函数单调性巩固提升

2024-12-17|版权声明|我要投稿

函数单调性巩固提升(共13篇)

函数单调性巩固提升 篇1

能力提升

函数单调性

1.(1)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是.(2)已知函数f(x)=x2+2(a-1)x+2的递减区间是(-∞,4],则实数a的取值范围是.ax12.函数f(x)在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a的取值范围是()x2

11A.0aB.aC.a<-1或a>1D.a>-2 22

ax4.判断f(x)2。(a0)在[1,)上的单调性并给出证明.....x1

5.f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f((1)求f(1)的值.

(2)若f(6)= 1,解不等式 f(x+3)-f((3)设f(2)=1,解不等式f(x)f(1)<2 . xx)= f(x)-f(y)y1)2x3

3.已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,2f(1)=-3(1)求证:f(x)在R上是减函数;

(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.

函数单调性巩固提升 篇2

在讲解函数的单调区间时, 我按惯例, 找两位同学到黑板上演算, 然后介绍最典型的解法.结果发现两同学的方法完全不一样, 与我原计划只讲解最典型的解法不一致, 但是这也正好反映出了对复合函数单调性的不同理解, 给我在教学上启发很大.

过程

甲同学的解题过程:

解:设, 则

y=-3sinu的单调增区间为

, 即

y=3sin的单调增区间为

同理, y=3sin () 的单调减区间为

老师:甲同学做得很好, 在此处求y=Asin (ωx+φ) 中ω<0时的单调区间时, 我们一般将ω<0转化成y=Asin (|ω|x+φ) 的形式, 使x的系数为正, 然后利用三角函数的单调性去求解.这是一种常用的方法, 值得大家去学习.

乙同学的解题过程:

解:

当时, 是的增区间;

当时, 的减区间.

老师:乙同学的解法过程正确, 其方法主要也是将y=3sin () 中x的系数由负数转化为正数, 然后利用三角函数的单调性去求解, 但结果与甲的不一样, 为什么?

学生:其实两位同学都是将一个复杂的复合函数通过三角变换转化为一个较为简单的复合函数, 思路都是把x的系数由负数转化为正数, 然后利用三角函数的单调性去求解.其实, 这两种方法是统一的.当在乙的结果中取k=k'+1时, 增区间就转化为与甲的结果统一了.

教师点评

其实, 甲乙两同学的解法都是很典型的求解三角函数与一次函数复合而成的复合函数单调性的方法.但是, 从分析问题的切入点不同, 得到了不同的解题思路.由此, 只要我们在解决问题时, 能够充分认识问题的根源, 则不论我们用什么方法, 都会给我们带来思维上的前进.这才是我们数学课堂的真正收益.

教学反思

第一, 在教学观念上, 要大力提倡以学生为主体、教师为主导的教学宗旨.要转变教师的角色, 由“授业解惑”者逐渐变为组织者、引导者与合作者, 让学生自己去体会, 去感悟, 使学生真正成为主角.

第二, 采用合作学习、自主学习等以学生为主体的教学方法, 充分展示学生的思维过程与理解水平, 真正做到训练学生的思维.就上面的练习, 两位同学从不同角度应用化归的思想, 将问题转化, 这就真正体现了思维的升华.

第三, 从新课程的理念去理解.数学教学以训练学生的参与意识、实验意识, 提高学生的动手能力为主.因为有效的数学学习活动不单纯地依赖模仿与记忆.动手实践、自主探索与合作交流才是学习数学的重要方式.学生的数学学习活动应当是一个生动活泼和富有个性的过程.

分段函数的单调性 篇3

(A) (0,1)

(B) 0,

(C) ,

(D) ,1

错解: 当x<1时, f(x)=(3a-1)x+4a递减,得3a-1<0,即a<;当x≥1时, f(x)=logax递减,得0

错因分析:这一错误解法在同学中普遍存在, 选项B是不对的. 主要错误原因是同学们只从局部认识函数f(x)单调递减的意义,没有从全局上理解函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减的深刻含义.

事实上,当x<1时f(x)=(3a-1)x+4a递减、x≥1时f(x)=logax递减,并不能保证f(x)在(-∞,+∞)上递减. 如图1所示,当x1

真正满足题意的是图2的情形,从图上可以看出:除了要满足x<1时f(x)=(3a-1)x+4a递减、x≥1时f(x)=logax递减外,还必须满足[(3a-1)x+4a]min≥(logax)max. 因此在判断分段函数单调性时,要特别注意临界情况的分析.

正解:由题意得3a-1<0,0

【练一练】

(1) 若函数f(x)= ax,x>1,4-x+2,x≤1是R上的增函数,则实数a的取值范围为

.

(A) (1,+∞)

(B) (1,8)

(C) (4,8)

(D) [4,8)

(2) 若函数f(x)=(4-2a2)x+a2,x≤1, 2a+log3(x+2),x>1在区间(0,+∞)上单调递增, 则实数a 的取值范围是 .

(3) 已知函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7,ax-6,x>7,数列{an}满足:an=f(n),n∈N*且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是 .

【参考答案】

(1)由题意得a>1,4->0,4-×1+2≤a,

所以a>1,a<8,a≥4,解得4≤a<8,选D.

(2) 由题意得4-2a2>0,(4-2a2)×1+a2≤2a+1,

所以-

(3) 当x>7时,由于{an}是递增数列,所以ax-6递增,a>1.同理,x≤7时,(3-a)x-3递增,所以3-a>0,a<3.在两段“衔接”处要求a72或a<-9. 综上可得,a∈(2,3).

例: 已知f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,logax,x≥1是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是 .

(A) (0,1)

(B) 0,

(C) ,

(D) ,1

错解: 当x<1时, f(x)=(3a-1)x+4a递减,得3a-1<0,即a<;当x≥1时, f(x)=logax递减,得0

错因分析:这一错误解法在同学中普遍存在, 选项B是不对的. 主要错误原因是同学们只从局部认识函数f(x)单调递减的意义,没有从全局上理解函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减的深刻含义.

事实上,当x<1时f(x)=(3a-1)x+4a递减、x≥1时f(x)=logax递减,并不能保证f(x)在(-∞,+∞)上递减. 如图1所示,当x1

真正满足题意的是图2的情形,从图上可以看出:除了要满足x<1时f(x)=(3a-1)x+4a递减、x≥1时f(x)=logax递减外,还必须满足[(3a-1)x+4a]min≥(logax)max. 因此在判断分段函数单调性时,要特别注意临界情况的分析.

正解:由题意得3a-1<0,0

【练一练】

(1) 若函数f(x)= ax,x>1,4-x+2,x≤1是R上的增函数,则实数a的取值范围为

.

