数学证明题解题技巧与步骤

数学证明题解题技巧与步骤（共10篇）

数学证明题解题技巧与步骤 篇1

数学证明题解题技巧与步骤

北师大版初中数学教材中《证明》占三章节，教材这样安排的目地是想：通过对《证明》的学习，让学生通过对图形的性质及相互关系进行大量的探索，在探索的同时，使学生经历推理的过程，进行了简单的推理训练，从而具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。但生活很丰满，现实很骨干，许多学生在实际解决证明题的过程中，却因为种种原因而感到无从下手！那如何求解证明题呢？如何让学生不再畏惧证明题呢？通过对教材中《证明》的教学，根据学生的认知水平，本人认为可以从以下六个方面来解决：

[例题]

证明：等腰三角形两底角的平分线相等

1.弄清题意

此为“文字型”数学证明题，既没有图形，也无直观的已知与求证。如何弄清题意呢？根据命题的定义可知，命题由条件与结论两部分组成，因此区分命题的条件与结论至关重要，是解题成败的关键。命题可以改写成“如果„„„..，那么„„„.”的形式，其中“如果„„„..”就是命题的条件，“那么„„.”就是命题的结论，据此对题目进行改写：如果在等腰三角形中分别作两底角的平分线，那么这两条平分线长度相等。于是题目的意思就很清晰了，就是在等腰三角形中作两底角平分线，然后根据已知的条件去求证这两条平分线相等。这样题目要求我们做什么就一目了然了！

2.根据题意，画出图形。

图形对解决证明题，能起到直观形象的提示，所以画图因尽量与题意相符合。并且把题中已知的条件，能标在图形上的尽量标在图形上。

3.根据题意与图形，用数学的语言与符号写出已知和求证。

众所周知，命题的条件---已知，命题的结论---求证，但要特别注意的是，已知、求证必须用数学的语言和符号来表示。

已知：如图（1），在△ABC中，AB=AC,BD、CE分别是△ABC的角平分线。

求证：BD=CE

4.分析已知、求证与图形，探索证明的思路。

对于证明题，有三种思考方式：

（1）正向思维。对于一般简单的题目，我们正向思考，轻而易举可以做出，这里就不详细讲述了。

（2）逆向思维。顾名思义，就是从相反的方向思考问题。运用逆向思维解题，能使学生从不同角度，不同方向思考问题，探索解题方法，从而拓宽学生的解题思路。这种方法是推荐学生一定要掌握的。在初中数学中，逆向思维是非常重要的思维方式，在证明题中体现的更加明显，数学这门学科知识点很少，关键是怎样运用，对于初中几何证明题，最好用的方法就是用逆向思维法。如果你已经上初三了，几何学的不好，做题没有思路，那你一定要注意了：从现在开始，总结做题方法。同学们认真读完一道题的题干后，不知道从何入手，建议你从结论出发。例如：可以有这样的思考过程：要证明某两条边相等，那么结合图形可以看出，只要证出某两个三角形相等即可；要证三角形全等，结合所给的条件，看还缺少什么条件需要证明，证明这个条件又需要怎样做辅助线，这样思考下去„„这样我们就找到了解题的思路，然后把过程正着写出来就可以了。这是非常好用的方法，同学们一定要试一试。

（3）正逆结合。对于从结论很难分析出思路的题目，同学们可以结合结论和已知条件认真的分析，初中数学中，一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的，所以可以从已知条件中寻找思路，比如给我们三角形某边中点，我们就要想到是否要连出中位线，或者是否要用到中点倍长法。给我们梯形，我们就要想到是否要做高，或平移腰，或平移对角线，或补形等等。正逆结合，战无不胜。

分析：此题要想证明 BD=CE ,就要引导学生观察图形（图形（1）），弄清题意。发现BD、CE分别存在于两对三角形中：△ABD与△ACE，△BEC与△CDB,只要能证明其中任何一对三角形全等，即可利用全等三角形性质得到对应边相等。（此思维属于逆向思维）

5.根据证明的思路，用数学的语言与符号写出证明的过程

证明过程的书写，其实就是把证明的思路从脑袋中搬到纸张上。这个过程，对数学符号与数学语言的应用要求较高，在讲解时，要提醒学生任何的“因为、所以”，在书写是都要符合公理、定理、推论或以已知条件相吻合，不能无中生有、胡说八道，要有根有据！证明：

∵AB=AC(已知)

∴∠ABC=∠ACB(等边对等角)

∵BD、CE分别是△ABC的角平分线(已知)

∴∠1=∠ABC, ∠2=∠ACB（角平分线的定义）

∴∠1=∠2(等量代换)

在△BEC与△CDB中，∵∠ACB=∠ABC, BC=CB, ∠1=∠

2∴△BEC≌△CDB(ASA)

∴BD=CE(全等三角形的对应边相等)

6.检查证明的过程，看看是否合理、正确

任何正确的步骤，都有相应的合理性和与之相应证的公理、定理、推论，证明过程书写完毕后，对证明过程的每一步进行检查，是非常重要的，是防止证明过程出现遗漏的关键。最后，同学们在平时练习中要敢于尝试，多分析，多总结。

初中几何证明题不但是学习的重点。而且是学习的难点，很多同学对几何证明题。不知从何着手，一部分学生虽然知道答案，但叙述不清楚，说不出理由，对逻辑推理的证明过程几乎不会写，这样，导致大部分的学生失去了几何学习的信心，虽然新的课程理念要求，推理的过程不能过繁。一切从简，但证明的过程要求做到事实准确、道理严密，证明过程方能完整，教学中怎样才能把几何证明题的求解过程叙述清楚呢?根据教学经验，我在教学中是这样做的，希望与大家一起探讨。

(1)“读”——读题

如何指导学生读题？仁者见仁、智者见智，我们课题组结合我们的研究和本校学生的实际，将读题分为三步：第一步，粗读（类似语文阅读的浏览）。快速地将题目从头到尾浏览一遍，大致了解题目的意思和要求；第二步，细读。在大致了解题目的意思和要求的情况下，再认真地有针对性地读题，弄清题目的题设和结论，搞清已知是什么、需要证明的是什么？并尽可能地将已知条件在图形中用符号简明扼要地表示出来（如哪两个角相等，哪两条线段相等，垂直关系，等等），若题中给出的条件不明显的（即有隐含条件的），还要指导学生如何去挖掘它们、发现它们；第三步，记忆复述。在前面粗读和细读的基础上，先将已知条件和要证明的结论在心里默记一遍，再结合图形中自己所标的符号将原题的意思复述出来。到此读题这一环节，才算完成。

对于读题这一环节，我们之所以要求这么复杂，是因为在实际证题的过程中，学生找不到证明的思路或方法，很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件，而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生。

(２)“析”——分析

指导学生用数学方法中的“分析法”，执果索因，一步一步探究证明的思路和方法。教师用启发性的语言或提问指导学生，学生在教师的指导下经过一系列的质疑、判断、比较、选择，以及相应的分析、综合、概括等认识活动，思考、探究，小组内讨论、交流、发现解决问题的思路和方法。

(３)“述”——口述

学生学习小组推选小组代表，由小组代表分析自己那一组探究到的证明的思路和方法，口述证明过程及每一步的依据。我们知道学习语文、外语及其他语言都是从“说”开始学起的，那么学习几何语言，也可以尝试先“说”后写。特别是初一初二的学生，让他们先在小组内自主探索、讨论交流，弄清证题思路，然后再让学生代表口述证题过程，这对于训练学生应用和提高几何语言的表达能力很有好处。

(４)“择”——选择最简易的方法

在各位学生代表口述完解题过程后，教师引导学生比较、选择最简单的一种证题方法，这样做，不仅能帮助学生进一步理清证明思路、记忆相关的几何定理、性质，而且还增加了学生学习的兴趣和好奇心，从而激发学生学习的积极性和主动性。

(５)“演”——板演

在学生集体复述解题的基础上，教师板演上述解题过程，给学生作证题的书写示范，让学生体会怎样合理、规范、科学地书写证明过程。

(６)“练”——变式练习

变式，既是一种重要的思想方法，又是一种行之有效的教学方法。通过变式训练，在课堂上展现知识发生、发展、形成的完整认知过程。在教学实践中，笔者深深体会到：变式教学符合学生是认知规律，能有层次地推进，为学生提供一个求异、思变的空间，让学生把学到的概念、公式、定理、法则灵活应用道各种情景中去，培养学生灵活多变的思维品质，提高学生研究、探索问题的能力，提高数学素养，从而有效地提高数学教学效果。

因此，在学生获得某种基本的证法后，教师可以通过变式，改变问题中的条件，转换探求的结论，变化问题的形式或图形的形状位置等多种途径，指导学生从不同的方向、不同的角度、不同的层次去思考问题。

