x)为奇函数时,T为f(x)的周期。定理4:若f(x+T)=f(-x),则对定义域内任意x都成立;若f(x+T)=-f(-x),则(x+T)为奇函数。(以上定理中函数定义域假定为R,同时等式对定义域内任意x都成立,且T≠0)

把定理2,3结合起来,即有f(x+T)为偶函数且f(x)为偶函数,则f(x)是周期函数,且T为f(x)的周期;f(x+T)为奇函数且f(x为奇函数,则f(x)是周期函数,且2T为f(x)的周期;从而可得下列定理;定理5:给出三个判断:(1)f(x+T)为偶函数。(2)f(x)为偶函数,(3)f(x)是周期函数,且T为f(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题。定理6:给出三个判断:(1 f(x+T)为奇函数。(2)f(x)为奇函数,(3)f(x)是周期函数,且2T为(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题。

(二)另一方面,从奇函数与偶函数函数图象的对称性方面联想f(x+T)的奇偶性与f(x)函数图象的对称性又有:定理7: (x+T)为偶函数。f(x)的图象关于直线x=T对称;f(x+ T) 为奇函数。f(x) 的图象关于点( T ,0)对称。

至此, 再结合对称性与奇偶性的等价关系及定理4.5又有定理8:给出三个判断:(1) f(x) 图象关于直线x=0对称。(2)(x) 的图象关于直线x= T对称。(3)f(x) 是周期函数,且T为f(x的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题。定理9:给出三个判断:(1) f(x) 图象关于点(0,0)对称(2) f(x) 的图象关于点( T ,0) 对称(3)f(x) 是周期函数,且2T为f(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题。推论1: f(x) 为偶函数且图象关于直线x= T对称,则f(x) 是周期函数,且T为f(x)的周期;推论2: f(x) 为奇函数且图象关于直线x= T对称,则f(x) 是周期函数,且2T为f(x)的周期。

(三)最后考虑对称的一般性

f (x) 的图象关于直线x= a对称且关于直线x= b对称。同样可得到。定理10:给出三个判断:(1) f(x) 图象关于直线x= a对称。(2) f(x) 的图象关于直线x=b对称。(3)f(x) 是周期函数, 且2(a-b)为f(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题。定理11:给出三个判断:(1) f(x) 图象关于点(a,0)对称(2) f(x) 的图象关于点(b,0) 对称(3)f(x)是周期函数, 且4(b-a)为f(x)的周期;则以其中任两个为条件,第三个为结论可得三个真命题。

以上结论从一定成度上反映了函数的奇偶性,周期性与图象的对称性的内在联系,利用这些结论不难解决一些相关问题。

谈高中函数中的奇偶性和对称性篇11

在苏教版的教材中，关于函数对称性的介绍是通过函数的奇偶性来引入的.这也是在研究这类问题时，要有机地将两者结合起来的原因.因此诸如函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b等类似的结论都不能直接使用.所以在教学及解题中，就应当引导学生从函数的奇偶性出发，去判断一个函数是否能关于某个点或是某条直线对称，帮助学生正确面对问题，找到解决问题的有效途径.

【例题】（2013年上海市春季高考数学试题）已知真命题：“函数y=f（x）的图像关于点P（a、b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）-b是奇函数”.

（1）将函数g（x）=x3-3x2的图像向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图像对称中心的坐标；

（2）求函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标；

（3）已知命题：“函数y=f（x）的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）-b是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）.

分析：函数图像的平移，对于学生来说是从初中认识二次函数的图像就已经掌握的一个重要知识点.结合奇函数关于原点对称的特点，学生应该很容易理解题设的正确性.

解析：（1）通过平移容易得到所求函数的解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2.

由题设可知，对称中心的研究可以归结为研究原来函数是否为奇函数或者是如何将原函数看做某个奇函数通过适当的平移变换得到的.这就要求学生对于一些常见的奇函数的例子必须清楚，如仅含奇数次的多项式函数、正弦函数、正切函数等.由题发现，研究的对象是一个多项式函数，要使其成为奇函数，就必须只留下奇数次的项.

因此，假设g（x）=x3-3x2经过适当平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b.

由以上讨论可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2.从而g（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称.

由上面的证明方法，我们可以得到一个关于三次函数的重要结论：

三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是关于点对称，且对称中心为点（-b13a，f（-b13a））.

