高等数学教案ch 8.4

高等数学教案ch 8.4（共12篇）

高等数学教案ch 8.4 篇1

高等数学教案：空间直角坐标系

了解空间直角坐标系，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：空间直角坐标系，利用坐标进行向量线性运算，向量模、方向角、投影与坐标关系

重点：空间直角坐标系，向量模、方向角、投影、线性运算与坐标之间的关系

难点：向量的模、方向角、投影与坐标之间的关系

对学生的引导及重点难点的解决方法：

以向量线性运算为基础建立空间直角坐标右手系；给出向量在空间直角坐标系中的坐标表示形式，进一步利用坐标进行向量的线性运算，通过实例进行说明；定义向量的模、方向角、方向余弦和投影并给出坐标表示形式下这些量的计算公式和基本性质。

本节难点为向量模、方向角、投影与坐标之间的关系，为解决这一难点，首先应该回顾向量平行的充分必要条件（确定点在轴上坐标的依据），给出向量坐标与图形的关系，进而得出向量坐标运算的基本性质；然后，从向量坐标与图形之间的关系中，分析得出向量模的计算公式（向量的大小问题）；接着，提出向量的方向表示问题，定义方向角并从图形中得出计算公式；最后，定义向量在轴上的投影，利用几何辅助证明向量投影的运算性质。

例题：课本例5-9其他例题参见PPT

本授课单元教学手段与方法：

讲授教学与多媒体教学相结合，结合几何辅助。

本授课单元思考题、讨论题、作业：

高等数学（同济五版）P301

13.15.17.19.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

高等数学（同济五版）P294---P301

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

高等数学教案：空间曲线及其方程

介绍空间曲线的各种表示形式。第三、四节是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：

基本内容：空间曲线的一般方程，参数方程及空间曲线在坐标面上的投影

重点：1.空间曲线的一般表示形式

2.空间曲线在坐标面上的投影

难点：空间曲线在坐标面上的投影

对学生的引导及重点难点的解决方法：

三元函数

在空间中表示一曲面，如果两个曲面能够相交，则可以利用面面相交的形式来表示空间曲线，由此引出空间曲线的一般式方程.二对于曲线的一般式方程，其中含有两个方程，三个未知数，如果把其中一个变量看作常数，则方程组转化为二元方程组，则可以用此变量把另外两个变量表示出来.从而引出空间曲线的参数式.空间曲线在坐标面上的投影是本节的难点.要求

在面上的投影，关键求出投影柱面

（即消去

变量），然后与方程

联立即可.例题：

例1：设一个立体由上半球面

和锥面所围成，见右图，求它在面上的投影。

其他例题参见PPT

本授课单元教学手段与方法：

本节讲授在老师的引导下，启发学生，运用合情推理的教学方法发现问题和解决问题.本授课单元思考题、讨论题、作业：

高等数学（同济五版）P324

3.4.6

本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）

高等数学（同济五版）P319---P325

注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

高等数学教案ch 8.4 篇2

一、数学概念来源于实践

高等数学上任何概念的产生, 并不是从天上掉下来, 也不是凭空想象出来的, 而是从实践中来, 是为了解决一些实际应用问题才产生了一个数学概念。以高等数学课的三大教学内容之一微积分为例, 微积分主要包含极限、导数 (微分) 和积分三大内容, 无一例外都是在解决实际问题时才产生了这些数学概念。

极限概念是怎么产生的, 为什么会有极限的概念?在介绍极限的概念之前, 我们首先提出圆的面积公式是怎么得来的, 圆周率是怎么计算出来的。提出了这些问题, 很自然的, 就会让学生产生好奇心, 就会激发学生的求知欲;进而再向学生介绍我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中说的:“割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至于不可割, 则与圆合体而无所失矣。”这就是极限思想在几何上的体现, 这说明了在我国古代就有了极限的概念, 如果没有极限的概念, 没有极限理论, 不管圆内接多边形边数有多大, 始终只是圆内接正多边形的面积, 要想得到圆面积的精确值, 就必须借助于极限的概念和极限理论, 这个例子有力地说明了极限概念和极限理论的产生来源于实际应用的需要。

我们在讲述导数概念的时候, 同样也要先引入导数概念产生的意义。现在大多数教材上都是从为了求变速直线运动的瞬时速度和求曲线切线斜率这两个经典的实例, 抽象出它们解决问题的共同实质———函数相对自变量的瞬间变化率, 导致有了导数的概念, 变化率有广泛的实际意义, 凡是牵涉瞬间变换率就是导数。例如, 加速度就是速度对于时间的变化率, 角速度就是旋转的角度对于时间的变化率, 线密度就是物质线段的质量对线段长度的变化率等, 这些都可以用作导数概念来源于实际需要的案例。同样微分概念的产生是为了求当自变量增量很小时, 能既方便又有较好的近似程度的函数值相应的增量;不定积分的产生源自于已知一个函数的导数, 为了求它的原函数;定积分的产生可以认为是为了求平面曲边图形的面积、变速直线运动的路程等。总之, 微积分中任何一个概念都有它产生的背景, 实际上, 任何一个高等数学概念都有它产生的背景及意义, 因此我们在高等数学知识的传授过程中, 一定要加强高等数学概念产生背景的教学, 在引入一个高等数学概念之前, 必须详细介绍这个数学概念是怎么产生的, 为什么会有这个概念, 让学生完全了解概念产生的背景及作用, 这样可以促进学生对抽象数学概念的理解和认识, 有助于学生对高等数学概念的学习和掌握。

二、加强数学知识的应用教学

数学知识只有最终同实际问题相结合, 运用到解决实际问题中去, 才能体现出它强大的生命力, 才能成为有源之水、有本之木, 才能体现出它真正价值的所在。我们在数学教学过程中, 不仅要引导学生从实际问题的解决中引出数学知识的学习, 而且还要引导学生善于把数学知识应用到解决实际问题中去, 体验数学的作用, 领略数学在解决实际问题中强大的威力, 同时培养学生用数学去描述、理解和解决实际问题的能力, 把所学的知识和思维方法迁移到解决实际问题中来, 形成解决具体实际问题的有效策略和能力, 以适应社会发展的需要。那么, 教师在自己的教学过程中怎样加强数学知识的应用教学呢?

1. 少讲解题技巧, 多讲实际应用。

传统的数学教学比较注重数学的解题技巧, 而忽视了数学知识在实际中应用的教学, 比如介绍了两个重要的极限公式后, 多数教师把重点放在两个公式在求极限时的应用技巧, 而很少或者根本不讲这两个公式在解决实际问题中的应用, 其实这两个公式在解决实际问题中的应用是比较普遍的。例如, 重要极限公式一可以用来证明并回答我们前面提到的圆的面积为什么等于圆周率乘以圆的半径的平方;重要极限公式二可以向学生介绍在求连续复利中的应用;在介绍微分时一定要讲讲微分在近似计算中的应用, 引出导数概念后多讲些导数在实际问题中的应用等。应用是学习高等数学动力的源泉, 要使学生获得持久不衰的学习高等数学的动力, 就要让学生充分感受到高等数学的作用和魅力, 从而调动他们学习高等数学的自觉性。言而总之, 我们在高等数学教学中必须重视高等数学的应用教学。

2. 加强数学与各专业知识的应用联系。

对独立学院的学生而言, 学习高等数学的目的, 主要不是为了研究数学, 而是运用各种数学知识和方法, 解决在自己所学专业中遇到的问题。这对我们从事独立学院高等数学教学的教师提出了更高的要求:不仅要懂各种高等数学知识, 还要弄清楚高等数学与各专业知识的联系, 每个专业中用到了哪些高等数学知识, 什么样的专业什么样的数学知识是重点。比如, 工程技术类专业, 就要联系导数、积分在工程技术类的专业课中的应用讲解;计算机专业就要加强函数级数展开在计算函数值上应用的讲解;对经济学专业的学生则要注意导数在经济学中应用的讲解;生物学专业则要注意微分方程在生物学上应用的讲解。几乎每个专业的专业课都要用到高等数学知识, 我们高等数学老师必须要进行深入了解, 才能做到理论联系实际, 才能体现高等数学在专业课上的作用, 才能吸引学生学好高等数学。

