导数与函数

2024-06-16

导数与函数（通用12篇）

导数与函数篇1

在高等数学积分的学习中, 积分上限的函数是学生无法避开的一个概念.在积分基本公式牛顿—莱布尼茨公式的推导中, 积分上限的函数的导数的作用是举足轻重的.但对于积分上限是x的函数的函数的导数, 相当一部分学生不能理解, 本文通过几个简单公式的推导和几个例子, 让学生能够快速地掌握这一个知识点.

1.积分上限的函数定义及其导数

f (t) 在[a, b]上连续, 设x为[a, b]上任一点, 现在来考察f (x) 在部分区间[a, x]上的定积分∫ $_{a}^{x}$ f (t) dt.首先, 由于f (t) 在[a, x]上仍然连续, 因此这个定积分存在, 如果上限x在区间[a, b]上变动, 则对于每一个取定的x值, 定积分有一个对应的值, 它在[a, b]上定义了一个函数, 记作Φ (x) .我们称Φ (x) =∫ $_{a}^{x}$ f (t) dt为积分上限的函数, 现在来考虑Φ (x) =∫ $_{a}^{x}$ f (t) dt是否可导?如果可导, 导数是什么?

函数Φ (x) 是否可导取决于 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Φ (x + Δ x) - Φ (x)}{Δ x}$ 是否存在, 若此极限存在, 则此极限就是Φ (x) 的导数.

由于Φ (x+Δx) -Φ (x) =∫ $_{a}^{x + Δ x}$ f (t) dt-∫ $_{a}^{x}$ f (t) dt=∫xaf (t) dt+∫ $_{x}^{x + Δ x}$ f (t) dt-∫ $_{a}^{x}$ f (t) dt=∫ $_{x}^{x + Δ x}$ f (t) dt, 再由积分中值定理得:Φ (x+Δx) -Φ (x) =f (ξ) Δx (其中ξ位于x和x+Δx之间) .

故 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{Φ (x + Δ x) - Φ (x)}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} \frac{f (ξ) Δ x}{Δ x} = \lim_{Δ x \to 0} f (ξ) = f (x) .$

所以Φ (x) 可导, 且Φ′ (x) =f (x) , 即 $[\int_{a}^{x} f (t) d t] ´ = f (x) .$

即在求积分上限的函数的导数时, 只需把积分上限代到被积函数中去即可.

例 $1 [\int_{1}^{x} e^{t^{2}} d t] ´ = e^{x^{2}} .$

2.积分上限是x的函数的函数的导数

现在, 我们来看一下如果f (t) 的原函数是F (t) , 即 $F^{'} (t) = f (t) ‚ [\int_{a}^{φ (x)} f (t) d t] ´ =$ 由牛顿—莱布尼茨公式得

∫ $_{a}^{φ (x)}$ f (t) dt=[F (t) ] $_{a}^{φ (x)}$ =F (φ (x) ) -F (a) .

求导, 得: $[\int_{a}^{φ (x)} f (t) d t] ´ = [F (φ (x)) - F (a)]^{'} = F^{'} (φ (x)) φ^{'} (x) = f (φ (x)) φ^{'} (x) .$

即有 $[\int_{a}^{φ (x)} f (t) d t] ´ = f (φ (x)) φ^{'} (x)$ 成立. (1)

即在求积分上限是x的函数的导数时, 只需把积分上限代到被积函数中再乘以积分上限的导数即可.

例 $2 [\int_{1}^{\sqrt{x}} e^{t^{2}} d t] ´ = e^{x} (\sqrt{x})^{'} = \frac{e^{x}}{2 \sqrt{x}}$ ,

3.积分下限是x的函数的函数的导数

我们再来考虑 $[\int_{ψ (x)}^{b} f (t) d t] ´ =$ 由于∫ $_{ψ (x)}^{b}$ f (t) dt=-∫ $_{b}^{ψ (x)}$ f (t) dt, 由公式 (1) 我们即可得

$[\int_{ψ (x)}^{b} f (t) d t] ´ = [-$ ∫ $_{b}^{ψ (x)}$ f (t) dt]′=-f (ψ (x) ) ψ′ (x) . (2)

即在求积分下限是x的函数的导数时, 只需把积分下限代到被积函数中再乘以积分上限的导数再加负号即可.

例 $3 [\int_{s i n x}^{1} e^{t^{2}} d t] ´ = - e^{\sin^{2} x} (\sin x)^{'} = \cos x e^{\sin^{2} x} .$

4.积分上限、下限都是x的函数的函数的导数

有了公式 (1) 和 (2) , 我们可以得

$[\int_{ψ}^{φ (x)} f (t) d t] ´ =$ ∫ $_{a}^{φ (x)}$ f (t) dt+∫ $_{ψ (x)}^{b}$ f (t) dt′=f (φ (x) ) φ′ (x) -f (ψ (x) ) ψ′ (x) .

即 $[\int_{ψ (x)}^{φ (x)} f (t) d t] ´ = f (φ (x)) φ^{'} (x) - f (ψ (x)) ψ^{'} (x) . (3)$

即积分上、下限都是x的函数时, 求导时只需把积分上限代到被积函数乘以积分上限的导数减去积分下限代到被积函数乘以积分下限的导数即可.

例 $4 [\int_{x^{2}}^{\sqrt{x}} e^{t^{2}} d t] ´ = e^{x} (\sqrt{x})^{'} - e^{x^{4}} (x^{2})^{'} = \frac{e^{x}}{2 \sqrt{x}} - 2 x e^{x^{4}} .$

有了以上几个公式及推导过程, 学生觉得这部分知识很容易理解和掌握.

在上面讨论的基础上, 再来看一下其他含有积分上限函数的题目.

例5 求极限 $\lim_{x \to 0}$ $\frac{\int_{c o s x}^{1} e^{- t^{2}} d t}{x^{2}} .$

分析由于x→0时, cosx→1, 分子∫ $_{c o s x}^{1}$ e-t2dt→0, 而分母x2→0, 故本题目可以采用洛必达法则去计算.

解 $\lim_{x \to 0}$ $\frac{\int_{c o s x}^{1} e^{- t^{2}} d t}{x^{2}}$ $= \lim_{x \to 0}$ $\frac{(\int_{c o s x}^{1} e^{- t^{2}} d t)^{'}}{(x^{2})^{'}}$ $= \lim_{x \to 0} \frac{e^{- \cos^{2} x} s i n x}{2 x} = \frac{1}{2 e} .$

例6 求∫ $_{0}^{x}$ x2et2dt的导数.

分析此题中既含有x, 又含有t, 是学生易错题目, 但是积分变量为t, ∫ $_{0}^{x}$ x2etdt中x2可以作为系数可以提到积分符号外面.

解 (∫ $_{0}^{x}$ x2et2dt) ′= (x2∫ $_{0}^{x}$ et2dt) ′= (x2) ′∫ $_{0}^{x}$ et2dt+x2 (∫x0et2dt) ′=2x∫ $_{0}^{x}$ et2dt+x2ex2

摘要：积分上限的函数在高等数学中是非常重要的一个概念, 本文通过推导给出了几类积分上限的函数的导数公式.

