导数几何意义

导数几何意义（通用5篇）

导数几何意义 篇1

摘要：首次提出二阶导数的等价定义和凹率概念,认为凹率是二阶导数的几何本质;讨论了抛物线的凹率与焦准距的关系,给出二次切线的定义,得出二阶导数还表示曲线二次切线的凹率,惊奇地发现二阶导数具有简洁优美的几何意义,与导数几何意义能很好地类比.

关键词：二阶导数,等价定义,凹率,二次切线,几何意义

1. 引言

函数f( x) 在x0处的导数f'( x0) 有明确的几何意义,就是曲线f( x) 在点( x0,f( x0))处切线的斜率,切线是曲线上两点割线的极限位置,切线方程为y = f'( x0) ( x - x0) + f( x0) .

函数f( x) 在x0处的二阶导数f″( x0) 是导函数y = f'( x) 在x0处的导数,即

对于二阶导数的几何意义,数学教材未见明确,仅定性给出二阶导数的正负可判定曲线的凹凸性. 至今尚未发现二阶导数的简明几何意义,为填补这一空白,本文从导数的几何意义出发,提出二阶导数的几何表达及等价定义,引入凹率概念,建立了二次切线的定义和方程,发现了二阶导数与二次切线( 抛物线) 焦准距的关系,对二阶导数作出全新的几何认识和理解,也是对导数理论的有益补充和完善.

本文在平面直角坐标系中讨论,涉及的所有抛物线均为纵向开口,为叙述方便,将 Δx替换为 δ.

2. 切线斜率的变化率

据导数的几何意义,二阶导数按( 1) 式可直接理解为曲线的 切线斜率 的变化率,也就是切线斜率的平均变化率的极限情形. 若函数相邻点的导数f'( x0+ δ) ≠f' ( x0) ( δ≠ 0) ,则曲线两点处的切线斜率不同,两切线必相交,在函数y = f( x) ( f″( x) ≠0) 曲线上取定点M和动点N( 图1) ,分别作切线交于R,M的切线与N的纵线交于P; 设N与M的横坐标差为 δ,N与R的横坐标差为d,N与P的纵坐标差为h,则两切线斜率的增量为

则两切线斜率的平均变化率为

其中

在N→M时的极限处,( 3) 式右端的极限就是M点处切线斜率变化率的几何表述,即

由( 2) 和( 4) 有

令N→M,将 δ 作为变量用洛必达法则对上式求极限可有

将( 6) 代入( 5) 式右端即有

便得到( 5) 的等价式

注意到( 7) 式右端与变化量d无关,在f' ( x0+ δ) = f'( x0) ( h = 0) 时也成立,故( 7) 式就全面描述了曲线在M点处切线斜率的变化率,也就是函数y = f( x) 在x0处二阶导数的几何表达.

3. 二阶导数的等价定义

定理二阶导数等价定理: 一般地,函数f( x) 在某区间内x0处的二阶导数f″( x0) 可等价表达为

证明因f″( x0) 存在,故f'( x0) 必存在且函数f'( x) 在x0处连续,则由导数定义有

由定义式( 1) 即得结论,证毕. 当f'( x0+ δ) ≠f' ( x0) 时, 即可推得( 6) 式.

( 8) 式就是二阶导数的等价定义! 在几何上,二阶导数则可由下式完全等价表达( 如图2) ,即

4. 二阶导数的几何本质 - 凹率

据曲线的凹凸性,f″( a) > 0时,曲线在a点上凹; f″( a) < 0时,曲线在a点下凹. 如果规定曲线在a点上凹为正,下凹为负( 以下均如此设定) ,则凹向的正负就与f″( a) 的正负一致,f″( a) 的正负就表示曲线在a点上凹的正负.

进一步分析二阶导数的几何表达式( 9) ,如图2,h是曲线纵向偏离切线的距离,当h > 0时向上偏离,当h < 0时向下偏离. h与f″( x0) 同号, 式( 9) 就包括了曲线在点M处上凹的正负性.