(A) (1,+∞)

(B) (1,8)

(C) (4,8)

(D) [4,8)

(2) 若函数f(x)=(4-2a2)x+a2,x≤1, 2a+log3(x+2),x>1在区间(0,+∞)上单调递增, 则实数a 的取值范围是 .

(3) 已知函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7,ax-6,x>7,数列{an}满足:an=f(n),n∈N*且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是 .

【参考答案】

(1)由题意得a>1,4->0,4-×1+2≤a,

所以a>1,a<8,a≥4,解得4≤a<8,选D.

(2) 由题意得4-2a2>0,(4-2a2)×1+a2≤2a+1,

所以-

(3) 当x>7时,由于{an}是递增数列,所以ax-6递增,a>1.同理,x≤7时,(3-a)x-3递增,所以3-a>0,a<3.在两段“衔接”处要求a72或a<-9. 综上可得,a∈(2,3).

例: 已知f(x)=(3a-1)x+4a,x<1,logax,x≥1是(-∞,+∞)上的减函数,则实数a的取值范围是 .

(A) (0,1)

(B) 0,

(C) ,

(D) ,1

错解: 当x<1时, f(x)=(3a-1)x+4a递减,得3a-1<0,即a<;当x≥1时, f(x)=logax递减,得0

错因分析:这一错误解法在同学中普遍存在, 选项B是不对的. 主要错误原因是同学们只从局部认识函数f(x)单调递减的意义,没有从全局上理解函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减的深刻含义.

事实上,当x<1时f(x)=(3a-1)x+4a递减、x≥1时f(x)=logax递减,并不能保证f(x)在(-∞,+∞)上递减. 如图1所示,当x1

真正满足题意的是图2的情形,从图上可以看出:除了要满足x<1时f(x)=(3a-1)x+4a递减、x≥1时f(x)=logax递减外,还必须满足[(3a-1)x+4a]min≥(logax)max. 因此在判断分段函数单调性时,要特别注意临界情况的分析.

正解:由题意得3a-1<0,0

【练一练】

(1) 若函数f(x)= ax,x>1,4-x+2,x≤1是R上的增函数,则实数a的取值范围为

.

(A) (1,+∞)

(B) (1,8)

(C) (4,8)

(D) [4,8)

(2) 若函数f(x)=(4-2a2)x+a2,x≤1, 2a+log3(x+2),x>1在区间(0,+∞)上单调递增, 则实数a 的取值范围是 .

(3) 已知函数f(x)=(3-a)x-3,x≤7,ax-6,x>7,数列{an}满足:an=f(n),n∈N*且{an}是递增数列,则实数a的取值范围是 .

【参考答案】

(1)由题意得a>1,4->0,4-×1+2≤a,

所以a>1,a<8,a≥4,解得4≤a<8,选D.

(2) 由题意得4-2a2>0,(4-2a2)×1+a2≤2a+1,

所以-

(3) 当x>7时,由于{an}是递增数列,所以ax-6递增,a>1.同理,x≤7时,(3-a)x-3递增,所以3-a>0,a<3.在两段“衔接”处要求a72或a<-9. 综上可得,a∈(2,3).

函数的单调性反思 篇4

积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程,无一不是以函数作为基本函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一,函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及;同时在这一在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线,它始终贯穿于整个课堂教学过程;利 用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解,且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握。按现行新教材结构体系,学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数,所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数。学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势,所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势;由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性,在教学中须加强。

(一)注意与初中内容的衔接

函数这章内容是与初中数学最近的结合点,如果初中代数中的内容没有学习好或遗忘的过多,学习本章就有障。本章很多内容都是在初中的基础上讲授的,如函数概念,要在讲授之前复习好初中函数及其图象的主要内容,包括函数的概念、函数图象的描绘,一次函数、二次函数的性质等等;又如指数概念的扩充,如果没有正整数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的基础知识,有理数指数幂就无法给出,运算性质也是如此,因此在本章教学中要注意与初中所学的有关内容的联系,做好初、高中数学的衔接和过渡工作。

(二)注意数形结合本章的内容中图象占有相当大的比重,函数图象对于研究函数的性质起到很重要的作用本身就是由函数图象给出的。所以在本章教学中要特别注意利用函数图象,使学生不仅能从图象观察得到相应的性质,同时在研究性质时也要有函数图象来印证的思维方式。在教学过程中要注意培养学生绘制某些简单函数图象的技能,记住某些常见的函数图象的草图,养成利用函数图象来说明函数的性质和分析问题的习惯

(三)注意与其他章内容的联系

本章是在集合与简易逻辑之后学习的,映射概念本身就属于集合的知识。因此,要经常联系前一章的内容来学习本章,又如学会二次不等式解集的表示就要用到求函数的定义域或表示值域等知识上来。简易逻辑中的充要条件在本章中就章节的联系,也要注意联系物理、化学等学科的知识内容来丰富和巩固本章的内容。

函数的单调性教学反思 篇5

函数的单调性是函数非常重要的性质,在初中学习函数时,对这个问题已经有了初步的探究,当时研究比较粗浅,没有明确的定义。函数的单调性从图像的角度看,简单,清楚,直观容易理解。因此,这节课的设计是从熟悉的简单的具体的一次函数,二次函数入手,让每个学生通过图像体会图像的变化情况,并用普通语言描述。通过动画演示,让学生观察两个点在运动的过程中横、纵坐标之间的关系,并用抽象的数学符号语言来刻画,即当x1f(x2),给出增函数的定义,再通过类比给出减函数的定义,并对函数单调性作深入的讨论。最后通过两个例题的讲解加强学生对概念的理解。例1让学生学会通过函数图像找出函数的单调区间,明白函数的单调性是在定义域的子区间上的性质,由例2归纳出用定义法证明函数单调性的一般步骤,从而突破难点。

本节课是学生在教师的指导下的逐步探索过程。在探索过程中,让学生通过观察、实验归纳及抽象概括等体会从特殊到一般,从具体抽象、从简单到复杂的研究方法,让学生学会图形语言、普通语言以及抽象上学符号语言之间相互转换,并渗透数形结合的,分类讨论等数学思想。

在整个课堂的教学中,我暴露了作为新老师的种种问题。(1)本节课教学旨体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变,以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径,以相互补充展开教学,总结科学合理的知识体系,形成师生之间的良性互动,提高课堂教学效率。然而在实际授课中,引导学生主动发现问题,主动解决问题的语言不够精炼,并不能很好的引导学生的思维,而是变成了“满堂贯”。