关键词：积分上限的函数及其导数

参考文献

[1]同济大学数学系. (高等数学) 第六版.北京:高等教育出版社.

[2]赵树嫄.微积分 (第三版) .北京:人民大学出版社.

导数与函数篇2

目的要求

1．掌握函数lnx、logax的导数公式．

2．能用公式求对数函数的导数．内容分析

1．教科书直接给出对数函数的导数公式，目的在于减轻学生理解上的负担，注重了知识的直观性，而降低了理论的严谨性．接着通过几道例题，介绍了对数函数求导公式的应用．

2．对于公式(logax)′＝1xlogae，我们将它改为证明题，理由如下：1x

为根据，首先，可复习对数换底公式．其次，可用前一公式(lnx)′＝这就成了熟悉和使用前一公式的一次机会．再次，这一公式有一个常数

因子logae即．通过证明，可以加深对此公式的理解和记忆，学生lnalnx1由logax＝这一步运算看到了的来历．这样对公式的结构特征lnalna就加深了印象，于是先入为主，可以避免与公式(a)′＝alna及xx1

axdxax

C中的“lna”的位置相混淆．lna3．本节重点是结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用对数函数的求导公式，使学生能求简单的初等函数的导数．

给出对数函数的导数公式后，安排了两道例题，都是求对数函数的复合函数的导数．例1比较简单，不仅可让学生说出中间变量u＝2x2＋3x＋1，而且整个解题过程都可交给学生完成．例2比较复杂，两个

解法中，解法1略显繁琐，因1－x的求导还是复合函数求导．而解法

22中的1－x2的求导都是简单的二次函数式求导，解法2中使用了对数运算性质将函数解析式先进行了变形．大学里的取对数法求导，就是利用对数运算性质来简化求导过程的．

4．由于加强公式的应用是本节重点，所以增加了一道例题，其中注意增加了含有三角函数的复合函数的求导．

教学过程 1．复习

(1)问题回忆换底公式；叙述复合函数的求导法则．(2)练习求下列函数的导数：

Ⅰ．y＝1－x；x1x22Ⅱ．y＝sin2x．

答案：Ⅰ．－；Ⅱ．2cos2x．

2．新授

1．直接给出对数函数的导数公式(1)(lnx)′＝2．求证对数函数的导数公式(2)(logax)′＝证明：(logax)′＝(lnxlna)′＝1lna·1x＝1x1x1x．logae．

logae．注：以上两个公式均是对数函数的导数公式．公式(1)尤其简单易记，lnx的导数等于x-1．

公式(2)略显复杂，logax的导数除了x，还有另一因子logae，即1lna1，由证明过程看出是由使用换底公式而来．试思考：求幂函数xm的导数能得x-1吗？ 3．公式的应用

让学生解答教科书例1，用多媒体展示其过程，需强调中间变量u＝2x2＋3x＋1．让学生解答教科书例2，并分组交流、讨论、比较各种解法的优劣，引导学生归纳方法和技巧，寻找规律性的策略．

这样，突出了学生的主体地位，学生感到自己会学习，增强了学会学习、学会求知的兴趣和信心．

此处可向学生说明，真数中若含乘方或开方、乘法或除法的，均可先变形再求导．此例中解法2优于解法1，实际上，解法1中y＝lgu，u＝12v，v＝1－x，取了两个中间变量，属于多重复合．而解法2中y＝22

lgu，u＝1－x，仅有一次复合，所以其解法显得简单，不易出错．增例：求下列函数的导数：

(1)y＝log2(x＋1＋x)；(3)y＝lnsin2xx； 2(2)y＝ln1+x1x222；

(4)y＝lnsin(e－x)．边分析，边讲解．

解：(1)y′＝log2ex＝1x2(x1x)′2

[1x1x2log2ex1x2121x)22·(1x)′]2＝log2ex1x2(1

＝log2e1x解：(2)由对数运算性质，有

y＝12[ln(1＋x)－ln(1－x)]．22

1(1x)′(1x)′则y′＝[]2221x1x＝＝121x2x1x422[2x22x1x2]

解：(3)y′＝＝xsin2xxsin2x(sin2xx)′·cos2x·2·xsin2x·1x1x2

＝2cot2x[sin(ex)]′sin(ex)22解：(4)y′＝＝

2sin(ex)·[sin(ex)]′sin(ex)2＝2sin(ex)·cos(ex)·(ex)′sin(ex)2

＝－2cot(ex)请学生用先变形再求导的方法，再解第(4)小题． 4．反馈训练

Ⅰ．求下列函数的导数：

(1)y＝ln(cosx)；(3)y＝xlgx；(2)y＝1＋lnx；(4)y＝log2(1＋sinx)．2

答案：

(1)－tanx；(2)lnxx1+lnx2；(3)lgx＋lge；(4)cosx1+sinxlog2e．

Ⅱ．教科书练习． 5．课堂小结

知识：要记住并用熟对数函数的两个求导公式．

技能：注意遇到真数中含有乘法、除法、乘方、开方这些运算的，应先利用对数运算性质将函数解析式作变形处理，然后再求导，可使运算较简便．

布置作业

教科书习题3．5第1题．增练求下列函数的导数：(1)y＝ln2(3x＋7)；(2)y＝lncos3(2x－3)；(3)y＝ln(x＋x2－1)；

函数与导数考点预测篇3

距2015年的广东高考只有两个来月时间，函数与导数这一内容在高考数学中将怎样考，现追踪寻源，试作如下分析，以探轨求迹.

一、追踪寻源

高考数学试题的范围本源《课程标准》，试题的深浅难易遵循《考试大纲》.两者就如同孙悟空给唐僧划出的金光守护圆圈.从近年广东高考趋势看，所考核的函数与导数这一内容越来越蜗居于《课程标准》与《考试大纲》，形式趋向稳定.

1.《考试大纲》（2014年广东高考大纲，以下同）中对函数的要求，如下表1：

【点评】守标依纲靠本是高考数学命题一首永恒的歌.在每年的高考中，使出浑身解数的命题者就像孙悟空，而《课程标准》与《考试大纲》就像孙悟空头上的两道紧箍咒，保证了去西天取经的学子都能发挥应有的水平，顺利拿到真经.

与往年高考数学试题相比，原来重点对函数的考查，近三年渐渐转移为对导数内容的考查.整份试卷前面是常规简易的函数选择题，接着是难度中等的导数填空题，而最后压轴的是可充分体现综合分析能力及运算求解能力的要求较高的导数应用大题.构题内容平实却能彰显考生的功力与素养，估计2015年高考广东数学在函数与导数这一内容上将继续保持这一风格.

二、探轨求迹

对2015年的广东高考数学展望，想必也不外乎近几年态势.即函数与导数这块内容估计与近三年试题布局不变，概括为：函数概念图形始；导数运算次相随；数圆结义三兄弟，携参前行潜能溢.下面以题组练习形式展现，边实践边梳理，感悟消化提高.