在几何上,二阶导数f″( x0) 的值就表示函数曲线f( x) 在点( x0,f( x0) ) 处的凹率大小,即f″( x0) = C.

5. 抛物线的凹率与焦准距

特殊地,对于抛物线

其导函数为y' = 2ax + b,二阶导函数为y″ = 2a.

由平均凹率的概念,抛物线( 10) 上任意弧段的平均凹率

这表明,抛物线( 10) 上任一点的凹率C = 2a都相同,称2a为整个抛物线( 10) 的凹率.

抛物线( 10) 经平移可得原点为顶点的标准抛物线,参数a不变,标准抛物线方程y =x2/2p,其中p为焦准距,定义焦准距为焦点与准线的纵坐标差,则抛物线( 10) 的焦准距p =1/2a,显然可得,抛物线的凹率是其焦准距的倒数,即C = 2a =1/p.

取任意非顶点A作抛物线( 10) 的切线和法线,与对称轴围成Rt△ABC( 图3) ,称作A点的抛物线三角形,作AD⊥BC,易证: 顶点E是切线段AC的轴投影DC的中点; 焦准距长︱p︱等于法线段AB的轴投影BD的长; 焦点F是的轴线段BC的中点.

6. 曲线的切割抛物线和二次切线

显然两曲线在M点相切,又在N点相割,称抛物线 ( 11) 为曲线f( x) 在切点M和割点N上的切割抛物线,其凹 )率即曲线f( x) 弧的平均凹率珔C.

同时,曲线f( x) 在N点的切线斜率f'( x0+ δ) 的极限也为f'( x0) ,于是N→M时两曲线在N点的两条切线斜率趋于相等,两切线趋于重合,两曲线因在N点趋于有公切线而趋于相切,即有

由二阶导数等价定理即等价式( 9) 知,δ→0( N→M) 时上式为

此时,切割抛物线( 11) 的割点N与切点M趋于重合, 切割抛物线与曲线在M点处第二次相切,又因抛物线属二次曲线,故可称极限处的切割抛物线( 12) 为曲线f( x) 在M点处的二 次切线,式 ( 12 ) 就是曲线f ( x ) 在点M(x0,f(x0))的二次切线方程.

二次切线的几何定义: 曲线上两点的切割抛物线( 纵向开口) 的极限位置.

二次切线的图形可由M点的抛物线三角形确定顶点焦点方便地作出. 抛物线的二次切线是其本身.

7. 二阶导数的几何意义

其中p是二次切线的焦准距( 焦点与准线的纵坐标差) ,其长度︱p︱等于法线段在对称轴上的投影长.

曲线f( x) 在点M( x0,f( x0) ) 处的二次切线方程为

特别地,当f″( x0) = 0时,曲线在x0处及其二次切线的凹率均为0,二次切线退化为切线.

8. 结论

函数的二阶导数f″( x0) 不仅正负号表示曲线f( x) 在x0处的凹向,而且f″( x0) 的值就表示曲线f( x) 本身在x0处的凹率,另一方面,与导数几何意义非常类似,二阶导数f″( x0) 还表示曲线在x0处二次切线的凹率. 二阶导数是函数曲线在对应点处上凹程度的度量,数量上等于二次切线焦准距的倒数,图形上对应于法线段在二次切线对称轴上的投影. 一二阶导数几何意义的类似性一定还有深层原因,更高阶导数的几何意义值得继续探索,凹率与曲率的关系有待进一步研究.

