导数运算

导数运算（精选3篇）

导数运算 篇1

一、导数运算中左右导数存在性问题分析

引例设f (x) =sin ln (x2+3) , x[0, 1], 求f+′ (0) , f-′ (1) .

若用单侧导数定义解引例, 显然是十分麻烦的.有些学生这样解引例, 但只知其然.

解当x>0时, f (x) =xex在 (0, +∞) 内可导, 因而f′ (x) =ex+xex, ∴f+′ (0) =lim x→+0 (ex+xex) =e0+0×e0=1, 或者, 有的学生直接以x=0代入f+′ (0) = (ex+xex) |x=0=1;

当x≤0, f (x) =x2, 在 (-∞, 0) 内可导, f′ (x) =2x,

∴f-′ (0) =2x|x=0=0, 在没有理论根据之前, 上述做法是欠妥的, 本文介绍一个事实, 或许对左右导数的教学和计算有所帮助.

定理 (左右导数存在的充分性定理) 若f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 导函数f′ (x) 在端点a的右极限存在, 在b点的左极限存在, 则有, 其意义为:f (x) 在左端点的右导数等于导函数在左端点的右极限值, 而f (x) 在右端点的左导数等于导函数在右端点的左极限值.

证明以下仅对左端点给出证明.任取一点x∈ (a, b) , 在[a, x]上f (x) 连续, 在 (a, x) 内f (x) 可导, 由Lagrange中值定理, 于是至少存在一点ξ∈ (a, x) , 使得f (x) -f (a) =f′ (ξ) (x-a) , 即

因为a<ξ

把定理的条件稍微加强, 可得以下推论:若f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 且f′ (x) 在端点a, b单侧连续, 则f+′ (a) =f′ (a) =f′ (a) |x=a… (A′) , f-′ (b) =f′ (b) =f′ (b) |x=b… (B′) , 其意义是:此时可以用端点代入导函数, 即得在端点的左右导数, 此推论非常实用然而, 此定理是充分的但不是必要的.

例 (见引例)

二、导数运算中函数变形的合理性问题分析

在求函数导数的运算中, 一般情况下导数的定义域不会广于原函数的定义域, 因为原函数可能在某些点上是不可导的, 但是, 也有相反的情况, 导数的定义域比原函数的定义域要广.例如f (x) =lnx的定义域是x>0, 而的定义域是x≠0.伴随这种现象而产生的是另一个问题, 即在导数运算中函数变形的合理性问题.

例如:求y=ln[secxtanx (sec x+tan x) 2]的导数.

这个结果显然是正确的, 但问题在于把y=

ln[secxtanx (secx+tanx) 2]… (1) 变形为y=lnsecx+lntanx+2ln (secx+tanx) … (2) 的时候, 函数的定义域缩小了.例如, (1) 可定义在上, 而 (2) 只定义在上.因此我们可以提出这样的问题:根据 (2) 求出的导数为什么和 (1) 的导数相同?上述做法是否合理?本文就此问题作出探讨.

从本质上说, 此问题与函数的延拓有关系.例如, 函数 (1) 是函数 (2) 的延拓, 但是在一般情况下, 这样的延拓并非永远可能, 为此, 我们证明以下命题.

命题设i.f (x) 在 (a, c) 上可导 (-∞≤a

证明, 定义函数, x∈ (a, c) ∪ (c, b) … (3) , 我们来验证φ (x) 就具有所要求的性质.当x∈ (a, c) 时, (3) 式右端是通常意义下的积分, 显然, φ (x) ≡f (x) , φ′ (x) ≡f′ (x) ;当x∈ (c, d) 时, 右端应按主值意义下的积分理解, 即

根据条件iii知道, 此极限是存在的, 因此φ (x) 在 (c, b) 上有确定的意义.这样就证明了 (1) 和 (2) 结论.

其次再证明唯一性.设φ1 (x) , φ2 (x) 都具有性质 (1) , (2) , (3) , 则在 (a, c) ∪ (c, b) 有φ1′ (x) ≡f′ (x) ≡φ2′ (x) , 因此, φ1 (x) -φ2 (x) ≡const, 但在 (a, c) 上φ1 (x) ≡f (x) ≡φ2 (x) , 由此可见上述常数为0, 即φ1 (x) ≡φ2 (x) , 命题证毕.

类似地, 设a

对命题中的条件iii, 作以下说明, 为了判断一个函数的主值积分是否存在, 可以引用下面的结论:

设f (x) 在区间[a, b]上连续, 而且仅在区间内一点c变为零, 若在c点附近f′ (x) 存在且f′ (c) ≠0, 同时f″ (c) 也存在, 则主值积分存在.

