高等数学中的极限教学

高等数学中的极限教学（共9篇）

高等数学中的极限教学 篇1

极限理论就是人们认识无限变化的伟大思想，这种思想和方法的运用，扩大了人们的思维空间。同时极限也是微积分中最基本、最重要的概念，它从数量上描述变量在无限变化过程中的变化趋势，是构成微积分的基础。微积分中的许多概念，如连续、导数、定积分等都建立在极限的基础上。那么如何在高等数学教学中渗透极限这一伟大思想呢?我认为，向学生系统介绍极限的产生渊源、发展过程、极限中的辩证思想、极限思想在微积分中的作用是十分必要的。

1. 极限理论的产生

极限的思想和方法是社会实践的产物，其萌芽可以追溯到古代。在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏朴素的极限思想，如用无限趋近概念计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。在中国，公元前5世纪，战国时期的《庄子·天下篇》中就有一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这是我国较早出现的极限思想，而这正是数列的极限内涵。又如公元3世纪, 我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术时创立了有名的“割圆术”。他的极限思想是“割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆合体而无所失”。他第一个创造性地将极限思想应用到数学领域, 这种无限接近的思想就是后来建立极限概念的基础。刘徽首先考虑圆内接正六边形面积, 接着是正十二边形面积, 然后依次加倍边数, 则正多边形面积愈来愈接近圆面积。按照这种思想, 他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积, 得到圆周率的近似值3.14, 之后又算到内接正3072边形时得到π≈39271250≈3.1416, 这在当时是非常了不起了。再如古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想。

2. 极限理论的发展

极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相连的。微积分思想，源自古希腊人的穷竭法。古希腊最接近积分的是阿基米得于公元前225年求抛物线弓形面积的方法，他在抛物线弓形与其内接最大的三角形的每一个空间中又内接一个新的三角形，这个三角形与剩余空间同底同高，这样无限进行下去，最后的三角形就非常小了，他的方法实际上也是无穷级数求和最早的例子。

到了16世纪以后，欧洲处于资本主义的萌芽时期，生产力得到极大发展。生产和科学技术中存在大量的变量问题，如曲线切线问题、最值问题、力学中速度问题、变力做功问题等，初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想、新的数学方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。

牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，给出了数列极限的描述性定义：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限。”

之后，维尔斯特拉斯为了排除极限概念中的直观痕迹，建立的ε-N语言，给微积分提供了严格的理论基础。所谓an以A为极限，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε恒成立。”

这个定义，借助不等式，通过和之间的关系，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，可以作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中被广泛使用。

3. 极限中的辩证思想

极限思想是一种重要的数学思想，它蕴涵着丰富的辩证思想，反映了数学发展的辩证规律，即极限思想是过程与结果、有限与无限、近似与精确的对立统一。

在极限思想中充分体现了结果与过程的对立统一。比如，当n趋于无穷大时，数列的极限为0。一方面，数列中任何一项无论n多大都不是0，体现了过程与结果的对立性。另一方面，随着n无限增大，其项越来越靠近0，经过极限可转化为0，体现了过程与结果的统一性。所以极限思想是过程与结果的对立统一。

有限与无限常常表现为不可调和性。例如，把有限情形的法则原封不动地扩展到无限的情形常常会发生矛盾。但这并不意味着在极限的观念里有限与无限是格格不入的，相反极限思想是有限与无限的对立统一。

近似与精确是对立统一关系，两者在一定条件下也可相互转化，这种转化是数学应用于实际计算的重要诀窍。数学中的“部分和”、“平均速度”、“圆内接正多边形面积”，分别是相应的“无穷级数和”、“瞬时速度”、“圆面积”的近似值，取极限后就可得到相应的精确值。这都是借助于极限的思想方法，从近似来认识精确的。这反映了极限思想是近似与精确的对立统一。

又如曲线形与直线形有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：“直线和曲线在微分中终于等同起来了。”善于利用这种对立统一关系是处理数学问题的重要手段之一。我们就是从直线形来认识曲线形的。

4. 极限理论在微积分中的作用

极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说在数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。例如微积分中许多概念都把极限作为描述不同特性的重要工具，例如函数(x)在x0点连续的定义、函数f (x)在x0点导数的定义、函数f (x)在[a, b]上的定积分的定义、数项级数的敛散性、广义积分的敛散性等，都是用极限来定义的，可以说这些概念确定了微积分学的框架。

极限思想方法是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是数学分析与初等数学的本质区别之处。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题(例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体体积等问题)，正是由于它包含了极限的思想方法。

参考文献

[1]吴振英.论极限的思想方法[J].广州大学学报 (自然科学版) , 2003, 10.

[2]梁宗巨.世界数学史简编[M].沈阳:辽宁人民出版社, 1980.

[3]郭书春.中国古代数学[M].商务印书馆, 2004.

高等数学中的极限教学 篇2

(2009-06-02 22:29:52)转载▼ 标签： 分类： 数学问题解答

杂谈 知识/探索

【摘 要】《高等数学》教学中对于极限部分的要求很高，这主要是因为其特殊的地位决定的。然而极限部分绝大部分的运算令很多从中学进入高校的学生感到困窘。本文立足教材的基本概念阐述，着重介绍极限运算过程中极具技巧的解决思路。希望以此文能对学习者有所帮助。【关键词】高等数学 极限 技巧

《高等数学》极限运算技巧

《高等数学》的极限与连续是前几章的内容，对于刚入高校的学生而言是入门部分的重要环节。是“初等数学”向“高等数学”的起步阶段。

一，极限的概念

从概念上来讲的话，我们首先要掌握逼近的思想，所谓极限就是当函数的变量具有某种变化趋势（这种变化趋势是具有唯一性），那么函数的应变量同时具有一种趋势，而且这种趋势是与自变量的变化具有对应性。通俗的来讲，函数值因为函数变量的变化而无限逼近某一定值，我们就将这一定值称为该函数在变量产生这种变化时的极限！