导数几何意义 篇2

一、教材分析

本节内容选自人教B版数学选修1-1第3章“导数及其应用”第3.1.3“导数的几何意义”第一课时.导数是微积分的核心概念之一，它为研究函数提供了有效的方法.教材从形和数的角度即割线入手，用形象直观的“逼近”方法定义了切线，获得导数的几何意义，学生通过观察、思考、发现、归纳、运用形成完整概念，有利于学生对知识的理解和掌握.通过本节的学习，可以帮助学生进一步理解导数的定义，并更好的体会导数是研究函数的单调性、求解函数的极值和最值，探讨函数值变化快慢等性质最有效的工具.二、学生学习情况分析

选修1是文科学生学习的内容，学生学习兴趣较高，但独立探索，解决问题的能力稍差，数学语言的表达及数形结合的能力、对知识灵活运用的能力仍有不足.通过前两节对函数平均变化率和导数定义的学习，学生对有关导数的问题已经有了初步的认识，但是由于导数定义的抽象性，学生理解起来仍具有一定的困难。

根据上述教材结构与内容分析，立足学生的认知水平，制定如下教学目标和重点、难点。

三、教学目标

1、知识与技能：理解导数的几何意义，掌握应用导数几何意义求解曲线切线 方程的方法。

2、过程与方法：通过对切线定义和导数几何意义的探讨，培养学生观察、分析、比较和归纳的能力。并通过对问题的探究体会逼近、类比、从已知探讨未知、从 特殊到一般的数学思想方法。

3、情感态度与价值观：让学生在观察，思考，发现中学习，启发学生研究问题 时，抓住问题本质，严谨细致思考，规范得出解答。

四、教学重点、难点

教学重点：导数的几何意义的探讨，并应用导数的几何意义解决相关问题。教学难点：深刻理解导数的几何意义以及对曲线切线方程的求解。

为了更好的完成本节课的教学目标，帮助学生理解本节课内容，突出重点，突破难点，我特别设计了如下的教法和学法：

五、学法与教法 教法：

在教学过程中始终以学生为主体开展一切教学活动，注重师生互动，共同探索；教师精心设计问题，引导学生循序渐进，获得知识。

(1)新课的引入：通过课件的展示，提出问题，激发学生的求知欲。(2)探索导数的几何意义：数形结合，让学生在观察，思考，发现中学习。(3)例题处理：始终从问题出发，引导学生在探索中获得答案。(4)随堂演练：深化对导数几何意义的理解与应用，巩固新知。

学法：

(1)自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手参与教学活动（如对导数几何意义的探讨）

(2)合作学习：师生之间，同学之间合作交流，共同探讨问题（如对切线方程解法的归纳总结）

(3)探究学习：引导学生主动探索解答问题的方法（如例题的处理）

六、教学过程设计

（一）旧知回顾、新课引入

yf(x0x)f(x0)1.平均变化率定义：=；

xx2.平均变化率几何意义：函数图象割线AB的斜率k ； 3.导数的定义：f(x0)limyf(x0x)f(x0)

x0xx4.导数的物理意义：物理中，导数的一种意义就是瞬时速度，反映物体某一时刻运动的快慢程度.那么，导数的几何意义是什么呢？

设计意图：通过提问，学生复习，实施类比迁移，引入本节课题，并为探寻导数的几何意义作好准备.（二）导数几何意义的探求过程 [一]切线的定义

演示课件：圆的割线与切线。

问题

1、以前学习过圆的切线是如何定义的？

学生：圆的切线定义用直线与圆交点个数或圆心到直线的距离来定义.课件演示：一般曲线的切线和割线

问题

2、曲线在点P处切线用能用直线与切线的公共点个数来定义吗？ 设计意图：概念的辨析有助于学生准确理解概念，避免了学习的负向迁移.通过普通曲线的切线与圆的切线对比，使学生认识到曲线的切线不能以直线与曲线的交点个数决定。由此提出：如何定义曲线上某点的切线呢？激发学生的求知欲望，进入本节课重点内容的探索过程。

演示课件：曲线的割线PQ趋近确定位置PT的过程

问题3：已知点P,Q,当点Q趋近于点P时，割线PQ的变化趋势是什么？

设计意图：通过PPT课件演示割线的动态变化趋势，为学生观察、思考提供平台，引导学生共同分析，直观获得切线定义.通过逼近方法，将割线趋于确定位置的直线定义为切线，使学生体会这种定义适用于各种曲线.反映了切线的直观本质.学生：点Q趋近于点P时，割线PQ趋近于确定的位置PT,PT为曲线的切线。教师：引导学生归纳总结曲线在点P处切线与曲线可以有不止1个公共点.直线与曲线只有一个公共点时，不一定是曲线的切线.[二]导数的几何意义