三、导数运算中求导次序可交换问题分析

一般情况下, 对于二元函数f (x, y) , 等式fxy″ (x0, y0) =fyx″ (x0, y0) … (1) 是不成立的.以下给出此等式成立的两个充分条件.

定理1若函数f (x, y) 满足i.fxy″fyx″在p0 (x0, y0) 点某邻域0 (p0) 内存在;ii.fxy″在p0 (x0, y0) 点对x连续, fyx″在p0点关于y连续, 则fxy″ (x0, y0) =fyx″ (x0, y0) … (1) .

定理2若函数f (x, y) 满足i.fx′, fy′fyx″在p0 (x0, y0) 点某邻域0 (p0) 内存在;ii.fyx″在p0 (x0, y0) 点关于y连续, 则fxy″ (x0, y0) 存在且fxy″ (x0, y0) =fyx″ (x0, y0) .

设φ (y) =f (x0+h, y) -f (x0, y) ,

则φ (y0+k) =f (x0+h, y0+k) -f (x0, y0+k) ,

φ (y0) =f (x0+h, y0) -f (x0, y0) ,

则F (h, k) =φ (y0+k) -φ (y0) .

由条件i, f (x, y) 在0 (p0) 内存在一阶偏导数,

所以F (h, k) =φ (y0+k) -φ (y0) =kφ′ (y0+θk) =[fy′ (x0+h, y0+θk) -fy′ (x0, y0+θk) ]·k… (3) , 其中0<θ<1.

另一方面, 由条件i及二阶偏导数定义有

由一阶偏导数的定义, 有

由条件i, fyx″在0 (p0) 内存在, 那么由 (3) 式知, 对于 (-δ, δ) 上任何不同于0的点ξ, 极限

又因为fyx″在p0 (x0, y0) 点关于y连续, 则有, 根据累次极限定义, 等式 (7) 右端的极限存在, 并且有

比较 (7) , (8) 两式得到:fxy″ (x0, y0) 存在, 且有等式fxy″ (x0, y0) =fyx″ (x0, y0) 成立.

导数运算 篇2

●网络体系总览

导数实际背景导数定义导函数基本导数公式求简单函数的导数导数的应用导数运算法则判断函数的单调性判断函数的极大(小)值求函数的最大(小)值导数几何意义 ●考点目标定位

1.理解导数的定义，会求多项式函数的导数.2.理解导数的物理、几何意义，会求函数在某点处切线的斜率和物体运动到某点处的瞬时速度.3.会用导数研究多项式函数的单调性，会求多项式函数的单调区间.4.理解函数极大（小）值的概念，会用导数求多项式、函数的极值及在闭区间上的最值，会求一些简单的实际问题的最大（小）值.●复习方略指南

在本章的复习过程中应始终把握对导数概念的认识、计算及应用这条主线.复习应侧重概念、公式、法则在各方面的应用，应淡化某些公式、法则的理论推导.课本只给出了两个简单函数的导数公式，我们只要求记住这几个公式，并会应用它们求有关函数的导数即可.从2000年高考开始，导数的知识已成为高考考查的对象，特别是导数的应用是高考必考的重要内容之一，题型涉及选择题、填空题与解答题，要给予充分的重视.但是，本章内容是限定选修内容，试题难度不大，要重视基本方法和基础知识；做练习题时要控制好难度，注意与函数、数列、不等式相结合的问题.第1页（共7页）

13.1 导数的概念与运算

●知识梳理

1.用定义求函数的导数的步骤.（1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率

y.xx0（3）取极限，得导数f（x0）=limy.x2.导数的几何意义和物理意义

几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线斜率.物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处的瞬时速度.3.求导公式

－(c)=0，(xn)=n·xn1（n∈N*）.4.运算法则 如果f（x）、g（x）有导数，那么［f（x）±g（x）]=f（x）±g′（x），［c·f（x）]= cf（x）.●点击双基

1.若函数f（x）=2x2－1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+Δx，1+Δy），则等于

A.4

B.4x

yx

C.4+2Δx

D.4+2Δx2 y=4+2Δx.x解析：Δy=2（1+Δx）2－1－1=2Δx2+4Δx，答案：C 2.对任意x，有f（x）=4x3，f（1）=－1，则此函数为

A.f（x）=x4－2

B.f（x）=x4+2 C.f（x）=xD.f（x）=－x4 解析：筛选法.答案：A 3.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=3 s时的瞬时速度为 A.6

