高等数学考研大总结之四导数与微分

2024-11-26

高等数学考研大总结之四导数与微分（精选2篇）

高等数学考研大总结之四导数与微分篇1

第四章

导数与微分第一讲

导数一，导数的定义：

1函数在某一点x0处的导数：设yfx 在某个Ux0,内有定义,如果极限limfx0xfx0fx0xfx0(其中称为函数fx在(x0,x0+x)上的平均xxx0变化率(或差商)称此极限值为函数fx在x0处的变化率)存在则称函数fx在x0点可导.并称该极限值为fx在x0点的导数记为f/x0,若记xxx0,yfxfx0则fxfx0ylim/xx0=fx0=x

xx0x0lim解析：⑴导数的实质是两个无穷小的比。即：函数相对于自变量变化快慢的程度,其绝对值越大,则函数在该点附近变化的速度越快。

⑵导数就是平均变化率(或差商)的极限,常用记法: f/x0,y/xx0,dydxxx0。

⑶函数fx在某一点x0处的导数是研究函数fx在点x0处函数的性质。

⑷导数定义给出了求函数fx在点x0处的导数的具体方法,即：①对于点x0处的自变量增量x,求出函数的增量（差分）y=fx0xfx0②求函数增量y与自变量增

yylim量x之比③求极限x若存在,则极限值就是函数fx在点x0处的导数,若极限不xx0存在,则称函数fx在x0处不可导。

⑸在求极限的过程中, x0是常数, x是变量, 求出的极限值一般依赖于x0

⑹导数是由极限定义的但两者仍有不同，我们称当极限值为时通常叫做极限不存在，而导数则不同，因其具有实在的几何意义，故当在某点处左，右导数存在且为同一个广义实数值时我们称函数在某点可导。实质是给导数的定义做了一个推广。

⑺注意: 若函数fx在点x0处无定义,则函数在x0点处必无导数,但若函数在点x0处有定义,则函数在点x0处未必可导。单侧导数：设函数fx在某个x0,x0（或x0,x0）有定义，并且极限

第1页 limfx0xfx0fx0xfxlim（或）存在，则称其极限值为fx在x0点xxx0x0/的左（右）导数，记为：f统称为单侧导数。

。左导数和右导数x00或f/x0（或f/x00,f/x0）函数在某一点处有导数的充要条件：左导数和右导数存在且相等。函数在某一区间上的导数：⑴在a,b内可导：如果函数fx在开区间a,b内每一点都可导，则说fx在a,b内可导（描述性）。⑵在a,b内可导：如果函数fx在a,b内可导且f/a,f/b存在则说函数fx在a,b上可导。导函数：如果函数fx在区间I上可导，则对于任意一个xI都对应着唯一一个（极

x，这样就构成了一个新的函数，称为函数yfx的导dydfx//函数。记为：fx或或或y，由此可知函数fx某一点x处的导数实质是在限的唯一性）确定的导数值f/dxdx0点x0处的导函数值。解析：（1）区别f//而fx0x0与fx0/：f/x0表示函数fx在点x0处的导函数值，表示对函数值fx0这个常数求导，其结果为零。

（2）与在某一区间可导的关系：在某一区间可导就是在该区间上存在导函数。可导与连续的关系：可导必连续，但连续不一定可导。二，导数的几何意义：当y=fx表示一条曲线时,则f/x表示曲线在x,y点的切线的斜率，f/x的正和负分

/别表示曲线在该点是上升还是下降.fx的大小则表示曲线在该点的邻域内起伏的程度，f/f/x越小说明曲线在该点的邻域内近似水平,反之

x越大说明曲线在该点的邻域内越陡,起伏明显。

解析：⑴用曲线上某点和增量点连线的割线的斜率的极限来表达曲线在某点的斜率。

⑵过曲线y=fx上的点(x0,y0)的方程:①切线方程y-y0=f②法线方程: y-y0=/x0(x-x0).1xx0(f/fx0/x0≠0)