⑷ 本人认为在概念教学中多花一些时间是值得的,因为只有理解掌握了概念,才能更好地帮助学生落实“双基”,更好地帮助学生认识数学,认识数学的思想和本质,进一步地发展学生的思维,提高学生的解题能力。在例题的讲解中我注意培养学生回答问题的规范性。教师起到一个引导作用,教学有法,教无定法,相信只要我们大胆探索,勇于尝试,课堂教学一定会更精彩!但是,在实际课堂中,在对概念的讲解时并没有强调到关键点,比如单调性中对“任意的”的理解,因此在对概念的讲解上还需要加强。而在例题的讲解过程中,也没有引导学生对例题有一个整体的思考,引导学生学会读题,从哪里入手解题等等问题,而是直接给出了此类题型的一般解法,而由于学生的基础不扎实,因而对教师所给的解法不理解,导致在变式证明函数的单调性的时候,觉得无从下手。实际授课时,过度不自然,从创设情境到概念的讲解,最后到例题,过度的显得生硬不通畅。这些都需要加强。

函数的单调性教学设计 篇6

戴氏教育高中数学组

杜剑 【教材分析】

《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。在此之前,学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点,是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础,还有利于培养学生的抽象思维能力,及分析问题和解决问题的能力。【教学目标】

知识与技能:

1.通过生活中的例子帮助学生理解增函数、减函数及其几何意义。2.学会应用函数的图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。过程与方法:

1.通过本节课的教学,渗透数形结合的数学思想,对学生进行辨证唯物主义的教育。2.通过探究与活动,使学生明白考虑问题要细致,说理要明确。情感与态度:

1.通过本节课的教学,使学生能理性的描述生活中的增长、递减的现象。

2.通过生活实例感受函数单调性的意义,培养学生的识图能力和数形语言转化的能力。【重点难点】

重点:函数单调性概念的理解及应用。难点:函数单调性的判定及证明。关键:增函数与减函数的概念的理解。【教法分析】

为了实现本节课的教学目标,在教法上我采取了:

1.通过学生熟悉的实际生活问题引入课题,为概念学习创设情境,拉近数学与现实的距离,激发学生求知欲,调动学生主体参与的积极性。

2.在形成概念的过程中,紧扣概念中的关键语句,通过学生的主体参与,正确地形成概念。3.在鼓励学生主体参与的同时,不可忽视教师的主导作用,要教会学生清晰的思维、严谨的推理,并顺利地完成书面表达。【学法分析】

在教学过程中,教师设置问题情景让学生想办法解决;通过教师的启发点拨,学生的不断探索,最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解,最终把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中;同时让学生体验到了学习数学的快乐,培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。【教学过程设计】

(一)问题情境

遵义一天的天气

设计意图:用天气的变化,让学生用朴素的生活语言描述他们对变化规律的理解,并请学生将文字语言转化为图形语言,这样做可使教学过程富有情趣,可激发学生的学习热情,教学起点的设定也比较恰当,学生的参与度较高。

(二)温故知新

1.问题1:观察学生绘制的函数的图象(实际教学中可根据学生回答的情况而定),指出图象的变化的趋势。

观察得到:随着x值的增大,函数图象有的呈上升趋势,有的呈下降趋势,有的在一个区间内呈上升趋势,在另一区间内呈下降趋势。

2.问题2:对“图象呈逐渐上升趋势”这句话初中是怎样描述的? 例如:初中研究yx2时,我们知道,当x<0时,函数值y随x的增大而减小,当x>0时,函数值y随x的增大而增大。

回忆初中对函数单调性的解释:

图象呈逐渐上升趋势数值y随x的增大而增大;图象呈逐渐下降趋势数值y随x的增大而减小。

函数这种性质称为函数的单调性。

设计意图:学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础:一是生活体验,二是函数图象,三是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象,让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义,并在此基础上进行概念的符号化建构,与学生的认知起点衔接紧密,符合学生的认知规律。

(三)建构概念

问题3:如何用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性呢?

对于区间I内的任意两个值x1,x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2)。

单调增函数的定义:

问题4:如何定义单调减函数呢? 可以通过类比的方法由学生给出。

设计意图:通过师生双边活动及学生讨论,可以让学生充分参与用严格的数学符号语言定义函数单调性的全过程,让他们亲身体验数学概念如何从直观到抽象,从文字到符号,从粗疏到严密。让他们充分感悟数学概念符号化的建构原则。问题4则要求学生结合图象化单调增函数的定义,通过类比的方法,由学生自己得到单调减函数的概念,在这个过程中,学生可以体会数学概念是如何扩充完善的。

(四)理解概念

1.顾名思义,对“单调”两字加深理解

汉语大词典对“单调”的解释是:简单、重复而没有变化。2.呼应引入,解决问题情境中的问题

如:y2x1的单调增区间是(,);y3.单调性是函数的“局部”性质 如:函数y上减函数?

引导学生讨论,从图象上观察或用特殊值代入验证否定结论(如取x11,x2

1在(0,)上是减函数。x11在(0,)和(,0)上都是减函数,能否说y在定义域(,0)(0,)上xx1)。

2设计意图:学生对一个概念的认识不可能一次完成,教师要善于从多个角度,通过概念变式教学和构造反例帮助学生理解概念的内涵与外延。在学习如何证明一个函数的单调性之前,先与学生 一起探讨怎样才能否定一个函数的单调性对帮助学生理解函数单调性的概念尤为重要,可以加深学生对“任意”两字的理解。

(五)运用概念

通过两例,教师要向学生说明: 1.判断函数单调性的主要方法:①观察法:画出函数图象来观察;②定义法:严格按照定义进行验证;③分解法:对函数进行恰当的变形,使之变成我们所熟悉的且已知其单调性的较简单函数的组合。

2.概括出证明函数单调性的一般步骤:取值→作差→变形→定号。练习:作出函数y|x1|

1、y|x21|的图象,写出他们的单调区间。

设计意图:单调性证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证问题,通过本例,要让学生理解判断函数单调性与证明函数单调性的差别,掌握证明函数单调性的程序,并深入理解什么是代数证明,代数证明要做什么事。

(六)回顾总结

本节课主要学习了函数单调性的定义,单调区间的概念,能利用(1)图象法;(2)定义法来判定函数的单调性,从中体会了数形结合的思想,学会从“特殊到一般再到特殊”的思维方法来研究问题。【教学反思】

1.给出生活实例和函数单调性的图形语言,调动学生的参与意识,通过直观图形得出结论,渗透数形结合的数学思想。问题是数学的心脏,问题是学生思维的开始,问题是学生兴趣的开始。这里,通过问题,引发学生的进一步学习的好奇心。

2.给出函数单调性的数学语言。通过教师指图说明,分析定义,提问等办法,使学生把定义与直观图象结合起来,加深对概念的理解,渗透数形结合分析问题的数学思想方法。

3.有效的数学学习过程,不能单纯的模仿与记忆,数学思想的领悟和学习过程更是如此.利用学生自己提出的问题,让学生在解题过程中亲身经历和实践体验,师生互动学习,生生合作交流,共同探究。