（一）函数概念图形始

近三年在选择题或填空题中常以函数概念中的定义域、值域、解析式、图像、单调性、奇偶性等作为考查目标，试题难度不大，属容易题.有的是送分题，但在求解时容易漏掉部分约束条件，也是易错题.载体是各种初等函数及其多姿的组合函数.

（三）数圆结义三兄弟，携参前行潜能溢

在近三年的广东高考数学试题中，最后登台亮相的压轴题都是导数的综合应用大题.本题考查考生的分析问题及解决问题的能力，综合能力要求较高，抽象思维能力要求较强，旨在检验考生未来学习的潜能.该类导数试题的一个共同特点是：把高中数学中的函数（导数）、方程与不等式三者的知识关联到一起，在始终伴随至少一个参变量的推理论证与运算求解过程中，在复杂、抽象的情境中，通过对各种情况的讨论、分析、论证、求解而顺利到达彼岸.做到这一点不光要有坚韧不拔的意志品质，还要有较高的综合素质与数学素养.

【锦囊妙计】

1. “山高人为峰”. 在处理压轴题中的多变量问题时，首先要理清关系，分清主元与次元，确定变元的活动范围，借助知识，寻找突破口，找到解决问题的办法.数形结合，推证严谨，表述简练，不忘收官.

2. 善用各种数学思想，如①由参数的变化引起的分类讨论思想，分类时统一标准，层次要分明，不重不漏；②化“难生繁未”为“易熟简知”的转化与化归思想；③函数与方程的思想，把握好数园三结义（函数、方程、不等式）的密切相关；④观数思形，数形互化，化形显数的数形结合思想等.

三、备考建议

在距2015年广东高考不足3个月的时间里，如何抓住重点，收缩聚焦，高效复习好函数与导数这一内容，我提出以下建议：

1. 依纲靠本梳理排查

在二轮复习中对照课本与《考试大纲》查漏补缺.如对待函数的复习，要重视对函数概念和基本性质的理解.包括函数的定义域、值域（最、极值）、对应法则、奇偶性、单调性、周期性、图像的对称性、图像变换等.研究函数的性质要注意分析函数解析式（数）的特征，同时要注意函数图像（形）的作用.进一步加强对函数与导数的基本概念、基础知识、基本方法的理解和训练，争取容易题、中档题不失分.

2. 通性通法熟门熟路

要对函数与导数的各类性质应用比较熟悉，对处理函数与导数问题的方法得心应手.通过题组练习来检测用时与准确度，及时评估解题效能，不断提高熟悉程度.除本文提到的部分锦囊妙记之外，还需自己动手整理补全，不留漏洞.

3. 数学思想深谙其道

不练功，到老空.数学思想犹如武侠小说中的内功心法，若在平时稍加感悟与练习，则数学能力将会有长足的进步.数学中函数与导数的问题解决离不开数学思想，其分类讨论思想、转化与化归思想、函数与方程的思想、数形结合思想对解决压轴题十分重要！

4. 紧抓重点突破难点

函数是导数的研究对象.导数是研究函数的通用、有效、简便的工具.必须熟悉各类已学函数的导数公式.用导数研究函数是对函数概念又一次螺旋上升的理解.

重点把握导数的几何意义、函数的极值、单调性和最值问题，突破导数与其它知识（如方程、不等式）结合的难点问题.

用导数解决函数问题时，重在训练分析思路、方法手段、数学思想的应用.放过那些已知已会的，专攻自己一知半解的.通过题组练习，整合聚焦，反思对照，落到实处，提高能力.逐步使知识和方法系统化，同时规范书写，完整表述，争取压轴题多拿分.

5. 提升能力降妖服魔

铁打的营盘流水的兵.提升数学能力，增强数学综合实力，培养更好的数学素养就是不动的营盘，而年年变化的高考试题则是流动的兵.只要我们有足够的营盘，就可以装载下流动变化的兵！由于《课程标准》与《考试大纲》就像命题者头上的两道紧箍咒，所以不管试题怎样变化，而考查函数与导数的主干知识与核心能力将永远不变.只要你储备好相应的能力，便能过关斩将，顺利发挥好你的水平，取得应有的好成绩！

本文是对2015年高考广东函数与导数的粗浅认识，仅供参考，由于时间紧迫，错漏之处，敬请原谅.最后祝考生顺利发挥水平，考出好的成绩.

（作者单位：江门市新会华侨中学）

导数与函数篇4

我们知道数列是自变量取正整数时的函数, 而导数又是研究函数的有力工具.因此, 构造函数, 利用导数研究函数的性质, 进而研究数列的有关问题, 这种知识的交汇与整合, 将别开生面.

一、利用导数求和

例1 求和:S=C $_{n}^{1}$ +2C $_{n}^{2}$ +…+nC $_{n}^{n}$ .

解析:令F (x) =C1nx+C2nx2+…+Cnnxn

=C $_{n}^{0}$ +C1nx+C2nx2+…+Cnnxn-C $_{n}^{0}$

= (1+x) n-1,

则F′ (x) =C $_{n}^{1}$ +2C2nx+…+nCnnxn-1

=n (1+x) n-1.

令上式中的 x=1, 可得

C $_{n}^{1}$ +2C $_{n}^{2}$ +…+nC $_{n}^{n}$

=n (1+1) n-1=n·2n-1,

即 S=C $_{n}^{1}$ +2C $_{n}^{2}$ +…+nC $_{n}^{n}$ =n·2n-1.

点评:本题可以直接解答, 但较为繁难.而上述解法, 先构设辅助函数, 注意到 nxn-1 是 xn 的导数, 利用导数的有关知识求解, 既体现了导数知识的应用性、工具性, 也使求解过程独辟蹊径.

二、利用导数求数列的最大项

例2 已知数列{an}的通项 an=n2 (10-n) (n∈R*) , 求数列{an}的最大项.

解析:令 f (x) =x2 (10-x) (x>0) ,

则 f ′ (x) =20x-3x2.

由 f ′ (x) >0得 $0 ＜ x ＜ \frac{20}{3}$ ;

由 f ′ (x) <0得 $x ＞ \frac{20}{3} .$

所以 f (x) 在区间 $(0 ‚ \frac{20}{3})$ 上是增函数, 在区间 $(\frac{20}{3} ‚ + \infty)$ 上是减函数.因此, 当 $x = \frac{20}{3}$ 时函数 f (x) 取得最大值.

对于 n∈N*, f (n) =n2 (10-n) .

因为 f (7) =147>f (6) =144,

所以 f (n) max=f (7) =147,

即数列{an}的最大项为 a7=147.

点评:对于数列中的最大项的求法, 常规思路是利用不等式组 ${\begin{cases} a_{n} \geq a_{n + 1} ‚ \\ a_{n} \geq a_{n - 1} \end{cases}$ 解得 n 的范围, 然后确定 n 的值.本题是关于 n 的三次式, 用常规思路求解复杂, 联想到利用导数求三次函数最值的方法, 构造函数来解决.应注意, 对于 n∈N*, f (n) =n2 (10-n) 是离散的, 因此不能对 an 直接求导.