在此基础上，再让学生分组讨论，合作交流，作出更多的变式题目，并思考改变了已知或结论的题目又如何证明。

数学证明题解题技巧与步骤 篇2

关键词：初中数学,证明题,解题方法

一、证明题解题中“读题”的处理方法

“读题”是解证明题的第一个步骤, 它非常重要, 决定着解题“分析”的思路方向, 如果方向不明确, 或是方向错误, 就会严重降低解题的速度, 甚至得出错误的解题结果。“读题”之所以打引号, 是因为它不只是“阅读问题”这么简单, 在“读题”过程当中除了要弄清楚到底需要证明什么之外, 还应当抓准问题中所有可用的信息, 因为这些信息一般都是解题的关键[1]。

第一, 细心“读题”。在“读题”过程当中, 首先要做到细心, 不能被题目当中的陷阱迷惑, 更不要“犯经验主义”, 因为有的学生在“读题”的时候, 或觉得和曾经做过的练习题一样, 于是就直接开始写证明过程, 岂知自己连问题都没有真正弄清楚, 这是非常低级的错误。所以“读题”必须要细心、严谨, 要从头读到尾, 弄清楚到底要证明什么, 又有哪些条件和信息是可以使用的。

第二, “读题”时要记。这里的“记”包含两个方面的含义, 一个是标记, 另一个是记忆。例如:在几何证明题当中, “读题”时所获得一切条件、信息都应当在图中标记出来, 比如:读题的过程当中, 给出了直接的条件对边相等, 就可以在图中用边相等的符号将其标记出来, 这在解题“分析”过程当中非常有用, 可以直接通过看图来获得信息, 而不需要再次“读题”, 降低解题速度;同时, 还要将一些不能在图中标记出来的信息记录在大脑中, 加强记忆, 以提高解题速度。

第三, “读题”时注意引申。很多证明题解题所需的关键条件都不是直接给出的, 而是以一种更加隐晦的方式存在于问题中, 所以在“读题”的时候必须要对已知的条件进行引申, 从而获得关键的解题条件、基础信息。例如:在下面这个题当中, 平行四边形ABCD中 (图1) , 以CA为斜边作直角三角形ACE, 连结BE和DE, 若∠BED=90°, 求证:四边形ABCD都是矩形。根据四边形ABCD是平行四边形进行引申, 可得到隐含条件O是线段AC和BD的中点, 而线段AC和BD分别是直角三角形AEC和直角三角形BDE的斜边, 连结OE, 线段OE是直角三角形AEC和直角三角形BDE的斜边上的中线, 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可完成求证解题。

二、证明题解题中“分析”的处理方法

“分析”是证明题解题的核心步骤, 它和最终的解题结果正确与否直接相关。在实际的证明题“分析”过程当中, 应当掌握3种不同的思维方法。

第一, 正向思维。这是一种较为常规的思维方式, 即根据已知的条件, 逐步推论, 最终得出结果。

第二, 逆向思维。逆向思维是一种和正向思维完全相反的思维方式, 它不是根据已知的条件进行逐步推论, 而是从结论往源头进行反方向思考与分析, 看要证明结论需要哪些条件, 这些条件又要怎么获得, 然后逐步解决这些问题, 获得条件, 直到得出最后的证明结果。例如:有证明题需要证明三角形全等, 利用逆向思维就是先思考一个全等三角形具有哪些必须要的条件, 然后再看已知条件中还缺少什么条件才能证明三角形全等, 这些缺少的条件又需要怎么获得, 是否需要做辅助线……一直这样逆流而上的进行思考、分析, 就能够找到解决问题的途径, 从而证明三角形全等[2]。

第三, 正逆结合思维。正逆结合思维是一种将正向思维和逆向思维结合起来的思维方法, 在实际的解题过程当中, 可以将已知条件与需要证明的结论结合起来进行分析, 找出要证明结论所缺失的一环, 然后再想办法得出这一环, 从而得到最终的证明结果, 在现实的证明题解题中, 正逆结合思维往往是运用得最多得一种思维, 所以学生必须要掌握这种思维方法。

三、证明题解题中“书写”的处理方法

“书写”是证明题解题的最后一个环节, 它对数学符号与数学语言的应用要求较高, 任何的“因为、所以”在书写时都要符合公理、定理、推论或与已知条件相吻合。所有的表述都要有根有据, 已知条件要表达清楚, 未知条件要写清楚求得过程, 不能无中生有。证明过程书写完后, 对证明过程的每一步进行检查是非常重要的, 这是防止证明过程出现遗漏的关键。

总之, 在初中证明题的解题过程当中, 掌握正确的解题方法非常重要, 教师不仅要重视对学生基础知识的教学, 更要重视对学生证明题解题方法的传授, 这样才能让学生快速、正确的完成解题。

参考文献

[1]张绿平.分析初中数学证明题的解题策略[J].数理化解题研究 (初中版) , 2014, 11:16.

历史材料解析题的解题步骤与技巧 篇3

37，(32分)阅读材料并结合所学知识，回答下列问题。

材料一从公元前594年鲁国实行“初税亩”开始，控制自耕小农，据以征收赋税、调发力役，成为国家发展的重要基础。公元780年，唐朝推行“以资产为宗”的两税法。在此之前，历代赋税征收，或据田亩，或按人口，或按户头，收取粮食、丝绢等实物，有时亦收取钱币，名目与内容时有变化，税额也各有不同，但无不以个体农户为基础。清查户口、人丁，尽可能抑制豪强兼并土地，防止自耕小农破产，均是历代一以贯之的政策。两税法实施后的一千多年中，按资产收税，收取货币，成为赋税变化的主流。这也是明代“一条鞭法”、清代“摊丁入亩”等制度的主要内容。土地占有量是核定资产、征收赋税的首要依据，土地兼并不再是政府关注的主要问题，对土地实际占有状况的清查与登记成为政府经济管理的重要活动。

——据李剑农《中国经济史稿》等

材料二

材料三建设社会主义新农村。必须全面推进农村综合改革。今年在全国彻底取消农业税。标志着在我国实行了长达2600年的这个古老税种从此退出历史舞台，这是具有划时代意义的重大变革。

——摘自温家宝在第十届全国人民代表大会第四次会议上的《政府工作报告》(2006年3月5日)

(1)根据材料一并结合所学知识，指出两税法实施前后中国古代赋税征收的特点及变化的原因。(14分)

参考答案：

特点：两税法实施以前，以自耕小农、人丁为主要征收对象，以征收实物为主；两税法实施以后，逐渐以土地为主要征收依据。以征收货币为主。原因：土地兼并趋势难以遏止，小农破产，租佃关系成为普遍现象；生产区域性特征日益明显，商品经济不断发展；政府适时调整税收政策，保证财政收入。

解题注意：

☆解答本问只用看材料一，由“根据材料一并结合所学知识”可知，属于材料内容与课本知识的结合。限制性条件：两税法实施前后，中国古代赋税征收的特点及变化的原因。

☆依据材料归纳概括观点需要把材料的层次理清，如材料一中的“在此之前”、“两税法实施后的一千多年中”，还要注意句号等标点。

☆按题目要求，先把材料中的信息提取完，尤其要注意要点的全面，并转化为历史学科语言，再把材料语言转化为历史学科语言。

☆本题中的“特点”可从材料中直接找出，但“原因”的分析需对课本知识进行迁移。可联系两税法实施的背景及原因、唐朝以后我国商品经济的发展状况等知识。

(2)根据材料二并结合所学知识，说明1950-1965年我国农业税占农业实产量比例的变化趋势及主要原因。(10分)

参考答案：

变化趋势：总体呈下降趋势，中间略有反复。主要原因：建国初期，百废待兴，加上抗美援朝等需要，农业税比较高。随后，国家采取重点发展工业的政策，需要农业的支持；“大跃进”和人民公社化运动时期，受高指标和浮夸风等因素影响，农业税比例略有上升。此后，国民经济进入调整阶段，农业生产以恢复和稳定为主，农业税比例明显降低。

解题注意：

☆表格式材料首先看表头、出处，如本题1950-1965年中国农业税征收情况共分四个时期：国民经济恢复时期、“一五”时期、“二五”时期、1963-1965年。

☆看表格的内容：一般情况下，表中数据属于一个国家或地区的不同年份的，一般要求找发展趋势或发展特点；如果数据是属于同一时间或时段不同国家或地区的，一般要求比较不同国家或地区某方面的异同。可概括为：数字看变化、项目分类别；纵向看趋势，横向看特点。如纵向看表格中的农业税占实产量数字变化，不难发现总体呈下降趋势，同时在“一五”时期、“二五”时期略微出现反复。

☆联系所学知识。联系国民经济恢复时期、“一五”时期、“二五”时期、1963--1965年我国国民经济发展状况及政策特点，分析原因。

(3)根据材料一、二、三并结合所学知识，谈谈你对我国取消农业税是“具有划时代意义的重大变革”的认识。(8分)

