高中数学幂函数教案设计

高中数学幂函数教案设计（精选15篇）

高中数学幂函数教案设计 篇1

教学目标

1. 知识目标：

(1)了解幂函数的概念;

(2)会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质;

(3)了解幂函数随幂指数改变的性质变化情况。

2. 能力目标：

在探究幂函数性质的活动中，培养学生观察和归纳能力，培养学生数形结合的意识和思想。

3. 情感目标：

通过师生、生生彼此之间的讨论、互动，培养学生合作、交流、探究的意识品质，同时让学生在探索、解决问题过程中，获得学习的成就感。

教学重点及难点

教学重点：

从具体幂函数归纳认识幂函数的一些性质并做简单应用。

教学难点：

引导学生概括出幂函数性质。

教学方法

归纳总结，数形结合，分析验证。

教学媒体

幻灯片、黑板

教学过程

教学基本流程 从实例观察引入课题→构建幂函数的概念→

画出代表性函数图像→探索简单的幂函数性质→总结一般性研究方法→应用举例和课堂练习→小结与作业

(一)实例观察，引入新课

(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付P = W元， P是W的函数。 (y=x)?

(2)如果正方形的边长为 a，那么正方形的面积S=a2 ，S是a的函数。 ? (y=x2)?

(3)如果立方体的边长为a，那么立方体的体积V =a3 ，S是a的函数。 ? (y=x3)

(4)如果一个正方形场地的面积为 S，那么正方形的边长a=s1∕2， a是S的函数。(y=x1∕2)

(5)如果某人 t s内骑车行进1 km，那么他骑车的平均速度v=t-1， V是t的函数。(y=x-1)?

问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?

学生反应：底数都是自变量，指数都是常数。

设计意图 引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.

由学生讨论、总结，得出上述问题中涉及到的函数，都是形如y=xa的函数，其中x是自变量，α是常数。

(二)类比联想，探究新知

1.幂函数的定义： 一般地，函数y=xa叫做幂函数，其中x为自变量?ɑ 为常数。

注意：幂函数的解析式必须是y = xa的形式，其特征可归纳为“系数为1只有1项”。 (让学生判断y=2x3 y=x2+x y=_ y=x-2等是否为幂函数)

例题1.已知函数 是幂函数，求m的值。

设计意图 加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解。

2.幂函数的图像与简单性质

同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质(定义域，值域，单调性，奇偶性，定点)。

找出典型的函数作为代表：

y=x y=x2 y=x3 y=x-1

在幻灯片上给出以上五个函数的图像，引导学生观察其性质(定义域，值域，单调性，奇偶性)

让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图像，并观察图像

问题二：所有图像都过第几象限，所有图像都不过第几象限，为什么?

学生反应：都过第一象限，而都不过第四象限，因为当x>0时所有幂函数都有意义，且函数值都为正。

问题三：所有图像都过哪些点，为什么?

学生反应：都过点(1，1)，因为1的任何指数幂都为1。

问题四：对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么?

学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义。

高中数学幂函数教案设计 篇2

关键词：高中数学新课程,函数,设计思路

一、高中数学新课程中的函数设计思路

(一) 把函数作为一条主线

高中数学新课程中分层设置了函数概念、具体函数模型、函数应用、研究函数的方法四方面的内容。在必修数学中设置了函数概念, 指数函数、对数函数、简单幂函数、三角函数、分段函数、数列等具体函数模型及其应用, 研究函数的初等方法等内容;选修数学中设置了研究函数的分析方法 (导数) 等内容;函数的应用以及函数的思想方法贯穿于相关数学内容之中。例如:必修数学中运用函数思想方法处理方程、不等式、线性规划、数列、算法, 运用函数解决优化问题, 刻画随机变量及其分布问题等。这种设置方式就体现了“以函数为纲”的思想以及函数的统领作用。

(二) 突出背景, 从特殊到一般引入函数

高中数学新课程中, 在引人函数概念和具体函数模型时, 都注重函数的实际背景, 通过对实际背景中的具体函数关系的分析, 归纳、抽象出函数概念和函数模型。高中阶段函数概念的引人, 一般有两种方法, 一种是先学习映射, 再学习函数, 即从一般到特殊的方法;另一种是通过具体函数实例的分析, 归纳总结出数集之间的一种特殊对应关系—函数, 即从特殊到一般的方法。例如, 对于函数概念, 先引导学生梳理已经掌握的具体函数 (如, 初中学过的一次函数、二次函数、反比例函数、简单分段函数等) , 通过分析这些具体函数的特征, 构建函数的一般概念, 再由函数概念抽象出映射概念。

(三) 提倡运用信息技术研究函数

运用信息技术可以呈现函数的直观图像, 迅速精确地实施函数运算, 通过函数图像和函数运算, 可以帮助学生加深对函数所表示的变化规律的理解。信息技术还为运用函数模型解决问题提供了便利。高中数学新课程提倡运用信息技术研究函数。

二、高中数学新课程中函数教学建议

(一) 整体把握函数的内容与要求, 在与函数有关的内容 的教学进程中不断加深学生对函数思想的理解。

函数是学生在数学学习过程中第一次遇到的具有一般意义的抽象概念, 在这个概念下可以派生出许多不同层次的具体函数。学生对于这种多层次的抽象概念的理解是需要时间和经验积累的, 需要多次接触、反复体会、螺旋上升, 逐步理解, 才能真正掌握, 灵活运用。因此, 函数教学应整体设计, 分步实施。教师应整体规划整个高中阶段函数的教学, 对函数教学有一个整体的全面的设计, 明确不同时段、不同内容中学生对函数理解应达到的程度, 在与函数有关的内容的教学进程中, 通过运用函数不断加深学生对函数思想的理解。

(二) 关注认识函数的三个维度, 引导学生全面理解函数 的本质

第一, 函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型, 即变量说。在现实生活和其他学科中, 存在着大量的变量和变量之间的依赖关系。例如:邮局收取邮资时, 邮资 (变量) 随着邮件的重量 (变量) 的变化而变化。这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征, 即当一个变量取定一个值时, 依赖于这个变量的另一个变量有唯一确定的值。基于这种认识, 就可以用函数来表示和刻画自然规律, 这是我们认识现实世界的重要视角, 也是数学联系实际的基础。

第二, 函数是连接两类对象的桥梁, 即映射说。对函数的这种认识反映了数学中的一种基本思想, 在数学的后续学习中具有基础作用。数学中的许多重要概念都是这种认识的推广和拓展。例如, 代数学中的同构、同态是构架两个代数结构的桥梁, 拓扑学中的同胚也是构架两个拓扑结构的桥梁等。

第三, 函数是“图形”, 即关系说。函数关系是平面上点的集合, 因而可以看做平面上的一个“图形”。在很多情况下, 函数是满足一定条件的曲线。因此, 从某种意义上说, 研究函数就是研究曲线的变化、曲线的性质。基于这种认识, 函数可以看做数形结合的载体之一。实际上, 解析几何、向量几何、函数是高中数学课程中数形结合的三个主要载体。