3. 将数学建模思想融入高等数学教学中。

数学建模是体现用数学解决现实问题最有效的方式, 它不仅体现了数学在解决实际问题时的作用, 更重要的是培养了学生将所学的数学知识应用到解决实际问题中的能力, 也培养了学生的创新能力。数学建模是一种数学的思考方法, 是运用数学的语言和方法, 通过抽象、简化, 建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。所以我们一定要将数学建模思想融入到数学教学过程中去。那么怎样将数学建模思想融入到数学教学的过程中去呢?我们老师平时要做有心人, 多收集一些数学建模案例, 当然先从一些简单的案例入手, 比如我们在介绍微积分中求函数最值的时候, 就可以融入数学建模思想。实际上微积分中很多数学概念的产生背景里也有数学建模思想, 只要我们老师用心去探究, 数学建模思想可以融入到大部分高等数学教学内容中去;当然, 加强数学实践与应用教学的方式有很多, 开设数学实验课也是一种数学的实践教学, 它可以把高等数学上一些抽象的问题用计算机软件形象地表现出来, 让学生对抽象的数学问题, 有比较具体的认识和理解;我们教师要牢固树立实践与应用意识, 培养学生主动探索数学知识, 运用数学知识解决实际问题的能力。

总之, 提高教学质量是教育改革发展的核心任务, 树立以提高质量为核心的教育发展观是当前教育科学发展的当务之急, 我们广大工作在一线的教师的根本任务就是千方百计, 想尽一切办法在教学过程提高自己的课程教学质量。

摘要：学习的目的在于应用, 而高等数学理论的高度抽象性, 使独立学院很多学生望而生畏, 产生畏难情绪;提高教学质量是摆在我们数学教师面前的首要任务, 本文结合了独立学院学生的生源特征和独立学院人才培养目标, 分析和阐述了加强“以应用为目的”的独立学院高等数学教学的可行性和必要性, 为提高独立学院高等数学教学质量提供了有效的新途径。

关键词：数学理论,数学应用,数学建模,独立学院,教学质量

参考文献

[1]冯明勇.浅谈如何提高独立学院高等数学的教学质量[J].北京:今日科苑, 2010, (16) .

[2]刘霞.独立学院数学教学改革的探索与实践[J].湖南科技学院学报, 2012, (5) .

[3]袁慧.在独立学院中加强数学应用性教学的探讨[J].教学研究, 2011, (5) .

[4]张杰明, 等.关于提高独立学院数学教学质量的探索[J].中国大学教学, 2010, (6) .

[5]邓美兰.将数学建模融入经济数学教学中的探索[J].考试周刊, 2011, (43) .

高等数学教案ch 8.4 篇3

关键词：职业院校 高等数学 课程改革

中图分类号：G420文献标识码：A文章编号：1673-9795（2012）10（b）-0226-01

高等数学对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着重要作用。但是，美中不足的是，许多年以来，落后的教学内容和教学方式根本无法满足各学科发展和工程技术实践对数学的要求，而这些实践能力和职业能力的实施与数学教育是分不开的。为了实现培养创新能力的高级人才目标，提高高等职业院校学生的职业能力、操作能力等素质能力的培养，对数学教育进行改革已经成为十分紧迫的问题。而提高学生综合能力，必须改革现有的数学课程的教学内容、教学模式、教学方法。

1 高等数学课程内容的改革

目前，高等职业院校开设的高等数学作为一门重要的基础课程，对学生今后专业课程的学习和素质的培养起着重要的作用，但从教材的选择上看，目前国内的高等数学教材千篇一律，改动的地方少而又少，有些理论和观点甚至是几十年前的，因此这样的教材没有跟上时代的要求，没有与时俱进，不能及时掌握和了解数学的最新动态。理论过时还在沿用。这样学生掌握不到最新的知识，因此学起来非常被动。另外，从学校的教学改革上，数学的教学内容和计划课时并没有发生根本性的变化，常年都是一样的东西，知识的陈旧，挫伤了学生的积极性，进而严重影响了教学质量和教学效果。

2 高等数学教学模式的改革

教学模式是采用什么培养目标和手段教学。尤其是培养目标决定了教学模式。培养目标中的岗位培养目标是这几年新提出来的。就是学生毕业后参加工作所具备的能力。岗位能力的培养这些年一直是热点问题，也是各高校非常重视的问题。例如可以采用工学结合的教學模式。即在工作中学习，在学习中工作。工学结合是结合工作的学习，是将知识学习、能力训练、工作经历结合在一起的一种教育模式。即学习的内容是工作，通过工作实现学习。这里的工与学是相关联的，“工”是手段，“学”是目的。周济部长曾指出：“推进工学结合、勤工俭学的人才培养模式，探索适应经济社会快速发展的具有中国特色的职业教育发展思路，已经成为当前职业教育改革与发展的突出问题。职业教育战线要提高认识，积极探索，大胆实践，逐步将技能型人才培养模式转变到工学结合、勤工俭学的路子上来，与产业部门和企业一道，共同构建充满活力、富有效率、互利共赢的具有中国特色的职业教育人才培养模式，把我国职业教育的改革与发展推向一个新的阶段。”随着高校的规模不断扩大和专业课相比较而言，基础学科越来越不受到重视，学生数学水平的差异越来越大，造成同一个老师讲课，同一个教室听课，有的学生意犹未尽，有的学生不尽如意。另一方面，由于工作量增大，教学方法和手段落后，工作效率低下等原因，造成教师大量时间反复忙于备课、上课、批改作业，这种局面严重影响了教学质量和效果。为了避免这样的情况可以在实际教学中采取多项目教学模式，把高等数学分为两个项目：基础项目和专业实践项目。基础项目教学内容的设定是以保证满足各专业对数学的要求为依据，讲授的是最基本的内容。专业实践项目应是由从事高等数学教学的教师确定，同时参考其他系的专业教师意见针对不同的专业设置不同的项目。比如，工民建专业，需要多开设一些和识图、画图相关的数学知识，工程造价专业侧重于计算类的数学知识。这样，数学水平不一样的学生可以选择学习基础项目或专业实践项目。学生可以根据自身的情况和专业的情况来选择学习的内容做到有的放矢，和专业、毕业岗位联系紧密。开设高等数学这门课的目的就可以实现。

3 高等数学教学方法的改革

近年来，我们的高等数学教学一直徘徊在传统与现代之间，传统的教学手段相对滞后，一本书一只粉笔加一块黑板，而且教师一言堂，以自我为中心，在黑板上不断进行演练和计算，忽视学生的感受，本来高等数学就有些枯燥，极易造成学生不愿听讲，这种方法更不利于学生专业素质的提高和创新的培养。而改进传统的教学方法，使用新的教学方法是当务之急。我认为应从以下几个方面入手改善我们的数学教学方法。

3.1 使用现代化的教学手段

要开展计算机辅助教学设计、数学模型的教学、数学竞赛，增加学生的兴趣，提高学生独立思考的能力。运用计算机软件和多媒体投影设备，可以让数学变得更加生动、活泼，克服枯燥无味的缺点，加深学生对数学的领悟能力。这里尤其指出的是数学建模大赛。它的创立为全国大学生学习高等数学提供了前进的方向。全国大学生数学建模竞赛的竞赛宗旨是：创新意识，团队精神，重在参与，公平竞争。

中国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。该竞赛每年9月（一般在中旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业。全国大学生数学建模竞赛是教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会共同主办的面向全国大学生的群众性科技活动，目的在于激励学生学习数学的积极性，提高学生建立数学模型和运用计算机技术解决实际问题的综合能力，鼓励广大学生踊跃参加课外科技活动，开拓知识面，培养创造精神及合作意识，推动大学数学教学体系、教学内容和方法的改革。数学建模大赛已成为现代高等数学教学不可忽视的手段。

3.2 大力开展实践教学

以前我们认为高等数学和中小学数学一样，就是大量做题，离不开书本，我们恰恰忽视了社会实践的作用，学习数学知识的最终目的和其他学科一样是学会应用，在实践中培养数学意识。需要教师把数学知识运用到实践活动中去。让学生接触社会，接触问题，为学生思考、探索、发现和创新，提供最大的空间。例如，数控技术专业的学生，在专业实习的过程中，首先，结合数学基本的知识，应用AUTOCAD绘图软件，进行绘制图形，然后，进行加工计算然后固定毛坯材料。

总之，高等数学的改革终究是为了一个目的，即培养学生的实践能力，提高学生的岗位认知能力和操作能力，这是一个系统工程，还需要付出更多的努力。

参考文献

[1]马怀远.数学价值的多面性与高职数学教学改革[J].江苏经贸职业技术学院学报，2009（6）.

