导数与函数单调性习题

导数与函数单调性习题（精选7篇）

导数与函数单调性习题 篇1

课后反思

1.本节课的亮点：

教学过程中教师指导启发学生以已知的熟悉的二次函数为研究的起点，发现函数的导数的正负与函数单调性的关系，从而到更多的，更复杂的函数，从中发现规律，并推广到一般这个过程中既让学生获得了关于新知的内容，更可贵的是让学生体会到如何研究一个新问题，即探究方法的体验与感知.同时也渗透了归纳推理的数学思想方法,培养了学生的探索精神，积累了探究经验。

2.不足之处：

教学引入时间较长，致使整堂课时间安排显得前松后紧； 在引导学生探讨如何把导数与函数的单调性联系起来时，列举的函数有点多；学生对与数形结合的理解还不是很熟练，今后应多加强训练。

3.改进的思路：

①选取函数时应简单，易懂

②在引导学生提问时，问题要简明扼要 ③多进行公开课，锻炼自己的胆量和语言表达能力。

导数与函数单调性习题 篇2

一、求导开路, 判断函数的单调性

例1 (2008年福建卷) 已知函数f (x) =ln (1+x) -x, 求f (x) 的单调区间.

解:因为函数f (x) =ln (1+x) -x的定义域为 (-1, +∞) , 且.

由f′ (x) >0得-10, 故f (x) 的单调递减区间为 (0, +∞) .

例2 (2008年北京卷) 已知函数, 求导数f′ (x) , 并确定f (x) 的单调区间.

令f′ (x) =0, 得x=b-1.

当b-1<1, 即b<2时, f′ (x) 的变化情况如表1.

当b-1>1, 即b>2时, f′ (x) 的变化情况, 如表2.

所以当b<2时, 函数f (x) 在 (-∞, b-1) 上单调递减, 在 (b-1, 1) 上单调递增, 在 (1, +∞) 上单调递减.

当b>2时, 函数f (x) 在 (-∞, 1) 上单调递减, 在 (1, b-1) 上单调递增, 在 (b-1, +∞) 上单调递减.

当b-1=1, 即b=2时, , 所以函数f (x) 在 (-∞, 1) 上单调递减, 在 (1, +∞) 上单调递减.

点评:因为导数的符号可判断函数的单调性, 所以首先由求导开路.对于导数等于零的点1, 要分三种情况讨论.

二、通过函数的单调性, 求极值和最值

例3 (2008年浙江卷) 已知a是实数, 函数f (x) =x2 (x-a) .求f (x) 在区间[0, 2]上的最大值.

解:.令f′ (x) =0, 解得x1=0, .

当, 即a≤0时, f (x) 在[0, 2]上单调递增.从而fmax=f (2) =8-4a.

当, 即a≥3时, f (x) 在[0, 2]上单调递减.从而fmax=f (0) =0.

点评:求导开路, 分两类讨论函数的单调性, 即可在端点处求得最大值.

三、通过函数的单调性, 寻求参数范围

例4 (2008年陕西卷) 设函数f (x) =x3+ax2-a2x+1, g (x) =ax2-2x+1, 其中实数a≠0. (Ⅰ) 若a>0, 求函数f (x) 的单调区间; (Ⅱ) 若f (x) 与g (x) 在区间 (a, 2a) 内为增函数, 求a的取值范围.

解: (Ⅰ) 因为, 而a>0.所以当x<-a或时, f′ (x) >0;当时, f′ (x) <0.所以f (x) 在 (-∞, -a) 和内是增函数, 在内是减函数.

(Ⅱ) 当a>0时, f (x) 在 (-∞, -a) 和内是增函数, g (x) 在内是增函数.

由题意得:, 解得a≥1.

当a<0时, f (x) 在和 (-a, +∞) 内是增函数, g (x) 在内是增函数.

由题意得:, 解得a≤-3.

综上可知, 实数a的取值范围是 (-∞, -3) ∪[1, +∞) .

点评: (1) f′ (x) 和g (x) 虽然都是二次函数, 但判断单调性的方法不同.前者是由f′ (x) 的符号判断f (x) 的单调性, 而后者g (x) 则由其对称轴的左、右两侧, 来确定其单调性. (2) 最后, 利用复合函数的单调性, 确定参数的范围.

