高中数学三角函数讲义

高中数学三角函数讲义（精选12篇）

高中数学三角函数讲义 篇1

解三角形

一、基础知识

在本章中约定用A，B，C分别表示△ABC的三个内角，a, b, c分别表示它们所对的各边长，pabc为半周长。2abc1．正弦定理：=2R（R为△ABC外接圆半径）。sinAsinBsinC111推论1：△ABC的面积为S△ABC=absinCbcsinAcasinB.222推论2：在△ABC中，有bcosC+ccosB=a.推论3：在△ABC中，A+B=，解a满足

ab，则a=A.sinasin(a)证推论3，由正弦定理

absiansin(a)，所以，即sinAsinBsiAnsin(A)1[cos(-A+a)-cos(-A-a)]= 2sinasin(-A)=sin(-a)sinA，等价于1[cos(-a+A)-cos(-a-A)]，等价于cos(-A+a)=cos(-a+A)，因为0<-A+a，2-a+A<.所以只有-A+a=-a+A，所以a=A，得证。b2c2a22．余弦定理：a=b+c-2bccosAcosA，2bc2

22下面用余弦定理证明几个常用的结论。

（1）斯特瓦特定理：在△ABC中，D是BC边上任意一点，BD=p，DC=q，则b2pc2qAD=pq.（1）

pq2【证明】 因为c=AB=AD+BD-2AD·BDcosADB，222所以c=AD+p-2AD·pcosADB.①

222同理b=AD+q-2AD·qcosADC，② 因为ADB+ADC=，所以cosADB+cosADC=0，所以q×①+p×②得 2

b2pc2qqc+pb=(p+q)AD+pq(p+q)，即AD=pq.pq222

2注：在（1）式中，若p=q，则为中线长公式AD（2）海伦公式：因为SABC22b22c2a2.212221221222

bcsinA=bc(1-cosA)= bc 444

(b2c2a2)2122 22[(b+c)-a][a-(b-c)]=p(p-a)(p-b)(p-c).1224bc16这里pabc.2所以S△ABC=p(pa)(pb)(pc).二、方法与例题

1．面积法。

例1（共线关系的张角公式）如图所示，从O点发出的三条射线满足POQ,QOR，另外OP，OQ，OR的长分别为u, w, v，这里α，β，α+β∈(0, )，则P，Q，R的共线的充要条件是

sinsinsin()uvw.2．正弦定理的应用。

例2 △ABC内有一点P，使得BPC-BAC=CPA-CBA=APB-ACB。求证：AP·BC=BP·CA=CP·AB。

例3 △ABC的各边分别与两圆⊙O1，⊙O2相切，直线GF与DE交于P，求证：PABC。

3．一个常用的代换：在△ABC中，记点A，B，C到内切圆的切线长分别为x, y, z，则a=y+z, b=z+x, c=x+y.222例4 在△ABC中，求证：a(b+c-a)+b(c+a-b)+c(a+b-c)≤3abc.4．三角换元。

+例5 设a, b, c∈R，且abc+a+c=b，试求P223的最大值。a21b21c21

3．已知△ABC，其中BC上有一点M，且△ABM与△ACM的内切圆大小相等，求证：AMP(Pa)，此处P1(a+b+c), a, b, c分别为△ABC对应三边之长。204．已知凸五边形ABCDE，其中ABC=AED=90，BAC=EAD，BD与CE交于点O，求证：AOBE。

5．已知等腰梯形ABCD，G是对角线BD与AC的交点，过点G作EF与上、下底平行，点E

0和F分别在AB和CD上，求证：AFB=90的充要条件是AD+BC=CD。

6．AP，AQ，AR，AS是同一个圆中的四条弦，已知PAQ=QAR=RAS，求证：AR（AP+AR）=AQ（AQ+AS）。

222227．已知一凸四边形的边长依次为a, b, c, d，外接圆半径为R，如果a+b+c+d=8R，试问对此四边形有何要求？

8．设四边形ABCD内接于圆，BA和CD延长后交于点R，AD和BC延长后交于点P，A，B，C指的都是△ABC的内角，求证：若AC与BD交于点Q，则

cosAcosCcosB.APCRBQ9．设P是△ABC内一点，点P至BC，CA，AB的垂线分别为PD，PE，PF（D，E，F是垂足），求证：PA·PB·PC≥(PD+PE)·(PE+PF)·(PF+PD)，并讨论等号成立之条件。

高中数学三角函数讲义 篇2

一、三角函数教学困难

1.概念记忆困难

虽说高中生已经具备了学习三角函数的基础, 但很多学生对三角函数的概念还是一知半解, 对各种诱导公式、转换公式的记忆相当模糊.初中的三角函数注重考查学生对有关公式的理解, 而高中的三角函数更多的是考查学生对公式的应用和变形.高中的三角函数教学是从对简单函数的推导和变形开始的, 要求学生有较强的推导能力.如果学生对三角函数的学习仅仅停留在记忆上, 却忽略对三角函数方程式和几何意义的理解, 必然难以学好三角函数.

2.公式推理困难

在高中三角函数教学中, 正弦定理、余弦定理、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、三倍角公式、和差 化积公式、积化和差公式等一系列公式的推理给学生带来了巨大的困难.很多学生在做题的过程中, 难以确定具体的公式内容, 自然也就难以学好三角函数.如此众多的公式要求学生准确快速地反应、记忆, 必然是难以实现的, 教师必须寻求高效的公式转换记忆策略.

3.综合运用困难

三角函数的知识已经渗透到高中数学的方方面面, 无论是填空题、计算题还是简答题, 都离不开它的帮助.笔者在长期的三角函数教学中发现, 很多学生难以意识到何时该用三角函数求解, 特别是对于一些隐性的函数问题.此外, 很多学生虽然意识到要用三角函数知识, 却不清楚具体该用哪一类.高中数学对三角函数的考查往往是综合、全面的, 这就要求学生必须熟练掌握各类三角函数的概念、性质、诱导公式等.同时, 三角函数 与向量、几何图形、重要不等式、二次函数等知识也有着密切的联系, 教师必须对学生实施综合的三角函数教学.

二、三角函数教学策略

1.巧施策略, 深化学生记忆

对于三角函数的教学, 首先要保证的是学生对各类三角函数的定义、公 式的记忆.只有学生 记得熟、记得准, 在函数解题中才会更加得心应手.笔者相信, 结合三角形的边角知识对学生进行三角函数定义的教学应该不是问题.笔者在此 将对三角 函数的诱 导公式进 行总结, 为学生提供巧妙的、深刻的记忆方法.

