数学解题中的兵法

2024-07-09

数学解题中的兵法（精选3篇）

数学解题中的兵法篇1

兵法是用来打仗的, 在战场上, 兵法是取胜的重要法宝, 有了它, 就可以以弱胜强, 以少胜多, 让自已立于不败之地, 让敌人闻风丧胆, 望风而逃, 想当年孙膑凭着一部《孙子兵法》, 驰骋沙场, 无往不利, 何等威武, 何等潇洒!数学课堂不应该是沉闷的, 压抑的, 教师讲解时若能把一些典故, 幽默, 兵法渗透进数学课堂, 势必会把同学的情绪调动起来, 让沉闷的课堂变得波澜壮阔一些, 题目在笑谈间轻松破解, 障碍在谋略前灰飞烟灭, 学生在惊奇中收获知识, 让学生有一种置身沙场, 驰骋于千军万马中的豪情, 下面就如何将兵法渗透解题中举例加以说明。

一、欲擒故纵

例1若关于x的方程22x+2xa+a+1=0有实数根, 则实数a的取值范围是__________。

分析欲解之, 发现有些棘手, 不妨先纵之, 退而求一个简单的类似的题型, 把路铺好, 等一会再攻打并擒之。不妨先解下面的引题:若关于x的方程a=2x有实数根, 则实数a的取值范围是__________。引题容易求解, 不妨设y1=a, y2=2x原方程有解即新构造两函数有交点, 由图象不难看出, a的取值范围即为y2=2x的值域, 因此, a的取值范围是 (0, +∞) , 现在我们可以求解原题。

二、偷梁换柱

例2已知函数y=f (x) (x∈R) 满足f () 2=3且y=f (x) 在R上的导数满足f' (x) -1<0则不等式f (x2)

分析题中f (x) 为抽象函数, 条件很散, 做起来有些困难, 但若能将偷梁换柱的兵法谋略用在该题中, 将“梁” (抽象函数y=f (x) 换成“柱”, 问题可轻松破解。)

评注此题为填空题, 在不追求解题过程的情况下, “偷梁换柱”不失为一种好办法。兵法讲究精巧、实用, 解题何尝不是如此?破敌之道在于运筹帷幄, 破解之道在于成竹于胸。

三、擒贼先擒王

例3若不等式x2+λx+1≥-λ-sin1在λ≤-1时恒成立, 求实数x的取值范围。

分析这道题参数较多, 且含有三角式, 令人目不暇接, 从兵法上讲就是敌情复杂, 人数众多, 这时候更需要沉着冷静, 深思熟虑之后不妨采用“擒贼先擒王”的策略破之。这里的王即λ, 以λ为主元, 构造出以λ为自变量的一次函数, 问题马上变得明朗起来。

原不等式变形为 (x+) 1λ+x2+sin1+1≥0 (其中λ≤-1) 恒成立, 令f (λ) = (x+) 1λ+x2+sin1+ (1λ≤-) 1则有

所以

而x2-x+sin1≥0恒成立, 所以x≤-1

评注很多同学习惯于以为主元 (即王) 入手, 以分类讨论展开, 这样往往费时费力, 以x为主元, 问题就变得异常简单, 胜利就唾手可得了。

四、无中生有

例4已知a, b, c是正实数, a+b+c=3求的最大值。

分析这道题由条件的结构特征很容易想到均值不等式, 但如何架设一座桥梁把它们联系起来?可以采用“无中生有”的策略来实现。

评注本题中由于a, b, c在条件和结论中地位是对等的, 故取得最值时, a, b, c必然相等, 即a=b=c=1所以“1”的出现不是空穴来风, 它是深思熟虑后的产物, 是数学思想方法的结晶!

五、围魏救赵

例5 x≠3或y≠4是x+y≠7的条件。

分析这道题看似简单, 但笔者第一次让同学们做的时候, 居然有一半的同学出错!究其原因, 解题策略有误, 这道题若直接解答之, 就会掉进命题者精心设计的陷阱里, 很难突围。但若能审时度题, 采用“围魏救赵”的策略, 就可轻松突围, 揭穿出题者的“阴谋”, 成功“救赵”。

由于原命题与它的逆否例题等价, 即真假相同。不妨先破解下面这道题x+y=7是x=3且y=4条件。很容易知道是必要不充分条件, 则原命题也是必要不充分条件。

例6已知函数f (x) =4x-2x+1, 求f-1 () 0

分析本题也可用“围魏救赵”的策略加以解决, 为求f-1 () 0, 可先求f-1 (x) 。但求f-1 (x) 不太容易 (直接“救赵”太难) , 于是可寻找原命题的简单的等价命题 (“围魏”) 。