考研数学复习规则：高等数学 篇4

2018年的考题与往年相比整体难度略有增加，尤其数二的考生，由于去年偏易，所以今年难度有所增加。就高数这部分题目，总体没有偏难偏怪的，但有个别题计算量还是很大的。所以，欲在考试那种高度紧张的环境下拿到高分也绝非易事。

那么接下来就让我们看看“高数”这座神奇的圣诞树上挂着怎样神奇的礼物，探究这些礼物剥开后的饱满果实，相应的也对备战2019考研的同学作出如下规划：

第一，考题“三基”为主，复习大纲先行。

数学作为一门经典的基础课程，历年命题者都会注重对基础内容的考查，今年也不例外，其中，基本概念、基本性质、基本方法的考题能占了七成左右。建议同学们在复习的初期，要结合考试大纲和教材，根据自己所考的卷种，认认真真的把大纲中要求的`每一个知识点都看懂，吃透。相关的考试大纲如果手头没有的话，建议去看我们海文的基础教程，都是严格按照大纲知识点编写的，清晰明了。

第二，考点覆盖面广，复习注意细节，多思考。

对于数一、二、三不同卷种，高数这门学科的区分度是最高的。不同卷种更注重了对单独要求知识的考查，如今年数三不仅考到了常规的经济应用，而且继去年之后又考到了差分方程，数二也考到了较少涉及的曲率知识，所以同学们在备考初期一定要注重全面性。另外在高数的复习过程中千万不能只看不练，要多动手，提高计算能力，同时也要勤于思考，注意总结做题方法与技巧，以提高解题的准确性和速度。

第三，重点知识反复出现，复习时应对重点题型深刻理解，举一反三。

从今年的真题来看，历年重点题型仍然在延续，核心考点和难点基本不变，常规题型的比重还是非常大，以今年数二考题为例，大题中考查到的二重积分、不等式证明根、构造微分方程并求解、条件极值等这些题型基本上每年都会出现。

因此，考生在备考过程中要对往年重点题型进行着重训练，不仅是要了解该题如何做，更要对其考察的基本知识点和相应变形形式都要做到全面理解。

如何从大纲要求的200多个考点中抓住常考题型呢？

考生可以通过做往年的真题自己归纳总结，但是这样做会比较浪费时间，建议借助于参加一些口碑较好的辅导机构的课程。

更多考研常识，免费开课试听可以加王老师qq号622005161；加报考顾问李老师微信号：

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考研数学 高等数学知识点复习 篇5

考研数学大纲与去年一样，科目所占比例中，高等数学所占比例不变，数学一，三中是56%，数学二中是78%。这就决定了考生在复习的时候应该分配的精力与时间更多一些。而在这相对较多的时间与精力中，如果再能事半功倍，便为考研高分奠定了基础。

高等数学的基本内容可以四块：一元函数微积分，多元函数微积分(主要是二元函数)，无穷级数与常微分方程，向量代数与空间解析几何(数一考)。前三块是高等数学部分出题的重点，第四块虽然大纲中对数一的要求也写了多半页文字的规定，但从历年数一真题中直接针对这一块出题的很少。

那么在考前的这几个月里，高等数学如何复习才能合到高分呢?

一、选择合适的复习资料。现在有很多考生手中的参考资料书许多，市面上一新出现一本考研的资料参考书就会去买，这对考生是不利的，因为考生没有那么多的时间去把所有的参考资料看完，并且看完效果也不一定好，根据以上对高等数学内容的分块划分，需要选择适合自己的复习资料。资料的选择要看其是否按考研大纲的要求编写，看其对基本内容的讲述是否深入且易懂，看其层次性是否分明等等，如内部资料《考研数学基本复习大全》，《2011考研数学考点题型与复习方法精讲》相对来说就适合考生对基础知识的巩固及深入理解。

二、看书要擒贼先擒王。在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。阅读数学图书与其他文艺社科类图书有个区别，就是内容没有那么强的故事性，同时所述理论有一定抽象性，所以在看书时需要不断思考其逻辑结构。比如在看函数极限的性质中的局部有界性时，能够联系其在几何上的表现来理解，并思考其实质含义及应用。三大块内容中，一元函数的微积分是基础，定义一元函数微积分的极限及高等数学的主要研究对象――函数及连续是基础中的基础。这个部分也是每年必定会出题考查的，必须引起注意。多元函数微积分，主要是二元函数微积分，这个部分大家需要记很多公式及解题捷径。第三大块的无穷级数与常微分方程部分的重点很容易把握，考点就那几种，需要注意的是其与实际问题结合出题的情况。

三、看书的顺序要与成效相结合。人在读书的时候习惯于从头至尾看，这对于每天都从头开始的.人来说永远不能看到后面的内容。在看数学教材或辅导书时，最好每次看一个部分，下一次从接着的部分开始看下一部分。这样每一次的内容都自成一个体系，不至于这次看的时候花大量的时间做前后的衔接。还有呢，如果计划高等数学复习三遍，第一遍的时候是从头至尾，那么从现在开始就要从后往前复习了，最后一遍需要用来总体把握。

在考研这个大舞台上，每个考生都在用不同的方式去演绎角色，但总有一种最特别的方法适合特别的你!

高等数学上册复习 篇6

1、注意几个特殊函数：符号函数，取整函数，狄利克雷函数；这些函数通常用于判断题中的反例

2、注意无界函数的概念

3、了解常用函数的图像和基本性质（特别是大家不太熟悉的反三角函数）第二节 数列的极限 会判断数列的敛散性 第三节 函数的极限

1、函数极限存在的充要条件：左右极限存在并相等。（重要）

2、水平渐近线的概念，会求函数的水平渐近线（p37）。（重要）

3、了解函数极限的局部有界性、局部保号性。第四节 无穷大和无穷小

1、无穷小和函数极限的关系：limf(x)Af(x)A，其中是无穷小。

xx0x

2、无穷大和无穷小是倒数关系

3、铅直渐近线的概念（p41）, 会求函数的铅直渐近线

4、无界与无穷大的关系：无穷大一定无界，反之不对。

5、极限为无穷大事实上意味着极限不存在，我们把它记作无穷大只是为了描述函数增大的这种状态 第五节 极限的运算法则

1、极限的四则运算法则：两个函数的极限都存在时才能用。以乘法为例比如f(x)x,g(x)但是limf(x)g(x)1

x01。limf(x)0，limg(x)。xx0x02、会求有理分式函数

p(x)的极限（P47 例3-例7）（重要）q(x)xx0时:若分母q(x0)0，则极限为函数值

0型极限，约去公因子 0 若只是分母为零，则极限为无穷大。（p75页9（1））

x时，用抓大头法，分子、分母同时约去x的最高次幂。第六节 极限存在的准则，两个重要极限（重要）

1、利用夹逼准则求极限： 例 p56也习题4（1）（2），及其中考试题（B）卷第三题（1）

2、利用两个重要极限求其他的极限（p56习题2）

1sinxsinx0；lim1 3 注意下面几个极限：limxsin0；limx0xx0xxx第七节 无穷小的比较（重要）

1、会比较两个无穷之间的关系（高阶、低阶、同阶，k 阶还是等价穷小）若分子和分母同时为零，则为

x22、常见的等价无穷小：sinx,tanx,arcsinx~x；1cosx~

2ex1~x；(1x)~1nx n13、若(x)为无穷小，则sin(x)~(x)，(1(x))n~(x)n，ln(1(x))~(x)，e(x)1~(x)。

4、替换无穷小时必须是因式

x0limtanxsinxx3limxx3x0x0

应该

x2xtanxsinxtanx(1cosx)1limlimlim2

2x0x0x0x3x3x35、会利用等价无穷小计算极限（p60页习题4）

第八节 函数的连续性与间断点（重要）

1、函数在点x0连续 limf(x)f(x0)

xx0左连续limf(x)f(x0)且

xx0f(x)f(x0)