参考答案：

取消农业税是党和政府长期努力，特别是改革开放后经济体制改革不断深化、经济结构改善、综合国力增强的结果；长达2600~年的农业税的取消，意味着中华文明从传统农业文明向现代工业文明转变；标志着国家政策的重大转变：由农业支持工业到工业反哺农业，由重视积累、优先发展到关注民生、共享改革成果，由重视城市建设到强调城乡统筹发展；有利于建设社会主义新农村、建设和谐社会。

解题注意：

☆解答本题就需要找出这组材料的主线。本题三则材料：先概述中国古代的赋税演变，然后是建国初期农业税的变化趋势，最后是温家宝总理关于取消农业税的讲话。三则材料都是关于我国不同时期农业税的变化情况的。那么，本题的主线就是：我国农业税的历史变迁。

☆解答本题还需要考生关注现实，对党的大政方针有所关注(工业反哺农业等)，需联系部分政治知识(关注民生、城乡统筹发展、社会主义新农村、和谐社会等)。这既体现了当今高考综合的方向，又体现了引导考生关注现实的人文精神。

下面归纳一下历史材料解析题的解题步骤和技巧：

首先，审读设问。一审问题与材料的关系。一般一个问题对应一则材料，因此不要急于读材料，可以先去看一个小问，再读材料。这样可以节省时间，达到事半功倍的效果。二审限制性条件。包括时间、空间、领域(如政治、经济、哲学等)、角度(如背景、目的、性质、结果、影响、意义等)的限制。如果没有这些限制性条件，答案的内容就不会明确。在审读设问时，就为解析材料确定方向，使我们在阅读材料时能够充分提取材料所提供的有效信息。三审答案来源b在材料解析题中，答案来源常有三种：根据所学知识回答、根据材料回答、依据材料并结合所学知识回答，其中以后两种居多。

其次，审读相关材料。带着设问仔细读材料。将材料读懂、读透。

(1)浏览标题和出处。这些说明性文字能够提供材料的时间、国别、作者、背景等信息，给学生某种暗示和引导，有时能起到“得来全不费工夫”之效。

(2)粗读材料。了解材料涉及的时间、地点、人物、事件。注意各段材料的联系，读出材料叙述的核心内容。命题者所选材料是为了考查某一个或几个热点问题或事件，因此我们在粗读材料的过程中，一定要审出命题人的意图，多则材料必有一条主线贯穿。

(3)详读材料。在阅读时抓住关键句、词、字。关注总结性的词句，归纳出材料反映的核心内容。借助标点符号(尤其是分号和句号)及关键性的连词(“因为”、“但是”等)划分层次，还要注意省略号(省略号前后往往有很重要的信息)。

再次，联系教材。确认材料涉及的内容及与课本知识的联系，便找到了解题的突破口。找出材料与教材的相似点，把材料中的重点信息与教材的史实、观点相对照，这样便将材料与教材挂靠在一起，解题的大方向便明确了。

最后，从容作答。读懂材料是解题的关键，但答案的组织也将直接影响阅卷老师的评分，因此在组织答案时要注意以下几方面：

(1)注意针对性和具体性。做到问什么就答什么。

(2)依据分值来确定答案内容的多少。分值少的要精炼概括，分值多的要史论结合。一般情况下一点2分较常见，一般可多一至两点答案。

(3)用语要规范、恰当。要多用历史学科语言，论从史出，但又不能照抄材料、堆砌史实或抛开材料随意发挥。

数学归纳法证题步骤与技巧实战篇 篇4

在数学问题中，有一类问题是与自然数有关的命题。自然数有无限多个，不可能就所有自然数—一加以验证，所以用完全归纳法是不可能的。但就部分自然数进行验证即用不完全归纳法得到的结论，又是不可靠的。这就需要寻求证明这一类命题的一种切实可行而又满足逻辑严谨性要求的新方法——数学归纳法。1.数学归纳法的范围

数学归纳法是以自然数的归纳公理做为它的理论基础的。因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命题。它能帮助我们判断种种与自然数n有关的猜想的正确性。

2.数学归纳法两个步骤的关系

第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第一步无第二表，属于不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无第一步中，则第二步中的假设就失去了基础。只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数n都成立。3.第二数学归纳法

第二数学归纳法的证明步骤是： 证明当n=1时命题是正确的；

②k为任意自然数，假设n＜k时命题都是正确的，如果我们能推出n=时命题也正确，就可以肯定该命题对一切自然数都正确。数学归纳法和第二归纳法是两个等价的归纳法，我们把数学归纳法也叫做第一归纳法。有些命题用第一归纳法证明不大方便，可以用第二归纳法证明。4.数学归纳法的原理

数学归纳法证明的是与自然数有关的命题，它的依据是皮亚诺提出的自 然数的序数理论，就是通常所说的自然数的皮亚诺公理，内容是：（1）l是自然数。

（2）每个自然数a有一个确定的“直接后继”数a’，a也是自然数。（2）a’≠1，即1不是任何自然数的“直接后继”数。（4）由 a’=b’，推得 a=b，即每个自然数只能是另外的唯一自然的“直接后继”数。

（5）任一自然数的集合，如果包含 1，并且假设包含 a，也一定包含 a的“直接后继”数a’，则这个集合包含所有的自然数。皮亚诺公理中的（5）是数学归纳法的依据，又叫归纳公理数学归纳法的应用及举例。2k+1k+2 因为由假设知4 +3能被13整除，13·42k+1也能被13整除，这就是说，当n=k＋1时，f（k＋l）能被13整除。根据（1）、（2），可知命题对任何n∈N都成立。下面按归纳步中归纳假设的形式向读者介绍数学归纳法的几种不同形式以及它们的应用。

（l）简单归纳法。即在归纳步中，归纳假设为“n=k时待证命题成立”。这是最常用的一种归纳法，称为简单归纳法，大家都比较熟悉，这里不再赘述。（2）强归纳法。这种数学归纳法，在归纳步中，其归纳假设为“n≥k时待证命题成立”。我们称之为强归纳法，又叫串值归纳法。通常，如果在证明 p（n＋l）成立时，不仅依赖于p（n）成立，而且还可能依赖于以前各步时，一般应选用强归纳法，下面举例说明其应用。

例

有数目相等的两堆棋子，两人轮流从任一堆里取几项棋子，但不能不取也不能同时从两堆里取，规定凡取得最后一项者胜。求证后者必胜。证：归纳元n为每堆棋子的数目。设甲为先取者，乙为后取者。奠基 n=l，易证乙必胜。

归纳

设N n≤k时,乙必胜。现证 n=k＋l时也是乙必胜。

设甲在某堆中先取r颗，O＜r≤k。乙的对策是在另一堆中也取r颗。有 二种可能：

（1）若 r＜k，经过两人各取一次之后，两堆都只有 k-r颗，k-r＜k，现在又轮到甲先取，依归纳假设，乙必胜。

（2）若r=k，显然是乙胜，证毕。

上述形式的归纳法虽然比较简单，但如使用不当，往往会发生错误，有两点应注意：第一，在使用归纳假设时防止无形中引入不相干的假设。第二，在证明过程中应注意数学规律的正确性。下面我们引入一个反例，在这个反例中，由于错误的证明导致证得了错误的待证命题。

反倒：证明任意n条直线均能重合成一条直线。

下面给出错误的证明：

证：奠基

n=1时该命题成立。

归纳

利用强归纳法，可以有如下的归纳假设：任意1条，2条，3条，„，k条直线均重合成一条直线，要证 k+1条直线也重合成一条直线，设这 k+1条直线为l、l、„，l,l由强归纳假设得 l，„，l„重合为一条直线，1 2 k k+1 1 k记为 l。又由强归纳假设得l和lk+1重合为一条直线，于是任意n条直线便重合一条直线了。细心的读者也许已经发现这里的错误了，这是由于错误地使用了强归纳假设而造成的。具体地说，这是在“l和 lk+1这两条直线重合为一条直线”这一点把强归纳假设使用错了。强归纳假设中并没有包含这一条件，因为我们这里奠的基是n=l，因此待证命题“k+1条直线重合为一条直线”要求对于一切大于等于1的k成立，而上面证明中所假设的l和lk+1重合为一条直线实际上是要求k≥2，这就是错误的所在。

（3）参变归纳法。在待证命题中含有参数的时候，例如P（u，n），则用数学归纳法证明P（u，n）对一切n成立时，在奠基步中，应证P（u，0）对一切u成立。在归纳步中，假设P（u，k）对一切u成立，证明P（u，k+1）对一切u成立。这里，“P（u，k）”对一切u成立称之为参变归纳假设，这种证明方法叫做参变归纳法，U起着参数的作用。(n+1)3 例