4.通过安排基本练习题,使学生在完成必修教材基本学习任务的同时,拓展自主发展的空间,让每一个学生都得到符合自身实践的感悟,使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦,看到自己的潜能,从而激发学生饱满的学习兴趣,促进学生自主发展、合作探究的学习氛围的形成。

5.让学生体验数学知识的发生发展过程应该成为这节课的一个重要教学目标。函数的单调性的定义是对函数图象特征的一种数学描述,它经历了由图象直观感知到自然语言描述,再到数学符号语言描述的进化过程,这个过程充分反映了数学的理性精神,是一个很有价值的数学教育载体。

高中函数单调性教学探析 篇7

一、函数单调性教学的重难点

高中数学与初中数学相比难度性大大增加, 但是它的知识点也是从生活中演变过来的, 能够在实际生活中得到有效应用。 初中数学作为高中数学的基础, 比较抽象, 难以理解, 但是学生在面对高中数学问题的时候, 大可不必过分害怕, 只要在学习中找到解题技巧, 就可以从中获取快乐。 函数单调性问题一直是基础较薄弱的学生的软肋, 它的区间概念也可以被称为局部概念, 无非就是区间内的增减性问题, 若是教师然学生牢记并理解这一概念, 那么学生在学习过程中就会快捷许多。

二、函数单调性的教学方法

在高中数学的函数单调性教学中, 概念作为解题的基础虽然是十分重要的, 但是在实际解决问题的时候, 方法却能够起到解题的决定性作用, 因此教师在教学的时候一定要重视解题方法的教学, 帮助学生更好更快地得出答案。 高考数学中, 每年都会出现的一个知识点中就包括函数, 题目的涵盖范围虽然小, 变化却是多样的。 不难发现, 虽然数学高考中函数的题目一直在变, 但是解题方法没有什么多大的变化, 所以教师在教学中要充分考虑到学生的解题思路, 帮助学生在函数单调性题目中快速地求得答案。

1.合理利用举例让学生学会举一反三

在高中数学的试卷中, 最常出现的题目就是让学生利用函数的导数求函数的单调性, 或者是求极值问题, 这类问题的问法多样, 教师在教学过程中需要举出一个最典型的题目进行详细解答, 让学生明白解题的原理, 通过公式概念来求。我们一般见到的函数题目都是由几个小问题组成一道大题, 这些小问题由易到难, 可利用的知识点越来越多, 教师在讲解题目的时候也要遵循这个顺序, 这样就可以帮助一些基础较薄弱的学生拿到函数问题的基础分, 基础较扎实的学生拿全分。

求函数单调性的最值问题及极值问题是高中数学教学中最基础的典型例题, 而教师可以利用这种典型例题让学生明白其中的公式原理, 帮助学生一步步地掌握知识点解题, 从而将混乱的知识点清晰化, 做到不失分、不丢分。 若是教师按照书本上的知识点进行讲解, 就过于抽象化。 例如, 设函数y=f (x) 在某个区间内可导, 如果f (x) >0, 则f (x) 为增函数;如果f (x) <0, 则f (x) 为减函数;若f (x) =0, 则f (x) 为常数函数。 这种抽象的概念虽然能够套用到每一个函数题目中, 但是学生在不理解的情况之下难以利用。

2.学会利用草图帮助解题

每一位高中数学教师在进行函数单调性教学的时候都会利用图形进行讲解, 但是每一位数学教师的画图方式都不同导致学生的学习方式也不同, 但是都需要了解的是, 图形要画的简单明了, 在较短时间内画出图形。 若是学生在利用草图解答的时候, 花在图形上的时间较长, 那么解题时间就会被缩短, 反而得不偿失。 例如, 一些简单的函数选择填空题就可以利用画图快速地得到正确答案。 例如, 题目中结合了其他的知识点定义区间, 要求学生利用所学知识点求区间, 学生就可以根据选项将区间定义出来, 画出草图, 知晓在某一区间的递增或是递减之后, 就可以求得这个函数在哪个区间递增或递减的速度最快, 从上升趋势中得到正确答案。

三、结语

在高中数学教学过程中, 函数单调性问题作为学生必须掌握的知识点受到学校、家长和老师的极大关注, 每一位高中数学教师在教授到函数知识点这一章节的时候都会遇到困难, 学生在学习的时候较吃力。 因此, 高中数学教师就要从不同角度思考问题, 从学生所难以理解的知识点出发, 帮助学生攻克问题, 只有教师和学生共同努力, 才能够在合理的时间内科学地完成教学任务。 高中数学教师在教学时不能故步自封, 在原有的基础上要进行教学方法创新, 本文主要是从比较常用的两种方法入手帮助学生解决函数单调性的问题, 教师要考虑到学生的不同接受能力, 有选择地开展教学活动, 帮助学生更有效地掌握相关知识点, 提高高中数学成绩。

参考文献

[1]周杰.高中数学函数内容教学研究[J].数理化解题研究 (高中版) , 2013 (12) .

《函数的单调性》课例研究 篇8

【摘 要】 函数的单调性是函数的几大重要性质之一,它直观且有效地反映了函数的变化趋势,是我们研究函数问题的重要内容和研究其它性质的重要手段,它的应用非常的广泛,比如我们可以应用函数的单调性来估计生活中的股票和经济情况的变化趋势,从而更准确的抓住这些信息,有利于帮助投资者作出决策和选择;在数学中,利用单调性求函数的最值往往是最直观和最容易的方法;单调性的题目在各种考试和高考中经常的出现,尤其是有关单调性的证明,复合函数的单调性的应用等,更是让许多考生苦不堪言,所以学好函数的单调性至关重要。本文结合我的教学课堂,以课后总结式的形式写此文章,重在体现新课标和新课改的大环境和要求下的教学新观念,将课堂还给学生,学生是教学的主体,老师要变教为导,变教授为自学,多设置情境和问题,激发学生的学习热情和探究问题的能力,由于经验不多,还在学习摸索中,本文权当记录一次课堂教学的同时,总结经验和不足促使我以后的课堂教学更有效。

【关键词】 增函数减函数;单调性;单调区间

【中图分类号】G63.25【文献标识码】A【文章编号】2095-3089(2016)18-0-02

函数是描述事物运动变化规律的数学模型,因此如果我们掌握了函数的变化规律,也就基本掌握了相应事物的变化规律。函数的单调性的学习,就是要学生通过观察已知的熟悉的函数的图象,得出函数图象的上升和下降的整体直观的感受,并且能够根据图象口头叙述函数的上升和下降的情况。下面是教学教案中的一部分,主要记录的是课堂实际的实施情况。

请同学们做出的图象。

观察函数的图象,请你说出它们的上升和下降的情况。

生:的图象一直在上升,而的图象先是下降后是上升。

师:好。能否说的更具体和完整一点?

