高等数学课程讲解_1.2数列的极限

高等数学课程讲解_1.2数列的极限（共1篇）

高等数学课程讲解_1.2数列的极限 篇1

复习

1.函数的概念与特性，复合函数与反函数的概念，基本初等函数与初等函数；

2.数列的有关知识.极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用．

设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A1；再作内接正十二边形，其面积记为A2；再作内接正二十四边形，其面积记为A3正62n1边形的面积记为An(nN)

A1，A2，A3，，An它们构成一列有次序的数．当nAn作为圆面积的近似值也越精确．但是无论nnAn终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积．因此，设想nn，读作n趋于无穷大），即内An也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值在数学上称为，A2，A3，当n时的极限．在圆面积，An，，1.定义1 如果函数f的定义域DfN{1，2，3，…}，则函数f的值域f（N）{f（n）｜n∈N }f（1），f（2），…，f（n），…．通常数列也写成x1，x2，…，xn，…，并简记为{xn }，其中数列中的每个数称为一项，而xnf（n

对于一个数列，我们感兴趣的是当n无限增大时，xn的变化趋势．

以下几个均为数列：

1，12n1，…，…（1）23n

2，4，6，…，2n，…（2）

1+(1)n

11，0，1，…，…（3）

n11(1)n1

1，，…，…（4）

23n

2，2，2，…，2，…（5）

2.数列的极限

当n无限增大时，若数列的项xn能与某个常数a无限地接近，则称此数列收敛，常数a

“xn…，xn，x时，即)，若数列{xn}

注 定义中的正整数N与ε有关，一般说来，N将随ε减小而增大，这样的N也不是惟一的．显然，如果已经证明了符合要求的N存在，则比这个N大的任何正整数均符合要求，在以后有关数列极限的叙述中，如无特殊声明，N均表示正整数．此外，由邻域的定义可知，xnU(a,)等价于｜xna｜＜ε．

“数列{xn}的极限a ”的几何解释：

将常数a及数列x1,x2,x3,…,xn,…在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域，即开区间(aε, aε)，如图133所示．

图13

3因不等式 |xna|<ε 与不等式 aε

为了以后叙述的方便，这里介绍几个符号，符号“”表示“任取”、“对于所有的”或“对于每一个”；符号“”表示“存在”；符号“max{X }”表示数集X中的最大数；符号“min{X }”表示数集X中的最小数．

例1证明lim

0．

．1n＜ 1.唯一性

定理1 若数列收敛，则其极限唯一．

证假设数列{xn}收敛，但极限不唯一：limxna，limxnb，且a≠b，不妨设a＜b，n

n

由极限定义，取ε

baba，则N1＞0，当n＞N1时，｜xna｜＜，即 2

23abab

＜xn＜,（6）22

N2＞0，当n＞N2时，｜xnb｜＜

ba,即 2ab3ba

＜xn＜,(7)22

取Nmax{N1,N2},则当n＞N时,(6)、(7)两式应同时成立，显然矛盾．该矛盾证明了收敛数列

{xn}的极限必唯一．

2.有界性

定义3设有数列{xn}，若M∈R，M＞0，使对一切n 1，2，…，有｜xn｜≤M，则称数列{xn}

∈R，{(ε

＜…，．

推论设有数列{xn}，N＞0，当n＞N时，xn0(或xn0)，若limxna，则必有

n

a ≥0(或a≤0)．

推论中，若xn＞0(或xn＜0)，我们只能推出a≥0(或a≤0),而不能推出a＞0（或a＜0）． 例如xn

1＞0,但limxnlim0．

nnnn

4.收敛数列与其子列的关系

定义4在数列{xn}中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数

列，称它为{xn}

在选出的子列中，记第一项为xn1，第二项为xn2，…，第k项为xnk，…，则数列{xn}的子列可记为{xnk}．k表示xnk在子列{xnk}中是第k项，nk表示xnk在原数列{xn}中是第nk项．显然，对每一个k，有nk≥k；对任意正整数h，k，如果h≥k，则nh≥nk；若nh≥nk，则h≥k

由于在子列{xnk}中的下标是k而不是nk，因此{xnk}收敛于a的定义是：ε＞0，K＞0，当k＞K时，有｜xnka｜＜ε．这时，记为limxnka ．

k

k

＞或2.收敛数列的性质：唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系．