三、利用导数判断数列的单调性

例3 设数列 ${a_{n}} ‚ a_{n} = \frac{a n}{b n + c}$ , 其中 a、b、c 均为正数, 试判断 an+1与 an的大小关系.

解析:设 $f (x) = \frac{a x}{b x + c} (x ＞ 0)$ , 其中 a、b、c 均为正数, 则 $f^{'} (x) = \frac{a c}{(b x + c)^{2}} ＞ 0$ , 故函数 f (x) 在 (0, +∞) 上是增函数.

对于 $n \in Ν^{*} ‚ f (n) = \frac{a n}{b n + c}$ ,

有 f (n+1) >f (n) , 故 an+1>an.

点评:将数列问题函数化, 利用导数判断函数的单调性, 从而得到数列的单调性, 是一种简便易操作的方法.

四、利用导数的几何意义探求数列的递推公式

例4 已知函数 y=x3-3ax2, 由原点O向其图象引切线, 切点为P1 (x1, y1) (P1与O不重合) , 再由P1引切线, 切点为P2 (x2, y2) (P1与P2不重合) , 如此继续下去, 得到点列Pn (xn, yn) (n=1, 2, 3, …) .当 n≥2时, 试探求 xn 与 xn-1的关系.

解析:由 y=x3-3ax2, 得 y′=3x2-6ax, 知过点Pn (xn, yn) 的切线的斜率为 k=3x $_{n}^{2}$ -6axn.所以过点Pn (xn, yn) 的切线方程为

y-yn= (3x $_{n}^{2}$ -6axn) (x-xn) .

又该切线过点Pn-1 (xn-1, yn-1) , 所以

yn-1-yn= (3x $_{n}^{2}$ -6axn) (xn-1-xn) ,

整理得 (xn-1-xn) 2 (xn-1+2xn-3a) =0.

因为Pn与Pn-1不重合, 即 xn≠xn-1,

所以 $x_{n} = - \frac{1}{2} x_{n - 1} + \frac{3}{2} a (n \geq 2) .$

点评:根据导数的几何意义, 求出过点Pn的切线方程, 利用该切线过点Pn-1 (xn-1, yn-1) , 便可以得到 xn, xn-1的递推关系.

五、利用导数证明数列不等式

例5 若数列{an}满足 a1∈ (0, 1) , an+1=ln (2-an) +an (n∈N*) , 证明0<an<1.

证明:利用数学归纳法证明.

(1) 当

n=1时, 0<a1<1成立.

(2) 假设当

n=k 时, 0<ak<1成立, 当 n=k+1时, ak+1=ln (2-ak) +ak.

令 f (x) =ln (2-x) +x, 则

$f^{'} (x) = - \frac{1}{2 - x} + 1 = \frac{x - 1}{x - 2} .$

当0<x<1时, f ′ (x) >0, 故 f (x) 在 (0, 1) 上是增函数.

所以 ln (2-0) +0<ak+1<ln (2-1) +1,

即 ln2<ak+1<1.

又 ln2>0, 知0<ak+1<1, 所以当 n=k+1时, 0<ak+1<1也成立.

由 (1) 和 (2) 可知0<an<1对任意 n∈N*都成立.

点评:由 k 到 k+1的证明中, 构造相应函数, 利用单调性, 轻松证明0<ak+1<1成立.构造函数利用函数的单调性或最大 (小) 值证明不等式, 已成为证明不等式的一种重要方法, 高考题中反复出现.

总之, 用导数的方法研究函数, 用函数的观点去看数列, 是解决这类问题的基本策略.

山东省郓城第一中学

导数与函数篇5

应用函数极值与导数的关系求函数极值，用导数求闭区间上函数的最大值和最小值的方法让学生经过实例分析，熟练灵活掌握，使学生经历知识产生与形成的过程。以自主探究为主，及时归纳方法，熟练灵活应用知识解决问题，注意题型归类．规范解题步骤，严格化训练学生运算能力。加强自信心的培养，积累高考题、创新题的解法，鼓励学生从多个角度分析解决问题，形成良好的知识结构与网络。通过自主探究、交流合作使学生亲身体验研究的艰辛，从中体味合作与成功的快乐，由此激发其更加积极主动的学习精神和探索勇气，培养学生的审美习惯和良好的思维品质。利用多媒体辅助教学，调动了学生的课堂参与空间，有效的增加了课堂容量，提高了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛；利用小组探究的形式，提高了学生动手能力、探究能力和自学能力，基本达到了高效课堂的效果。

不足：学生对探究性问题研究的还不够深入，只停留在表面问题的解决，对于探究过程中遇到的问题，解决的方式方法还有待提高改进。学生运算技能还需要进一步提高，尤其是字母运算，加强分类讨论思想方法总结，题目难度需进一步降一下，心理素质需进一步调节，学生浮躁，好习惯有待加强养成。

专题三函数与导数（2）篇6

1. 已知函数[y=f（x）]满足：[f（-2）>f（-1）]，[f（-1）

A. 函数[y=f（x）]在区间[-2，-1]上单调递减，在区间[-1，0]上单调递增

B. 函数[y=f（x）]在区间[-2，-1]上单调递增，在区间[-1，0]上单调递减

C. 函数[y=f（x）]在区间[-2，0]上的最小值是[f（-1）]

D. 以上的三个结论都不正确

2. 下列函数[f（x）]中，满足“对任意[x1，x2∈][（0，+∞）]，当[x1f（x2）]”的是（）

A. [f（x）=1x] B. [f（x）=（x-1）2]

C. [f（x）=ex] D. [f（x）=ln（x+1）]

3. 已知函数[f（x）]满足：[f（1）=2，][f（x+1）=][1+f（x）1-f（x）]，则[f（2011）]等于（）

A. 2 B. -3

C. [-12] D. [13]

4. 下列函数中既是奇函数，又在区间[-1，1]上单调递减的是（）

A. [f（x）=sinx] B. [f（x）=-|x+1|]

C. [f（x）=12（ax+a-x）] D. [f（x）=ln2-x2+x]

5. 已知定义域为R的偶函数[f（x）]在[[0，+∞）]上是增函数，且[f（12）=0]，则不等式[f（log4x）>0]的解集为（）

A. [{x|x>2}] B. [{x|0

C. [{x|02}] D. [{x|122}]

6. 函数[y=log22-x2+x]的图象（）

A. 关于原点对称 B. 关于直线[y=-x]对称

C. 关于[y]轴对称 D. 关于直线[y=x]对称

7. 已知偶函数[y=f（x）]对任意实数[x]都有[f（x+1）=-f（x）]，且在[0，1]上单调递减，则（）

A. [f（72）

C. [f（73）

8. 已知函数[f（x）]图象的两条对称轴[x=0]和[x=1]，且在[x∈[-1，0]]上[f（x）]单调递增，设[a=f（3）]，[b=f（2）]，[c=f（2）]，则[a，b，c]的大小关系是（）

A. [a>b>c] B. [a>c>b ]

C. [b>c>a] D. [c>b>a]

9. 函数[y=f（x）]在（0，2）上是增函数，函数[y=f（x+2）]是偶函数，则下列结论正确的是（）

A. [f（1）

C. [f（72）

10. 已知函数[f（x）]是定义在区间[[-a，a]（a>0）]上的奇函数，且存在最大值与最小值. 若[g（x）=][f（x）+2]，则[g（x）]的最大值与最小值之和为（）

A. 0 B. 2 C. 4 D. 不能确定

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 函数[y=-（x-3）|x|]的递增区间是 .