从数学式子上来讲，逼近是指函数的变化，表示为。这个问题不再赘述，大家可以参考教科书上的介绍。

二，极限的运算技巧

我在上课时，为了让学生好好参照我的结论，我夸过这样一个海口，我说，只要你认真的记住这些内容，高数部分所要求的极限内容基本可以全部解决。现在想来这不是什么海口，数学再难也是基本的内容，基本的方法，关键是技巧性。我记得blog中我做过一道极限题，当时有网友惊呼说太讨巧了！其实不是讨巧，是有规律可循的！今天我写的内容希望可以对大家的学习有帮助!我们看到一道数学题的时候，首先是审题，做极限题，首先是看它的基本形式，是属于什么形式采用什么方法。这基本上时可以直接套用的。1，连续函数的极限

这个我不细说，两句话，首先看是不是连续函数，是连续函数的直接带入自变量。2，不定型

我相信所有学习者都很清楚不定型的重要性，确实。那么下面详细说明一些注意点以及技巧。

第一，所有的含有无穷小的，首先要想到等价无穷小代换，因为这是最能简化运算的。等价代换的公式主要有六个：

需要注意的是等价物穷小代换是有适用条件的，即：在含有加减运算的式子中不能直接代换，在部分式子的乘除因子也不能直接代换，那么如果一般方法解决不了问题的话，必须要等价代换的时候，必须拆项运算，不过，需要说明，拆项的时候要小心，必须要保证拆开的每一项极限都存在。此外等价无穷小代换的使用，可以变通一些其他形式，比如：

等等。特别强调在运算的之前，检验形式，是无穷小的形式才能等价代换。

当然在一些无穷大的式子中也可以去转化代换，即无穷大的倒数是无穷小。这需要变通的看问题。

在无穷小的运算中，洛必答法则也是一种很重要的方法，但是洛必答法则适用条件比较单一，就是无穷小比无穷小。比较常见的采用洛必答法则的是无穷小乘无穷大的情况。(特别说明无穷小乘无穷大可以改写为无穷小比无穷小或者无穷大比无穷大的形式，这根据做题的需要来进行）。第二，在含有∞的极限式中，一般可分为下面几种情况：（1），“∞/∞ ”形式

如果是幂函数形式的（包含幂函数四则运算形式），可以找高次项，提出高次项，这样其他一切项就都是无穷小了，只有高次项是常数。比如：

，这道题中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他项都是“0”，原来的x都是常数1了。当然如果分式形式中，只有分子中含有高次项，那么该极限式极限不存在（是无穷大），如果只有分母中含有高次项，那么该极限式极限为0，如果分子分母都含有高次项，我们可以直接去看高次项的系数，基本原理其实就是上面所说的提高次项。比如上面的例子，可以直接写1/2。

如果不是纯幂函数形式，无法用提高次项的方法（提高次项是优先使用的方法），使用洛必达也是一种很好的方法。需要强调的是洛必达是一种解决“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的严格限制形式只有这两种，所以比较好观察。但是多数时候我们优先采用其他的方法来解决，这主要是考虑运算量的问题。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接运算，需要转换形式，即转换成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

这道题是转换形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次项解。（3）“ ”形式

这也是需要转换的一种基本形式。因为无穷大与无穷小之间的倒数关系，所以这种转换时比较简单也是比较容易解决的。转换之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

这种形式的解决思路主要有两种。

第一种是极限公式，这种形式也是比较直观的。比如： 这道题的基本接替思路是，检验形式是“式，最后直接套用公式。

第二种是取对数消指数。简单来说，“

”，然后选用公式，再凑出公式的形

”形式指数的存在是我们解题的主要困难。那么我们直接消掉指数就可以采用其他方法来解决了。比如上面那道题用取对数消指数的方法来解，是这样的：

可以看出尽管思路切入点不一样，但是这两种方法有异曲同工之妙。三，极限运算思维的培养

极限运算考察的是一种基本能力，所以在做题或者看书的时候依赖的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使学习事半功倍。而极限思维的培养则是对做题起到指导性的意义。如何培养，一方面要立足概念，另一方面则需要在具体的运算中体会，多做题多总结。

高等数学中的极限计算 篇3

1.利用极限四则运算法则和函数连续性理论计算极限

极限四则运算法则和函数连续性理论是极限计算的基础, 简单的极限计算可利用四则运算法则和函数连续性理论直接求得.

2.恒等变换法

对不满足极限四则运算法则条件的函数, 可通过恒等变换, 使其符合条件后再利用极限四则运算法则求之.主要的变换方法包括分解因式、约分和通分、分子分母有理化、三角变换等.

例1 求极限undefined

undefined

3.运用两个重要极限求极限

两个重要极限:

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例2 求undefined

解undefined,

令undefined,

则undefined

4.利用等价无穷小的替换求极限

例3 求undefined

undefined

undefined

注意 只有对所求极限式中相乘或相除的因式可以用等价无穷小的替换, 而极限式中相加或相减部分不能随意替换.

5.利用洛必达法则求极限

洛必达法则是计算未定式极限的基本方法.undefined和undefined型的未定式可直接利用洛必达法则求极限, 而其他类型的未定式都可设法转化为undefined或undefined型的未定式.

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6.利用麦克劳林公式求极限

例5 求极限undefined

分析 本题若直接用洛必达法则也能计算, 但必须要用六次洛必达法则, 而且导数越求越复杂.用公式就会方便得多.

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7.计算极限的其他方法

(1) 利用无穷小的性质; (2) 夹逼准则; (3) 利用定积分的定义计算极限; (4) 利用级数收敛计算极限; (5) 利用单调有界定理计算极限.

注意对于n项求和的数列极限问题, 一般考虑用夹逼准则或定积分定义计算, 本题应用了夹逼准则.

求极限时, 要根据所求极限表达式的特点选用相应的方法, 对于较复杂的极限要尽量先化简, 常用的化简方法主要有:部分乘积因式的极限为非零常数时立即运用极限乘法法则提出, 等价无穷小的替换.

参考文献

[1]同济大学应用数学系.高等数学.高等教育出版社, 2002.

[2]彭辉.高等数学同步辅导 (同济5版) .新华出版社, 2004.