例如, 在三角函数的诱导公式教学 中, 笔者常常 假设一个任意角α, 要求学生掌握这些诱导公式的记忆, 如sin (2kπ) =sinα、tan (2kπ) =tanα等.对于此类公式的记忆, 笔者提出:终边相同的角为同一三角函数.又如, sin (π+α) =-sinα、cos (-α) =cosα、sin (2π-α) = -sinα、sin (π/2+α) =cosα、cos (3π/2+α) =sinα等.因此, 我们得到以下记忆规律.

1奇变偶不变:对于三角函数中的变角kπ/2±α, 当k为奇数时, 需要变换函数类型;当k为偶数时, 函数类型不变.

2符号看象限:诱导公式的正负号是视α为锐角时得到的函数值的正负而定.

3一全正, 二正弦, 三两切, 四余弦:这是用来 记忆各类三角函数在各个象限里的正负号规律.

此外, 对于一系列复杂的三角函数公式 (如:sinα=3sinα-4sin3α、sinαcosβ=1/2[sin (α+β) +sin (α-β) ]等) 、三角函数的半角公式、多倍角公式及和差化积公式等, 我们必须实施推导教学, 将各类三角函数公式的推导过程传授给学生, 使学生在遗忘的情况下, 也可以进行自主推导和验证, 从而达到高效记忆的效果.

2.精选习题, 三角函数解题技巧教学

对于高中三角函 数教学, 大量的训 练是必不 可少的.但是, 教师在对学生进行大量训练的同时, 必须坚持习题精选优化原则.教师在选取三角函数的练习题时, 最好选取一些典 型的高考 真题, 让学生在 练习的过 程中, 体会到高考数学的特点.同时, 注意题目的难度和适用阶段, 实施分段教学, 对学生实施分层布置作业, 切忌一味地追求难度和复杂性.

探讨高中数学三角函数教学 篇3

一、 三角函数教学困难

1.概念记忆困难

虽说高中生已经具备了学习三角函数的基础，但很多学生对三角函数的概念还是一知半解，对各种诱导公式、转换公式的记忆相当模糊.初中的三角函数注重考查学生对有关公式的理解，而高中的三角函数更多的是考查学生对公式的应用和变形.高中的三角函数教学是从对简单函数的推导和变形开始的，要求学生有较强的推导能力.如果学生对三角函数的学习仅仅停留在记忆上，却忽略对三角函数方程式和几何意义的理解，必然难以学好三角函数.

2.公式推理困难

在高中三角函数教学中，正弦定理、余弦定理、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、三倍角公式、和差化积公式、积化和差公式等一系列公式的推理给学生带来了巨大的困难.很多学生在做题的过程中，难以确定具体的公式内容，自然也就难以学好三角函数.如此众多的公式要求学生准确快速地反应、记忆，必然是难以实现的，教师必须寻求高效的公式转换记忆策略.

3.综合运用困难

三角函数的知识已经渗透到高中数学的方方面面，无论是填空题、计算题还是简答题，都离不开它的帮助.笔者在长期的三角函数教学中发现，很多学生难以意识到何时该用三角函数求解，特别是对于一些隐性的函数问题.此外，很多学生虽然意识到要用三角函数知识，却不清楚具体该用哪一类.高中数学对三角函数的考查往往是综合、全面的，这就要求学生必须熟练掌握各类三角函数的概念、性质、诱导公式等.同时，三角函数与向量、几何图形、重要不等式、二次函数等知识也有着密切的联系，教师必须对学生实施综合的三角函数教学.

二、三角函数教学策略

1.巧施策略，深化学生记忆

对于三角函数的教学，首先要保证的是学生对各类三角函数的定义、公式的记忆.只有学生记得熟、记得准，在函数解题中才会更加得心应手.笔者相信，结合三角形的边角知识对学生进行三角函数定义的教学应该不是问题.笔者在此将对三角函数的诱导公式进行总结，为学生提供巧妙的、深刻的记忆方法.

例如，在三角函数的诱导公式教学中，笔者常常假设一个任意角α，要求学生掌握这些诱导公式的记忆，如sin（2kπ）=sinα、tan（2kπ）=tanα等.对于此类公式的记忆，笔者提出：终边相同的角为同一三角函数.又如，sin（π+α）=-sinα、cos（-α）=cosα、sin（2π-α）=-sinα、sin（+α）=sinα等.因此，我们得到以下记忆规律.

①奇变偶不变：对于三角函数中的变角±α，当k为奇数时，需要变换函数类型；当k为偶数时，函数类型不变.

②符号看象限：诱导公式的正负号是视α为锐角时得到的函数值的正负而定.

③一全正，二正弦，三两切，四余弦：这是用来记忆各类三角函数在各个象限里的正负号规律.

此外，对于一系列复杂的三角函数公式（如：sinα=3sinα-4sin3α、sinαcosβ=等）、三角函数的半角公式、多倍角公式及和差化积公式等，我们必须实施推导教学，将各类三角函数公式的推导过程传授给学生，使学生在遗忘的情况下，也可以进行自主推导和验证，从而达到高效记忆的效果.

2.精选习题，三角函数解题技巧教学

对于高中三角函数教学，大量的训练是必不可少的.但是，教师在对学生进行大量训练的同时，必须坚持习题精选优化原则.教师在选取三角函数的练习题时，最好选取一些典型的高考真题，让学生在练习的过程中，体会到高考数学的特点.同时，注意题目的难度和适用阶段，实施分段教学，对学生实施分层布置作业，切忌一味地追求难度和复杂性.

总之，对于高中三角函数的教学，教师必须在教学过程中，不断强化学生的数学抽象思维能力.同时，结合反复的训练，将三角函数与其他数学知识联系起来，提高学生的数学综合应用能力.相信广大教师只要科学教学、精选习题、反复训练，三角函数教学必然高效而又有趣.endprint

高中数学与初中数学在课堂知识的数量、难度、思维模式等方面上都存在较大的差异.三角函数作为高中数学的考查重点，新课标明确要求学生掌握角和弧度的概念，能够准确地理解正弦、余弦等三角函数的几何意义，熟练运用三角函数的各种公式，学会绘制函数图像，最终实现对三角函数的运用.

