导数解题中的错误（通用3篇）
导数解题中的错误 篇1
导数作为新教材新增的内容, 利用它解题通常是一把利器, 若对导数概念理解不透, 难免犯些错误.笔者在日常教学中收集了一些常见的解题错误, 以例题的形式分类加以剖析之.
错误一 概念不清, 主要表现在区间端点上
例1 函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内有f′ (x) >0且f (a) ′>0, 则函数y=f (x) 在区间 (a, b) 内 ( ) .
A.f (x) >0 B.f (x) <0
C.f (x) =0 D.不能确定
错选A反例:
正解D.若加强条件f (x) 在[a, b]连续, 则选A.
错误二 混淆导函数、原函数的图像
例2 右图是导函数y=f′ (x) 的图像, 指出函数y=f (x) 的极值点.
错解 函数y=f (x) 的极大值点:x2, x6, 极小值点:x4, x7.
正解 极大值点:x3, 极小值点:x1, x5.
错误三 在列表时, 判断导函数y′=f′ (x) 的第一个符号后不加思索的+、-交替
例3 求函数f (x) =3x4-4x3-6x2+12的极值.
错解 由题意函数的定义域R求导, 得
f′ (x) =12 (x3-x2-x+1) .
令f′ (x) =0, 解得x=±1.
对x、f′ (x) 、f (x) 列表:
故函数f (x) 的极小值:f (-1) =-19, 极大值:f (1) =-11.
事实上函数f (x) 有极小值f (-1) =-19.无极大值.
错误四 不求定义域
例4 求函数f (x) =x2-4ln (x+1) 的单调区间.
错解 直接对f (x) 求导后判断f′ (x) 得f (x) 增区间: (1, +∞) , (-2, -1) , 减区间: (-∞, -2) , (-1, 1) .
正解 增区间: (1, +∞) , 减区间: (-1, 1) .
错误五 认为导数值为0的点就是极值点
例5 判断正误:
①若f′ (x0) =0, 则f (x0) 为函数y=f (x) 的一个极值.
②若f (x0) 为函数y=f (x) 的一个极值, 则f′ (x0) =0.
③若f (x0) 为函数y=f (x) 的一个极值, 且f′ (x0) 存在, 则f′ (x0) =0
④若f (x0) 为函数y=f (x) 的一个极大值, 则在点x0附近左侧有f′ (x) >0, 右侧有f′ (x) <0.
正解 仅③正确.①反例:f (x) =x3, x0=0.
②④反例:
undefined
例6 求函数f (x) =x-cosx在x∈[0, 2π]的最值.
解 由题意f′ (x) =1+sinx, x∈ (0, 2π) , 令f′ (x) =0,
解得undefined
又 f′ (0) =-1, f′ (2π) =2π-1.
故f′ (x) min=f (0) =-1, f (x) max=f (2π) =2π-1.
事实上, undefined并非极值, 虽最后不影响最值, 但这样解答实有牵强.按文[2], 求最值的主要步骤是:求极值→求端点函数值→得最值.
错误六 混淆极值、最值
例7 已知函数f (x) =x3+mx2+nx的两个极值点是x=-2, x=4, 试判断函数在x=-2, x=4处的函数值是极大值还是极小值, 并说明理由.
解 由题意, f′ (x) =3x2+2mx+n有f′ (-2) =0且f′ (4) =0, 解得m=-3, n=-24.由f (-2) =4>f (4) =0.故函数在x=-2处取极大值, 在x=4处取极小值.
事实上, 极值可用导函数y′=f′ (x) 的符号变化来去确定, 详见错误二.由m=-3, n=-24, 得f′ (x) =3x2-6x-24=3 (x-4) (x+2) , x∈R。故当x<-2时, f′ (x) >0, 当-2
极值和最值的联系与区别:①极值不具有唯一性, 极大 (小) 值可以是多个, 也可以是一个, 还可以是0个, 而最值有唯一性 (若存在) ;②极大值可以比极小值大, 也可以比极小值小, 还可以相等, 而最大值≥最小值;③极值在区间内部取得, 而最值可以在区间内部取得, 也可在区间端点取得;④若函数在某区间上的图像是连续不断的, 且在该区间内存在唯一极值, 则此极值必是函数的最值.总之, 极值未必是最值, 最值也未必是极值.
参考文献
[1]罗增儒.数学解题学引论[M].西安:陕西师范大学出版社, 2008.
[2]人民教育出版社等编著.人教A选修1-1[M].北京:人民教育出版社, 2007.
[3]G·波利亚.怎样解题[M].上海:上海科技教育出版社, 2007.
导数解题中的错误 篇2
联想导数运算法则 合理构造函数解题
作者：朱贤良
来源：《数理化学习·高一二版》2013年第08期
浅谈导数在解题中的工具地位 篇3
一、利用导数解决恒成立问题
恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m≥f（x）（或m≤f（x））恒成立，于是m大于f（x）的最大值（或m小于f（x）的最小值），从而把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题。因此，利用导数求函数最值是解决恒成立问题的一种重要方法。
例1：已知函数
二、利用导数证明不等式
众所周知，函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。
例2：已知：a，b∈R，b>a>e，求证：ab>ba（e为自然对数的底）。
证：要证ab>ba只需证lnab>lnba，即证：blna-alnb>0
三、用导数求函数的最值（或值域）
导数的另一个作用是求函数的最值，因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。
例3：求证：n∈N*，n≥3时，2n>2n+1
证明：要证原式，即需证：2n-2n-1>0，n≥3时成立
设f（x）=2x-2x-1（x≥3），则f'（x）=2xln2-2（x≥3），
∵x≥3，∴f'（x）≥23ln3-2>0
∴f（x）在[3，+∞）上是增函数，
∴f（x）的最小值为f（3）=23-2×3-1=1>0
所以，n∈N*，n≥3时，f（n）≥f（3）>0，即n≥3时，2n-2n-1>0成立。
四、利用导数解不等式
五、导数与实际生活问题
利用导数解决实际问题的一般步骤是：①分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y=f（x）；②求函数的导数f'（x），解方程f'（x）=0；③比较函数在区间端点和使f'（x）=0
例5：某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，从上午6点到中午12点，车辆通过该市的某一段所用的时间为y分钟与车辆进入该路段的时间t之间的函
求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻。
解析：按所给出的分段函数求导:
（1）当6≤t＜9时，
当6≤t＜8时，y'＞0，8＜t＜9时，y'＜0，所以，当t=8时，ymax=18.75（分钟）。
（2）当9≤t≤10时，是增函数，所以，当t=10，ymax =15（分钟）。
（3）当10＜t≤12时，y=-3（t-11）2+8。
综上所述，上午8时，通过该路段用时最多，为18.75（分钟）。
回顾：本例直接按分段函数求导，探求最值，然后确定从上午6点到中午12点车辆通过该路段用时最多的时刻。