12. 若函数[f（x）=a|x-b|+2]在[[0，+∞）]上为增函数，则实数[a，b]的取值范围是 .

13. 若[f（x）=lg（2x1+x+a）（a∈R）]是奇函数，则[a=] .

14. 已知函数[y=f（x）]是[R]上的偶函数，对于[x∈R]都有[f（x+6）=f（x）+f（3）]成立，当[x1，x2∈[0，3]]，且[x1≠x2]时，都有[f（x1）-f（x2）x1-x2>0]，给出下列命题，其中正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）.

①[f（3）=0]

②直线[x=-6]是函数[y=f（x）]的图象的一条对称轴

③函数[y=f（x）]在[-9，-6]上为增函数

④函数[y=f（x）]在[-9，9]上有四个零点

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 已知函数[f（x）=1a-1x（a>0，x>0）].

（1）求证：[f（x）]在[（0，+∞）]上是单调增函数；

（2）若[f（x）]在[[12，2]]上的值域是[[12，2]]，求[a]的值.

16. 已知函数[f（x）=loga（x+1）-loga（1-x）]，[a>0]且[a≠1].

（1）求[f（x）]的定义域；

（2）判断[f（x）]的奇偶性并予以证明；

（3）当[a>1]时，求使[f（x）>0]的[x]的取值范围.

17. 已知函数[f（x）]对任意的[a，b∈R]都有[f（a+b）=f（a）+f（b）-1]，且当[x>0]时，[f（x）>1].

（1）求证：[f（x）]是[R]上的增函数；

（2）若[f（4）=5]，解不等式[f（3m2-m-2）<3].

18. 已知[f（x）]是定义在[-1，1]上的奇函数，且[f（1）=1，]若[a，b∈[-1，1]，][a+b≠0]时，有[f（a）+f（b）a+b][>0]成立.

（1）判断[f（x）]在[[-1，1]]上的单调性，并证明；

（2）解不等式：[f（x+12）

（3）若[f（x）≤m2-2am+1]对所有的[a∈[-1，1]]恒成立，求实数[m]的取值范围.

导数与函数篇7

在多年的高三数学专题复习教学中，笔者在让学生熟练掌握解决这类问题的常规思路和方法，即通法的基础上，引导学生总结出了一套应对通法“难通”甚至“不通”时的求解策略．

1 变证为求，调整证题思路

有些问题按常规思路和方法直接构造函数，然后利用导数求解，但由于判断其导数的符号或求最值遇到难以克服的困难，因此常常陷入困境．但是，若能适当改变问题结构，同时调整证题方向，如变证为求，有时可收到“化难为易”的神奇效果．

例1求证：对于任意x∈（0,e]，不等式恒成立．

思路1常规思路与方法．

往下判定f′（x）的符号和求f′（x)=0的根都困难．即使二次构造函数，仍属困难．

思路2变证为求，调整证题思路．

原问题等价于，对于任意恒成立．

令则

当x∈（0,1）时，h′（x)<0；当x∈（1,e]时，h′（x)>0，于是当x=1时，

另一方面，又令则

当x∈（0,e）时，k′（x)>0，于是k(x）在（0,e]上是单调增函数，故

由上可知，h(x)>k(x），即

于是，对于任意x∈（0,e],

2 化繁为简，改变思维路径

有些题目因含有参数，给导数符号的判定或最值的求解带来了困难，常规思路和方法难以凑效，必须改变思维策略和解题方法．许多情况下，可以先通过特例先确定或缩小参数的范围，即“缩参”处理，先获得命题成立的必要条件，然后再进行求解或论证，这样也能化难为易、化繁为简，巧妙渡过难关．

例2设a∈R，函数f(x)=ax3-3x2．若函数g(x)=f(x)+f′（x),x∈[0,2]，且g(x）在x=0处取得最大值，求a的取值范围．

思路1常规思路与方法．

由于g′（x）中含有参数a，无论是判定g′（x）的符号还是求g′（x)=0的根，都很困难，常规方法难以凑效．

思路2“缩参”处理，变求为证，改变思维方向．

由于g(x）在x=0处取得最大值，于是g(0）≥g(2），解得即是g(x）在x=0处取得最大值的必要条件．

反之，当时，对于任意x∈[0,2],

即是g(x）在x=0处取得最大值的充分条件．

综上可知，a的取值范围是

3 设而不求，绕过求解难点

有些涉及方程的根或函数零点的问题，许多时候题目只是要确定零点的存在性、零点的个数或零点所在的范围，而无需求出零点．因此，这类问题可以“设而不求”，化难为易．

例3（2012年福建高考试题）已知函数且在上的最大值为．求f(x）的解析式；判断函数在（0，π）内的零点的个数．

解由已知条件易得

判断函数在（0，π）内的零点的个数，常规思路利用f′（x）研究f(x）在（0，π）上的性态，即研究f(x）的单调性及最值等．但求f′（x)=0的根是一个难以逾越的困难．题目没有要求零点的具体值，只是判定零点个数而已，于是考虑“设而不求”．

由于时，f′（x)>0，且因此由连续函数零点存在性定理，使f(x1)=0，即x1是函数f(x）的一个零点．

又令φ（x)=f′（x)=sin x+xcos x，则

φ′（x)=2cos x-xsin x.

当x∈（x0，π）时，φ（x)=f′（x)<0．又所以x2∈（x0，π），使f(x2)=0，即f(x）在[x0，π）内存在一个零点x2.

综上可知，f(x）在（0，π）内存在两个零点．

例4（2012年新课标全国卷文）设函数f(x)=ex-ax-2．若a=1,k为整数，且当x>0时，（x-k)f′（x)+x+1>0，求k的最大值．

解当x>0时，由

(x-k)f′（x)+x+1>0,

得

令常规思路是求g(x）在（0，+∞）上的最小值．求导得

令g′（x)=0，可此方程求根困难．

我们转换思路，“设而不求”．设φ（x)=ex-x-2，则当x∈（0，+∞）时，φ′（x)=ex-1>0，又φ（1)<0，φ（2)<0，于是由连续函数零点存在性定理知x0(1,2），使得φ（x0)=0．所以，当x∈（0,x0）时，φ（x)<0，从而g′（x)<0；当x∈（x0，+∞）时，φ（x)>0，从而g′（x)>0．故当x=x0时，g(x）有最小值．又因为ex0=x0+2，于是

又x0∈（1,2），所以（x0+1）∈（2,3）．注意到k为整数，所以kmax=2.