一、 三角函数教学困难

1.概念记忆困难

虽说高中生已经具备了学习三角函数的基础，但很多学生对三角函数的概念还是一知半解，对各种诱导公式、转换公式的记忆相当模糊.初中的三角函数注重考查学生对有关公式的理解，而高中的三角函数更多的是考查学生对公式的应用和变形.高中的三角函数教学是从对简单函数的推导和变形开始的，要求学生有较强的推导能力.如果学生对三角函数的学习仅仅停留在记忆上，却忽略对三角函数方程式和几何意义的理解，必然难以学好三角函数.

2.公式推理困难

在高中三角函数教学中，正弦定理、余弦定理、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、三倍角公式、和差化积公式、积化和差公式等一系列公式的推理给学生带来了巨大的困难.很多学生在做题的过程中，难以确定具体的公式内容，自然也就难以学好三角函数.如此众多的公式要求学生准确快速地反应、记忆，必然是难以实现的，教师必须寻求高效的公式转换记忆策略.

3.综合运用困难

三角函数的知识已经渗透到高中数学的方方面面，无论是填空题、计算题还是简答题，都离不开它的帮助.笔者在长期的三角函数教学中发现，很多学生难以意识到何时该用三角函数求解，特别是对于一些隐性的函数问题.此外，很多学生虽然意识到要用三角函数知识，却不清楚具体该用哪一类.高中数学对三角函数的考查往往是综合、全面的，这就要求学生必须熟练掌握各类三角函数的概念、性质、诱导公式等.同时，三角函数与向量、几何图形、重要不等式、二次函数等知识也有着密切的联系，教师必须对学生实施综合的三角函数教学.

二、三角函数教学策略

1.巧施策略，深化学生记忆

对于三角函数的教学，首先要保证的是学生对各类三角函数的定义、公式的记忆.只有学生记得熟、记得准，在函数解题中才会更加得心应手.笔者相信，结合三角形的边角知识对学生进行三角函数定义的教学应该不是问题.笔者在此将对三角函数的诱导公式进行总结，为学生提供巧妙的、深刻的记忆方法.

例如，在三角函数的诱导公式教学中，笔者常常假设一个任意角α，要求学生掌握这些诱导公式的记忆，如sin（2kπ）=sinα、tan（2kπ）=tanα等.对于此类公式的记忆，笔者提出：终边相同的角为同一三角函数.又如，sin（π+α）=-sinα、cos（-α）=cosα、sin（2π-α）=-sinα、sin（+α）=sinα等.因此，我们得到以下记忆规律.

①奇变偶不变：对于三角函数中的变角±α，当k为奇数时，需要变换函数类型；当k为偶数时，函数类型不变.

②符号看象限：诱导公式的正负号是视α为锐角时得到的函数值的正负而定.

③一全正，二正弦，三两切，四余弦：这是用来记忆各类三角函数在各个象限里的正负号规律.

此外，对于一系列复杂的三角函数公式（如：sinα=3sinα-4sin3α、sinαcosβ=等）、三角函数的半角公式、多倍角公式及和差化积公式等，我们必须实施推导教学，将各类三角函数公式的推导过程传授给学生，使学生在遗忘的情况下，也可以进行自主推导和验证，从而达到高效记忆的效果.

2.精选习题，三角函数解题技巧教学

对于高中三角函数教学，大量的训练是必不可少的.但是，教师在对学生进行大量训练的同时，必须坚持习题精选优化原则.教师在选取三角函数的练习题时，最好选取一些典型的高考真题，让学生在练习的过程中，体会到高考数学的特点.同时，注意题目的难度和适用阶段，实施分段教学，对学生实施分层布置作业，切忌一味地追求难度和复杂性.

总之，对于高中三角函数的教学，教师必须在教学过程中，不断强化学生的数学抽象思维能力.同时，结合反复的训练，将三角函数与其他数学知识联系起来，提高学生的数学综合应用能力.相信广大教师只要科学教学、精选习题、反复训练，三角函数教学必然高效而又有趣.endprint

高中数学与初中数学在课堂知识的数量、难度、思维模式等方面上都存在较大的差异.三角函数作为高中数学的考查重点，新课标明确要求学生掌握角和弧度的概念，能够准确地理解正弦、余弦等三角函数的几何意义，熟练运用三角函数的各种公式，学会绘制函数图像，最终实现对三角函数的运用.

一、 三角函数教学困难

1.概念记忆困难

虽说高中生已经具备了学习三角函数的基础，但很多学生对三角函数的概念还是一知半解，对各种诱导公式、转换公式的记忆相当模糊.初中的三角函数注重考查学生对有关公式的理解，而高中的三角函数更多的是考查学生对公式的应用和变形.高中的三角函数教学是从对简单函数的推导和变形开始的，要求学生有较强的推导能力.如果学生对三角函数的学习仅仅停留在记忆上，却忽略对三角函数方程式和几何意义的理解，必然难以学好三角函数.

2.公式推理困难

在高中三角函数教学中，正弦定理、余弦定理、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、三倍角公式、和差化积公式、积化和差公式等一系列公式的推理给学生带来了巨大的困难.很多学生在做题的过程中，难以确定具体的公式内容，自然也就难以学好三角函数.如此众多的公式要求学生准确快速地反应、记忆，必然是难以实现的，教师必须寻求高效的公式转换记忆策略.

3.综合运用困难

三角函数的知识已经渗透到高中数学的方方面面，无论是填空题、计算题还是简答题，都离不开它的帮助.笔者在长期的三角函数教学中发现，很多学生难以意识到何时该用三角函数求解，特别是对于一些隐性的函数问题.此外，很多学生虽然意识到要用三角函数知识，却不清楚具体该用哪一类.高中数学对三角函数的考查往往是综合、全面的，这就要求学生必须熟练掌握各类三角函数的概念、性质、诱导公式等.同时，三角函数与向量、几何图形、重要不等式、二次函数等知识也有着密切的联系，教师必须对学生实施综合的三角函数教学.

二、三角函数教学策略

1.巧施策略，深化学生记忆

对于三角函数的教学，首先要保证的是学生对各类三角函数的定义、公式的记忆.只有学生记得熟、记得准，在函数解题中才会更加得心应手.笔者相信，结合三角形的边角知识对学生进行三角函数定义的教学应该不是问题.笔者在此将对三角函数的诱导公式进行总结，为学生提供巧妙的、深刻的记忆方法.

例如，在三角函数的诱导公式教学中，笔者常常假设一个任意角α，要求学生掌握这些诱导公式的记忆，如sin（2kπ）=sinα、tan（2kπ）=tanα等.对于此类公式的记忆，笔者提出：终边相同的角为同一三角函数.又如，sin（π+α）=-sinα、cos（-α）=cosα、sin（2π-α）=-sinα、sin（+α）=sinα等.因此，我们得到以下记忆规律.