右连续limxx02、会判断间断点及其类型。讨论分段函数的连续性。

3、f(x)在点a连续f(x)在点a连续；但反之不对。

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

初等函数在其定义域上都是连续的，因而求某点处极限时可以直接把点代入求值。

4.注意三个例题：例6-例8（重要）

5、幂指函数u(x)v(x)求极限，可以利用等式u(x)v(x)=ev(x)lnu(x)来求。（重要）

6、若含有根式，则分子或者分母有理化（p75页9（2））是求极限的一种重要方法。（重要）

7、利用分段函数的连续性求未知数的值（如p70页 6）（重要）第十节 闭区间上连续函数的性质

最大值最小值定理、零点定理、介值定理的内容 会零点定理证明方程根的存在性。（重要）补充说明 请熟悉函数e当x0,x0,x时的极限。第二章复习提要

1、导数的定义

（1）利用导数的定义求一些极限的值：例如P86页第6题 例

1、设f(0)0,f(0)k0,则limf(x)____.x0x1x例

2、设f(x0)存在，则limf(x0h)f(x0)________.（重要）

hh0（2）利用左右导数讨论函数的可导性：P125页第7题

sinx,x0例

3、已知f(x)，求f(x)

x,x0注意分点处的导数应该用定义来求。（重要）

（3）利用左右导数求未知数的值：P87页第17题（重要）

sinx,x0例

4、设f(x)为可导的，求a的值

ax,x0（4）利用导数几何意义求切线和法线方程（重要）

（5）可导连续，反之不成立！

2、求导法则

（1）复合函数求导不要掉项；

（2）幂指函数u(x)v(x)ev(x)lnu(x)转化成指数来求导

3、高阶导数

（1）一般的函数求到2阶即可；（2）几个初等函数的n阶导数：

(eax)(n)aneax；y(n)sin(xn)；(cosx)(n)cos(xn)

22[ln(1x)](n)(1)n1(n1)!(1x)n，(n1)!(1x)n[ln(1x)](n)(1)n1(1)n(n1)!(1x)n

由上面的求导公式我们容易推出下列求导公式：

1(n)n!()[ln(1x)](n1)(1)nn11x(1x)1(n)n!()[ln(1x)](n1)n11x(1x)(1(n)n!)[ln(ax)](n1)(1)nn1ax(ax)1(n)n!)[ln(1x)](n1)n1ax(ax)((3)二项式定理

(uv)(n)(nk)(k)Ckuv nk0n（4）间接法求高阶导数：

1x2例

5、求y的n阶导数：提示y1。

1x1x（5）注意下列函数的求导

例

6、求下列函数的二阶导数：P103页第3题（重要）（1）yf(x2)；（2）yln[f(x)]

4、隐函数及参数方程求导（重要）（1）一般方法，两边对x球到后解出

dy。dx（2）会求二阶导数

（3）对数求导法适用于幂指函数和连乘或连除的函数（4）注意参数方程二阶导数的公式

dydyd()2()tdydtdx。（重要）dxdx2dtdxdxdt（5）相关变化率问题：

根据题意给出变量x和y之间的关系；



两边对t（或者是其他变量）求导



dydx和之间的关系，已知其中一个求另外一个。dtdt5、函数的微分

（1）微分与可导的关系：可微可导且dyf(x)dx（2）利用微分的形式不变性求隐函数或显函数的微分： 显函数的例子见课本的例题；下面给出隐函数的例子 例

7、设ysinxcos(xy)0,求dy。解: 利用一阶微分形式不变性 , 有

d(ysinx)d(cos(xy))0

sinxdyycosxdxsin(xy)(dxdy)0

dyycosxsin(xy)dx。

sin(xy)sinx（3）近似计算公式：注意x0的选取原则。(一般不会考)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)

第三章：微分中值定理与导数的应用复习提要 3.1 微分中值定理（重要）

罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理应用： 证明等式，一般通过证明导数为零

证明不等式：若不等式中不含x，则取x作为辅助函数的自变量；若含有x，则取t作为辅助函数的自变量。（重要）

判断方程的根（存在性用零点定理，唯一性或判断根的个数用中值定理，有时还要结合单调性，见153也习题6）（重要）

利用辅助函数和中值定理证明等式（一个函数用拉格朗日，二个用柯西）例1 设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(1)0，证明至少存在一点(0,1)使得f()2f()。

证明：上述问题等价于f()2f()0。

令f(x)x2f(x)，则f(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件，于是少存在一点(0,1)使得

()2f()2f()0 即有f()2f()0。

（5）请熟悉132页例1.3.2 洛必达法则（重要）

（1）(其他类型的未定式)最终转化成0型和型未定式 0（2）每次用前需判断

（3）结合等价无穷小效果更佳。3.3 泰勒公式

（1）一般方法：求各阶导数代入公式即可；

（2）常见函数ex,ln(1x)，sinx,cosx的麦克劳林公式 3.4 函数的单调性和凹凸性（1）会用列表法求函数的单调区间和凹凸区间（注意一般是闭区间），拐点。注意不要漏掉导数不存在的点也可能是单调区间的分点； 二阶导数不存在的点也可能是拐点。（2）利用单调性证明不等式（重要）（3）利用单调性判断方程的根（重要）3.5 极值和最值（重要）

（1）列表法求极值（极值可能点为驻点或不可导点）（2）最值（找出极值可能点再与端点比较）

（3）对于时间问题，若极值点唯一，则也为最值点。3.6 函数图形的描绘 注意渐近线 3.7 曲率

（1）弧微分公式

（2）曲率和曲率半径的计算公式（重要）第四章复习提要

4.1 不定积分的概念和性质

1、基本积分表



2、公式f(x)dxf(x)和f(x)dxf(x)C 

3、注意如下问题：（填空、选择、判断）若ex是f(x)的原函数，则x2f(lnx)dx若f(x)是ex的原函数，则12xC 2f(lnx)1dx C0lnxC xx若f(x)的导数为sinx，则f(x)的一个原函数是（B）。A 1sinx;B 1sinx;C 1cosx;D 1cosx

4.2 换元积分法（重要）

1、第一换元法的原理：g(x)dx

把被积函数g(x)凑成g(x)f((x))(x)的形式，因而这种方法也称为凑微分法。

2、一些规律： ①f(x)1xdx2f(x)(x)2f(x)dx

11f(axb)(axb)dxf(axb)d(axb)

aa②f(axb)dx1③f(lnx)dxf(lnx)(lnx)dxf(lnx)d(lnx)

x④sin(2k1)xcosnxdxsin2kxcosnxsinxdx(1cos2x)cosnxdcosx ⑤cos(2k1)kxsinxdxcosxsinxcosxdx(1sinx)sinnxdsinx n2kn2k注：sin(2k1)xdx和cos(2k1)xsinnxdx可以看做④和⑤的特殊情形。⑥sin2kxcos2nxdx用公式sin2x⑦tanxsecn2k2n2k1cos2x1cos2x和cos2x降次。22n2kxdxtanxsecxdtanxtanx(1tanx)dtanx