高等数学说课稿《数列极限》 篇4

袁勋

这次我说课的内容是由盛祥耀主编的《高等数学》（上册）第一章第二节极限概念中的数列极限。这部分内容在课本第18页至20页。

下面我把对本节课的教学目的、过程、方法、工具等方面的简单认识作一个说明。

一、关于教学目的的确定：

众所周知，对极限这个概念的理解是高等数学的学习基础，但由于学生对数列极限概念及其定义的数学语言表述的理解比较困难，这种理解上的困难将影响学生对后继知识的学习，因此，我从知识、能力、情感等方面确定了本次课的教学目标。

1．在知识上，使学生理解极限的概念，能初步利用极限定义确定某些简单的数列极限；

2．在能力上，培养学生观察、分析、概括的能力和在探索问题中的，由静态到动态、由有限到无限的辨证观点。体验‚从具体到抽象，从特殊到一般再到特殊‛的认识过程；

3．在情感上，通过介绍我国古代数学家刘徽的成就，激发学生的民族自尊心和爱国主义思想情感，并使他们对数列极限知识有一个形象化的了解。

二、关于教学过程的设计：

为了达到以上教学目的，根据两节。在具体教学中，根据‚循序渐进原则‛，我把这次课分为三个阶段：‚概念探索阶段‛ ；‚概念建立阶段‛ ；‚概念巩固阶段‛。下面我将对每一阶段教学中计划解决的主要问题和教学步骤作出说明。

（一）‚概念探索阶段‛ 1.这一阶段要解决的主要问题

在这一阶段的教学中，由于注意到学生在开始接触数列极限这个概念时，总是以静止的观点来理解这个描述变化过程的动态概念，总觉得与以前知识相比，接受起来有困难，似乎这个概念是突然产生的，甚至于不明概念所云，故我在这一阶段计划主要解决这样几个问题：

①使学生了解以研究函数值的变化趋势的观点研究无穷数列，从而发现数列极限的过程；

②使学生形成对数列极限的初步认识； ③使学生了解学习数列极限概念的必要性。2．本阶段教学安排

我采取温故知新、推陈出新的教学过程，分三个步骤进行教学。① 温故知新

由于研究数列极限首先应对数列知识有一个清晰的了解，因此在具体教学中通过对教案中5个具体数列通项公式的思考让学生对数列通项公式这个概念产生回忆，指出以前研究数列都是研究的有限项的问题，现在开始研究无限项的问题。然后引导学生回忆数列是自变量为自然数的函数，通项公式就是以n为自变量的、定义域为自然数集的函数an的解析式。再引导学生回忆研究函数，实际上研究的就是自变量变化过程

1中，函数值变化的情况和变化的趋势，并以第[2]的数列an为例说

2明：当n=2、3、4、5 时，对应的an1、1、1、1 就说明自变量由

242168增加到5时，对应的函数值就由1减小到1这种变化情况。若问自然数n

216n1一直增加下去，函数an应怎样变化下去，这就是研究变化的趋势。

这样利用通项公式就可把数列变化趋势问题与函数值变化趋势问题有机地结合起来，引导学生从函数值变化趋势的角度来看待例题中五个数列的变换趋势。通过这种讨论，在对变化趋势这个概念的理解上发挥心理学上所提‚无意注意‛的作用，使学生对进一步讨论的数列变换趋势问题不至于太陌生。

② 推陈出新

在对5个数列变化趋势的分析过程中，通过引导，由学生讨论得到数列（2）、（3）、（5）的共同特征，近而向学生说明：‚具有类似于数列（2）、（3）、（5）共性的数列称为有极限的数列，共性中的‚趋近于一个确定的常数‛称它为有极限数列的极限‛。并进一步和学生讨论如何给数列的极限下定义，此时我根据学生情况给予提示，给出数列极限概念的描述性说明：当项数无限增加时，数列的项无限趋近于某一个确定的常数的数列称为有极限的数列，这个确定的常数称为数列极限。

③ 刘徽及其《割圆术》的介绍

学生对数列极限概念有了一定的认识，为了使学生认识到这个概念并不是突然产生的，是和他们已有的知识结构密切相关的，为此在第一阶段我设计了这一部分教学。

我一方面介绍了我国古代数学家对数列极限思想所做的贡献，如‚在世界数学史上，刘徽是最早运用这种数列极限的思想解决数学问题的大 数学家。用这种指导思想计算圆面积的方法，就称为刘徽割圆术.用类似刘徽割圆术的方法求出圆周率的近似值，虽然在公元前3世纪的古希腊数学家阿基米德也算出过，但所用的方法却比刘徽所用的方法繁杂的多。‛

在另一方面重点结合计算机模拟刘徽割圆术，介绍这种算法的指导思想：‚割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣‛。通过课件动态演示，进一步在‚无意注意‛作用的发挥上下文章，加深学生对‚变化趋势‛、‚趋近于‛、‚极限‛等概念的认识，为下一阶段极限概念的教学提供对这个概念感性认识的基础。

（二）‚概念建立阶段‛ 1． 这一阶段要解决的任务

由于数列极限概念及其定义的数学语言表述具有高度的概括性、抽象性，学生初次接触很困难。具体讲，在-N语言中，学生搞不清的两重性——绝对的任意性、相对的确定性；学生搞不清‚N‛，不太理解N的实质是表示项数n无限增大过程中的某一时刻，从这一时刻起，所有an(n>N)，都聚集在以极限值A为中心，为半径的邻域中，N是否存在是证明数列极限存在的关键。

因此在这一阶段的教学中，我采取‚启发式谈话法‛与‚启发式讲解法‛，注意不‚一次到位‛，这样在本阶段我设计解决的几个主要问题是：

①建立、理解数列极限的定义；

②认识定义中反映出的静与动的辨证关系； ③初步学习论证数列极限的方法。2． 本阶段教学安排

本阶段教学安排分三个步骤进行。① 问题的提出

在教学安排上，我根据学生形成对数列极限的初步认识，以数列

‚1,2,3,4,,n,‛

2345n1为例，提出一个学生形成极限概念时不好回答的问题：根据数列极限定义直观描述，这个数列的极限是1，即当项数n无限增大时，这个数列的项无限地趋近于1，问题是为什么不说这个数列的项无限地趋近于1.1，从而使学生发现问题在于自己已获得的数列极限概念中‚无限趋近于‛这一描述，这种描述比较含混，感到有必要对极限定义做进一步精 确描述。