⑶如果点P(A,B)在曲线y=fx外,那么过P点与曲线相切的切线有两条。

第2页 ⑷若f/x0=说明函数fx的曲线在点x0处的切线与

x轴垂直。若f/x0=0则说明fx的曲线在点x0处的切线与x轴平行。

三，导数的四则运算

如果函数uux及vvx都在点x具有导数,那么其和差积商(除分母为零的点外)都在点x具有导数。

⑴uxvxu/xv/x /⑵uxvxu/xvxuxv/x

kuxku/x //kkv/xuxuxvxuxvx⑶vx0

2vx0 2vxvxvxvx////解析：和差积可推广为有限项即：⑴u1xu2xunx/u1/xu2/xun/x

⑵u1xu2xunx/ux u1xu2xunxkukxk1n//四，几类函数的求导法则

1反函数的求导法则：如果函数xfy在区间Iy内单调且fy=f1y0则它的反函数

1f/x在区间Ixxxfy,yIy内也可导，且f1x/y或

dy1即：dxdxdyｙ是ｘ的函数反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

解析：⑴f/y0且xfy在点y处连续。

/⑵反函数求导法则的几何意义：由于fx是函数fx的曲线上点x处的切线与x轴正向夹角的正切。而反函数xfy与y=fx在同一坐标系中有相同的曲线，只不过反函数xfy的自变量是y所以导数f/y就是y=fx曲线上x的对应点y处

/的同一条切线与y轴正向夹角的正切，因此：fy1f/x即：tan1（，tan之和为）22 复合函数的求导法则（链式求导）：如果ugx在点x可导，而y=fu在点ugx

第3页可导，则复合函数yfgx在点x可导，且其导数为：dydydudyf/ug/x或。dxdudxdx解析：⑴复合函数整体在某点是否可导与ugx和gx在某点是否可导无关。

⑵逐层分解为简单函数在求导，不重，不漏。隐函数求导法则：对方程Fx,y0所确定的隐函数求导，要把方程Fx,y0的两边分别对x求导即可。在求导过程中应注意y是x的函数，所以在对y或y的函数求导时应理解为复合函数的求导。参数方程求导法则：由参数方程xtt所确定的ｙ与ｘ的函数的导数为：

yt/tfx/。t/dydf/x//t/t/t//t//yx2解析：注意理解y。3/dtdttdxdxdtdt/5 对数求导法则：是求幂指数yfxx型导数的有效方法即：对函数yfxx的两边同时取对数，然后根据对数的性质将作为指数的函数x化为与lnfx相乘的一个因子，再利用上述方法求导。两个结论：⑴可微分的周期函数其导数仍为具有相同周期的周期函数。

⑵可微分的偶函数的导函数为奇函数，而可微分的奇函数的导函数为偶函数。这个事实说明：凡对称于y轴的图形其对称点的切线也关于y轴对称。凡关于原点对称的图形，其对称点的切线互相平行。五，常见函数的一阶导数 ⑴c0（ｃ为常数）⑵xa⑹lnx///axa1⑶ax/lnaax⑷ex/xex⑸loga/1 xlna11///2⑺sinxcosx⑻cosxsinx⑼tanxsecx xcos2x1///2⑽cotxcscx⑾⑿secxsecxtanxcscxcscxcotx

sin2x⒀arcsinx//11x2⒁arccosx/11x2⒂arctanx/1 21x⒃arccotx/211///2thxsechx⒄⒅⒆ shxchxchxshx1x2ch2x1/arcshx（21）sh2x⒇cthxcschx1x12（22）archx/1x12

第4页（23）arcthx/1

1x2六，高阶导数设f/并且f/x也在I上可导，则称fx在I上二阶可导，x是函数fx在I上的导数，//并称fx的导函数是fx在I上二阶导数，记为：f//x或f2x，一般地，设fn1xn2是fx在区间I上的n1阶导函数并且fn1x也在I上可导则称fx在I上ｎ阶可导，并称fn1x的导函数是fx在区间I上的ｎ阶导函数记为：fndnyx当函数由yfx给出时fx的ｎ阶导数也可表示为：y,n,fnx。若在dxnnx0点的ｎ阶导数常记为：fdnydnfxx0,yxx0,nxx0,xxx0。dxdxn解析：⑴规定函数fx的零阶导数为函数fx的本身。