(三) 重视函数模型的作用, 帮助学生在头脑中“留住”一 批函数模型

理解函数的一个重要方法, 就是在头脑中“留住”一批具体函数的模型。那些优秀的数学工作者, 对于每一个抽象的数学概念, 在他们的头脑中都会有一批具体的“模型”。这是很好的数学学习的习惯。高中数学课程中有许多基本函数模型, 高中数学教学的重要任务之一就是把这些基本函数模型留在学生头脑中, 这些模型是理解函数和思考其他函数问题的基础。在教学中, 对于上述基本函数模型应有一个全面的设计, 要帮助学生在头脑中留下三方面的东西:第一, 背景, 即要熟悉这些函数模型的实际背景, 从实际背景的角度把握函数;第二, 图像, 即从几何直观的角度把握函数;第三, 基本变化, 即从代数的角度把握函数的变化情况。只有在学生头脑中“留住”这样一批具体的函数模型, 才能逐步实现对函数本质的理解, 并灵活运用函数思考和解决问题。

(四) 揭示函数与其他内容的内在联系, 强化学生对函数思想的认识函数作为高中数学的一条主线, 贯穿于整个高中数学课程中。是在方程、不等式、线性规划、算法、随机变量等内容中都突出地体现了函数思想。用函数的观点看待方程, 可以把方程的根看成函数图像与轴交点的横坐标, 解方程就是求函数的零点的横坐标, 从而, 解方程问题可以归结为研究函数局部性质的问题, 即研究函数图像与x轴的交点问题。这样, 如果一个函数在闭区间[a, b], 习上连续, 且端点函数值异号, 即 , 则就可以运用二分法求方程的近似解。还可以用切线法 (函数在闭区间有一阶导数) 、割线法 (函数在闭区间有二阶导数) 等求方程的近似解。xf0) ( ? ?xfy) ( bfaf0) () ( ? ?xfy) ( ?xfy) (

在坐标系中, 函数的图像把横坐标轴分成若干区域。一部分是函数值等于0的区域, 即 ; 另一部分是函数值大于0的区域, 即 ;再一部分是函数值小于0的区域, 即。用函数的观点看, 解不等式就是确定使函数的图像在x轴上方或下方的的x区域。这样, 就可以先确定函数图像与x轴的交点 (方程的解) , 再根据函数的图像来求解不等式。 ?xfy) ( ? xfyx-?0) (? ? xfyx-?0) (? ? xfyx-?0) (? ?xfy) ( xf0) ( ?

参考文献

[1]李昌官.高中数学“导研式教学”研究与实践[J].课程·教材·教法, 2013 (2) .

[2]潘敬贞.高中数学多媒体课件设计策略[J].中国教育信息化, 2012 (6) .

汇报课 幂函数教案 篇3

2012年11月6日 地点：1225班教室

执教者：

一、教学目标：

1、知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念；会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质；

2、过程与方法：用类比法（指数函数、对数函数）来研究幂函数的图象和性质；

3、情感态度和价值观：培养学生观察和归纳能力，进一步渗透数形结合与分类讨论的思想方法。

二、教学重点： 从5个常见幂函数归纳认识幂函数的一些性质并做简单应用。

三、教学难点： 引导学生概括出幂函数的性质。

四、教学过程:

1、问题引入：（课本p77）

2、授新课：

（1）幂函数的定义：形如yx的函数叫幂函数，其中x是自变量，是常数．（2）指数函数与幂函数的区别.（3）5个常见幂函数的图像和性质.1（1）yx；（2）yx；（3）yx（4）yx2；（5）yx1

（4）由5个常见幂函数的图象与性质探究一般幂函数的性质.(5)例题讲解

例1：证明幂函数f(x)

4、课堂练习

x在[0,)上是增函数.已知下列函数：

121yx,2yx33yx14yx20125y=x4是奇函数的有：

；是偶函数的有：

在0,上是增函数的有：

；在0,上是减函数的有：

5、课堂小结：（见课件）

6、布置作业：完成教学案“2.3幂函数”.7、板书设计

2.3幂函数

 R1、定义：yx，x是自变量，是常数，2、5个常见幂函数的图象与性质

1（1）yx；（2）yx；（3）yx（4）yx2；（5）yx1

233、幂函数的性质

数学幂函数同步练习题 篇4

我们已经学习了指数函数，它是底数为常数，指数为自变量的函数，这与我们初中学习过的一些函数(如y=x，y=x2，y=x-1等)“底数为自变量，指数为常数”是否为同一类型，性质是否有区别?”

基础巩固

1.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，+)上单调递减的.函数是()

A.y=x-2 B.y=x-1

C.y=x2 D.y=

答案：A

2.

右图所示的是函数y= (m，nN*且m，n互质)的图象，则()

A.m，n是奇数且mn1

B.m是偶数，n是奇数，且mn1

C.m是偶数，n是奇数，且mn1

D.m，n是偶数，且mn1

解析：由图象知y= 为偶函数，且m、n互质，m是偶数，n是奇数，又由y= 与y=x图象的位置知mn1.

答案：C

3.在同一坐标系内，函数y=xa(a0)和y=ax+1a的图象应是()

答案：B

4.下列函数中与y=13x定义域相同的函数是()

A.y=1x2+x B.y=lnxx

C.y=xex D.y=2xx

答案：D

5.下图中的曲线C1与C2分别是函数y=xp和y=xq在第一象限内的图象，则一定有()

A.q0 B.p0

C.q0 D.p0

答案：A

6.下列四类函数中，具有性质“对任意x0，y0都有f(x+y)=f(x)f(y)”的是()

A.幂函数 B.对数函数

C.指数函数 D.二次函数

答案：C

7.T1= ，T2= ，T3= ，则下列关系式中正确的是()

A.T1T3 B.T3T2

C.T2T1 D.T2T3

高中数学指数函数教案 篇5

我们前面学习了指数运算,在此基础上,今天我们要来研究一类新的常见函数-------.

1.6.(板书)

这类函数之所以重点介绍的原因就是它是实际生活中的一种需要.比如我们看下面的问题:

问题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 次后,得到的细胞分裂的个数 与 之间,构成一个函数关系,能写出 与 之间的函数关系式吗?

由学生回答: 与 之间的关系式,可以表示为 .

问题2:有一根1米长的绳子,第一次剪去绳长一半,第二次再剪去剩余绳子的一半,……剪了 次后绳子剩余的长度为 米,试写出 与 之间的函数关系.

由学生回答: .

在以上两个实例中我们可以看到这两个函数与我们前面研究的函数有所区别,从形式上幂的形式,且自变量 均在指数的位置上,那么就把形如这样的函数称为.

一. 的概念(板书)

1.定义:形如 的函数称为.(板书)教师在给出定义之后再对定义作几点说明.

2.几点说明 (板书)

(1) 关于对 的规定:

教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?(若学生感到有困难,可将问题分解为若 会有什么问题?如 ,此时 , 等在实数范围内相应的函数值不存在.

若 对于 都无意义,若 则 无论 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.为了避免上述各种情况的发生,所以规定 且 .

(2)关于的定义域 (板书)

教师引导学生回顾指数范围,发现指数可以取有理数.此时教师可指出,其实当指数为无理数时, 也是一个确定的实数,对于无理指数幂,学过的有理指数幂的性质和运算法则它都适用,所以将指数范围扩充为实数范围,所以的定义域为 .扩充的另一个原因是因为使她它更具代表更有应用价值.

(3)关于是否是的判断(板书)

刚才分别认识了中底数,指数的要求,下面我们从整体的角度来认识一下,根据定义我们知道什么样的函数是,请看下面函数是否是.

学生回答并说明理由,教师根据情况作点评,指出只有(1)和(3)是,其中(3) 可以写成 ,也是指数图象.