注sec2kxdx可以看做⑦的特殊情形

⑧csc2k2xdxcsc2kxcsc2xdx(1cot2x)dcotx

⑨tan(2k1)xsecnxdxtan2kxsecn1xdsecx(sec2x1)secn1xdsecx ⑩利用积化和差公式：

1cosAcosB[cos(AB)cos(AB)]

21sinAcosB[sin(AB)sin(AB)]

21cosAsinB[sin(AB)sin(AB)]

21sinAsinB[cos(AB)cos(AB)]

2第二换元法

被积函数中含有a2x2，利用代换xasint,t(被积函数中含有a2x2，利用代换xatant,t(kk,)22,)22被积函数中含有x2a2，利用代换xasect,t(0,)（一般要分情况讨论）被积函数为分式，分母次数比分子次数高，到代换 利用下列积分公式：

⒃tanxdxln|cosx|C；⒄cotxdxln|sinx|C

⒅secxdxln|secxtanx|C；⒆cscxdxln|cscxcotx|C ⒇dx1xdx1xaarctanC；（21）lnx2a22axaC aa2x2a（22）xdxarcsinC；ln(xa2x2)C（23）ax2a2a2x2dx（24）dxx2a2lnxx2a2C

4.3 分部积分法（重要）

1、分部积分公式：udvuvvdu

2、u的选取原则：反对幂指三。

这个原则不是绝对的，如通常exsinxdxsinxdex。

3、如果遇到反三角函数和对数函数的高次幂，通常先换元更容易算。如(arcsinx)2dxarcsinxtt2dsint；

ln2x2ttdxlnxtedt x2遇到根式axb，先令taxb去根号。会做形如例7、8那样具有典型特点的题目。

4.4 有理函数的积分（重要）

1、P(x)，先用多项式除法化成真分式； Q(x)P(x)的分解式： Q(x)

2、对Q(x)分解因式，根据分解结果用待定系数法确定x1x1AB：应设

(x2)(x3)(x2)(x3)x2x3 x2x2ABxC：应设 (2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)x2x2ABx3Cx2DxE(2x1)(x2x1)2：应设(2x1)(x2x1)(2x1)(x2x1)2

原则就是分子的次数总是要比分母低一次。

3、三角函数可以通过如下换元法转化为有理函数的积分

xxx2tan1tan22tan2；cosx2；tanx2 sinxxxx1tan21tan21tan2222x令tant，则三角函数就转化成为有理函数

24.被积函数含有naxb或naxbcxd，则令tnaxb或tnaxbcxd 几个典型题目 P207页（42）x1dxdx，（43）x1x2P211页例7、8 x22x3补充说明：这一章的内容需要大家在掌握一定规律的前提下多做练习，方能取得比较好的效果 第五章：定积分

5.1 定积分的概念和性质

1、定积分的定义：f(x)dxlimf(i)xi

abni02、定积分的几何意义：曲边梯形的面积

3、定积分的性质：利用定积分的性质判断积分的取值范围或比较两个积分的大小（p235,10,13）(重要)5.2 微积分基本公式

1、yf(x),axb的积分上限的函数（重要）

(x)xaf(t)dt,axb

及其导数：（如p243,5题）（1）(x)f(x)

d(x)f(t)dtf((x))(x)adxda（3）f(t)dtf((x))(x)

dx(x)d(x)（4）f(t)dtf((x))(x)f((x))(x)

dx(x)

2、利用上面的公式计算极限、判断函数单调性等： 相应例题（p242,例7，8），相应习题（p243-244:习题9，12，12，14）（重要）（2）

3、牛顿-莱布尼茨公式：函数F(x)为函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，则

baf(x)dxF(b)F(a)，记作[F(x)]a或F(x)bba

注意：分段函数(或者带绝对值的函数)的积分应为分段积分的和：典型题目p244，习题10.5.3 定积分的换元法和分布积分法（重要）

1、第一换元公式：f[(x)](x)dtf(t)dt

ab

2、第二还原公式：f(x)dxf[(t)](t)dt

ab注意：一般来说应用第一换元公式，我们一般不需要把新变量写出来，因而也就

cos2不需要写出新变量的积分限，如cossinxdx 但是应用第二换元。

30公式，一般要写出新变量及其积分限，如

2023aasinta2x2dx(a0)xa22cos2tdt

003、分布积分公式：u(x)dv(x)u(x)v(x)av(x)du(x)

baabb说明：无论是还原法还是分布积分法，定积分和不定积分的计算过程都是相似的。

4、利用下面的公式能帮助我们简化计算：（重要）（1）偶倍寄零

00（2）2f(sinx)dx2f(cosx)dx（3）xf(sinx)dx020f(sinx)dx（p248, 例6，p270, 10(6)）

（4）设f(x)是周期为T的连续函数：则

aTaf(x)dxf(x)dx；0TanTaf(x)dxnf(x)dx(nN).(p249，例7，p253，0T1(26))

5、形如例9这样的积分。5.4 反常积分

1、无穷限的反常积分：设F(x)是f(x)的原函数，引入记号

F()limF(x);F()limF(x)

xx则

af(x)dxF(x)|aF()F(a)；f(x)dxF(x)|F()F().bf(x)dxF(x)|bF(b)F()；

反常积分收敛意味着相应的F(),F()存在；特别的积分F(),F()同时存在。

f(x)dx收敛必须注意：对于无穷限积分来说，偶倍寄零原则不在成立！

2、无界函数的反常积分（瑕积分）：设F(x)是f(x)的原函数，则 若b为瑕点，f(x)dx F(x)aF(b)F(a)；

bab若a为瑕点，则f(x)dxF(x)aF(b)F(a)；

bab若a,b都为瑕点，f(x)dx F(x)aF(b)F(a)；

bab则c(a,b)为瑕点，则f(x)dxf(x)dxf(x)dxF(x)c。aF(x)caacbcbb反常积分收敛意味着相应的F(a),F(b)存在；特别的积分f(x)dx（c(a,b)ab为瑕点）收敛必须F(c),F(c)同时存在。

说明：由上面的公式看出，反常积分与定积分的计算方法是一样的。都是先求原函数然后代入两个端点，只是对于非正常点（如和瑕点）算的是函数的极限。

3、换元法也适用于反常积分

4、会利用下面的两个重要反常积分来讨论一些函数的收敛性（重要）

ap1,dx(a0)1,p1xpp1(p1)a(ba)1qb,q1dx 1qa(xa)q,q1练习：p260,2题；求积分bdx的收敛性。

b(xb)qa5、遇到形如f(x)dx积分时，注意[a,b]是否含有瑕点。否则会得到错误的结果：

adx。1x第六章 定积分的应用

6.2 定积分在几何学上的应用

1、平面图形的面积（直角坐标系和极坐标下）（重要）

2、体积（特别是旋转体的体积）（重要）

3、三个弧长公式（重要）

高等数学简介 篇7

高等数学教研组的几位具有多年教学经验的教师于97年组织编写了一套《高等数学》教材，由机械工业出版社出版，此教材是根据我校工科各专业特点而编写，至2003年末已连续使用5届，学生们及后续专业课教师普遍反映很好，2004年我们采用了面向21世纪国家级重点教材—同济大学主编的《高等数学》（第五版）。此外，我校图书馆及应用数学系资料室又购进大批面向21世纪的国优、省优的相关教学参考书。

（三）师资队伍及学术水平

《高等数学》课程由应用数学系教师担任，师资力量雄厚，有教师18人、其中教授5人、副教授4人，讲师5人，助教4人，年龄均在50岁以下，平均年龄为37岁，职称结构合理，年龄结构优化，充满生机和活力。部分教师已有20多年的教龄，具有丰富的教学经验，带动和培养了青年教师的教学水平的提高。18人中有4人正在职攻读博士学位，2人即将毕业，3人正在攻读硕士学位（佐证材料参看附表一、二、三和五）。

中、青年教师承担了多项科研和教改课题，具有较强的教学和科研开发能力，近4年来，在各类学术刊物上发表论文100余篇，统编教材4部，完成和正在承担的科研和课程建设项目19项。其中国家级3项，省级3项，市校级10项，获省级以上科研成果奖励3项（佐证材料参看附表六和附表七）。高职授课率为100%（参看附表四）