⑵该定义的给出具有数学归纳法的性质，因此在求某一函数的高阶导数时常用数学归纳法。

⑶fx的ｎ阶导数是由fx的n1阶再一阶导而求得，所以其具有逐阶刻画的性质。

⑷高阶导数的常用求法：莱布尼茨(Leibniz)公式：uvnknkk(u,va,b上的ｎ阶连续函数）其展开式为：Cnuvk0n1n1/2n2//unvCnuvCnuvuvn。

七，常见函数的高阶导数 ⑴C⑶axnn0（Ｃ为常数）⑵xanxkxnaa1a2an1xnnkxan

nxlnaa⑷aklnaax⑸ekxknnkxe⑹exe

⑺loga1nn1n1!lnaxn⑻lnxn1n1n1!⑼sinxnsinxn

xn2⑽

nsinkxnknsinkx2设

⑾

ncosxncosx2 ⑿

ncoskxnkncoskx2⒀

yekxgx且

y/aekxgxb则有

第5页 ynanekxgxnb⒁设

yekxgx且

y/kekxgxbc则有ynknekxgxnbnc（⒀，⒁用同一函数的思想求ｂ，ｃ）⒂eeaxsinbxcnnab2n22eaxsinbxcneaxcosbxcn（其

中axcosbxcab2n22sinbab22,cosaab22）

第二讲微分一，微分的定义

设fx在点x0的某个邻域Ux0,中有定义如果存在常数

A使fx0xfx0Axx,x则称函数fx在x0点可微，并称Ax为fx在点x0处的微分，记为：dyxx0,dfxxx0,dfx0其中称Ax为函数增量y的线性主部。

解析：⑴给出了求函数值的改变量的近似计算方法（极限的无穷小判别法），简单地反映了函数增量与自变量增量的关系即：线性关系。这是一种局部线性逼近的思想。

⑵令函数yx则dydx这表明自变量的微分dx就是它的增量x。

⑶导数与微分的关系：函数fx在点ｘ处可微的充要条件是函数在该点可导，并且有dyf/，所以导数称为微商。xdx（一种常见求微分的方法）

/ ⑷ 函数fx的微分是关于x的线性函数，Ax（其中Af导数与x无关。

二，导数与微分几何意义的比较三，微分的四则运算法则

设uux,vvx均可微分则有：⑴duvdudv

x）且函数fx的⑵duvudvvdu

dkukdu（ｋ为常数）⑶duvvduudv 2vkdvkd2（ｋ为常数）

vv四，复合函数一阶微分形式的不变性

设函数yfu，ugx均可导，则复合函数yfgx的导数为yf//gxg/x

第6页故其微分为：dyf上式为：dyf//gxg/xdx注意f/gxf/u，g/xdxdgxdu因此udu，无论ｕ是自变量还是中间变量都保持形式的不变性。

解析：第一类积分换元法（凑微分）的理论基础。五，微分的近似计算及误差估计微分的近似计算：若函数yfx在点x0处可微，则当xxx0很小时，可用微分dy近似代替增量

y即：fxfx0f/x0xx0fxfx0f/x0xx0。

解析：⑴用微分进行近似计算的实质就是在微小局部将给定的函数线性化，将复杂函数简单化，从几何意义角度看就是用曲线yfx在点x0,fx0处的切线来近似代替该曲线（达到化曲为直的目的）。另一种理解就是寻求其等价无穷小量。