最后提醒学生的定义是形式定义,就必须在形式上一摸一样才行,然后把问题引向深入,有了定义域和初步研究的函数的性质,此时研究的关键在于画出它的图象,再细致归纳性质.

3.归纳性质

作图的用什么方法.用列表描点发现,教师准备明确性质,再由学生回答.

函数

1.定义域 :

2.值域:

3.奇偶性 :既不是奇函数也不是偶函数

4.截距:在 轴上没有,在 轴上为1.

对于性质1和2可以两条合在一起说,并追问起什么作用.(确定图象存在的大致位置)对第3条还应会证明.对于单调性,我建议找一些特殊点.,先看一看,再下定论.对最后一条也是指导函数图象画图的依据.(图象位于 轴上方,且与 轴不相交.)

在此基础上,教师可指导学生列表,描点了.取点时还要提醒学生由于不具备对称性,故 的值应有正有负,且由于单调性不清,所取点的个数不能太少.

此处教师可利用计算机列表描点,给出十组数据,而学生自己列表描点,至少六组数据.连点成线时,一定提醒学生图象的变化趋势(当 越小,图象越靠近轴, 越大,图象上升的越快),并连出光滑曲线.

二.图象与性质(板书)

1.图象的画法:性质指导下的列表描点法.

2.草图:

当画完第一个图象之后,可问学生是否需要再画第二个?它是否具有代表性?(教师可提示底数的条件是 且 ,取值可分为两段)让学生明白需再画第二个,不妨取 为例.

此时画它的图象的方法应让学生来选择,应让学生意识到列表描点不是唯一的方法,而图象变换的方法更为简单.即 = 与 图象之间关于 轴对称,而此时 的图象已经有了,具备了变换的条件.让学生自己做对称,教师借助计算机画图,在同一坐标系下得到 的图象.

最后问学生是否需要再画.(可能有两种可能性,若学生认为无需再画,则追问其原因并要求其说出性质,若认为还需画,则教师可利用计算机再画出如 的图象一起比较,再找共性)

由于图象是形的特征,所以先从几何角度看它们有什么特征.教师可列一个表,如下:

以上内容学生说不齐的,教师可适当提出观察角度让学生去描述,然后再让学生将几何的特征,翻译为函数的性质,即从代数角度的描述,将表中另一部分填满.

填好后,让学生仿照此例再列一个 的表,将相应的内容填好.为进一步整理性质,教师可提出从另一个角度来分类,整理函数的性质.

3.性质.

(1)无论 为何值, 都有定义域为 ,值域为 ,都过点 .

(2) 时, 在定义域内为增函数, 时, 为减函数.

(3) 时, , 时, .

总结之后,特别提醒学生记住函数的图象,有了图,从图中就可以能读出性质.

三.简单应用 (板书)

1.利用单调性比大小. (板书)

一类函数研究完它的概念,图象和性质后,最重要的是利用它解决一些简单的问题.首先我们来看下面的问题.

例1. 比较下列各组数的大小

(1) 与 ; (2) 与 ;(3) 与1 .(板书)

首先让学生观察两个数的特点,有什么相同?由学生指出它们底数相同,指数不同.再追问根据这个特点,用什么方法来比较它们的大小呢?让学生联想,提出构造函数的方法,即把这两个数看作某个函数的函数值,利用它的单调性比较大小.然后以第(1)题为例,给出解答过程.

解: 在 上是增函数,且< .(板书)教师最后再强调过程必须写清三句话:

(1) 构造函数并指明函数的单调区间及相应的单调性.

(2) 自变量的大小比较.

(3) 函数值的大小比较.

后两个题的过程略.要求学生仿照第(1)题叙述过程.

例2.比较下列各组数的大小(1) 与 ; (2) 与 ;(3) 与 .(板书)

先让学生观察例2中各组数与例1中的区别,再思考解决的方法.引导学生发现对(1)来说 可以写成 ,这样就可以转化成同底的问题,再用例1的方法解决,对(2)来说 可以写成 ,也可转化成同底的,而(3)前面的方法就不适用了,考虑新的转化方法,由学生思考解决.(教师可提示学生的函数值与1有关,可以用1来起桥梁作用)

最后由学生说出 >1, <1, > .

解决后由教师小结比较大小的方法

(1) 构造函数的方法: 数的特征是同底不同指(包括可转化为同底的)

高中数学幂函数教案设计 篇6

一、函数设计思路

1．将函数作为主线．

在日常教学中，教师应当转变教学观念，不能一味地让学生沉浸在解题中，应当将函数作为一条主线，以函数为基础来教学．教师应将函数有层次地、由浅入深地引入课堂，使学生通过具体的函数模型来认识函数．例如，在教学《三角函数》时，笔者首先以sin(2kπ+α）=sinα为基础，为学生讲解函数；其次对其他三角函数进行类推，让学生自己思考、自己解答，使学生深刻地理解三角函数；最后再对课程进行详细的解答．如此便能达到授课的目的，帮助学生更好地记忆三角函数知识，熟练地运用三角函数知识解决实际问题．

2．通过函数建模深化函数概念．

函数是刻画现实世界中自然规律的关键，是数学联系实际的基础．在日常教学中，为了促进学生对函数的理解，教师需要运用具体的函数模型作为载体．此外，在运用函数模型的过程中，应当增加对函数概念与本质的阐述．新课程更加关注函数模型以及应用，因此在教学相关函数知识时，教师应当通过一些函数实例来引入一般函数的概念．通过对指数以及简单幂函数等具体函数的研究，增加学生对函数概念的理解．教师在教学中还可增加一些函数模型与应用的内容，强调函数模型的运用，通过函数模型与实际运用来深化学生对函数概念的理解．

二、函数教学策略

1．从整体上把握函数．

函数是学生在学习数学过程中首次接触的具有一般意义的抽象概念，此种概念能够衍生出不同的具体函数．学生在学习函数的过程中，通常需要长期的积累、多次练习才能够逐渐掌握函数知识．在此过程中，教师应当从整体上分解高中阶段的函数知识，对函数的教学内容进行分析，并制订教学目标，同时还需要了解学生对函数的掌握情况．在讲授与函数相关的内容时，可通过实例来增加学生对函数的理解．例如，在讲解“复合函数”时，教师应当先讲解一些较为简单的案例，由浅入深，不能课程一开始就直接讲解复合函数的定义，可通过提问的形式对学生初中学过的函数进行分析，随后再引出复合函数，如此便能够使学生逐渐理解复合函数．

2．把握函数与其他内容的联系．

函数是高中数学的主线，贯穿于整个教学过程，方程、线性规划以及随机变量等数学知识都能够体现出函数的思想．运用函数的观点来理解方程，可以将方程的根当作函数图像与x轴交点的横坐标，解方程f(x)=0就是求函数y=f(x）的零点横坐标，因此，解方程的问题都可以看做是研究函数局部性质的问题．如：一个函数在闭区间[a,b]上连续，且端点函数值异号，即f(a)f(b)<0，就可以运用二分法来求解方程的近似解．在日常教学中，还可采用切线法，函数y=f(x）在闭区间内可运用一阶导数等方法来求方程近似解．在教学方程、算法等过程中，函数思想起到了非常重要的作用，因此在教学中，教师应当注意揭示函数与这些内容的联系，引导学生体会函数思想的重要性，并学会运用函数思想来解决问题．