问题

4、观察割线PQ斜率（平均变化率）与切线PT斜率k有什么的关系？ 设计意图：要求学生数与形结合，将切线斜率和导数相联系，观察、思考获得导数的几何意义.板书课题：导数的几何意义

对导数几何意义的细节问题进行分析归纳(1)概念分析：导数几何意义的实质；导数几何意义可以解决那些问题。 (2)注意问题：要根据割线是否有极限位置来判断曲线在某点是否有切线；曲线的切线不一定与曲线只有一个交点，可以有多个甚至无穷个；P处切线”与“过点P的曲线的切线”区别：“曲线上点板书、板图点P位置对曲线切线的影响并引入下一个环节：应用导数的几何意义解决求曲线切线的问题 板书：导数几何意义的应用

（三）导数几何意义的应用

例

1、求抛物线yx21 过点（1,2）的切线的斜率。

问题

7、点（1,2）是否是抛物线上点？

设计意图：引导学生注意已知点的位置对求切线的斜率的影响。学生：点（1，2）是抛物线上的点，即为切点。

问题

8、根据导数的几何意义曲线上某一点切线的斜率应等于？

设计意图：强化导数的几何意义。

学生：曲线上某一点切线的斜率应等于这一点的导数。问题

9、试着写出例题1的解题步骤。

设计意图：锻炼学生独立思考与解答问题的能力。

11过点(2,)的切线方程。

2x问题

10、如果求切线方程，我们还需要什么条件？ 例

2、求双曲线y设计意图：引导学生从问题出发思考问题，培养学生清晰的解题思路。学生：常用点斜式求直线方程。问题

11、如何计算切线斜率? 设计意图：进一步熟悉导数的几何意义，并使学生初步掌握求解曲线上某一点切线方程的常用方法。

学生：利用求导数的方法计算。

11师生：一起求出双曲线y在点(2,)处的导数，并用直线方程的点斜式写出

2x直线方程。

练习：已知曲线yx21上一点横坐标为-1，求曲线在这点的切线方程。学生板演，师生共同点评。

设计意图：培养学生正确运用数学语言独立解决问题的能力。

师生共同总结过曲线上某点切线方程的求解步骤（学生归纳总结，教师用大屏幕演示）

（1）确定曲线上点P的坐标；

（2）求出曲线在点P处的导数即切线的斜率；（3）利用点斜式求切线方程.当点P不在曲线上是，如何求过点P的切线方程呢？

教师板书分析过程

师生：通过多媒体课件的演示，设切点坐标，从利用直线上两点坐标求切线斜率和应用导数求切线斜率两方面入手，求解出切点坐标以及切线斜率。并应用点斜式写出切线方程。

师生共同总结已知点P不在曲线上时，过点P的曲线切线方程的求解步骤：

(1)设切点为Q(x0,y0)；(2)f(x0)=切线的斜率k ；(3)利用两点式求切线斜率k ；(4)联立f(x0)yPyQxPxQ，解得x0；

(5)根据x0求的斜率k；(6)根据点斜式写出切线方程。

跟踪演练：

1.在曲线yx2上过哪一点的切线（1）平行于直线y4x5

（2）垂直于直线2x6y60

123x过点(1，）的切线方程。22设计意图：通过学生独立应用导数意义求过某点的曲线的切线方程，培养学生主2.求抛物线y动探索，解决问题的能力，并且加深学生对导数几何意义的理解，熟练掌握几何意义的应用。

（四）归纳小结：

先由学生口头总结，然后教师归纳整理（大屏幕展示）：

1、切线定义（无限逼近的方法定义切线，反映了切线的直观本质）.2、导数的几何意义是曲线在点P处切线的斜率.(是函数f(x)在P 处的瞬时变化率).3、应用导数的几何意义求曲线的切线方程一般步骤。