①奇变偶不变：对于三角函数中的变角±α，当k为奇数时，需要变换函数类型；当k为偶数时，函数类型不变.

②符号看象限：诱导公式的正负号是视α为锐角时得到的函数值的正负而定.

③一全正，二正弦，三两切，四余弦：这是用来记忆各类三角函数在各个象限里的正负号规律.

此外，对于一系列复杂的三角函数公式（如：sinα=3sinα-4sin3α、sinαcosβ=等）、三角函数的半角公式、多倍角公式及和差化积公式等，我们必须实施推导教学，将各类三角函数公式的推导过程传授给学生，使学生在遗忘的情况下，也可以进行自主推导和验证，从而达到高效记忆的效果.

2.精选习题，三角函数解题技巧教学

对于高中三角函数教学，大量的训练是必不可少的.但是，教师在对学生进行大量训练的同时，必须坚持习题精选优化原则.教师在选取三角函数的练习题时，最好选取一些典型的高考真题，让学生在练习的过程中，体会到高考数学的特点.同时，注意题目的难度和适用阶段，实施分段教学，对学生实施分层布置作业，切忌一味地追求难度和复杂性.

三角函数专题第二轮复习经典讲义 篇4

1、三角恒等变换

典型例题

1、已知函数fx2sinxxxcos2sin2 44

4（1）求函数fx的最小正周期和最值。（2）令gxfx

2、已知为第二象限角，sin

，判断并证明gx的奇偶性。334，为第二象限角，tan。求tan()，cos2

533、设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且a2bsinA，求cosAsinc的取值范围。

4、已知0

4，为fxcos2x

1tan,1的最小正周期，，cos,2且84

2cos2sin2的值。m，求cossin

2、三角函数图像与性质

典型例题

1、已知函数fxAsinx,A0,0的最大值是1.其图像过点M1,。32

（1）求fx；（2）已知,0,312且f,f，求f的值。5132

2、已知asinwx,coswx,bsinwx,2sinwx3coswx,w0。若fxab，并且fx的最小正周期为。（1）求fx的最大值及取得最大值时x的集合。（2）将函数fx图像按向量

m,0,m0平移后的函数gx2sin2x的图像，求m的最小值。3

3、已知函数fx3sinwxcoswx0,w0为偶函数，且函数yfx图像的两相邻对称轴间距离为

。（1）求

2

（2）将函数yfx的图像向右平移个单位后，再将得到的f。

68

图像上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数ygx的图像，求ygx的单调区间。

三、解三角形 典型例题

1、在ABC中，已知AC2,BC3,cosA

4

.求sin2B的值。56

2、在ABC中，a23,tan

ABcA

tan4,sinBsinCcos2。求A,B及b,c。22

2

ABC3、设的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足(2ac)BCBAcCACB0.

（1）求角B的大小；（2）若bABCB的最小值.四、常考点训练

常考点一：三角函数的概念 1.已知函数f(x)cos(2x

)2sin(x)sin(x)

4

（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程（Ⅱ）求函数f(x)在区间[,]上的值域

2

2．已知函数f(x)2x2sin2x.（1）若x[

,]，求f(x)的值域.6

32

常考点二：三角函数的图象和性质

3.函数f(x)Asin(x)(A0,0,||部分图象如图所示．（Ⅰ）求f(x)的最小正周期及解析式；（Ⅱ）设g(x)f(x)cos2x，求函数g(x)在区间x[0,]上的最大值和最小值．



常考点三、四、五：同角三角函数的关系、诱导公式、三角恒等变换 4．已知函数f(x)sin(2x



6)cos2x.（1）若f()1，求sincos的值；（2）求函数f(x)的单

调增区间.（3）求函数的对称轴方程和对称中心

5.已知函数f(x)2sinxcosx2cos2x（xR，0），相邻两条对称轴之间的距离等于



．（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）当

42

x0时，求函数f(x)的最大值和最小值及相应的x值．

2

6、已知函数f(x)2sinxsin（

x)2sin2x1(xR).2（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及函数f(x)的单调递增区间；

（Ⅱ）若f（ππx0x(,)，求cos2x0的值.)04427、已知sin(A

πππ)A(,)．

424

5sinAsinx的值域．

2（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函数f(x)cos2x

考点六：解三角形

8．已知△ABC中，2sinAcosBsinCcosBcosCsinB.（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）设向量m(cosA, cos2A)，n(小值时，tan(A

12, 1)，求当mn取最 5

)值.9．已知函数f(x)

sin2xsinxcosx

xR． 2

（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）若x(0,)，求f(x)的最大值；（Ⅲ）在ABC中，若AB，f(A)f(B)

BC

1，求的值．

AB210、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c分，且满足大小；

（Ⅱ）若aABC面积的最大值．

2cbcosB

．（Ⅰ）求角A的acosA11、在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2-a2=bc．

（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数f(x)△ABC的形状．

12、.在ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知tanB(Ⅰ)求tanA；

(Ⅱ)求ABC的面积.3xxx

sincoscos2，当f(B)取最大值时，判断

222

1，tanC，且c1.23AB7

cos2C． 22

13在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且4sin（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinAsinB的最大值．

重点题型强化

1、在ABC中，边b2，角B

2、函数f(x)sin(2x

，sin2A2sin(AC)2sinB0，则边c

3

2x的最小正周期是__________________.3、已知函数f(x)=3sin(x-



6)(>0)和g(x)=2cos(2x+)+1的图象的对称轴完全相同。若x[0,

]，则f(x)的取值范围是。

4、设>0,函数y=sin(x+

4)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是_________

2125、已知xy42cos2,xy4sin2，则xy_____________

2sin2x3sinx6、函数fx的值域为_____________

22sinx

37、若动直线xa与函数fxsinx的最大值为_____________









则MN和gxcosx的图像分别交于M,N两点，44

三角函数高考真题练习

一、选择题：



ABAC

1.已知非零向量AB与AC满足()BC0且

ABACABAC1, 则△ABC为()ABAC

2A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形 2.已知sin（A）

4,则sincos的值为（）

5（B）51 5

（C）

（D）5D

．

3.sin330等于（）A

．

B．

C．2



4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cbB120，则a等于（）A

B．2

C

D

352sincos的值为()（A）0(B)(C)1(D)

44sin2cos

52110

6.若3sincos0,则的值为()（A）（B）（C）(D)2 2

33cossin2

3

7.在ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足PA2PM,则PA(PBPC)等于()

5.若tan2,则

4444（B）（C）(D) 9339



8.在ABC中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足AP2PM,则PA(PBPC)等于()（A）（A）

4444

（B）（C）(D)

3993

9．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为()．A．锐

角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定

二、填空题

1.cos43cos77sin43cos167的值为

2.如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30

＝

1＝2.若＝(,R),则的值为.3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cbB120，则a_______.

