高中数学函数的单调性论文

高中数学函数的单调性论文（通用12篇）

高中数学函数的单调性论文 篇1

摘要：对于函数知识的教学是高中阶段数学教学的重点内容,也是学生学习数学知识过程中的一大难点.在高考试卷中有关于函数知识的考查内容逐年增加,同时还不断增加了难度.函数的单调性的考查几乎是高考每年都需要考查的内容,函数的单调性和单调区间的考察,以及最值和极值在分段函数中的体现等都是高考中的常见考察项目.多种多样的考察方式要求高中数学教师在日常的教学过程中能够综合使用多种解题手段为学生进行讲解,促进学生将函数的单调性含义进行灵活的掌握.

关键词：高中数学,函数单调性,解题方法

据有效数据显示,近年来高考针对数学科目的考察当中有关函数知识的内容正在逐年增加,这说明高中阶段函数知识的学习是非常重要的. 函数单调性的知识在整个函数考察内容当中占有非常重要的比例,考察的侧重点和题型多种多样,因此, 高中数学教师在进行函数知识的讲解过程中应注重帮助学生深入掌握函数单调性含义,才能够提高学生灵活应对各种题型的能力,同时还要在解题过程中综合运用多种方法进行讲解.

一、关于函数单调性教学思考

1.分析教材

高中知识对函数单调性的安排位于函数概念知识的介绍之后,它主要研究函数值在自变量不断发生变化的过程中所产生的变化,这一点上,它与函数的周期性及奇偶性具有一定的相似之处. 只有将函数单调性的知识进行扎实的掌握才能够更好的学习导数和不等式等知识. 函数单调性知识的学习有助于学生逻辑和抽象思维的培养.

高中教材在安排函数单调性知识的过程中,首先以一次和二次函数作为开端,通过将两者之间随着自变量x的变化导致的函数值y的变化来观察其规律,通过了解单调性在二次函数中的体现来推断出一般函数的单调性概念[1].

2.教学思路

作为一个抽象的概念,函数的单调性是一个非常形式化的含义,高中阶段进行函数单调性的教学,能够很好的培养学生数形结合的思维,同时对于学生养成类比和概括等解决问题的方法具有重要的意义. 通过运用图像的方法来进行教学,能够更好的帮助学生理解和记忆函数的单调性知识的由来和应用, 在理解知识表层意识的基础上更加深入的理解知识背后的本质内容,这种教学方法能够有效摆脱传统教学当中机械记忆的弊端.

在进行高中函数单调性教学的过程中,教师首先应该从学生观察到的具体现象来入手,进行引导和讲解. 首先建立相关情境,让学生自主画出随着自变量的变化,函数值进行变化产生的图像,并引导学生通过观察,自己总结出函数单调性的概念; 其次,当学生建立起了对于函数单调性知识的初步认知后,教师应该让学生开始重点体会函数单调性变化的整个过程,通过自变量值的变化所引起的函数值的变化过程都要由学生亲身参与进行总结,加深学生对于函数单调性含义的理解[2].

二、正确运用函数单调性概念

1.函数单调性的概念

f( x) 为假设函数,x为定义域,且当x∈S时该函数成立,设x1和x2是区间W中任意的两个自变量,且W∈S,如果x1小于x2,那么f( x1) 大于f( x2) ,则说明在区间W当中函数f( x) 为单调递减函数; 反之,如果f( x1) 小于f( x2) ,则说明在区间W当中函数f( x) 为单调递增函数. 在研究函数单调性的过程中,如果没有给出明确的单调区间,该函数是不存在说明意义的[3].

2.有效应用函数单调性概念进行解题

当a不等于零时,给出f( x) = a/x + b为假定函数,将该假定函数的单调区间进行判断并写出其单调性.

解答: 由题可知,x不等于零,因此假定函数f( x) 的定义域是负无穷到零与零到正无穷的并集.

当a > 0时,当函数f( x) 的自变量x1和x2在负无穷到零这一区间之内时,假设x1大于x2,那么我们可以得出f( x) = f( x1) - f( x2) = a/x1- a / x2= a( x2- x1) /x1x2,并且零小于x1x2,x1大于x2,因此可以得出f( x) = f( x1) - f( x2) 小于零,也就说明f ( x2) 大于f( x1) ,所以我们可以得出结论在负无穷到零这一区间之内假定函数f( x) 是单调递减的,同样的,在零到正无穷这一区间当中函数f( x) 是单调递减的. 同理a < 0.

三、运用函数单调性进行解题的方法

高中阶段对于函数单调性的教学中,主要研究了它的定义、 导数、复合函数和图像,并结合研究,给出了相关解题方法.

1.运用定义进行解题的方法

首先,将自变量x1和x2作为某一单调区间当中的两个任意数; 其次,将函数值f( x1) 和f( x2) 进行对比,确定两者之间的大小关系; 最后,在严格遵守函数单调性概念的前提下,将单调区间进行确定,得出结论[4].

2.导数知识在解决函数单调性问题过程中的应用

假设D为某设定的区间,在该区间当中,如果函数f( x) 是可导的,并且f '( x) 等于零,则说明函数f( x) 为常函数. 当f( x) 为增函数时,其导数f '( x) 大于零; 当f( x) 为减函数时,其导数f '( x) 小于零.

相同的,假设D为某设定的区间,在该区间当中,如果函数f( x) 是可导的,如果该函数在区间D当中是减函数,那么它的导数一定小于等于零; 如果该函数是增函数,那么它的导数一定大于等于零. 经过这一系列研究之后,我们在判断函数的单调性的过程中就可以简单的以该函数的导数与零之间的关系来进行判定了. 当求出一个函数的导数值之后再进行判断函数的单调性就会将复杂的问题变得简单化. 这一方法,适用于在进行含参函数和高次函数的单调性求值时使用,它能够有效的将复杂的问题进行简单化.

3.复合函数在解决函数单调性问题过程中的应用

在高中的函数知识当中,将函数y = f( t) 与函数t = g( x) 相结合,就能够得到函数y = f( g( x) ) ,这是一个由内层函数t = g ( x) 与外层函数y = f( t) 组合而成的复合函数. 在判断这样一个复合函数的单调性的过程中,我们可以根据内外层函数的单调性来确定,经过推理,当复合函数是递减函数的时候,则说明内外层函数的单调性是不一样的,与之相反的,如果复合函数是递增函数的时候,则说明内外层函数的单调性是一致的.

