高等数学课程讲解_1.2数列的极限(共1篇)
高等数学课程讲解_1.2数列的极限 篇1
复习
1.函数的概念与特性,复合函数与反函数的概念,基本初等函数与初等函数;
2.数列的有关知识.极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.例如,我国古代数学家刘徽(公元3世纪)利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术,就是极限思想在几何学上的应用.
设有一圆,首先作内接正六边形,把它的面积记为A1;再作内接正十二边形,其面积记为A2;再作内接正二十四边形,其面积记为A3正62n1边形的面积记为An(nN)
A1,A2,A3,,An它们构成一列有次序的数.当nAn作为圆面积的近似值也越精确.但是无论nnAn终究只是多边形的面积,而还不是圆的面积.因此,设想nn,读作n趋于无穷大),即内An也无限接近于某一确定的数值,这个确定的数值在数学上称为,A2,A3,当n时的极限.在圆面积,An,,1.定义1 如果函数f的定义域DfN{1,2,3,…},则函数f的值域f(N){f(n)|n∈N }f(1),f(2),…,f(n),….通常数列也写成x1,x2,…,xn,…,并简记为{xn },其中数列中的每个数称为一项,而xnf(n
对于一个数列,我们感兴趣的是当n无限增大时,xn的变化趋势.
以下几个均为数列:
1,12n1,…,…(1)23n
2,4,6,…,2n,…(2)
1+(1)n
11,0,1,…,…(3)
n11(1)n1
1,,…,…(4)
23n
2,2,2,…,2,…(5)
2.数列的极限
当n无限增大时,若数列的项xn能与某个常数a无限地接近,则称此数列收敛,常数a
“xn…,xn,x时,即),若数列{xn}
注 定义中的正整数N与ε有关,一般说来,N将随ε减小而增大,这样的N也不是惟一的.显然,如果已经证明了符合要求的N存在,则比这个N大的任何正整数均符合要求,在以后有关数列极限的叙述中,如无特殊声明,N均表示正整数.此外,由邻域的定义可知,xnU(a,)等价于|xna|<ε.
“数列{xn}的极限a ”的几何解释:
将常数a及数列x1,x2,x3,…,xn,…在数轴上用它们的对应点表示出来,再在数轴上作点a的ε邻域,即开区间(aε, aε),如图133所示.
图13
3因不等式 |xna|<ε 与不等式 aε 为了以后叙述的方便,这里介绍几个符号,符号“”表示“任取”、“对于所有的”或“对于每一个”;符号“”表示“存在”;符号“max{X }”表示数集X中的最大数;符号“min{X }”表示数集X中的最小数. 例1证明lim 0. .1n< 1.唯一性 定理1 若数列收敛,则其极限唯一. 证假设数列{xn}收敛,但极限不唯一:limxna,limxnb,且a≠b,不妨设a<b,n n 由极限定义,取ε baba,则N1>0,当n>N1时,|xna|<,即 2 23abab <xn<,(6)22 N2>0,当n>N2时,|xnb|< ba,即 2ab3ba <xn<,(7)22 取Nmax{N1,N2},则当n>N时,(6)、(7)两式应同时成立,显然矛盾.该矛盾证明了收敛数列 {xn}的极限必唯一. 2.有界性 定义3设有数列{xn},若M∈R,M>0,使对一切n 1,2,…,有|xn|≤M,则称数列{xn} ∈R,{(ε <…,. 推论设有数列{xn},N>0,当n>N时,xn0(或xn0),若limxna,则必有 n a ≥0(或a≤0). 推论中,若xn>0(或xn<0),我们只能推出a≥0(或a≤0),而不能推出a>0(或a<0). 例如xn 1>0,但limxnlim0. nnnn 4.收敛数列与其子列的关系 定义4在数列{xn}中保持原有的次序自左向右任意选取无穷多个项构成一个新的数 列,称它为{xn} 在选出的子列中,记第一项为xn1,第二项为xn2,…,第k项为xnk,…,则数列{xn}的子列可记为{xnk}.k表示xnk在子列{xnk}中是第k项,nk表示xnk在原数列{xn}中是第nk项.显然,对每一个k,有nk≥k;对任意正整数h,k,如果h≥k,则nh≥nk;若nh≥nk,则h≥k 由于在子列{xnk}中的下标是k而不是nk,因此{xnk}收敛于a的定义是:ε>0,K>0,当k>K时,有|xnka|<ε.这时,记为limxnka . k k >或2.收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、收敛数列与其子列的关系. 【高等数学课程讲解_1.2数列的极限】推荐阅读: 高等数学中的极限教学09-24 高等数学课程改革05-20 高等数学上下课程描述08-23 高等数学课程教学管理06-10 【数学】1-1.2《数列的函数特性》教案(北师大版必修5)05-29 高等数学05-30 高等数学解题07-04 高等数学课堂08-23 高等数学知识09-10 高等数学的数学文化论文06-29