4.设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的_______条件．

三、解答题

xR，·b，cos2x)，1、设函数f(x)a其中向量a(m，且yf(x)的图象经过点，b(1sin2x，1)，2．

π



4

（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x值的集合．、已知函数f(x)2sin

xxx

cos2． 44

4（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及最值；（Ⅱ）令g(x)fx





π

，判断函数g(x)的奇偶性 3

3、已知函数f(x)Asin(x),xR（其中A0,0,0

）的图象与x轴的交点中，相邻

2,2).，且图象上一个最低点为M（2

3

(Ⅰ)求f(x)的解析式；（Ⅱ）当x[,]，求f(x)的值域.12

2两个交点之间的距离为

4、如图，A，B

是海面上位于东西方向相距53海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B

点相距C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

5、叙述并证明余弦定理。

6、函数f(x)Asin(x对称轴之间的距离为

7、已知向量a＝cosx,，b＝

x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在0,上的最大值和最小值．



1（A0,0）的最大值为3，其图像相邻两条

，（1）求函数f(x)的解析式；（2）设(0,)，则f()2，求的值． 222

1

2



三角函数的高中数学题 篇5

解.f(x)=2sinx[1-cos(x+π/2)]+1-2sinx=2sinx(1+sinx)+1-2sinx=2sinx+1

(1)y=f(wx)=2sinwx+1

因在区间[-π/2，2π/3]上是增函数，所以最小正同期T=2π/w≥2(π/2+2π/3)

即0

而-π/2+2kπ≤wx≤π/2+2kπ时，f(x)单调递增

则必有k=0,即-π/2≤wx≤π/2时递增，

则必有2πw/3≤π/2,即w≤3/4

所以w的取值范围(0,3/4]

(2)|f(x)-m|=|2sinx+1-m|<2,则m-3<2sinx<1+m即(m-3)/2

而当π/6≤x≤2π/3时，有1/2≤sinx≤1

因为A属于B，必有

(m-3)/2<1 2=”">1

高中数学三角函数做题技巧 篇6

早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的，因为当时人们需要穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或经水路沿着海岸线做冒险的长途航行，首先要明确方向.18世纪前，正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这是三角学的古典面貌.1748年，尤拉在著名的《无穷小分析引论》一书中指出：“三角函数是一种函数线与圆半径的比值.”即任意一个角的三角函数都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP，OM，MP(即函数线)相互之间所取的比值，sinα=MPOP，cosα=OMOP，tanα=MPOM等.若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化.尤拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态的只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科.

正迁移引入三角函数线概念

同学们对于初中阶段在直角三角形中如何定义锐角三角形的正弦、余弦、正切值，记忆犹新，依据教育心理学正迁移对于学习的作用，不妨在直角坐标系中，利用单位圆先将特殊的锐角如π6，π4，π3的三角函数线画出，然后由特殊过渡到一般，从而得出任意角的三角函数线，这样同学们感到三角函数线有似曾相识的感觉，学习过程中体验如何将三角函数的“数”与“形”自然地结合在一起，达到“数”与“形”的完美结合，形成对数学美的感悟.

抓住三角函数线本质属性，有技巧地层层引导

引入单位圆，构建三角函数线的舞台

对教师而言，由比值yr到y，xr到x，再到正弦线、余弦线的两步跨越，看似简单，同学们却是比较难以想到，在此处尽可能清晰再现知识的建构过程，使同学们明确原则，把握概念的形成.从数学思想层面上可以突出三角函数“简约”为“一个变量”的思想方法，进而顺利实现用“三角函数线”这一直观的图形工具来“统一”表达三角函数这一主线，在教学过程中反复强调“最简化”“统一”的要求，而这样的理念或思想，不仅能体现本节数学方法的特点，同时也在数学教学的过程中占据重要的地位，具有普适性.

由正弦线与余弦线引导向正切线

高中数学三角函数讲义 篇7

一、数形结合思想

数与形是数学研究的两类基本对象, 两者结合的数形结合思想, 可使某些抽象的问题直观化、简单化, 能够变抽象思维为形象思维。三角部分, 利用三角函数线、函数图象求函数的定义域、值域、最值、函数的单调区间、解不等式等, 都体现了数形结合思想。例如:关于x的方程sinx+cosx+a=0在区间[0, 2π]上有且只有两个不同的实根。

(1) 求实数a的范围; (2) 求这两个实根的和。

二、分类讨论思想

分类讨论的思想方法在数学中较为普遍, 它主要是依据对象的不同属性, 将数学对象分为不同情形并对其进行研究的一种思想方法。正确地分类, 可以使大量繁杂的知识条理清晰。三角中主要体现在给值求值、给角求值、给值求角以及含参数的三角函数的最值问题等。

例如:已知tanα=2, 求4sin2α-3sinαcosα-5cos2α的值。

解:tanα=2, 易知α为第一或第三象限角。

三、方程与函数思想

方程与函数思想是在解决问题的过程中, 把已知量与未知量之间的关系抽象成函数关系或者通过建立方程或方程组, 求出变量的值, 达到解决问题目的一种思想方法, 体现在求值、证明等方面。

例如:在△ABC中, 内角A、B、C的对边分别是a、b、c, 已知

(1) 若△ABC的面积等于, 求a、b的值;

(2) 若sin C+sin (B-A) =2sin2A, 求△ABC的面积。

(2) 由题意得sin (B+A) +sin (B-A) =4sin Acos A,

四、整体思想

将研究对象的一部分或全部看成一个整体, 找出内在的有机联系, 往往能起到化繁为简、化难为易的效果。常用于化简求值、研究函数性质等。

五、化归思想

研究问题时, 将一种研究对象在一定条件下转化并归结为另一种研究对象的思维方法称为化归转换的思想。化归思想在三角函数中应用非常普遍, 主要体现在:化多角的形式为单角;化多种函数名称为一种函数;化未知角为已知角;化高次为低次;化特殊为一般。