4.函数图像在解决函数单调性问题过程中的应用

函数图像是解决函数问题中最常用的方法,学生对函数的图像进行观察,能够得到更直接的感受,在解题过程中通过数形结合的方法能够使问题变得更加简单直观. 通过观察函数的图像,我们能够看到当自变量不断变大的时候,在这一区间当中该函数的函数值是不断增加的,那么说明该函数在该区间内单调递增,相反的,如果自变量不断增大的时候,在这一区间当中该函数的函数值是不断减小的,那么说明该函数在该区间内单调递减.

高中数学教师在进行函数单调性教学的过程中,不仅可以让学生掌握一般函数的单调性及其求取方法,还可以引导学生记住几个特殊函数的单调性和图像,例如,f( x) = x + 1 /x,f( x) = x - 1 / x等.

同时,在判断函数单调性的过程中还可以通过观察函数图像的奇偶性的方法来进行. 以原点为中心,关于原点对称的区间内该函数的单调性相同时则说明该函数是奇函数; 如果关于原点对称的区间内该函数的单调性相反,则说明该函数是偶函数.

总之,函数知识一直以来都是高中数学教学过程中的重点和难点所在,同时函数知识的有效学习对于学生在未来数学知识的学习过程中具有重要的地位. 因此,加强高中函数知识教学是非常必要的. 函数单调性知识的考查是整个函数知识考查中的重要内容,充分掌握函数单调性方面的知识能够帮助学生更好的解决不等式恒成立求参数和方程有解求参数的范围等相关问题,因此,将函数单调性知识内容进行扎实的掌握是非常重要的,它是解决其他相关问题的重要前提.

高中数学函数的单调性论文 篇2

北京景山学校 许云尧 【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．

2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力．

3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

【教学重点】 函数单调性的概念、判断及证明．

【教学难点】 归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 【教学方法】 教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】 计算机、投影仪． 【教学过程】

一、创设情境，引入课题 课前布置任务：

(1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因.(2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况.课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜大型国际体育赛事.下图是北京市今年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？

预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；

(2)在某时刻的温度；

(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低.在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的．

问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等．

归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣．

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义.1．借助图象，直观感知

问题1：分别作出函数变化时，函数值有什么变化规律？ 的图象，并且观察自变量

预案：(1)函数

在整个定义域内 y随x的增大而增大；函数

在整个定义域内 y随x的增大而减小．

(2)函数在上 y随x的增大而增大，在上y随x的增大而减小．

(3)函数 在上 y随x的增大而减小，在上y随x的增大而减小．

引导学生进行分类描述(增函数、减函数)．同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质．

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数? 预案：如果函数在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数

在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们在该区间上为增函数；如果函数说函数在该区间上为减函数．

教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观，描述性的认识． 〖设计意图〗从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识． 2．探究规律，理性认识

问题1：下图是函数和减函数吗？ 的图象,能说出这个函数分别在哪个区间为增函数

学生的困难是难以确定分界点的确切位置．

通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究．

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性． 问题2：如何从解析式的角度说明

在为增函数？

22预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1<2,所以为增函数．

(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以(3)任取，所以

在,因为为增函数．

在为增函数．

在,即对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析,使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量．

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的第二次认识．事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好铺垫.3．抽象思维，形成概念

问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义．(1)板书定义(2)巩固概念 判断题：

① ②若函数 ③若函数数．

在区间

和(2,3)上均为增函数，则函数

．

．

在区间(1,3)上为增函④因为函数在区间上是减函数.上都是减函数，所以在

通过判断题，强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．

③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数．

思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数? 〖设计意图〗让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识.三、掌握证法，适当延展

例 证明函数

在上是增函数．

1．分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流．

证明：任取 ，设元

求差

变形，断号

∴ ∴

即

∴函数

2．归纳解题步骤

在上是增函数．

定论

引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论．

练习：证明函数

问题：要证明函数

在区间

上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对

在上是增函数．

任意的，且有可以吗? 引导学生分析这种叙述与定义的等价性．让学生尝试用这种等价形式证明函数在

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤．等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔．

四、归纳小结，提高认识

学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结．

1．小结

(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论．(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等． 2．作业

书面作业：课本第60页习题2.3 第4，5，6题． 课后探究： 上是增函数．(1)证明：函数在区间上是增函数的充要条件是对任意的，且

有．

(2)研究函数 的单调性，并结合描点法画出函数的草图．

《函数的单调性》教学设计说明

一、教学内容的分析

函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其它性质提供了方法依据．

对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：（1）要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；（2）单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的．根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点．

二、教学目标的确定

根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成．

三、教学方法和教学手段的选择

本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法．本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识．

四、教学过程的设计

为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：（1）在探索概念阶段, 让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识,使得学生对概念的认识不断深入．（2）在应用概念阶段,通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤．

关于高中函数单调性的学习研究 篇3

【关键词】高中数学 函数单调性 学习研究

一、函数单调性研究的必要性

新课程标准在普通高中数学教学上的要求明确指出，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念和结论所产生的背景与应用，体会其中所蕴含的数学思想与方法，以及在后续学习中的实际作用。不难看出，新课程标准不仅仅强调知识的传达，更注重数学概念的教学，尤其是对数学概念本质和数学思想方法的理解。而函数的单调性无论是教学方式还是学习方式，特别是其研究方法对函数的后续性质内容上的学习具有十分良好的示范性作用。因此，函数的单调性研究是非常有必要的。从函数单调性知识的本身而言，学生对于函数单调性的学习主要分为几个阶段。首先，学生们需要对学习一次函数、二次函数以及反比例函数图像基础上的增减性有一个具体的认知。其次，在函数单调性的定义上，学生们应进行进一步的探析，从数和图像两个方面来理解单调性的性质。再次，学生们在高中后期阶段，还需要利用导数作为研究函数单调性的工具，高中起始阶段的函数单调性学习是学生们初中知识的一个延续，还需要以此作为后续学习的理论基础，起到一个承前启后的作用。函数的单调性学习为进一步进行函数其他性质的学习提供了方法的依据。这一过程的知识学习从学科角度讲深化了学生们的知识掌握能力，与此同时，还能够培养学生们的逻辑思维能力，提高学生们的综合素质。

二、教学中出现的重点与难点

函数单调性在学习过程中与普通的知识理论学习有所差异，需要学生们掌握利用数学符号语言刻画图像的能力，将单调性直观上的感性认识上升到理论性的认知高度。这对于学生而言意味着由数到形的一个翻译过程，这也是学生们对函数单调性学习上的一个难点。此外，学生们理论思想上的推理论证能力较为薄弱，函数单调性是学生们学习生涯中首次接触到的代数论证的内容，因此在问题的理解和解决能力上有所欠缺，需要进行长时间的讲解学习，养成习惯性的思想和解题思路。