生:的图象由左至右一直在上升,而的图象在y轴的左侧是下降的,在y轴的右侧是上升的。

师:很好。大家的叙述很准确。结合我们以前学过的函数,我们知道函数中有许多函数的图象具有这样的上升和下降的性质,我们把函数在图象上表现出来的这种上升和下降的性质叫做函数的单调性。这就是我们今天要研究的函数课题。

那么,请同学们结合图(2),我们如何描述函数图象的上升和下降呢?

生:图象在y轴的左侧下降,也就是在区间上,随着x的增大,相应的f(x)随着减小;图象在y轴的右侧上降,也就是在区间上,随着x的增大,相应的f(x)随着增大。

师:很好,这是我们的纯粹的自然语言来叙述,是我们在图象的基础上直观的表达出图象特征。在我们以后的学习中,我们会遇到很多函数是以解析式的形式给出,其中有些还不一定能够用手工作出函数图象,我们又怎样来判断其单调性呢?为此我们就要用数学语言来给函数的单调性下个定义。

请同学们研究函数的图象,计算f(1)、f(2)、f(3),并将它们标在函数的图象上。

生:发现f(1)

师:那么a>b>0时,f(a)与f(b)的大小关系是?

生:f(a)>f(b)。

师:思考一般的结论是什么?

生:在区间上,只要,就有。

师:同学们回答的很好。我将大家的叙述总结起来就是:对于二次函数,我们可以这样描述:在区间上,随着x的增大,相应的f(x)随着增大。也就是在区间上任取,得到,当时,总有。这时我们就说函数在区间上是增函数。

请同学们试着用我们的数学语言定义函数f(x)的单调性。

生:对于函数f(x),如果对于任意的,当时,有,则称函数f(x)为单调增函数。

师:请同学们对照教材中增函数的定义,看看有什么不同?为什么?

生:教材定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量,当时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。

师:教材定义中为什么要说“对于定义域I内某个区间D”呢?

这是因为函数在其定义域内其单调性并不是一成不变的。如的定义域为,当时是减函数,而时却是增函数,显然,其单调区间。这也说明了函数的单调性是函数的局部性质。

请同学们仿照增函数的研究方法,研究并定义减函数。

生:一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量,当时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。

师:如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数y=(x)在这一区间具有单调性,区间D叫做函数y=f(x)的单调区间,其对应的区间D称之为单调增区间或单调减区间。

例1:下图是定义在[-5,5]上的函数y=f(x),根据图象说出函数的单调区间,并指出在每一个单调区间上是增函数还是减函数?

解:函数y=f(x)的单调区间有(-5,-2),[-2,1),(1,3),[3,5]。其中y=f(x)在区间(-5,-2),(1,3)上是减函数;在区间[-2,1),[3,5]上是增函数。

生甲:老师,在两个区间的公共端点处,比如x=1处,这个函数是增函数还是减函数?

师:这个问题提的很好,请大家对照我们的定义想一想这个问题,有没有哪位同学可以回答这个问题?

生乙:我认为在x=1处,不具有单调性,因为由定义知函数的单调性是在某个区间D上具有单调性。

师:回答正确。这里我还要补充说明一点,虽然对于这个函数y=f(x)在区间(-5,-2),(1,3)上是减函数,但我们不能说函数在区间上是减函数。

这次教学采用师生问答的形式,老师旨在引导,学生充分自主,以学生自主的学习为主,意在适应新课改理念下的课堂教学,以突出平等、合作与交流、相互理解、转变角色等新观念,使师生间的教与学相互促进。具体的突出了研究函数时我们常用的数形结合的思想和研究函数性质的步骤,即第一步,观察图象,描述函数图象特征;第二步,结合图、表,用自然语言描述函数图象特征;第三步,用数学符号的语言定义函数的性质。在增函数的研究过程中,让学生自己用自己的语言描述,再用数学语言定义,大胆的让学生去尝试,重在锻炼学生的将实际问题抽象成数学语言的概括能力、语言的严密性和准确性。在研究减函数时完全将课堂交给了学生,让学生学会用类比的思想方法处理问题的技巧和能力,例题的目的在于使学生能够结合定义,根据图象能够用数学语言解决问题,进一步巩固知识和加强应用能力。在学生参与的同时有效地完成了教学目标。

参考文献:

1.汪江松主编,重难点手册高中数学1,华中师范大学出版社;

2.人民教育出版社数学教材必修1;

3.人民教育出版社数学教材必修1教师教学用书.

第八节 函数的单调性教案 篇9

北京师范大学附属实验中学 曹付生 张蓓

教学目标:

1.知识与技能:理解函数的单调性。学会运用函数图象理解和研究函数的单调性及其几何意义。学会运用单调性的定义来判断函数的单调性。

2.过程与方法:以基本函数的图象为素材,由形到数,引导学生自主发现函数图象变化规律,再推广到一般得出单调性的概念,使学生体会由特殊到一般、具体到抽象的研究方法。培养学生数形结合的思想,及分析问题、解决问题的能力。

3.情感、态度与价值观:培养学生善于观察、勇于探索的良好思维习惯和严谨的科学态度。

教学重点:函数的单调性概念

教学难点:函数单调性的判断及证明 教法:引导、讲授

学法:观察、归纳、抽象、概括 媒体:几何画板、投影 教学过程:

一、问题情境

情境1:典型冬季日温度变化曲线图

问:随时间的推移,气温如何变化?

1情境2:观察yx,yx2,y,回答,随x的增大,y值如何变化?

x654321-4-3-2-101-1-2-3234y65432y4321yx2345x51-4-3-2-101-1-2-3234x5-4-3-2-101-1-2-3-4 二 形成概念

一般地,设函数yf(x)的定义域为A,区间MA。如果取区间M中的任意两个值x1、x2,当改变量xx2x10时,有yf(x2)f(x1)0,那么就称函数yf(x)在区间M上是增函数。

如果取区间M中的任意两个值x1、x2,当改变量xx2x10时,有yf(x2)f(x1)0,那么就称函数yf(x)在区间M上是减函数。

如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)三 例题分析

例1.如图是定义在闭区间[-5,+5]上的函数yf(x)的图象,根据图象说出yf(x)的单调区间,以及在每一单调区间上,函数yf(x)是增函数还是减函数。

例2.证明函数f(x)1x2在(,0]上是增函数。

巩固练习: 证明:函数yx探索:函数f(x)x1在(0,1]上是减函数。x1的定义域是{x|x0},我们对图象也不太熟悉,如何寻x找这一函数的其他单调区间?(用几何画板画出其图象)