B.18

C.54

D.81 解析：∵s′=6t2，∴s′|t=3=54.答案：C 4.若抛物线y=x2－x+c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________.解析：∵y′=2x－1，∴y′|x=－2=－5.6c又P（－2，6+c），∴=－5.2∴c=4.答案：4 5.设函数f（x）=（x－a）（x－b）（x－c）（a、b、c是两两不等的常数），则

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abc++=________.f(a)f(b)f(c)解析：∵f（x）=x3－（a+b+c）x2+（ab+bc+ca）x－abc，∴f（x）=3x2－2（a+b+c）x+ab+bc+ca.又f（a）=（a－b）（a－c），同理f（b）=（b－a）（b－c），（c－b）.f（c）=（c－a）代入原式中得值为0.答案：0 ●典例剖析

【例1】（1）设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，A.［0，π］，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为 411］

B.［0，］ a2a C.［0，|

b|］ 2a D.［0，|

b1|］ 2a（2）（2004年全国，3）曲线y=x3－3x2+1在点（1，－1）处的切线方程为 A.y=3x－4

B.y=－3x+2

C.y=－4x+3

D.y=4x－5 41（3）（2004年重庆，15）已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是______.33（4）（2004年湖南，13）过点P（－1，2）且与曲线y=3x2－4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是______.剖析：本题的各小题都是考查导数的几何意义的，导数的几何意义是曲线在该点处的切线的斜率.解析：（1）∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，∴P到曲线y=f（x）对称轴x=－

π］，4bbb的距离d=x0－（－）=x0+.2a2a2a又∵f（x0）=2ax0+b∈［0，1］，∴x0∈［b1bb1，］.∴d=x0+∈［0，］.2a2a2a2a（2）∵点（1，－1）在曲线上，y′=3x2－6x，∴切线斜率为3×12－6×1=－3.∴所求切线方程为y+1=－3（x－1）.41（3）∵P（2，4）在y=x3+上，33又y′=x2，∴斜率k=22=4.∴所求直线方程为y－4=4（x－2），4x－y－4=0.（4）y′=6x－4，∴切线斜率为6×1－4=2.∴所求直线方程为y－2=2（x+1），即2x－y+4=0.答案：（1）B（2）B（3）4x－y－4=0（4）2x－y+4=0 评述：利用导数的几何意义，求切线的斜率是导数的一个基本应用.思考讨论

导数除用来求切线的斜率外，还有哪些方面的应用? 答：导数的应用较广，如求函数的单调区间，求函数的极值、最值等.【例2】 曲线y=x3在点（3，27）处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是多少?

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剖析：求出切线的方程后再求切线与坐标轴的交点.解：曲线在点（3，27）处切线的方程为y=27x－54，此直线与x轴、y轴交点分别为（2，0）和（0，－54），∴切线与坐标轴围成的三角形面积是S=

1×2×54=54.2评述：求切线的斜率是导数的一个基本应用.【例3】 已知曲线C：y=x3－3x2+2x，直线l：y=kx，且直线l与曲线C相切于点（x0，y0）（x0≠0），求直线l的方程及切点坐标.剖析：切点（x0，y0）既在曲线上，又在切线上，由导数可得切线的斜率.联立方程组解之即可.y解：∵直线过原点，则k=0（x0≠1）.x0由点（x0，y0）在曲线C上，则y0=x03－3x02+2x0，y∴0=x02－3x0+2.x0又y′=3x2－6x+2，∴在（x0，y0）处曲线C的切线斜率应为k=f（x0）=3x02－6x0+2.∴x02－3x0+2=3x02－6x0+2.整理得2x02－3x0=0.解得x0=3（∵x0≠0）.231这时，y0=－，k=－.84因此，直线l的方程为y=－

133x，切点坐标是（，－）.428评述：对于高次函数凡涉及到切线或其单调性的问题时，要有求导意识.【例4】 证明：过抛物线y=a（x－x1）·（x－x2）（a≠0，x1

1.函数f（x）=（x+1）（x2－x+1）的导数是 A.x2－x+1

B.（x+1）（2x－1）

C.3x2 D.3x2+1 解析：∵f（x）=x3+1，∴f（x）=3x2.第4页（共7页）

答案：C 2.曲线y=f（x）在点（x0，f（x0））处的切线方程为3x+y+3=0，则 A.f（x0）>0

B.f（x0）<0 C.f（x0）=0

D.f（x0）不存在 解析：由题知f（x0）=－3.答案：B 3.函数f（x）=ax3+3x2+2，若f（－1）=4，则a的值等于________.解析： f（x）=3ax2+6x，从而使3a－6=4，∴a=答案： 10 310.34.曲线y=2x2+1在P（－1，3）处的切线方程是________________.解析：点P（－1，3）在曲线上，k=f（－1）=－4，y－3=－4（x+1），4x+y+1=0.答案：4x+y+1=0 5.已知曲线y=x2－1与y=3－x3在x=x0处的切线互相垂直，求x0.解：在x=x0处曲线y=x2－1的切线斜率为2x0，曲线y=3－x3的切线斜率为－3x02.1∵2x0·（－3x02）=－1，∴x0=3.61答案： 3