例:已知tanα=2, 求sin2α+sinαcosα-2cos2α的值。

摘要：三角函数是高中数学的重要内容之一, 本文浅谈了几种基本数学思想在高中三角函数部分的体现。

高中数学三角函数的教学策略探究 篇8

关键词：高中数学；三角函数；生活实际

三角函数知识在各行各业都有应用。同时也是高中数学由易到难的过渡点。也正因为如此，高中三角函数知识成为高考的热点。与此同时，随着我国新课程标准的深入实施，创新数学课堂，提升教学质量越来越受到诸多高中数学教师的重视。总的来说，在此背景下，高中数学教师应转变教学理念，结合形式多样的教学方法，提高三角函数的教学质量。

一、创新记忆方法

在三角函数中，高中数学教师应当重视利用图象、口诀等教学资源，创新记忆方法，使学生能够准确记忆和运用。况且三角函数知识本身比较零碎，利用形象的图象能够刺激学生的思维发展，利用口诀能够发掘出学生的潜在记忆能力。鉴于此，为了提高学生对三角函数知识的掌握能力，提高三角函数的教学质量，高中数学教师应当不拘一格，创新记忆方法。

例如，在三角函数同角三角函数的基本关系中，为了使学生能够快速记忆诱导公式，教师可以利用：奇变偶不变，符号看象限的口诀来加深学生记忆，并通过举例来印证这一口诀。如，①sin（2kπ+a）=sina，COS（2kπ+a）=cosa，tan（2kπ+a）=tana，（k∈Z）②sin（π+a）=-sina，cos（π+a）=-cosa，tan（π+a）=tana，通过这两组数据，明显能够看出当k为奇数时，kπ是90°的奇数倍所以cos变为sin，即奇变。当k为偶数时，2kπ是90°的偶数倍，所以sin还是sin，即偶不变。而公式右边有时是正，有时是负。其中的规律为“符号看象限”。如sin（180°+a）=-sina中，视a为锐角，180°+a是第三象限角，第三象限角的正弦为负，所以等式右边有负号。另外，在此教学过程中，教师完全可以利用图象来帮助学生理解，这样结合图象和口诀能够有效地提高学生的记忆能力，达到提高高中三角函数教学质量的目的。

二、借助多媒体

随着我国信息技术的发展，多媒体辅助教学设施在教学中的应用越来越广泛。尤其是在一些理科性学科的教学中，应用多媒体不仅能增强课堂的趣味性和生动性，还能够吸引学生的注意力，从而提高课堂的教学效率。另外，需要注意的是教师要结合教材内容和学生实际，合理应用多媒体，避免学生过多地把注意力集中在多媒体设备上。

例如，在学习函数y=sinx和函数y=sin（x+π/3）时，为了让学生清楚两个函数之间的变换关系和轨迹。教师可以利用几何画板，先将函数y=sinx的图象展示出现，然后通过运动转换成函数y=sin（x+π/3），这样不需要过多地讲解，学生通过观察就能够在脑海中形成两个函数的关系导图。在此过程中，为了更加突出运动轨迹，教师可以通过颜色标识出重要的关键点，这样学生能够更加明白函数变换含义。总的来说，利用多媒体开展三角函数教学对于学生的学习非常有利。尤其是能够改变传统高中数学课堂枯燥、单一的学习气氛，充分发挥学生的创新思维能力和想象力。这也就意味着高中数学教师应当在掌握三角函数知识的基础上，结合多媒体创设新穎、有趣的教学互动，从而为学生营造出一个良好的课堂学习氛围。

三、结合生活实际

很多学生认为学习数学没有用，在生活中用不到。加之应试教育的影响，很多学生学习数学纯粹是为了应付考试。但是这并不符合新课程标准改革的理念。鉴于此，高中数学教师在教学过程中，要重视知识与生活的结合，让学生改观对三角函数知识的认识，并达到激发学生学习、提高高中数学课堂效率的目标。

例如，在三角函数的课堂教学中，教师可以先用A4纸进行折叠和裁剪，使其成为直角三角形，然后教师可以让学生探讨如何计算其中一个角的正余弦。这样进行课堂导入能够调动学生学习的积极性。另外，教师也可以将生活中与之相关的实例展示出来。例如，这样一道例题：某糖果厂为了拓宽其产品的銷售市场，决定对一种半径为1的糖果的外层包装进行设计。设计时要求同时满足如下条件：（1）外包装要呈一封闭的圆锥形状；（2）为减少包装成本，要求所用材料最省；（3）为了方便携带，包装后每个糖果的体积最小。问：这些条件能同时满足吗？如果能，如何设计这个圆锥的底面半径和高？此时所用的外包装用料是多少？体积是多少？若不能，请说明理由。这样能够让学生深入了解三角函数知识在高中数学中的应用，从而提高课堂教学质量。总之，在现代化教育体系下，高中数学教师要重视引入生活实际问题，降低三角函数知识的理论性和抽象性，从而增强课堂的学习氛围，提高数学教学质量。

综上所述，高中数学教师应重视采用科学、合理的措施来创新三角函数教学课堂，并利用多媒体等教学设施来提高三角函数知识的生动性。这样才能提高学生的学习效率，达到提高三角函数教学质量的目标。

高中数学函数知识总结 篇9

1.知识技能

(1)了解幂函数的概念;

(2)通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用。

(3)学会研究函数图象和性质的一般方法。

2.过程与方法

类比研究指数函数、对数函数学习过程，掌握幂函数的图象和性质。

3.情感、态度、价值观

(1)进一步渗透数形结合与类比的思想方法;

(2)体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性，感受数学美。

二、幂函数——教学重难点：

1、重点：幂函数的概念和性质;

2、难点：函数指数的推广及性质的归纳。

三、幂函数——教学辅助工具：

PPT课件，几何画板。

四、幂函数——教学过程：

(一)创设情景

前面我们学习了函数的定义，研究了函数的一般性质，并且研究了指数函数和对数函数。函数这个大家庭有很多成员，今天，我们利用学习指数函数、对数函数的方法，再来认识一位新成员。

1、如果正方形的边长为，那么正方形的面积是= ，是的函数。

2、如果正方体的边长为，那么正方体的体积是 = ，是的函数。

3、如果正方形场地的面积为，那么正方形的边长= ，是的函数。

4、如果某人s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度= km/s，是的函数。

思考：上述函数解析式有什么共同特征?

答：(1)都是函数;

(2)均是以自变量为底的幂;

(3)指数均为常数;

(4)自变量前的系数为1。

(二)新课导入

1、幂函数的定义：

一般地, 叫做幂函数,其中是自变量,是常数。

2、幂函数与我们之前学过的哪种函数在形式上接近?