⑵用函数微分dyf/①dx不一定是无穷小量但应比较xdx近似计算y时要注意：小。②dx应是一个不依赖于ｘ的增量。

⑶一般利用微分解决四个方面的问题：①计算函数增量y的近似值即：ydyf/xdx②计算函数的近似值即：fxxfxf/xdx③求方程的近似

/解即：faxfafax④按照误差的精度要求进行近似计算。微分在误差估计中的实际应用：设某量的测量值为ａ，精确值为A如果Aa则正数称为测量的绝对误差。

称为测量的相对误差，而在实际应用中相对误差多用来计

aA算。

解析：分清精确值与测量值。六，高阶微分

由于对自变量x来说dx=x与x无关，因此可微函数yfx的微分dyf/xdx仍是x的函数这样若dy还可微，则把它的微分ddydf/xdxf//xdx2叫做函数yfx的二阶微分，并将ddy记作：d2y，把dx2记作：dx2，于是二阶微分为d2yf//xdx2由此可以更一般地若yfx的n1阶微分dn1yfn1xdxn1仍可微，则把它的微分：dyfnn这时称函数yfxxdxn叫做yfx的ｎ阶微分，ｎ阶可微，二阶与二阶以上的微分称为高阶微分。

第7页解析：⑴其描述过程具有数学归纳法的性质，所以求解高阶微分的一般方法为数学归纳法。

⑵高阶微分没有微分形式不变性。第三讲导数的应用

一，函数的单调性：设函数yfx在a,b上连续，在a,b内可导⑴如果在a,b内f/x0那么函数yfx在a,b上单调增加⑵如果在a,b内f/x0那么函数yfx在a,b上单调减少。

解析：⑴区间a,b具有任意性，无论开闭还是有穷，无穷均可。

⑵若在a,b内f/x0则严格单增，若在a,b内f/x0则严格单减。

⑶在该定理中我们研究的是导函数值域的性质，并不是某一点导函数值的性质，而是区间上任意点导函数值的性质。

⑷此定理为充要条件，所以结合定义域可求出某函数的单调增（减）区间，与此同时一定要针对函数的单调区间去谈函数的单调性。

⑸几何意义：由函数yfx的导数f/x的正负来判断曲线的升降，进而判断其单调性。

⑹该定理具有逐层描述的特性，即：二阶导函数的正负决定一阶导函数的增减性，可推广到ｎ阶。二，函数的极值

1函数极值的定义：设函数yfx在点x0的某邻域内有定义，如果对于其去心邻域内的任一ｘ有fxfx0（fxfx0）则称fx0是函数yfx的一个极大值（或极小值）函数的极大值与极小值统称为函数的极值。使函数取得极值的点称为极值点。解析：⑴在研究函数在点x0处的极值时，一般要求函数是连续函数即：应考察函数在点x0及其附近是否有定义。

⑵极值是一个局部性定义，它只与一点及其附近的函数值有关，而与整个定义域或定义域内某个区间上的一切函数值无关，因此对于同一个函数来说在一点的极大值也可能小于另一点的极小值。在一个区间内可能取得多个极值。（极值与最值的区别）

⑶极值点处函数曲线的切线平行于ｘ轴，即：导数为0，但导数为0的点（或称稳定点，临界点，驻点）不一定是极值点。换句话说，费马(Fermat)引理只是可导函数极值的必要条件。

⑷函数极值与方程根的个数有一定的关系。常用两种极值的判别法（两个充分条件）：⑴第一判别法：设函数fx在x0连续在U0x0,上可导①若当xx0,x0时f/x0，当xx0,x0时f/x0则fx在x0取得极大值②若当xx0,x0时f/x0，当xx0,x0时

第8页 f/x0则fx在x0取得极小值。

解析：⑴反映了单调性与极值的关系。

⑵按此法求极值的步骤：①确定函数fx的定义域。②求函数fx的导数f③令f//x。x0求出函数fx的所有驻点和不可导点。④检查f/x在各驻点附近左右的值的符号，如果左正右负则fx在这个驻点取得极大值，如果左负右正则fx在这个驻点取得极小值，如果左右同号，那么函数fx在这个驻点不取得极值。⑤求出函数在所有极值点的函数值就得到函数fx的各极值。

⑵第二判别法：设函数fx在x0处具有二阶导数且f/x00,f//x00那么①当f//x00时函数fx在x0处取得极大值②当f//x00时函数fx在x0处取得极小值。