三、教学目标的要求

随着新课程标准的建立，高中数学在函数单调性教学上更加强调基础性和重要性。纵观我国高中数学课堂的教学现状，部分教师引导着学生们进行数学概念的探索，但在一教学过程当中教师通常会忽视学生的独立思考与建构，忽视了学习的过程而仅仅重视知识的灌输，因此，教师们在教学活动中仍会出现诸多不理想的教学成果，教学方法有待革新。由此应当明确教学目标，结合教学目标制定相应的教学策略并做好精确的课堂设计。从知识学习的角度，第一，课堂教学应注重让学生从数与形两个方面理解函数单调性的概念，初步掌握函数图像的运用；第二，应通过对函数单调性定义的探究，向学生们渗透数学思想，多角度的培养学生们的抽象能力和语言表达能力，提高学生们的理论推理能力；第三，培养学生们养成良好的学习习惯，形成正确的理论认知。

四、教学方法的制定

函数的单调性是一个复杂而抽象的概念，在探索这一概念的过程当中，需要采用多样化的教学方法，通过融入概念并同化的形式进行教学。首先让学生们对函数的单调性产生一个最为直观的感知，在经过同化使得新概念与原有的概念发生冲突，使学生们经历这种知识探索的过程，从而引导学生得到形式化的新型概念。在教学过程当中，根据教材和相关材料提供的线索，可以由教师的引导和组织，利用情境教学的方法，开拓学生的数学思维，使得学生有机会经理数学概念抽象化的各个阶段，让学生在教师的辅助下进行独立思考，展开深入探究，从而创造性地解决问题，最终形成概念意识。

结语

综上所述，函数是高中数学学习中的重点内容，函数的单调性作为整个函数学习体系中的基础，同时还能够与众多数学问题相互结合，对学生们对函数知识的整体掌握具有重要的意义。同时，函数的单调性这一方面的知识，从学生角度而言，也是高中数学学习的难点所在。因此，数学教师必须明确教学目标，对函数单调性的教学予以足够的重视和正确的认识，并在此基础上为学生们建立起科学合理的教学方法。这一阶段的函数相关知识的学习，不仅仅要让学生们掌握理论知识，还要培养学生们的思维能力和思考方式，培养学生良好的学习习惯，提高其观察、分析、运算、推理等综合性的数学运用能力。唯有如此，才能够有效提高教学效率，培养学生的创新思考以及良好的数学修养。

【参考文献】

[1] 代婷. 充分认识差别，切实领会新课程理念——对新、旧高中数学教材中“函数”部分内容编排的比较[J]. 内蒙古师范大学学报（教育科学版），2006（06）： 131-133.

[2] 许梦日、任传贤. “导数及其应用”部分教学高校与高中衔接问题探究[J]. 阜阳师范学院学报（自然科学版），2006（03）：84-87.

[3] 陈美英. 数学分析“举高”师范生高中数学知识的教学探讨[J]. 新课程研究（中旬刊），2011（08）：83-85.

高中数学函数单调性解题方法探讨 篇4

一、有关函数单调性的分析

1．苏教版高中教材中关于函数单调性的概念解释

一般的，设函数y=f(x)的定义域为A，区间ⅠA．如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的单调增区间．如果对于区间I内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y=f(x)的单调减区间．如果函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性．

2．函数单调性的作用

高中学生通过一次函数和二次函数的学习，已经初步的了解了函数的增减性问题．高中数学中的单调函数的学习要从函数的定义和概念出发进行了解和学习，函数的单调性是高中学生学习函数的最初了解，利用数学的符号和例子进行解释是最佳的方法，函数的单调性是一种变量的变化，学生会通过直观感受、文字描述和严格定义进行了解．函数的单调性是学习函数其他作用的基础，同时，函数的单调性也是解决一些数学问题的基础．

二、函数单调性的解题方法研究

1．用导数的知识来进行解答

可导函数的解题方法是在求导的基础上发展起来的，通常是比较简单的方法．求导是解析函数单调性的前提．高次函数和含参函数的单调性问题，也是利用求导解析函数单调性的最好方法．

比如2013年江苏高考中有这样一道题目:设函数f(x)=lnx-ax,g(x)=ex-ax，其中a为实数．求:(1)若函数f(x)在(1，+∞)上是单调减函数，且g(x)在(1，+∞)上有最小值，求a的取值范围．

解:因为f'(x)=1/x-a=(1-ax)/x，考虑到函数f(x)定义域为(0，+∞)，且f(x)在(1，+∞)上是单调减函数，所以a>0．令f'(x)<0得x>1/a，所以f(x)在区间(1/a，+∞)上是单调减函数．由于f(x)在(1，+∞)上是单调减函数，故(1，+∞)(1/a，+∞)，从而1/a≤1，所以得a≥1．令g'(x)=ex-a=0得x=lna，当x<lna时，g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>lna时，g'(x)>0,g(x)单调递增;又g(x)在(1，+∞)上有最小值，所以lna>1，得a>e．所以，a的取值范围为(e，+∞)．

2．复合函数的解题技法

如果出现内外函数单调性相反，那么复合的函数就是一个减函数．如果内外函数的单调性相同就是增函数．在复合函数的解题过程中，可以把复合函数进行分解，分解成为内外两种函数，再对这两种函数的单调性进行分别的分析和研究，能够快速的得出复合函数的单调性，对于复合函数来说，分解是比较好的方法之一．

比如，判断复合函数f(x)=4x2+1的单调性，要首先区分出外层函数f(t)=4t，内层函数t=x2+1．由于内层函数是关于对称的偶函数，在(-∞，0)上递减，在(0，+∞)上递增;外层函数f(t)=4t作为指数函数，在(-∞，+∞)上递增．因此依据复合函数同增异减的特性可知，当x在(-∞，0)取值时，f(x)=4x2+1单调递减，当x在(0，+∞)取值时，f(x)=4x2+1单调递增．

3．用函数的图象解答

运用函数的图象可以看出函数区间的增减性趋势，然后进行解题．在单调的区间上如果图象中出现上升的形式，并且x值一直的增大，那么这种函数就是增函数．在函数单调性的教学过程中，教师可以让学生对常见的函数图象进行记忆，这对于解题是非常有帮助的．在函数的图象解题中还涉及到函数的奇偶性．奇函数在原点对称的区间上单调性相同，而偶函数在原点对称上单调性相反．

