高等数学的概念教学

高等数学的概念教学（精选10篇）

高等数学的概念教学 篇1

摘要：高等数学概念教学是一个创造性过程.在教学中要注意: (1) 充分利用概念的实际背景; (2) 合理借助概念的直观性; (3) 注意揭示概念的本质; (4) 注重概念体系的建立.教师应根据高等数学概念的特点和学生的认知结构, 结合概念的实际背景, 采用多种教学方法, 培养学生的发现能力以及创造精神, 促使学生主动建构概念体系.

关键词：数学概念,教学,思考

一、高等数学概念的特点

数学概念是抽象思维的产物, 它具有辩证性、客观性、合理性等特点. 对刚入学的大学生来说, 高等数学与初等数学的主要区别在于, 出现在他们面前的是全新的概念与方法. 高等数学的概念基本上都是以运动的面貌出现的, 是动态的产物. 正如恩格斯所描述的: “运动进入了数学, 辩证法进入了数学. ”了解高等数学概念的特点为我们引导学生进入高等数学的思维模式, 并为其中部分学生日后学习应用数学做好准备是有指导意义的. 因而, 我们在教学中要研究高等数学概念的认识过程的特点和规律性, 根据学生的认识能力发展的规律来选择适当的教学形式.

二、概念教学中要注意的几个问题

( 一) 充分利用概念的实际背景

高等数学中很多概念都有着良好的物理背景或几何背景, 教学中应该充分利用这些资源, 引导和启发学生进行概念的发现和创造. 例如, 进行导数概念的教学时, 我们首先引导学生在已知变速直线运动的运动方程情况下, 设法求出某一时刻的瞬时速度. 在此, 首先引导学生取一较小的时间段, 求出在一个较小时间段内的平均速度, 用平均速度作为瞬时速度的近似值, 然后分析当时间段越变越小会有什么样的效果, 使学生自己意识到通过对平均速度取极限可以得到瞬时速度. 同理, 我们引导学生求出平面曲线切线的斜率. 结果, 两个不同的问题得出了相同的数学模式, 至此, 再抽象给出导数定义便水到渠成了. 如果我们成功地引导学生得到导数的概念, 对他们学习定积分、重积分、曲线积分与曲面积分的概念都是一个很好的启迪.

( 二) 合理借助概念的直观性

尽管抽象性是数学概念的突出特点, 但是直观性在高等数学的教学中也占有重要地位. 教师应重视数学直观力的培养与训练. 直观有助于概念的引入、形成. 例如: 极限的严格定义的给出, 便是借助了几何直观性. 一个新的数学概念的学习, 仅停留于对有关定义的机械记忆上显然是不够的. 由于数学概念是抽象思维的产物, 因此, 对于概念的认识是以在思想中建构出其模式为前提的. 例如高等数学中的散度概念, 由于其引入并不是很直观, 学生常常只是记住了公式, 对于散度究竟意味着什么, 不甚清楚. 如果我们让学生了解在电场中, 电位移向量的散度表示在一个点处是否存在电荷、电荷的正负以及电量的大小, 与通量相比较, 通量反映的是全局性态, 散度则表示一点处的性态. 好比在一个公司里, 通量相当于整个公司的经营结果, 而散度相当于每个员工的工作结果. 这样, 散度概念在学生那里就变得很清晰、明白.

( 三) 注意揭示概念的本质

由上所述我们看到, 借助于直观, 有助于高等数学概念的引入, 也能促进概念由抽象到具体的转化. 然而, 就正确的认识而言, 更为重要的是透过概念的形式表述揭示出其内在的本质, 从而使其成为非常透明的东西. 例如就导数概念而言, 我们在教学中必须适时引导学生跳出狭义的圈子, 使学生认识到, 导数与真实现象间有着一般和特殊的关系, 它作为抽象思维的产物具有更为普遍的意义, 它所反映的已不是某一特定事物或现象的量性特征, 而是一类事物或现象在量的方面的共同特征. 除瞬时速度、电流、线密度外, 它还可以表示瞬时加速度、角速度、切线斜率等, 而它的本质是变化率.

( 四) 注重概念体系的建立

数学中的概念往往不是孤立的, 理清概念间的联系, 既能促进新概念的自然进入, 也有助于整个概念体系的建立.多元函数微分学中有一组概念, 即极限、连续、偏导数、全微分、方向导数, 对它们之间的联系以及它们与一元函数微分学中的极限、连续、导数、微分概念之间的异同的分析比较是我们在教学中要予以重视的. 积分学中的定积分、重积分、二类曲线积分、二类曲面积分的概念之间的关系、异同也是在教学中应该加以注意的. 建立概念间的联系、异同有多种方法, 类比法是常用的方法之一. 依靠类比与联想, 可以从二维空间进入三维空间直至更高维空间, 从有形进入无形, 从现实世界进入虚拟世界.

三、概念教学要体现出创造性活动

数学概念的教学就应该是一个动态过程, 是一种创造性活动. 教师应该在以学生为主体, 以启发式为原则, 以简易性为目标的前提下以多种不同的方式从事高等数学概念的教学活动, 通过介绍概念建立的有关史实赋予概念以诱人的魅力, 通过展示概念的应用赋予概念以鲜活的生命力, 通过揭示概念的哲学内涵赋予概念以深刻的理性精神. 教师自己要有一种批判精神, 不要总是死抠教材. 事实上, 教材中确有一些概念存在着在叙述上不够简便、不够明确等现象, 容易使学生产生困惑. 教师要敢于做出一些积极的改变. 在教学中, 教师的创造性和个性化精神, 必然会影响学生的创造性与个性化的发展. 教师在数学教学中所做的一切, 其目的在于既教会学生有用的知识, 又教会学生有益的思考方式及有益的思维习惯.

参考文献

[1]吕林海.数学抽象的思辨[J].数学教育学报, 2005 (8) .

[2]李善良.数学概念学习研究综述[J].数学教育学报, 2010 (10) .

[3]侯风波.高等数学[M].北京:高等教育出版社.

高等数学的概念教学 篇2

关键词 高等数学；教材；全导数

中图分类号：G642.0 文献标识码：B 文章编号：1671-489X（2013）12-0098-02

导数概念是微积分学中最重要的概念之一。现行高等数学教材中主要讲述一元函数的导数、多元函数的偏导数、方向导数、复合函数的全导数等概念。全面、系统、准确地理解并掌握导数概念是微积分学中最基本与最重要的教学目的之一。为了在实际教学过程中能够顺利地完成与实现这一教学目的，基于对高等教学多年的教学实践中教与学两方面反映出的问题的总结分析，笔者认为现行高等数学教材中关于“全导数”概念的命名有值得商榷之处。

数学思维的突破点为数学发展历程中的一个重要转折点，也为学生的学习难点，学习者的认知过程会“重演”它的发展经过。因此，就数学教学过程而言，学生就会有一些问题：“全导数”在什么样的情况下提出来的？如何理解“趋近于”？想要弄清楚这些问题，就要认真研究数学的发展历程，站在哲学的视角去认识导数。通过这种方法不仅能够帮助了解导数的概念，还能够帮助构建准确的数学概念。

回想导数概念的发展历程，从中得知导数的内涵要早于极限的内涵，就像积分要早于微分一样。大多数人都知道，于古时候的穷竭法里已有积分内涵的萌芽，然而积分的内涵与方法差不多是和近代力学一起出现并发展起来的，其也经过一段时间的酝酿。

同济大学数学教研室编的《高等数学》（第四版）中关于“全导数”概念的表述为：将一元函数微分学中复合函数的求导法则推广到多元复合函数的情形。定理：如果函数u=j（t）及v=ψ（t）都在点t可导，函数z=?（u，v）在对应点（u，v）具有连续偏导数，则复合函数z=?[j（t），ψ（t）]在点t可导，且其导数可用下列公式计算：

公式中的导数称为“全导数”。用同样方法，可把定理推广到复合函数的中间变量多于两个的情形[1]。目前国内高校选用较多的一些新编高等数学教材中大都沿用这种表述[2]。

