高中数学思想（共12篇）
高中数学思想 篇1
数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中, 经过思维活动而产生的结果.数学思想是对数学事实与理论经过概括后产生的本质认识, 通过数学思想的培养, 数学的能力才会有一个大幅度的提高, 解题能力才有增强.高中阶段主要的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论思想等等.
一、方程思想是指当一个问题可能与某个方程建立关联时, 可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题
例题:过抛物线y2=2px (p>0) 的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A, B两点, 若线段AB的长为8, 则p=_____.
分析:根据弦长公式建立关于p的方程.
解:设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 由已经条件可知过焦点的直线方程为:y=x-2/p,
又因为|AB| =x1+x2+p=8, 解得:p=2.
二、函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题
例题:已知数列{an}是一个等差数列, 且a2=1, a5=-5, 则数列{an}的前n项和Sn的最大值为_______.
分析:根据方程思想求出数列的首项和公差, 建立起Sn关于n的函数关系.
解:设等差数列的{an}公差为d, 由已知条件可得解出a1=3, d=-2,
所以所以n=2时Sn有最大值, 最大值为4.
三、分类讨论思想是指当一个问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时, 需要对这个量或图形的各种情况进行分类
引起分类的原因有很多, 可以是某个数学概念本身是分类定义的;可以是数学定理、公式、运算性质有范围或者条件限制.
例题:解关于x的一元二次不等式:x2- (a+a2) x+a3>0
分析:不等式左边x2的系数为正数, 所以只需看对应方程的根是否存在以及两根大小是否确定.
解:将不等式x2- (a+a2) x+a3>0 变形为 (x-a) (x-a2) >0
当a<0时, 有a<a2, 解集为{x| x<a或x>a2};
当0<a<1时,
有a>a2, 解集为{x| x<a2或x>a};
当a>1时, 有a<a2,
解集为{x| x<a或x>a2};
当a=0时, 解集为{x |x∈R或x≠0};
当a=1时, 解集为{x |x∈R或x≠1}.
高中数学思想 篇2
学习数学状态很重要，如果状态好，在做题时就会如虎添翼，感觉没有什么问题可以难住自己，但是如果状态不好即使是最简单的问题也要思考好久，所以在学习高中数学时一定要调整好学习状态，并且有一些同学在心里就畏惧数学，还没有开始学就认为自己学不好，这是不对的。要树立学习数学的信心，可以经常给自己加油鼓劲，提高学习动力。
课后巩固
很多学生在学习过程中没有重视课后的巩固，只是觉得在课堂上掌握一些知识就够了，其实这是错误的。高中数学的知识很多，并且不像初中数学那么浅显，而是有很多的内涵，如果不能进一步挖掘其内涵，那么只是掌握这个知识的表面，于是在自己做练习时就不知道如何去解了，也不能运用这个知识的。
做练习是需要的，可是有些学生只是为了练习去做练习，而不是为了巩固这个知识，扩展这个知识去做练习，经常是做完这个练习后算做完了，这样跟初中的做题是没有区别的。其实，我们还应该把这个练习中使用到的知识串起来，这样我们就能明白那些知识在运用，也能掌握更多的知识。也同样能发现那个知识点是重点，也能发现难题是如何把相关知识串起来的。
学会选做题
高中的相关资料比初中更多，高考是全社会都关注的问题，所以高中的练习也特别多，有些学生买的资料也多，于是如何利用题目来掌握我们学习的知识，扩展我们学习的知识就成为学习的关键。我觉得题目要多看，多想，看资料中的解题方法，想方法中的为什么，这样就可以借鉴更多的方法。
方法多了，可以也要消化。于是我们要会有选择的做题，达到事半功倍。我建议每天一小练，每周做一套完整的考题，看2～3套考题，从中去发现那些是这段时间数学学习的重点知识，那些是我们常用的解题方法以及使用什么方法能优化解题。
缓慢审题，快速做题。
有些同学做题速度很快但是分数却并不高，是因为这些同学只顾追求做题速度，往往没有将题看清楚，就着手解题，审题的程度在很大程度上决定了同学是否能得高分，数学题在题干中会有很多的知识点和隐藏条件，各位同学再审题时一定要认真，将题干中涉及的知识点和隐藏的知识点都挖掘出来，而且如果我们将题干读懂以后可以在一定程度上有利于我们的做题速度。
高中数学类比思想应用分析 篇3
关键词：高中数学 类比思想 分析
类比即为根据两个对象或两类事物一些属性相同或相似，从一个对象的已知属性出发去猜测另一个对象也可能具有相同或相似属性的一种思维方式.通过类比可以帮助理解和记忆不同层次的类似数学内容，可以诱导寻求解题思路的变迁和发散。可以获得命题的推广和延伸。它是数学知识拓广的原动力之一，实践告诉我們，如果教学中经常应用类比的思想方法，深知它的作用之大，那么对提高数学教学质量，优化解题思路，拓宽数学知识，是大有益处的。
一、类比思想与高中数学
类比思想是一种基本逻辑思维，它是将属性上接近或相似的事物进行比较分析并从中总结出类似事物方法和规律的一种思维方式。类比思想在科学研究中得到了广泛的应用并且取得了丰硕的成果。同时，类比思想也是一种高中数学学习方法的重要指导思想，学生采用类比思想能够将复杂问题简单化、陌生问题熟悉化，以及抽象问题形象化。具体说来，就是针对高中数学的章节、知识点和题型进行对比，将问题落实在具体章节知识点和具体的解题案例中，从而找出其共性并融会贯通。以通常普遍的解题规律去应对新题型新问题。
二、类比思想作用分析
根据对类比思想基本内涵及其与高中数学学习方法之间关系的分析，在对大量利用类比思想进行高中数学学习的成功个案分析的基础上，本文认为类比思想在高中数学学习中的作用及其实证案例如下面几个方面所展示。