已知,(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求证f(x)>0．在判断此函数为偶函数的前提下，在对第二问进行求证的时候，要证明x>0时，f(x)>0，也就是对进行验证就能减少运算的步骤．

4．函数的定义法解题技巧

已知函数f(x)=x3+sinx,x∈(-1,1)，若f(1-m)-f(m2-1)<0，求m的取值范围．

解:由函数的单调性定义可知，若函数y=f(x)在区间I上为单调增函数，且f(x1)<f(x2)，那么x1<x．判断出f(x)在区间(-1,1)上是单调增函数，因此，f(1-m)-f(m2-1)<0，可化为f(1-m)<f(m2-1)，根据单调性的定义可得1-m<m2-1,-1<1-m<1,-1<m2-1<1，从而求出m的取值范围为

高中数学函数的单调性论文 篇5

教学过程： 【引 例】

1、确定函数yx24x3在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？ 解：yx24x3(x2)21，在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数。问：

1、为什么yx24x3在(,2)上是减函数，在(2,)上是增函数？

2、研究函数的单调区间你有哪些方法？

都是反映函数随自（1）观察图象的变化趋势；（函数的图象必须能画出的）

变量的变化情况。（2）利用函数单调性的定义。（复习一下函数单调性的定义）

322、确定函数f(x)=2x－6x+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

（1）能画出函数的图象吗？那如何解决？试一试。提问一个学生：解决了吗？到哪一步解决不了？（产生认知冲突）

（2）（多媒体放映）

【发现问题】定义是解决单调性最根本的工具，但有时很麻烦，甚至解决不了。尤其是在不

32知道函数的图象的时候，如函数f(x)=2x－6x+7，这就需要我们寻求一个新的方法来解决。

（研究的必要性）事实上用定义研究函数yx24x3的单调区间也不容易。【探 究】

我们知道函数的图象能直观的反映函数的变化情况，下面通过函数的图象规律来研究。

32问：如何入手？（图象）从函数f(x)=2x－6x+7的图象吗？

1、研究二次函数yx4x3的图象；（1）（2）（3）（4）（5）学生自己画图研究探索。

提问：以前我们是通过二次函数图象的哪些特征来研究它的单调性的？（开口方向，对称轴）既然要寻求一个新的办法，显然要换个角度分析。

提示：我们最近研究的哪个知识（通过图象的哪个量）能反映函数的变化规律？ 学生继续探索，得出初步规律。几何画板演示，共同探究。得到这个二次函数图象的切线斜率的变化与单调性的关系。（学生总结）： ①该函数在区间(,2)上单调递减，切线斜率小于0，即其导数为负； 在区间(2,)上单调递增，切线斜率大于0，即其导数为正；

注：切线斜率等于0，即其导数为0；如何理解？

②就此函数而言这种规律是否一致？是否其它函数也有这样的规律呢？

2、先看一次函数图象；

3、再看两个我们熟悉的函数图象。（验证）（1）观察三次函数yx的图象；（几何画板演示）

（2）观察某个函数的图象。（几何画板演示）

指出：我们发现函数的单调性与导数的符号有密切的关系。这节课我们就来学习如何用导数

专心

爱心

用心

∴y=x－9x+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4 32.∴y=x－9x+24x的单调减区间是(2，4)322(2)解：y′=(3x－x)′=3－3x=－3(x－1)=－3(x+1)(x－1)令－3(x+1)(x－1)＞0，解得－1＜x＜1.3∴y=3x－x的单调增区间是(－1，1).令－3(x+1)(x－1)＜0，解得x＞1或x＜－1.3∴y=3x－x的单调减区间是(－∞，－1)和(1，+∞)

2、设yf(x)是函数yf(x)的导数, yf(x)的 图象如图所示, 则yf(x)的图象最有可能是()32小结：重点是抓住导函数的图象与原函数的图象从哪里发生联系？ 【课堂小结】

1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导, ′如果f(x)>0, 则f(x)为增函数;如果f′(x)<0, 则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中的应用.3.掌握研究数学问题的一般方法:从特殊到一般,从简单到复杂.【思考题】

32对于函数f(x)=2x－6x+7 思考

1、能不能画出该函数的草图？ 思考2、2x76x在区间（0，2）内有几个解？ 【课后作业】 3课本p42习题2.4 1,2

专心

爱心

关于复合函数的单调性问题 篇6

一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：

例1已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是( )

(A).(0,1) (B).(1,2)(C).(0,2) (D). 2，+∞)

解：设y= logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，

∵ 函数y=loga u在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，

∴ y= logau是u∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，

令g(x)= 2-ax，由{g(0)=2-a•0>0g(1)=2-a•1>0 ，解得a<2，∴1

二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型：

例2讨论函数y=㏑(x2－4x+3)的单调性

解：令y= ㏑u，u= x2－4x+3，由x2－4x+3>0知函数的定义域为x＜1或x＞3

因y=㏑u在u∈(0,+∞)上是增函数，而u= x2－4x+3在x∈(-∞，1)上是减函数，

在(3，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，

函数y=㏑(x2－4x+3) 在x∈(-∞，1)上是减函数，在(3，+ ∞)上是增函数。

例3讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。

解：函数定义域为R。

令u=x2-4x+3，y=0.8u。

指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，

u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，

∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。

三、外函数有两种单调性，而内涵数只有一种单调性的复合型：

例4 在下列各区间中，函数y=sin(x+π4)的单调递增区间是( )

(A).[π2，π](B).[0，π4] (C).[-π，0](D). [π4，π2]

解：令y=sinu，u=x+π4，∵y=sinu在u ∈[2kπ- π2，2kπ+ π2](k∈Z)上单调递增，

在u ∈[2kπ- π2，2kπ+π2](k∈Z)上单调递增，而u=x+π4在R上是增函数，

根据函数单调性的复合规律，由2kπ- π2≤x+π4≤2kπ+ π2得

2kπ- 3π4≤x≤2kπ+π4，当k=0时，- 3π4≤x≤π4，故选(B) .

例5讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性。

解：显然函数定义域为(0，+∞)。

令 u=log2x，y=u2+u

∵ u=log2x在(0，+∞)上是增函数，

y=u2+u在(-∞， ]上是减函数，在[ ，+∞)上是增函数(注意(-∞， ]及

[ ，+∞)是u的取值范围)

因为u≤log2x≤ ，0＜x≤ ，(u≥ log2x≥ x≥ )

所以y=(log2x)2+log2x在(0， ]上是减函数，在[ ，+∞)上是增函数。

四、外函数与内函数都有两种单调性的复合型：

例6已知函数f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) ()

(A).在区间(-1，0)上是减函数； (B).在区间(0， 1)上是减函数；

(C).在区间(-2，0)上是增函数； (D).在区间(0， 2)上是增函数.