对于高等数学教材中导数概念的定义具有很多的争议，很多人认为微积分是将极限理论作为理论前提的，极限运算为微积分运算的一种方法，学生只有掌握好极限，才有可能将导数知识学好；然而也有一部分人认为，极限理论的学习一直为微积分学习中的一个难点。

基于这种定义，明显存在一些问题。

1）与多元函数的偏导数概念相比较，这种“全导数”仅仅是针对多元函数中复合函数求导数的一种特殊情形提出来的。就复合函数而言，复合过程比较复杂，有一元函数与多元函数、多元函数与多元函数，中间变量的个数为两个以上等情形。而上述“全导数”定义中的复合函数只是一个自变量的函数，只不过同一层次的中间变量多于两个，本质上讲这种复合函数仍然是一元函数。仅此原因就引出“全导数”概念，其理由是不充足的。

2）命名中“全”字的汉语意义中，有“全面、全部、全体”等含义，用来表述一种特殊情形下的导数，逻辑上直觉表现为“定义过宽”。这种“全导数”概念与一元函数的导数、多元函数的偏导数、方向导数、全微分概念的逻辑关系难以界定[3]。

3）反映在实际教学过程中，对于学生理解有关导数、偏导数、方向导数、全微分等概念会形成障碍。

①由导数概念的实际背景，知道函数变化率就是导数。基于导数的思想及其内涵，教材中一元函数的导数、多元函数的偏导数、方向导数的定义都是建立在极限理论基础之上，这些概念的一致性是显然的，而所谓“全导数”概念并不具备这种一致性。学生在学习过程中总是自觉不自觉地把这些导数联系起来，教师虽然可以对此做出解释，却陡增节外生枝之感。

②全微分概念是多元微积分学中又一重要概念，教材中重点讨论偏导数与全微分之间的关系。由于所谓“全导数”概念的提出，教学过程中必须对其与全微分概念之间的关系加以解释，以解学生想当然地将全导数与全微分联系之惑，否则对于顺利理解全微分概念势必形成干扰。

通常情况下，不可以用函数?（x）于x1的极限求出?（x1）。如果?（x）在x1连续，然而导函数却不同，即使条件不强也能够这样做。定理：假设函数?（x）于区间[x1，x1+k]（k>0）里连续，并且当x>x1时导数为有穷?（x）；如果?（x1+0）是存在的，那么导数?（x1+0）=导数?（x）。经过证明发展，其具有两方面的意义。

第一方面的意义：导函数于某点的单侧极限存在，那么此点的同侧导函数一定会存在；如果该左右极限均相同，极限就为此点的导数。这表明导函数的极限能够求解导数值。该种方法在点比较特殊的时候，导数很难求出来，然而采用导函数单侧极限来求解就比较容易。

第二方面的意义：如果某点的导数是存在的，那么导函数于此点的左右极限均在而且相同，这也说明导函数不可能存在跳跃间断点。也可以说，存在跳跃点的函数是不存在原函数的，也就是不可能为哪个函数的导函数。这表明含有跳跃点的函数是不可能求出不定积分的。

综上所述，究其原因是由于“全导数”概念的命名形成的。想要解决这个问题可以采用两种方法：第一种方法是重新命名高等数学教学中导数的概念；另一种方法就是不命名，仍叫其原来的名称。作为教材中复合函数求导法则的内容，如果将导数命名为“复合导数”，不足以表达所有复合函数的导数，似为有些不妥。笔者认为，联系高等数学的教学实际，为了突出并顺利地理解掌握一元函数导数、偏导数、方向导数、全微分等有关概念，本着教材编写中删繁就简的原则，避免小题大做，只将其作为“链式法则”中的一个导数公式即可，不必做“全导数”的命名。

参考文献

[1]同济大学数学教研室.高等数学：下册[M].北京：高等教育出版社，1996：30.

[2]郭桥，资建民.大学逻辑导论[M].北京：人民出版社，2003：13-33.

浅谈高等数学的概念教学 篇3

关键词：高等数学,概念教学,方法

高等数学概念是学生认识学习高等数学知识的基础, 是高等数学的抽象思维的体现, 高等数学概念对于刚刚迈进大学的学生学起来有一定的困难。想要学好高等数学, 应该先从概念学起, 正确理解高等数学概念是学好高等数学知识点的前提。因此, 学好高等数学概念是对学生非常重要的。

一、概念的特点

概念是人们从知识点里抽象高度概括出来的, 能够体现知识点的本质。而高等数学的研究的对象是“函数”, 是动态数学。它主要研究动态, 无限制过程, 而高等数学的概念基本上反映的是动态的现象, 动态的问题。正如恩格斯所描述的“运动进入了数学, 辩证法进入了数学”。正确深刻的理解高等数学概念的特点是学好高等数学的前提条件。因而, 老师在课堂上要结合实际引例讲清楚高等数学概念的特点, 使学生能更好的学习高等数学。

二、几种方法, 体现高等数学概念

1. 讲授高等数学的历史, 体现高等数学概念

高等数学的历史就是数学发展的历史。只有了解了数学的来龙去脉, 学生就可以从本质上掌握高等数学。例如, 在讲解极限概念时, 老师可以先引入庄子的名言“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”这可以让学生无限的遐想下去, 通过理论联系实际让学生体会到“极限”思想。然后分析例子中的共同特性, 这样就可以引进极限的概念。那么定积分概念应该怎末讲解呢? 定积分概念的实质是极限的思想。定积分的思想即“分割→求和→取极限”。定积分的这种极限思想, 在物理学、工程学、和其他领域中具有重要的意义, 很多实际问题与定积分中“极限思想”是一样的, 高等数学教材引入“边梯形的面积、变速直线运动的路程”等实际问题提出, 运用极限思想, “分割→求和→取极限”引出定积分的概念。

2. 数形结合, 体现高等数学概念

有一部分高等数学概念的概括与提炼依赖于几何图形和感性认识。人们的感性认识往往反映的是对象现象、外部特征, 这些特征经过长期的积累, 将感性的认识升为理性的认识, 经过概括与提炼形成高等数学概念。波利亚说过: “这里应当有一种洞察事物‘内在境界’的尝试, 应当让所学习的材料经过消化, 吸收到学生的知识体系中去, 到学生的整个精神世界中去. ”例如, 老师在讲解导数概念时, 可以引入在物理学里的例子, 瞬时速度、瞬时加速度、角速度等应用。高等数学的概念虽然具有抽象性, 但是, 部分概念具有几何直观性老师在讲解时可以借助函数的图形, 引出高等数学概念。例如, 老师在讲解单调性、凹凸性等概念时, 可以先采用画图的方式, 让学生先观察图形, 然后在概括与提炼引入概念, 学生更容易理解。

3. 采用类比法, 体现高等数学概念

高等数学概念中有一部分是概念重组。因此, 老师在讲授这中概念时可以先复习和这个概念有关联的概念然后进行推广。例如, 在高等数学中学生首先学习的是一元函数的极限、导数、微分等概念。其次, 再学习多元函数的极限、偏导数、全微分等概念, 所以老师在教学过程中要引起重视, 分析对比概念之间的联系和不同之处。建立概念之间的联系, 采用类比法, 由旧概念引进新概念。

4. 建立概念网络, 体现高等数学概念

高等数学概念发展是具有体系的、成网络状发展。例如, 在积分学里的定积分、重积分从积分区间角度分析, 已经由一维空间推广到二维、三维空间甚至更高维数的空间。

三、掌握概念的实质, 理解高等数学概念

掌握概念的实质可以让学生准确地掌握高等数学概念。在教学中, 充分揭示概念的实质有利于加深概念的理解。例如, 老师讲解导数概念时, 不要让学生死记硬背, 应该讲解导数概念的实质: 函数增量与自变增量的比值, 当时的极限, 即函数在处变化率, 它反映了函数相对于自变量的变化快慢的程度。而导数概念的本质反映的是变化率, 这样就能让学生更好的掌握导数概念, 而不是单单死记那些数学符号。