② 问题的解决

具体讲，由于数轴上两点的距离及其解析表示对学生来说是很熟悉的，故我在教学中利用数轴引导学生先得出结论：‚趋近于‛是距离概念，距离的解析表示是绝对值，‚无限趋近于‛就可用距离要多小有多小来表示。即数列项与确定常数差的绝对值要多小有多小。

然后让学生通过具体计算如：‚思考已知数列中是否有到1.1的距离为0.01的项？‛使学生知道已知数列的项不能与1.1的距离要多小有多小，即1.1不是已知数列的极限，从而使学生对‚要多小有多小‛这一概念有了进一步认识，并为量化|an-1|当项数无限增加时要多小有多小打下基础。

③数列极限定义的得出

在‚检验‘1’是否满足：已知数列的项与1的差的绝对值是否要多小有多小‛的教学过程中，我采取‚给距离找项数‛的方法。

具体讲让学生考虑已知数列中有哪些项与1的差的绝对值小于0.1、0.05、0.0011、0.0001，让学生把用计算器计算的结果在黑板上列表写出并解释所得的结果，如提示学生得出结论：‚已知数列中第908项以后各项与1的差的绝对值小于0.0011。‛这种讨论的目的是使学生感受到‚N‛是项数n 无限增大的过程中的一个标志，进而说明对于给定的每一个正数，可找到N，当n>N时，|an-1|小于这个正数。进而让学生注意无论表示距离的正数取的多么小，也不能说成‚要多小有多小‛，而把具体值改为后即可解决这个问题。

这样通过讨论，在我的引导下，使学生得到结论：‚数列： 1,22,33,42,34,,53,4n, n1n, n1当项数无限增大时，它的项越来越趋近于1‛，也就是数列： 1,24,,5的极限为1，并进一步让学生总结出一般数列的极限的准确定义。

（三）‚概念巩固阶段‛

1． 本阶段的教学计划

在这一阶段的教学中我计划做两件事情：

①说明N、、|an-A |<在讨论数列极限时所起的作用;②是习题训练。

2． 本阶段的教学过程 根据上述说明，这一阶段分为两个步骤。① 定义说明

除了对极限概念予以说明外为了加深学生对数列极限概念中N、、|an-A |<的认识，我让学生讨论问题‚任意有极限的无穷数列能否使极限值为数列中的项‛及‚常数列是否有极限‛，当学生有困难时，可通过举数列

‚1,0,1,0,1,,1sinn,‛

4162n12并提示其根据定义考虑问题。这样使学生进一步体会由特殊到一般再到特殊的认识规律。

②习题训练

在学生对数列极限定义的初步掌握的基础上，为巩固学生所学，我让学生作课本例1，练习这道题目的在于总结上一阶段得到数列极限的过程，同时让学生熟悉数列极限定义的应用步骤；在此基础上结合北大附中学生的特点我安排了例2，让学生作这道题目的在于通过对这道题的证明与讨论可让学生对等比数列{1，q，q2，…qn，…}收敛、发散性有一个清楚的了解。在例2的处理手法上我让学生先各抒己见，然后采用几何画板演示，验证同学猜想，从而激发学生的求知欲望。由于{1，q，q2，…qn，…}和{1,1,1,1,}是今后学习过程中的常用数列，因此我觉得23n学生对例

1、例2的掌握的好坏将对后面的学习产生直接影响。

③ 补充说明

对于较好的班级，还可考虑用直角坐标系来代替数轴。由于数列是以自然数集子集为定义域的特殊函数，其图象是离散的点.这使得数列的项与点(n,f(n))，即点(n,an)对应起来.当数列{an}有极限A时，在直角坐标平面内的几何意义为：任给正数，存在一个以直线y=A+和y=A-为边界的条形区域，存在一个N，当n>N时，所有的点（n, an）都落在这个条形区域内。换句话说数列的项在坐标平面内对应的点，只有有限个点落在条形区域外。利用这种方式教授这节课，形象直观，并为今后函数极限的教学打下基础。

三、关于教学用具的说明：

这节课的教学目的之一是使学生通过对极限概念形成过程的了解，较为自然地接受极限的定义，以利于加深对概念的理解和掌握。因此在本节课中主要使用的是计算器和计算机课件演示。计算器的作用在于使学生理解 ‚‛和‚N‛内在关系； 计算机课件演示目的有三：其一是通过史料的简单介绍对学生进行爱国主义教育；其二是在概念形成阶段，为学生提供感性认识的基础；其三可对学生所得的结论验证、完善，加深对问题的理解，巩固所学的概念。总之‚恰当使用现代化教学手段，充分发挥其快捷、生动、形象的辅助作用，最大限度地使学生获得并掌握所学的知识，‛是我选择和使用教学用具的根据。

四、结束语：

浅论高等数学中极限理论的教学 篇5

一、极限理论的历史

极限的思想和方法是社会实践的产物，其萌芽可追溯到古代。在古希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏朴素的极限思想，如用无限趋近概念计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。

古希腊的安提芬最早表述了“穷竭法”，他在研究“化圆为方”问题时，提出了使用圆内接正多边形面积“穷竭”圆面积的思想。后来，古希腊数学家欧多克斯改进了“穷竭法”。将其定义为：“在一个量中减去比其一半还大的量，不断重复这个过程，可以使剩下的量变得任意小。”“穷竭法”被后人称为阿基米德原理。古希腊数学家阿基米德将“穷竭法”发展成“括约法”，并将其广泛应用于求解曲面面积和旋转体体积。用此方法来证明圆面积时，不仅利用圆内接正多边形，而且用圆外切正多边形把圆的面积“括约”在十分接近于圆的外切与内接正多边形的面积之间。这一方法尽管没有明确提出极限的概念，但已经蕴含了极限计算的重要方法之一的迫敛性。