解：令g(x)=f(u)=-(u-1) 2+9，u=2-x2，则

(1) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈(-∞，1]上是增函数，与u=2-x2具有相同的增减性，

由2-x2≤1得 x≤-1或x≥1，而u在x∈(-∞，-1]上是增函数，

u在x∈[1,+∞)上是减函数，

∴g(x)在区间(-∞，-1]上是增函数, 在区间[1，+∞)上是减函数.

(2) g(x) =-(u-1) 2+9在u∈[1,+∞)上是减函数，与u=2-x2具有相反的增减性，

由2-x2≥1得 -1≤x≤1，而u=2-x2在x∈ [-1,0] 上是增函数，

在x∈(0， 1]上是减函数，

∴g(x) =-(u-1) 2+9在区间[-1，0]上是减函数, 在区间(0，1]上是增函数.

关于高中函数单调性定义的解读 篇7

一般的, 设函数f (x) 的定义域为I:

如果对于函数f (x) 的定义域I内某个D区间上的任意两个自变量的值x1, x2,

⑴若当1x

⑵若当1xf (x2) , 则说f (x) 在这个区间上是减函数.

函数的增减性统称为函数的单调性.

理解和掌握上述定义, 需注意一下六点:

一、单调性的知识背景

在初中学习时, “y随着x的增大而增大”, 或“y随着x的增大而减小”, 这实际就是函数单调性定义的雏形.而高中阶段单调性的定义, 也就是对上述诊断的数量刻画.例如, 1x

二、单调性是相对于一个区间而言的概念

单调性是针对定义域内的某个区域而言的, 反映的是函数的局部性质.有两层含义:一是在函数的整个定义域内, 它可能有若干个增区间或者减区间;二是在叙述函数的单调性时, 必须同时指出其相应的单调区间.

函数的某个单调区间, 可能是其定义域本身, 抑或是定义域的一部分, 故单调区间D是定义域I的子集.其中边界点 (或称临界点) 写在区间内或者不写在区间内都不影响函数在其区间的单调性, 也就是说函数单调性不因边界的一个具体的数值而改变.即:函数在某个单调区间既可以写成开区间, 又可以写成闭区间.

三、自变量的值x1, x2是表示某区间内任意值

对于D区间上的两个自变量的值x1, x2, 注意一定要表达出具有的任意性, 而非某些特殊值, 方能使D区间内的每一个值都能被x1, x2所表示, 不失一般性;否则D区间就不一定具备单调性, 或者不能将D区间进行正确的描述.

四、单调区间不能用并集表示

当一个函数有若干个增区间 (或者减区间) 时, 其单调区间不能用并集表示, 例如:

函数y=-x2+2|x|+3的单调递增区间是__________, 单调递减区间是__________.

有的学生填写的答案就是:单调递增区间是 (-∞, -1) U[0, 1], 单调递减区间是[-1, 0]U[1, +∞) .虽然他们明白了函数各个区间的单调性, 但是其结果的表达方式是错误的.

错误原因就在于对两个区间上的任意两个自变量值x1, x2, 并不能总符合增函数 (或减函数) 的定义.

五、单调性的图像特征

函数在某区间上单调递增⇔图像从左至右呈上升趋势;函数在某区间上单调递减⇔图像从左至右呈下降趋势, 从而为我们凭借几何直观的简单图像 (或者说几何定义也好) 来处理一些单调性的问题提供了很大的方便.

六、单调性的命题意义

函数单调性的定义是一个真命题, 并且, 其逆命题也是真命题.

逆命题1:已知函数y=f (x) 在定义域的某个区间上为增函数, 若1x

逆命题2:已知函数y=f (x) 在定义域的某个区间上为增函数, 若f (1x)

同理, 由减函数的定义也可以构造出于此类似的两个命题, 就不在此赘述了.

逆命题1的意义是:利用函数单调性比较两个函数值的大小 (常见于指数与对数比较中) .

逆命题2的意义是:根据函数y=f (x) 在某个区间上递增与函数值的大小关系, 可以确定自变量值的大小关系.其价值在于把1x与x2从函数的对应法则f下解放出来, 是构建不等式求解的未知数取值范围的重要解题依据和途径.

【例】:已知函数f (x) 在其定义域R+上为增函数且f (2) =1, f (xy) =f (x) +f (y) ,

解不等式:f (x) +f (x-2) ≤3.

【解】不等式f (x) +f (x-2) ≤3可以转化为f[x (x-2) ]≤f (8) ,

又因为函数f (x) 在其定义域R+上为增函数,

高中函数单调性教学探析 篇8

一、函数单调性教学的重难点

高中数学与初中数学相比难度性大大增加, 但是它的知识点也是从生活中演变过来的, 能够在实际生活中得到有效应用。 初中数学作为高中数学的基础, 比较抽象, 难以理解, 但是学生在面对高中数学问题的时候, 大可不必过分害怕, 只要在学习中找到解题技巧, 就可以从中获取快乐。 函数单调性问题一直是基础较薄弱的学生的软肋, 它的区间概念也可以被称为局部概念, 无非就是区间内的增减性问题, 若是教师然学生牢记并理解这一概念, 那么学生在学习过程中就会快捷许多。

二、函数单调性的教学方法

在高中数学的函数单调性教学中, 概念作为解题的基础虽然是十分重要的, 但是在实际解决问题的时候, 方法却能够起到解题的决定性作用, 因此教师在教学的时候一定要重视解题方法的教学, 帮助学生更好更快地得出答案。 高考数学中, 每年都会出现的一个知识点中就包括函数, 题目的涵盖范围虽然小, 变化却是多样的。 不难发现, 虽然数学高考中函数的题目一直在变, 但是解题方法没有什么多大的变化, 所以教师在教学中要充分考虑到学生的解题思路, 帮助学生在函数单调性题目中快速地求得答案。

1.合理利用举例让学生学会举一反三

在高中数学的试卷中, 最常出现的题目就是让学生利用函数的导数求函数的单调性, 或者是求极值问题, 这类问题的问法多样, 教师在教学过程中需要举出一个最典型的题目进行详细解答, 让学生明白解题的原理, 通过公式概念来求。我们一般见到的函数题目都是由几个小问题组成一道大题, 这些小问题由易到难, 可利用的知识点越来越多, 教师在讲解题目的时候也要遵循这个顺序, 这样就可以帮助一些基础较薄弱的学生拿到函数问题的基础分, 基础较扎实的学生拿全分。