3．突出函数教学重点．

高中数学通常是以函数和集合运算为主，在教学函数时，应当先让学生掌握基本的函数知识，强化函数的本质，突出教学重点．在传统教学中，很多教师都将函数的重点放在探讨函数解析式的定义域方面，这并没有实际意义．新的函数教学理念要求教师将教学重点放在函数图像以及函数变化规律等方面，因此教师应当按照新课程的要求改变教学策略，突出教学重点．

综上所述，高中数学新课程中函数设计思路与教学策略都应当以学生为主，充分发挥教师的引导作用．在高中函数教学中，教师应将函数作为主线，突出重点，并由此探索有效的教学策略，提高教学效率，帮助学生更好地理解函数，使其在今后的学习中充分地运用函数知识来解决问题，进而提升学习能力．

摘要：函数是数学教学中较为关键的内容,也是连接其他数学知识的桥梁.在初中阶段,学生已经学习过一些较为简单的函数知识及相关概念,因此在教学高中函数时,既需要与初中的函数知识相联系,又需要突出高中函数的指向性.针对高中新课程中函数设计思路与教学进行分析,为高中数学教学提供一定的参考.

高中数学幂函数教案设计 篇7

（一）教材分析：

学习正切函数的图象和性质，主要包括：定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，以及具体的应用。

（二）素质教育目标： 1.知识目标：

（1）用单位圆中的正切线作正切函数的图象；（2）用正切函数图象解决函数有关的性质； 2.能力目标：

（1）理解并掌握作正切函数图象的方法；

（2）理解用函数图象解决有关性质问题的方法； 3.德育目标：培养研究探索问题的能力；

（三）教学三点解析：

1.教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象； 2.教学难点：性质的研究；

3.教学疑点：正切函数在每个单调区间是增函数，并非整个定义域内的增函数；

（四）教学过程设计 1．设置情境

前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，但常见的三角函数还有正切函数，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质。2．探索研究

由研究正、余弦函数的图象和性质的方法引出正切函数的图象和性质。下面我们也将利用单位圆中的正切线来绘制ytanx图象．

（1）用正切线作正切函数图象

1分析一下正切函数ytanx是否为周期函数？

○ f(x)taxn(sinx())coxs()xsinxtfaxn xcos()

∴ytanx 是周期函数，是它的一个周期．

我们还可以证明，是它的最小正周期．类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象，下面我们利用正切线画出函数ytanx，x

,的图象． 22

作法如下：

①作直角坐标系，并在直角坐标系

轴左侧作单位圆．

②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线．

③描点。（横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线）．

④连线．

图1

根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象向左、右扩展，得到正切函数ytanx，(xR,xk2,kZ)的图象，并把它叫做正切曲线（如图1）．

图2

（2）正切函数的性质

请同学们结合正切函数图象研究正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性．

①定义域：x|xk

②值域：R

③周期性：正切函数是周期函数，周期是． ,kZ 2

④奇偶性：tan(x)tanx，∴正切函数是奇函数，正切曲线关于原点O对称．

⑤单调性：由正切曲线图象可知：正切函数在开区间(强调：a.不能说正切函数在整个定义域内是增函数

b.正切函数在每个单调区间内都是增函数

c.每个单调区间都包括两个象限：

四、一或二、三 3．例题分析

【例1】求函数ytan(x2k,2k),kZ内都是增函数．

4)的定义域．

分析：我们已经知道了ytanz的定义域，那么ytan(x4)与ytanz有什么关系呢？令zx4，我们把ytan(x4)说成由ytanz和zx4复合而成。此时我们称ytan(x4)为复合函数，而把ytanz和zx4为简单函数

解：令zx4，那么函数ytanz 的定义域是z|zk,kZ 2

由 x4zk2，可得 xk4

所以函数ytan(x4)的定义域是{x|xk4,kZ}

解题回顾：这种解法可称为换元法，因此复合函数可通过换元法来求得。

练习1：求函数ytan(2x

【例2】不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

（1）与

；

4)的定义域。（学生板演。）（2）tan(1113)与tan()． 45分析：比较两个正切函数值的大小可联想到比较两个正、余弦函数值的大小。

比较两个正、余弦函数值的大小是利用函数的单调性来比较。注意点是应把相应的角化到正或余弦函数的同一单调区间内来解决．类比得到比较两个正切函数值的大小的解法

解：（1）90167173180

又 ∵ytanx，在(90,270)上是增函数

∴tan167tan17（2）∵tan(1111)tan＝tan 44tan(13132)tantan 555又 ∵0＜2＜＜，函数ytanx，x, 是增函数，5422221113)tan()． 即tan(54∴ tan4＜ tan解题回顾：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到ytanx 的同一单调区间内，利用ytanx 的单调递增性来解决．

练习2：比较大小：

(1)tan138_____tan143（学生口答）（＜）(2)tan(1317)_____tan()（学生板演）（＞）45【例3】求f(x)tan2x的周期

3．总结提炼

（1）这节课我们采用类比的思想方法来学习正切函数的图象和性质

（2）正切函数的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得一个周期上图象后，再利用周期性把该段图象向左右延伸、平移。

（3）正切函数的性质．

数学同底数幂的除法教案 篇8

学习目标

1、掌握同底数幂的除法法则

2、掌握应用运算法则进行计算.

学习重难点

重点：同底数幂的法则的推导过程和法则本身的理解.

难点：灵活应用同底数幂相除法则来解决问题.

自学过程设计

教学过程设计

看一看

认真阅读教材p123~124页，弄清楚以下知识：

1、同底数幂相除的法则：(注意指数的取值范围)

2、同底数幂相除的一般步骤：

做一做：

1、完成课内练习部分(写在预习本上)

2. 计算

(1)a9a3

(2) 21227

(3)(-x)4(-x)

(4)(-3)11(-3)8

(5)10m10n (mn)

(6)(-3)m(-3)n (mn)

想一想

你还有哪些地方不是很懂?请写出来。

______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

预习检测：

1. 一种液体每升含有1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果，科学家们进行了实验，发现1 滴杀菌剂可以杀死109 个此种细菌。要将1升液体中的有害细菌全部杀死需要这种杀菌剂多少滴?

2.计算下列各式：

(1)108 105 (2)10m10

(3)(3)m(3)n (4)(-ab)7(ab)4

二、应用探究

计算：

(1) a7

(2) (-x)6(-x)3;

(3) (xy)4(-xy) ;

(4) b2m+2b2 .

注意

① 幂的.指数、底数都应是最简的;

②底数中系数不能为负;

③ 幂的底数是积的形式时，要再用一次(ab)n=an an.

2 、练一练：

(1)下列计算对吗?为什么?错的请改正.

①a6a2=a3 ②S2S=S3

③(-C)4(-C)2=-C2

④(-x)9(-x)9=-1

三、拓展提高

(1) x4n+1x 2n-1x2n+1= ?

(2)已知ax=2 ay=3 则ax-y= ?

(3)已知ax=2 ay=3 则 a2x-y= ?

(4)已知am=4 an=5 求a3m-2n的值。

(5)已知2x-5y-4=0，求4x32y的值。

堂堂清：

1.判断题(对的打，错的打)

(1)a9a3=a3; ( )

(2)(-b)4(-b)2=-b2;( )

(3)s11s11=0;( )

(4)(-m)6(-m)3=-m3;( )

(5)x8x4x2=x2;( )

(6)n8(n4n2)=n2.( )

2.填空：

(1)1010______=109;

(2)a8a4=_____;

(3)(-b)9(-b)7=________;

(4)x7_______=1;

(5)(y5)4y10=_______;

(6)(-xy)10(-xy)5=_________.