解析：⑴其与函数的凸凹性是统一的。

⑵有时多用第一，二判别法综合起来使用。

⑶按此法求极值的步骤：①确定函数fx的定义域且函数fx在定义域内有二阶导数②求函数fx的一阶导数和二阶导数③令f/x0求出函数fx的所有驻点和不可导点④计算各驻点（有不可导点时用列表法）的二阶导数值，若二阶导数值为正则函数在该．．点取得极小值，若二阶导数值为负则函数在该点取得极大值。若二阶导数值为0则此法失效。⑤求出函数在所有极值点的函数值就得到函数fx的各极值。

⑶定理推广：若函数fx在Ux0,上至少存在n2阶导数且f/x0f//x0fn1x00而fnx00则⑴ｎ为奇数则函数fx在x0不取得极值。⑵ｎ为偶数fnx00则函数fx在x0取得极大值；ｎ为偶数fnx00则fx在x0取得极小值。

解析：上述等式可用高阶泰勒(Taylor)公式证明。三，函数的最值

1函数的最值与极值的区别与联系：⑴从研究范围看函数的极值是局部性的，它只与某一点及其附近的函数值有关，因此对于整个区间来说可能存在多个极值而函数的最值则不然，它与闭区间a,b上的任意一点的函数值有关是对整个区间来说的，因此是唯一的。⑵最值与极值没有必然的联系即：如果在区间a,b内部取得函数的最值，它不一定是极值。同理取

第9页得函数的极值，它不一定是最值。并且最大值不一定比极小值大。⑶求函数在某点的极值时仅把该点的函数值与该点附近的左右函数值相比较，而求函数在闭区间a,b上的最值时，需要与开区间a,b内的所有函数值比较并且还要与端点处的函数值比较。2 求闭区间a,b上函数最值的步骤：⑴求函数fx的导数f/x。⑵令f/x0求出函数fx在开区间a,b内的所有驻点和不可导点。⑶求出开区间a,b内的所有可能的极值（包括驻点和不可导点处的值）和区间端点的函数值fa,fb。⑷比较上述所有函数值，选出最大者为函数fx在a,b上的最大值，最小者为函数fx在a,b上的最小值。3 最值在实际问题（最优化问题）中的应用：⑴分析实际问题中各量之间的关系，把实际问题转化为数学问题，即：列出函数关系式yfx。⑵确定ｘ和ｙ的变化范围，并求出ｘ变化范围内的各驻点及不可导点。⑶求出ｘ变化范围的端点函数值。⑷比较函数各驻点及不可导点处的函数值和端点函数值，根据实际意义确定函数的最值。⑸在实际问题中由f/x0常常仅解到一个驻点，若能判断函数的最值，在ｘ的变化区间内部得到驻点处的函数值就是所求的最值。四，函数的凸凹性与拐点函数的凸凹性：设函数fx在区间上有定义，如果对任意的x1,x2I且x1x2及任意实数0,1总有fx11x2fx11fx2则称函数fx是I上的下凸函数，简称凸函数。若总有fx11x2fx11fx2则称函数fx是I上的下凹函数，简称凹函数。若不等式是严格不等式则称函数fx在I上是严格凸函数或凹函数。

解析：⑴凸凹性是相对方向性定义，随所选方向的不同而不同。

⑵实际上，在研究凸凹性时就是在相同的横坐标下，曲线上相异两点连线的纵坐标与相应曲线纵坐标的比较。为了研究的方便常取1，这时其定义为：设函数fx在区间2上有定义，如果对任意的x1,x2I且x1x2，若有fx1x2fx1fx2为该区22间上的下凸函数；若有fx1x2fx1fx2为该区间上的下凹函数。22 ⑶琴生(Jensen)不等式：设函数fx是区间上的下凸函数，则对于任意的第10页

xx2xnx1,x2,x3xnI有不等式f1n函数

fx1fx2fxn成立，反之若n函

数，那

么

有

不

等

式fx是区间上的下凹xx2xnfx1fx2fxn对于上述两式当且仅当x1x2xnf1nn时取等号。

解析：此不等式是一些重要不等式的基础例如：①三角形不等式：2xi2yi2xiyii1i1i1rn12n12n12（riN*）②幂平均不等式：1nr1nr1n1nakakr1；akak1r③调和，几何，算术平均值不nk1nk1nk1nk11nn等式：aaaRiiin1ni1i1i1ainn④柯西(Cauchy)不等式：n22xyxyiiiixi,yi0 i1i1⑵凸，凹函数的几何解释：严格下凸函数的图象在任意一点处切线的上方，严格下凹函数的图象在任意一点处切线的下方。函数凸凹性的判断：设函数yfx在a,b上连续，在a,b内具有一阶和二阶导数，那么⑴若在a,b内f//n2x0则fx在a,b上的图形是严格下凸的。⑵若在a,b内f//x0则fx在a,b上的图形是严格下凹的。