4 变换式子，优化问题结构

有些问题涉及方程或不等式，但若直接构造函数求解，由于求导后要么导数的符号不易断定，需要多次构造函数求导，有时仍不易断定；有时不易求得极值点的坐标，无法求得极值，这些情况常常使解答过程无法进行下去．但若涉及方程或不等式，根据同解原理，通过移项或在方程（不等式）的两边同时约去适当的“因式”，将原方程或不等式变为与之等价的方程或不等式，再构造函数，往往能收到“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果．

例5（2014年广州市高三第1次模拟考试理科21题）已知函数f(x)=(x2-2x+1)ex（其中e为自然对数的底数）．

（Ⅰ）求函数f(x）的单调区间．

（Ⅱ）定义：若函数h(x）在区间[s,t](s<t）上的取值范围为[s,t]，则称区间[s,t]为函数h(x）的“域同区间”．试问函数f(x）在（1，+∞）上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．

解（Ⅰ）因为

f(x)=(x2-2x+1)ex,

所以

当x<-1或x>1时，f′（x)>0，即函数f(x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞）．

当-1<x<1时，f′（x)<0，即函数f(x）的单调递减区间为（-1,1).

所以函数f(x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1,1).

解法1（Ⅱ）常规思路与方法．

假设函数f(x）在（1，+∞）上存在“域同区间”[s,t](1<s<t），由（Ⅰ）知函数f(x）在（1，+∞）上是增函数，所以

也就是方程（x-1)2ex=x有两个大于1的相异实根．

设g(x)=(x-1)2ex-x(x>1），则

g′（x)=(x2-1)ex-1.

设h(x)=g′（x)=(x2-1)ex-1，则

h′（x)=(x2+2x-1)ex.

因为在（1，+∞）上有h′（x)>0，所以h(x）在（1，+∞）上单调递增．

因为h(1)=-1<0,h(2)=3e2-1>0，即存在唯一的x0∈（1,2），使h(x0)=0.

当x∈（1,x0）时，h(x)=g′（x)<0，即函数g(x）在（1,x0）上是减函数；

当x∈（x0，+∞）时，h(x)=g′（x)>0，即函数g(x）在（x0，+∞）上是增函数．

因为g(1)=-1<0,g(x0)<g(1)<0,g(2)=e2-2>0，所以函数g(x）在区间（1，+∞）上只有一个零点．

这与方程（x-1)2ex=x有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．

所以函数f(x）在（1，+∞）上不存在“域同区间”．

解法2变换问题结构，方程两边同除以xex.

同解法1，问题转化为方程有两个大于1的相异实根．

由于x>1，所以

令则

由x>1知，g′（x)>0，于是g(x）在（1，+∞）上是单调增函数，故g(x）在（1，+∞）内至多有一个零点，即方程（x-1)2ex=x在（1，+∞）内至多有一个实数根．这与方程（x-1)2ex=x有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．

所以函数f(x）在（1，+∞）上不存在“域同区间”．

解法3变换问题结构，方程两边同除以x.

同解法1，问题转化为方程有两个大于1的相异实根．

由于x>1，所以

由x>1知，h′（x)>0，于是h(x）在（1，+∞）上是单调增函数，故h(x）在（1，+∞）内至多有一个零点，即方程（x-1)2ex=x在（1，+∞）内至多有一个实数根．这与方程（x-1)2ex=x有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．

所以函数f(x）在（1，+∞）上不存在“域同区间”．

例6（Ⅰ）求证：当a≥1时，不等式对x∈R恒成立．

（Ⅱ）对于在（0,1）内的任意一常数a，问是否存在x0>0，使得成立？如果存在，求出符合条件的一个x0；否则，说明理由．

证法1（Ⅰ）常规思路与方法，两次构造函数．

当x≥0时，要证成立，只需证

令求导得

求导得

当x>0时，由a≥1得k′（x)>0，于是k(x）在[0，+∞）上是增函数，从而f′（x)=k(x)>k(0)=0，故函数f(x）在[0，+∞）上是增函数，于是f(x)>f(0)=0．即当x≥0时，要证成立．

当x<0时，要证成立，只需证

令h(x)=g′（x)

求导得

当x<0时，由a≥1，得由a≥1得h′（x)>0，于是h(x）在[0，+∞）上是增函数，从而g′（x)=h(x)>h(0)=0，故函数g(x）在[0，+∞）上是增函数，于是g(x)>g(0)=0．即当x<0时，要证|成立．

证法2（Ⅰ）变换问题结构，移项，方程两边同除以ex.

当x≥0时，要证e成立，只需证即证

又a≥1,x>0，所以f′（x)>0，所以f(x）在[0，+∞）上是单调增函数，故f(x)>f(0)=1，从而（1）式得证．

当x<0时，要证成立，只需证即证

又令φ（x)=ex+a(x-1），则

φ′（x)=ex+ax,

由x<0,a≥1，得φ′（x)>0，于是φ（x）在（-∞，0）上是单调增函数，从而φ（x）<φ（0)=1-a≤0，故m′（x)<0，所以m(x）在（-∞，0）上是单调减函数，故m(x)>m(0)=1，从而（2）式得证．

综上可得，当a≥1时，不等式对x∈R恒成立．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若令

此方程求根困难，更难求f(x）的最小值，常规思路与方法难于进行下去．

于是考虑将变形为

要找一个x0>0使（3）式成立，只需找到函数的最小值，满足[t(x)]min<0即可，对t(x）求导得

令t′（x)=0得则x=-ln a，取x0=-ln a．在0<x<-ln a时，t′（x)<0，在x>-ln a时，t′（x)>0，所以t(x）在x=-ln a时取得最小值．

下面只需证明在0<a<1时成立即可．

令对p(a）关于a求导，则

从而p(a）为增函数，于是

导数与函数篇8

高中数学第三册(选修II)第127页中，通过观察二次函数切线斜率的正负，即函数导数的正负与函数的单调性的关系，得到如下结论：

一般的，设函数y=f (x) 在某区间内可导，如果f′ (x) >0，则f (x) 为增函数;如果f′ (x) <0，则f (x) 为减函数;如果恒有f′ (x) =0，则f (x) 为常数。

上述结论表明，导函数在某区间上的正负，反映原函数在该区间上的单调性。用同样的方法，考察所学函数 (如y=f (x) =x3) 的导函数在某区间上的单调性与原函数凹凸性的关系，还可以得到另一个非常实用的重要结论：

一般的，设函数y=f (x) 在某区间内可导，如果f′ (x) 为增函数，则f (x) 为下凹函数;如果f′ (x) 为减函数，则f (x) 为上凸函数;如果f′ (x) 恒为常数，则f (x) 为直线型函数。

也就是说，导函数(变化率)在某区间上的单调性，反映原函数在该区间上函数图像的凹凸性。

二、结论的应用

题型一：由变化率的增减性确定凹凸性

例1： (2008全国)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是 (%%) 。

解析：当汽车经过启动、加速行驶时，s随时间t的变化率递增，所以图像下凹;当汽车匀速行驶时，变化率为正常数，所以函数递增且图像为线段;当汽车减速行驶之后停车时，变化率递减，所以图像上凸。故答案选A。