求证当n≥3时有n ≥（n+1）。

本题证明的困难主要在于归纳步骤，无论采用哪种归纳假设，都难于证

明。如果我们对该待证命题施展一定的技巧，把该式中的部分 n写成 u（视 作参数），部分n保持不变，即写成 n n nu≥（u＋l），则可用参变归纳法证明当u≥n≥3时上式成立，原命题即可得证。奠基n=3时，对u≥3的一切u均有3 3 2 右端=3u=u+u·u·u 3 ≥u+3u＋gu 3 2 ＞u+3u＋3u+1 3 =（u+1）=右端 归纳

n=k+1时，左端=（k+1）Uk+1=u（k+1）·uk =（uk十u）uk≥（uk十k）Uk =k（u＋l）uk≥（n+1）（u+1）k =（U＋l）k+1=右端。

n n 所以当 u≥n≥3时，有nu＞（u＋l）。n+1 n 令u=n，上式便为n ≥（n＋l），即为原不等式，故原不等式得证。值得指出的是，上面三种形式的数学归纳法，都要求待证命题含有自然

数变元n，对n施行归纳，n称为归纳变元，但是在数学的一些分支中，有些 待证命题表面上看来似乎不含自然数变元 n，但仔细一分析，实际上是含有 自然数变元的，当我们一旦把n的含义明确以后，用数学归纳法去证明这些 待证命题就迎刃而解了。举一个简单的例子。

例

证明由｛a，b，c，d｝四个标识符利用+、-运算符组成的任意算术 表达式中，所含标识符的个数一定等于这个表达式中运算符的个数加1。证：设任意的表达式为 f，而归纳变元 n为 f中所含运算符的个数。奠基

n=0，则f由一个标识符组成（因为没有运算符），所以命题成立。归纳

假设 n≤k时本命题成立，现证 n=k＋1时本命题也成立。f一 定是下述两种情况之一：

f是 f＋f或f是f-f。1 2 1 2 其中f，f所含的运算符个数都小于k＋l，对f，f使用归纳假设，可 1 2 1 2 得f＋f，f-f中所含标识符个数也比各自所含的运算符的个数多1。1 2 1 2（4）广义归纳法。数学归纳法不仅可用于含有自然数变元n的命题，经 推广后，还可用于含有某些其它集合上的命题。这种集合，称为归纳集。对 于一个含有某个归纳集上的变元x的待证命题P（x），所用的归纳法称之为 广义归纳法。

定义：设有一个集合A，如果它满足下面三个性质：（1）a，a„，a是A中的元素（n≥1）； 1 2 n（2）如果x是A中元素，则 f（x），f（x），„f（x）也是A中 11 12 1n1 的元素（n、＞0）；

如果x，y是 A是元素，则 f（x、y），f（x，y），„f（x，y）21 22 2n2 也是A中元素（n＞0）；„； 2 如果x1„，xm是 A中元素，则 f x„x），f（x„，x），„f m1 l m m2 l m mnm（x„，x）也是A中元素（m≥l，nm＞0）。m（3）A中的元素仅限于此。

则A称之为归纳集a，a，„a称为该集的开始元素，诸fij称为该集 1 2 n 的生成函数（其中第一下标为该函数的元素，第二下标以区分具有同样元素 的各函数）。

按照上述的定义，自然数集是归纳集，它的开始元素是0，生成函数是f（x）=x＋1。

前例中集｛a，b，c，d｝的元素利用“+”，“-”运算所构成的一切表

达式的集合是归纳集，开始元素是是 a，b，c，d，生成函数为 f（x，y）21 =x＋y，f（x，y）=x-y。22 在证明含有某个归纳集A上的变元X的待证命题P（x）时，可用如下的 广义归纳法。

奠基步要证明（a），P（a），„„P（a）成立，这里 a，a„，an l 2 n l 2 是 A中的开始元素。归纳法要证明对于 1≤i≤m及1≤j≤n的所有 i、j对于 A中的任何元 素x，x„，x，如果P（x），P（x），„，P（x）成立，则 P（fij（xx1，„，1 2 i l 2 1 xi））也成立。在例

4中，因为表达式所组成的集合是归纳集（记为

A），我们可用广义归纳法证之。

奠基：对于A中的四个开始元素a，b，C，d，因为它们的标识符个数为 1，而运算符个数均为0，所以命题成立。

归纳：对于A中的元素 x，y，f（x，y）=x＋y中，我们设 x＋y标识 21 符个数为m，运算符个数为n；

x中标识符个数为m，运算符个数为n； l l x中标识符个数为m，运算符个数为n； 2 2 则

申论答题步骤与解题技巧 篇5

一、步骤一：审题

（一）审题步骤

1、把握出题人的意图：

题型要求、阅读范围、身份定位、关键词句、作答形式、文体要求、语言风格、字数要求。很多同学之所以失分，多是由于审题不清所致，从而出现偏题现象，所答非所问属于非技术层面十分。

2、能够做到有的放矢，找到所需材料。

如：915联考，材料源于20120810人民日报，所以要求我们提高阅读效率，找到关键信息，找到关键词句。通常考试的时候，题目和材料多是一一对应的，题目一：材料2；题目二：材料1； 题目三：材料三„„，所以我们在平时一定要做好强化练习，考试的时候方能形成条件反射，同时要注意通过练习提高阅读速度。但是一定要注意带着问题阅读，这样方能做到有的放矢

3、把握题目间的逻辑关系。

在2008年以前的申论题，1、概括主要内容——

2、分析原因——

3、提出对策——

4、大作文，根据此脉络，前三道题稍作总结即可形成一篇大作文。但是此种考法已经越来越少，但是仍然对谢大作文有一定的帮助。如2012年421联考：

一、根据“给定资料1”“活熊取胆”事件中存在着一些具体争议，请归纳争议的焦点问题并作简要说明（20分）

要求：准确、全面、简明，不超过400字

二、根据“给定资料4”中的媒体报导，针对H区暴发狂犬病疫情以及“屠狗”的行动的前前后后所暴露的问题，请提出你的解决建议。（15分）

要求：所提建议具体简明，条理清楚，具有针对性和可行性，不超过200字。

三、为了维护M县的声誉，挽回“虐猫事件”造成的负面影，请以M县政府的名义的处就“虐猫事件”的处理情况写一份宣传稿，在县人民政府网站上公布。（25分）

要求：

1、态度诚恳，对象明确；

2、内容全面，条理清楚；

3、不超过500字

四、结合“给定资料”，自拟题目写一篇文章，谈谈你对“人与动物”关系的体会与思考。（40分）要求：1．自选角度，立意明确，有独立见解；2．可联系自己的经验或感受 3．语言流畅；

4．总字数800-1000字

启示1：通过法律规范创造人与动物之间的和谐关系，也是人类历经数百年理性思考的结果，标志着人类文明的发展——文章标题：以法制促进人与动物关系和谐； 启示2：论点：通过法律规范创造人与动物之间的和谐关系

启示3：（对策）通过法律提高动物福利（针对活熊取胆而谈的）；通过法律惩治伤害虐待动物行为（针对虐猫事件而谈的）；通过法律加强动物管理（通过屠狗事件而谈的）

Attention!对于提对策，很多人会提到完善法律，但是多为不合适的，类似于万能八条，所以要慎用，且会用，避免套路化！

（二）审题的内容

1、把握题型要求

常见申论题目类型有归纳，分析，对策，公文等，注意把握各自不同的要求。题型分别举例如下：（1）归纳概括题

例如1：425联考第一题：市政公用事业建设有哪些主要内容 例如2：

1.“给定资料1”和“给定资料2”集中反映了进城务工人员随迁子女受教育的诸多问题。请根据这两则资料，这些问题的具体表现进行概括和归纳。（10分）

分析：按点给分，10分总分，平均需要5到6个点，做到不漏点；对于同类项，学会合并，实现概括和归纳。方法可用：按主体；按时间顺序（2）分析理解题

小题里最难，需要进行思考得出，分析原因，常见信号词为分析、解释、评价、表明观点、进行反驳。（3）提出对策题

多是从材料中反映出问题，要考生根据问题提出对策，具有一定的针对性，（4）公文类题目

现在纯粹公文类的题型鉴于字数等原因，不容易考出来，现在的特征是更多的灵活，且多需要结合实际来做答。如，2012年国考《编者按》、2013年国考《演讲稿》。

Attention！!此四类题目并非泾渭分明，多是互相交叉的，同学们要注意掌握和灵活运用

2、注意阅读范围

题目多是指定阅读范围的，所以要注意把握范围。如：

1.“给定资料1”和“给定资料2”集中反映了进城务工人员随迁子女受教育的诸多问题。请根据这两则资料，对这些问题的具体表现进行概括和归纳。（10分）

——从资料1 和资料2中间找出答案！

三、假定你是一名派到农村的支教人员，请根据“给定资料”简要分析希望小学遭废弃的原因，并提出解决希望小学遭废弃问题的具体建议，供上级有关部门参考。（20分）

——根据给定材料，所以要注意把握材料中的相关内容，并作出总结。

3、注意身份定位 举例如下： 1）例1

二、L县政府拟进一步宣传寄宿制学校的办学模式，以期更好地提高办学效益和质量。请根据“给定资料3”，以县教育局的名义草拟《给各村中小学生家长的一封信》（20分）要求：