3.计算：(s-t)7(s-t)6(s-t).

4.若a2m=25，则a-m等于( )[

A. B.-5 C. 或- D.

5.现定义运算a*b=2ab-a-b，试计算6*(3*2)的值.

教后反思

奇偶性是幂函数的翅膀 篇9

幂函数y=xα在第一象限的图像如图1所示, 图像恒过 (1, 1) .幂指数α>0时, 图像过点 (0, 0) , 为增函数, 其中0<α<1, 函数图像上凸递增;α>1, 函数图像下凸递增;α=0时为直线y=1 (除去点 (0, 1) ) ;α<0时为减函数.

幂函数在第四象限没有图像, 在第二、第三象限的图像要结合奇偶性才能得出.

若幂函数是奇函数, 等价于幂函数的图像分布在第一、三象限;若幂函数是偶函数, 等价于幂函数的图像分布在第一、二象限;若幂函数是非奇非偶函数, 等价于幂函数的图像只分布在第一象限.运用奇偶性可以减少对幂函数图像的整体记忆, 只需记忆第一象限的图像特征, 运用奇偶性可以整体分析幂函数的图像, 对幂函数的图像进行整体把握.下表为y=xα在α取值不同的情况下的图像.

例1幂函数 (m, n∈N*, 且m、n互质) 的图像如图2所示, 则 ()

A.m、n为奇数且.

B.m为偶数, n为奇数, 且.

C.m为偶数, n为奇数, 且.

D.m奇数, n为偶数, 且.

例2幂函数的图像过点, 则它的单调递增区间是 ()

A. (0, +∞)

B. (0, +∞)

C. (-∞, +∞)

D. (-∞, 0)

分析:幂函数y=xα的图像过点, 则α=-2.所以幂函数y=x-2是偶函数, 图像分布在第一、二象限, 且在第一象限内是减函数, 由对称性知, 在第二象限是增函数, 故选D.

例3函数的图像是 ()

分析:根据幂函数的图像在第一象限内的走向, 又因为函数是奇函数, 故选B.

例4已知函数 (n∈Z) 的图像与两坐标轴都无公共点, 且其图像关于y轴对称, 求n的值.

分析:因为幂函数图像与y轴无公共点, 所以n2-2n-3≤0, , 解得-1≤n≤3, 又因为n∈Z, 所以n=0, ±1, 2, 3.又因为图像关于y轴对称, 所以n2-2n-3为偶数.检验:当n=0时, n2-2n-3=-3不是偶数;当n=1时, n2-2n-3=-4为偶数;当n=-1时, n2-2n-3=0为偶数;当n=2时, n2-2n-3=-3不是偶数;当n=3时, n2-2n-3=0为偶数.因此, n的值为-1, 1或3.

例5已知函数 (m∈Z) 为偶函数, f (3) <f (5) , 且, 求m的值, 并确定f (x) 的解析式.

又∵m∈Z, 即∴m=0或1.经检验:当m=0时, -2m2+m+3=3, 为奇数 (舍去) ;当m=1时, -2m2+m+3=2, 为偶数.因此, m=1, f (x) =x2.

例6若, 求实数m的取值范围.

高中数学幂函数教案设计 篇10

教学目标：

1、使学生掌握不等于零的零次幂的意义。

12、使学生掌握an（a≠0，n是正整数）并会运用它进行计算。

an3、通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。重点难点：

不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点。教学过程：

一、讲解零指数幂的有关知识

1、问题1

mnm-n同底数幂的除法公式a÷a=a时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m=n或m＜n时，情况怎样呢？

2、探 索

先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式： 2233555÷5，10÷10，a÷a(a≠0).一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得

222-20

5÷5＝5＝5，333-30

10÷10＝10＝10，a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0).另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1.3、概 括 我们规定：

000

5=1，10=1，a=1（a≠0）.这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.二、讲解负指数幂的有关知识

1、探 索

我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式：

2537

5÷5，10÷10，一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得

252-5-3373-7-45÷5＝5＝5，10÷10＝10＝10.另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为

1***375÷5＝5＝2＝，10÷10＝＝＝.553531071031041045252、概 括

由此启发，我们规定： 5＝

311-

4，10＝.10453n一般地，我们规定： a1(a≠0，n是正整数)an这就是说，任何不等于零的数的－n（n为正整数）次幂，等于这个数的n 次幂的倒数.总结：这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数。三．拓广延伸

a＝a问题：引入负整数指数和0指数后，a·大到m，n是任意整数的情形。

四、例题讲解与练习巩固

1、例9：计算（1）（a－1mnm＋n（m，n是正整数）这条 性质能否扩3－22－2（2）ab（b2）a2b－2）b6（ab)ab3 解：（1）

a12336（2）ab(ab)22223a2b2a6b6

88 ab

b8 8

a例10（1）a下列等式是否正确？为什么？

maanaman（2）()nanbn

b解：（1）amanamnam(n)amanaaaamnmn

anan1()nannanbn,bbb（2）a()nanbnb教师活动：教师板演，讲解 练习：

课本P25 1，2本课小结：

mnm-nmnm1、同底数幂的除法公式a÷a=a(a≠0,m>n)当m=n时，a÷a = 当m < n 时，an÷a =

2、任何数的零次幂都等于1吗？

3、规定an布置作业：

1其中a、n有没有限制，如何限制。an

整数指数幂（2）

教学目标：

4、能较熟练地运用零指数幂与负整指数幂的性质进行有关计算。

2、会利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数。重点难点：

重点：幂的性质（指数为全体整数）并会用于计算以及用科学记数法表示一些绝对值较小的数

难点：理解和应用整数指数幂的性质。教学过程：

一、指数的范围扩大到了全体整数.1、探 索

现在，我们已经引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围已经扩大到了全体整数.那么，以前所学的幂的性质是否还成立呢？与同学们讨论并交流一下，判断下列式子是否成立.．．．．．（1）a2a3a2(3)；（2）(a·b)

3=ab；（3）(a)=a-3-3-32(-3)×2

2、概括：指数的范围已经扩大到了全体整数后，幂的运算法则仍然成立。

2-3-2-

53、例1 计算(2mn)(mn)并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式。

1-84 n4解：原式= 2mn×mn= mn=

88m8-3-3-6-510 4 练习：计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数幂的形式：

-322-32-2-2-1-3（1）(a)(ab)；（2）(2mn)(mn).二、科学记数法

1、回忆： 我们曾用科学记数法表示一些绝对值较大的数，即利用10的正整数次幂，把一个绝对值大于10的数表示成 a×10的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.例如，864000可以写成8.64×10.2、类似地，我们可以利用10的负整数次幂，用科学记数法表示一些绝对值较小的数，5n即将它们表示成a×10的形式，其中n是正整数，1≤∣a∣＜10.．．．．．．．．．．．．．．．思考：对于一个小于1的正小数，如果小数点后至第一个非0数字前有8个0，用科学记数法表示这个数时，10的指数是多少？如果有m个0呢？