（2）同（1），假定经过适当平移后得：h1（x）=log22（x+a）14-（x+a）-b，此时要求该函数为一奇函数.由不等式2x+2a14-a-x>0的解集关于原点对称，得a=2.此时f（x）=log22（x+2）12-x-b，x∈（-2，2）.任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标是（2，1）.

（3）此命题是假命题.

举反例说明.因为函数f（x）=x的图像关于直线y=-x成轴对称图像，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数.

修改后的真命题“函数y=f（x）的图像关于直线x=a成轴对称图像”的充要条件是“函数y=（x+a）是偶函数”.

接着，我们回到一开始给出的常用结论，函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b，这个结论可以用上面的方法加以证明.

分析：只需构造函数y=f（x+a）-b，说明它是一个奇函数.

证明：由条件可知，f（x+a）+f（2a-x-a）=2b，即（f（x+a）-b）+（f（a-x）-b）=0，由奇函数的定义可知，函数f（x+a）-b为奇函数.于是函数y=f（x）关于点A（a，b）对称.

关于函数对称性问题的考查，在2013年的各省市高考试题中出现很多，应该引起大家重视.

【例1】（2013年高考新课标1（理））若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图像关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值是.

解析：因为函数的图像关于直线对称，所以函数为偶函数为偶函数，因为函数，

所以为偶函数，所以，所以，从而，所以.令，得或或，根据单调性可得当时，取到最大值为.

【例2】（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数，下列结论中错误的是：

A.的图像关于中心对称

B.的图像关于直线对称

C.的最大值为

D.既奇函数，又是周期函数.

解析：对于选项（A）：，显然是个奇函数，所以的图像关于中心对称；对于选项（B）：是偶函数，所以的图像关于直线对称.

（责任编辑黄桂坚）endprint

函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是高中数学的基础.函数的性质是高考的重点与热点，函数的性质中奇偶性、对称性则是函数的两个基本性质，也是学生学习的重点.大家知道，函数的奇偶性具有对称关系，而对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美.

（2）求函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标；

解析：（1）通过平移容易得到所求函数的解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2.

因此，假设g（x）=x3-3x2经过适当平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b.

由以上讨论可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2.从而g（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称.

由上面的证明方法，我们可以得到一个关于三次函数的重要结论：

三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是关于点对称，且对称中心为点（-b13a，f（-b13a））.

所以函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标是（2，1）.

（3）此命题是假命题.

举反例说明.因为函数f（x）=x的图像关于直线y=-x成轴对称图像，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数.

修改后的真命题“函数y=f（x）的图像关于直线x=a成轴对称图像”的充要条件是“函数y=（x+a）是偶函数”.

接着，我们回到一开始给出的常用结论，函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b，这个结论可以用上面的方法加以证明.

分析：只需构造函数y=f（x+a）-b，说明它是一个奇函数.

关于函数对称性问题的考查，在2013年的各省市高考试题中出现很多，应该引起大家重视.

【例1】（2013年高考新课标1（理））若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图像关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值是.

解析：因为函数的图像关于直线对称，所以函数为偶函数为偶函数，因为函数，

所以为偶函数，所以，所以，从而，所以.令，得或或，根据单调性可得当时，取到最大值为.

【例2】（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数，下列结论中错误的是：

A.的图像关于中心对称

B.的图像关于直线对称

C.的最大值为

D.既奇函数，又是周期函数.

解析：对于选项（A）：，显然是个奇函数，所以的图像关于中心对称；对于选项（B）：是偶函数，所以的图像关于直线对称.

（责任编辑黄桂坚）endprint

（2）求函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标；

解析：（1）通过平移容易得到所求函数的解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2.

因此，假设g（x）=x3-3x2经过适当平移后得：g1（x）=（x+a）3-3（x+a）2-b=x3+（3a-3）x2+（3a2-6a）x-3a2-b.

由以上讨论可知：3a-3=0

a3-3a2-b=0，即a=1

b=-2.从而g（x）=x3-3x2关于点（1，-2）对称.

由上面的证明方法，我们可以得到一个关于三次函数的重要结论：

三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）是关于点对称，且对称中心为点（-b13a，f（-b13a））.

所以函数h（x）=log22x14-x图像对称中心的坐标是（2，1）.

（3）此命题是假命题.

举反例说明.因为函数f（x）=x的图像关于直线y=-x成轴对称图像，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数.

修改后的真命题“函数y=f（x）的图像关于直线x=a成轴对称图像”的充要条件是“函数y=（x+a）是偶函数”.

接着，我们回到一开始给出的常用结论，函数y=f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）+f（2a-x）=2b，这个结论可以用上面的方法加以证明.