（四）教学设备和图书资料

学校近几年陆续建设了大量的多媒体教室，为一些课程进行现代化教学提供了方便条件，近几年，高等数学课的教学采用多媒体教学与传统教学手段相结合的方式，先后购买引进、联合开发、自主开发了本课程的三套教学课件。近四年里，应用数学系资料室购置国内外数学图书500余册，每年订阅相关杂志30余种。

（五）教学内容、方法与基本要求

理工类《高等数学》课程内容做统一要求，其中包括：（1）极限与连续；（2）一元函数微分学；（3）一元函数积分学；（4）向量代数与空间解析几何基础；（5）多元函数微分学；（6）多元函数积分学;（7）级数；（8）微分方程。（佐证材料参看附表十六到附表二十三）。

课程的基本要求：提炼经典数学内容、加强近代数学知识及前沿的内容。三百多年来，高等数学理论的发展推动和促进了许多工程技术学科的形成，在高等数学有限的学时内为了打开接触现代高科技领域的窗口，使其具有较强的可持续发展性。

教学方法的改革，本课程在长期的教学实践中形成了如下“三结合”的特色：（1）教学与科研相结合。为了从根本上提高教学质量，教师应该努力提高科研水平，将当代最新的科研成果渗透到课堂中，才能为学生指明正确的方向。近几年来，我们发表科研及教学法研究论文 篇，主持国家级科研项目 3 项，主持省部级科研项目5 项。（2）教学手段与教学内容改革相结合。几年来，自主开发、联合开发、购买引进高等数学CAI课件3套，极大地丰富了教学手段，同时，鼓励教师开展丰富多彩的课外辅助教学，并准备开设网上答疑系统。在教学内容上，将数学建模的思想渗透到理论教学中，结合教学进度，将数学软件Maple、Matlab介绍展示给学生，增强了学生的应用技能。（3）参加数学建模竞赛与教学改革相结合。通过参加数学建模竞赛，使得广大教师摆脱了传统教学体系的束缚，广泛借鉴了兄弟院校的教学改革经验，将数学建模竞赛中思想、方法渗透到日常的理论教学之中，并通过课件的反复修改提炼，使全体教师的教学水平进一步提高。

（六）现代化教学

先后购买引进、联合开发、自主开发了本课程的三套CAI课件，连续四年来（02——06年）广泛开展了教学手段与教学内容的改革。普遍采用多媒体教学与传统教学相结合的教学手段，将数学建模的思想方法、Maple 与Matlab等当代数学软件的基本功能，渗透穿插于理论教学的全过程，突出应用技能的培养。（佐证材料参看附表二十五）。

（七）建立和使用试题库

96年引进西安交通大学的《高等数学》试题库，04年又购买了其升级版，使用近8年，01年引进高教出版社出版的《线性代数》、《复变函数》、《概率论与数理统计》和《近代数学学》试题库，近六年的《高等数学》考试完全由试题库组题。（佐证材料参看附表二十四）

（八）考核方式

经过多年的教学实践，我们总结经验，制定了严格、细致的命题实施细则和评卷实施细则，在日常教学与考核方式上实行“五统一”，即：统一教学大纲、统一教学日历、统一命题、统一阅卷、统一学生评教系统。（佐证材料参看附表十六到附表二十三以及附表三

十二、附表三十三和附表三十四）。

（九）课程建设

近五年来，高等数学课程申报了多项省级及校级课程立项并获得批准，资助金额十余万。提供了参加学术会议、购买图书资料、教材的建设、多媒体课件的开发等经费。通过近几年的建设，今年准备申报校及省级精品课。（佐证材料参看附表十）。

（十）青年教师培养

近五年来，我们引进中青年教师6人，其中原来是高校教师的1人，科研单位的1人，博士毕业生1人，硕士毕业生3人（现1人已获得博士学位，1人在读博士），本科毕业生2人（1人已获得硕士学位，1人在读硕士）。一直以来，我们非常重视教师队伍的建设，对青年教师的培养尤为重要，青年教师入校时，校内组织岗前培训，分配到各院系后，院系制定详细的培养计划，每一位青年教师都有专门的老教师进行指导培养。院里多次组织青年教师的教学比赛，选拔出几名优秀的教师参加校级的教学比赛，其中我系青年教师赵冰、李静、张彦分获得燕山大学青年教师教学基本功竞赛一、二等奖。组织青年教师聆听优秀教师讲课，听名师讲座和知识创新讲座。鼓励青年教师继续深造，近四年有4名教师考取博士生和2名教师考取硕士生，其中1名博士和1名硕士已毕业。（佐证材料参看附表十三和附表十四）。

（十一）教学组织管理与教学研究改革

严格执行学校的教学规章制度，教学日历科学严谨，课前准备充分，有完整的教案及讲义，课堂教学严肃认真，内容传授条理清楚，语言表达准确，课后辅导答疑细致、耐心，学生作业批改及时、认真。坚持听课制度，教师之间互相听课，互相交流，实行年轻教师的导师负责制（佐证材料参看附表十一）。

高等数学试题 篇8

.简答题（每小题8分）

1.求曲线2.方程或

或

在点

在点

处的切线方程.的某邻域内可否确定导数连续的隐函数

？为什么？

3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路：

设椭球面间的最小距离.4.设函数，求

与平面没有交点，求椭球面与平面之

具有二阶连续的偏导数，.是的一条等高线，若二.（8分）设函数三.（8分）设变量

具有二阶连续的偏导数，满足方程

及

求.，其中

与

均具有连续的偏导数，求.四.（8分）求曲线在点处的切线与法平面的方程.五.（8分）计算积分）三角形区域.六.（8分）求函数，其中是顶点分别为..的在圆，上的最大值和最小值.是山脚

即等量线七.（14分）设一座山的方程为上的点.（1）问：在点处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率；

使（2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点得上述增长率最大，请写出该点的坐标.八.（14分）设曲面面上一点处的切平面

是双曲线与平面

（平行.的坐标； 围成的立体，求的体积.的一支）绕轴旋转而成，曲（1）写出曲面（2）若 是.的方程并求出点和柱面同济大学高等数学（下）期中考试试卷2

一.填空题（每小题6分）

1.元函数的各性质：（A）连续；（B）可微分；（C）可偏导；（D）各偏导数连续，它们的关系是怎样的？若用记号“

”表示由

可推得，则

（）2.函数最大值是.3.设函数

（）在点

.处的梯度为，该点处各方向导数中的可微，则柱面在点处的法向为，平面曲线在点处的切向量为.4.设函数连续，则二次积分.(A)；(B)；

(C)

二.（6分）试就方程函数存在定理.；(D).可确定有连续偏导的函数，正确叙述隐 三.计算题（每小题8分）

1.设是由方程

所确定的隐函数，其中

具有连续的偏导数且 2.设二元函数，求的值..又函数

与

有连续的偏导数，且由方程组（）确定，求复合函数的偏导数 3.已知曲面的切平面方程.，上的点

.处的切平面平行于平面，求点

处 4计算二重积分：的曲边三角形区域.，其中是以直线，和曲线为边界5.求曲线积分，为曲线沿从0增大到2的方向.五.（10分）球面被一平面分割为两部分，面积小的那部分称为“球冠”；同时，垂直于平面的直径被该平面分割为两段，短的一段之长度称为球冠的高.证明：球半径为的球冠的面积与整个球面面积之比为六.（10分）设线材（.，高为的形状为锥面曲线，其方程为：，试求的均匀柱体的质量.，），其线密度七.（10分）求密度为，对位于点的单位质点的引力.同济大学高等数学（上）期中考试试卷1