3、探索：

10=0.1-210=-310=-410=

10=-n归纳：10=

-5例如，上面例2（2）中的0.000021可以表示成2.1×10.-94、例

11、纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10米，把1纳米的物体放到乒乓球上，就

如同把乒乓球放到地球上。1立方毫米的空间可以放多少个1立方纳米的物体？

分 析 我们知道：1毫米＝10米 1纳米＝

-3-5-1-n

1米.10933（10－3）（10－9）＝10－910－27＝10－9－（－27）＝1018

18所以，1立方毫米的空间可以放10个1立方纳米的物体。

5、练习课本P26 1，2 补充练习：

用科学记数法填空：

（1）1秒是1微秒的1000000倍，则1微秒＝_________秒；

（2）1毫克＝_________千克；

（3）1微米＝_________米；

（4）1纳米＝_________微米；

（5）1平方厘米＝_________平方米；（6）1毫升＝_________立方米.本课小结：

高中数学幂函数教案设计 篇11

教材分析

本章属于“数与代数”领域，整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，在后续的数学学习中具有重要的意义。本章内容建立在已经学习了有理数的运算，列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上，而本节课的知识是学习本章的基础，为后续章节的学习作铺垫，因此，学得好坏直接关乎到后续章节的学习效果。

学情分析

本节课知识是学习整章的基础，因此，教学的好坏直接影响了后续章节的学习。学生在学习本章前，已经掌握了用字母表示数，列简单的代数式，掌握了乘方的意义及相关概念，并且本节课的知识相对较简单，学生比较容易理解和掌握，但是教师在教学中要注意引导学生导出同底数幂的乘法的运算性质的`过程是一个由特殊到一般的认识过程，并且注意导出这一性质的每一步的根据。

从学生做练习和作业来看，大部分学生都已经掌握本节课的知识，并且掌握的很好，但是还是存在一些问题，那就是符号问题，这方面还有待加强。

教学目标

1、知识与技能：

掌握同底数幂乘法的运算性质，能熟练运用性质进行同底数幂乘法运算。

2、过程与方法：

(1)通过同底数幂乘法性质的推导过程，体会不完全归纳法的运用，进一步发展演绎推理能力;

(2)通过性质运用帮助学生理解字母表达式所代表的数量关系，进一步积累选择适当的程序和算法解决用符号所表达问题的经验。

3、情感态度与价值观：

(1)通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系;

高中数学幂函数教案设计 篇12

一、从高中数学知识链中认识函数

函数是必修1的重点内容，也是中学数学的基本概念之一。新课程数学从必修到选修，函数是其中一条主线，主要体现在必修1：函数概念和性质与基本初等函数I(指数、对数、幂函数);必修数学4：基本初等函数II(三角函数);必修数学5：数列(离散型函数);选修系列1-1 (2-2)：用导数研究函数的性质。

函数是研究方程、不等式、数列、线性规划、算法、微积分的基本思想，函数模型是实际问题和几何问题中研究最值的常用模型。

二、从高中数学内容和结构中认识函数

必修1中主要是：函数的概念、图像和性质→三种函数模型(指数、对数、幂函数)→函数与方程→函数模型及其数据应用。

必修4中主要是：角的概念及表示→三角公式及应用→三角函数的图像→三角函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)→三角函数模型的应用。

必修5中主要是：数列的概念及表示方法→两种数列模型(等差、等比)→an, Sn的研究→数列模型的应用。

选修1-1 (2-2)主要是：导数的概念及其几何意义→常见函数的求导公式及求导法则→用导数刻画单调性→极大值、极小值→最大值、最小值→实际应用。

从高中所研究的初等函数来看，函数的研究的结构都遵循着以下几种结构。

结构一：

结构二：

三、从高中数学的思维方式认识函数

1. 两条线索

一是抽象的数学研究，主要研究对象是符号y=f (x)，符号化、形式化是数学的重要特征，如所有的函数关系都可以用抽象符号y=f (x)来表示，这种表示不仅形式简单，而且可以加深对函数概念本质的理解。

二是具体的实例研究，主要研究对象是y=ax, y=logax, y=xa, y=sinx, y=cosx, y=tanx，以及初中学的y=kx+b, y=, y=ax2+bx+c等函数，通过研究这些函数图像，掌握这些函数的性质，对了解和掌握函数的性质具有形象直观的优势。

2. 两个角度

对高中函数的研究是从两个角度进行的，一是从符号语言对函数进行精确的刻画;二是从图形语言对函数进行直观的描述。这两种角度贯穿了函数的学习的全过程，具体体现在以下几个方面。

(1）函数的概念

在函数的概念中定义域的定义为所有输入值x组成的集合，值域的定义为所有输出值y组成的集合。其本质就是由符号的取值构成的集合，而这两个函数基本概念用图形语言描述为函数y=f (x)的图像在x轴上的射影构成的集合即为定义域，在y轴上的射影构成的集合即为值域。如图1，值域用图形语言描述。

(2）函数的表示方法

函数有三种表示方法：列表法、图像法、解析式法。

解析式即用一个关于x、y的二元方程f (x, y)=0来表示两个变量之间的关系。图像即把二元方程f (x, y)=0解构造为一个点集{(x, y)|f (x, y)=0}，然后建立平面直角坐标系画出函数的图像。前者是通过式子用代数的方法刻画了两个变量之间的关系便于通过等式研究函数的性质，而后者是通过图形用几何的方法刻画了两个变量之间的关系能够直观反映函数值随自变量值变化的趋势。

如方程x2+y2=1 (y≥0)，根据函数定义可得，该二元方程即为函数，而该方程的解构造为一个点集，画出图像如图2所示。

(3）函数的性质

(1) 单调性

符号语言：“”就是对自然语言“随着x增大，y也增大”的精确刻画.

图形语言：

从左向右观察，曲线在逐渐上升，这样就是对自然语言“随着x增大，y也增大”的直观反映。

(2) 奇偶性

符号语言：“”就是对奇偶性的精确刻画。

图形语言：通过图形关于y轴对称和关于原点对称直观反映了函数奇偶性。

(3) 周期性

符号语言：“”就是对自然语言“周而复始”的精确刻画。

图形语言：通过图形的不断重复，直观地反映了函数的周期性。

从函数的概念到函数表示与函数性质，我们可以发现高中函数的研究是从代数角度用符号语言和几何角度用图形语言这两个角度来进行研究。

四、从高中数学感受与应用认识函数

1. 函数与方程之间的关系

代数:ax+b=0相当于函数y=ax+b, 当x=?时y=0?

ax2+bx+c=0相当于函数y=ax2+bx+c, 当x=?时y=0?

f (x) =0相当于函数y=f (x) 当x=?时y=0?