第一，类比思想可以帮助学生对于数学知识的学习和掌握由浅入深、有具体到抽象地学习和掌握新知识。比如在高中立体几何的学习阶段中.对于点线面知识点的学习。可以让学生对于生活中的具体事物进行抽象以形成点线面的概念，例如对于平行公理和空间中直线之间的关系类型，以及从二维空间到三维空间的转移中会发生什么样的变化；在学习函数的性质时，让学生学会根据函数的图像来分析函数的各种属性如周期截距及增长趋势等，并且用函数的观点来理解方程、不等式，以及数列；在复数与实数的四则运算中了解复数运算与实数运算有什么不同和相同点，以及是复数的什么属性导致了这些算法上的区别。
第二，类比思想可以帮助学生将不同的表面上零散的知识点和模块贯穿起来形成一个有机统一整体，从而开阔解题思路和办法。在高中数学的学习中，经常会遇到函数是周期函数的证明问题，这部分题目一般以复合函数的表达形式出现。但通过具体分析可以看出其是由基本的周期函数经过四则运算的形式出现的。因此这类题目的任务就是要寻找其中隐含的基本周期函数，并找出这些基本周期函数经过四则运算后其基本属性的变化情况.进而做出是否是周期函数，以及周期是什么的求解和证明：另外，在求点的轨迹变化时也是运用类比思维的一种典型情景，点的运行轨迹题目是几个函数或方程的一个综合问题，利用基本的函数形式和方程进行类比可以快速准确地解决这类题目。
第三，类比思想可以帮助学生在高考中节约考试时间并提高解题效率和水平。以2011年全国高考题的一个对于直角三角形勾股定理的考查，其要求将此二维空间中的定理扩展到三维空间来研究三棱锥侧面面积与底面面积之间的关系，如果学生能够采用类比思想进行积极的思考。不难得出三维空间中三棱锥的底面面积的平方等于三棱锥三个侧面面积的平方和；另外对于集合元素之间的关系推理也是能够采取类比思想进行快速准确解题的典型题目之一。元素与几何之间的属于或不属于关系，集合与集合之间包含、包含于、相等之间的关系是现实中整体与部分关系的一个表现。
三、培养学生类比思维的建议和对策
根据类比思想及其对于高中数学学习的作用和意义的阐述，在高中数学学习中如何运用类比思想进行思维和创造性解题案例分析和应用的基础上，本人认为应该从下面几个方面加强对于学生类比思维的培养和运用。
首先，将高中数学中关键知识点进行属性分解，从而形成类比思维的基本元素，将这些基本元素进行对比分析。这是进行类比思维的前提，只有找到类比思维所赖以进行的类比基本元素，接下来的步骤和方法才有基本载体。
其次，针对关键知识点进行典型案例的选取并进行深度挖掘和分析，将典型例题巾包括的思路涉及的知识点进行解剖.以知识点带动关键题目案例的选取。应用典型案例挖掘和分析关键知识点.是类比思维正确实施和推行的关键步骤。
最后。经常用类比的思维和方法进行知识之间的连串和梳理，这是类比思维培养的一个日常行为，即它是类比思维在高中数学学习中的一个常态。
通过类比，引导学生推广数学命题，或通过类比，探求解题途径，深化对知识的理解，对数学思想方法的掌握；通过类比，拓展学生的数学能力，提高学生的发现问题、分析问题和解决问题的能力，提高学生的实践能力和创新精神。
参考文献：
[1]吉亚东.要正确使用高中数学教材[J].中国教育技术装备，2010
[2]张丽伟.如何优化高中数学课堂提问[J].中国教育技术装备，2009
[3]赵宪庚.高中数学新型教学方法初探[J].魅力中国，2010
高中数学思想方法教学探析 篇4
一、做好衔接, 层层推进
知识体系的建成不是空中楼阁, 从初中数学到高中数学, 无论是课程教学的教育理念、教学方法、教学策略、教学内容、教师角色的转变, 还是学生的心理、学习方式、师生的交往等等都在联系着、变化着. 高中内容抽象层次在提高, 由于完成教学任务, 学生练习比较少, 针对这种情况, 在高中数学教学中, 教师要拟定最优的教学目标, 把握着整个教学过程的导向, 要具有全面性、适度性和区分性, 合理安排教学内容. 要引导学生把功夫下到对知识的深刻理解上, 必须学会条理性的思维, 提高思维深度和分析解决问题的能力. 不要把知识作为一种产品或一种结果灌输给学生, 而要把知识作为一种过程, 引导学生去探索, 去发现, 弄清它的来龙去脉. 初中所学的变量替换、待定系数法、分解与组合、尝试探索等数学方法要经常地和高中所学的数学思想方法相融合, 这样, 才能有助于他们数学思维能力的提高, 有助于日后的发展. 在高中数学教学中, 只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题. 要培养学生养成良好的自学习惯和一定的自学能力, 教师应有计划地培养学生的自学能力, 结合学生个人的兴趣爱好, 向他们推荐自学书籍, 指导学生如何钻研问题、如何提出问题、如何查阅资料解决问题等, 学生通过自学, 会进一步加强他们对数学学习的兴趣.
二、统率知识, 感悟内涵
到了高中, 作为一个教师, 如果还把现成的结果、结论性的东西灌输给学生, 就只能导致学生思维僵化, 思想呆板. 只有运用数学思想才能真正驾驭数学知识, 以不变应万变, 遇到问题才能迎刃而解. 教师在教学过程中要尽最大努力把知识中蕴含的思想方法、数学背景、思维规律展示在学生面前, 创造条件为学生疏通思路, 培养学生独立创新解决问题的意识. 要让学生在思中学, 学中研, 研中创, 形成主动观察、联想、推理知识, 得出自己的结论.
在高中数学中教材的各个章节都可以看到思想方法的渗透, 教师最好把每种方法列成专题, 对每一种专题有针对性地选择典型习题进行分类, 分层次训练, 加深学生对知识的有机联系, 使学生的思维不局限于某一个点上. 如: 分类讨论是解决问题的一种逻辑方法, 也是一种数学思想, 这种思想在人的思维发展中有着重要的作用. 分类讨论具有明显的逻辑性特点, 分类讨论能训练人的思维的条理性和概括性. 如“参数问题”对中学生来说并不十分陌生, 它实际上是对具体的个别的问题的概括, 从绝对值、算术根以及在一般情况下讨论字母系数的方程、不等式、函数到曲线方程等等, 这种分类讨论有时并不难, 但问题主要在于有没有分类讨论的意识. 受初中的影响, 在高中许多问题分类很好解的问题, 被学生解得呆板了、繁杂了, 因为他们缺少了分类的意识. 良好的数学素养, 需要长期的磨炼才能形成.
对于高中数学教学, 我们一定要本着以数学思想为指导, 以实际的数学方法为实验途径, 通过一系列的实例来进行论证和学习, 特别强调要注意操作, 让学生在学习中操作, 在操作中掌握, 在掌握后灵活动地运用. 对于数学思想方法的训练绝对不能操之过急, 要讲求由量变到质变的飞跃, 要在长期的渗透中螺旋上升, 把所学的知识进行融会贯通, 最后取得水到渠成的效果.