四 小结

1.一组概念:增函数、减函数、单调性、单调区间

2.判断单调性的两个方法:

通过图象观察(从“形”的角度),用定义证明(从“数”的角度)3.证明函数单调性的步骤 五 作业

函数单调性巩固提升 篇10

1.复合函数的概念

如果y是的函数,又是x的函数,即yf(),g(x),那么y关于x的函数yf[g(x)]叫做函数yf()和g(x)的复合函数,其中是中间变量,自变量为x,函数值y。

例如:函数y()x1322x是由y(),x2x复合而成立。

221函数ylg(34xx)是由ylg,34xx复合而成立,、是中间变量。

2.复合函数单调性

一般地,定理:设函数g(x)在区间M上有意义,函数yf()在区间N上有意义,且当xM时,N

有以下四种情况:

(1)若g(x)在M上是增函数,yf()在N上是增函数,则yf[g(x)]在M上也是增函数;

(2)若g(x)在M上是增函数,yf()在N上是减函数,则yf[g(x)]在M上也是减函数;

(3)若g(x)在M上是减函数,yf()在N上是增函数,则yf[g(x)]在M上也是减函数;

(4)若g(x)在M上是减函数,yf()在N上是减函数,则yf[g(x)]在M上也是增函数。

即:同增异减

注意:内层函数g(x)的值域是外层函数yf()的定义域的子集。

1、讨论下列函数的单调性(注意:要求定义域)

(1)y()

解:

213x22x(2)ylg(34xx)

练习1:

1.求下列函数的单调区间。

(1)y

2(3)y

2、已知yf(x),且lglgylg3xlg(3x)。

(1)求yf(x)的表达式及定义域;

(2)讨论yf(x)的单调性。

练习2 1.已知f(x)82xx,g(x)f(2x),求g(x)的单调区间。

2.讨论函数yloga(x4x3)的单调性。2x25x2

(2)ylog1(x2x3)

22xx1(4)y(3xx)221222

练习题

1.若函数yf(x)的图象过点(0,1),则yf(x4)的图象必过点()

A.(4,1)

B.(1,4)C.(4,1)

D.(1,1)

2.函数ylog2x在区间,00,上()2A.是奇函数,且在0,上是增函数 B.是偶函数,且在0,上是增函数 C.是奇函数,且在0,上是减函数 D.是偶函数,且在0,上是减函数

3.函数y166xx2(0x4)的最大值与最小值分别是()

A.25,16 B.5,0 C.5,4 D.4,0 11x4.函数y321值域为()

A.(,1)

B.(,1)

C.[,1)

D.[,)5.函数f(x)log1(6xx)的单调递增区间是()31313132A.[11,)

B.[,2)22x22(a1)x1C.(,)

D.(3,)

12126.函数f(x)2在区间[5,)上是增函数,则实数a的取值范围是()A.[6,+)

B.(6,)

C.(,6]

D.(,6)7.已知yloga(2ax)在0,1上是x的减函数,则a的取值范围是()A.0,1

B.1,2

C.0,2

浅谈高中数学函数的单调性 篇11

关键词:高中;函数;单调性

G633.6

函数是高中数学的函数学习当中的重点,所以在学习有关函数的知识时,我会从多个方面对函数进行认识与理解,包括函数的概念与定义、函数的性质等。其中很重要的一条性质便是函数的单调性,学好函数的单调性对于学好函数是必不可少的一步。函数的单调性在函数中具有很广泛的应用。比如,可以利用函数的单调性比较函数值的大小,也可以转化为比较自变量的大小;利用函数的单调性可以求函数的值域、最大值、最小值等等。

一、什么是函数的单调性

函数的单调性是函数的一条重要性质,它反映了函数值的变化规律。学习函数单调性的重点在于函数的单调性的有关概念。

1.增函数与减函数定义

对于函数 的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值 , :若当 < 时,都有 < ,则说 在这个区间上是增函数;

若当 < 时,都有 > ,则说 在这个区间上是增函数。

因而,判断一个函数为增函数还是减函数,是相对于定义域内某个区间而言的。有的函数在某个区间上是增函数,而在另一个区间上可能变成减函数。有这样特性的最典型的函数便是函数 ,当 时为增函数,当 时是减函数。

2.单调性与单调区间

若函数 在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数 的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的。

需要注意的是函数的单调区间是其定义域的子集,应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数)。

二、函数单调性的应用

函数的单调性在高考试卷上必不可少,而且对其的考查各式各样,考查的深度也远远高于课本。在考试中,对于函数单调性的考查难点往往在于证明或判断函数的单调性。在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行,因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集。接下来我想谈谈函数单调性的应用。

1.函数单调性的判别

2.定义法

在数学中,解题过程中最基本的方法就是依靠定义。万变不离其宗,无论是什么解题方法,都是由最基本的定义衍生而来的。因此,函数单调性判别的定义法为,自变量增大函数值变小为减函数;反之,为增函数。

3.函数变换法

由上面的定义法我们可以得到单调函数运算后的一些结论:在同一个区间上,若 、 都是单凋增(减)函数,则 + 也是单凋增(减)函数;若 单凋递增, 单凋递减,则 - 单调递增;若 单凋递减, 单凋递增,则 - 单调递减.

4.复合函数法

设函数 由两个函数 与 复合而成,则 与 单调性相同时, 单调递增; 与 单调性不同时, 单调递减,这就是通常所说的同增异减。多层复合,依此类推。

4.作差比较法

根据定义证明函数单调性是判断函数单调性的最重要的方法。其步骤为:(1)设值:即在单调区间上设出两个不相等的自变量 、 ,且 < ;(2)比较:即比较 )与 大小,通常采用作差或作商的方法;(3)判断:即根据定义结合前两个步骤得出结论。

5.等价变形法

三、函数单调性学习过程中的学习难点

了解了函数单调性的概念与定义,也知道了通过哪些方法可以判别函数的单调性,但是往往在应用中无法将这些定义与判别方法融会贯通,函数单调性经常是解题的关键点,如果无法将函数的这一性质运用得当,就无法轻松快速地解题,这也是我曾经在函数学习过程中遇到的一大困扰。我根据自己的理解,总结了一下这些问题的症结所在。

1.没有掌握数形结合的解题方法

華罗庚先生说过:“数无形,少直观;形无数,难入微。”数形结合的方法就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化,将抽象的数学语言与直观的图形结合起来解决问题,数形结合可以有效地解决许多数学问题。以形助数,以数辅形,可以使许多数学问题变得简易化,我觉得这也很关键。