解析：由于二阶导数可以用来刻画一阶导数的性质，故得到两点结论：⑴fx在a,b上连续在a,b内可导，若有对于任意的x0a,b使得有：fxfx0f/x0xx0ax0b成立则称fx为a,b上的下凸函数，若有对于任意的x0a,b使得有：fxfx0f/x0xx0ax0b成立则称fx为a,b上的下凹函数。⑵反映了过曲线上任意一点切线斜率的变化趋势。拐点：使连续曲线yfx在经过点x0,fx0时其凸凹性发生改变的点x0,fx0称为曲线的拐点。

第11页解析：⑴拐点的性质：若函数fx在Ux0,上存在二阶导数且点x0,fx0是函数yfx的拐点那么f//x00。

⑵求函数拐点的步骤：①求f//x②令f//x0解出这个方程在区间Ｉ内的实根并求出在区间Ｉ内二阶导数不存在的点③判断符号：对②中所求的的每一个实根或二阶不可导的点，根据f//x进行左右邻近两侧的符号判断若两侧异号则是拐点，同号则不是拐点。

五，函数凸凹性（拐点）与单调性（极值）的比较对于连续函数我们通常用一阶导数确定单调性，而用二阶导数来确定凸凹性。根据一阶导数在某点邻近两侧单调性的不同从而确定其点为极值点，而根据二阶导数在某点邻近两侧凸凹性的不同从而确定其点为拐点。但二者统一于二阶导数，当二阶导数大于0时函数是下凸函数取得极小值；当二阶导数小于0时函数是下凹函数取得极大值。（如果存在极值的话）六，曲线的渐近线定义：设曲线fx上的动点P沿曲线无限的远离原点时，点P与某一直线L之间的距离趋于0，则称直线L是曲线fx的渐近线。（体现了数学的辩证法思想）分类：⑴垂（铅）直渐近线：若

limfxxx0（或当xx0）则xx0是曲线,xx0fx的垂（铅）直渐近线。

解析：确定x0点是关键，一般采用罗比塔(L’Hospital)法则或求其反函数且当x解出ｙ，ｙ即为x0。

⑵水平渐近线：若

limfxb则yb就是曲线fx的水平渐近线。

xfx ⑶斜渐近线：设曲线fx有斜渐近线ykxb那么ｋ=x，ｂ

xlim=limfxkx x解析：判断一个函数的渐近线时一般采取水平，垂直，斜渐近线的顺序依次验证。七，函数图象的描绘 ⑴确定函数的定义域。

⑵讨论函数的奇偶性，周期性。

⑶确定函数的某些特殊点（如与坐标轴的交点）。⑷确定函数的单调区间，极值点，凸凹区间及拐点。

⑸求出渐近线（也可能不存在）列表综合上述各情况描绘函数图象。

第12页八，弧微分与曲率弧微分：在L上取定一点A，作为度量弧长的基点，并规定x增大的方向为L的正向，L设Mx,y为上任意一点，并规定有向弧段AM的长为Ｓ，则Ｓ是Ｍ的横坐标x的函数，即：SSx而且Sx是x的单增函数，我们称弧长函数Sx的微分ds为弧微分，下面是三种形式弧微分计算公式：⑴普通方程：ds1ydx⑵参数方程：

/2ds/t/tdt⑶极坐标方程：dsr2r/d。

222解析：实际与积分的求弧长是统一的。

2 曲率：⑴平均曲率：若记曲线弧AM的弧长为s切线转角为则称k为曲线弧

s的平均曲率。

s0AMAM ⑵曲率：当（即：）时如果的平均曲率k的极限

slimlimdk存在，则称此极限的绝对值为曲线在点Ｍ处的曲率，记为：=。ssdss0s0解析：⑴曲率反映了曲线的弯曲程度，曲率是平均曲率的精确化，其描述曲线上每一点的弯曲程度（与导数定义的比较）