三、大知类型, 小会用法
在高中数学中, 从类型上看, 有概念型的数学思想, 如函数思想、方程思想、集合思想等, 这类思想以有关的数学概念的背景为内容; 有方法型的数学思想, 如分类变换、归纳等, 这类思想是解决数学问题的方法论; 有结构型的数学思想, 如公理化思想、形式不变思想, 基底思想等, 指建立数学的大大小小的结构的指导思想; 有根本性的数学思想, 如统一化思想、一般化思想、严密化思想等.
如: 数学问题最关键的是转化, 化归思想就是一种转化, 就是把复杂的问题简单化. 常见的转化有正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化等等. 每一个数学问题无不是在不断的转化中获得解决的, 许多陌生、未知的问题, 可通过分解、转化为已知的、熟悉的问题, 利用已知的解法或模式来解决问题. 许多抽象、难以入手的问题, 可通过各种途径转化为直观、形象的问题, 用很简洁的方法便可以解决. 许多难以解决的一般化问题, 退回到特例后, 由于个性中拥有共性, 通过特殊情况往往可以揭示一般规律, 从而得出一般结论.一些比较复杂的特殊问题, 可先推广到一般情况, 揭示出一般规律, 再还原为特殊, 从而从更高角度解决特殊问题, 这也遵循了认知规律. 在高中数学教学中, 整体求解较困难时, 我们不妨先将其分散难度, 对局部求解, 在局部求解时, 要看清每一个局部所满足的性质, 最后将局部之解综合, 求得整体的答案. 化归思想是解决一切问题的基本思想方法, 因此, 在平时的数学教学中必须注意化归思想的渗透.
高中数学思想与方法 篇5
②数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等;
③数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等;
④常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等。
数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得。
高中数学思想 篇6
关键词：高中数学；函数教学；数学思想方法
在新课程教育理念指导下，广大高中数学教师也在不断探索、优化自身教育理念与方式。在教学中渗透数学思想方法具有重要的意义，不仅可以让学生对所学函数知识有更透彻的理解，也能够进一步拓展、锻炼学生的创新思维与综合学习能力。因此，对于数学思想方法的渗透研究，广大高中数学教师应在透彻理解、掌握的基础上，给予进一步研究。
一、高中数学教学现状分析
高中数学可以说是一个学习难度级别相对较高的阶段，不仅是指所讲授的内容更加复杂丰富，采用的方法更加灵活多样，对学生的理解接受水平也提出了更高要求，且对其未来的学习发展也有着至关重要的的影响。但是，就目前来看，在升学压力下，很多教师对于新课程教育理念采取的都是一种理解但不采纳的态度，大多都依旧沿用着传统授课模式，不仅存在诸多弊端，学生也一直处于被动机械的学习状态，很难获得理想学习效果。另外，在授课中，教师也未重视起思想方法的传授，只是一味的让学生按照自己的思想、安排来完成相应学习任务，学生机会很少真正參与其中，久而久之，学生不仅会一味理解不透彻而失去学习兴趣与信心，也会产生厌烦抵制的情绪。
二、数学思想方法在高中数学函数教学中的渗透
1.注重数形结合思想方法的渗透
在高中数学教学中，特别是函数知识传授中，数形结合思想方法往往都是渗透最显著的一种。这种思想方法不仅能够通过更直观的方式，在平面、空间上呈现出原本较为抽象的数量关系，也能够在思考、解决问题中，将抽象、形象思维有机结合在一起，帮助学生更轻松、快速的认识掌握函数知识中存在的一些规律，并将某项特定的值推算出来。在函数教学中，函数图像往往都是与其知识相对应的，且在思考、解决函数问题过程中也强调学生应绘制相应图形来讲该项函数的关系呈现出来，从而更直观的说明、表达其函数的变化规律，以此来将原本复杂、抽象的数据进行简化处理，真正实现形象与抽象思维的有机整合。
比如：在例如，（cos θ一cos +3）2+（sin θ一sin 一2）2的最值（0，a R）就可以利用距离函数模型来解决。在此过程中通过有效渗透数形结合思想方法，不仅可以帮助学生降低学习难度，也能够加深其理解与印象，从整体上提高授课效果。
2.重视学生互相转换能力的培养
在高中数学学习中，学生若总是采用一种方法来思考、解决各项数学问题，不仅难以获得理想学习效果，有时还会在某些方面增加解题难度。而传统教学理念长期影响下形成的后遗症之一，就是学生在思考、解决问题中不懂得灵活变通，对相应问题的思考也不够深入，不懂得通过灵活转换所学知识来简便解决相应问题。而函数、方程思想方法作为两种最基本的数学思想方法，其在实践教学中的渗透，教师应做出深入探究。
比如：在讲解“函数的应用”的相关知识点时，就涉及到了函数、方程之间的关系这一内容，而其中两者的相互转换也是教学重难点奶奶。对此，在实际授课中，教师就可以通过函数构造出与之相对应的方程表达式，如，将y=f（x）这一函数合理转化为f（x）-y=0这一方程表达式，通过这两者之间的巧妙转换，不仅可以适当降低该题目的解答难度，学生也可以在此基础上，对函数因变量改变而产生的变化规律进行计算，或者是从函数图像中总结出方程中未知数相应的变化规律。
函数思想主要指的是结合变化、运动等变化规律来进行函数关系的建立，并以图像形式来进行表达。而方程思想则主要是指数学问题变量、质量是等量的关系。由此可见，函数、方程学习中，函数与方程思想的相互转换运用，不仅将二者的优势充分结合发挥，也能够帮助学生积累更多适合的问题解决思路与方式，进一步增强学生的计算能力。
3.分类讨论思想方法的渗透研究
分类讨论思想其实简单来讲，就是实现“化整为零、积零为整”的一种思想方法。在研究、解决某些数学问题过程中，在所给对象无法做出统一研究时，其教师就可以引导学生对结合数学对象本质属性的异同特点，合理划分问题对象的类别，在此基础上再进行深入讨论与妥善解决。而在函数教学中，函数性质、定义与公式限制方面引发的一系列分类讨论，以及问题中的变量，或者是一些参数需要作出进一步讨论的都需要进行分类。由此可见，分类思想的渗透是不可忽视的，在函数教学中，教师应进行循序渐进的渗透，以此来进一步拓展学生思维能力。
4.化归与类比思想方法的渗透
化归、类比思想其实就是将原本抽象、复杂的的数学问题，合理转化成学生比较熟悉且具体、简单的问题，以此来减低学生解答难度，可以说高中函数知识学习中，所有问题的解决都与化归、类比思想有着密切来信。其中应用比较广泛的转化方法有：一是，类比法，主要是通过类比推理、对问题结论作出猜测来为转化提供一定便捷；二是，等价转化法，是指将原本比较复杂的问题，合理转化成一个等价的且解决起来比较便捷的数学问题，以此是实现转化目的；三是，换元法，主要是指通过“换元”将一些不标准的不等式、函数转化成解决起来更容易的基本问题等等。总之，为了进一步锻炼、提升学生在解决函数问题中的应变能力，进一步拓展其数学思维，教师应充分重视、加强类比与化归思想方法的渗透。
三、结语
综上所述，广大高中数学教师在设计、组织函数教学活动过程中，应正确认识到加强数学思想方法的渗透，对增强授课效果、提升高中生整体数学素养等方面的重要性。在教学实践中，教师应结合实际授课条件，以及学生不同阶段的认知、发展需求，为学生传授更恰当的数学思想方法，帮助学生更透彻的掌握、更熟练灵活的运用所学知识，更全面锻炼、发展学生数学思维。
参考文献：
[1] 游保平.高中数学函数教学中渗透数学思想方法的应用[J].新课程·中旬，2013，（10）：109-109.