求函数单调性的最值问题及极值问题是高中数学教学中最基础的典型例题, 而教师可以利用这种典型例题让学生明白其中的公式原理, 帮助学生一步步地掌握知识点解题, 从而将混乱的知识点清晰化, 做到不失分、不丢分。 若是教师按照书本上的知识点进行讲解, 就过于抽象化。 例如, 设函数y=f (x) 在某个区间内可导, 如果f (x) >0, 则f (x) 为增函数;如果f (x) <0, 则f (x) 为减函数;若f (x) =0, 则f (x) 为常数函数。 这种抽象的概念虽然能够套用到每一个函数题目中, 但是学生在不理解的情况之下难以利用。

2.学会利用草图帮助解题

每一位高中数学教师在进行函数单调性教学的时候都会利用图形进行讲解, 但是每一位数学教师的画图方式都不同导致学生的学习方式也不同, 但是都需要了解的是, 图形要画的简单明了, 在较短时间内画出图形。 若是学生在利用草图解答的时候, 花在图形上的时间较长, 那么解题时间就会被缩短, 反而得不偿失。 例如, 一些简单的函数选择填空题就可以利用画图快速地得到正确答案。 例如, 题目中结合了其他的知识点定义区间, 要求学生利用所学知识点求区间, 学生就可以根据选项将区间定义出来, 画出草图, 知晓在某一区间的递增或是递减之后, 就可以求得这个函数在哪个区间递增或递减的速度最快, 从上升趋势中得到正确答案。

三、结语

在高中数学教学过程中, 函数单调性问题作为学生必须掌握的知识点受到学校、家长和老师的极大关注, 每一位高中数学教师在教授到函数知识点这一章节的时候都会遇到困难, 学生在学习的时候较吃力。 因此, 高中数学教师就要从不同角度思考问题, 从学生所难以理解的知识点出发, 帮助学生攻克问题, 只有教师和学生共同努力, 才能够在合理的时间内科学地完成教学任务。 高中数学教师在教学时不能故步自封, 在原有的基础上要进行教学方法创新, 本文主要是从比较常用的两种方法入手帮助学生解决函数单调性的问题, 教师要考虑到学生的不同接受能力, 有选择地开展教学活动, 帮助学生更有效地掌握相关知识点, 提高高中数学成绩。

参考文献

[1]周杰.高中数学函数内容教学研究[J].数理化解题研究 (高中版) , 2013 (12) .

运用函数的单调性解题 篇9

函数的单调性是函数的重要性质之一, 在解题时若能合理巧妙地加以运用, 定会给你带来快捷的解题思路.本文举例谈谈函数的单调性在解题中的多方面应用.

一、用于比较两个数的大小

例1 比较 log2 (x+1) 与 log2 (2x+3) 的大小.

分析:从题设的两个对数式, 便联想起 y=log2u在 (0, +∞) 上是单调函数, 因此只要比较两个真数的大小, 原题就可获解.

解:由

$\{\begin{array}{l}x+1＞0‚\\ 2x+3＞0‚\end{array}$

解得 x>-1.

当 x>-1时, 有0<x+1<2x+3.

又因为函数 y=log2u 在 (0, +∞) 上单调递增, 所以 log2 (x+1) <log2 (2x+3) .

二、用于证明不等式

例2 已知 a、b、c∈R+, c<a+b 且 c>a-b, 求证$\frac{c}{c+1}＜\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}.$

分析:观察题中的$\frac{c}{c+1}‚\frac{a}{a+1}‚\frac{b}{b+1}$的特征, 自然会考虑函数$f(x)=\frac{x}{x+1}$.然后利用此函数在 (0, +∞) 上是增函数, 可获结论.

证明:构造函数$f(x)=\frac{x}{x+1}=1-\frac{1}{x+1}$, 由此可知 f (x) 在 (0, +∞) 上是单调递增函数.

又由 c<a+b, 有 f (c) <f (a+b) ,

$\begin{array}{l}\text{即}\frac{c}{c+1}＜\frac{a+b}{(a+b)+1}\\ =\frac{a}{(a+b)+1}+\frac{b}{(a+b)+1}\\ ＜\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}‚\end{array}$

故$\frac{c}{c+1}＜\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}.$

三、用于求函数的最值

例3 求函数$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}$的最大值.

$\begin{array}{l}\text{解}:\text{由}f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}\\ =\frac{4}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-3}}‚\end{array}$

知函数$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}$在其定义域[3, +∞) 上是减函数, 所以函数$f(x)=\sqrt{x+1}-\sqrt{x-3}$的最大值是 f (3) =2.

四、用于求解方程

例4 解方程2x+3x+6x=7x.

解:原方程可变形为

$(\frac{2}{7}){}^x+(\frac{3}{7}){}^x+(\frac{6}{7}){}^x=1.$

设$f(x)=(\frac{2}{7}){}^x+(\frac{3}{7}){}^x+(\frac{6}{7}){}^x$,

因为$0＜\frac{2}{7}‚\frac{3}{7}‚\frac{6}{7}＜1$,

所以$f(x)=(\frac{2}{7}){}^x+(\frac{3}{7}){}^x+(\frac{6}{7}){}^x$在R内单调递减.

$\begin{array}{l}\text{而}f(2)=(\frac{2}{7}){}^2+(\frac{3}{7}){}^2+(\frac{6}{7}){}^2\\ =\frac{4+9+36}{49}=1‚\end{array}$

所以要使$f(x)=(\frac{2}{7}){}^x+(\frac{3}{7}){}^x+(\frac{6}{7}){}^x=1=f(2)$, 有且只有 x=2, 所以原方程的解为 x=2.

五、用于求不等式的解集

例5 设 f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的增函数, 且$f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y)‚f(3)=1$, 求解不等式$f(x)-f(\frac{1}{x-3})＞2.$

解:由于$f(\frac{x}{y})=f(x)-f(y)$,

所以$f(x)-f(\frac{1}{x-3})=f(x{}^2-3x).$

令 x=9, y=3, 则

f (3) =f (9) -f (3) ,

故 f (9) =2f (3) =2, 原不等式即为

f (x2-3x) >f (9) .