⑵曲率的计算：①普通方程：ky//1y3/22②参数方程：k/t//t//t/t/2t/2t32。曲率圆与曲率半径：设曲线yfx在点Ｍ的曲率为kk0 过Ｍ点作曲线的切线，1，以C为圆心，以为半径作圆，则k称此圆为曲线在点Ｍ处的曲率圆，C称为曲率圆的中心，称为曲率半径。并在曲线凹向一侧的法线上取一点C使MC解析：⑴在点Ｍ处，曲线与曲率圆具有关系：有共同的函数值，有共同的曲率，有共同的一，二阶导数，有共同的切线，即曲率圆与曲线在Ｍ点相切（转化的思想）。

⑵曲率半径与曲率互为倒数，所以曲率半径R1yy//32/2。

⑶曲率中心的计算：设其中心坐标为o,曲线的对应点为Mx,y，则

第13页 2y/1y/xy// /21yyy// ⑷曲率圆方程由xyR2确定。

22曲线的渐屈线与渐伸线：当点x,fx沿曲线C移动时，相应的曲率中心O的轨迹曲线G称为曲线C的渐屈线，而曲线C称为曲线G的渐伸线。所以渐屈线的参数方程为2y/1y/xy////////其中yfx，yfx，yfx，ｘ为参数，直角坐标系21y/yy//o与xoy重合（有时须坐标平移）。

九，方程近似解的计算

在上一章中，我们介绍了二分法（根本思想）求方程近似解，下面结合本章我们再介绍两种求解方法：弦位法：⑴定义：过曲线上A，B两点作弦，则弦AB必与X轴有交点x1，我们就可把x1作为x0的一个近似值，为了达到规定的精度，我们还可以在a,x1内作弦AB1，用弦AB1与X轴的交点x2作为x0的第二个近似值。显然x2较x1更接近x0，如此依次作下去，我们就可以达到符合任意精度的x0的近似值，这种方法称为弦位法。其思想核心是用直线段弦与X轴的交点横坐标逼近的方法近似表示曲线与X轴交点的横坐标x0。

⑵具体操作过程：在曲线上截取较短区间a,b，使a,b存在实根x0，这时连接两端点Aa,fa,Bb,fb成弦AB，再求出AB与X轴的交点x1（且x1abafa）并根据具体的情况（单调性，凸凹性）选择a,x1或x1,b之fbfa间选取一点Cc,fc再连AC或BC，如此依次作下去，直到达到规定的精度。2 切线法：⑴定义：过曲线fx上与f//x同号的那个端点作切线，则这切线与ｘ轴的交

/点的横坐标x1就可作为x0的一个近似值，为了达到预定的精度，还可以在x1,b内，过A

第14页点再作切线，并把这切线与ｘ轴的交点的横坐标x2作为x0的第二个近似值。显然x2较x1更接近x0，如此做下去，就可以得到符合任何精度的x0的近似值，这种方法称为切线法。其思想核心是用切线与ｘ轴交点的横坐标近似表示曲线与ｘ轴交点的横坐标x0。应该注意的是，用切线法求近似值时必须在纵坐标与f//x同号的那个端点作切线，如果把切线与f//x异号的那个端点，就不能保证切线与ｘ轴交点的横坐标x1比较接近于x0。另外，在实际计算中，常将弦位法与切线法综合应用，以求较快地得到符合规定精度的方程的近似解。⑵具体操作过程：我们只在纵坐标与f//x同号的端点作切线，不妨设fa与f//x同号于是，区间a,b的左端点对应点a,fa作切线，并求其切线与ｘ轴的交点x1（x1=afa），并在x1,b内取一点x2，再作切线，如此做下去直至达到规定的精度。

f/a3 弦位法与切线法的比较：应用切线法求得同样精度的近似值要比弦位法快一些。

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