四、借助导数解决实际问题

例5 (2008年湖北卷) 水库的蓄水量随时间而变化.现用t表示时间, 以月为单位, 年初为起点.根据历年数据.某水库的蓄水量 (单位:亿立方米) 关于t的近似函数关系式为:

(1) 该水库的蓄水量小于50的时期为枯水期, 以i-1

(2) 求一年内该水库的最大蓄水量 (取e=2.7计算) .

解: (1) 利用解不等式可得枯水期为1月, 2月, 3月, 4月, 11月, 12月, 共6个月.

(2) 由 (1) 知, V (t) 的最大值只能在 (4, 10) 内达到.由V′ (t) =0, 解得t=8 (t=-2舍去) .当t变化时, V′ (t) 与V (t) 的变化情况, 如表3所示.

由表3, V (t) 在t=8时取得最大值V (8) =8e2+50=108.32 (亿立方米) .

故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.

点评:本题是通过函数的单调性, 求最值的一个很好的实际范例.

练习

1.设f (x) =ax3+bx2-3a2x+1 (a, b∈R) 在x=x1, x=x2处取得极值, 且|x1-x2|=2. (1) 若a=1, 求b的值.并求f (x) 的单调区间; (2) 若a>0, 求b的取值范围.

2.已知a是实数, 函数, 求函数f (x) 的单调区间.

3.设函数f (x) =ax+bx+c (a≠0) , 曲线y=f (x) 通过点 (0, 2a+3) , 且在点 (-1, f (-1) ) 处的切线垂直于y轴. (1) 用a分别表示b和c; (2) 当bc取得最小值时, 求函数g (x) =-f (x) e-x的单调区间.

参考答案

1. (1) b=0, 在 (-1, 1) 上单调递减.在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 上单调递增 (2) .

2.当a≤0时, f (x) 的递增区间[0, +∞) ;当a>0时, f (x) 的递减区间, 递增区间.

如何利用导数研究函数的单调性 篇3

利用导数研究函数单调性，方法不一，选择恰当的方法，简洁明了；反之，虽然也可以进行到最后，但是需要大量的计算.本文将各类方法进行了总结，并点明了注意问题，分析了各方法的优点、缺点、适用范围.

一、 正用

例1求函数y=3x2-2lnx的单调递增区间.

解析：函数的定义域为（0，+∞）

∵ f′(x)=6x-2x=2(3x2-1)x

∴ 令f′(x)＞0，结合x＞0，得x＞33

∴ f(x)的单调递增区间为33,+∞

【方法总结】用导数方法求函数单调区间：首先，求函数定义域、求导f′(x)；然后令f′(x)＞0得到函数的递增区间，令f′(x)＜0得到函数的递减区间.

二、 逆用

例2已知函数f(x)=x2+mx(常数m∈R）在x∈［2，+∞）上单调递增，求m的取值范围.

【方法一】若函数f(x)在区间(a,b)上单调递增，则f′(x)≥0在x∈(a,b)上恒成立，且f′(x)=0的点是孤立的；若函数f(x)在区间(a,b)上单调递减，则f′(x)≤0在x∈(a,b)上恒成立，且f′(x)=0的点是孤立的.恒成立问题可以转化成求最值问题.

解析：∵ 函数f(x)=x2+mx（常数m∈R）在x∈［2，+∞）上单调递增，

∴ f′(x)=2x3-mx2≥0在x∈［2，+∞）上恒成立

∴ m≤2x3在x∈［2，+∞）上恒成立

∴ m≤（2x3）min，x∈［2，+∞)

∵ 当x∈［2，+∞）时，y=2x3是增函数

∴ （2x3）min=16∴ m≤16

当m=16时，f′(x)≥0且f′(x)=0的点是孤立的（只有f′(2)=0），∴ m=16合题

∴ m的取值范围为（-∞，16］

适用性分析：这是解决“逆用”问题的基本方法.注意检验f′(x)=0的点是否孤立.

例如：（1） 已知函数g(x)=ax+1在［1，2］上是减函数，则a的取值范围是a＞0（a=0时，经检验不合题）.

（2） 若函数f(x)=cosx+px+q在x∈R上是减函数，则p的取值范围是p≤-1（p=-1时，f′(x)=0的点有无数个，但这些点是孤立的，故p=-1合题）

【方法二】首先用m表示出f(x)的单调递增区间（a,b），然后根据关系［2，+m）(a,b)得出m的取值范围.