分析：只需构造函数y=f（x+a）-b，说明它是一个奇函数.

关于函数对称性问题的考查，在2013年的各省市高考试题中出现很多，应该引起大家重视.

【例1】（2013年高考新课标1（理））若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图像关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值是.

解析：因为函数的图像关于直线对称，所以函数为偶函数为偶函数，因为函数，

所以为偶函数，所以，所以，从而，所以.令，得或或，根据单调性可得当时，取到最大值为.

【例2】（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知函数，下列结论中错误的是：

A.的图像关于中心对称

B.的图像关于直线对称

C.的最大值为

D.既奇函数，又是周期函数.

解析：对于选项（A）：，显然是个奇函数，所以的图像关于中心对称；对于选项（B）：是偶函数，所以的图像关于直线对称.

函数奇偶性篇12

定理1: 函数y = f( x) 的图像关于直线对称的充要条件是f( a - x) = f( b + x) 对定义域内的每一个x都成立.

证明充分性: 若f( a - x) = f( b + x) 对定义域内的每一个x都成立,设P( x0,y0) 是y = f( x) 的图像上的任一点,则,点P关于直线的对称点是

必要性: 若函数y = f( x) 的图像关于直线对称,设A( x,y) 是y = f( x) 的图像上的任一点,则y = f( x) 上点A关于直线的对称点为B( a + b - x,y) . ∵y = f( x) 的图像关于直线对称,点B在y = f( x) 的图像上,

特殊地,当a = b = 0时,定理1为: 函数y = f( x) 的图像关于y轴对称的充要条件是f( - x) = f( x) 对定义域内的每一个x都成立. 这是偶函数的一个性质.

推论1: 函数y = f( x) 的图像关于直线对称的充要条件是f( a + b - x) = f( x) 对定义域内的每一个x都成立.

推论2: 函数y = f( x) 的图像关于直线对称的充要条件是f( a + b + x) = f( - x) 对定义域内的每一个x都成立.

定理2: 函数y = f( x) 的图像关于点对称的充要条件是f( a - x) = - f( b + x) 对定义域内的每一个x都成立.

证明充分性: 若f( a - x) = - f( b + x) 对定义域内的每一个x都成立,设P( x0,y0) 是y = ( x) 的图像上的任一点,则y0= f( x0) 上点P关于点的对称点为Q( a +b - x0,- y0) .的图像上. ∴y = f( x) 的图像关于点对称.

必要性: 若y = ( x) 的图像关于点对称,点A( x,y) 是y = f( x) 的图像上的任一点,则y = f( x) 上点A关于点(的对称点为B( a + b - x,- y) . ∵y = f( x) 的图像关于点(对称,∴点B在y = f ( x) 的图像上.

特殊地,当a = b = 0时,定理2为: 函数y = f( x) 的图像关于原点对称的充要条件是f( - x) = - f( x) 对定义域内的每一个x都成立. 这是奇函数的一个性质.

推论1: 函数y = f( x) 的图像关于点(对称的充要条件是f( a + b - x) = - f( x) 对定义域内的每一个x都成立.

推论2: 函数y = f( x) 的图像关于点对称的充要条件是f( a + b + x) = - f( - x) 对定义域内的每一个x都成立.

定理3: ( 1) y = f( x) 的图像关于直线x = a对称; ( 2) y =f( x) 的图像关于直线x = b( b≠a) 对称; ( 3) y = f( x) 是周期函数,且T = 2( b - a) 为其一个周期.

以其中任两个论断为条件,另一个论断为结论,得到的三个命题均是真命题.

若以( 1) ( 2) 为条件,( 3) 为结论.

证明∵y = f( x) 的图像关于直线x = a与x = b对称,

∴ f( 2a - x) = f( x) ,f( 2b - x) = f( x) .

∴ f[x + 2( b - a) ]= f[2b - ( 2a - x) ]= f( 2a - x) = f( x) .

∴y = f ( x) 是周期函数,且T = 2 ( b - a) 是它的一个周期.

若以( 1) ( 3) 为条件,( 2) 为结论.

证明∵y = f( x) 的图像关于直线x = a对称,∴f( 2a x) = f( x) . 又∵y = f( x) 是周期函数,且2( b - a) 是它的一个周期,∴f[x + 2( b - a) ]= f( x) . ∴f( 2b - x) = f[2a - x +2( b - a) ]= f( 2a - x) = f( x) .

∴y = f( x) 的图像关于直线x = b对称.