几何：方程f (x)=0的根即为y=f (x)的零点。

2. 函数与不等式之间的关系

代数：y=ax+b>0, y=ax2+bx+c>0，即解不等式的解的问题就是函数值大于零或小于零时对应自变量的值。

几何：如：x2-5x>0的解集即为函数y=x2-5x在x轴上方所对应图像在x上投影的集合。

3. 函数模型的应用

日常生活中有着太多的变量与变量之间的关系，如何用数学的方法来研究它们，而函数作为一个重要的模型之一，其发挥着巨大的作用。

用数学的方法来研究实际问题，其本质就是建立数学模型和数学方法的运用，其过程如下图：

高中新课程对实际的应用进一步加大，其目的是想通过对函数的应用，使得以前我们对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的重视，使得学生对数学的兴趣日趋减少，认为数学就是做题，学数学没用、升学有用等现象得到避免，通过数学应用的教学活动符合社会需要，有利于激发同学们学习数学的兴趣，有利于增强同学们的应用意识，有利于拓宽学生的视野。

幂函数教学反思 篇13

教学反思

本节课本着学科素养，生命课堂，高效课堂教学理念，对这节课进行了设计。

学科素养：通过类比指数函数的学习引入了幂函数，对于图象的探讨研究，进而直观的得到幂函数的性质，发展了学生的类比推理、分类讨论、直观想象、数形结合的数学素养。

生命课堂：从理论上讲，1.在以人为本思想指导下，追求以人的发展为本的一种教育理念。2.以学生为主体，课堂为阵地，开展人与人之间的一种充满生命活力的思想、文化、情感交流活动。3.生命课堂既是教师生命活力的展现，也是学生活力的激发，更是教师生命活动与学生生命活动的有效的交往。

基于以上理念，以学生为本，以学生为主体，注重培养学生的数学思想与情感的高度共鸣，让学生学会这节课的内容，又学到了课堂以外的知识，从而促进了学生的全面的发展。

高中数学幂函数教案设计 篇14

旺苍县九龙乡中心小学校余德军

教材的地位和作用

本节课主要是在学生学习了函数图象的基础上，通过动手操作接受一次函数图象是直线这一事实，在实践中体会“两点法”的简便，向学生渗透数形结合的数学思想，以使学生借助直观的图形，生动形象的变化来发现两个一次函数图象在直角坐标系中的位置关系。培养学生主动学习、主动探索、合作学习的能力。本节课为探索一次函数性质作准备。

学情分析

学生初次接触函数知识，理解掌握有一定难度，认知上有困惑，特别是数形结合是学生初次接触，教学上有很大的困难，班级学生差异大，将数转化为形是教学的关键也是难点。

教学目标

知识与能力：（1）、能用“两点法”画出一次函数的图象。

（2）、结合图象，理解直线y=kx+b（k、b是常数，k≠0）常数k和b的取值对于直线的位置的影响。过程与方法：

通过动手操作，观察探索一次函数的特征，体验数学研究和发现的过程，逐步培养学生在教学活动中的主动探索的意识和合作交流的习惯。情感态度与价值观：

结合具体情境向学生渗透数形结合的数学思想。

教学重点、难点

重点：用“两点法”画出一次函数的图象。

难点：理解直线y=kx+b（k、b是常数，k≠0）常数k和b的取值对于直线的位置的影响。

教学过程

教学环节

教师活动

预设学生行为

设计意图

一 导 入 新 课 二 自 主 探 究 三 小结 四 作业

同学们，上节课我们学习了一次函数，你能说一说什么样的函数是一次函数吗？ 师：（同学们回答的都很好）通过前面的学习我们可以发现，一次函数是一种特殊的函数，那么一次函数的图象是什么形状呢？

这节课让我们一起来研究“一次函数的图象”。（板书）师：你们知道一次函数是什么形状吗？ 师：那就让我们一起做一做，看一看：（出示幻灯片）你发现描出的点有什么特点？

分组用描点法作出下列一次函数的图象。y=x

y=x+2 y=x-2 师：那么一次函数y=kx+b（其中k、b为常数，k≠0），也可以称为直线y=kx+b（其中k、b为常数，k≠0）。（板书）

师：观察你和你的同伴所画的图象在位置上有没有不同之处？

师：对于画一次函数y=kx+b（其中k）b为常数，k≠0）的图象——直线，你认为有没有更为简便的方法？

师：做一做，请你用“两点法”在刚才的直角坐标系中，画出其余二个一次函数的图象。（比一比谁画的既快又好）师：我们现在已经用：“两点法”把三个一次函数图象准确而又迅速地画在了一个直角坐标系中，这三个函数图象之间在位置上有没有什么关系呢？ 这些函数的k、b有什么特点？结合图像你发现了什么？ 师：在同一坐标系中作出以下函数的图像

y=3x y=3x+2 y=3x-2观察这六个图像，你又有什么发现？ 生

1、生3的发现同学们有什么看法？

小组讨论：一次函数中k、b对图像有什么影响？

师：观察y=3x与y=3x-2两个图像直线y= 3x沿y轴向（向上或向下），平行移动 单位得到y=3x+2？

师：你能谈谈你这节课的收获吗？ 师：你还有哪些疑问？

生：一次函数通常可以表示为y=kx+b的形式，其中k、b为常数，k≠0。生：正比例函数也是一次函数。生：不知道。

学生探讨：这些点在一条直线上。

学生分组汇报：一次函数的图象是直线。小组1：正比例函数图象经过原点。

小组2：正比例函数图象经过原点，一般的一次函数不经过原点。学生同桌讨论：

生：画三个点就可作图像了。

生：画两个点就可作图像了。因为两点确定一条直线嘛！学生观察所画图像，相互交流。

生：Y=x

y=x+2 y=x-2三个函数图像是一组平行线。生：三个函数的k相同，b不相同。

生：哦，k相同b不相同的一次函数的图像是一组平行线。生1： y=x+2与y=3x+2；两直线相交，并且交点是点（0，2）。生2：这三个图像也平行，他们与原来的图像都相交。生3：y=x-2与 y=3x-2相交于（0，-2）这点。

生：两组函数的k不相同b相同，b相同的一次函数相交于（0，b）这点。生：k相同图像平行，b相同相交于（0，b）这点。（学生动力操作尝试——小组交流归纳——小组汇报）

做一做：（1）将直线y=-3x沿 y轴向下平移2个单位，得到直线（）。（2）直线y=4x+2是由直线y=4x-1沿y轴向（）平移（）个单位得到的。（3）将直线y=-x-5向上平移6个单位，得到直线（）。

1、完成习题2、3题

2、在同一坐标系中画出下列函数的图象，并说出它们有什么关系？

（1）y=2x与y=2x+3（2）y=-x+1与y=-3x+1

回顾一次函数概念，为将数转化为形做准备。质疑激发学生兴趣。

培养学生合作学习、探究的精神。让学生养成实践检验理论的习惯。寻找异同，获取经验。合作探究，汲取经验。实践总结，形成经验 举一反三 拓展思维

巩固所学知识，实践形成理论。

学会自己归纳总结，养成主动归纳知识习惯。合作交流，学以致用。学会自我总结。

巩固知识，学以致用。

板书设计

一次函数的图象

一次函数y=kx+b（其中k、b为常数，k≠0），也可以称为直线y=kx+b（其中k、b为常数，k≠0）。

k相同b不相同的一次函数的图像是一组平行线。

k不相同b相同，b相同的一次函数相交于（0，b）这点。

学生学习活动评价设计

1、优：能快速准确理解题意，熟练解题，画图准确；

2、良：能准确理解题，能独立解题，画图基本准确；

3、中：能理解题意，能解简单作业题，能画图。差：理解力差，不能独立解题。

教学反思

函数是初中学生初次接触。一次函数教学不同于之前的数学教学，它注重了“数形结合”，这对于初步接触函数的八年级同学来讲相对抽象，较难以接受。这部分教学中一是要注意方法，二是要注意培养学生抽象思维能力。

在教学中，根据函数解析式画出函数图像是重点，学生必须掌握，这点大多数同学都掌握得较好。根据常数k、b确定函数图像，也是必须要掌握的，这一点要求学生有较强的理解能力，我在教学中重点是引导学生在练中去理解k、b作用，学生掌握得较好。