在中国战国时期的《庄子·天下篇》中有一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”这是我国较早出现的极限思想，也是最简单的数列的极限问题。又如我国魏晋时期的数学家刘徽在注释《九章算术》时创立了有名的“割圆术”。他的极限思想是：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失。”他创造性地将极限思想应用到数学领域，这种无限接近的思想就是极限概念的基础。刘徽首先考虑圆内接正六边形面积，接着是正十二边形面积，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。按照这种思想，他一直算到内接正192边形的面积，得到π≈3.14，之后又算到内接正3072边形，得到π≈3.1416，这在当时是非常了不起的。

到了16世纪以后，欧洲生产力得到极大发展。生产和科学技术中存在大量的变量问题，如曲线切线问题、变力做功问题等，初等数学方法对此越来越无能为力，需要的是新的数学思想和方法，突破只研究常量的传统范围，提供能够用以描述和研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积分的社会背景。牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，给出了数列极限的描述性定义：“如果当n无限增大时，an无限地接近于常数A，那么就说an以A为极限。”之后，维尔斯特拉斯为了排除极限概念中的直观痕迹，建立了ε-N语言，给微积分提供了严格理论基础。所谓an以A为极限，就是指：“如果对任何ε>0，总存在自然数N，使得当n>N时，不等式|an-A|<ε恒成立。”这个定义，借助不等式，定量地、具体地刻画了两个“无限过程”之间的联系。因此，这样的定义是严格的，其作为科学论证的基础，至今仍被广泛使用。

在引入极限定义之前，可适当介绍以上关于极限产生的历史背景，以激发学生的认知欲，提高他们的学习兴趣，同时对提高学生的数学修养也是大有裨益的。

二、极限理论的学习

以上极限定义的ε-N语言尽管精确地描述了极限的定义，但在内容上表现为术语抽象，符号陌生。因此，作为教学重点和难点之一的极限理论，教师感到难教，学生感到难学。极限理论以其独特的研究方法和动态的变换方式为学生展示了一个想象空间：以变量及变量之间的联系为思维对象，运用无穷小量分析变量的变化过程，从近似认识精确，从有限认识无限，从量变认识质变……无不贯穿着深刻的辩证思想。极限理论实质上是一种无限逼近的思想方法。

然而，学生习惯于静止的、有限的、单一的和直观的情境，而不习惯在运动变化中探讨事物规律，不习惯表达极限概念的语言模式。如他们并不注意观察数列的变化趋势，着眼点往往放在数列的“终点”上，注意力缺乏整体性;对符号an，ε，n>N，|an-A|<ε等不习惯在变化中理解其相互关系，对关键字句的数学意义不求甚解，对形成ε-N意义的必然性不重视，在具体表达时或任意增删字句，或顺序颠倒造成逻辑混乱，对极限概念的形成缺乏感性认识。从而导致在学习极限理论的初始阶段容易心理失去平衡，丧失对高等数学的兴趣。因此极限教学应力求直观，让学生动口动手动脑，由感性到理性，由特殊到一般，由有限到无限，逐步掌握极限概念的思维方法。

简而言之，我们在教学过程中要从具体问题出发，让学生充分掌握ε的任意性。1.ε是预先给定的任意小正数，它具有两重性：就整个极限过程来看，ε具有绝对的任意性;就极限过程某个片段看，ε具有相对固定性，即一经给定，就需找到合适的N，当n>N时有|an-A|<ε。绝对任意性是通过相对固定性表现出来，这就反映了an接近于A的近似关系与an的极限是A的精确关系。2.找出项数N是关键，N相对ε而存在，ε愈小，N愈大。同时N对给定的ε又是不唯一的，存在无限多个。3.在“ε-N”定义的|an-A|<ε中，an表示当n>N时，an以后的所有项。4.当A为数列{an}的极限时，A是唯一存在的，表示的是当n无限增大时，an趋向的目标。以上仅是极限定义的教学过程中所需注意的关键事项，在教学过程中，我们应从具体数列出发，并结合中学阶段的数学方法，实现学生从感性、具体出发到达理性与一般性，从而深入掌握ε-N语言。以上仅是对极限定义教学过程中的一些理解，对于后续的极限计算，仍有大量需要注意的问题。

三、极限理论与微积分

微积分所研究的对象是函数，所用的方法可以说就是极限，从方法论的角度来说，这是微积分区别于初等数学的显著标志。极限是整个微积分的理论基础，在微积分中几乎所有重要概念都离不开极限。

首先，极限为微积分注入严密性。微积分产生于17世纪后半叶，从创立到基本完善经历了大约三个世纪的时间。在牛顿创立微积分的过程中，导数概念和微积分理论体系中最多只用到了极限的直观描述，这导致在认识上很容易接受之余却不能令人信服和承认。直到19世纪初，柯西与维尔斯特拉斯等人发展了极限理论，用这些理论对微积分进行了严密化，并得到各反对派的普遍认可，微积分理论才得以迅速发展。事实上，极限理论是微积分的真正抽象。

其次，极限实现了有限与无限之间的转化。现实世界中的有限和无限在人们的头脑中有着本质的区别。然而，有限和无限在一定条件下可以相互转化。而微积分正是巧妙地应用极限实现这一转化取得的重大成果。如，对极限nli→m∞an=A的ε-N定义过程中就实现了这一转化。该定义不仅从一个侧面反映了过程的无限增大，以及an的无限接近于A，而且有限值A体现了an的主要部分和无限变化过程。又如，在导数的定义中，同样体现了化有限为无限的过程，用无限来认识有限的问题。为了确定瞬时变化率(导数)，我们首先考察某一区间内的平均变化率，然后设想区间逐渐缩小并推广到无限，那么平均变化率就经历一个无限变动过程后转化为导数。类似的例子还体现在定积分定义、级数理论等微积分具体问题中。

最后，极限理论实现了微积分中连续与不连续这一对有本质区别的问题的在一定条件下的转化。如，对定积分的定义过程中，只要划分的间隔充分小，我们就可将离散的求和形式通过极限理论转化为连续量在某一区间上的定积分。又如，在关于连续和间断的讨论中，这一对重要的矛盾概念可以通过极限理论得到统一化处理，并可将可去间断点转化为连续点。这些方面都无一例外地体现了极限实现了连续与不连续的相互转化和统一。

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学 (第6版) .高等教育出版社, 2007.4.

[2]姜建清.极限理论在高等数学教学中的贯彻.数学教学与研究, 2011, (2) :86-87.