解析：f(x)的定义域为{x|x≠0}

∵ f′(x)=2x3-mx2，令f′(x)＞0，得x＞3m2

∴ f(x)的单调递增区间为（3m2，+∞）

∵ f(x)在x∈［2，+∞）时单调递增

∴ 3m2≤2解得m≤16

∴ m的取值范围为（-∞，16］

适用性分析：该法思路清晰、简单明了，但有时涉及解无理不等式，需要分类讨论，运算量大.例如（例3）：已知函数f(x)=x3+mx2+x+1（a2＞3）在-23，-13上单调递减，求m的取值范围.利用该法需要解不等式组-a-a2-33≤-23

-a+a2-33≥-13，诸多不便.

那么，象上面的例3，该怎样解决呢？

【方法三】二次函数法，结合二次函数性质，寻求使得导数恒≥0（或恒≤0）成立的充要条件.

解析：∵ 函数f(x)=x3+mx2+x+1（a2＞3）在-23，-13上单调递减

∴ f′(x)=3x2+2mx+1≤0在x∈-23，-13上恒成立

∴ f′-23≤0

f′-13≤0即73-4m3≤0

43-2m3≤0解得m≥2

∴ m的取值范围是［2，+∞）

适用性分析：（1） 适用面窄，只有当f(x)是三次函数（此时，其导数为二次函数）时，才可用该法；（2） 列出的条件容易不充分（少条件）或不必要（多条件），需要进行严谨的分析.一般的解决二次函数问题可以从以下四个方面入手：① 开口方向② 对称轴③ 判别式④ 端点处函数值.

导数与函数单调性习题 篇4

班级__________姓名__________学号___________成绩_________ A组（基础题

必做）

1、如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数且最小值为5,那么f(x)在[-7,-3]上是（）

A．增函数且最小值为-5

B．增函数且最大值为-5 C．减函数且最小值为-5

D．减函数且最大值为-5 2．若f(x)是偶函数,其定义域为R,且在[0,+∞）上是减函数,则f(-3/4)与f(a2-a+1)的大小关系是______________________.x1x,3.判定函数的奇偶性 fxx1x.

B组(提高题

有能力的完成)1．已知函数y＝f(x)是偶函数(x∈R), 在x<0时,y是增函数,对x1<0, x2>0,有|x1|<|x2|,则（）。

A．f(－x1)>f(－x2)

B．f(－x1)

C．f(－x1)＝f(－x2)

D．以上都不对

2、设f(x)是R上的奇函数,且当x[0,)时f(x)=x(1x), 求f(x)的解析式

C 组

高考题尝试

6、(2006年山东理6)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为（）

导数的应用单调性教学反思 篇5

情境引入

本课的难点是引导学生发现导数与函数单调性之间的联系，而这两个概念都是非常抽象的，学生很难直接感知，所以在引入阶段，利用生活中的常见问题汽车灯光的指向与上下坡之间的联系，第一次抽象：引导学生发现道路可以抽象成函数的图象，灯光可以抽象为切线，这样问题就转化为切线斜率正负与曲线上升下降的联系；适当建系后，第二次抽象：将曲线看做是函数y=f(x)上的一段图象，那么切线斜率即为函数在该点处的导数，顺势猜想结论，感知导数正负与函数单调性之间的联系，从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲.合作探究

前面已经猜想出结论，但是该结论是否正确，还有待检验，学生首先想到的就是验证已经学过的常见函数，从而深化对所得结论的理解.再从“形”回到 “数”，进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，抓住导数和单调性的定义之间的联系来提炼一般性的结论，由学生自主探究、分组展示，互相点评，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体．

典例应用

在典例演练，强化应用的过程中，例题1由“形”到“数”，规范了用导数研究单调性的书写，加深了对结论的理解；例题2在了解函数的性质基础上，要求学生画出三次函数的大致图象，经历由“数”到“形”的过程，并对导函数图象与原函数图象进行对比、深化理解，突显了利用导数研究函数单调性的优越性；例题3由三角函数图象很快能得出结论，解三角不等式时，学生可以画出导函数图象辅助解题，题目解完后数形结合再次画出原函数图象加以验证，并且突显了利用导数研究函数单调性的一般性．三道例题逐层推进，体现了导数法在研究函数单调性中的一般性和有效性，由形到数，由数到形，数形结合贯穿始终．

