高等数学(上册)教案05 函数的连续性与间断点

高等数学(上册)教案05 函数的连续性与间断点

高等数学(上册)教案05 函数的连续性与间断点 篇1

第1章 函数、极限与连续

函数的连续性与间断点

【教学目的】：

1.理解函数在一点连续的概念； 2.会求简单函数的间断点；

【教学重点】：

1.函数连续、间断的概念；

2.函数在一点处连续的判定方法； 3.函数间断点的分类；

【教学难点】：

1.函数在一点处连续的判定方法； 2.分段函数分段点处的连续性判断； 3.函数间断点的分类。

【教学时数】：2学时 【教学过程】：

1.4.1函数的连续性的概念

1、函数的增量

2、函数的连续性

定义1 设函数yf(x)在点x0及其附近有定义，且limy0，则称函数

x0f(x)在点x0连续，x0称为函数yf(x)的连续点．

连续的另一等价定义是：

定义2 设函数yfx在点x0及其附近有定义，如果函数fx当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值fx0，即limfxfx0，那么就称函数yfx在点x0连续.注意：由定义知函数f(x)在x0处连续要limfxfx0成立，则必须同时

xx0xx0满足以下三个条件

(1)函数f(x)在x0处有定义；

(2)极限limf(x)存在；

xx0(3)极限值等于函数值，即limf(x)f(x0)．

xx0定义3 如果函数yf(x)在x0处及其左邻域内有定义，且limf(x)=f(x0)，xx0则称函数yf(x)在x0处左连续．如果函数yf(x)在x0处及其右邻域内有定义，且limf(x)f(x0)，则称函数yf(x)在x0处右连续．

xx0yf(x)在x0处连续  yf(x)在x0处既左连续且右连续．

x1x0例5 讨论函数f(x)0x0 在点x0处的连续性.x1x0解 函数定义域为(,)，x0limf(x)=lim(x1)1，limf(x)lim(x1)1，x0x0x0由于左极限与右极限虽然都存在但不相等，所以limf(x)不存在，函数f(x)在点

x0x0处不连续.定义4 若函数f(x)在开区间(a,b)内任何一点处都连续，则称函数f(x)在开区间(a,b)内连续；若函数f(x)在开区间(a,b)内连续，且在左端点a处右连续，在右端点b处左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.可以证明，基本初等函数以及常数函数在其定义区间内都是连续的．

3、函数的间断点

如果函数yf(x)在点x0处不连续，则称f(x)在x0处间断，并称x0为f(x)的间断点．

设x0是f(x)的间断点，若f(x)在x0点的左、右极限都存在，则称x0为f(x)的第一类间断点；其他的间断点都称为第二类间断点．

在第一类间断点中，如果左、右极限存在但不相等，这种间断点又称为跳跃间断点；如果左、右极限存在且相等(即极限存在)，但函数在该点没有定义，或者虽然函数在该点有定义，但函数值不等于极限值，这种间断点又称为可去间断点．在第二类间断点中左、右极限至少有一个为无穷大的间断点称为无穷间断点.【教学小节】：

通过本节的学习，理解函数连续的一系列概念，并掌握判断函数连续的方法，学会判断函数的间断点并分类。

【课后作业】：

无