[2] 张忠明.高中数学函数教学中数学思想方法的渗透刍议[J].数理化学习（教育理论），2015，（10）：14-15.
高中数学思想 篇7
一、应用方程思想引导学生理解函数的概念
高中数学教师在开展教学时,首先要引导学生学习函数知识的概念。其实高中生在初中时代也学习过函数知识,那时只需要了解函数描述的是一种数学规律,它是由常量和变量构成函数,描述的数学问题涉及最大值及最小值的问题,即它有范围性。学生只要理解了这些数学知识就算完成了初中函数学习。而高中时代,学生必须了解函数更核心的概念:函数描述的是一种规律,那么它描述的是怎样的规律?学生必须从宏观的、抽象的、精确的角度理解函数知识,才算完成函数概念知识的学习。为了让学生理解这一个概念,数学教师可引导学生运用方程思想来理解函数概念知识。
以一名数学教师引导学生学习函数的概念为例。这一名数学教师刚开始给学生看一道数学习题:判断x2+y2=1是不是函数?很多学生不能回答出这个问题。他们不能分辨出什么是方程、什么是函数,便意味着他们还未理解函数这一概念究竟代表着什么意思。于是这名教师又给学生看一道数学习题:y=8x是方程还是函数?y-8x=0是方程还是函数?学生经过思考,认为y=8x是函数,它满足函数的概念,即函数描述的是两个变量的关系。y-8x=0是方程,它满足方程的概念,即它描述两个数学式之间的等量关系。由此可见,方程问题有时可以转换为函数问题,有时不能转换为函数问题。如果学生能够结合方程思想来思考函数问题,便能从宏观与等量的方面来思考问题。即函数是一个特殊的方程,只要是函数,必然存在某种等量关系;方程的侧重点为描述等量关系,然而它也可能可以转换为特殊的函数描述。
高中数学教师引导学生应用方程的思路来理解函数概念,可以让学生从宏观的视角了解函数的概念,这样学生在解决函数问题时,可以从更宏观的视野看待函数问题。
二、应用数形思想引导学生突破学习的难关
函数知识具有高度的抽象性,有时学生遇到抽象的函数问题时不知道如何理解。因此在遇到抽象的函数问题时,教师要引导学生画出具象的函数图,应用具象的函数图来辅助学生理解抽象的函数问题。
高中数学教师在引导学生学习函数知识时,要使学生理解函数知识,就要让他们时时刻刻记得应用数形转换思想辅助理解抽象的数学问题,进而迅速抓住解决数学的要点。
三、应用分类思想引导学生整合数学的系统
与函数问题相关的知识点有很多,如果学生没有详细地了解这些知识点,解决函数问题时就会出现问题,后续的学习也将很难持续进行。数学教师要引导学生学会用分类思想来了解函数数学知识结构是否存在问题,然后针对性地完善数学知识结构。
以数学教师引导学生思考这下面的数学问题为例:已知函数f(x)=x3+6x2-9x,如果过P(-1,m)可作f(x)=x3+6x2-9x的三条切线,求m的取值范围。学生如果要做这道数学习题,首先就要在理解函数性质的基础上绘制坐标图(图形略),其次学生会发现要解决这一数学问题要应用到斜率、求导、解方程等知识。(解答方法略)学生可在解决这道数学函数问题时分类验证哪类数学知识不能灵活地应用、哪类数学知识结构出现漏洞等。学生应用分类的思想可明晰数学知识结构存在的问题,进而找到学习的方向。
学生在做一个不太复杂的函数问题时,可能不能了解知识结构的缺陷,如果教师尝试给学生做综合性较强、涉及数学知识点较多的习题,学生就能了解与函数知识相关的某一类数学知识掌握的情况,可以定向地弥补数学知识结构。分类思想是学生归纳、整理、完善函数知识结构的重要思想。
浅析高中数学函数与方程思想 篇8
在高考中主要考查的是函数的概念、性质及图像的应用, 包括显化、转换、构造、建立函数关系解题四个方面。
方程的思想, 就是分析数学问题中变量间的等量关系, 建立方程或方程组, 或者构造方程, 通过解方程或方程组, 或者运用方程的性质去分析、转化问题, 使问题获得解决。方程思想是动中求静, 包括研究运动中的等量关系数法、换元法、转换法和构造方程法四个方面。
函数思想与方程思想的联系十分密切。解方程f (x) =0就是求函数y=f (x) 当函数值为零时自变量x的值。求综合方程f (x) =g (x) 的根或根的个数就是求函数y=f (x) 与y=g (x) 的图象的交点或交点个数。参数方程f (x, y, t) =0具有函数因素, 属能随参数的变化而变化的动态方程。它所研究的数学对象已经不是一些孤立的点, 而是具有某种共性的几何曲线。正是这些联系, 促成了函数与方程思想在数学解题中的互化互换, 丰富了数学解题的思想宝库。
一、显化函数关系
在高中数学的很多解题过程中, 可以将原有的隐含的函数关系凸显出来, 从而用函数的知识和方法来使问题得到解决。
例1:在数列{an}中, a1=15, 以后各项为 an+1=an-2, 求数列{an}的前n项和的最大值。
二、转换函数关系
在研究函数的性质, 数列和圆锥曲线等恒成立问题中逆求参数的取值范围, 按照原来的函数很难解决时, 当我们转换思维角度, 放弃题设的主参限制, 从其他的角度重新设变量, 利用新的函数关系, 使原问题获解。
例2:已知函数
三、构造函数关系
在我们解决一些非函数问题的时候, 通过联想、抽象、概括等方法, 构造出一定的函数关系, 利用函数的思想方法使原来的问题得到解决, 这是用函数思想解题的更高层次的体现。在构造的时候, 要认真审题, 发现题目中的可以类比、联想的条件, 促进思维迁移。
例3:求函数
解:令
点拨解疑:通过构造辅助函数
四、建立方程模型
例5:甲、乙两地相距s千米, 汽车从甲地匀速驶到乙地, 速度不得超过c千米/小时, 已知汽车每小时的运输成本 (以元为单位) 由可变部分和固定部分组成, 可变部分与速度v (km/h) 的平方成正比, 比例系数为b, 固定部分为a元。
(1) 把全程运输成本y (元) 表示为v (km/h) 的函数, 并指出这个函数的定义域;
(2) 为了使全程运输成本最小, 汽车应以多大速度行驶?