掌握概念的实质以及每个概念的实用情况可以让学生更好的理解高等数学概念。例如, 老师讲解函数在某一点是否连续时, 教材中介绍了三种概念, 这三种概念都是用来解释函数在某一点是否连续, 都揭示了时这一实质, 只是从不同的角度解释而已。但是这三种概念的用途却不一样, 在某一点的极限值等于在某一点的函数值, 这种概念用于具体函数在某一点是否连续时的判断, 其他两种概念多数是用来做证明题。通过这种讲解学生对概念的理解和运用更为深刻。

四、及时归纳总结, 巩固高等数学概念

在学完一个新概念的时候, 学生要及时归纳总结, 必须通过做习题反复使用, 才能巩固加深。高等数学概念是具有抽象性, 老师要引导学生及时总结新概念和旧概念之间的联系。总结内容简明、思路清新, 方便学生记忆。对于难以理解的概念学生可以通过做典型的练习题反复运用, 反复分析以便巩固高等数学概念。

小学数学的概念教学 篇4

一、呈现丰富素材，突出概念内涵

数学概念具有抽象性和高度概括性的特点，由于小学生的年龄特点和认知水平两方面的原因，它们对直观的、具体的感性知识比较容易接受，而对抽象的理性知识较难理解和掌握。因此，在概念教学过程中，教师应该尽可能多地为学生提供感性、直观的材料，尤其是尽量利用学生日常生活中常见的具有表现概念本质特征的实例。引导学生观察、操作、感知，形成鲜明、具体的表象。

例如，教学“长方体”的概念时，我于课前便布置学生去收集、观察日常生活中常见的长方体实物，比如魔方、书本、粉笔盒、牙膏的包装盒、砖头等。在课堂上又出示长方体教具让学生观察、触摸、测量以获得初步的感性认识。引导学生抽象出长方体的概念：有六个面，都是长方形（有时相对的两个面是正方形）所围成的立体图形叫作长方体。长方体有6个面、12条棱、8个顶点。长方体的特点是相对面面积相等，相对棱长度相等，从而形成长方体的数学模型。

再如，教学“圆周率”的概念时，我让学生分组于课前做了几个半径不等的圆，上课时让学生在小组内合作探究，想办法测量出圆的周长，再动笔算一算周长和直径之间有何关系，从而引导学生探索并得出“圆的大小虽然不同，但周长总是直径的3倍多一些”的结论，然后，我抓准时机引入圆周率的概念：圆的周长与它的直径的比值，是一个固定的数，称为“圆周率”。这样学生头脑中对概念的认识是建立在对感性材料进行充分感知的基础上，既知其然，又知其所以然，所以掌握得比较牢固和透彻。

二、对比衬托，强化概念表象

为了防止学生对相似或相近的概念混淆，教学时我总是引导学生进行比较辨析。通过比较和辨析，可以使学生对各个概念的本质特征认识得更加清楚，从而更加确切地帮助学生认识它们之间的联系与区别，加深对概念的理解。

例如在教学“整除”和“除尽”这两个概念时，我就引导学生理解：“整除”是在整数范围内进行的，也就是说被除数是整数，除数是整数（0除外），商也是整数而没有余数，如：24÷8=3；而“除尽”是两数相除（不管是整数还是有限小数），商是整数或有限小数，如：3÷6=0.5。两者的相同点是都是两数相除后商没有余数。它们的区别在于前者所有的数必须全部是整数，而后者各个数都可以是整数或小数。

再如在教学“因数”“质数”“质因数”这几个概念时，我就引导学生比较“质数”和“质因数”之间的联系和区别。质数和质因数它们的相同点都是：“只能被‘1和‘本身整除”，不同点是：质因数必须是在乘法运算式子中体现出来，而质数可以单独表示。教师可以运用实例帮助学生区别清楚，如24=3×8，这里应让学生明确，3是质数，而且3是24的因数。所以，3是24的质因数。而8不是24的质因数，因为8不是质数，但它仍是24的因数。在24=2×2×2×3式子中，2也是24的质因数，因为2也是质数。这样通过实例帮助学生进行比较，从而进一步明确三者的联系与区别。另外为了让学生理清小数的概念，对一些比较复杂的概念最好的方法就是列表区分。例如，在学完小数部分的内容后，为了让学生理清小数的各个概念，把概念系统化，我设计如下表格，从纵横两方面进行比较，从而理顺它们的关系。

从表中可以较为清楚地看出，这些概念之间既互相区别又互相联系。如纯小数中就既含有限小数，也含有无限小数，纯循环小数中既含纯小数，也有带小数。纯小数与纯循环小数的外延有重合部分，但并非概念等同。这样经过横向和纵向的比较，学生在各概念之间不会产生混淆，提高了学生对易混概念的分辨能力。

三、加强变式练习，厘清概念外延

练习是巩固与深化理解概念的重要手段。当学生形成概念之后，教师可以根据不同情况，采取各种不同形式的练习。如：判断练习、对比练习、变式练习以及综合练习等，作为有针对性的作业。

例如，当学生学习了各种四边形之后，我便抓住各个概念间的内涵差异，引导学生按照它们之间逻辑关系，组成一定序列的概念系统，如：

这样，学生就能从中明确各个相关概念间的联系与从属关系，经过归类学习，学生不再是简单理解个别概念，而是有顺序地学习了一个完整的链条式的系统概念。从而促进了对概念认识的深化。

再如，在教学三角形的面积计算公式时，我在黑板上画出了一个三角形（如下图），然后请学生在上面画出三角形的高，并通过测量底和高的长度计算出三角形的面积。一开始学生都误以为只有下面的那条边才是底，所以大都只画出一条高，后来我启发他们说其实三角形的每一条边都可以作为它的底，并且引导他们在每条底上都画出相应的高，然后再通过测量、计算、比较，从而进一步深化和掌握了三角形的面积计算公式。

总之，在小学数学的概念教学中，教师应根据各个概念的不同特点，采用多种灵活的形式和手段，通过不同的层面，让学生能深刻、准确、系统地理解和把握抽象的数学概念，使学生不但能牢固地掌握概念，还能使学生把数学概念灵活应用，解决生活中的实际问题。

试论如何加强高等数学概念教学 篇5

高等数学概念教学我认为应注重以下几个方面:

1 讲清概念产生的实际背景, 很自然地引入概念

心理学研究表明, 人的心理源泉是客观事实, 一个人脱离了客观现实, 心理就成了无源之水, 无本之木, 各种心理现象就不可能产生。数学概念的接受心理也是如此, 学生只有在了解了概念产生的实际背景时才乐于接受。因此在教学过程中, 应尽可能地从概念的几何背景、物理背景或其他实际背景入手, 把概念的提出、形成、探索过程呈现出来, 这样概念的出现才不会显得突兀, 也能使学生对概念作更深层次的理解, 养成良好的思维习惯, 从而提高学生发现问题、解决问题的能力。如导数概念, 导数概念的基本原型是变速直线运动的瞬时速度问题, 物体的瞬时速度的本质是平均速度的极限, 其基本思想是先近似再精确, 借助于极限方法从有限转化为无限, 从量变过渡到质变。如果舍去问题的具体意义和函数对自变量的变化率都可归结为一种相同形式的极限, 即“平均变化率”的极限, 从而给出函数在某点的导数概念, 这样就使得数学概念有一种“看得见, 摸得着”的感觉, 学生结合具体问题也能更深刻地理解概念。

2 讲清数学概念的内涵

概念反映的事物的本质就是概念的内涵, 一个概念区别另一个概念的实质就是它们的内涵不同, 所以要想使学生正确理解概念, 必须揭示这一概念的内涵, 因此在教学过程中, 应引导学生在各个实例中分析概念的本质属性。例如:对坐标的曲面积分与二重积分的定义表面上看起来相似, 它们都是通过“分割-近似-求和-取极限”的方法作出的一种和式极限