高中数学函数分类讨论解题探析 篇15

一、高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程的作用

1. 高中数学函数解题教学现状

函数是高中数学的主体内容, 它与高中数学很多内容都密切相关, 通过对函数的研究, 能够认识函数的性质、图象及其初步的应用, 因此函数思想在高中数学解题中的应用就显得尤为重要[1]. 高中数学学科对学生的逻辑思维能力要求较高, 尤其是高中数学知识中的函数知识, 这一部分知识十分抽象, 用明了的数轴来反映出一定的数学规律. 高中数学函数是在初中代数的基础上进行教学的, 这就表明了高中数学函数是代数的升华, 涉及到了函数的增长规律和解的分布规律, 在进行解题的教学过程中, 要帮助学生能够寻找到数轴的规律, 让学生更加全面的寻找到函数问题的结果.因此, 想要做好高中数学函数解题教学工作, 不仅仅要帮助学生树立良好的理科思维体系基础, 还要帮助学生形成深度剖析函数习题规律, 勤加练习函数习题的学习习惯. 但是, 在目前的高中数学函数解题教学过程中, 往往存在着数学教师的函数解题方法不够系统的情况, 这就导致高中数学教学过程只是单纯的沦为公式的背诵过程, 学生面对稍有难度的数学函数习题往往一筹莫展. 针对这样的情况, 就需要在对高中数学函数解题教学现状的总结基础上, 寻找出相应的改进手段.

2. 高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程作用

面对新时期教育部门提出的课程标准, 数学教育必须进行多方面的调整, 而教师将面对各种不同的考验与挑战[2]. 从高中数学函数解题教学现状, 可以看出, 在进行高中数学函数解题教学的过程中, 要对高中数学函数分类讨论进行组合设计, 保证学生能够通过接受高中数学函数分类讨论思想, 开阔高中生的学习视野, 并帮助学生快速的明确一个数学函数问题的具体类型. 在这样的背景下, 通过进行高中数学函数分类讨论思想应用探究, 可以充分的发掘出该教学方式的优点, 让学生迅速的调用自己的知识储备, 迅速的找寻到解决这个函数问题的解题方法.

例1 令, 则x2+ 2y2= 16 ( 0≤x≤4, 0≤y≤2 槡2 ) , 则函数化为以u为参数的直线族y = x - u, 它与椭圆x2+ 2y2= 16 在第一象限的部分有公共点时直线y = x - u在y轴上截距的最大值与最小值为:.

分析: 等式右边根号内同为t的一次式, 如用简单的换元无法转化为二次函数求最值, 故用常规方法比较难. 如联想到直线的截距, 数形结合换元后, 以形助数, 则可轻松解决.

传统的函数的等式右边根号内同为x的二次式, 一般都是用简单的用换元法, 令很难用x表示t通过二次函数解决问题. 如果能引导学生学会借助于数形结合的方法来解决问题, 学生就容易理解, 也容易学会用换元的方法来解题, 效果就会更好.

二、高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程策略探析

1. 利用高中数学函数分类讨论思想快速明确函数问题类型

为了让高中数学函数分类讨论思想发挥出应有的作用, 在进行高中数学函数解题教学的过程中, 要为每一道数学函数问题进行深度的剖析. 具体的来说, 就是在进行一道数学函数问题的解题过程之前, 数学教师指引学生进行对函数习题的解读, 寻找到这一问题的解决途径, 进而在后续的过程更加高效的完成函数计算. 然后, 就可以帮助学生在解题的过程中, 形成自身的独特解题理念, 促进学生的函数解题效率提升. 与此同时, 教师可以利用高中数学函数分类讨论思想, 在传统的教学方法上添加自己的教学理念, 更加充分的调动学生学习的主观能动性.

例如, 在进行高中数学教学函数解题的教学过程中, 为了解决学生难以入手的问题. 高中数学教师就可以根据函数习题的类型, 对传统的函数问题分为“确定函数解的个数问题”“函数的单调性问题”“函数的间断点问题”, 并对这些不同类型的问题进行分类处理.通过这样的方式, 就可以让学生自主的进行函数解题方法的总结研究, 在课堂上营造浓厚的数学学习氛围, 促进高中生函数解题效率的提升.

2. 优化高中数学函数分类模式

在进行高中数学函数分类讨论思想的插入过程中, 高中数学教师要有针对性的进行高中函数解题数学教学模式的更新, 让高中生倾向于在进行函数解题之前, 进行对函数问题的分析, 找寻出恰当的解题方法促进高中数学教学效率的提升.

例如, 在进行高中数学函数解题教学模式的研究过程中, 要充分的注意到对于传统的高中函数解题教学方式的改革和探索, 将总结出函数问题类型放置在高中数学解题过程的优先级地位, 通过持续优化的教学过程来激发对于高中数学函数解题过程中的独立意识, 切实提升高中数学函数解题教学能力.

例2 求函数的最小值

解: 把看作点A ( x, 0) 与点B ( 0, 2) 的距离, 看作是点A ( x, 0) 与点C ( 4, 1) 间的距离, 如图1, 不难得出, 这个函数的最小值是| B'C | =5.

分析: 如果仅从代数的角度此题很难入手, 因此思维就要大胆的突破.联想到像两点间距离公式求解.如果在教学中利用函数分类模式引导学生去思考和分析, 引导学生从图形角度思考走出局限于代数的思考范围, 就可以帮助学生很好的实现思维的突破.达到正确解题的目的.

3. 勾勒新型高中数学函数分类结构

为了发挥出高中数学函数分类讨论思想在函数解题中的作用, 提升学生的高中数学函数解题效率. 因此, 在进行高中数学函数分类结构设计过程中, 就要根据高中生的特点, 优化高中数学教学形式, 进而有效促进高中函数解题效率的提升.

例如, 在进行高中函数解题数学的“求函数的单调性”的教学过程中, 学生通过初中代数的函数基础学习, 已经掌握了一定的函数解题基础, 在这样的背景下, 教师就可以让学生自主思考相应的解题方法. 然后, 让学生利用合适的函数解题方法进行对后续问题的分析, 帮助学生快速提升自身的函数解题效率.

例3 (首届创新杯全国数学邀请赛第二试试题) 若x、y为正实数, 且x + y = 4 求的最小值______.

解:设AB=4, AP=x, PB=y, AE=1, BD=2.因为, ED连线交AB与C.所以.故的最小值是5.

分析: 从代数式的形式可知, 求它们的和实际上是求两个Rt△的斜边的和, 所以转化为几何图形, 用数形结合求解.

综上所述, 在进行高中数学函数分类讨论思想在高中函数解题教学中的应用过程中, 可以通过更新高中数学函数解题教学方法, 对原有的高中数学教学模式进行小规模的优化设计, 让学生快速的找到函数问题的解决方法, 促进学生函数问题解决效率的提升.

摘要：高中数学的函数学习中, 要针对学习内容多, 难度大的特点, 把高中数学函数分类讨论思想渗入高中数学解题过程, 启发学生思考并快速明确函数问题类型, 优化高中数学函数分类模式, 提高教学效果.

关键词：高中数学,函数分类讨论,解题,探析

参考文献

[1]刘见乐;罗敏娜;用函数思想指导高中数学解题[J].中国数学教育, 2011 (10) :45-46.