高等数学中的极限教学 篇6

关键词：信息化教学,高等数学,三元一体化,极限

一、高职数学“三元一体化”教育教学模式的背景

信息化教学是以现代教学理念为指导，以信息技术为支持，将信息技术与教学过程深度融合的现代化教学方法。结合信息化技术手段进行教学改革既是对传统教学的继承，也是对技术环境下教学新模式的探索。在信息化环境下，高职数学教学内容的载体已经不仅仅局限于传统的纸质媒介，网络课程、电子课件、在线题库已经被越来越多地应用于数学教学过程中。信息化教学不仅提高了知识的存储和传递的速度，更提高了使用效率。

数学教师信息化意识淡薄，对信息化教学的理解和认识还停留在比较低的层次，一些教师甚至认为信息化教学就是“PPT”。教育信息化对教师来讲不仅仅是教学资源的便利，更多的是教学能力和自身素质的挑战。如何合理运用信息化手段，拓展师生之间信息交流的渠道，突破高等数学的教学难点，实现教学目标，提高教学质量，是高职院校数学教师面临的一个重要课题。

高职数学“三元一体化”教育教学模式就是充分利用信息化技术，在教师导、学生学、教学资源活用三方面深入挖掘教育教学潜能，激发学生兴趣并提供相应学习资源，以期实现教学目标。文章以高职院校“高等数学”课程中“极限”这一章节为例，探讨“三元一体化”教育教学模式的构建，并给出其教学设计和实施过程。

二、高职数学“三元一体化”教育教学模式的设计

（一）教学目标

知识目标是为专业课的学习提供必要的数学基础知识，保证专业课教学得以顺利进行；能力目标是提高学生的运算能力，为解决专业实际问题提供可靠的论证方法和计算工具；素质目标是提高学生的逻辑思维能力和分析解决问题的能力。

（二）教学内容

根据教学目标制定教学内容，通过《庄子·天下篇》“一尺之棰，日取其半，万世不竭”引入极限的概念，学会计算极限以及会使用极限知识解决实际生活中的一些简单问题。

（三）设计思路

采用教师导、学生学、教学资源活用的“三元一体化”信息化教学设计理念，结合任务驱动法、直观演示法、案例教学法、小组讨论法等一系列教学方法，适当的辅以数学实验，引导学生主动参与学习和探究，充分利用各种资源获取知识，发挥学生的主动性和创新性，克服学习高等数学的恐惧心理，让学生成为课堂的主体，教师从课堂的主导者变成引导者。

三、高职数学“三元一体化”教学过程的实施

课前先通过QQ群或者是微信群向学生发布预习提纲，学生可充分利用图书馆或网络资源完成预习提纲上提出的目标任务，对下节课的上课内容有一个感性的认识；课堂上利用动画演示或者带领学生进行数学实验来帮助学生理解和掌握理论知识，在此基础上，也可适当的插入与上课内容相关的数学小模型，让学生分小组对如何解决这些实际问题进行讨论，以达到利用理论知识解决实际问题的目的；课后，学生也可以随时随地通过微课对课上内容进行巩固复习。整个教学实施过程如图1所示。

接下来，对教学实施过程中的每一个步骤进行深入探讨。

（一）课前任务

课前，可先通过QQ群或者微信群向学生下达预习任务，让学生通过图书馆或者互联网查找相关资料，对下一节课的内容预先有一个大概的了解，不至于在上课的时候对所学内容一无所知。如在“极限的定义”这一章节可以设置预习提纲，“了解庄子‘一尺之棰，日取其半，万世不竭’和刘徽的‘割圆术’这两个概念”。在这之前，学生对这两个概念未必十分了解，出于好奇心，首先就想要知道这两个概念到底是什么意思。要想知道它们的意思，就需要查找资料来翻译这两句文言文。通过一番努力理解了这两个概念，就可以发现这两者存在一个共同之处，就是讲述的都是无限接近的概念，而无限接近这个概念正是理解极限定义的关键所在。课前的预习任务既可以让学生对所学知识印象深刻，有助于理论知识的理解，同时也大大增强了学生参与课堂的意识。

（二）直观演示

信息化教学的目的在于解决传统教学无法解决的问题，高职院校的学生普遍存在数学基础差、逻辑思维能力弱的特点，他们在高等数学的学习过程中对一些抽象概念的理解模糊不清，合理运用信息化手段，可以将复杂的理论用最直观的方式展现出来，能让学生“看得到也看得懂”，对学生理解理论知识有很大的帮助。比如在数列极限中，若存在一个数列，其中，求当时，数列的极限是多少。直接讲解计算，学生可能对结果理解得不是特别清楚，如果将数列各项在平面直角坐标系上用点表示出来，配以动画的形式来表示出整个数列的发展趋势（如图2所示），既吸引住了学生的眼球又很直观地解释了整个题目的意思；既方便了学生的理解，又改变了传统数学课枯燥乏味的讲授方式，使得整堂课变得丰富多彩。

（三）数学实验

教师在讲授的过程中可以适当穿插一些数学实验，围绕高等数学的基本内容，充分利用计算机和MATLAB软件强大的的数值计算、绘图功能展示基本概念与结论。例如在两个重要极限部分，针对第一类重要极限，使用仿真软件可以非常方便而且直观地看出所求函数的发展方向（如图3所示）。在教学过程中插入一些数学实验，可以培养学生学习数学的兴趣，学生在这个过程中既动脑又动手，从以前的被动接受，变成现在的主动参与，这个过程极大地调动起了大家学习的积极性，一改往日数学课堂单纯“老师讲，学生学”的沉闷学习气氛。

（四）合作探究

在整个章节的基础知识全部结束之后，可以尝试在课堂上穿插一些与本章内容相关、能用所学知识解决的与实际生活相贴近的数学模型小插件，让学生自由组合成若干个小组，以小组为单位对这些问题进行互相探讨，最终解决问题。比如在极限章节中，提前准备好与极限知识相关的数学小模型，如“细菌繁殖问题”“药物残留问题”等，在课堂上使用flash动画“砸金蛋”的方式让各小组随机抽取题目，每一组派一位代表来“砸金蛋”，金蛋里的题目就是该组成员需要解决的问题，各小组在课后探讨的结题思路和解决方案必须做成PPT课件的形式，在下一节课堂上向全班同学讲解演示，最后根据效果给该小组成员打分，并且这个分数将成为期末成绩综合评定的一部分。这个过程既能加深学生对知识的理解，又培养了学生将理论知识应用到实际生活的能力，同时还锻炼了学生的语言表达能力，更检验了他们小组合作的效果。