但其本质不同, 讲授时应引导学生仔细分析实例, 通过对比弄清它们的本质区别:二重积分是定义在平面区域D上的二元函数与小区域面积dxdy乘积的和式极限, 对坐标的曲面积分则是定义在有向曲面S上的三元函数与该有向曲面上的小有向曲面块在xoy面上的投影dxdy乘积的和式极限, 只有突出这个本质区别, 学生才能分得清哪是二重积分, 哪是对坐标的曲面积分, 且能很容易掌握在计算中处理正负号的方法。

3 在概念的相互联系中教会概念

在教学过程中, 对一些相近、相似或相关的概念, 应引导学生去理解这些概念之间的联系, 使它们成为系统知识, 从而达到系统地掌握基础知识的目标。在具体教学过程中, 可以引导学生通过归纳、比较、讨论找出它们之间的联系与区别, 让学生在比较中加深对各个概念的理解, 从而从整体上把握所学到的数学概念。例如:定积分的概念与重积分、曲线积分和曲面积分的概念, 在讲授定积分概念时, 我们可由曲边梯形面积、变速直线运动的路程等问题入手, 紧紧围绕“分割-近似-求和-取极限”的步骤, 加强学生对定积分基本思想的理解。定积分概念来源于求不规则平面图形的面积和不规则立体的体积问题, 这些问题的共同特征是非均匀分布, 我们在求解这些问题时所采用的“分割-近似-求和-取极限”的方法即微元法, 其基本思想也是先近似再精确, 借助于极限方法, 从有限到无限。对于多元函数积分学中的重积分、曲线积分、曲面积分概念, 在讲授时, 我们可采用归纳、比较的方法, 着重讲清这几类积分与定积分的联系, 可将它们视为定积分的推广, 采取由简到繁、由低维到高维的思路引入相关概念, 由定积分概念很自然地过度到其它形式的积分。如:从曲边梯形面积向曲顶柱体体积的过渡, 从曲边梯形面积向曲线形构件的质量问题的过渡等都是很顺畅的。这样引入概念很容易被学生接受, 要让学生明白, 无论哪一种积分都离不开“分割-近似-求和-取极限”的基本方法, 这样对于重积分、曲线积分、曲面积分概念的理解就更加深刻了。

高等数学中的极限、导数、积分等基本概念, 蕴含了高等数学理论体系中的基本思想, 体现了高等数学中解决实际问题的基本方法, 深刻理解这些思想方法, 是学好高等数学的基本要求。总之, 要提高高等数学的教学质量, 教师用心讲好概念是非常重要的。讲清概念之后, 还应引导学生准确运用所掌握的概念, 从而提高学生运用所学知识解决实际问题的能力。

参考文献

[1]同济大学数学系编.高等数学[M]第六版.高等教育出版社.2007、04

[2]赵瑛.建构理论在数学概念教学中的应用[J].电大理工.2009.06

高等数学的概念教学 篇6

一、函数连续性教学探讨的必要性

首先,由于在自然界中存在很多常见的连续现象,如气温的变化、河水的流动、植物的生长等都是连续地变化着的,尽管连续性的物理意义和几何直观都比较浅显,但在学习中仍需要给连续性下一个明确的数学定义,这是因为在实际问题中常要遇到很复杂的函数,在考察它们的性质包括连续性时,它们不一定都有清晰的物理背景和简单的几何直观,因而仅靠感觉是无法进行准确的运算和推理的. 在学习这节内容之前,学生对这一概念并不完全陌生,但他们头脑中的连续完全是由上述一些原形形成的生活中的概念,如何让学生去寻求这些现象的共性,结合这些现象去理解数学中连续的概念,是函数连续性这节教学的重点.

其次,在《高等数学》第一章学习了极限概念之后给出连续的概念,是高数中第一处运用极限的知识去研究函数的性质,具有非常重要的地位,也是学生学好高等数学后续内容的基础.

二、函数在一点连续教学过程的具体实现

高等数学中,函数在一点连续有两个等价的定义式,分别为:在教学过程中,我们如果仅仅是照本宣科地依次讲解、推导这两个概念,并不一定能起到学生加深理解的作用和效果. 我们可以更形象的将这两个定义分为“静态定义”和“动态定义”两种形式,分别从静态和动态两个角度结合图像来讲述“函数在一点连续”这一重要概念的含义. 使学生从多角度加深对连续性概念的理解.

1. 静态定义

大部分课本上,静态定义式是由动态定义式推导出来的,在此,我们可以运用一种更形象的分析方法: 研究函数在某一点是否连续,可以先让学生观察函数图像,一般意义上我们理解的函数在一点x0处连续对应到图像上就是函数图像在这点处不间断. 如果函数图像在x0处断开了,那么,对于断开处的点f( x0) 本身而言,我们可以把它归到图像的左边部分,也可以归到右边部分. 若将这点归到左侧图像,则能得到函数在这一点的左极限恰好等于这一点的函数值,即:如图1) ; 若将此点归到右侧图像,则得到函数在这一点的右极限恰好等于这一点的函数值,即:如图2) .

如果函数图像在这点处没有发生间断,则这点既可以归到左侧图像,也可以归到右侧图像,根据左右极限的定义,我们就得到关系式成立( 如图3) . 此时,0函数在这点处是连续的. 因此,函数在一点连续的定义可叙述为:

定义1设函数y = f( x) 在点x0的某个邻域U( x0) 内有定义,如果存在,且等于f ( x0) ,即x→x0x→x0则称函数y = f( x) 在点x0处连续,点x0称为函数的.连续点.

由于在这个研究过程中,我们把x0点看作是相对静止的,所以这个定义我们把它称为“静态定义”. 结合上述定义以及函数左右极限的定义,我们得到,当成立时,称函数f( x) 在x0点左连续,成立时,0称函数f( x) 在x0点右连续. 因此,函数在点x0连续的充分必要条件是: 函数在点x0既左连续,又右连续.

而且,由静态定义我们可以分析得出,函数f( x) 在点x0处连续须下述三个条件皆满足: ( 1) f( x) 在点x0的某邻域内有定义; ( 2) 极限存在; ( 3) 极限的值等于该点函数值f( x0) . 我们常用上述三个条件来讨论函数在f( x) 某点处是否连续. 这样,就可以引导学生在理解概念的基础上,学会通过三步具体步骤来掌握利用静态定义判断函数在一点处是否连续.

不同分段函数的分段方式不同,对于分段点两侧表达式不同的分段函数,我们可以分别研究函数在一点是否左、右连续,来判断函数在该点是否连续. 因此,讲完例1,我们可以再给出学生一个此类例题加以分析对比.

分析由于f( x) 在x =π/2处的左、右表达式不同,所以先讨论函数f( x) 在π/2处的左、右连续性.

分析了这两个例题后,引导学生比较两个题目的解法,使学生通过差异对比,灵活掌握判断函数在一点连续的方法.

2. 动态定义

函数在x0处连续的定义还可以用在几何上更为直观的动态定义来叙述. 我们把x表示成x = x0+ Δx,这样变量x可以看成在x0处有了一个增量Δx,相应的,函数值f( x0+Δx) 与f( x0) 也相差一个增量Δy = f( x0+ Δx) - f( x0) ,按这种记法,在x0处,当|Δx |很微小时,Δy也很微小. 特别当Δx→0时,也有Δy→0,即当自变量发生微小改变时,函数的相应变化也非常微小. 这就是函数y = f( x) 在x0处连续的实质,由此函数在一点连续的定义也可以叙述为:

定义2设函数y = f( x) 在点x0的某个邻域U( x0) 内有定义,如果在x0处,当自变量的增量Δx趋于零时,对应的函数的增量Δy也趋于零,即:,则称函数y = f( x)在点x0处连续,点x0称为函数f( x) 的连续点.

这个定义过程,体现了函数在x0点自变量和因变量的动态变化的过程,因此我们称为函数在一点连续的“动态定义”.