（二）教学中存在的不足

教师语言感染力度不够。一节课下来，语言起伏度较低，未能将重点知识通过起伏的语言方面传递出来。同时课堂评价语言单调，不能够起到鼓励学生的作用。作为一名新教师，教学基本功不够扎实，仍需多加练习，增加听课频率，多像优秀教师学习教学技能和技巧。

教学重难点内容的安排形式有待改善。本节重点知识在于为什么用导数研究函数的单调性，怎样用导数研究函数的单调性。怎样引导学生将导数的正负与函数单调性之间建立联系。实际上，这节课的重点，我觉得教师必须讲清楚函数在一个区间上的任一点出的导数为正时，在任一点处的切线斜率为正，函数在这个区间上的任一点处呈上升趋势，所以函数在整个区间上单调递增。但根据上课效果来看，学生并没有这样层次的理解，对于知识的认知还停留在表面，所以我提醒自己在今后的教学过程中应该加强数学知识本质的教学，让学生知其然，知其所以然。

小组讨论环节有待改善。本次课的小组讨论环节实际上是让班级学生分小组互相列举一些基本初等函数验证导数的正负和单调性的关系。但在实际教学中没有达到应该有的效果。每个学生自己单独完成了这个过程，并没有合作探究。课后我反思了这一过程，主要是和班级学生的熟悉程度不够，也是我在教学中引导过度不够自然，没有引起共鸣。通过这节课的教学，我有一个这样的疑惑，在数学教学中小组讨论，合作探究这个过程对学生的学习是否一定需要，是否一定会起到正面的效果，我觉得这是一个可以深入思考的问题。

板书设计有待改进。本节课板书不太理想，客观原因上课班级黑板不好使用，当然我对于本节课的板书设计确实准备不足，应该将情境引入部分整体思路理清楚，本节课的重点知识展示清晰。

函数的单调性 篇6

我说课的课题是《普通高中课程标准实验教科书 必修1》第二章第三节——函数的单调性。我将根据新课标的理念和高一学生的认知特点设计本节课的教学。我从下面三个方面阐述我对这节课的理解和教学设计。

一、教材分析

1、教材内容

本节课是北师大版(必修一)第二章函数第三节——函数的单调性，本节课内容教材主要学习函数的单调性的概念，依据函数图象判断函数的单调性和应用定义证明函数的单调性。

2、教材的地位和作用

函数是本章的核心概念，也是中学数学中的基本概念，函数贯穿整个高中数学课程。在历年的考题中常考，函数的思想也是我们学习数学中的重要思想。在这一节中利用函数图象研究函数性质的数形结合思想将贯穿于整个高中数学教学。

函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性、对称性、有界性。而我们今天学习的内容就是函数基本性质中的一种——单调性。函数的单调性是用代数方法研究函数图象局部变化趋势的。函数的单调性是学生初中学习了一次函数、二次函数、反比例函数图象的基础上对增减性有一个初步的感性认识，是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数等内容的基础，对进一步探索、研究函数的其他性质有着示范性的作用，对解决各种数学问题有着广泛作用。此外在比较数的大小、极限、导数以及相关的数学综合问题中也有广泛的应用，它是整个高中数学中起着承上启下作用的核心知识之一。通过对本节课的学习，让学生领会函数单调性的概念、掌握证明函数单调性的步骤，并能运用单调性知识解决一些简单的实际问题。通过上述活动，加深对函数本质的认识。更主要本节教学过程中还渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法，这对培养学生的创新意识、发展学生的思维能力，掌握数学的思想方法具有重大意义。

根据函数单调性在整个教材内容中的地位和作用，并结合学生的认知水平，本节课教学应实现如下教学目标。

3、教学目标

知识与技能:理解函数单调性和单调函数的意义;会判断和证明简单函数的单调性。

过程与方法:培养从概念出发，进一步研究其性质的意识及能力;体会感悟数形结合、分类讨论的数学思想。

情感态度与价值观:领会用运动的观点去观察分析事物的方法，培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯;由合适的例子引发学生探求数学知识的欲望，突出学生的主观能动性，激发学生学习的兴趣。