因为函数的单调性只凭想象是不好理解的,所以需要依靠直观的几何图形,把数与形一一结合起来,才能使得抽象问题具体化,优化解题步骤,解出正确答案。而我们在学习数学过程中,尤其是学习函数时,总是没有数形结合的习惯和意识,这给我们学习带来不利的因素。培养数形结合的解题意识,掌握好数形结合的解题方法,不但可以使我们学习函数单调性时遇到的问题迎刃而解,更对我们在以后学习数学的过程有很大的帮助。

2.不能深刻理解定义域的内涵

定义域也是函数中非常重要的一部分,而定义域与函数的单调性也是密不可分的,因为定义域决定了函数的单调性。而在平时的学习过程中,我们对定义域的理解往往太过于抽象,没办法深刻理解定义域的内涵,就不能在解题过程中得到正确的答案。因此,深刻理解函数的定义域,对于我们更好得运用函数的单调性有重要的意义。

若是在学习函数单调性的过程中遇到瓶颈,大家可以在这两个方面找原因,找突破口,问题也就迎刃而解了。以上便是我自己对函数单调性的认识与理解。

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关于高中函数单调性定义的解读 篇12

一般的, 设函数f (x) 的定义域为I:

如果对于函数f (x) 的定义域I内某个D区间上的任意两个自变量的值x1, x2,

⑴若当1x

⑵若当1xf (x2) , 则说f (x) 在这个区间上是减函数.

函数的增减性统称为函数的单调性.

理解和掌握上述定义, 需注意一下六点:

一、单调性的知识背景

在初中学习时, “y随着x的增大而增大”, 或“y随着x的增大而减小”, 这实际就是函数单调性定义的雏形.而高中阶段单调性的定义, 也就是对上述诊断的数量刻画.例如, 1x

二、单调性是相对于一个区间而言的概念

单调性是针对定义域内的某个区域而言的, 反映的是函数的局部性质.有两层含义:一是在函数的整个定义域内, 它可能有若干个增区间或者减区间;二是在叙述函数的单调性时, 必须同时指出其相应的单调区间.

函数的某个单调区间, 可能是其定义域本身, 抑或是定义域的一部分, 故单调区间D是定义域I的子集.其中边界点 (或称临界点) 写在区间内或者不写在区间内都不影响函数在其区间的单调性, 也就是说函数单调性不因边界的一个具体的数值而改变.即:函数在某个单调区间既可以写成开区间, 又可以写成闭区间.

三、自变量的值x1, x2是表示某区间内任意值

对于D区间上的两个自变量的值x1, x2, 注意一定要表达出具有的任意性, 而非某些特殊值, 方能使D区间内的每一个值都能被x1, x2所表示, 不失一般性;否则D区间就不一定具备单调性, 或者不能将D区间进行正确的描述.

四、单调区间不能用并集表示

当一个函数有若干个增区间 (或者减区间) 时, 其单调区间不能用并集表示, 例如:

函数y=-x2+2|x|+3的单调递增区间是__________, 单调递减区间是__________.

有的学生填写的答案就是:单调递增区间是 (-∞, -1) U[0, 1], 单调递减区间是[-1, 0]U[1, +∞) .虽然他们明白了函数各个区间的单调性, 但是其结果的表达方式是错误的.

错误原因就在于对两个区间上的任意两个自变量值x1, x2, 并不能总符合增函数 (或减函数) 的定义.

五、单调性的图像特征

函数在某区间上单调递增⇔图像从左至右呈上升趋势;函数在某区间上单调递减⇔图像从左至右呈下降趋势, 从而为我们凭借几何直观的简单图像 (或者说几何定义也好) 来处理一些单调性的问题提供了很大的方便.

六、单调性的命题意义

函数单调性的定义是一个真命题, 并且, 其逆命题也是真命题.

逆命题1:已知函数y=f (x) 在定义域的某个区间上为增函数, 若1x

逆命题2:已知函数y=f (x) 在定义域的某个区间上为增函数, 若f (1x)

同理, 由减函数的定义也可以构造出于此类似的两个命题, 就不在此赘述了.

逆命题1的意义是:利用函数单调性比较两个函数值的大小 (常见于指数与对数比较中) .

逆命题2的意义是:根据函数y=f (x) 在某个区间上递增与函数值的大小关系, 可以确定自变量值的大小关系.其价值在于把1x与x2从函数的对应法则f下解放出来, 是构建不等式求解的未知数取值范围的重要解题依据和途径.

【例】:已知函数f (x) 在其定义域R+上为增函数且f (2) =1, f (xy) =f (x) +f (y) ,

解不等式:f (x) +f (x-2) ≤3.

【解】不等式f (x) +f (x-2) ≤3可以转化为f[x (x-2) ]≤f (8) ,

又因为函数f (x) 在其定义域R+上为增函数,

利用导数求函数的单调性解读 篇13

利用导数求函数的单调性

例 讨论下列函数的单调性:

1.f(x)axax(a0且a1);

2.f(x)loga(3x25x2)(a0且a1); 3.f(x)bx(1x1,b0). 2x1分析:利用导数可以研究函数的单调性,一般应先确定函数的定义域,再求导数f(x),通过判断函数定义域被导数为零的点所划分的各区间内f(x)的符号,来确定函数f(x)在该区间上的单调性.当给定函数含有字母参数时,分类讨论难于避免,不同的化归方法和运算程序往往使分类方法不同,应注意分类讨论的准确性.

解:

1.函数定义域为R.

f(x)axlnaaxlna(x)lna(axax).当a1时,lna0,axax0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是增函数. 当0a1时,lna0,aaxx0,f(x)0.∴函数f(x)在(,)上是减函数. 2.函数的定义域是x1或x2.3f(x)logae(6x5)logae2(3x5x2)

3x25x2(3x1)(x2)1时,logae0,6x50,(3x1)(x2)0,3①若a1,则当x∴f(x)0,∴函数f(x)在,上是增函数;

当x2时,f(x)0,∴函数f(x)在,2上是减函数 ②若0a1,则当x131时,f(x)0,3∴函数f(x)在,上是减函数; 13清华园教育网

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当x2时,f(x)0,∴函数f(x)在,2上是增函数 3.函数f(x)是奇函数,只需讨论函数在(0,1)上的单调性

x(x21)x(x21)当0x1时,f(x)b 22(x1)b(x21)

2

(x1)2若b0,则f(x)0,函数f(x)在(0,1)上是减函数; 若b0,则f(x)0,函数f(x)在(0,1)上是增函数.

又函数f(x)是奇函数,而奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性.所以当b0时,函数f(x)在(-1,1)上是减函数,当b0时,函数f(x)在(-1,1)上是增函数. 说明:分类讨论是重要的数学解题方法.它把数学问题划分成若干个局部问题,在每一个局部问题中,原先的“不确定因素”不再影响问题的解决,当这些局部问题都解决完时,整个问题也就解决了.在判断含参数函数的单调性时,不仅要考虑到参数的取值范围,而且要结合函数的定义域来确定f(x)的符号,否则会产生错误判断.