例2： (2006重庆) 如图1所示，单位圆中AB的长为x, f (x) 表示AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f (x) 的图像是 (%%) 。

解析：由已知，y随x变化时，变化率先增后减，所以y=f (x) 的图像先下凹后上凸，故答案选D。

题型二：由导函数的单调性确定凹凸性

例3： (2008福建) 已知函数y=f (x) ，y=g (x) 的导函数的图像如图2，那么y=f (x) ，y=g (x) 的图像可能是 (%%) 。

解析：因为y=f′ (x) 为减函数，y=g′ (x) 为增函数，所以y=f (x) 的图像上凸，y=g (x) 的图像下凹，排除A, C;又因为y=f′ (x) 与y=g′ (x) 的图像交于x0处，所以y=f (x) 与y=g (x) 的图像在x0处的切线平行，排除B。故答案选D。

例4： (2006江西模拟) f′ (x) 是f (x) 的导数，f′ (x) 的图像如图3所示，则f (x) 的图像可能是 (%%) 。

解析：由f′ (x) 的图像可知，f′ (x) 在区间 (a, b) 上先增后减，所以f (x) 的图像先下凹后上凸。故答案选D。

导数中的复合函数篇9

若y=f (μ) , μ=g (x) , 则函数y=f[g (x) ]称为由y=f (μ) 与μ=g (x) 复合而成的函数。其求导法则为:。

例1水波的半径以50cm/s的速度向外扩张, 当半径为250cm时, 圆面积的膨胀率是多少?

解法一:设时间为t, r=50t,

当r=250cm时, t=5,

则S=πr2=2500t2, S/=5000πt,

S/|t=5=25000π (cm2/s) 。

解法二:由S=πr2得

S/|tr=250=2π·250·50=25000π (cm2/s) 。

答:圆面积的膨胀率是25000πcm2/s。

例2酒杯的形状为倒立的圆锥, 杯深8cm, 上口宽6cm, 水以20cm3/s的流量倒入杯中, 当水深为4cm时, 求水升高的瞬时变化率。

解法一:设时间为t, 水的高度为h, 对应的底面圆半径为r, 则

由

所以建立h关于t的函数关系式为

解法二:。

∴

答:水升高的瞬时变化率为。

小结解法二:

1.例1中, S=f (r) , r=g (t) , 例2中, V=f (h) , h=g (t) , 于是S/t=S/r·r/t, V/t=V/h·h/t, 不同的是, 例1通过S/rr/t, 求S/t, 例2通过V/t求S/t, 充分体现了方程思想在复合函数求导法则中的灵活运用。

2.例1中的r=250, 例2中的h=4与解法一中的时刻t是等效的。

例3一人以3m/s的速度沿地面向高为1 00m的建筑物走去, 当此人距离建筑物50m时, 他与建筑物顶部的距离的改变率为多少?

解:如图所示, 设AC=50m, 从A又走了xm, 则此时他与建筑物顶部的距离。

答:他与建筑物顶部的距离的改变率为。

合理构造函数解导数问题篇10

一、抓住问题的实质, 化简函数

例:已知f (x) 是二次函数, 不等式f (x) <0的解集是 (0, 5) , 且f (x) 在区间[-1, 4]上的最大值是12. (1) 求f (x) 的解析式; (2) 是否存在自然数m, 使得方程f (x) +37/x=0在区间 (m, m+1) 内有且只有两个不等的实数根?若存在, 求出所有符合条件的m的值;若不存在, 请说明理由.

解: (1) y=2x2-10x (x∈R)

(2) 假设满足要求的实数m存在, 则f (x) +37/x=0, 即有:, 则2x3-10x2+37=0.

构造函数h (x) =2x3-10x2+37

画图分析:

通过检验知h (3) >0, h (10/3) <0, h (4) >0, 所以存在实数m=3, 使得f (x) +37/x=0在区间 (3, 4) 内有且只有两个不等的实数根.

点评:本题关键是构造了函数h (x) =2x3-10x2+37, 舍弃了原函数中分母x, 使问题得到了简化.

二、抓住常规基本函数, 利用函数草图分析问题

例:已知函数f (x) =n+lnx的图像在点P (m, f (m) ) 处的切线方程为y=x, 设. (1) 求证:当x≥1时, g (x) ≥0恒成立; (2) 试讨论关于x的方程根的个数.

解: (1) m=n=1

(2) 方程, 从而有2lnx=x3-2ex2+tx.

因为x>0, 所以方程可变为.

令, H (x) =x2-2ex+t, 得:.

当x∈ (0, e) 时, L′ (x) ≥0, L′ (x) 在 (0, e]上为增函数;

当x∈ (e, +∞) 时, L′ (x) ≤0, L′ (x) 在[e, +∞) 上为减函数;

当x=e时, L (x) max=L (e) =2/e,

又H (x) =x2-2ex+t= (x-e) 2+t-e2,

所以函数L (x) , H (x) 在同一坐标系内的大致图像如图所示.

(1) 当t-e2>2/e, 即t>e2+2/e时, 方程无解;

(2) 当t-e2=2/e, 即t-e2=2/e时, 方程有一解;

(3) 当t-e2<2/e, 即t

分析点评:一次函数, 二次函数, 指、对数函数, 幂函数, 简单的分式根式函数, 绝对值函数的图像力求清晰准确, 一些综合性的问题往往是这些函数的组合体.如果适当分解和调配就一定能找到问题解决的突破口, 使问题简单化、明确化.

三、复合函数问题一定要坚持定义域优先的原则, 抓住函数的复合过程能够逐层分解

例:已知函数在区间[-1, 1]上单调递减, 在区间[1, 2]上单调递增, (1) 求实数a的值; (2) 若关于x的方程f (2x) =m有3个不同的实数解, 求实数m的取值范围; (3) 若函数y=log2[f (x) +p]的图像与坐标轴无交点, 求实数p的取值范围.

解: (1) 利用f′ (1) =0, 得a=1/2.

得f′ (x) =-x3+2x2+x-2=- (x-1) (x+1) (x-2)

列表如下:

因此f (x) 有极大值f (-1) =-5/12, f (2) =-8/3, 极小值f (1) =-37/12, 作出f (x) 的示意图, 如图:

因为关于x的方程f (2x) =m有3个不同的实数解, 令2x=t (t>0) , 即关于t的方程f (t) =m在 (0, +∞) 上有3个不同的实数解, 所以y=f (t) 的图像与直线y=m在 (0, +∞) 上有3个不同的交点.

而y=f (t) 的图像与y=f (x) 的图像一致.即-37/12

(3) 函数y=log2[f (x) +p]的图像与坐标轴无交点, 可以分以下2种情况:

(1) 当函数y=log2[f (x) +p]的图像与x轴无交点时, 则必须有f (x) +p=1无解, 而, 函数y=f (x) +p的值域为, 解得p<17/12.