（五）作业：（必做）教材练习A：3，练习B：2（选作）教材习题3-1A: 4,习题3-1B：4

思考：你能尝试着利用导数的几何意义描述曲线的凹凸性与增减性的关系吗？

七．评价与反思

本节课通过多媒体课件的直观演示，引导学生通过观察，思考，发现并归纳导数的几何意义。在教学的过程中加强了对学生观察能力，独立思考能力，理解归纳能力，及数形结合能力的训练。并且注重师生，生生之间的合作交流，及时对学生所取得的成绩进行肯定，从而使学生获得成就感。增强其自信心，激发学

导数在几何中的“降维”作用 篇3

人教版B教材选修2-2的P10上的“探究与研究”中教材编者给出的一个关于圆的面积和周长的问题，做了一些探讨：研究圆面积与圆周长的关系圆面积S是半径r的函数 ；圆周长C也是圆半径r的函数 。利用导数的定义，一步步地求S对半径r的导数，说出每一步的几何意义，以及它与圆周长之间的关系，类似地讨论球的体积与球面积公式的关系。

这个等式的左端描述了圆的面积S对半径R的导数，而右边部分就是圆周长。

它表明：圆周长公式可由圆面积对R求导而得到。其他各组公式均可类似地得到解释。函数S的增量对自变量R的增量之比是一个半径大于R而小于的一个圆周的长。因而，从这个意义上看来，函数S对自变量R的导数，就是以R为半径的圆周的长。

此外，上述例子的猜想都是基于具有中心的平面或空间图形，其面积相对于中心距离的导数等于图形的周长，其体积相对于中心距离的导数等于图形的表面积或侧面积，不是中心距离为变量不成立。例如：正方形边长用x表示时面积，将面积看作边长的函数对面积求导，。

《数学课程标准》指出，应努力“发展学生的数感”，这里的“数感”即是对客观事物和现象数学量方面的某种敏感性。我认为在教学过程中，教师要有意识地让学生有更多的机会接触客观事物和现象数学量方面的数学问题，这样学生自然地就能逐步自觉地用数学的思想、观点和方法观察事物、解释现象、分析问题的习惯， 从而拓展学生的数学能力，培养学生的实践能力和创新精神。

参考文献：

导数几何意义 篇4

我们知道利用导数的几何意义, 把二次曲线方程看作:y是x的函数, 利用复合函数求导法则, 可轻松求出切线的斜率.如对圆方程 (xa) 2+ (y-b) 2=R 2, 两边对x求导, 则有2 (xa) +2 (y-b) yx′=0, 所以在切点M (m, n) 处的切线斜率k=yx′x=m, y=n=-nm-b-a.从而可求出在点M处的切线方程为 (x-a) (m-a) + (y-b) (n-b) =R 2.类比、迁移此方法可轻松的探求出与椭圆、双曲线、抛物线等有关的中点弦问题.

我们如果以圆、椭圆、抛物线等图形的中心为中心, 按一定的比例缩小原图形, 则一定存在与此同类的圆、椭圆等与弦AB中点M相切 (如图1) 的图形.此时缩小后的曲线方程就变形为如:如果上述方程两边对x求导, 可发现并不改变原方程求导的结果.因此, 利用导数法求中点弦的斜率, 就是求yx′在中点处的值.那么此种方法在解题中有何应用呢?

一、求中点弦方程问题

例1已知双曲线方程2x2-y2=2. (1) 求以A (2, 1) 为中点的双曲线的弦所在的直线方程; (2) 过点B (1, 1) , 能否作直线l, 使l与所给双曲线交于P、Q两点, 且点B是弦PQ的中点?这样的直线如果存在, 求出它的方程;如果不存在, 说明理由.

解析:首先对方程2x2-y2=2两边对x求导, 得

(1) 以A (2, 1) 为中点的弦的斜率为

k=yx′x=2, y=1=4, 所以以A点为中点的弦所在直线方程为y-1=4 (x-2) ;

(2) 以B (1, 1) 为中点的弦的斜率

k=yx′x=1, y=1=2, 所以所求中点弦所在直线方程为y-1=2 (x-1) , 即2x-y-1=0.