4(教学的重点和难点 教学重点: 函数单调性的概念，判断并证明函数的单调性;1 函数单调性说课稿 教学难点: 根据定义证明函数的单调性和利用函数图像证明单调性。

二、教法与学法 1(教学方法 本节课是函数单调性的起始课，根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，本节课主要采用“创设情景、问题探究、合作交流、归纳总结、联系巩固”的教学方式，这样既增加了教师与学生、学生与学生之间的交流，又能激发学生的求知欲，调动学生积极性，使他们思路更加开阔，思维更加敏捷。

2(教学手段

教学中使用多媒体辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。

3(学法

高一学生知识上已经掌握了一次函数、二次函数、反比例函数的图象和基本性质等内容，但对知识的理解和方法的掌握上不完备，反应在解题中就是思维不严密，过程不完整;能力上具备了一定的观察、类比、分析、归纳能力，但知识整合和主动迁移的能力较弱，数形结合的意识和思维的深刻性还需进一步培养和加强，所以应从下面两方面来提高学生的水平。

(1)让学生利用图形直观感受;(2)让学生“设问、尝试、归纳、总结、运用”，重视学生的主动参与，注重信息反馈，通过引导学生多思、多说、多练，使认识得到深化。

三、教学过程

本节课的教学过程包括:创设情境，引入课题;归纳探索，形成概念;巩固提高，深化概念;归纳小结，提高认识.具体过程如下:(一)创设情境，引入课题

我们知道，函数是刻画事物变化的工具。在2003年抗击非典型肺炎时，卫生部门对疫情进行了通报。如下图是北京从4月21日到5月19日期间每日新增病例的变化统计图。

思考如何用数学语言刻画疫情变化, [设计意图]:通过实际生活中的例子让学生对图像的上升和下降有一个初步感性认识，为下一步对概念的理性认识作好铺垫。同时通过多媒体展示，能够提高学生的兴趣，增强直观性，拉近数学与实际的距离，感受数学源于生活,让学生学会用数学的眼光去关注生活。函数单调性说课稿(二)归纳探索，形成概念

在本阶段的教学中，为使学生充分感受数学概念的形成与发展过程和数形结合的数学思想，加深对函数单调性的本质的认识，我设计了几个环节,引导学生分别完成对单调性定义的认识.1、提出问题，观察变化

12问题:分别做出函数的图像，指出上面四yxyxyxy,，，，，2,1， x 个函数图象在哪个区间是上升的，在哪个区间是下降的, 8 688 86466 44422 22-10-5510-10-5510-10-5510-10-5510-2-2-2-2-4-4-4-6-4-6-6-8-6-8-8-8 12 yx,，2yx，，1yx,y,x 通过学生熟悉的图像，及时引导学生观察，函数图像上A点的运动情况，引导学生能用自然语言描述出，随着增大时图像变化规律。让学生大胆的去说，x 老师逐步修正、完善学生的说法，最后给出正确答案。

【设计意图】 新课标十分注重初中与高中的衔接，注重通过函数的图像，研究函数的基本性质。以学生们熟悉的函数为切入点，尽量做到从直观入手，顺应同学们的认知规律。第三个、第四个函数图像的上升与下降要分段说明，通过讨论使学生明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质（2、步步深化，形成概念 2观察函数y=x随自变量x 变化的情况，设置启发式问题:(1)在y轴的右侧部分图象具有什么特点,(2)如果在y轴右侧部分取两个点(x，y)，(x，y)，当x

【设计意图】通过启发式提问，实现学生从“图形语言”到 “文字语言”到 “符号语言”认识函数的单调性，实现“形”到“数”的转换。另外，对“任意性”的理解，我特设计了问题(2)、(3)，达到步步深入，从而突破难点，突出重点的目的。通过对以上问题的分析，从正、反两方面领会函数单调性。师生共同总结出单调增函数的定义，并解读定义中的关键词，如:区间内，任意，当<时，xx12都有<。f(x)f(x)12 仿照单调增函数定义，由学生说出单调减函数的定义。3 函数单调性说课稿

教师总结归纳单调性和单调区间的定义。

注意强调:函数的单调性是函数在定义域某个区间上的局部性质，也就是说，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性。