一、计算下列函数的极限（每题5分）： 1．.2..3..4..5..6..二、计算下列函数的导数（每题5分）： 1.2.，求 求

..3.设函数由方程确定，且 求.4.设函数由参数方程确定，求及.5.，求.6.，求.三、（8分）设(1)a 为何值时，(2)若,证明

？为什么？

有唯一的零点。

四、（8分）设半径为1的球内有一内接正圆锥，问圆锥的高与底半径之比为多少时，内接正圆锥的体积最大？（圆锥体积公式V=

五、（8分）确定函数，有

.×底面积×高).的单调区间，并由此证明：

六、（8分）设限存在，并且求出该极限.，利用单调有界收敛准则证明极

七、（8分）试证明开普勒方程的某领域内是单调增加的，并问点

是否曲线

所确定的隐函数在的拐点，为什么？

同济大学高等数学（上）期中考试试卷2

一.选择题（每小题4分）1.以下条件中（）不是函数（A）（C）

2.以下条件中（）是函数（A）在在处有导数的必要且充分条件.在处可微分

在处连续的充分条件.在可微

（B）存在（D）处连续（B）（C）存在（D）存在

3.是函数的（）间断点.（A）可去（B）跳跃（C）无穷（D）振荡

4.设函数在闭区间

上连续并在开区间

内可导，如果在内，那么必有（）.（A）在（C）在上上

（B）在单调减少（D）在上上

单调增加 是凸的 5.设函数，则方程

在内根的个数为（）.（A）0个（B）至多1个（C）2个（D）至少3个

二.求下列极限（每题5分）

1.（）.2.（）.3.（）.4.三.求下列函数的导数（每题6分）

.1.2.设,求是可导的单调函数，满足

.，.方程

确定了隐函数，求.3.设是参数方程确定的函数，求.4.设函数四.（8分）证明：当

时有

（），问取何值时，且仅当

时成立等式.存在？.五.（8分）假定足球门宽度为4米，在距离右门柱6米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进，问：他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角？

六.（10分）设函数且存在.七.（10分）已知函数（1），为一指数函数与一幂函数之积，满足：

；

在区间使得

高等数学的特点 篇9

( 1 )高度的抽象性

数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出来。我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同具体的对象联系起来。在数学的抽象中只留下量的关系和空间形式，而舍弃了其他一切。它的抽象程度大大超过了自然科学中一般的抽象。

( 2 )严谨的逻辑性

数学中的每一个定理，不论验证了多少实例，只有当它从逻辑上被严格地证明了的时候，才能在数学中成立。在数学中要证明一个定理，必须是从条件和已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出结论。

( 3 )广泛的应用性

高等数学学习心得 篇10

机制1班 陈涛

经过半年的高等数学的学习，对于高等数学有些心得与体会。

首先高等数学是我第一次接触，明显感觉到它与初中及高中时候学习的初等数学有很大的不同。对于初等数学，我们是为了中考以及高考才努力学习，学习初等数学，只需要做大量的习题，熟练解题的步骤，就可以在考试中获得十分可观的分数。但是对于高等数学，我们以前学习初等数学的方法以及认识已经不再适用于高等数学的学习。

学习高等数学是为了诸多研究性专业与学科打好基础，它是研究科学问题的最重要的工具，毫不夸张的说高等数学就是一门研究性的学科，学习高等数学我们要抱着科学严谨的态度。对于高等数学我们要多思考，多理解，从根本上去探索它的定义，它的意义。学习初等数学的题海战术已不再适用于高等数学。如果对于高等数学的某个定义你不理解，做再多的题也很难去寻找这个定义的根本，就算你通过做大量的题熟悉某一类题目的解题方法，但将题目类型稍微改变一下，估计你就无计可施了。所以，我们要从根本上理解它的定义，因为不管题目如何变换，它始终不会离开定义。所以理解定义是学习高等数学的关键，是高等数学的基础。

兴趣也是学习高等数学的关键。学习高等数学必须要有兴趣，很多人说高等数学很难很枯燥，就是因为没有产生兴趣，兴趣是学习最好的导师，只要你有兴趣，那么你自然会努力学习这门课程，就不会感觉到乏味与困难。兴趣是你学习高等数学的动力，有了兴趣你就会勇于在高等数学的海洋中探索。

在这半年的学习中，我们学习了高等数学中的函数、极限、导数、微积分等概念。首先在函数的学习中，我们主要学习了一些关于函数的基本概念以及函数性质。其次，我们学习了极限，在极限的学习过程中，我们学习了两个重要极限以及介值定理。在求极限的过程中我们学习等价替换等方法求极限，为我们解决了求极限问题的障碍。在学习极限之后，我们学习了导数。明白了引出导数的原因，以及导数存在的意义。在导数的学习中，我们学习了隐函数的导数；导数的定义；洛必达法则求极限的方法；求曲线的切线方程；函数的一些利用导数求出的一些性质，例如单调性，凹凸性；微分在近似计算中的应用；麦克劳林公式，中值定理证明以及导数的应用等方面的知识。导数是高等数学非常重要的组成部分，在高等数学中与许多概念都有关联。紧接着导数我们学习的是积分，积分是高等数学重要的组成部分之一，积分是由平面图形的面积提出的，它在物理学中也有极多的应用。在积分的学习中，我们学习许多关于定积分与不定积分概念与计算方法以及（不）定积分中的性质，并且在定积分中有诸多例如奇偶性，周期性等重要性质，这是我们学习的重要部分。在积分中还有一些性质需要我们注意，比如反常积分，变上限积分函数，还有利用积分求极限，还有一点非常重要的应用需要我们注意，利用积分求面积求体积。在这学期最后我们学习了我感觉是本学期最难一部分，微分方程。在课堂听课的过程中我发现了许多同学对这方面的学习与理解有困难，我也感觉到这章的学习比前几章要吃力的多。微分方程这章的定义比较深奥，这是导致许多同学无法理解的重要原因。其次这章的学习过程中，题目的类型过多，以及书本上讲的过于狭隘，我们在计算过程中十分容易碰壁。对于许多题目无从下手。

高等数学3复习要点 篇11

一元函数极限与连续

利用代数变形（如有理化）、无穷小性质、等价代换、两个重要极限、洛必达法则计算未定式极限； 分段函数的的极限与连续性；

一元函数的导数与微分

导数的定义；

导数的几何意义；

复合函数的导数或微分计算；

隐函数方程求导； 判断函数的单调性、极值、凹凸性与拐点；

不定积分

原函数与不定积分的关系；

变限积分求导；（未定式极限计算）不定积分计算：拆、凑、分

定积分

会利用定积分的几何意义计算定积分；

会利用奇零偶倍性质计算对称区间上的具有奇偶性的函数的定积分；

定积分计算：拆、凑、代、分； 定积分的几何应用（面积、体积）；

多元函数微分学

多元显函数或隐函数方程的偏导数计算（一阶、二阶）；

计算多元函数的全微分；

多元函数的极值；

多元函数积分学：

交换二重积分积分序； 二重积分计算（直角坐标、极坐标）；

微分方程

求以下方程的通解或特解：

可分离变量的微分方程的解；

一阶线性微分方程的解（齐次、非齐次）； 可降阶的微分方程yf(x)的解；

无穷级数

级数收敛的必要条件；

熟知等比级数、调和级数、P级数的敛散性：

判断任意项级数的敛散性（绝对收敛或条件收敛）；

学习高等数学体会论文 篇12

大一高等数学论文

院 系：电子信息与电气自动化

学生姓名： 孙 野 学 号： 1405031031 专 业： 自 动 化

班 级： 一 班

年 级： 一 年 级

指导老师: 刘 国 旗

完成时期: 十二月十三号

摘要：高等数学是大学工科里的一门基础学科。在我学的自动化专业中更显得格外重要。经历了快一个学期的高等数学学习对这门课程有一定认识的同时，在学习的过程中遇到了各式各样的难题与困惑，因此，特对在学习中的遇到困难与将来如何更好的努力，不断提高学习这门课的能力进行了总结，希望在以后的时间里可以有所进步。