因为函数f (x) 的反函数的定义域即是函数f (x) 的值域, 故原问题等价于解方程

解得x=1, 因此f-1 () 0=1

评注“围魏救赵”策略的本质是等价转换, 追求的方向是将问题简化, 避开曲折的思维和冗长的计算, 最终的目标是使问题得到轻松破解。

数学解题中的兵法篇2

三角塘镇瑶塘学校：徐冬凤

在学习过程中，错误的出现是不可避免的。因此，对错误进行系统的分析至关重要。因为，错误从一个特定的角度揭示了学生掌握知识的过程，教师可以通过错误来发现学生的不足，从而采取相应的补救措施；同时，错误也是学生在学习过程中对所学知识不断尝试的结果。下面就对初中数学中的解题错误作简要分析：

一、出现解题错误的原因

学生如果能顺利正确地完成解题过程，这表明他在分析问题和运用相应知识的环节上没有受到任何干扰。若在上述环节上不能排除干扰，就会出现解题错误。而初中生解题错误的干扰常来自以下两方面：一是小学数学的干扰，二是初中数学前后知识的干扰。

1、小学数学的干扰

刚进入初一，学生学习小学数学形成的某些认识会妨碍他们学习代数初步知识，使其产生解题错误。

例如，小学数学中形成的一些结论都只是在没有学负数的情况下成立的。在小学，学生对两数之和不小于其中任何一个加数，即a+b>a是坚信不疑的，但是，学了负数后，a+b

越难牢固树立。

总之，初中开始阶段，学生解题错误的原因常可追溯到小学数学知识对其新学知识的影响。所以，讲清新学知识的意义（如用字母表示数）、范围（正数、0、负数）、方法（代数和、代数方法）与旧有知识（具体数字、非负数、加减运算、算术方法）的不同，有助于克服干扰，减少初始阶段的错误。

2、初中数学前后知识的干扰

随着初中知识的展开，初中数学知识本身也会前后相互干扰。例如，运用不等式基本性质3求不等式的解集是教学的一个难点，学生常常在这里犯错误，其原因就是受等式的基本性质2“等式两边都乘以或除以同一个数（0不能做除数），所得结果仍是等式”的影响。为了避免错误的出现，教师要把不等式的有关内容与等式及方程的相应内容加以比较，使学生理解两者的异同，有助于学生学好不等式的内容。

另外，通过学生解决单一问题与综合问题时的表现也可以说明这个问题。学生在解答单一问题时，需要运用的知识少，囚而受到知识间的干扰小，产生错误的可能性就小；而遇到综合问题时，在知识运用上受剑的干扰相对较人，出错率也相应提高。

总之，这种知识的前后干扰，常常使学生在学习新知识时出现困惑，在解题时选错或用错知识，导致错误的发生。

二、减少解题错误的方法

减少初中数学中的解题错误的方法是预防和排除干扰。为此，要

抓好课前、课内、课后三个环节。

1、课前准备要有预见性

预防错误的发生，是减少初中学生解题错误的主要方法。讲课之前，教师如果能预见到学生学习本课内容可能产生的错误，就能够在课内讲解时有意识地指出并加以强调，从而有效地控制错误的发生。例如，讲解方程x/0.7-(0.17-0.2x)/0.03=1之前，要预见到本题要用分式的基本性质与等式的性质，两者有可能混淆，因而要在复习提问时准备一些分数的基本性质与等式的性质的练习，帮助学生弄清两者的不同，避免产生混乱与错误。因此备课时，要仔细研究教科书正文中的防错文字、例题后的注意、小结与复习中的应该注意的几个问题等，同时还要揣摸学生学习本课内容的心理过程，授业解惑，使学生预先明了容易出错之处，防患于未然。如果学生出现问题而未查觉，错误没有得到及时的纠正，则遗患无穷，不仅影响当时的学习，还会影响以后的学习。因此，预见错误并有效防范能够为揭示错误、消灭错误打下基础。

2、课内讲解要有针对性

在课内讲解时，要对学生可能出现的问题进行针对性的讲解。对于容易混淆的概念，要引导学生用对比的方法，弄清它们的区别和联系。对于规律，应当引导学生搞清它们的来源，分清它们的条件和结论，了解它们的用途和适用范围，以及应用时应注意的问题。教师要给学生展示揭示错误、排除错误的手段，使学生会识别错误、改正错误。要通过课堂提问及时了解学生情况，对学生的错误回答，要分

析其原因，进行针对性讲解，利用反面知识巩固正面知识。课堂练习是发现学生错误的另一条途径，出现问题可以及时解决。总之，要通过课堂教学，不仅教会学生知识，而且要使学生学会识别对错，知错能改。

3、课后讲评要有总结性

要认真分析学生作业中的问题，总结出典型错误，加以评述。通过讲评，进行适当的复习与总结，也使学生再经历一次调试与修正的过程，增强识别、改正错误的能力。