66.点P在曲线y=x3－x+

2上移动，设点P处切线的倾斜角为，求的范围.3解：∵tan=3x2－1，∴tan∈［－1，+∞）.当tan∈［0，+∞）时，∈［0，当tan∈［－1，0）时，∈［∴∈［0，π）； 23π，π）.4π3π）∪［，π）.24培养能力

7.曲线y=－x2+4x上有两点A（4，0）、B（2，4）.求：（1）割线AB的斜率kAB及AB所在直线的方程；

（2）在曲线AB上是否存在点C，使过C点的切线与AB所在直线平行?若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）kAB=40=－2，24∴y=－2（x－4）.∴所求割线AB所在直线方程为2x+y－8=0.（2）y=－2x+4，－2x+4=－2，得x=3，y=－32+3×4=3.∴C点坐标为（3，3），所求切线方程为2x+y－9=0.8.有点难度哟！

若直线y=3x+1是曲线y=x3－a的一条切线，求实数a的值.解：设切点为P（x0，y0），对y=x3－a求导数是

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y=3x2，∴3x02=3.∴x0=±1.（1）当x=1时，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×1+1=4，即P（1，4）.又P（1，4）也在y=x3－a上，∴4=13－a.∴a=－3.（2）当x=－1时，∵P（x0，y0）在y=3x+1上，∴y=3×（－1）+1=－2，即P（－1，－2）.又P（－1，－2）也在y=x3－a上，∴－2=（－1）3－a.∴a=1.综上可知，实数a的值为－3或1.9.确定抛物线方程y=x2+bx+c中的常数b和c，使得抛物线与直线y=2x在x=2处相切.解：y=2x+b，k=y′|x=2=4+b=2，∴b=－2.又当x=2时，y=22+（－2）×2+c=c，代入y=2x，得c=4.探究创新

10.有点难度哟！

曲线y=x3+3x2+6x－10的切线中，求斜率最小的切线方程.解：y=3x2+6x+6=3（x+1）2+3，∴x=－1时，切线最小斜率为3，此时，y=（－1）3+3×（－1）2+6（－1）－10=－14.∴切线方程为y+14=3（x+1），即3x－y－11=0.●思悟小结

1.理解导数的定义及几何和物理方面的意义是解题的关键.2.非多项式函数要化成多项式函数求导.3.要注意含有参数的函数的导数的写法及研究在不定点处切线问题时切点的设法.●教师下载中心 教学点睛 1.f（x0）=lim(x0x)f(x0)的几种等价形式：

x0xf(x)f(x0)f（x0）=limxx0xx0h0=lim=limf(x0h)f(x0)

hf(x0)f(x0h)

hh02.曲线C：y=f（x）在其上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为 y－f（x0）=f（x0）（x－x0）.3.若质点的运动规律为s=s（t），则质点在t=t0时的瞬时速度为v=s（t0）.这就是导数的物理意义.4.直线与曲线相切，并不一定只有一个公共点，当曲线是二次曲线时，由解析几何知，直线与曲线相切，有且只有一个公共点，即切点.第6页（共7页）

拓展题例

【例题】 曲线y=x2+1上过点P的切线与曲线y=－2x2－1相切，求点P的坐标.解：设P（x0，y0），由题意知曲线y=x2+1在P点的切线斜率为k=2x0，切线方程为y=2x0x+1－x02，而此直线与曲线y=－2x2－1相切，∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x2+2x0x+2－x02=0的判别式 Δ=4x02－2×4×（2－x02）=0.解得x0=±273，y0=.332723，）或（－

导数运算 篇3

一、联想和、差函数的导数运算法则

例1设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)上可导,且f'(x)

(A)f(x)>g(x)

(B) f (x)

(C)f(x)+g(a)

(D)f(x)+g(b)

分析:由于题设条件中有“f'(x)

因为f'(x)g(x)+f(b)(即选项(D)错误).