根据动态定义,我们引导学生观察下列两图: 由图4可以看出,函数y = f( x) 是连续变化的,它的图像是一条不间断的曲线. 当x0保持不变而让Δx无限趋近于零时,曲线上的点N就沿着曲线趋近于点M,即Δy趋近于零. 符合连续的动态定义. 而由图5可以看出,函数y = φ( x) 不是连续变化的. 它的图像是一条在点x0处间断的曲线. 当x0保持不变,让Δx无限趋近于零时,曲线上的点N就沿着曲线趋近于点N',Δy不能趋近于零,不符合连续的动态定义,所以函数y = φ( x) 在点x0处不连续.

借助图像的直观性,学生能进一步深入理解动态定义的实质.

3. 静态与动态的等价关系

静态定义和动态定义只是从不同角度、运用不同方法来研究的函数在一点的连续性,两个定义的实质是等价的,可以互相推导得到. 课堂上,我们可以给学生推导从动态定义式推出静态定义式的过程,让其在课下推导其反过程,加深对定义的理解巩固.

在动态定义式中,若记x = x0+ Δx,则Δx = x - x0,相应的函数的改变量为Δy = f( x) - f ( x0) ,当Δx→0时,即x→x0时,Δy→0,即[f( x) - f( x0) ]→0,也就是f ( x) →f ( x0) ,于是就得 到,反之,由静态定义式也可以推导出动态定义式,可以让学生自行推导. 由此,通过授课教师的分析和学生的实践,得出两个公式是完全等价的. 在不同的情形下,可以根据已知条件灵活选择不同的公式来判断函数在一点是否连续.

浅谈高等代数概念教学的策略 篇7

关键词：高等代数,教学,数学概念

基于高等代数的特点及其重要性, 高校应对现阶段数学教学实施改革。在改革过程中, 首先要加强数学概念的理解, 采取多样化的教学手段, 促进教学效率的提高。

一、多渠道帮助学生理解新概念的存在性

高等代数概念较多, 且难于理解。大学阶段, 学生已经具有一定的数学基础。为提高数学教学效率, 利用学生已有的数学概念具有积极意义。新概念的形成需要相关概念作为支撑, 从整体角度讲, 教师应注重新旧知识的串联, 通过多样化的教学手段帮助学生理解数学概念。如在多项式教学中, 初高中阶段学生已经掌握一定的多项式解题方法。大学阶段, 教师应适当提起这些方法, 将新知识中与多项式的加、减等相结合, 通过类比等方式加深学生的印象。再比如在欧氏空间教学中, 高中阶段的向量长度知识和夹角与其具有一定关联, 教师可先讲解向量的内容, 使学生找到向量与新知识教学之间的联系, 从而提高教学效率。总之, 高等代数自身的特点要求高校数学教师在教学过程中尽量将概念具体化、形象化。在给出问题后, 教师应多举实际例进行说明。矩阵使大学阶段的重要教学内容之一, 这种教学内容具有繁琐性、难理解等特点, 学生已经掌握的二、三元一次方程组的消元法满足矩阵的特征, 通过二者之间的联系, 学生就很容易掌握矩阵的特性和棋计算方法, 从而使复杂的问题简单化。

二、建立新概念应注意概念内涵与外延

概念的形成并非一朝一日, 而是长期累积的过程。数学教学更是应该遵守循序渐进的原则, 因此概念教学应从感性到理性的转换。在数学中, 对于已经定义的概念要进行适当的探究, 概念的外延对其应用的广泛性和灵活性具有指导意义。当然, 还应弄清数学概念的基本含义, 指导学生在遇到数学问题时能够采用正确的解题方法, 活跃期数学思维。在线性空间这一代数知识教学中, 教师应引导学生正确认识线性空间的实质, 了解其应满足的规则。这一概念过于抽象, 教师应从其内涵入手, 让学生掌握以下内容, 1) 线性空间属于一个代数系统;2) 线性空间对两种代数运算 (加法和数量乘法) 进行了定义; 3) 加法满足4条规则。同时, 教师要列举一定数量的实例加以证明, 通过验证增强学生的信心。通过反复的训练, 学生对这一复杂概念得到正确理解, 概念更加形象化, 进入实现灵活运用。

三、在已有经验基础上揭示高等代数概念来源

理解抽象的概念需要建立在对已有概念的认知前提下。因此, 高等数学教学中, 教师应重视学生已经经验的联系, 进而引发认知冲突, 抓住重点, 及时解决学生的困惑。教师应摆正自己的位置, 启发学生发现新的事物是教师的主要任务。数学教师应起到积极的引导作用, 激发学生主动探究精神, 加深其对数学概念的理解。因此, 数学教师应了解学生的已有经验, 通过类比、概括总结以及验证分化等多种手段, 从中学到问题和概念的理解方法。与此同时, 教师还应重视教学创新。

四、注意知识整理, 构建系统化的知识体系

高等代数概念之间的关联性较强, 章节之间的联系较为密切。要提高代数教学效率, 教师应帮助学生进行知识疏通和整理, 合理安排知识的教学顺序。通过教师的归纳、总结进一步加深学生对知识的认识, 通过知识的延伸可使学生将理论知识应用于实践。总之, 任何一门学科或者知识都不可能独立存在, 因此知识的整理具有必然性。在实际教学中, 数学知识系统的构建应通过横向和纵向两个方面实现。其中, 关于矩阵、三角矩阵和单位矩阵等问题可进行横向整理, 即对从属关系的相关概念进行整理, 并通过简单知识的学习推此及彼, 不但可以促进学生对知识的理解, 还可以减轻数学教师的压力。而在于相邻或者相关章节的知识, 应进行纵向整理, 如线性变化与对角化之间具有一定的联系。要解决这一问题, 只需要正确理解一维子空间与n维向量之间的关系即可。事实上, 后者是前者的总和。加之学习了本征向量, 线性变化对角化就可以得到解决。因此, 教师应注重循序渐进和知识之间的串联。

总结

数学概念在数学知识学习中具有重要作用, 但数学概念自身具有复杂性、抽象性等特点, 导致学生理解起来较为困难, 学生对其兴趣较低。为提高数学概念的教学效率, 教师应采取循序渐进的教学方式, 注重知识之间的联系。将中学阶段所中学知识汉语大学数学之间相联系, 开拓学生的解题思路。将复杂的概念具体化、在已有经验基础上揭示高等代数概念来源, 实现数学教学目标。

参考文献

[1]赖弋新, 杨慧娟.高等代数概念教学策略初探[J].菏泽学院学报, 2013 (02) .

[2]翟莹.师范院校高等代数与解析几何教学改革探究[J].四川教育学院学报, 2010 (1) .

[3]臧国心.高等代数概念课的特征及教学原则[J].2010 (08) .

高等数学的概念教学 篇8

从教的角度看，概念教学的核心是引导学生开展概括活动：将凝结在数学概念中的数学思维活动打开，以若干典型具体事例为载体，引导学生展开分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性、归纳得出数学概念等思维活动而获得概念．数学教学要“讲背景，讲思想，讲应用”，概念教学则要强调让学生经历概念的概括过程．

从学的角度看，概念形成和概念同化是两种基本的概念获得方式．概念形成的实质是抽象出一类对象的共同本质属性的过程，其思维活动的核心是概括；概念同化就是学生利用已有认知结构中的相关知识理解新概念，理解的过程是新旧知识的相互作用过程，是将新知识纳入已有认知结构的过程，思维活动的核心仍是概括．

本文以函数概念的教学为例，通过对学生在理解函数概念时所经历的基本体验和遇到的认知障碍的分析，来探寻更为合适的数学概念的教学设计．

案例函数的概念．

设A,B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x）和它对应，那么称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x),x∈A.

其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合C={f(x）|x∈A}叫值域（range).