（1）内容具体，符合实际；（2）用语得体，通俗易懂；（3）不超过400字。

分析：县教育局工作人员，要写给农村群众，学生的家长，所以要通俗易懂；且要具有具有可执行度，要贯彻落实。2）例2

三、假设你是沿海某省省政府工作人员，请结合给定资料，草拟一份《关于将半岛蓝色经济区纳入国家发展战备的报告》的内容要点。（20分）要求：

1．内容全面，有针对性；

2．条理清楚，表达简明，不超过400字。分析：

注意身份把握，身份是省政府工作人员，是写给省长、国务院看的，属于上行文，要注意规范用语。

五、请以“让„„大放异彩”为题，写一篇内容充实的文章。（35分）要求

（1）用恰当的文字替换“让„„大放异彩”中的省略号部分，是指构成一个完整具体的文章标题；

（2）主题应与“给定资料”相关，但素材不必拘泥于“给定资料”要结合生活中的具体感受，切忌空谈对策；（3）观点鲜明，结构完整，语言流畅；（4）字数800-1000字

分析：要切忌空谈对策，所以要避免万能八条，借用习主席的话来讲，“空谈误国，实干兴邦”。要根据材料中的问题提出切实可行的对策。3）例3

三、“给定资料4”反映了T市市民出行中存在的许多问题，假定你是市交管局聘请的观察员，请就这些问题提出解决建议，呈送市政府有关部门参考。(20分)要求：

(1)对存在的问题概括准确、扼要：

(2)所提建议具体简明、有针对性、切实可行；(3)不超过400字。

分析：一定要对存在的问题概括准确、扼要，否则，容易失分。交通协管员，要注意身份把握，且对策要具有可行性，切忌什么加大投入，交通协管员没有此项权限。

4、注意作答形式 举例如下：

1）例1

（三）国家某部门拟编写一本以“黄河”为主题的宣传手册，作为对青少年进行爱国主义教育的材料。宣传材料由四个部分组成，依次为：“黄河之水天上来”、“黄河与中华文明”、“黄河的治理与开发”、“黄河精神万古传”。请参考给定资料，分别列出每个部分的内容要点。（20分）分析：

注意把握内容要点 2）例2

二、假定你是某街道办事处工作人员，请参考给定资料，为当地居民社区的宣传栏拟一份节水宣传材料（20分）要求： 1.体现国家节约水资源的有关精神，说明为什么要节水； 2.简明、通俗，利于老百姓理解； 3.不超过400字。分析： 格式

标题——抬头——主体——落款 3）例3：

（三）假定你是某街道办事处的一名工作人员，请根据给定资料6～8，拟写一份《某街道办事处关于改进老年人服务工作的指导意见》。（25分）

要求：文字简明，分条撰写，有指导性与可行性；不超过400字。分析：

开头：居民朋友们：你们好 内容：指导意见 形式：下行文 落款：XX街道各社区

答题时要注意语言风格，做到通俗简明、正式规范。4）例4：

2011年424联考大作文，“家底”，很多人读成“家庭”

二、步骤二：阅读

阅读能力是提高做题速度的关键，要提高阅读效率。

（一）阅读要求

要求１：关键词和要点要从材料中来

（做法：做到带着问题阅读；审题时注意把握关键词，养成把问题的关键词写在草稿纸上的习惯，学会在阅读中列提纲。）

根据不同题型看：

１）概括归纳题

考题中，归纳概括题９０％－１００％是源于材料。所以要学会概括。

２）分析题

二、“给定资料5”中提到，某网站曾组织网民进行了一场讨论。请你根据“给定资料”，反驳“网民A”的观点。要求：(1)观点明确，分析透彻，论据真实(2)语言流畅，层次分明，有说服力(3)不超过400字

分析：对于分析题，论据要真实，观点要明确，这些都要从材料中找。

３）启示类题型：提升也多是根据材料寻找他因，从而实现拔高。

４）公文类题型：如２０１１国考省部级编写以黄河为主题的宣传手册，内容要点多是源于材料；又如：关于节水，写给居民的一封信，主体部分怎样做：节水器具——中水利用——用水习惯

５）对策类：

答案来源：Ａ、材料中直接提出，如专家学者、领导讲话、先进地区； Ｂ、根据问题本身找对策；Ｃ、结合生活实际提对策。

要求２、带着问题思维去阅读

注意把握５Ｗ１Ｈ原则：问题、问题的表现、问题造成的影响、解决问题的重要性、迫切性和意义、解决的具体措施。

（二）阅读技巧 １、首尾句原则。如：

“节约用水、高效用水是缓解水资源供需矛盾的根本途径。节约用水的核心是提高用水效率和效益。全国许多城市已经进行水价改革，并取得明显效果。这位专家列举了外省某市的例子。自实行阶梯水价以来，节水效果非常明显。1年零7个月的时间里，机关、企事业单位节水率达到3％～5％，居民节水率达到10％～15％。该市的正茂社区是个有1400多户居民的老社区，实行阶梯水价以来，整个小区的月用水量从以前的1.4万多吨下降到现在的4200吨左右，小区居民没有一户月用水量超过12吨的一级水价范围。今年，银川全市用水人口增加近2万，居民用水量却下降了15％，每天因节水减少了1万多吨的供水缺口。

分析：读第一句即可，后面的可忽略。

２、转折原则。但是、然而、却、更、不是而是，更重要的是„„此类转折后往往出现较为重要的内容。３、领导讲话、业内人士、专家学者、记者讲话、国外经验往往是重要性、原因和对策的所在。

如：过去是胡温，现在是习李；国家发改委价格司一位官员则表示；最不可信的是网友观点！

同时，要注意信号词。

１）提出观点：针对„„，对此„„，当„„，表示„„，认为„„，指出„„等等

２）表明重点：但是„„，然而„„，尽管如此„„，主要是„„、关键在于„„

３）做出结论：因此„„，由此可见„„，总之„„, ４、精读与略读原则。

国家大政方针政策、领导讲话精读。数字，大量数字不需要阅读。案例略读。国外事例，借鉴做法抓住重点浏览

１）２）理论材料——精读！

案例型材料——要注意总结主体、对象、观点、原因和推论，同时找到具体做法、正确经验，或者错误做法，总结失败经验，其余可略读。３）分析型材料——精读！

例如：

中国传统的道德观念以儒家的性善论为主流，在实践中，儒家以礼与法的结合作为人性在他律方面的补充。然而在一个道德松驰、舆论不张、管理乏力的社会里，“他律”的作用会大打折扣。某省委宣传部E部长认为：解决他律问题，道德教化也是一种比较有效的方法。当前主要应进行中华传统美德教育，通过教育，使人们的爱国主义情感、集体主义情感、人道主义情感、正义感、自尊感等都有正确的发展方向。当人们形成良好的道德观念，建立了具有良好公德共识的体系，一个社会的发展便将获得前所未有的巨大的推动力。

三、步骤三：组织成文

组织成文：要对信息点进行整合、拆分。按照类别把要点进行整合，删除同义、多余的要点，丰富隐含的要点，按照逻辑层次将信息点用公文化的语言有条理的表达出来。

行文前提：打草稿/列提纲。过去 行文要求：

1、关键词一个都不能少，但是注意在字数范围内要宁多勿少，做到避免漏点。

2、注意逻辑顺序。如：并列、重要程度、正反对比

3、使用小标题

4、要有条理

5、注意分段

6、注意答题结构，使用总分结构。

如：总：简答描述问题；

分：XX问题具体表现在：1234 又如：总：争议的焦点是„„

分：1234

初三数学压轴题解题方法技巧 篇6

一般地 ，中考数学压轴题通常有3小问，其中第一问比较简单，中等水平的学生能够比较轻易地解出来。所以，同学们看到压轴题，不要产生恐惧心理，拿下第一问还能得两三分。第二问通常有些难度，通常要利用第一问的条件和结论，所以，如果第一问做不出来，后面就别提了。第三问难度最大，考验的是同学的综合能力。

1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想

纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。

2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想

直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。

因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。

3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想

分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察。

有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。

4、综合多个知识点，运用等价转换思想

任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换。

中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察。因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。

5、分题得分

中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第(1)小题较易，第(2)小题中等，第(3)小题偏难，在解答时要把第(1)小题的分数一定拿到，第(2)小题的分数要力争拿到，第(3)小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。

6、分段得分

浅析高中数学数列题解题技巧 篇7

[关键词]浅析；高中数学；数列；解题技巧

高中数学的数列知识经常会在选择题、填空题与计算题中都会出现，一般情况下，选择题与填空题中涉及的知识点可能会比较简单，但是在计算题的解题中可能就会伴有很多复杂的考点，其中不乏大量的数学计算，学生要保证数学数列题的正确率，就一定要掌握好其解题技巧。