例2函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,且对任意x∈R,f'(x) 2,则f(x)>2x+4的解集为()

(A)(-1,1)(B)(-1,+∞)

(C)(-∞,-1)(D)(-∞,+∞)

分析:本题题设条件中有“f'x)>2”,这颇让人费解:导数f'(x)的正负决定着函数f(x)的单调性,这里“f'(x)>2”是何用意?联系到结论中的“f(x)>2x+4”,你是否有一种豁然开朗的感觉……

构造函数g(x)=f(x)-2x-4,则不等式f(x)>2x+4⇔g(x)>0.

由于f'(x)>2,故g'(x)=f'(x)-2>0,即函数g(x)在R上单调递增.

又因为f(-1)=2,故g(-1)=f(-1)+2-4=0.

综上,不等式f(x)>2x+4⇔g(x)>g(-1)⇔x>-1,应选选项(B).

点评:例2中注意到题设条件f'(x)>2与所求结论f(x)>2x+4两者结构特征间的联系,进而联想到函数g(x)=f(x)-2x-4的单调性,有效考查了考生转化与化归的意识.

二、联想积函数的导数运算法则

例3函数f(x)是定义在R上的偶函数f(-2)=0,且x>0时f(x)+xf'(x)>0,则不等式xf(x)≥0的解集是______.

分析:由题设条件中的“f(x)+xf'(x)>0”联想到积函数y=xf(x)的单调性.

因为x>0时f(x)+xf'(x)>0,故构造函数y=xf (x),且该函数在(0,+∞)上单调递增.

又因为f(x)为偶函数,故y=xf(x)为奇函数.

结合f(-2)=0,可画函数y=xf(x)的大致图象如图1所示.易得,不等式xf(x)≥0的解集为[-2,0]∪[2,+∞).

例4f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf'(x)+f(x)≤0.对任意正数a,b,若a

(A) af(b)≤bf (a)(B) bf(a)≤af(b)

(C) af(a)≤f(b)(D) bf(b)≤f(a)

分析:同例3,构造函数y=xf(x),x∈(0,+∞).

由于xf'(x)+f(x)≤0,故函数y=xf(x)在(0,+∞)上或单调递减或为常数函数.所以,对任意正数a,b,若abf(b).(选项中没有这一结论,故仍需作进一步判断)

又因为f(x)≥0,且0

综上,af (b)≤bf(b)≤af(a)≤bf(a),应选选项(A).

点评:上述两例,由式子“xf'(x)+f(x)”联想到函数y=xf(x)的导数,思路自然、合理.其中,例4还可以借助商函数的单调性进行求解,读者不妨一试.

例5设函数f(x)在R上的导函数为f'(x),且2f (x)+xf'(x)>x2.下面的不等式在R上恒成立的是()

(A)f(x)>0 (B)f(x)<0

(C)f(x)>x (D)f(x)

分析:由题设条件“2f(x)+xf'(x)>x2”该如何进行联想……式子2f(x)+xf'(x)与函数y=x2f(x)的导数颇为相像,思路由此产生!

构造函数g(x)=x2f (x),

则其导数为g'(x)=2xf(x)+x2f'(x).

①当x>0时,由2f(x)+xf'(x)>x2,得g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)>x3>0,即函数g(x)=x2f (x)在区间(0,+∞)上递增,故g(x)=x2f(x)>g(0)=0⇒f(x)>0.

②当x<0时,有g'(x)=2xf (x)+x2f'(x)g(0)=0⇒f(x)>0.

③当x=0时,由2f(x)+xf'(x)>x2,得f(0)>0.

综上,对任意x∈R,有f(x)>0,应选选项(A).

点评:本例中构造函数不直接,有一定的曲折性,对学生的联想能力、创新能力有较高要求.又比如,由式子xf'(x)+nf (x),你能联想到哪个函数.

三、联想商函数的导数运算法则

例6函数f(x)是定义在R上的奇函数,(3)=0,且x<0时,xf'(x)

分析:由题设条件中的“xf'(x)

因为x<0时,,即函数在(-∞,0)上单调递减.

又由f(x)为奇函数,知为偶函数,故函数在(0,+∞)上单调递增.

结合f(3)=0,可画函数的大致图象如图2所示.易得,不等式f(x)≥0的解集为[-3,0]∪[3,+∞).

点评:要注意不等式f(x)≥0的解集中含有元素0.

例7 f(x)是定义在R上的可导函数,且f(x)>f'(x)对任意x∈R都成立,则下列不等式中成立的是()

(A) f (2013)>e2013f (0),f (2013)>ef (2012)

(B) f (2013)>e2013f (0),f (2013)

(C) f (2013)ef(2012)