分类讨论必须给予足够的重视,真正发挥数学解题思想作为联系知识与能力中的作用,从而提高简化计算能力.

利用导数求函数的单调区间

求下列函数的单调区间: 1.f(x)x2x3; 2.f(x)2xx2; 3.f(x)x42b(b0).x分析:为了提高解题的准确性,在利用求导的方法确定函数的单调区间时,也必须先求出函数的定义域,然后再求导判断符号,以避免不该出现的失误.

4解:1.函数f(x)的定义域为R,f(x)x4x4(x1)(x1)x

令f(x)0,得1x0或x1.

∴函数f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(1,); 令f(x)0,得x1或0x1,清华园教育网

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∴函数f(x)的单调递减区间为(,1)和(0,1). 2.函数定义域为0x2.f(x)(2xx2)22xx21x2xx2.令f(x)0,得0x1. ∴函数f(x)的递增区间为(0,1); 令f(x)0,得1x2,∴函数f(x)的单调递减区间为(1,2). 3.函数定义域为x0,f(x)1b1(xb)(xb).22xx令f(x)0,得xb或xb.

∴函数f(x)的单调递增区间为(,b)和(b,); 令f(x)0,得bxb且x0,∴函数f(x)的单调递减区间是(b,0)和(0,b).

说明:依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间,体现了形象思维的直观性和运动性.解决这类问题,如果利用函数单调性定义来确定函数的单调区间,运算显得繁琐,区间难以找准.学生易犯的错误是将两个以上各自独立单调递增(或递减)区间写成并集的形式,如将例1函数f(x)的单调递增区间和递减区间分别写成(1,0)(1,)和(,1)(0,1)的错误结果.这里我们可以看出,除函数思想方法在本题中的重要作用之外,还要注意转化的思想方法的应用.

求解析式并根据单调性确定参数

已知f(x)xc,且f[f(x)]f(x1).1.设g(x)f[f(x)],求g(x)的解析式;

2.设(x)g(x)f(x),试问:是否存在实数,使(x)在,1内为减函数,且在(-1,0)内是增函数.

分析:根据题设条件可以求出(x)的表达式,对于探索性问题,一般先对结论做肯定

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存在的假设,然后由此肯定的假设出发,结合已知条件进行推理论证,由推证结果是否出现矛盾来作出判断.解题的过程实质是一种转化的过程,由于函数(x)是可导函数,因此选择好解题的突破口,要充分利用函数的单调性构造等价的不等式,确定适合条件的参数的取值范围,使问题获解.

解:1.由题意得f[f(x)]f(x2c)(x2c)2c,f(x21)(x21)2c.f[f(x)]f(x21),∴(x2c)2c(x21)2c,x2cx21,c1.∴f(x)x21,g(x)f[f(x)]f(x21)(x21)21.2.(x)g(x)f(x)x4(2)x2(2). 若满足条件的存在,则(x)4x32(2)x.∵函数(x)在,1内是减函数,∴当x1时,(x)0,即4x32(2)x0对于x(,1)恒成立. ∴2(2)4x2,x1,4x24.∴2(2)4,解得4.

又函数(x)在(-1,0)上是增函数,∴当1x0时,(x)0 即4x2(2)x0对于x(1,0)恒成立,∴2(2)4x,1x0,44x0.∴2(2)4,解得4.

故当4时,(x)在,1上是减函数,在(-1,0)上是增函数,即满足条件的存在.

说明:函数思维实际上是辩证思维的一种特殊表现形式,它包含着运动、变化,也就存在着量与量之间的相互依赖、相互制约的关系.因此挖掘题目中的隐含条件则是打开解题思路的重要途径,具体到解题的过程,学生很大的思维障碍是迷失方向,不知从何处入手去沟通已知与未知的关系,使分散的条件相对集中,促成问题的解决.不善于应用f(x)a恒成立[f(x)]maxa和f(x)a恒成立[f(x)]mina,究其原因是对函数的思想方法理解不深.

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利用导数比较大小

已知a、b为实数,且bae,其中e为自然对数的底,求证:ab. 分析:通过考察函数的单调性证明不等式也是常用的一种方法.根据题目自身的特点,适当的构造函数关系,在建立函数关系时,应尽可能选择求导和判断导数都比较容易的函数,一般地,证明f(x)g(x),x(a,b),可以等价转化为证明F(x)f(x)g(x)0,如果

baF(x)0,则函数F(x)在(a,b)上是增函数,如果F(a)0,由增函数的定义可知,当x(a,b)时,有F(x)0,即f(x)g(x).

解:证法一:

bae,∴要证abba,只要证blnaalnb,设f(b)blnaalnb(be),则f(b)lnaa. bbae,∴lna1,且

a1,∴f(b)0.b∴函数f(b)blnaalnb在(e,)上是增函数. ∴f(b)f(a)alnaalna0,即blnaalnb0,∴blnaalnb,ab.证法二:要证ab,只要证blnaalnb(eab),即证babalnalnblnx1lnx(xe),则f(x)0,设f(x)2abxx∴函数f(x)在(e,)上是减函数. 又eab,f(a)f(b),即

lnalnb,abba.ab说明:“构造”是一种重要而灵活的思维方式,应用好构造思想解题的关键是:一要有明确的方向,即为什么目的而构造;二是要弄清条件的本质特点,以便重新进行逻辑组合.解决这种问题常见的思维误区是不善于构造函数或求导之后得出f(x)g(x)f(x)g(x)的错误结论.

判断函数在给定区间上的单调性

函数ylog1121在区间(0,)上是()x清华园教育网

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A.增函数,且y0

B.减函数,且y0

C.增函数,且y0

D.减函数,且y0

分析:此题要解决两个问题:一是要判断函数值y的大小;二是要判断此函数的单调性. 解:解法一:令u11,且x(0,),u1,x则ylog1u0,排除A、B.

2由复合函数的性质可知,u在(0,)上为减函数.

又ylog1u亦为减函数,故ylog11221排除D,选C. 在(0,)上为增函数,x解法二:利用导数法

y11log1e2log2e0 1xx(1x)21x1(x(0,)),故y在(0,)上是增函数. 由解法一知y0.所以选C.

说明:求函数的值域,是中学教学中的难关.一般可以通过图象观察或利用不等式性质求解,也可以用函数的单调性求出最大、最小值等(包括初等方法和导数法).对于复合函数的单调性问题,简单的复合函数是可以利用复合函数的性质进行判断,但是利用导数法判断一些较复杂的复合函数还是有很大优势的.

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