【设计意图】通过问题的分解，引导学生步步深入，直至找到最准确的数学语言来描述定义。体现从简单到复杂、具体到抽象的认知过程。在课堂教学中教师引导学生探索获得知识、技能的途径和方法。通过探索，培养学生的观察能力和运动变化的观点，同时充分利用图形的直观性，渗透了数形结合的思想，学生在探索的过程中品尝到了自己劳作后的甘甜，感受到耕耘后的丰收喜悦，更激起了学生的探索创新意识。

3(巩固提高，深化概念

本环节在前面研究的基础上，加深学生进一步理解函数单调性定义本质，完成对概念的再一次认识.练习1:如下图给出的函数，你能说出它的函数值随自变量值的变化情yx况吗?

怎样用数学语言表达函数值的增减变化呢? 1f(x),例1 说出函数的单调区间，并指明在该区间上的单调性.x 练习2:判断下列说法是否正确

(1)定义在R上的函数满足，则函数是R上的增函数。f(x)f(2),f(1)(2)定义在R上的函数满足，则函数是R上不是减函数。f(x)f(2),f(1)1(3)已知函数，因为是增函数。所以函数fx()y,ff(1)(2)，，x，，(4)定义在R上的函数在，,0,上是增函数，在0,，,上也是增函数，f(x)则函数是R上的增函数。

(5)函数在上都是减函数，所以在

上是减函数。

例2 画出函数的图像，判断它的单调性，并加以证明。f(x),3x，2 通过对上述几题讨论，加深学生对定义的理解。强调以下三点，完成本阶段的教学: ?单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性。函数单调性说课稿

?有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)。

?函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在上是增(或减)函数。

【设计意图】函数单调性定义产生是本节课的难点，难在:如何使学生从描述性语言过渡到严谨的数学语言。而对严谨的数学语言的准确理解及正确应用更是学生薄弱环节，这里通过问题研讨体现了以学生为主体，师生互动合作的教学新理念。例1主要是从图形上判断函数的单调性;例2主要对数形结合，定义法证明函数的单调性的只是巩固与应用.(四)归纳小结，提高认识

归纳小结是巩固新知识不可或缺的环节之一，本节课我采用组织和指导学生自己谈学习收获的方式对所学知识进行归纳，深化对数学思想方法的认识，为后续学习打好基础(1(本节小结

函数单调性定义，判断函数单调性的方法(图像、定义)在方法层面上，引导学生回顾判断，证明函数单调性的方法和步骤;引导学生体会探究过程中用到的思想方法和思维方法，如数形结合，等价转化，类比等。

2(布置作业

课后作业实施分层设置，书面作业、课后思考.作业布置:教材第38页的第2，3，5题 思考交流:问题 如果可以证明对任意的，且，有xxab,(,),xx,1212fxfx()(),21，能断定函数在上是增函数吗? fx()(,)ab,0xx,21 【设计意图】:目的是加深学生对定义的理解，让学生体会这种叙述与定义的等价性，而且这种方法进一步发展可以得到导数法，为今后用导数方法研究函数单调性埋下伏笔。

以上各个环节，环环相扣，层层深入，注意调动学生自主探究与合作交流，努力实现教学目标，也使新课标理念能够得到很好的落实。

各位评委，本节课我在概念教学上进行了一些尝试.在教学过程中，我努力创设一个探索数学的学习环境,通过设计一系列问题,使学生在探究问题的过程中，亲身经历数学概念的发生与发展过程，从而逐步把握概念的实质内涵,深入理解概念。函数单调性说课稿 附一:板书设计 函数的单调性

一、函数单调性的概念

三、例题讲解

四、课堂练习

二、证明函数单调性的步骤 例1:

导数与函数单调性习题 篇7

例求函数f ( x) = x3+ x2- x的单调区间.

这是一道难度不大的习题, 先由学生自行解答, 然后给出规范答案.

接下来由学生总结出求函数的单调区间的方法:

先确定函数y = f ( x) 的定义域及f' ( x) ; 接着有两种做法.

法一1解不等式f' ( x) > 0, 解集在定义域内的部分为单调递增区间;

2解不等式f' ( x) < 0, 解集在定义域内的部分为单调递减区间.