由于 f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的增函数, 故原不等式等价于

$\{\begin{array}{l}x＞0‚\\ x-3＞0‚\\ x{}^2-3x＞9.\end{array}$

解得$x＞\frac{3+3\sqrt{5}}{2}.$

所以原不等式解集为$\{x|x＞\frac{3+3\sqrt{5}}{2}\}.$

六、用于求参数的取值范围

例6 设函数

$f(x)=\lg \frac{1+2{}^x+3{}^x+\cdots +(n-1){}^x+n{}^{x}a}{n}(a\in \mathbf{R}‚n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}‚n\ge 2)$.若当 x∈ (-∞, 1]时, f (x) 有意义, 求 a 的取值范围.

解:由 f (x) 有意义, 则

1+2x+3x+…+ (n-1) x+nxa>0,

于是$a＞-[(\frac{1}{n}){}^x+(\frac{2}{n}){}^x+(\frac{3}{n}){}^x+\cdots +(\frac{n-1}{n}){}^x](n\in \mathbf{{\rm N}}{}^{*}‚n\ge 2)$在 x∈ (-∞, 1]上恒成立.

设$g(x)=-[(\frac{1}{n}){}^x+(\frac{2}{n}){}^x+(\frac{3}{n}){}^x+\cdots +(\frac{n-1}{n}){}^x]$,

由$-(\frac{m}{n}){}^x(m=1‚2‚3‚\cdots ‚n-1)$在 x∈ (-∞, 1]上均为增函数, 知 g (x) 在 (-∞, 1]上为增函数.

$\begin{array}{l}\text{所}\text{以}g(x)\le g(1)\\ =-(\frac{1}{n}+\frac{2}{n}+\frac{3}{n}+\cdots +\frac{n-1}{n})\\ =\frac{1-n}{2}.\end{array}$

所以当$a＞\frac{1-n}{2}$时, a>g (x) 在 x∈ (-∞, 1]上恒成立, 从而得 a 的取值范围是$(\frac{1-n}{2}‚+\infty ).$

七、用于求值

例7 实数 x, y 满足$(x+\sqrt{x{}^2+1})(y+\sqrt{y{}^2+1})=1$, 求 x+y 的值.

解:设$f(t)=t+\sqrt{t{}^2+1}(t\in \mathbf{R})$, 则 f (t) 在R上单调递增.由题设等式可得

$\begin{array}{l}x+\sqrt{x{}^2+1}=\frac{1}{y+\sqrt{y{}^2+1}}\\ =-y+\sqrt{(-y){}^2+1}‚\end{array}$

所以 f (x) =f (-y) ,

即 x=-y, 故 x+y=0.

八、用于求值域

例8 求函数$y=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{2}+\frac{2}{\text{s}\text{i}\text{n}x}(0＜x＜\text{π})$的值域.

解:令$\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{2}=t$, 则$f(t)=t+\frac{1}{t}‚t\in (0‚\frac{1}{2}].$

又 f (t) 在$(0‚\frac{1}{2}]$上单调递减, 则 f (t) 的最小值是$f(\frac{1}{2})=\frac{5}{2}$.故函数$y=\frac{\text{s}\text{i}\text{n}x}{2}+\frac{2}{\text{s}\text{i}\text{n}x}(0＜x＜\text{π})$的值域为$[\frac{5}{2}‚+\infty ).$

从上述各例不难看出, 运用函数的单调性解题, 关键在于合理的利用题设条件, 构造出相应的函数, 并将原问题进行等价转换, 通过函数的单调性使问题得以解决.

江苏省南京市溧水县第二高级中学

对话函数单调性 篇10

在讲解函数的单调区间时, 我按惯例, 找两位同学到黑板上演算, 然后介绍最典型的解法.结果发现两同学的方法完全不一样, 与我原计划只讲解最典型的解法不一致, 但是这也正好反映出了对复合函数单调性的不同理解, 给我在教学上启发很大.

过程

甲同学的解题过程:

解:设, 则

y=-3sinu的单调增区间为

, 即

y=3sin的单调增区间为

同理, y=3sin () 的单调减区间为

老师:甲同学做得很好, 在此处求y=Asin (ωx+φ) 中ω<0时的单调区间时, 我们一般将ω<0转化成y=Asin (|ω|x+φ) 的形式, 使x的系数为正, 然后利用三角函数的单调性去求解.这是一种常用的方法, 值得大家去学习.

乙同学的解题过程:

解：

当时, 是的增区间;

当时, 的减区间.

老师:乙同学的解法过程正确, 其方法主要也是将y=3sin () 中x的系数由负数转化为正数, 然后利用三角函数的单调性去求解, 但结果与甲的不一样, 为什么?

学生:其实两位同学都是将一个复杂的复合函数通过三角变换转化为一个较为简单的复合函数, 思路都是把x的系数由负数转化为正数, 然后利用三角函数的单调性去求解.其实, 这两种方法是统一的.当在乙的结果中取k=k'+1时, 增区间就转化为与甲的结果统一了.

教师点评

其实, 甲乙两同学的解法都是很典型的求解三角函数与一次函数复合而成的复合函数单调性的方法.但是, 从分析问题的切入点不同, 得到了不同的解题思路.由此, 只要我们在解决问题时, 能够充分认识问题的根源, 则不论我们用什么方法, 都会给我们带来思维上的前进.这才是我们数学课堂的真正收益.

教学反思

第一, 在教学观念上, 要大力提倡以学生为主体、教师为主导的教学宗旨.要转变教师的角色, 由“授业解惑”者逐渐变为组织者、引导者与合作者, 让学生自己去体会, 去感悟, 使学生真正成为主角.

第二, 采用合作学习、自主学习等以学生为主体的教学方法, 充分展示学生的思维过程与理解水平, 真正做到训练学生的思维.就上面的练习, 两位同学从不同角度应用化归的思想, 将问题转化, 这就真正体现了思维的升华.

第三, 从新课程的理念去理解.数学教学以训练学生的参与意识、实验意识, 提高学生的动手能力为主.因为有效的数学学习活动不单纯地依赖模仿与记忆.动手实践、自主探索与合作交流才是学习数学的重要方式.学生的数学学习活动应当是一个生动活泼和富有个性的过程.

如何利用导数研究函数的单调性 篇11

利用导数研究函数单调性，方法不一，选择恰当的方法，简洁明了；反之，虽然也可以进行到最后，但是需要大量的计算.本文将各类方法进行了总结，并点明了注意问题，分析了各方法的优点、缺点、适用范围.

一、 正用

例1求函数y=3x2-2lnx的单调递增区间.