一、掌握好数列的基本概念和性质

1、数列的基本概念

高中数列知识包含两个大的知识点：等差数列和等比数列，我们在刚开始接触到数列的知识点时，就一定要掌握好这两大数列的基本概念。其实，从概念上去思考，这两个数列都是比较好理解的，等差数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，例如：，1，2，3，…，n，就是一个等差数列，而等比数列就是从第二项其，每一项与它的前一项的比值等于一个常数，例如：2，4，8，…，2n，就是一个等比数列。等差数列与等比数列都有其通式，我们一定要牢记，通式是数列解题的第一步，一旦出错，整个题也就随之错了。另外，等差、等比数列的求和也是数列中最基本的知识点，求和公式在解题中也是经常被使用的，我们在学习数列的时候，总结数列里面的相关概念和公式，在记住的同时应该要常常在题目中运用，这样才能加深对公式的理解，防止出错。

2、数列的相关性质

等差数列与等比数列的通式虽然知识简单的两个式子，但是其中却蕴含了很多知识点，它们有很多特殊的性质，我们要熟悉掌握好这些性质，要达到做题时能够信手拈来的地步，才能打好数列解题的基础。中项在等差、等比数列中是一个非常特殊的值，等差中项就是等差数列中任意连续三项里面中间的那项，例如5，8，11是一个只有三项的简单数列，8=（5+11）÷2，其中8就是5和11的等差中项，同理，等比中项也就是等比数列中任意连续三项里面中间的那项，在做数列选择题与填空题的时候，等差、等比中项的运用经常可以简化很多步骤，可以在保证正确率的情况下提高解题速度。等差、等比数列的求和是数列中的基本知识，也是其重点性质，它们都有其求和公式，还有很多特殊性质，学生在学习数列的时候，要重点掌握好数列的通式、求和以及一些特殊性质，解题的时候将其运用起来，思路就会更加清晰。

二、提高数学数列解题技巧的措施

1、熟知数列解题的多种方法

一般数列选择题与填空题涉及到的知识点比较简单，解题时只要用数列里的公式与性质代入就可以得到正确答案，这种方法可以简称为观察法，我们在看到题目的时候，可以直接观察、总结出题干的答案。但是对解数列的综合计算题，其中就会设计到很多复杂的知识点，仅仅是简单的掌握基本知识，常常在解题过程中遇到瓶颈。在解决复杂数列题中，经常会用到很多特殊的方法，例如：构造法，题目中给出的已知数列与要求的不是同一个，但是其中应该会有联系，构造法就是根据已知数列构造出要求的数列；迭代法、倒数法、对数法等，这些方法都是求数列通式常用的方法。数列求和是数列知识中的难点和重点，求和比求通式更加复杂，在解题时常用的方法有并项求和法、分组求和法、差项求和、裂项相消等，这些方法都有各自的特点，而且适用的情况也是不一样的，有的方法用起来过程虽然会比较复杂，但是其都有自己的规律，学生在平时的练习中，要发散自己的思维，一定要详细的掌握好这些方法的解题思路与大致的步骤，在遇到题目时冷静的分析，找出最合适题干的解题方法。

2、训练数学计算能力

数列中“数”的数量是十分多的，等差数列与等比数列相比，计算稍微会简单一点，因为等比数列中会含有指数的计算，计算技巧在数列解题中也是非常关键的一个因素，如果解题步骤都正确，但是在最后计算的环节出了错，对选择题与填空题来说，是得不偿失的，花了时间，但是得不到分。出现这种情况，很大一部分原因是学生在平时做题时习惯遇到计算就找计算器，但是高考时是禁止用计算器的，平时用惯了计算器，在考试中遇到数列中需要大量计算的时候，计算的速度与正确率都是得不到保障的，所以我们对训练自己的数学计算能力一定要重视起来。在平时课堂或课间的联系中，多动脑、动手去计算，不要总依靠计算器，而且数列题中虽然经常会出现大量的计算，但是只要勇于归纳，就不难发现其实数列中很多计算都是有一定的规律的。

三、结语

总而言之，数列在高中数学知识中具有较高的地位，我们在学习的过程中，既需要将相关的知识点加以串联，磨合，增加知识点间的关联性，也需要加强日常的习题训练，强化对数列知识点的掌握和巩固，夯实基础。

[参考文献]

[1] 林昭涛.探讨高中数学数列试题的解题方法与技巧[J].中国科教创新导刊，2014，（12）：85

高考数学客观题的解题技巧浅谈 篇8

高考数学客观题的解题技巧浅谈

作者：谢广喜

来源：《新高考·高三数学》2013年第08期

图表题解题技巧点拨与演练 篇9

图表题解题技巧点拨与演练

[考点分析] 图表题要求学生根据图表中的有关内容,分析材料,辨别或挖掘某些隐含性信息,或对材料进行综合性评价.它使较为单一的文字材料变得生动活泼,而图文转换则综合考查了学生对材料的分析能力,它要求从原始材料中筛选信息,进行分析、综合,并运用简明的语言概括出观点.

作 者：刘宇 作者单位：江苏省兴化市顾庄中学刊 名：中学语文园地(初中版)英文刊名：SCHOOL GARDEN OF CHINESE年，卷(期)：“”(1)分类号：关键词：

数学证明题解题技巧与步骤 篇10

一、 解题思路与技巧

二、 措施类的题，解题最关键的是明确谁是措施的实施者，有几个措施的实施者答案就有几个角度，如：党、国家、政府、公民、企业、消费者、个人等，并且指定了要回答的某一方面内容在表述措施的时一定要注意各司其职，切记不要越俎代庖，最后别忘对措施进行综合。

(1)抓住主体

“ 怎么办型”的设问一般来讲都是给定了主体是谁应该怎么办，如：党、国家、政府、国家机关(权力机关、立法机关、行政机关、司法机关、暴力机关)、人大、政协、不同国家、公民、企业、消费者、劳动者、个人等，并且指定了要回答的某一方面内容。以题目设置的情景，站在不同主体角色的视角立场上回答不同内容，所答内容符合角色身份。如经济类题目：我们可以这样去想想：找找如何做的主体：国家、生产者经营者、消费者或社会舆论;找找具体措施：宏观上从两个方面想想：发挥市场的作用和加强国家的宏观调控;微观方面想想：面向市场、科技创新、管理创新、体制创新、调整结构、宏观调控、舆论监督、道德约束、法律法规等。

(2)解答这类题目时采用定点法

具体的解题思路是：

一是从教材找方法。要认真回想教材相关方面的知识，不能随意乱想;

二是从材料中找方法。如果材料呈现的是问题，那么材料中问题的反面就是方法。如种植单一的反面就是多种经营;技术水平低的反面就是发展高新技术，科技兴国，用先进科技武装企业和职工;失业现象的反面就是扩大就业。如果材料呈现的是正确做法，那么只需要对材料中的具体做法加以概括并且结合教材内容就可以了。

三是从当前时政热点和党和国家重大政策中找方法。具体的解题程序：定点――联系――疏理――作答。

万一不会做，教你一绝招：改写材料，别留空位。改写材料，但不能照抄，要有条理重新整理组合，会有意想不到的效果;若留空位，必得零分。

二、学科知识整合

(一)经济学措施：

(1)描述国内经济措施

①以经济建设为中心，大力解放和发展生产力。

②坚持和完善公有制为主体，多种所有制共同发展的所有制度;推动公有制的实现形式多样化，使股份制成为公有制的主要实现形式，大力发展非公有制。

③坚持和完善按劳分配为主体，多种分配方式并存的分配制度，坚持效率优先，同时通过分配政策和税收政策，调节个人收入，以兼顾公平，建立社会保障制度。扩大就业和再就业。遵循市场交易原则，遵守市场经济法律法规，开展正当竞争，反对不正当竞争。 ④充分发挥市场在资源配置中的基础性作用，综合运用经济法律行政手段加强宏观调控;转变经济发展方式，由粗放型向集约型转变;推进产业结构的优化升级，走新型工业化道路，大力发展第三产业，发展循环经济。。

⑤面向市场，遵循价值规律;注重自主创新，依靠科技和管理，提高经济效益;企业经营者应不断提高政治素质、职业道德和业务素质，开展正当竞争，树立良好信誉和形象。

⑥(农业方面)根本措施：走发展高产、优质、高效农业的道路，稳定和完善党在农村各项政策、关键是发展农业科技、要增加农业投入、积极发展农业产业化经营。

以工补农、城市支持农村，提高农业综合生产能力，建设社会主义新农农村。

(工业方面)必须振兴我国工业中的支柱产业，走新型工业化道路。

(第三产业方面)大力发展第三产业。

(2)描述对外经济措施

①积极扩大对外开放，融入经济全球化浪潮;②充分发挥世界经济组织在协调国际经济关系，加强国际合作的作用;③建立国际经济新秩序，消除不等价交换，在平等互利基础上发展国际贸易;④(我国)进一步扩大对外开放，实施“走出去”战略;⑤坚持独立自主，自力更生原则，坚持平等互利原则。