（五）课后自学

“微课”是帮助学生课后自主学习最佳的教学资源。将高等数学课程中每一章节的定义介绍、重难点分析、典型例题详解分别制作成微课，学生在课堂上哪部分知识没能完全消化和理解，课后只需点开相对应的微课就能即时学习。这种随时可取的教学资源，为学生掌握所学知识提供了便捷有效的学习方法，在潜移默化中帮助学生更高效地消化吸收，同时也提高了学生自主学习的能力。

在高职院校的数学教学过程中，教师要做的不是单纯的教，而是有方向性的导，用教师积累的经验和先进的教学方法引导学生如何去学习，培养学生的主动性和主体性；学生则在教师的引导下，主动探究学习的内容，积极参与进来，发现学习的趣味性和内容的实用性；而贯穿于教师的导和学生的学中最重要的就是教学资源，将资源整合、优化活用是提升教学效果的重要途径。

充分发挥信息化教学的优势，提高数学课程的育人水平，争取最佳的教学效果，是高校教师共同努力的方向。将“三元一体化”教学模式应用到实践教学中，使信息技术与学科教学能够有效结合，不失为高职院校数学课程教学改革的一条新思路和新途径。

参考文献

[1]朱鹏华.高职数学信息化教学改革探索与实践[J].职业技术教育,2014,35(32):41-43.

[2]张莉,苗耀华.信息化环境下的高职数学教学设计[J].教育与职业,2014(30):119-120.

高等数学中函数极限计算方法 篇7

一、利用左、右极限求极限

左、右极限常用来求分段函数在分段点处的极限, 需要注意的是左、右极限也可以用来求含有绝对值表达式的函数的极限。

二、利用极限运算法则求极限

定理已知limf (x) , limg (x) 都存在, 极限值分别为A, B, 则

注意极限号下面的极限过程是一致的;同时注意法则成立的条件, 当条件不满足时, 常常要对函数进行恒等变形或化简。常用的方法有分式的约分或通分、分式有理化、三角函数的恒等变形等。

三、利用两个重要极限求极限

不仅要能够运用这两个重要极限本身, 还应注意运用它们的变形形式:

四、利用无穷小求极限

定理无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小。

定理当x→0时, 下列函数都是无穷小且相互等价, 即有:

需要注意当上面每个函数中的自变量x换成g (x) 时 (g (x) →0) , 上面的价关系成立。

解:∵x→0时, 1n (1+3x) ~3x, arctan (x2) ~x2,

注:下面的解法是错误的:

要注意对于分子或分母中的两个无穷小之差不能直接用等价无穷小代换。

五、利用连续性求极限

定理一切连续函数在其定义去间内的点处都连续, 即如果x0是函数f (x) 的定义去间内的一点, 则有

注意利用连续函数求极限时, 对于复合函数f (u) 在u=a处连续, 且则

六、利用导数的定义求极限

七、利用洛比达法则求极限

洛比达法则:当自变量x趋近于某一定值 (或无穷大) 时, f (x) 和g (x) 满足:

1) f (x) 和g (x) 的极限都是0或都是无穷大;

2) f (x) 和g (x) 都可导, 且g (x) 的导数不为0;

用该法则求极限时, 应注意条件是否满足, 只要有一条不满足, 洛比达法则就不能应用。特别要注意条件1) 是否满足, 即验证所求极限是否为“”型或“”型;条件2) 一般都满足, 而条件3) 则在求导完毕后可以知道是否满足。洛比达法则可以连续使用, 但每次使用之前都需要注意条件, 且将极限中非零的乘积因式求极限后提出, 这样可以使计算简化。

正确解法:

解:该极限是“”型, 但用洛比达法则后:, 此极限不存在, 而原来极限却是存在的。正确做法如下:

由此可以看出, 求极限方法灵活多样, 要想熟练掌握各种方法, 必须多做练习, 在练习中体会。这对于掌握极限的运算是非常有帮助的。

参考文献

[1]姚允龙.数学分析[M].上海:复旦大学出版社, 2002.

[2]同济大学应用数学系.高等数学 (第五版, 上册) [M].北京:高等教育出版社, 2005.

[3]田大增.极限计算中应注意的几个问题[J].河北大学成人教育学院学报, 2006.

高等数学中的极限教学 篇8

关键词：一元函数,极限,计算方法

一元函数极限是高职高等数学中一个非常重要和基础的概念, 是高职生进入大学后所要学习的第一个新的数学概念。随着高职高等数学教材的改革, 关于一元函数极限的定义越来越简化, 所以如果学生要从本质上来理解极限的定义及计算, 则有一定的难度。但结合现代高职教育的目的, 高职高数的学习, 并不是要求学生掌握严谨的数学定义, 而是让学生能体会数学的思维方式, 以及作为工具在本专业上的应用。所以对于一元函数极限的教学, 重点是让学生能够运用适当的方法来计算一元函数的极限。本文结合自己多年的教学经验, 对一元函数极限的计算方法进行了归纳总结, 详细介绍了如何求解一元函数的极限。

2.直接计算型 (利用初等函数的连续性)

3.型

对于型而言, 结合所求极限的形式, 通常可用约分法、有理化法, 或者利用洛必达法则转换成第1、2种类型, 随后再求解。

例2求极限

分析:由于函数中的分子分母均可因式分解, 故可将其因式分解后求解。

分析:由于函数里出现了根号, 根据一般的计算方法, 可将其有理化后求解。

分析, 对于此种类型而言, 显然无法用例2、例3的方法来求解, 此时可利用洛必达法则来求解。

对于型而言, 一般可分为有理分式和利用洛必达法则求解两类。具体如下:

若所求的函数为有理分式, 即分子分母都为多项时, 可以用以下结论求解:

分析, 由于此类极限不是多项式, 故可用洛必达法则求解。

解:

5.重要极限型

对于重要极限, 重点是利用它们的形式, 即:

以上主要是针对单一函数形式极限的求解方法, 对于复杂的函数形式, 可以结合极限的四则运算或者是通过适当的变形转化成上述的极限类型, 然后再求解。总之, 虽然求一元函数极限的方法有很多, 但只要在极限计算过程中, 不断归纳、总结, 就能在解题时找到适当的方法, 顺利求出。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析:第四版.上册[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[2]同济大学数学系.高等数学:第六版.上册[M].北京:高等教育出版社, 2007.