分析:本题考查建立函数的模型、不等式性质、最值等知识, 还考查学生综合运用所学数学知识解决实际问题的能力。学会将实际问题抽象转化为具体的函数问题, 不要忽略对参变量的限制条件。技巧与方法: ①读题;②建模;③求解;④评价。
五、待定系数法
一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式, 这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组, 其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数, 或找出某些系数所满足的关系式, 这种解决问题的方法叫做待定系数法。
例5:是否存在常数 a, b, c, 使得等式
六、转换方程形式
例6:设二次函数f (x) =ax2十bx十c (a> 0) , 方程f (x) -x=0的两个根满足
(1) 当x∈ (0, x1) 时, 证明x<f (x) <x1;
(2) 设函数f (x) 的图象关于直线x=x0对称, 证明
分析:本例是有一定难度的代数推理题, 审题中要细心分清函数f (x) 与方程f (x) -x=0是两个不同的条件, x=x0是函数f (x) 的对称轴, x1, x2则是方程f (x) -x=0的根, 它们之间的联系通过a, b, c隐蔽地给出, 因而充分利用二次函数的性质, 引进辅助函数g (x) =f (x) -x, 凸现已知条件的联系, 是解题的关键.
高中数学思想 篇9
新课标明确提出开展数学思想方法的教学要求, 旨在引导学生去把握数学知识结构的核心和灵魂, 其重要意义显而易见.中学数学教学内容从总体上可以分为两个层次:一个称为表层知识, 另一个称为深层知识.表层知识包括概念、性质、定理等数学的基本知识和基本技能, 深层知识主要指数学思想和数学方法.表层知识是深层知识的基础, 是教学大纲中明确规定的, 教材中明确给出的知识.教师必须在讲授表层知识的过程中不断地渗透相关的深层知识, 让学生在掌握表层知识的同时, 领悟到深层知识, 才能使学生的表层知识达到一个质的“飞跃”, 从而使数学教学超脱“题海”之苦, 使其更富有创造性.那种只重视讲授表层知识, 而不注重渗透数学思想方法的教学, 是不完备的教学, 它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握, 使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段, 难以提高;反之, 如果单纯强调数学思想和方法, 而忽略表层知识的教学, 就会使教学流于形式, 成为无源之水, 学生也难以领略到深层知识的真谛.因此, 数学思想方法的教学应与整个表层知识的讲授融为一体, 使学生逐步掌握有关的深层知识, 提高数学能力, 形成良好的数学素质.
一、在知识发生过程中渗透数学思想方法
教学设计应体现数学思想方法教学的综合考虑, 教案要就每一节课的概念、命题、公式、法则以至单元结构等教学过程进行渗透思想方法的具体设计.要求通过目标设计、创设情境、程序演化、归纳总结等关键环节, 在知识的发生过程中贯彻数学思想方法, 形成数学知识、方法和思想的一体化.对于数学概念的教学, 数学概念既是数学思维的基础, 又是数学思维的结果, 因此不能简单给出定义, 而是要密切联系数学概念的现实原型, 经过分析、综合、比较、抽象、概括等思维加工, 在具有充分感性认识的基础上引入概念, 这样学生就对概念的理解有了一定思想准备, 同时培养学生从具体到抽象的思维方式.
二、在思维教学活动过程中揭示数学思想方法
数学课堂教学必须充分暴露思维过程, 让学生参与教学实践活动, 揭示其中隐含的数学思想, 才能有效地发展学生的数学思想, 提高学生的数学素养.“暴露思维过程”是新课程倡导的一种教育教学思想.思维的训练和发展是以暴露思维过程为前提的, 是在暴露的过程中得到锤炼和提高的.因此教学活动中, 师生双方都必须充分暴露思维过程, 从而沟通师生间的思维路线, 形成“教”与“学”的回路.一方面教师要恰当地向学生暴露思维过程, 不仅要给成功的范例, 还应展示失败和挫折.例如, 课堂上, 对于有一定难度的数学题, 我们可以采用“现场直播”, 即在课堂上与学生一道起步思考, 置自己于“险境”, 现场分析, 现场推演, 让学生直接看到教师在解题中的原始思维过程.这样就能把教师自己思维中的失败部分, 把经历的曲折或最有意义、最有启发性的东西展示给学生, 让学生了解探索的艰辛.当学生看到教师失败、受困的过程, 从中可以知道教师并不是万能的, 也可能出错、“走弯路”, 人人都会犯错误, “失败是成功之母”, 克服其自卑的心理.另一方面学生在学习中的谬误, 有时比较隐蔽, 潜藏于深层次中, 不充分暴露思维过程, 就治不到“点”子上, 挖不到“根”子上因而教师要从暴露学生失误思维入手, 启发学生自悟、自救, 让学生自我发现, 在教师的正确思维的引导下自我纠正.这样对于学生形成正确的学习观, 树立自信心是十分有益的.