(2) 当函数y=log2[f (x) +p]的图像与y轴无交点时, 则必须有y=log2[f (0) +p]不存在, 即f (0) +p<0或f (0) =-2有意义, 所以-2+p<0, 解得p<2.

(3) 由函数存在可知f (x) +p>0有解, 解得p>5/12, 故实数p的取值范围为 (5/12, 17/12) .

专题三函数与导数（7）篇11

1. 若函数[f（x）=x3+x2+mx+1]是R上的单调递增函数，则实数[m]的取值范围是（）

A. [（13，+∞）] B. [（-∞，13）]

C. [[13，+∞）] D. [（-∞，13]]

2. 已知函数[f（x）=x3-px2-qx]的图象与[x]轴切于（1，0）点，则[f（x）]的极大值、极小值分别为（）

A. [427，0] B. [0，427]

C. [-427，0] D. [0，-427]

3. 已知函数[y=f（x）]，[y=g（x）]的导函数的图象如图，那么[y=f（x），y=g（x）]的图象可能是（）

4. 设曲线[y=x2+1]上任一点[（x，y）]处的切线的斜率为[g（x）]，则函数[y=g（x）cosx]的部分图象可以为（）

5. 已知曲线[y=x24-3lnx]的一条切线的斜率为[-12]，则切点的横坐标为（）

A. 3 B. 2 C. 1 D. [12]

6. 定义在R上的函数[f（x）]满足[f（4）=1，f ′（x）]为[f（x）]的导函数，已知函数[y=f ′（x）]的图象如下图所示，若两正数[a，b]满足，[f（2a+b）<1]，则[b+2a+2]的取值范围是（）

A. [（12，3）]

B. [（-∞，12）∪（3，+∞）]

C. [（13，12）]

D. [（-∞，-3）]

7. [f（x）]是定义在[（0，+∞）]上的非负可导函数，且满足[xf ′（x）+f（x）≤0]. 对任意正数[a，b]，若[a

A. [af（b）≤bf（a）] B. [bf（a）≤af（b）]

C. [af（a）≤f（b）] D. [bf（b）≤f（a）]

8. 已知函数[f（x）]的定义域为R，[f ′（x）]为其导函数，函数[y=f ′（x）]的图象如图所示，且[f（-2）=1]，[f（3）=1]，则不等式[f（x2-6）>1]的解集为（）

A. [（-3，-2）∪（2，3）]

B. [（-2，2）]

C. [（-∞，-2）∪（2，+∞）]

D. [（2，3）]

9. 函数[y=2x3-3x2-12x+5]在[-2，1]上的最大值、最小值分别是（）

A. 24，-8 B. 1，-8

C. 24，-15 D. 5，-16

10. 已知R上可导函数[f（x）]的图象如图所示，则不等式[（x2-2x-3）f ′（x）>0]的解集为（）

A. [（-∞，-2）∪（1，+∞）]

B. [（-∞，-2）∪（1，2）]

C. [（-∞，-1）∪（-1，0）∪（2，+∞ ）]

D. [（-∞，-1）∪（-1，1）∪（3，+∞）]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 函数[y=f（x）]的定义域为[（a，b），y=f ′（x）]在[（a，b）]上的图象如图，则[y=f（x）]在区间[（a，b）]上极大值的个数为 .

12. 已知函数[f（x）=ln（1+x）-ax]的图象在[x=1]处的切线与直线[x+2y-1=0]平行，则实数[a]的值为 .

13. 设[P]为曲线[C：y=x2-x+1]上一点，曲线[C]在点[P]处的切线的斜率的范围是[-1，3]，则点[P]纵坐标的取值范围是 .

14. 已知函数[f（x）=-x3+ax2+bx+c]在[（-∞，0）]上是减函数，在（0，1）上是增函数，函数[f（x）]在R上有三个零点，且1是其中的一个零点.

（1）[b]的值为；

（2）[f（2）]的取值范围是 .

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 已知函数[f（x）=6lnx（x>0）]和[g（x）=ax2][+8x-b（a，b]为常数）的图象在[x=3]处有公切线.

（1）求实数[a]的值；

（2）求函数[F（x）=f（x）-g（x）]的极大值和极小值；

（3）关于[x]的方程[f（x）=g（x）]有几个不同的实数解？

16. 已知函数[f（x）=4x3+ax2+bx+5]的图象在[x=1]处的切线方程为[y=-12x].

（1）求函数[f（x）]的解析式；

（2）求函数[f（x）]在[-3，1]上的最值.

17. 设[x=1]与[x=2]是函数[f（x）=alnx+bx2][+x]的两个极值点.

（1）试确定常数[a]和[b]的值；

（2）试判断[x=1，x=2]是函数[f（x）]的极大值点还是极小值点，并说明理由.

18. 已知函数[f（x）=ax3+bx2-3x（a，b∈R）]在点[（1，f（1））]处的切线方程为[y+2=0].

（1）求函数[f（x）]的解析式；

（2）若对于区间[-2，2]上任意两个自变量的值[x1]，[x2]，都有[|f（x1）-f（x2）|≤c]，求实数[c]的最小值；

（3）若过点[M（2，m）（m≠2）]可作曲线[y=f（x）]的三条切线，求实数[m]的取值范围.

函数问题处理的“利剑”—导数篇12

关键词：函数,性质,性质,工具

一、利用导数求函数的解析式

用解析式表示函数关系,便于研究函数的性质,而利用导数求函数的解析式,函数的一些基本性质就会显得更加的明了.

例1设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点,且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0,若函数在x=2处取得极值0,试确定函数的解析式.

二、利用导数求函数的值域

分析:先确定函数的定义域,然后根据定义域判断f'(x)的正负,进而求出函数f(x)的值域.

三、利用导数求函数的单调区间

函数的单调性是函数的一个重要性质,是研究函数时经常要注意的一个性质.函数的单调性与函数的导数密切相关,运用导数知识来讨论函数单调性时,结合导数的几何意义,只需考虑f'(x)的正负即可,当f'(x)>0时,f(x)单调递增;当f'(x)<0时,f(x)单调递减.此方法简单快捷而且适用面广.

例3求f(x)=x3+3/x的单调区间.

分析:应先确定函数f(x)的定义域,再利用导数讨论其单调区间.

四、利用导数求函数的最(极)值

求函数的最(极)值是高中数学的重点,也是难点,是高考经常要考查的内容之一,它涉及到了函数知识的很多方面,用导数解决这类问题可以使解题过程简化,步骤清晰,也容易掌握,从而进一步明确了函数的性态.一般地,函数f(x)在闭区间[a,b]上可导,则f(x)在[a,b]上的最值求法:(1)求函数f(x)在(a,b)上的极值点;(2)计算f(x)在极值点和端点的函数值;(3)比较f(x)在极值点和端点的函数值,最大的是最大值,最小的是最小值.

例4求函数f(x)=x3-3x在[-3,3/2]上的最大值和最小值.

分析:先求出f(x)的极值点,然后比较极值点与区间端点的函数值,即可得该函数在区间[-3,3/2]上的最大值和最小值.

【导数与函数】推荐阅读：

函数的导数11-21

导数与垄断10-03