函数概念已成为现代数学的基本思想之一，是整个高中数学的核心概念，它渗透到了数学的一切领域．函数是数学知识体系的有力基础，也是数学学习中最难掌握的概念之一．

数学发展史表明，函数概念从产生到完善，经历了漫长而曲折的过程．这不但因为函数概念系统复杂、涉及因素众多，更重要的是伴随着函数概念的不断发展，数学思维方式也发生了重要转折：思维从静止走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系，实现了数与形的有机结合，在符号语言与图、表语言之间可以灵活转换．在函数的研究中，思维超越了形式逻辑的界限，进入了辩证逻辑思维．与常量数学相比，函数概念的抽象性更强、形式化程度更高．

1 突出函数概念的本质和建构过程

函数概念的本质是：函数被定义成两个数集之间的映射，要求“集合A中任意一个元素在集合B中有唯一的一个元素与之对应”．这一似乎非常容易理解的定义在教学实践中被证明是非常抽象而且难懂的．实际上这里的“任意”二字是不容易把握的，学生常常不能认识到，函数把定义域中的每个元素转换到一个有范围的唯一确定的新元素．可以毫不夸张地说，函数定义的这种处理方法是一种把严格的形式强加给学生的方式，学生不但缺乏认知准备，而且在学习中也没有得到理解定义所必须经历的过程，因此，教师并没有给学生营造理解函数定义的环境．这样，学生除了能够背诵定义的条文以外就再也没有别的了．形式化的处理方法是希望学生能够按照数学的严谨性标准来理解概念，而且希望这种深刻的理解能够得到迁移．也就是说，只要学生真正理解了数学的基本原理，那么这种原理就会在处理其他问题时得到自觉的应用．但实际上这种迁移并不容易发生．

教学设计为了让学生在经历函数概念的概括过程中，更好地体会其本质和思想方法，遵循教材编写意图，在简要回顾初中函数概念的基础上，以三个有真实背景的实例为载体，先从“变量说”出发，并用集合与对应的语言详细讲解第一个实例的对应关系，再引导学生模仿叙述后两个实例的对应关系，然后以“你能概括一下这三个实例的共同特征吗？”为引导，使学生概括实例的本质而形成“对应说”．这样既衔接了初中阶段将函数看成变量间依赖关系的认识，又使学生在用集合与对应的语言刻画函数概念的过程中形成对函数概念本质的切身体验．之所以要鼓励学生采用多种表示方式探索规律，目的是为了使学生由此体验函数关系的产生过程，为后面的抽象概念学习打下基础．实际上，在探索过程中，学生可以获得变量之间相互依赖关系的切身感受，这种感受对于理解抽象的函数概念是非常重要的．因此，教学中，教师应当多采用学生熟悉的具体实例，引导学生认识其中的变量关系．另外，在上述过程中，学生所使用的主要是归纳的思维形式：通过归纳，探寻规律．归纳之重要性，不仅在于由它可以猜想结论，可以培养学生的创新思维，而且还在于它采用了由具体到抽象、由特例到一般的形式，这就可以使推理建立在学生已有经验的基础上，这是符合学生的认知规律的．

让学生举例是为了让学生参与到概念的形成过程中来，为概括函数的本质特征提供丰富的背景基础．学生在举例时要考虑许多问题，比如：需要说明什么问题？哪些例子可以说明这个问题？哪个例子能切中要害？课堂实践表明，学生会尽量举与众不同的例子，因此可以得到丰富、多样的例子，学生可以从中得到相互启发；有的学生举的例子不确切，说明他的理解还不到位，正好可以用来纠正偏差；在说明自己的例子是函数的过程中必须使用概念，因而能深化学生的概念理解，提高学生的思维参与度．“你凭什么说你举的例子是函数？”就是要促使学生“回到概念去”．数学思维的特点是用概念思维，是逻辑思维．多问“为什么”，可以暴露学生的思维过程，而不是满足于获得答案；可以培养学生质疑的习惯；可以培养学生发现问题的能力．

2 利用认知冲突寻找新旧知识转变的切入点

实际上，高中生不是首次接触函数．在初中，学生已学过函数概念，认识到函数研究的是变量之间的依赖关系；学习过函数的表示法；函数的图像；并学过几个具体的函数（正比例、反比例、一次、二次），对函数已有不少认识．定义域、值域虽然没有作为一个概念提出，但学生已从具体函数的应用中体验到自变量有取值范围的限制，相应地，因变量也有一定的取值范围．这些都是重要的学习基础．初中的函数是建立在“变量说”的基础上的，高中阶段要建立函数的“对应说”，虽然它比“变量说”更具一般性，但两者的本质一致．不同的是：表述方式不同，高中用集合与对应语言表述；明确了定义域、值域；引入了抽象符号f(x）表示集合B中与x对应的那个数，当x确定时，f(x）也唯一确定．

我们知道，f:A→B表示的是这样的一个“过程”与“结果”的统一体：x在函数f下的对应值为y，而且这里的f必须是一个映射，这个符号的内涵非常丰富，而且也非常复杂．实际上，许多学生在高中毕业了也没有真正搞明白f:A→B到底是个什么．例如f(1)=1,f(a)=a,f(x)=x-1，这些是不是函数？f(x)=x2的对应关系式怎样的？

教学设计教学实际中，对于函数f(x)=x2，学生并不能很顺利地说出它们的对应关系，也不能顺畅的转化为集合与对应的语言表示．我们在教学中可以通过赋予y=x2以实际意义，如以“正方形的边长与面积间的关系”为载体，通过具体图形，建立边长与面积间的对应关系：1→1,2→4,3→9,4→16，…，“一般化”为x→x2，实质是概括出“对应关系”这一核心；对“x→x2”进一步“一般化”，可以表示其他问题（如匀加速运动）的变化规律；将各种具体事例的“对应关系”（再概括）浓缩为一般性符号“x→f(x）”，得到一个具有“一般性”的“对应关系”，再用严谨的数学符号语言表述，得到形式化的函数概念，这是更高层次的“一般化”活动．给学生的思考和用概念解释问题建立了一个“参照系”，学生对抽象的函数概念特别是对应关系的理解也就变得具体有形了．

另外，学生还在学习中接触了通过图形、表格表示变量之间依赖关系的大量实例．在这个过程中，学生逐渐地把作用于函数的操作（输入———输出）、各种表示法（箭头、表格、语言描述、符号表示、图形等）以及作为对象的函数一起，内化到头脑中．一个操作必须得到内化，而一个内化了的操作是一个过程．操作只有得到内化，学生才会有自觉地反映它并把它和其他操作组合起来的可能．内化的过程需要经历适当的训练．学生在操作大量具体函数的基础上获得“对于数集A中的任意一个元素x，在数集B中都存在唯一的一个元素y与之对应”这一思想，它不依赖于任何特定的函数，对集合A,B以及对应关系f没有具体限制，但有“两个集合元素之间的依赖关系”的内涵，并能进行“输入—输出”的运算．这是一个由内化操作所得结果的过程，它是建构过程的一条途径．

3 利用不同表示方式减轻数学概念的抽象程度

函数及其相应的子概念具有高度的抽象性．随机地打开任何一本数学杂志或者教科书，数学符号和公式会随处可见．学生常常会浏览这一页看看符号和公式是否熟悉．如果其中有许多是他们不认识的，那么他们的脑子里立即会蹦出一个字：难！他们会想，需要花多少时间和精力才能理解所写的是什么呀！这会引起学生的焦虑．而且这种感受在我们的学生中比较普遍．我们知道，学生对数学内容的这种感觉主要是因为数学语言与他们熟悉的日常语言之间的差异很大，数学语言具有最大的抽象性，抽象是数学研究的一切．这种抽象性和它在课堂里的快速推进常常是造成许多学生数学学习失败的主要原因．

教学实践表明，对大多数学生来说，符号、记号等等越多就越复杂，实际上对教师自己来说也是这样的．符号常常是学生出问题的原因，即便符号所表示的基本思想是简单的，而对于函数这样的具有多样性、丰富性和复杂性的概念的符号表示则更是如此．数学学习焦虑，常常是因为过分热衷于使用符号和抽象的“心智”过程而引起．当人们看到通篇都是数学符号的数学著作时，产生“头都大了”的感觉是非常自然的．