高等数学中的极限教学 篇9

极限是微积分体系中最基本的概念, 极限理论是微积分理论的基础, 作为研究、利用微积分的基本工具, 极限思想体现了常量与变量、有限与无限、直线与曲线、匀速运动与变速运动等一系列对立统一及矛盾相互转化的辩证关系。理解极限概念、掌握极限理论对于微积分学习非常重要, 尤其是从初等数学学习向高等数学学习转换的过程中, 其重要性更是不言而喻。

目前, 高等职业院校学生普遍存在着数学基础知识薄弱, 对数学学科兴趣不足, 缺乏学习主动性, 甚至产生恐惧心理等现象。在这种现状下, 极限概念作为高等数学中第一个重要概念, 是学习的重点和难点, 如果无法充分理解极限的概念, 学生会在后续的学习过程中遇到极大困难。极限概念理解的难点主要在于其抽象性, 要求学生转变思维方式, 从初等数学的常量运算转换到变量体系中来, 尝试用动态的、联系的思维去分析问题的本质。同时, 高等数学的学科特点决定了数学的学习必定是枯燥的、艰难的。在这种情况下, 如果教师沿用传统的课堂讲授式教学模式, 必然会无法吸引学生, 导致课堂教学效果不尽如人意。此时, 可借助微课教学的现代化教学手段, 以声音、图像、动画等形式呈现教学内容, 增加其生动性和趣味性, 辅助学生理解抽象的概念。

二、微课教学的特点

微课是指按照新课程标准及教学实践要求, 以视频为主要载体, 记录教师在课堂内外教育教学过程中某个知识点 (重点、难点、疑点) 或教学环节而开展的精彩教与学活动全过程。微课作为一种新型的教育信息资源形式, 具有主题突出、短小精悍、交互性好、应用面广等特点。微课打破了传统教学中完整的教学单元, 以知识点为单位, 明确了重点教学目标, 实现了教师有针对性的讲授, 学生有针对性的学习。在高等职业院校数学教学过程中合理利用微课教学模式, 能够满足学生个性化学习, 按需安排时间, 选择性学习。一节微课一般时间较短, 控制在10 分钟以内, 学生可利用碎片时间学习, 提高学习效率。

三、微课在极限思想导入课中的应用

极限概念的引入课主题突出、指向明确, 非常适合利用微课的方式开展教学, 通过微课的形式教师比较容易做到深入浅出, 让学生自然地理解极限的概念, 体会极限思想。

高职数学的教学重点应侧重于强调数学思想方法的传授, 讲解极限概念时, 教师一般都会引用数学家刘徽的割圆术或“一尺之锤, 日取其半, 万世不竭”截杖问题的案例, 通常教师只是简单描述几句, 如果没有演示过程, 则不够直观, 学生理解效果会打折扣。此时, 如果教师提前将这些案例制作成包括图表、图像、动画等形式的微课, 提前将微课上传到相关网站, 同时在讲授的时候通过视频的方式展示出来, 就会给学生以视觉上的直观感受, 能够吸引学生的注意, 引发学生的学习兴趣, 再配以教师的讲解, 帮助学生理解, 从而提高学习效率。

高职数学教学应多与生活实际相结合, 教师在制作极限理论微课的过程中, 需要考虑如何选取合适的引例, 采用何种方式呈现, 如何控制时间等问题。在引用割圆术时, 可通过画图软件做出增加圆内接正多边形的边数来细割圆, 引导学生通过此方法观察, 正多边形的周长无限接近圆的周长, 进而可求得较为精确的圆周率。教师在设计微课时, 采用动画演示的形式, 连续展示这个动态过程, 让学生体会这个从具有有限条边的正多边形发展到无限接近圆的变化的过程, 感受量变与质变的对立统一。与传统的教师板书相比, 通过动画展示的这一连续的变化过程更能对学生产生视觉冲击, 能充分调动学生的好奇心, 使学生的情感态度更积极, 更愿意主动去接受接下来的学习。

在引导学生初步体会了古人的极限思想之后, 教师可以适时引入极限思想在现代生活中的应用, 尤其是现代经济生活中连续复利计算的案例, 更方便学生的理解。教师通过增加年计息次数, 从特殊到一般, 逐渐引导学生主动给出复利公式, 此时通过微课件列表给出不同年计息次数下给定本金在一年后的本息和, 可以发现计息次数越频繁, 计息周期越短, 所得到的本息和越多。在讲解这个案例时, 通过列表表现本息和的增加量更加直观。

将微课的形式引入极限思想的教学中, 能够有效地辅助教师初步介绍朴素的极限思想的形成过程, 即有助于教师备课时能更充分地研究学情, 做到心中有学生, 又能使教师在课堂上准确把握教学节奏, 快慢适当, 满足不同层次学生的学习需求。辅以教师的逐步引导, 可让学生在学习中逐步实现思维方式的转变, 逐步形成良好的极限思维方式, 为今后的高等数学学习做好准备。

四、结语

目前, 微课作为传统教学方式的重要补充, 对于传统教学中教师和学生的关系具有革命性的改变。微课的使用要求教师教学逻辑性强, 语言精练, 讲解过程紧凑流畅, 要求学生养成自主学习的习惯, 提高学习主动性。高职数学教师可尝试利用微课的特点在实际教学中加以利用。

关键词：高职数学,微课,极限思想

参考文献

[1]赵玉亮, 华守亮.高等数学“情境—问题”的教学实践:“数列的极限”教学案例[J].安阳工学院学报, 2011 (54) , 112-114.