解析：函数的定义域为（0，+∞）

∵ f′(x)=6x-2x=2(3x2-1)x

∴ 令f′(x)＞0，结合x＞0，得x＞33

∴ f(x)的单调递增区间为33,+∞

【方法总结】用导数方法求函数单调区间：首先，求函数定义域、求导f′(x)；然后令f′(x)＞0得到函数的递增区间，令f′(x)＜0得到函数的递减区间.

二、 逆用

例2已知函数f(x)=x2+mx(常数m∈R）在x∈［2，+∞）上单调递增，求m的取值范围.

【方法一】若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈(a,b)上恒成立，且f′(x)=0的点是孤立的；若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f′(x)≤0在x∈(a,b)上恒成立，且f′(x)=0的点是孤立的.恒成立问题可以转化成求最值问题.

解析：∵ 函数f(x)=x2+mx（常数m∈R）在x∈［2，+∞）上单调递增，

∴ f′(x)=2x3-mx2≥0在x∈［2，+∞）上恒成立

∴ m≤2x3在x∈［2，+∞）上恒成立

∴ m≤（2x3）min，x∈［2，+∞)

∵ 当x∈［2，+∞）时，y=2x3是增函数

∴ （2x3）min=16∴ m≤16

当m=16时，f′(x)≥0且f′(x)=0的点是孤立的（只有f′(2)=0），∴ m=16合题

∴ m的取值范围为（-∞，16］

适用性分析：这是解决“逆用”问题的基本方法.注意检验f′(x)=0的点是否孤立.

例如：（1） 已知函数g(x)=ax+1在［1，2］上是减函数，则a的取值范围是a＞0（a=0时，经检验不合题）.

（2） 若函数f(x)=cosx+px+q在x∈R上是减函数，则p的取值范围是p≤-1（p=-1时，f′(x)=0的点有无数个，但这些点是孤立的，故p=-1合题）

【方法二】首先用m表示出f(x)的单调递增区间（a,b），然后根据关系［2，+m）(a,b)得出m的取值范围.

解析：f(x)的定义域为{x|x≠0}

∵ f′(x)=2x3-mx2，令f′(x)＞0，得x＞3m2

∴ f(x)的单调递增区间为（3m2，+∞）

∵ f(x)在x∈［2，+∞）时单调递增

∴ 3m2≤2解得m≤16

∴ m的取值范围为（-∞，16］

适用性分析：该法思路清晰、简单明了，但有时涉及解无理不等式，需要分类讨论，运算量大.例如（例3）：已知函数f(x)=x3+mx2+x+1（a2＞3）在-23，-13上单调递减，求m的取值范围.利用该法需要解不等式组-a-a2-33≤-23

-a+a2-33≥-13，诸多不便.

那么，象上面的例3，该怎样解决呢？

【方法三】二次函数法，结合二次函数性质，寻求使得导数恒≥0（或恒≤0）成立的充要条件.

解析：∵ 函数f(x)=x3+mx2+x+1（a2＞3）在-23，-13上单调递减

∴ f′(x)=3x2+2mx+1≤0在x∈-23，-13上恒成立

∴ f′-23≤0

f′-13≤0即73-4m3≤0

43-2m3≤0解得m≥2

∴ m的取值范围是［2，+∞）

适用性分析：（1） 适用面窄，只有当f(x)是三次函数（此时，其导数为二次函数）时，才可用该法；（2） 列出的条件容易不充分（少条件）或不必要（多条件），需要进行严谨的分析.一般的解决二次函数问题可以从以下四个方面入手：① 开口方向② 对称轴③ 判别式④ 端点处函数值.

函数单调性的应用举例 篇12

一般地, 设函数f (x) 的定义域为I.如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量的值x1, x2, 当x1f (x2) , 那么就说函数f (x) 在区间D上是减函数.若函数f (x) 可导, 函数f (x) 的单调递增 (或递减) 区间是D:不等式f! (x) >0 (<0) 的解集是区间D;函数f (x) 在区间D上单调递增 (或递减) :不等式f! (x) ≥0 (≤0) 对于x"D恒成立.

一、利用函数单调性定义证明函数f (x) =-x3+1在 (-∞, +∞) 上是减函数

证取任意两个值x1, x2∈ (-∞, +∞) 且x1

故f (x) 在 (-∞, +∞) 上是减函数.

二、函数单调性在解不等式中的应用

1.函数f (x) 对任意a, b∈R都有f (a+b) =f (a) +f (b) -1, 并且当x>0时, 有f (x) >1. (1) 求证:f (x) 是R上的增函数; (2) 若f (4) =5, 解不等式f (3m2-m-2) <3.

2.函数f (x) 对任意a, b∈R都有f (a+b) =f (a) +f (b) -1, 并且当x>0时, 有f (x) >1. (1) 求证:f (x) 是R上的增函数; (2) 若f (4) =5, 解不等式f (3m2-m-2) <3.

(1) 证由已知, 对任意的x1, x2∈ (-∞, +∞) 且x1

f (x2) -f (x1) =f[ (x2-x1) +x1]-f (x1) =f (x2-x1) -1.

∵x2-x1>0,

∴f (x2-x1) >1.

∴f (x2-x1) -1>0.

∴f (x2) -f (x1) >0.

即f (x2) >f (x1) .

∴f (x) 是R上的增函数.

(2) 解∵f (4) =5, 令a=b=2得

f (4) =f (2) +f (2) -1,

从而f (2) =3,

∴原不等式等价于f (3m2-m-2)

∵f (x) 是R上的增函数,

∴3m2-m-2<2, 即3m2-m-4<0.

解得-1

故不等式f (3m2-m-2) <3的解集为.

三、函数单调性在值域中的应用

1. 实数α, β满足等式α3+3α2+5α=1, β-32+5β=5, 求α+β的值.

构造函数f (t) =t3+2t, 易知它是奇函数且在R上单调递增, 所以f (α-1) =-f (β-1) =f (1-β) =-2,

即f (α-1) =f (1-β) ,

故α-1=1-β, 所以α+β=2.

解由x3+sinx-2a=0, 得x3+sinx=2a,

由4y3+sinycosy+a=0, 得-8y3-2sinycosy=2a,

即 (-2y) 3+sin (-2y) =2a.

构造函数f (t) =t3+sint, t∈, 易知它是奇函数且在上单调递增,

由x, y∈知x、-2y∈,

所以f (x) =f (-2y) =2a, 故x=-2y,

即x+2y=0,

所以cos (x+2y) =1.

摘要：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一, 函数的单调性是研究具体函数的单调性理论基础;在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性;本文从定义域、应用方面对函数的单调性作一些分析.