但与双曲线方程2x2-y2=2联立消去y得2x2-4x+3=0, Δ=-8<0, 无实根.因此直线l与双曲线无交点, 所以满足条件的直线l不存在.

注:通过上述例题我们可以看到, 一般的探求中点弦方程问题时, 首先利用上述导数法求出过中点的弦的斜率, 然后应用点斜式写出所求的直线方程.但需注意的是, 上述方法所求出的中点弦方程只是满足了题设的必要性, 还必须验证其充分性, 即所求直线与二次曲线确实有两个交点.

二、证明与中点弦有关的不等式问题

证明:设AB的中点是P (m, n) , 则中点P在椭圆内, 所以

注:一般的如果题设中含有与中点有关的弦问题都可以应用上述导数法探求出对应的斜率, 以此为条件与题设整合常可以得到简单的解题方法.本题在求解过程中应用导数探求出中点弦的斜率, 巧妙的应用题设条件使得本题求解过程与运算量大大得以简化.

三、求与中点弦有关的轨迹问题

注:通过上述三个例题我们可以看到利用导数法探求中点弦的斜率相比点差法有异曲同工之效, 然而其运算量却大大得以减少.

四、求与中点弦有关的对称问题

例4抛物线y=x2上不存在关于直线y=m (x-3) 对称的两点, 求m的取值范围.

解: (1) 当m=0时, 曲线上显然不存在关于直线对称的两点.

(2) 当m≠0时, 假设存在关于直线对称的两点, 设这两点的中点为M (a, b) , 则点M必在抛物线y=x2内部, 所以

对方程y=x2两边关于x求导, 得yx′=2x, 所以中点弦所在直线的斜率为

导数的经济意义 篇5

1.1 常用的边际函数

经济学家经常把一个函数的导数称为该函数的边际值: (1) 成本函数与边际成本。某工厂生产一种产品的成本函数记为C=C (q) , q为产量, 称为边际成本, 它表示在产量为q的基础上, 多生产一单位产品所增加成本的近似值。 (2) 收益函数与边际收益。在商业活动中, 一定时期内的收益, 就是指商品售出后的收入, 记为R.商品的总收入取决于销售量q和价格p, 因此, 收入函数为:R=pq。设收入函数为R=R (q) , 则R' (q) 称为边际收入。它可以估计在现有条件下, 再多销售一单位商品所得收入的增加量。 (3) 利润函数与边际利润。利润是指收入扣除成本后的剩余部分, 记为L即L=R-C。

设利润函数为称为L=L (q) , L&apos; (q) 边际利润。它可以估计在现有条件下再多销售一单位商品所得利润的增加量。

1.2 边际分析在实际中的应用

在实际问题中通过边际函数我们可以定出最合适的价格, 得出最佳产量、最大的利润从而制定出最佳的生产计划。

例1:某商店每周购进一批商品, 进价为6元/件, 若零售价定为10元/件可售出120件;当售价降低0.5元/件时, 销量增加20件。问售价p定为多少和每周进货多少时利润最大。

解:利润函数

L&apos; (p) =40 (19-2p)

L&apos; (p) =0圯p=9.5

所以当零售价为9.5元/件时利润最大, 此时每周进货量为:

例2:已知某商品的成本函数为, 求当q=10时的平均成本和边际成本并从降低成本角度看, 是否应当继续提高产量。

解:平均成本函数

以上结果表示生产每一件产品的平均成本是22.5元。若在产量为10件的基础上再多生产一个单位需要增加的成本是5元。即边际成本为5远低于平均成本22.5, 从降低成本的角度看增加生产还是有利可图的, 应当继续提高产量 (反之边际成本若大于平均成本应当减少产量) 。