三、在问题解决方法的探索过程中激活数学思想方法
数学问题的化解是数学教学的核心, 其最终目的要学会运用数学知识和思想方法分析和解决实际问题.例如, “求圆柱侧面积”的问题, 通过探求解决问题的思想和策略, 得到以化归思想指导将思维定向转化为矩形的面积.这样以问题的转化教学, 使学生认识到求解该问题的实质是将空间图形问题转化为平面图形问题, 即要在保持面积不变的情形下实现化归目标, 而化归的手段是“空间图形展开为平面图形”, 依此类比, 就不难理解圆锥及圆台的侧面积公式了, 由此揭示了解决问题的思维过程及其所包含的数学思想, 同时提高了学生的探索性思维能力.在数学知识的引进、消化和运用的过程中, 要以分散方式的渗透性教学为基础, 集中强化数学思想方法教育的形式, 促使学生对数学思想方法由个别的具体感悟上升到一般的理性认识, 这有利于提高教学效果.
四、及时小结复习, 揭示、提炼概括数学思想方法
由于同一内容可蕴含几种不同的数学思想方法, 而同一数学思想方法又常常分布在许多不同的表层知识之中, 及时小结复习以进行强化刺激, 让学生在脑海中留下深刻的印象, 这样有意识、有目的地结合数学表层知识, 揭示、提炼概括数学思想方法, 既可避免单纯追求数学思想方法教学而欲速则不达的问题, 又明快地促使学生的认识从感性到理性的飞跃.特别是在复习教学中, 要培养学生敢于突破常规、独辟蹊径、标新立异的优良品质, 全方位、多角度运用数学思想方法, 提高解题品位, 优化思维品质, 培养数学素质.
五、学生在主动参与中学习数学思想方法
教学要以学生为主体, 教学活动是师生的双边活动, 只有让每一名学生积极参与教学的全过程, 才能真正发挥学生的主体作用, 使学生在参与中领悟数学思想方法的真谛, 确实掌握数学思想方法的应用.引导学生参与的主要途径和方法有哪些?一是利用设疑、引辨、制巧、激趣、疏导、拓广等方法, 创设良好的教学情景, 激发学生主动参与的欲望和探究的势头;二是对课堂上所提出的问题作精心设计, 围绕数学思想方法的问题, 同样要具有启发性、针对性和趣味性, 让学生在兴趣盎然之中思考问题、讨论问题、解决问题, 才能收到事半功倍的效果.
高中数学中分类讨论思想的探究 篇10
一、弄清分类讨论的原因
( 1) 由数学概念而引起的分类讨论: 如绝对值的定义, 不等式的定义, 二次函数的定义, 直线与平面所成的角, 直线的倾斜角, 两条异面直线所成的角等问题.
( 2) 由数学运算引起的分类讨论: 如导数的正负号, 除法运算中除数不为零, 偶次方根为非负数, 不等式两边同乘以一个正数、负数, 三角函数的定义域, 对数运算中真数与底数的要求等问题.
( 3) 由函数的性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论: 如函数的单调性、等比数列的前n项和公式等问题.
( 4) 由参数的变化而引起的分类讨论: 如含参数的方程、不等式, 含参数的函数的单调性、值域 ( 最值) 等问题.
( 5) 由图形不确定引起的分类讨论: 如角的终边所在的象限, 点、线、面的位置关系等问题.
( 6) 其他根据实际问题具体分析而引起的分类讨论: 如排列组合, 概率等实际问题.
二、确定分类讨论依据
实质上, 分类讨论是“化整为零, 各个击破, 再积零为整”的数学策略. 对于何时需要分类讨论, 则要视具体问题而定, 并无规定. 但可以在解题时不断地总结经验. 常见的情形略举以下几例:
1. 依据数学概念分类讨论
解析由已知并结合集合的概念, C中的元素分两类:①属于A元素; ②不属于A而属于B的元素. 并由含A中元素的个数1、2、3, 而将取法分三种.
所以满足集合C的个数有C110·C62+ C210·C61+ C310·C06=540.
点评 本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题, 正确地解题的前提是合理科学的分类, 达到分类完整及每类互斥的要求, 还有一个关键是要确定C中元素如何取法.
2. 依据数学运算分类讨论
例2 已知a∈R, 讨论函数f ( x) = ex ( x2+ ax + a + 1 ) 的极值点的个数.
①当 Δ > 0, 即a < 0 或a > 4 时, 方程x2+ ( a + 2 ) x + ( 2a + 1) = 0 有两个不同的实根x1, x2, 不妨设x1< x2.
于是f' ( x) = ex ( x - x1) ( x - x2) , 从而有下表:
即此时f ( x) 有两个极值点.
②当 Δ = 0, 即a = 0 或a = 4 时, 方程x2+ ( a + 2 ) x + ( 2a + 1) = 0 有两个相同的实根x1= x2.
于是f' ( x) = ex ( x - x1) 2,
故当x < x1时, f' ( x) > 0; 当x > x1时, f' ( x) > 0.
因此f (x) 无极值点.
③当 Δ < 0, 即0 < a < 4 时, x2+ ( a + 2) x + ( 2a + 1) > 0恒成立,
故f ( x) 为增函数, 此时f ( x) 无极值点.
综上所述: 当a < 0 或a > 4 时, f ( x) 有两个极值点; 当0≤a≤4 时, f ( x) 无极值点.
点评 本题分类有两层, 先依据方程的根的情况进行分类讨论, 然后分区间讨论f' ( x) 的符号, 来确定f ( x) 取极值的情况.
3. 依据数学中的定理、公式和性质分类讨论
例3 设等比数列{ an} 的公比为q, 前n项和Sn> 0 ( n = 1, 2, 3, …) .
( 1) 求q的取值范围;
解析 ( 1) 由{ an} 是等比数列且Sn> 0, 可得a1= S1>0, q≠0.
当q = 1 时, Sn= na1> 0;
解①式得q > 1,
解②式, 由于n可为奇数, 可为偶数, 得- 1 < q < 1.
综上所述:q的取值范围是 (-1, 0) ∪ (0, +∞) .
又∵ Sn> 0, 且- 1 < q < 0 或q > 0.
点评本题涉及等比数列前n项和公式的合理选取, 要注意对公比q的两种情况①q = 1, ②q≠1 讨论.
4. 依据题目中字母的取值范围分类讨论
例4 设函数f ( x) = ax2- 2x + 2, 对于满足1 < x < 4 的一切x值都有f ( x) > 0, 求实数a的取值范围.
解析 本题应先对二次项系数a分a > 0, a < 0, a = 0三种情况讨论, 再在a > 0 时将对称轴相对于闭区间的位置关系分: 在闭区间左边、右边、中间三种情况讨论.
①当a = 0 时, f ( x) = - 2x + 2, f ( 1) = 0, f ( 4) = - 6, ∴不合题意.