法二1令f' ( x) = 0, 解此方程, 求出在定义区间内的一切实根;

2把函数f ( x) 的间断点 ( 即f ( x) 的无定义点) 的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来, 然后用这些点把函数f ( x) 的定义区间分成若干个小区间;

3确定f' ( x) 在各个区间内的符号, 根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性.

注意单调区间之间用“, ”连接, 不能用“∪”连接.

拓展1求函数f (x) =x3-ax2-a2x的单调区间.

师问:此时系数含有参数怎么办?

生答: 先求函数的导数, 再根据导数的根的情况进行分析, 分a = 0, a < 0, a > 0三种情况讨论.

规律方法1要对参数a进行分类讨论; 2要确定分类的标准, 做到不重不漏.

拓展2已知函数f ( x) = x3- ax2- a2x的递减区间恰为, 求实数a的值.

师问: 单调区间恰为应如何理解?

生1答: 函数在区间没有递增或常数函数的情况.

生2答:函数在区间之外没有递减部分.

生3答:可结合拓展1求解或利用-1和1/3是f' (x) =0的根求解.

通过师生的共同探讨, 得到两种解答.

规律方法关键是理解y = f ( x) 的递减区间恰好为的含义.

拓展3若函数f ( x ) = x3+ ax2- a2在区间上是增函数, 求实数a的取值范围.

师问:函数在区间上是增函数, 是不是单调递增区间就是呢?

生答:不一定, 在区间外还有可能存在递增的情况.

师问: 怎样求实数a的取值范围?

生答:因为函数在区间上是增函数, 所以y=f' (x) 在都是大于或等于零, 只要不出现有恒为零即可.

师问: 为什么?

生答: 如f ( x) = x3, f' ( x) = 3x2≥0当且仅当x = 0时取 “= ”, 而f ( x) = x3在R上是增函数.

通过本例的研究得到已知函数单调性, 求参数范围的两个方法:

( 1) 利用集合间的包含关系处理: y = f ( x) 在 ( a, b) 上单调, 则区间 ( a, b) 是相应单调区间的子集.

( 2) 转化为不等式的恒成立问题: 即“若函数单调递增, 则f' ( x) ≥0; 若函数单调递减, 则f' ( x) ≤0”来求解, 注意式子中的等号不能省略, 否则漏解. 注意可导函数f ( x) 在 ( a, b) 上是增 ( 减) 函数的充要条件是: 对 x ∈ ( a, b ) , 都有f' ( x) ≥0 ( f' ( x) ≤0) , 且f' ( x) 在 ( a, b) 的任何子区间内都不恒为零.

拓展4已知函数f (x) =x3-ax2+2x在上存在单调递减区间, 求实数a的取值范围.

师问:如何理解函数在区间上存在单调递减区间?

生答:函数在区间有递减的情况, 也就是存在使得f' (x) <0.

著名的教育家波利亚曾说: “好问题跟某种蘑菇有些像, 它们都成堆生长, 找到一个以后, 应该在周围再找找, 很可能附近就有好几个. ”由此在数学教学中, 引导学生从一个问题出发, 通过逆向思维求其逆命题; 通过设常量为变量拓展问题; 通过引入参量推广问题; 通过弱化或强化条件与结论, 进行横向的拓宽和纵向的深入等方法去探索问题的变化, 则能使学生发现问题的本质, 去揭示其中的数学思想. 这样, 我们通过“问题”情境的创设, 营造良好的课堂心理氛围, 诱发学生的学习欲望使其更好发挥探究的主动性, 从而体验数学知识的拓展变化, 这样既有利于学生学习知识, 又有利于培养学生发散思维、建构知识的能力和创新能力.

摘要：高中数学新课程标准提出:“倡导积极的、主动的探究式学习, 培养学生的创新精神和实践能力.”数学探究是指学生围绕某个数学问题, 自主探究、学习的过程.在这个过程中学生始终处于主动探索、主动思考、主动建构的地位.如果教师事先能在进行精心设计, 积极在教学中开展拓展性教学, 并在学生探究过程中起画龙点睛的引导, 就能使教师指导作用与学生主体作用充分结合.这样学生不需要大量、重复地做同一样类型的题目, 也能掌握相关的知识与方法, 从而实现真正的减负, 不仅提高了学习的效率, 更有利于培养学生勇于质疑和善于反思的习惯, 提高他们发现、提出、解决数学问题的能力以及发展他们的创新意识和实践能力.