教学设计函数概念的学习中，要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言与图形语言的灵活转换．但在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的．通常，在人们头脑中，函数的表示主要使用解析式，但实际上各种表示（语言的、图像的、表格的、符号的）之间的相互转换，可以加深学生对函数概念的理解．例如：y=f(x）如同一个加工厂，输入给定范围A内的数值x，经过f而加工为另一个在给定范围内的数值y，由于文字语言把对应关系叙述的具体明确，引导了学生的思维，学生解决此问题的困难就大大降低了．数学问题的用词会影响学生回答问题的能力．因此，在教学过程中，经常要求学生用自己的语言重新叙述问题是减轻数学问题的抽象程度的一个有效手段．中学的函数概念发展需要形象化的支持，发展学生数形结合的能力是发展函数概念、获得对函数概念的深刻理解的重要途径，作为代数的函数概念与作为几何的函数图像的紧密结合也是发展关于函数的认知结构的主要途径．通过强调函数的形象表示可以减少函数概念的学习困难．另外，直观和形象化技能也是可以训练的．

数学概念教学的方法探索 篇9

1.数学概念及作用

1.1什么是数学概念

数学概念是反映现实世界中空间形式数量关系本质属性的思维形式。所谓“本质属性”，就是指它构成某种事物的基本特征，这种属性只为这类事物所具有。例如：等腰三角形的属性：有三边，三个顶点，三个内角，两边相等，两个底角相等。其中前三个属性为一般三角形的属性，后两个属性之一为本质属性。这是因为后两个属性中，只要其中一个属性，就能把一般三角形与等腰三角形区分开。

关于“概念”的含义，列宁曾指出，“概念是人脑的高级产物。”毛泽东同志也曾经指出：“概念这种东西，已经不是事物的现象，不是事物的各个片面，不是它们的外部联系，而是抓住了事物的本质，事物的全体，事物的内部联系了。概念同感觉，不但是数量上的差别，而且有了性质上的差别。”例如，直角三角形这个数学概念，它的本质属性是有一个内角是直角，至于三边的长度，其他两个锐角的大小，都是次要的，非本质的属性。

概念是思维的形式之一，它是和词语或语句联系在一起的，任何一个概念都是用词语或语句（联系）来表现的。概念的词的表现就叫概念的名称。例如。直线，自然数都是用词来表示的，三角形的高，三角形内角平分线是用语句来表现的。有些概念，可用不同的次来表现，例如，等边三角形与正三角形表示同一概念，矩形和长方形表示同一概念，有些不同的概念，还可以用词语来表现，例如，“根”这个数学概念，这表示开方的结果，又表示方程的解。

1.2概念的产生和作用

数学概念不是人们头脑里固有的，它是人们在社会实践上，经历了从感性认识上升到理性认识，从感觉、知觉形成概念，通过分析，综合，抽象，概括，最后获得数学概念。有些数学概念是直接从客观事物的空间形式和数量关系得来。例如，“圆”这个概念，是从对太阳，满月，车轮等事物的感觉和知觉，经过抽象和概括而来。有些数学概念是在已知的数学基础上，经过复杂的抽象概括产生的。例如，无理数，复数，是分别在有理数系，实数系的理论基础上产生的。数学概念虽然抽象，但是它是现实世界空间形式和数量关系本质属性的反映。它是人们认识客观对象的工具。

一切科学都是又概念构成的理论体系，只有明确概念，才能把握科学的实质。概念的作用就在于人们从整体上去研究某事物，并把这一类食物的本质属性分离出来，使人们把握住本质属性，从而加深对这一类事物的理解，并与其他的事物区别开来。例如，有了“函数”的概念，人们就可以抽象地研究函数的性质，总结出一般性的规律，进而指导对一个个具体函数的研究，这就是具有普遍的指导意义。

2.数学概念的教学

2.1深钻教材，理解概念

要把概念讲清楚，必须深入钻研教材，对教材的内容做到数量、掌握、弄清概念的内涵、外延及种属关系，弄清概念的产生和发展过程。譬如，在讲数的概念时，随着年级的增高，数的概念是不断扩充的，因此，担任不同年级的课，要把数的概念扩充之间的关系及程度。在讲旋转体时，要明确旋转体与圆柱、圆锥、圆台、球之间的关系，在讲反三角函数时，更需要深入钻研教材，因为这个概念不仅联系到函数、反函数、三角函数，还涉及到定义域、值域、对应等概念，只有把有关的概念搞清楚，才有可能掌握反三角函数。

2.2结合实际，引入概念

数学中的概念，是人们在长期的生产实践中，抓住事物的本质而总结出来。因此，在教学中，应当根据学生已经掌握的知识，结合生产或生活中实际例子，引入新概念。

2.3抓住本质，讲清概念

概念引入后，学生初步掌握了概念的定义，并不等于完全理解概念的本质。还必须在感性认识的基础上，对概念作全面的分析，采用不同的方法，从不同的角度和方位揭示概念的本质。

（1）突出概念的主要特征。任何一个概念都有各自的本质特征，采用各种手段，分析本质特征，带动对概念的全面理解。

（2）认清概念将的关系。数学中的每一个概念都处在其余概念的一定关系中，概念之间的彼此的联系就构成了一个数学知识体系。因此，数学教学必须使学生逐步认清概念间的关系，从而系统地掌握数学知识。

（3）新旧概念对比形成正确的概念。有比较才能鉴别。对于容易混淆或难以理解的概念，利用分析对比法，易于找出异同，有助于抓住概念的本质，形成正确的概念。如“根式”与“无理式”两个概念，要引导学生从概念的内涵和外延上区分它们，它们是交叉关系，而不是包含关系。

（4）举反例强化对概念本质的理解。在概念教学中。要强调从正面讲清概念。但适当地举一些反例让学生辨认，对于突出概念本质，澄清学生的模糊认识是很有帮助的。

2.4巩固深化概念，灵活运用概念

数学概念的教学，必须通过从生动直观到抽象的思维，又从抽象的思维到实践，这样多次反复才能完成。学生是否真正透彻理解和牢固掌握了概念，还有待于在实践中检验。例如，讲完对数之后，可以出一组包括指数和对数的互化，求对数、真数、底数等题目，让学生做联系，通过联系，会进一步巩固对数的概念及运算法则的理解。

初中数学概念的教学 篇10

在平时的教学中, 有的教师只关注概念的定义和形式, 不去探究概念的形成和发展过程, 只关注学生目前的考试, 不去培养学生的后续发展, 导致学生对概念的理解不够透彻, 运用时就含糊不清.在概念教学中, 教师要讲究教学方法, 注重概念的形成过程, 多启发学生, 多培养学生的主动性与创造性;同时要帮助学生理解概念的本质和内涵, 弄清概念之间的区别与联系.本人结合自身的教学实践, 谈一些粗浅的做法.

一、弄清概念的来源

概念的获得有概念形成与概念同化两种形式.概念形成是指人们对同类事物中若干不同的例子进行感知、分析、比较和抽象, 以归纳的方式概括出这类事物的本质属性而获得概念;概念同化是指直接揭示概念的本质属性, 利用学生已有的知识经验, 通过分析和比较, 主动地与原有认知结构中有关概念相联系, 从而掌握概念.因此, 要理解和掌握概念, 必须要让学生知道概念是如何形成的, 作为教师, 要组织好概念的形成过程, 而不是单纯地告诉学生这个概念的定义.