Abstract:Higher mathematics is an important basic engineering inside the university.The more I learn in automation specialty in very important.Experienced higher mathematics almost a semester has certain understanding at the same time on the course, in the learning process encountered problems and confusion, so to every kind of, in the study of the difficulties and strive in the future how to better, continuously improve the ability of learning this course are summarized, in the hope that time can make progress.关键词：高等数学、总结方法、极限 一：对高中数学的回顾

高中学习数学我经历过两个数学老师。先说说第一个数学老师吧，这是一个年轻的小伙老师，他以前是教初中的后来通过考试，升就教了高中，我们是他教的第一届的高中学生。对于这个我第一个高中数学老师我认为他和第二个老师最大的区别就是他上课从来不用ppt，他喜欢写板书，所以每节课后我们都记下满满几页的笔记。这样的教学方式单单就我来说我是不能适应的，因为我喜欢上课跟着老师教学的思路去学习，但是他要我们上课记下他在黑板上学习的板书，这样就导致我们光顾着去做笔记，却没有跟着他上课的思路去思考问题，不能去理解他讲的是什么，课下对着笔记我们又不记得他上课是怎么讲的。所以高中前部分我的数学一直都不好。后来因为一些原因我们换了一个数学老师，这是一个我估计快要退休的了老师，这个老师因为教书了很多年很有教书经验，也是他后来拯救了我的高中数学。他给我们上课的第一天就要求我们一定要课前预习和课后复习。其实之前很多老师也这么要求过我们，但是我都没有很好的去要求自己。我的这个老师虽然年龄有点大，但是一点没有影响他上课的激情，他上课很有感染力，我每节课都跟着他的思路后面去分析问题，解决问题。课上简单的记一下笔记，但是不能影响我跟着他的节奏去听课，也是后来在他的帮助下高中数学成绩有了突飞猛进。对于高中的数学就做这么多的概述，接下来谈谈大学学习高等数学的心得体会。二 :对高等数学的简单认识

经过将近一年的学习，我对高数进行了系统性的学习，不仅在知识反方面得到了充实，在思想方面也得到了提高，就我个人而言，我认为高等数学有以下几个显著特点：1）识记的知识相对减少，理解的知识点相对增加；2）不仅要求会运用所学的知识解题，还要明白其来龙去脉；3）联系实际多，对专业学习帮助大；4）教师授课速度快，课下复习与预习必不可少。

三：学习高数的学习方法。(1)课前预习

适当的预习是必要的，了解老师即将要讲什么内容，相应地复习与之相关内容。如果时间不多，你可以浏览一下教师将要讲的主要内容，获得一个大概的印象，这可以在一定程度上帮助你在课堂上跟上教师的思路，如果时间比较充裕，除了浏览之外，还可以进一步细致地阅读部分内容，并且准备好问题，看一下自己的理解与教师讲解的有什么区别，有哪些问题需要与教师讨论。如果能够做到这些，那么你的学习就会变得比较主动、深入，会取得比较好的效果。就拿我来说以前上高中时老师说上了大学你们就解脱了，所以上第一节高数课时我就带了一本高数书就去了，往那一坐听了两节课我就受不了了，根本听不懂，很多学高数的人都说高数难学不容易懂。其实就是他们学高数第一个环节都没做到位。后来的学习中我咨询了一些学长学姐他们都一再强调做好这个环节。(2)认真上课

注意老师的讲解方法和思路，其分析问题和解决问题的过程，记好课堂笔记，听课是一个全身心投入--听、记、思相结合的过程。教师在有限的课堂教学时间中，只能讲思路，讲重点，讲难点。不要指望教师对所有知识都讲透，要学会自学，在自学中培养学习能力和创造能力。所以要努力摆脱对于教师和对于课堂的完全依赖心理。当然也不是完全不要老师，不上课。老师能在课堂教学把主要思路，重点与难点交代清楚，从而使你自学起来条理清楚，有的放矢。对于教师在课堂上讲的知识，最重要的是获得整体的认识，而不拘泥于每个细节是否清楚。学生在课堂上听课时，也应当把主要精力集中在教师的证明思路和对于难点的分析上。如果有某些细节没有听明白，不要影响你继续听其它内容。只要掌握了主要思路，即使某些细节没有听清楚，也没有关系。你自己完全能够在这个思路的引导下将全部细节补足，最后推出结论。应当在学习的各个环节培养自己的主动精神和自学能力，摆脱对教师与课堂的过分依赖。这不仅是今天学习的需要，而且是培养创造能力的需要。在认真听课这个环节，我身边很多同学都抱怨老师上课节奏太快听不懂。其实正如我上面所说，大学是一个自学的过程你不可能把每一个知识点老师都能给你讲到，老师上课都是讲一些重点和难点。(3)课后复习

复习不是简单的重复，应当用自己的表达方式再现所学的知识，例如对某个定理的复习，不是再读一遍书或课堂笔记，而是离开书本和笔记，回忆有关内容，不清楚之处再对照教材或笔记。另外，复习时的思路不应当教师讲课或者教科书的翻版，一个可供参考的方法是采用倒叙式。从定理的结论倒推，为了得到定理的结论，是怎样进行推理的，定理的条件用在何处。这样倒置思维方式，更加接近这个定理的发现的思路，是一种创造性的思维活动。经过快一个学期的学习，我的现在大学高等数学老师刘老师是通过布置一些课后题目让我们去完成。每节课后他布置的题目都不难，解题方法都是他上课讲过的。我们做的题目他都认认真真的去批改，把我们错误的地方都标记出来，这样我就知道我哪里还不会，哪个知识点还没吃透。但是光依靠老师布置的这点作业也是不够的。每天晚自习的时候我会首先对着书看一遍老师讲的知识，因为并不是每个知识点老师都讲到了。看完书上的知识后然后将课后的习题做一下

通过这课前预习，认真听课，和课后复习三个环节学习起来高数也不是那么难。

四、数学分析解题方法

首先，大家要重视基本概念和基本原理的理解和掌握，不要一头扎进题海中去。上面已经提及，提高解题能力重要途径之一是掌握好基本概念和基本方法。另一方面，因为数学分析题型变化多样，解题技巧丰富多彩，许多类型的题目并不是只要掌握好基本概念和基本方法就会作的。需要看一些例题，或者需要教师的指点。不要因为某些题目一时找不到思路而失去信心。

至于如何解题，很难总结出几个适用于所有题目的通用的方法。怎样提高自己的解题能力？除了天生的智力因素之外，解题能力首先取决于基本概念和基本原理的理解与掌握程度。所以，多下功夫掌握基本概念和基本原理，尽可能地多做题目，在记忆的基础上理解，在完成作业中深化，在比较中构筑知识结构的框架，是提高解题能力的重要途径。另外，做题要善于总结，特别是从不同的题目中提炼出一些有代表性的思想方法。

掌握一定量的题型，对于一些题目，直接知道用什么方法做。有些题目没有头绪的时候，可先尝试找反例，然后想想为什么反例不成功，从中可以的得到不少的启发。还有要充分了解函数的各种性质。做题的时候脑子里要有函数图像。另外，充分了解定义，特别是一致收敛。了解为什么有时候一致收敛才有题目的结论，如果条件收敛，是不是也有这样的条件。多想几次就有了深刻的了解。遇到不清楚的地方赶快看书，多看几遍书对于理解题目是非常有用的。再有，尽可能多地参考一些书籍会使你开阔眼界，增长知识，加深理解。每个人有不同的风格。不同的切入角度，会使你有时候读一些问题豁然开朗。

五、总结

高等数学作为大学的一门课程，自然与其它课程有着共同之处，那就是讲课速度快。刚开始，我非常不适应。上一题还没有消化，老师已经讲完下一题了。带着几分焦虑，我向学长请教学习经验，才明白大学学习的重点不仅仅是课堂，课下的预习与复习是学好高数的必要条件。于是，每节课前我都认真预习，把不懂的地方作上记号。课堂上有选择、有计划地听讲。课后及时复习，归纳总结。逐渐地，我便感到高数课变得轻松有趣。只要肯努力，高等数学并不会太难。