2 经济中的弹性分析

2.1 弹性的概念与意义某种商品的价格由10元/件

涨到11元/件, 另一种商品的价格由10000元/件涨到10001元/件, 二种商品价格的绝对改变量都是1, 但与原价格相比第一种商品上涨了10%, 第二种商品只上涨了0.01%, 因此在边际分析中, 我们分析的是经济量的绝对改变率, 而在经济问题中仅仅用绝对量是不足以深入分析问题的, 还有必要分析函数的相对变化率, 为此定义弹性概念:

2.2 需求价格弹性

2.2.1 需求价格弹性的概念。

需求和价格的关系是供求理论中的重大问题。我们需要了解需求量对价格的变化的敏感程度即某商品价格下降或上升百分之一时, 所引起的市场对该商品需求量增加或减少的百分比, 衡量商品需求量与价格的这种关系用需求价格弹性, 记做Ep (价格是自变量设为p, 需求量是因变量设为Q) , 其计算公式为:

则;即当价格增加或减少1%时, 需求量受之影响在原条件下改变Ep% (-Ep%) 。

2.2.2 弹性分析的应用。

弹性分析对企业管理决策有着重要的意义。比如价格上升5%, 对销售额有什么影响?销售额增加20%, 价格需下降多少?若大米和彩电同时涨价20%, 为什么人们继续买大米而暂时放弃买彩电等等。

一般情况下需求函数Q=Q (p) 是单调减少的函数, 即价格提高, 需求量减少 (△p>0, △Q<0) , 因此需求弹性Ep<0。因为当某种商品价格增加或减少1%时, 需求量将增加或减少|Ep|%, 所以当我们比较商品需求弹性的大小时通常是比较其需求弹性的绝对值Ep的大小, 绝对值大, 商品的需求弹性就大。

|Ep|>1 (Ep<-1) 时, 需求量的相对变化大于价格的相对变化, 即价格的变化对需求量的影响较大, 称为富有弹性。|Ep|<1 (-1<Ep<0) 时, 需求量的相对变化小于价格的相对变化, 称为缺乏弹性, 一般来说生活必需品的市场需求量对价格的变化幅度不大, 弹性值小。|Ep|=1 (Ep=-1) 时, 需求量的相对变化与价格的相对变化基本相等, 称为单位弹性。需求弹性反映出人们对某东西的需求程度。

2.2.3 需求价格弹性与收益关系的分析。

不同商品的需求弹性不同, 价格变动引起的销售量的变动不同, 从而总收益R的变动也就不同:

(1) 需求富有弹性的商品需求价格弹性与总收益之间的关系:若某种商品的需求是富有弹性的, 那么价格下降时, 需求量增加的比率大于价格下降的比率, 销售者的总收益会增加;当价格上升时, 需求量减少的比率大于价格上升的比率, 销售者的总收益会减少。即此时|Ep|>1 (Ep<-1) , R'<0, R递减, 则价格上涨, 总收益减少, 价格下降, 总收益增加。 (2) 需求缺乏弹性的商品需求价格弹性与总收益的关系。对需求缺乏弹性的商品, 当该商品价格下降时, 需求量增加的比率小于价格下降的比率, 销售者的总收益会减少。当该商品的价格上升时, 需求量减少的比率小于价格上升的比率, 销售者的总收益增加。此时|Ep|<1 (-1<Ep<0) , R'>0, R递增, 则价格上涨, 总收益增加, 价格下跌, 总收益减少。若|Ep|=1 (Ep=-1) 需求量的变化幅度等于价格的变化幅度, 价格与需求量同比例上升或下降, 总收益不变。因此, 需求富有弹性的商品|Ep|>1, 厂商如果涨价, 收入反而减少, 此时应采取降价政策;需求缺乏弹性的商品|Ep|<1, 厂商涨价后收入可以提高, 此时可以采取提价政策;若Ep=1, 需求量的下降抵消了价格上涨的收益, 厂商收入不变。

参考文献

[1]田勇.微积分[M].机械工业出版社, 2002:152-176.

[2]宋劲松.经济数学基础[M].北京:科学出版社, 2007:53-57.