综上所述: 实数a的取值范围是a >1/2.
点评含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题, 要先对开口方向讨论, 再对对称轴相对于闭区间的位置关系进行分类讨论.
5. 依据图形位置或性质变动分类讨论
例5 已知矩形ABCD中, AB = 1, BC = a ( a > 0) , PA⊥平面ABCD, 问BC边上是否存在点Q, 使得PQ⊥QD并说明理由.
解析由于矩形是变动的, 在BC边上是否存在Q使PQ⊥QD与a的取值有关, 因此需分类讨论. 建立空间直角坐标系如图所示, 设Q ( 1, y, 0) , P ( 0, 0, c) , D ( 0, a, 0) , 则
整理, 得y2- ay + 1 = 0, 判别式 Δ = a2- 4, 且a > 0.
①当a2- 4 < 0, 即0 < a < 2 时, BC边上不存在点Q满足PQ⊥QD;
②当a2- 4 = 0, 即a = 2 时, BC边上有且只有一点满足PQ⊥QD, 此时y = 1, 即Q为BC边的中点;
点评当已知条件不能确定图形的位置时, 在求解或证明过程中, 则需根据可能出现的图形位置进行分类. 此类问题在立体几何和解析几何中较为常见.
三、把握分类讨论应遵循的原则和步骤
1. 原则: 分类的对象是确定的, 标准是统一的, 其中最重要的一条是“不漏不重”.
2. 基本步骤: ( 1) 分类转化, 结合已知所涉及的知识点, 找到合理的分类标准; ( 2) 依次求解, 在每一类所满足的条件下, 逐类求解; ( 3) 汇总作答, 汇总分类结果, 得出结论.
四、分类讨论应注意的问题
在运用分类讨论解题时, 我们要明确分类的原因是什么? 对象是什么? 分几个类别? 不仅要掌握分类的原则, 而且要把握分类的时机, 重视分类的合理性与完整性.
高中数学应用类比思想教学探究 篇11
关键词：高中数学；类比思想；运用原则
在目前的高考卷中频频出现类比的开放性题型，所以教师在教学过程中，要积极引导学生运用类比的方法来学习并研究问题，促使学生形成积极进行类比推理的思维习惯。在高中数学教学中应用类比思想，不仅能够突出问题的实质，提高教学质量，而且有助于培养学生的想象力、创造力，最终提高学生发现问题、认识问题和解决问题的能力。所以本文将对应用思想在高中数学教学中的应用进行初步探讨。
一、类比思想对于高中数学教学的意义
1.能够促进学生由浅入深，由直观到抽象地学习新知识
数学中的众多概念、知识点之间有很多类似的地方，所以在新知识点的讲授过程中，恰当地运用类比的方法能够让学生易于理解和掌握。譬如，在高中立体几何学习阶段，教师可以让学生探索空间中的点面线是否具有与平面中类似抑或相同的关系。举例如下：平行公理（若直线a//b，b//c，那么a//c）在平面与空间中都成立；而在平面中成立的命题“如果直线a⊥b，b⊥c，则a//c”拓展到空间中则不一定成立。运用类比的方法可以让学生直接了解二者的不同，这对于学生抓住事物的本质具有事半功倍的效果。
2.在教学中贯通类比思想，能够充分调动学生的学习积极性
我们都知道，类比是获取知识的重要手段之一，它能够让学生在面对新知识时产生一种似曾相识的感觉，却又无法完全抓住和理解它，在这样的挑战下，易于激发学生的求知欲望，提高其学习积极性。
3.获得新知识，巩固旧知识
在高中数学教学中融入类比思想，能够让学生通过已学知识引出新的知识点，同时能够让学生在对新知识学习的过程中巩固了旧的知识点，达到相互促进的效果。
4.促进学生发散思维的形成
当学生拥有了一定的类比意识时，在遇到新问题的情境下，一定会主动找寻原有知识点，并将二者进行比較，以获得二者的相同之处以及内在联系。在长时间这样的思维方式影响下，可以有效地促进学生发散性思维的形成。
二、高中数学应用类比思想教学探究
1.适合高中数学教学的类比类型
（1）结构性类比
所谓结构性类比，是指将两个不同事物联系在一起，建立某种对应关系，之后通过二者内在的对应关系来建立类比关系。例如，在学习数列概念时，我们可以按照如下的方法来。
首先给学生讲解等差数列的定义：2an=an-1+an+1（n≥2）；讲解数列通项公式：an=am+（n-m）d；并对数列性质进行举例，等差数列连续n项的和所构成的数列依然是一个等差数列。
随后运用类比的方法，将减法类比到除法，加法类比到乘法，乘法类比到乘方，如此便可以使学生得到等比数列的类比概念。首先等比数列的定义：a2n=an-1an+1（n≥2）；数列通项公式：an=amqnm；数列性质举例：等比数列连续n项的积所构成的数列依然是一个等比数列。
这种运用类比思想的教学设计，能够让学生快速掌握所学知识点，并能够巩固之前所学的知识，同时引导学生对数学知识的内在本质联系进行研究。
（2）问题解法类比
通过新旧知识之间的类比，可以把不熟悉的知识转化为熟悉的；可以把复杂的知识点转化为简单的；可以把抽象的知识转化为具体的；还可以把特殊的转为一般的、具有共性的，最终找出分析问题的新思路、新途径、新方法，提高学生的解题能力。
当然，引导学生运用类比的方法来解决问题，首先这个问题就必须要蕴含一定的类比性的设计。在面对这样的问题时，学生可以运用类比思想将不同的解题方案进行比较，分析各种方案的利与弊，最终选择一种合适的、具有普遍性的此类题的解题方案。在教学过程中，教师适当地引入一些具有类比性设计的问题可以培养学生运用类比方法的习惯，促进学生思维能力的开拓以及教学效果的更好实现。
2.高中数学教学中类比思想的运用原则
（1）必须要注意练习的连续性与变化性
在教学过程中，教师必须要注意使用类比思想的连续性和变化性。连续性是促使学生掌握类比思想的前提，变化性是促使学生深刻理解并学会灵活运用类比方法的根本保证。持续的练习能够让学生对类比思想产生全面的认知，而不断变化着的练习则能让学生深刻掌握类比思想的精髓并灵活运用。
（2）灵活运用类比思想的启发性
在教学过程中，教师要充分利用类比思想的启发性，促使学生通过解题信息的猎取，提高对类比的使用技能。类比思想具有很强大的启发性。所以，将类比思想的启发性运用到极致，对于提高学生的分析能力、解决问题的能力具有非常明显的效果。