(3)描述时政经济措施

落实科学发展观，建设节约型社会，建设社会主义新农村，注重自主创新等。

(4)描述行为主体的经济措施

①国家：健全法律、法规，综合运用经济、法律和必要的行政手段加强宏观调控。整顿和规范市场经济秩序。完善社会保障制度，劳动合同制度、分配制度、基本经济制度。

②企业商品的使用价值与价值的关系;(因为企业生产的是商品、要重视产品质量。)

掌握市场信息，调整产品结构，面向市场组织适销对路的商品; 加强管理，提高劳动者的素质，提高个别劳动生产率; 采用先进技术，进行技术开发和创新(自主创新)，建设创新型企业;开展节能减排，发展循环经济，建设生态文明，建设资源节约型、环境友好型企业;企业要走新兴工业化道路。 转变经济增长方式，调整经济结构，以较少的资源，较低的成本，生产较多符合社会需要的产品。提高企业的经济效益。

经营者必须具有良好的素质，还要提高企业劳动者的素质，维护劳动者的合法权益;

企业要搞好售后服务，树立良好的信誉和形象，实施名牌战略，坚持正当竞争，反对恶性竞争; 企业必须遵循价值规律，按价值规律办事情;要自觉遵守市场交易原则，维护市场经济秩序。维护消费者的合法权益。 必须实施“引进来”与“走出去”战略。

要学会利用国际贸易规则，维护自身权益 ③个人：劳动者权利和义务的统一，消费者树立正确的消费观，提倡适度消费、协调消费、科学浪费，绿色消费;坚持艰苦奋斗、勤俭节约;消费者要坚持权利和义务的统一;纳税人要坚持权利和义务的统一。

(二) 政治学措施

1、政府 强调一个根本出发点：国家性质( 以人为本、维护人民利益)。三个原则。四个对内职能、三个对外职能。转变政府职能，建设服务型政府。加强民主政治建设。维护实现公民的权利和自由。

2、党 性质 (两个先锋队、 三个代表)宗旨;地位(领导核心、执政党);三种领导方式;三种执政方式 三个方面建设(①执政能力建设;②思想、作风、组织建设;③民主集中制。)把发展作为执政兴国的第一要务。践行科学发展观、三个代表重要思想。

3、公民 公民与国家的关系——是统一和谐的关系。国家权力机关由民主选举产生，国家权力来源于人民，人民是国家的主人。在政治方面，我国公民享有广泛的政治权利和自由，国家依法保护公民的政治权利和自由;公民应该履行维护国家利益的义务。

①坚持公民在法律面前一律平等的原则;②坚持公民权利与义务统一的原则;③坚持个人利益与国家利益相结合的原则。

4、国际关系常用：一个根本出发点---维护国家利益。两大主题--和平与发展;国际竞争的实质;主权国家的义务、国际组织和联合国的作用、我国对外政策五个基本点;和平共处五项原则。

5、记清民族问题一个政策---民族区域自治制度;三个原则;新型民族关系;国家的扶持和发达地区的技术资金支持;民族地区的资源优势和干部与群众的自力更生艰苦奋斗。宗教政策四句话。(尊重保护宗教信仰自由、依法加强对宗教事务的管理、引导宗教与社会主义社会相适应、坚持独立自主自办宗教的方针)

(三)哲学措施：

结合材料分析、回答，答题模式为：原理+方法论+具体措施。

1、找准题目中解决什么问题的措施。

2、从经济或政治常识角度归纳出这些措施有哪些。一般是针对材料中存在的问题找解决的方法。必须从材料中寻找突破口。

3、分析这些措施体现了什么哲学道理。并按哲理进行分类。

4、解此类问题，不是简单的回答原理与方法论，而重点是在于解决的措施。

例题1、材料一 新疆是我国重要的能源产区，也是我国西部大开发和对外开放的重要基地，“十一五”计划以来，新疆依靠科技大力发展石油、天然气等能源工业，并积极开发风能、太阳能和煤层等清洁能源。目前，新疆已成为我国最具发展潜力的能源产区，也是保障我国能源安全的一张王牌。同时，新疆依托区位优势，与中亚各国在平等互利的基础上开发经贸、能源、安全、人文领域的合作，地方和民间往来也日益增多，给各国人民带来了实实在在的利益。

材料二 我国的石油主要从西亚、北非进口。中国原油进口量创历史新高。由于国际油价上涨，进口单价大幅度上升，按照的进口平均单价计算，20中国多支付152.62亿美元。

结合材料一、二并运用有关哲学知识，分析我国应如何做好能源安全工作

①内因是事物变化发展的根据，要重视内因，中国解决能源问题关键要靠自己，立足国内，中国对新疆能源的开发和利用就是立足国内保障能源安全的具体体现;(4分)②外因是事物变化发展的条件，要重视外因，中国解决能源问题要积极开展国际合作，中国在平等互利的基础上积极与其他国家合作。(4分)③事物是变化发展的，要用发展的观点看问题，坚持与时俱进，培养创新精神，我国在能源问题上，实施进口多元化，领先科技积极开发各种清洁能源，是我国在解决能源问题，保障能源安全的创新举措。

例题2、中央指出，推进农村改革，必须切实保障农民权益。为此要坚持以人为本，尊重农民意愿，着力解决农民最关心、最直接、最现实的利益问题。充分发挥农民主体作用和首创精神，紧紧依靠亿万农民建设社会主义新农村。

结合材料三，从历史唯物主义角度，分析在推进农村改革过程中怎样切实保障农民的权益

(1)树立和坚持正确的价值观，发挥正确价值观的导向作用(或坚持正确价值标准)，努力实践“三个代表”重要思想和科学发展观，着力解决好农民最关心、最直接、最现实的利益问题。

(2)坚持集体主义的价值取向，正确处理个人与他人的关系，尊重农民意愿，主动关心农民，尊重农民的正当利益，把实现好、维护好、发展好广大农民根本利益作为农村一切工作的出发点和落脚点。

(3)树立群众观点，坚持群众路线，相信群众，依靠群众，为人民利益而奋斗，充分发挥农民主体作用和首创精神，依靠亿万农民建设社会主义新农村。

三、 教材中的具体措施：

政治常识：⑴怎样建设社会主义民主政治 ⑵国家怎样履行职能(政府怎样行使经济职能) ⑶怎样坚持和完善人民代表大会制度 ⑷国家怎样保障公民的权利和自由 ⑸怎样坚持对人民负责原则 ⑹怎样做到依法治国 ⑺怎样解决台湾问题，实现祖国完全统一 ⑻怎样维护国家统一、民族团结、国家安全荣誉利益(10)怎样加强党的建设、怎样坚持科学执政、民主执政、依法执政(11)怎样实现民族平等、团结和共同繁荣(12)怎样贯彻我国的民族政策和宗教政策(13)怎样坚持我国的外交政策 ……等等

经济常识：⑴怎样抑制通货膨胀或治理通货紧缩 ⑵怎样坚持公有制主体地位 怎样促进非公有制经济发展 ⑶怎样完善我国的分配制度 ⑷怎样进一步完善社会主义市场经济体制 ⑸怎样搞好国有大中型企业 ⑹怎样提高企业的经济效益 ⑺怎样树立企业良好的信誉和形象 ⑻怎样加强农业的基础地位 ⑼如何走新型工业化道路 ⑽怎样建立和完善社会保障制度 ⑾怎样发挥财政和税收在国民经济中的作用 ⑿如何树立正确的消费观 ⒀如何处理积累与消费的关系(14)怎样维护劳动者、消费者的合法权益(15)如何发展对外经济关系 ……等等;

四、训练与讲评

(1)从政治常识角度，提高党的执政能力，加强党的建设的措施(如何保持党的先进性)

①用邓小平理论和“三个代表”的重要思想武装全党，不断提高全党的马克思主义理论水平②深化干部人事制度改革，建设一支善于治理国政的高素质干部队伍③按照政治坚定、求真务实、开拓创新、勤政廉政、团结协作的要求，把各级领导班子建设成坚强的领导集体④加强和改进党的基层组织建设，使之成为贯彻三大代表重要思想的组织者、推动者、建设者⑤坚持和健全民主集中制，增强党的团结和活力，用党内民主带动人民民主⑥大兴求真务实之风，加强党同人民群众的血肉联系⑦加强党风廉政建设，深入开展反腐败斗争

(或者从能力建设、思想建设、组织建设、作风建设、制度建设等方面回答亦可)

(2)如何全面贯彻落实科学发展观

①坚持发展就是硬道理②坚持以人为本③坚持依靠改革促进发展④不断丰富发展的⑤切实转变经济增长方式⑥大力提高自主创新能力⑦坚持五个统筹(城乡、区域、经济社会、人与自然、国内外)

(3)建设资源节约型、环境友好型社会的措施

①坚持以邓小平理论和“三个代表”重要思想为指导，全面落实科学发展观，走新型工业化道路②大力发展循环经济，加大环保力度，切实保护好自然生态③坚持节约与开发并重，节约优先的方针④完善激励机制，建立长效机制⑤建立健全法律、法规、制度，完善政策措施⑥加快结构调整，推进技术进步，转变发展模式，建立节约型的生产模式、消费模式、建设模式⑦强化宣传教育，提高全民节约意识和环保意识