同理可证以( 2) ( 3) 为条件,( 1) 为结论所得的命题的正确性.

推论: ( 1) y = f( x) 是偶函数; ( 2) y = f( x) 的图像关于直线x = a( a≠0) 对称; ( 3) y = f( x) 是周期函数,且T = 2a为其一个周期.

以其中任两个论断为条件,另一个论断为结论,所得的三个命题均是真命题.

定理4: ( 1) y = f( x) 的图像关于点( a,0) 对称; ( 2) y =f( x) 的图像关于点( b,0) ( b≠a) 对称; ( 3) y = f( x) 是周期函数,且T = 2( b - a) 为其一个周期.

以其中任两个论断为条件,另一个论断为结论,所得的三个命题均为真命题.

若以( 1) ( 2) 为条件,( 3) 为结论.

证明∵y = f( x) 的图像关于点( a,0) 与( b,0) 对称,

∴y = f ( x) 是周期函数,且T = 2 ( b - a) 是它的一个周期.

若以( 1) ( 3) 为条件,( 2) 为结论.

证明∵y = f( x) 的图像关于点( a,0) 对称,∴f( 2a x) = - f( x) . 又∵y = f( x) 是周期函数,且T = 2 ( b - a) 是它的一个周期,∴f[x + 2( b - a) ]= f( x) .

∴ f ( 2b - x ) = f[2a - x + 2 ( b - a) ] = f ( 2a - x ) =- f( x) .

∴y = f( x) 的图像关于点( b,0) 对称.

同理可证以( 2) ( 3) 为条件,( 1) 为结论所得的命题的正确性.

推论: ( 1) y = f( x) 是奇函数; ( 2) y = f( x) 的图像关于点( a,0) ( a≠0) 对称; ( 3) y = f( x) 是周期函数,且T = 2a为其一个周期.

以其中任两个论断为条件,另一个论断为结论,所得的三个命题均是真命题.

定理5: 若y = f( x) 的图像关于直线x = a对称,且关于点( b,0) ( b≠a) 对称,则y = f( x) 是周期函数,且T = 4( b a) 为其一个周期.

证明∵y = f( x) 的图像关于直线x = a对称,且关于点( b,0) 对称,

∴ f( 2a - x) = f( x) ,f( 2b - x) = - f( x) .

∴ f[x + 4 ( b - a) ]= f[2b - ( 4a - 2b - x) ]= - f( 4a 2b - x) = - f[2a - ( 2b - 2a + x) ] = - f ( 2b - 2a + x ) =- f[2b - ( 2a - x) ]= f( 2a - x) = f( x) .

∴y = f( x) 是周期函数,且T = 4( b - a) 为其一个周期.

推论1: 若y = f( x) 是偶函数,且其图像关于点( a,0) ( a≠0) 对称,则y = f( x) 是周期函数,且T = 4a为其一个周期.

推论2: 若y = f( x) 是奇函数,且其图像关于直线x = a( a≠0) 对称,则y = f( x) 是周期函数,且T = 4a为其一个周期.

例1已知函数f( x) 定义在实数集R上,且对一切实数x满足等式f ( 2 + x) = f( 2 - x) 和f( 7 + x) = f( 7 - x) ,设x = 0是f( x) = 0的一个根,记f( x) = 0在[- 1000,1000]中的根的个数为N,求N的最小值. ( 1984年第2届美国数学邀请赛试题)

解依题意,f( x) 的图像关于直线x = 2和x = 7对称,据定理3知f( x) 是周期函数,且T = 2( 7 - 2) = 10为其一个周期,又f( 4) = f( 2 + 2) = f( 2 - 2) = f( 0) = 0,f( 10) = f( 7 +3) = f( 7 - 3) = f( 4) = 0,∴f( x) = 0在[0,10) 上至少有两个根. ∴f( x) = 0在[- 1000,1000]上至少有200×2 + 1 = 401个根. 故N的最小值为401.

例2已知y = f( x) 是奇函数,且f( 3) = 50,g( x) = f( x+ 2) 也是奇函数,试求f( 2003) 的值.

解∵g( x) = f( x + 2) 是奇函数,∴其图像关于点( 0,0) 对称. ∴y = f( x) 的图像关于点( 2,0) 对称. 据定理4的推论知f( x) 是周期函数,且T = 4为其一个周期.

摘要：函数是中学数学的主要内容,本文将阐述函数的图像具有对称性的充要条件以及函数图像的对称性、函数的周期性、函数的奇偶性三者之间的关系.

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