总之，类比不仅仅是一种从特殊到特殊的推理方法，同时也是一种寻求新的解题思路、猜想问题结论的有效方法。所以，在高中数学教学过程中融入类比思想对于打开学生思路、提高学生学习能力，最终更好地实现教学效果具有重要意义。
（作者单位 江苏省上冈高级中学）
高中数学思想 篇12
一、数形结合思想方法
数形结合思想方法是贯穿于整个高中数学的一个极其重要的思想方法, 主要体现在“以形助数”和“以数助形”两个方面。它的优点在于:学生可以利用图形的生动性和直观性来理解课本中抽象性的数学语言或数学表达式, 进而掌握知识的本质和内涵 (即以图形作为手段, 以数为目的) ;与此同时, 通过数的精确性、数学表达式的规范性和严密性来揭示图像的某些属性、特点及其变化规律, 有利于学生抽象性思维, 三维思维的灵活性、敏捷性、发散性、深刻性的训练 (即以数作为手段, 图形作为目的) 。在课堂教学过程中, 学生首先应重点掌握、理解课本中的概念、运算所代表的几何意义及曲线的代数特征, 会从几何意义和代数意义两方面入手进行分析习题中的条件和结论;掌握参数的运用方法, 并结合实际能够恰当设参、合理用参、正确确定参数的取值范围。其次教师应根据学生的认知水平, 通过创设适宜的问题情境, 积极有效地引导, 让学生亲自参与到探究数学问题、分析数学问题、解决数学问题中来, 在引导过程中注重数形结合思想的渗透。这样, 不仅能够培养学生的良好思维品质, 而且有利于激发学生的数学学习兴趣。
二、等价转化思想方法
等价转化思想是高中数学中一个非常重要的数学思想。在新课程中, 对学生能力的培养提出了更高的要求, 体现在学生的认知水平、思维能力、创新能力等方面。等价转化思想的本质是将陌生的问题转化为熟悉的、所学知识范围内可以解决的问题的方法。从总体而言, 它主要包括等价转化和非等价转化。在进行等价转化时, 一定要注意两个问题 (或式子) 的前因后果的充分必要性, 确保通过转化后所得到的结果仍为原问题 (或式子) 的结果。而非等价转化注重过程的充分性或必要性, 主要是针对结论而言的。因此, 在平时的数学教学过程中, 教师要因地制宜, 结合学生的实际认知水平, 将重点集中在引导学生自己去思考、去探究、如何寻找突破口、探寻各类题型解题思路上。
由于等价转化思想方法的灵活性和多样性等特点, 教师引导学生应用等价转化思想方法解决问题时, 不但要充分注重数与数、形与形、数与形之间进行相互转化, 而且还要注意数学符号系统内部之间的相互转化, 因为这样可以优化学生的认知结构, 有效地渗透等价转化思想。因此, 这就要求教师在教学环节的设计上要有意识、有目的地将等价转换思想融入其中, 遵守简单化、标准化、直观化、熟悉化的设计原则, 培养学生将遇到的陌生、烦琐、复杂的问题简单、熟悉化, 抽象问题直观化, 非标准问题标准化, 逐渐地提高学生的综合素质和解决问题的能力和水平。
三、符号化思想方法
数学符号是进行数学运算和解决实际问题的一个基本工具, 对数学符号科学、合理、准确地使用, 有助于学生综合能力的提高。因此, 教师应注重数学符号的教学, 让学生深刻理解每个数学符号的实质和含义, 认真、规范地书写和应用, 训练他们运用规范化数学符号来列式、计算、求解, 展现题目中的数学语言。同时, 教师要采取有效的教学方法来加强学生对数学符号语言的理解和掌握。这样, 不仅能有效地提高学生数学思维能力, 而且有利于学生数学文化内涵的提高。
四、分类讨论思想方法
分类讨论思想方法是一种具有很强逻辑性的数学思想方法, 由于它的“化整为零”“积零为整”的特征, 在高中数学乃至高考中都占据着十分重要的地位, 也能够体现一个学生的综合数学能力水平和基本功扎实的程度。一般而言, 渗透分类讨论思想的数学问题具有很强的综合性、严密的逻辑性、丰富的探索性, 有利于训练学生的思维条理性和概括能力。
在教学中, 教师要通过积极有效的引导, 让学生理解掌握确定分类讨论的对象和研究区域方法。同时, 对所讨论的问题进行不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级的合理分类, 通过逐类讨论, 逐步解决, 最后归纳总结, 整合得出结论。这样, 不仅有利于学生知识结构网络化、优化认知结构, 而且还能够训练、培养学生对问题的分析能力和分类技巧, 让学生思维的发散性、严谨性、灵活性、深刻性和敏捷性得到进一步的深化和提升。
五、函数与方程思想方法
函数与方程是整个高中数学的核心知识, 在高中数学中发挥着枢纽性的作用。函数的思想, 其本质是利用运动和变化的观点来分析和研究数学中的数量关系, 将问题中变量之间的数量关系以函数形式呈现, 借助函数的图像来解决问题。函数思想还体现在对函数概念的本质认识和对性质的掌握, 并且善于利用函数观点观察、分析和解决问题。
方程的思想, 其本质是运用方程的观点来分析、研究问题中变量之间的等量关系, 并以方程或方程组的形式呈现出来。借助方程或方程组的性质来实现问题的解决, 其中体现了动中求静、研究运动中的等量关系的思想。因此, 在教学中, 教师要结合知识特点, 从学生的实际认知水平出发, 侧重培养学生的函数与方程思想, 让他们能牢牢掌握各种函数的性质、函数图像, 能够借助它们进行求解数学问题。同时, 教师还要积极引导、启发、诱导学生自己去发现问题、探索问题, 善于运用函数与方程的思想呈现数学问题中变量之间的数量关系, 以准确、合理的方程或函数来表达, 借助方程或函数来实现问题的最终解决。这样, 学生通过不断地练习, 能让他们养成良好的函数与方程思想方法的应用意识, 提高解决问题的技能。
总之, 在新课程改革背景下的高中数学教学工作者, 在向学生讲授知识的过程中, 应站在全局的高度, 从整个数学体系出发, 将数学思想方法有意识地渗透到教学、教研的各个环节中, 着重研究、探讨学生数学思想方法的教学, 使学生善于全方位、多角度、多层次运用数学思想方法, 提升解题品质, 逐渐地形成优良的数学素质。
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