3、幂函数与指数函数有什么区别?

答：判断一个函数是幂函数还是指数函数的切入点是看未知数x是做底数还是做指数，若是做底数则是幂函数;若是做指数则是指数函数。

设计意图：引导学生分析掌握幂函数的结构，三要素，区分幂函数与指数函数的异同点。

(三)小试牛刀

1、下列函数中，哪几个函数是幂函数?

① ② ③

④ ⑤ ⑥

2、已知函数是幂函数，则实数的值等于_____.

3、已知幂函数的图象过点，则

(四)自主探究

1、请在同一坐标系内画出幂函数，，，，的图象。

2、观察图象，讨论归纳幂函数;;;;的性质。

定义域

值 域

奇偶性

单调性

定 点

(五)合作探究

归纳幂函数的性质：

(1)幂函数图象过定点 。

(2)函数、、是奇函数，函数是偶函数

(3)幂函数,在第 象限都有图象。我们就先来研究幂函数在第 象限上的性质，函数的奇偶性能够帮助我们完成其他象限的图象。

在区间上，函数、、和是增函数，函数是减函数。

推广：当>0时，函数在第一象限是增函数，当<0时，函数在第一象限是减函数.

(4)在第一象限，函数的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近

设计意图：引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对数函数等过程中的思想方法研究幂函数;让学生通过观察上述图象，自己尝试归纳五个幂函数的基本性质，然后完成表格;进而归纳幂函数的性质。

(六)反馈演练

例1、证明幂函数上是增函数

证：任取<则

=

=

因<0，>0

所以，即上是增函数.

例2、比较下列各组中两个值的大小：

(1)与 ;(2)与;(3)与

(4)与.

例3、已知幂函数在上是减函数，求m的取值.

例题的设计意图：

例题1复习函数单调性的证明步骤，例题2复习利用指数函数的图象与性质来比较大小的同时学会用幂函数的方法来比较大小，体会一题多解.例题3学会利用幂函数的性质来解题.

(七)总结提炼

1、谈谈五个基本幂函数的定义域与对应幂函数的奇偶性、单调性之间的关系?

高中数学幂函数教学教案 篇10

通过实例，理解幂函数的概念;能区分指数函数与幂函数;会用待定系数法求幂函数的解析式。

教学重难点：

重点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些特征.

难点 指数函数与幂函数的区别和幂函数解析式的求解.

教学方法与手段：

1.采用师生互动的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.

2.利用投影仪及计算机辅助教学.

教学过程：

函数的完美追求：对于式子 ，

如果 一定，N随 的变化而变化，我们建立了指数函数 ;

如果 一定， 随N的变化而变化，我们建立了对数函数 .

设想：如果 一定，N随 的变化而变化，是不是也应该确定一个函数呢?

创设情境

请大家看以下问题：

思考：以上问题中的函数 有什么共同特征?

引导学生分析归纳概括得出：(1)都是以自变量 x为底数;(2)指数为常数;(3)自变量x前的系数为1;(4)只有一项.上述问题中涉及的函数，都是形如 的函数.

探究新知

一、幂函数的定义

一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 是常数.

中 前面的系数是1，后面没有其它项.

小试牛刀

判断下列函数是否为幂函数：

(1) ，

思考：幂函数 与指数函数 有什么区别?

高中数学三角函数讲义 篇11

一、高中三角函数蕴含的数学思想的意义

数学思想是数学科学的精髓，也是数学研究的本质。在学习数学知识的过程中，掌握知识固然很重要，但是仅以死记知识为目的是不能掌握数学灵魂、真正学懂数学、提高数学素养的。只有在掌握数学知识的同时，融入数学思想，培养自己的解题模式和数学思维，才能把知识变为一种能力，提高自己的学习能力，才能不断提高数学素质。

三角函数作为高中数学的一大分支，其重要性就不过多地解释了。要想学好三角函数，并能进行实际应用，掌握一定的解题技巧和方法是必要的。数学思想运用在三角函数各种问题中，人们可以通过基本思想，结合三角函数自身，总结归纳出解题方法和技巧，从而提高自己的数学思维能力。数学思想在三角函数中的渗透，意义非同寻常，不仅可以帮助学生们解决实际问题、处理疑难问题，还可以提高学生实际应用能力，在解决问题的过程中增强学生的数学运用能力和知识创新能力。

二、高中三角函数中的基本数学思想的体现

数学思想种类非常多，不同的数学分支中体现着不同的基本数学思想。高中三角函数中也蕴含了许多基本数学思想，这些数学思想的运用给三角函数带来了很好的解题方法，下面将逐一介绍这些数学思想。

（一）数形结合思想

数形结合，顾名思义就是通过数与形的结合运用来解决数学问题，即利用图形进行分析，分析后的问题可以通过数据进行计算。数形结合思想作为一种非常重要的数学思想，可以把抽象的问题具体化，具体体现在图形中。三角函数问题一般都需要作图，通过作图使图形与问题结合，从而能更直观地表现问题。三角函数图象，可以直观地展现问题，有利于选取不同的方法来解决问题。

（二）转化思想

转化思想在数学研究中是一种很重要的方法，通过合理地转化，把要求解的问题转变成已知的问题，经过不断地转化与归纳，那些不被人们熟悉、比较复杂的问题可以变得简单、熟悉起来。在三角函数中，很多复杂的问题都可以经过转化与归纳变得更容易解决。

转化的实质就是用简单的问题去替代复杂困难的问题。三角函数的转化可以表现为：多个三角函数向单一函数的转化，特殊函数向一般函数的转化，抽象函数向具体函数的转化等。在转化时要注意运用转化思想，注意转化的等价性。转换思想在三角函数中的应用非常重要，通过诱导公式可以将任意三角函数转化成锐角三角函数，而锐角三角函数比较容易计算；利用倍角公式、和差公式可以将一些角转化为特殊角；还可以运用三角公式将复杂的形式转换为简单三角函数形式。转化思想的运用，不仅可以培养学生的转化思维，还可以提高解决问题的应变能力，锻炼了学生的思维，从而提高解题技巧。

（三）分类讨论思想

分类讨论的方法可以缩小解题范围，使相似的问题归类，复杂问题得以简单化。通过分类，可以将问题由繁到简、化整为零，最终实现逐个击破。分类讨论思想在三角函数中的运用要遵守三个重要的原则：不遗漏、不逾越范围和不重复分类。