1. 与旧知识的联系形成概念

学生对新知识的获得应建立在已有生活和知识经验的基础之上, 然而很多时候又会受原有知识负迁移的影响, 从而产生认知上的冲突.教师若不能很好地处理知识间的联系与区别, 学生就很难真正理解和掌握知识, 更谈不上知识的运用了.如学习“一元二次方程”是在“一元一次方程”的基础上, 教师在讲解一元二次方程时, 从生活实际例子出发, 得到一些方程, 它与学过的一元一次方程有相似之处, 但是又不完全相同, 让学生自己归纳方程的特点, 然后自己给它下一个合适的定义.学生利用已有的知识经验, 主动地与自己的头脑中原有的知识相互联系、相互作用, 理解它的意义, 从而获得新概念.

2. 从生活实际引出概念

新课程标准要求:“数学教育应努力激发学生的学习情感, 将数学与学生生活、学习联系起来, 学习有活力的、活生生的数学.”那么, 用生活中的实际例子来引入数学概念, 联系生活实际讲数学, 把生活经验数学化, 把数学问题生活化, 更有利于学生掌握和理解概念.如在学习“正数和负数”时, 就是从学生的生活实际出发, 如: (1) 某一天北京的温度是-3℃～5℃. (2) 吐鲁番盆地的海拔高度是-155米. (3) 昨天, 我的工资存折收入是-2000元.让学生理解, 正数和负数是表示意义相反的量, 是实际生活和生产的需要引入了“负数”.在教学过程中, 老师选取一些生动形象的实际例子来引入数学概念, 既可以激发学生的学习兴趣和学习动机, 又符合学生由感性到理性的认识规律.

3. 构建数学活动形成概念

在概念的教学过程中, 设计合理的数学活动, 可以加深学生对概念的理解, 体会概念的形成过程, 同时能体现学生学习的主动性和主体性.

例如, 学习“垂线”时, 教师设计一个数学活动, 其数学模型:相交线模型 (把两根木条中间用钉子固定) , 让学生把其中一根固定, 另一根绕固定点转动, 观察转动过程中, 两根木条是不是可以想象成两条相交线, 有没有转动到某一个位置时你觉得比较特殊?

从相交线模型出发探究, 既符合学生已有的知识经验和认知水平, 又能激发学生的求知欲望.让学生把模型转动到最佳位置, 并提出只根据观察就能确定最佳位置吗?是否可以通过一个具体的量进行判断?从而启发学生从相交线构成的角度入手进行思考, 再进一步得出垂线的概念.通过这一个活动的设计, 既抛弃了重结果轻过程的问题, 又加深了学生对垂线的理解.教学的目标不是传授知识, 而是关注学生的发展, 关注学生的美好明天.

二、讲清概念的意义

受新课程倡导淡化概念的影响, 大部分教师在进行概念教学时, 往往会忽视对概念的阐释, 导致学生不能把握概念的内涵和外延, 从而不能正确、灵活地运用概念.

在平时的练习中, 学生往往认为不是分式, 理由是约分后所得的结果是a.错误的原因是没有讲清分式的概念, 对分式的理解不到位.再如有一道题“分数” (填“是”或“不是”) , 学生的得分率很低, 原因是学生对有理数和无理数的概念没有理解透彻, 教师在讲解实数时, 若能让学生经历数的范围不断扩大的过程, 搞清有理数与无理数的本质区别 (化成小数后是否循环) , 讲清实数的分类, 学生就不会出现大面积的错误.

在“解直角三角形”的教学中三角函数实际上是线段的比, 以正弦为例, 正弦的值本质上是一个“比值”, 这个比是∠A的对边与斜边的比值, 它随着∠A大小的确定而确定, 与∠A的对边与斜边的长度无关, 由于对边小于斜边, 所以这个比值小于1.通过这样分析, 学生对三角函数有了本质的了解, 教师进一步指出:直角三角函数只有六个, 这便是三角函数的外延, 在初中我们仅学习其中的三个, 即正弦、余弦、正切.

课本中经常出现一般形式、最简形式、标准形式和基本性质等, 讲清它们的意义, 有利于学生掌握一般规律, 更好地理解概念.对于方程、函数等概念, 先总结出一般形式, 再进行讨论.为什么要定义一般形式?因为对一般形式讨论, 就能得到一般结论, 用它可以解决各种各样的具体问题.例如, 对于多项式、分式、根式等, 为什么要规定一个最简形式呢?因为人们对所研究的对象, 为了突出其本质属性, 总要在外形上尽量简化.例如, 合并同类项后的多项式叫做最简多项式, 没有最简多项式这个概念, 关于多项式的许多问题就难以研究.

三、搞清概念的区别

有的概念比较抽象, 学生不容易理解, 有的概念之间比较相似, 容易混淆, 教师通过各种手段, 搞清概念之间的区别对与容易混淆的概念, 我们可以把它们放在一起进行比较, “有比较才有鉴别”, 数学的各种知识应让学生在比较中去思考、去认识.

在学习“点到直线的距离”时, 学生容易与“两点之间的距离”混在一起.教师在上课时, 可以组织数学游戏, 把十个同学排成一条直线, 另外一个同学甲在直线外适当的位置, 然后教师喊指令, 让同学甲用最短的路程走到被叫到的同学的位置.同学们根据生活经验, 知道直着走最近, 教师引导, 把两个同学看成两个点, 两个同学之间的线段的长度, 就是两点之间的距离.同学甲垂直于直线走的线段的长度, 就是点到直线的距离.通过这样的数学游戏, 学生既加深了印象, 又搞清了这两个概念的区别.

在学习“轴对称图形”和“轴对称”这两个概念时, 学生较难理解, 教师可以用一些模型, 比如窗花、蝴蝶、汽车标志图, 等等, 让学生直观的感受;也可以让学生收集生活中的轴对称图形的例子, 归纳出它们的共同性质:一个图形沿某条直线翻折, 左右两边能够完全重合, 这样的图形是轴对称图形若把一个轴对称图形看成两部分, 就是一个图形沿某条直线翻折, 与另一个图形完全重合, 得到“两个图形成轴对称”.通过实际的模型和生活的实际例子, 让学生体会和感受这两个概念的区别和联系.

四、重视概念的运用

概念的形成是一个由个别到一般的过程.在弄清了概念的来源、讲清了概念的意义、搞清了概念的区别之后, 通过运用概念, 可以加深、丰富和巩固学生对概念的理解和掌握.

1. 设计适当的练习巩固概念

概念形成以后, 学生对概念的理解可能还不是很清楚, 也容易遗忘, 教师可以通过一定的练习让学生进一步的理解和掌握.

在学习了二元一次方程组后, 教师出了一道选择题:

以下方程组是二元一次方程组的是 () .

有的同学把A看作是二元一次方程组, 以为xy=5是二元一次方程.通过练习的讲解和分析, 学生对二元一次方程组的概念更加清晰、明了.

2. 拓展应用进一步提升概念

概念的理解和掌握通过运用概念进一步的加深, 让学生运用学到的概念解决生活中的实际问题, 不仅巩固了概念, 还可以培养学生的思维能力.学习了“线段”概念后, 同学们掌握了数线段的规律, 并知道在直线上有n个点, 可得到条线段.教师进一步提问:如果有4个人, 每两个人之间握手一次, 共握手几次?如果我们班50个同学, 每两个人之间握手一次, 共握手几次?若n个人呢?在此基础上, 教师让学生讨论同类问题的还有哪些.学生通过讨论交流, 还可以联想到生活中的循环比赛, 平面上的n个点可确定的线段、射线、直线, 平面上n条直线两两相交的交点个数等.

概念是人进行思维的基本单位, 是数学学习的起点.在教学过程中, 教师应该更多的研究和了解学生是如何获得数学概念的, 教师引导学生共同参与, 用多种方式揭示概念的形成、发展和应用的过程, 揭示概念的本质和意义, 完善学生的认知结构, 发展学生的思维能力, 提高学生学习数学的兴趣, 让数学概念与学生的思维产生共鸣, 为学生后续学习和发展奠定良好的基础.

参考文献

[1]徐晓东.谈初中数学概念学习的心理障碍及疏导.中学数学教学参考, 2007 (8) .

[2]刑成云.这算是“意外”吗——兼谈概念教学.中学数学教学参考, 2009 (1-2) .