(4)如何构建社会主义和谐社会

①积极促进社会和谐，解决事关人民群众切身利益的现实问题 ②千方百计扩大就业 ③加快完善社会保障体系，加快发展社会事业 ④合理调节收入分配，使全体人民共享改革和发展的成果 ⑤丰富人民的精神文化生活，坚持社会主义荣辱观⑥提高人民群众的健康水平⑦保障人民群众的生命财产安全，保持社会安定团结

(5)关于加强安全生产的基本措施

①从政府的角度来看：要建立健全法律法规，加强民主法制建设;完善体制机制，加强安全生产，强化管理;加大投入力度，采用先进科技，提高安全保障水平;加强宏观调控，应用经济的法律的行政的手段规范企业的生产行为。②从企业的角度来看：实现经济增长方式的根本转变;搞好三改一加强。③从劳动者的角度来看：要提高职业道德和职业技能;要加强安全意识，遵守操作规程

(6)社会主义新农村的基本思路和措施

①必须树立科学发展观②积极推进城乡统筹发展，坚持“多予、少取、放活”和“工业反哺农业，城市支持农村”的方针③推进现代农业建设，发展高产、优质、高效、生态、安全农业④全面深化农村改革，巩固农村税费改革成果⑤大力发展农村公用事业，扩大公共财政覆盖农村的范围，加快农村义务教育，卫生建设、扶贫工程、社会保障建设⑥千方百计增加农民收入，大力发展县域经济，转移农村剩余劳动力，提高农民素质，平等对待农民工加强对员工的培训

(7)推动区域经济发展基本措施

①政府要履行其职责，创造良好的环境，加强宏观调控②推进体制机制创新，发挥市场机制、合作机制、互助机制、扶持机制等四大机制的作用，明确四个功能定位③继续加快发展优势产业、重点产业、特色产业④加快建立全国统一市场，打破行政垄断和地区封锁⑤国家要加大对欠发达地区的政策倾斜和财政投入力度

(8)保持经济平稳较快发展的基本措施

①关键是要扩大国内需求，坚持实施稳健的财政政策和货币政策，继续加强和改善宏观调控②要努力调整投资消费结构，把增加居民消费，特别是农民消费作为扩大消费需求的重点，不断拓宽消费领域和改善消费环境③在大力增收节支的基础上，调整财政支出结构④保证货币信贷稳定增长，优化货币信贷结构⑤继续加强财政政策、货币政策、产业政策等协调配合，利用好税收、利率、价格等经济杠杆和法律手段，实现资源优化配置⑥认真研究经济运行中的新情况新问题，增强各项调控措施的针对性和有效性，更加注重区别对待，分类指导

(9)建设创新型国家的基本措施

①坚持自主创新，重点跨越，支撑发展，引领未来的指导方针，努力走中国特色自主创新道路②坚持把提高自主创新能力摆在全部科技工作的首位，紧紧抓住为经济社会发展服务这一中心任务，着力解决经济社会发展的重大科技问题，大幅提高国家竞争力③深化体制改革的，加快推进国家创新体系建设④坚持贯彻尊重劳动、尊重知识、尊重人才、尊重创造的方针，创造良好环境⑤培养造就富有创新精神的人才队伍⑥坚持解放思想，实事求是，与时俱进，大力弘扬民族精神创新精神，努力培养全社会的创新意识

(10)如何发展创新文化，培养全社会的创新精神

①必须大力发扬中华文化的优良传统，大力增强全民族的自尊自强精神②要坚持解放思想，实事求是，为创新提供良好的文化氛围和制度保障③大力弘扬以爱国主义为核心的民族精神和以改革创新为核心的时代精神④要注重培养青少年的创新意识和实践能力，推进素质教育 ⑤既要大力继承和弘扬中华文化的优良传统，又要充分吸收国内外文化的有益成果，在全省社会培养创新意识

(11)实现民族地区跨越式发展的基本措施

①坚持党的正确领导，坚持走中国特色的社会主义道路②坚持把党的路线方针政策同少数民族地区的实际相结合③坚持以经济建设为中心，坚持改革开放，不断解放和发展生产力④坚持发展社会主义先进文化，建设社会主义精神文明⑤坚持民族平等、团结、共同繁荣的原则和民族区域自治政策⑥坚持宗教信仰自由政策⑦坚持依靠国家支持和坚持自力更生、艰苦奋斗相结合

(12)如何加强国际合作，提高对外开放水平

①统筹国内外发展和对外开放，充分利用两种资源、两个市场、两种人才②⑵树立转变对外贸易的增长方式，由数量增加为主转向以质量提高为主③优化引进外资结构，提高利用外资的质量，积极促进国内产业升级④积极稳妥地实施“走出去”的战略，推进国际区域经济合作⑤妥善处理国际争端，积极改善外贸环境，切实维护国家的经济安全⑥与各国加强多领域的互利合作，实施互利双赢的开放战略

(13)如何构建和谐世界

①我们应坚定不移地奉行独立自主的和平外交政策，在和平共处五项原则的基础上同世界各国发展友好合作关系。争取和平的国际环境发展自己，又以自身的发展更好地维护世界和平、促进共同发展;(3分)②我国外交政策的宗旨是维护世界和平促进共同发展，基本目标是维护我国的独立和主权促进世界的和平与发展。③我国应一如既往遵守联合国宪章的宗旨和原则，积极参与国际事务，切实履行国际义务，④推动建立公正合理的国际新秋序。

(14)我国应如何扩大国内需求特别是消费需求?

①推进农村改革发展，增加农民收入，扩大农村消费需求;②调整国民收入分配格局，提高居民收入在国民收入分配中的比重，提高劳动报酬在初次分配中的比重，建立职工工资正常增长机制和支付保障机制;③加强宏观调控，积极培育消费热点，推动居民消费结构升级;④加快完善养老、医疗等社会保障体系，稳定居民消费预期，扩大预期消费。⑤在优化结构的基础上保持合理的投资规模，拉动经济增长。

(15)问责制显示出政府对人民负责的理念。如何做到对人民负责?

①坚持为人民服务的工作态度。政府及其公职人员要牢固树立为人民服务、真心真意对人民负责的思想，为人民谋利益。②要树立求真务实的工作作风。政府及其公职人员为人民服务，不能仅仅停留在口头上，而要落实到行动中。③要坚持从群众中来到群众中去的工作方法。多听取群众的意见，多渠道倾听群众的呼声。

(16)从经济常识角度，谈谈我国应如何应对和防范金融风暴

①办好自己的事，通过有效手段来刺激内需，以消费和投资的更高增长来对冲净出口的下降。②加强国家的宏观调控，出台提升出口企业经营者信心的措施，实施“降率免税”货币财政组合拳，稳定资本市场健康运行。③进一步完善完善我国商业银行的改革，重点推进中国农业银行的股份制改革。④完善人民币汇率形成机制，加快外汇管理体制改革，促进国际收支基本平衡。⑤正确处理独立自主、自力更生与对外开放的关系，继续坚持对外开放的基本国策，加强同国际社会的合作。

(17)运用国家职能的知识分析，在奥运会的举办过程中应如何展现中华民族丰富的文化底蕴?

政府要积极履行经济职能，用市场的眼光开发文化资源，大力发展文化产业;政府要积极履行了文化职能，大力发展体育文化事业的表现，展现中华民族的文化底蕴;政府要积极履行好了社会公共服务职能，提高人民群众的文化素质，指导大众了解掌握祖先创造的遗存和具有悠久历史的民族民间文化，自觉地利用奥运会这个舞台宣传和弘扬民族文化。

(18)民生问题 重要背景：财产性收入，教育问题，医疗问题等

财产性收入问题怎样提高： A最根本的是大力发展生产力 B 宏观调控 稳定物价 C完善分配制度、贯彻生产要素按贡献参与分配的原则 D 完善资本市场引导居民合理投资 E 市场经济的法制性，依法保护公民合法的私有财产

教育问题怎样解决：A大力发展生产增加就业，提高人民收入;B加强宏观调控，优化资源的配置; C发挥财政和税收的作用; D劳动者权利的维护。

(19) 抗击地震和北方旱灾 如何搞好重建工作

经济学：A 加强国家的宏观调控 B财政的作用 C税收的作用

D正确处理积累和消费的关系E完善社会保障制度，商业保险理赔工作

政治学：国家：国家职能 组织活动原则; 党：党的领导方式，执政方式;加强国际合作。

如何面对自然灾害(人与自然的关系，生态文明)

主要是哲学角度 A自然界的客观性是前提 B物质决定意识，一切从实际出发 C树立正确的意识(价值观，改造主观世界) D按客观规律办事发挥主观

(20)、 文化产业问题如何发展： A基本经济制度 B 宏观调控 C加强国际的交流 D发挥市场的基础性作用 E财政 F税收

(21)运用经济学说明我国应如何扩大国内需求特别是消费需求?