（四）函数思想

三角函数是一种特别的函数，其解决方法自然离不开函数思想。可以利用函数思想求解某些三角函数的参数值；可以利用一元一次方程、一元二次方程来求解三角函数问题；还可以联立几个三角公式，通过消元达到求值求解的目的，消元法是函数思想在三角函数问题中的最直接的应用体现。在求解三角函数时，函数思想的运用能够把各种关系转化为抽象的函数关系，通过分析解决函数问题，使得三角函数问题最终得到解决。

（五）逆向思维的思想

在解决问题时，如果无法进行下去，可以采用逆向思维进行解答。逆向思维是在正面方法无法进行下去且没有其他更好的方法时采用的解题思维。当三角函数问题遇到死路，无法按常规进行下去时，可以采用逆向思维进行思考，寻找解题的新途径，创新出新的思路，因而能有效地解决困难问题。

（六）建立模型的思想

建立模型在数学实际问题解决中有着很重要的作用，通过建模，可以把实际问题转化在数学模型上。三角函数问题的解决，同样可以通过建模来完成。运用建模思想，可以把具体数据转化在图形上，分析解决图形的过程就能够解决三角函数的问题。

高中数学三角函数讲义 篇12

一、从高中数学知识链中认识函数

函数是必修1的重点内容，也是中学数学的基本概念之一。新课程数学从必修到选修，函数是其中一条主线，主要体现在必修1：函数概念和性质与基本初等函数I(指数、对数、幂函数);必修数学4：基本初等函数II(三角函数);必修数学5：数列(离散型函数);选修系列1-1 (2-2)：用导数研究函数的性质。

函数是研究方程、不等式、数列、线性规划、算法、微积分的基本思想，函数模型是实际问题和几何问题中研究最值的常用模型。

二、从高中数学内容和结构中认识函数

必修1中主要是：函数的概念、图像和性质→三种函数模型(指数、对数、幂函数)→函数与方程→函数模型及其数据应用。

必修4中主要是：角的概念及表示→三角公式及应用→三角函数的图像→三角函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)→三角函数模型的应用。

必修5中主要是：数列的概念及表示方法→两种数列模型(等差、等比)→an, Sn的研究→数列模型的应用。

选修1-1 (2-2)主要是：导数的概念及其几何意义→常见函数的求导公式及求导法则→用导数刻画单调性→极大值、极小值→最大值、最小值→实际应用。

从高中所研究的初等函数来看，函数的研究的结构都遵循着以下几种结构。

结构一：

结构二：

三、从高中数学的思维方式认识函数

1. 两条线索

一是抽象的数学研究，主要研究对象是符号y=f (x)，符号化、形式化是数学的重要特征，如所有的函数关系都可以用抽象符号y=f (x)来表示，这种表示不仅形式简单，而且可以加深对函数概念本质的理解。

二是具体的实例研究，主要研究对象是y=ax, y=logax, y=xa, y=sinx, y=cosx, y=tanx，以及初中学的y=kx+b, y=, y=ax2+bx+c等函数，通过研究这些函数图像，掌握这些函数的性质，对了解和掌握函数的性质具有形象直观的优势。

2. 两个角度

对高中函数的研究是从两个角度进行的，一是从符号语言对函数进行精确的刻画;二是从图形语言对函数进行直观的描述。这两种角度贯穿了函数的学习的全过程，具体体现在以下几个方面。

(1）函数的概念

在函数的概念中定义域的定义为所有输入值x组成的集合，值域的定义为所有输出值y组成的集合。其本质就是由符号的取值构成的集合，而这两个函数基本概念用图形语言描述为函数y=f (x)的图像在x轴上的射影构成的集合即为定义域，在y轴上的射影构成的集合即为值域。如图1，值域用图形语言描述。

(2）函数的表示方法

函数有三种表示方法：列表法、图像法、解析式法。

解析式即用一个关于x、y的二元方程f (x, y)=0来表示两个变量之间的关系。图像即把二元方程f (x, y)=0解构造为一个点集{(x, y)|f (x, y)=0}，然后建立平面直角坐标系画出函数的图像。前者是通过式子用代数的方法刻画了两个变量之间的关系便于通过等式研究函数的性质，而后者是通过图形用几何的方法刻画了两个变量之间的关系能够直观反映函数值随自变量值变化的趋势。

如方程x2+y2=1 (y≥0)，根据函数定义可得，该二元方程即为函数，而该方程的解构造为一个点集，画出图像如图2所示。

(3）函数的性质

(1) 单调性

符号语言：“”就是对自然语言“随着x增大，y也增大”的精确刻画.

图形语言：

从左向右观察，曲线在逐渐上升，这样就是对自然语言“随着x增大，y也增大”的直观反映。

(2) 奇偶性

符号语言：“”就是对奇偶性的精确刻画。

图形语言：通过图形关于y轴对称和关于原点对称直观反映了函数奇偶性。

(3) 周期性

符号语言：“”就是对自然语言“周而复始”的精确刻画。

图形语言：通过图形的不断重复，直观地反映了函数的周期性。

从函数的概念到函数表示与函数性质，我们可以发现高中函数的研究是从代数角度用符号语言和几何角度用图形语言这两个角度来进行研究。

四、从高中数学感受与应用认识函数

1. 函数与方程之间的关系

代数:ax+b=0相当于函数y=ax+b, 当x=?时y=0?

ax2+bx+c=0相当于函数y=ax2+bx+c, 当x=?时y=0?

f (x) =0相当于函数y=f (x) 当x=?时y=0?

几何：方程f (x)=0的根即为y=f (x)的零点。

2. 函数与不等式之间的关系

代数：y=ax+b>0, y=ax2+bx+c>0，即解不等式的解的问题就是函数值大于零或小于零时对应自变量的值。

几何：如：x2-5x>0的解集即为函数y=x2-5x在x轴上方所对应图像在x上投影的集合。

3. 函数模型的应用

日常生活中有着太多的变量与变量之间的关系，如何用数学的方法来研究它们，而函数作为一个重要的模型之一，其发挥着巨大的作用。

用数学的方法来研究实际问题，其本质就是建立数学模型和数学方法的运用，其过程如下图：

高中新课程对实际的应用进一步加大，其目的是想通过对函数的应用，使得以前我们对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视，使得学生对数学的兴趣日趋减少，认为数学就是做题，学数学没用、升学有用等现象得到避免，通过数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发同学们学习数学的兴趣，有利于增强同学们的应用意识，有利于拓宽学生的视野。