数学解题的实践与思考

数学解题的实践与思考（共12篇）

数学解题的实践与思考 篇1

能力立意是高考命题的指导思想, 《考试说明》中明确提出考查学生的获取和解读信息、调动和运用知识、描述和阐释事物、论证和探索问题四种能力。因此, 要搞好政治学科教学工作, 提高政治学科教学质量, 必须注重学生能力的培养。在实际的教学过程中, 对于学生能力的培养我认为应从以下几方面着手。

一、“恋”———喜欢

“知之者不如好之者, 好之者不如乐之者。”只有学生带着积极的态度、浓厚的兴趣去学习政治, 才能有好的效果, 因此, 我们教师必须要想方设法让学生喜欢老师, 让学生喜欢政治学科。“既然大家都要仰头和你说话, 请给他们一个仰视你的理由。”我们要给学生一个理由, 让他们“恋”上老师, 爱上政治。

我们每个人的能力水平有差异, 但我们每个人都有自己的优势和特长。博览群书, 可以赢得学生崇拜;心存宽容, 可以让学生感动;以身作则, 可以树立良好形象;关爱学生, 可以缔结感情纽带;处事公道, 可以取得学生信任;多才多艺, 可以换取学生喜爱;风趣幽默, 可以带给学生欢乐等等。充分展示自己的特长, 形成个人的风格与魅力, 就能够赢得学生的心, 让他们喜欢上我们的政治课。

如果是这样, 带来的就不只是更强的教育能量和更高的教育效果, 更有学生快乐的学习心情和我们快乐的工作心情, 享受学习, 享受工作。

二、“念”———阅读

“万丈高楼平地起。”这里的“念”是指认真阅读教材, 夯实基础知识。掌握知识是培养能力的基础和前提条件, 脱离知识的能力只能是空中楼阁。同时, 关注教材也已经成为高考命题的一个重要趋势。有些试题就是选择教材中的材料, 一些设问也直接考查教材中的基本知识。如2008年江苏卷中这样的选择题有5道, 2009年江苏卷中这样的选择题有8道。所以, 我们必须要重视课本, 重视基础。当然, 重视基础并不意味着死读书, 知识要记忆, 更要理解、归纳。

三、“联”———联系

(一) 建构学科知识体系, 使基础知识条理化、系统化、网络化、图表化

1. 知识梳理要遵循“先宏观, 后微观”的原则。

例如, 复习经济生活第一单元“生活与消

费”时, 先要把握这一单元的三个核心词, 即货币、价格、消费。然后再“微观”, 把握各板块的主干知识。如消费的主干知识包括:影响消费的因素、消费类型、消费结构、消费心理和树立正确的消费观。在此基础上再进一步把握各个主干知识的具体内容。

2. 知识体系的建构要打破课、单元的限制,

它应该是前后衔接 (单一课程模块之间的贯穿) 的、也应该是左右逢源 (不同课程模块之间的贯通) 的。例如, 复习《经济生活》宏观调控时, 就可以挖掘它与《政治生活》中政府的职能、政府的责任、依法行政等, 《生活与哲学》中一切从实际出发、按规律办事等相关知识之间的联系。

(二) 理论与实际相联系

这是思想政治课的生命力之所在, 也是高考的要求。我的具体做法是:

1. 坚持在平时。

平时的课堂教学不能从理论到理论, 而应坚持教学生活化, 将鲜活的生活内容及时引入课堂, 既可以增强课堂活力, 又可以提高学生分析解决实际问题的能力。例如, 寒假后的第一节课我没有直接复习课本知识, 而是和学生聊聊寒假见闻, 谈谈过年趣事, 然后通过问题慢慢引入课本学习:春节是中华民族的传统节日, 又称“过年”。这一文化活动中蕴含哪些文化生活道理?再如元宵节第二天上课请学生思考:低碳时代是否还应该继续举办元宵节灯会等等。

2. 集中于专题。

在高考复习中适当开展时事热点的专题复习, 精选时事政治背景材料, 引导学生运用相关理论进行具体分析。比如, 建立新型农村社会养老保险制度, 教师可以引导学生多角度思考:经济角度谈意义、政治角度谈依据、哲学角度谈做法等等。通过热点专题复习, 训练提高学生调动运用知识, 判断、阐述、探究、提出问题和分析解决问题的能力, 同时还可以降低高考试题的陌生度, 从而减轻学生的心理压力, 增强学生的信心。

四、“练”———训练

能力的形成离不开必要的练习训练, 训练中要注意以下问题:

1.精选典型题目。训练的效果不取决于训练的数量, 而在于是否组织了优质的教学内容。不能有“做一遍总比不做强”的错误思想。选题要准确、典型, 多选近年高考题和模拟题。

2.切实抓好讲评。讲评一定要善于借题发挥, 不能就题讲题。例如, 我在讲评我市期末调研考试36题“小明是怎样做到一切从实际出发, 实事求是”时, 在指出了问题, 明确了答案, 总结了方法之后, 我追问学生:在哲学部分, 类似这种“怎样做……”的问法还可能有哪些?此问一出, 一石击起千层浪, 学生立即开始读书、讨论、交流。我们不必在乎学生所提问题的质量, 关键是学生积极参与了, 认真思考了, 思路展开了。通过这么一个问题, 整个哲学教材无形中又复习了一遍。事实上后来学生也提出了很多不错的问题, 如怎样实现人生价值?怎样追求和发展真理?怎样用联系 (发展) 的观点看问题?怎样坚持矛盾分析法等等。

3.同类整合归纳, 专题训练。这里的同类有两种情况:一是内容相同, 即试题考查的知识相同。如在复习《经济生活》“商品价值量”有关知识时, 经常在练习中碰到相关计算题, 虽然学生会背课本中商品价值量与社会劳动生产率、社会必要劳动时间的关系等相关知识点, 但在解决此类计算题时仍然觉得困难, 也就是知识的运用能力还不强, 后来我就将各地考题中出现的试题进行了收集、整理、归类, 然后进行专题讲解, 专题训练, 实践证明, 效果不错。从那以后, 再碰到有关问题, 学生不再害怕, 不少人是驾轻就熟, 手到擒来。二是形式相同, 如图表题、漫画题等, 也包括试题的设问方式相同, 如意义型、体现型、措施型、评析型、启示型等等。我们应该对每一种题型都进行解题方法与规律的训练和指导, 通过典型例题分析, 掌握答题思路与技巧, 以解剖麻雀的方法实现举一反三、触类旁通。

五、“炼”———锤炼

1.平时练习当高考。两层含义, 一是指让学生树立一种思想, 把做练习题同做高考题一样, 端正态度, 认真对待, 从而养成良好的答题习惯。当然, 要做到这一点, 我们教师布置的作业不能过多过滥, 要坚持少而精。第二是指教师要认真批改, 不能简单地划“√”或“×”, 也不能随便写个“优良差”等, 而要给出分值, 划出得分点, 让学生知道哪些地方得分了, 为什么得分;哪些内容不得分, 为什么没有分。

2.推敲、修改答案。好文章是改出来的, 好答案也是改出来的 (此处针对主观题) 。平时练习中教师应要求学生对自己的答案认真修改, 仔细推敲, 使得自己的答案更严谨, 更科学, 更规范, 不断提升自己的解题能力, 养成良好的答题习惯。

3.学生编制试题、答案。“教师说得再好远不如学生做得好”, 通过学生自主命题可以让学生懂得审题的重要, 学会揣摩命题人的意图, 识破命题陷阱。而编制主观题答案则可以强化学生规范答题的意识和能力。

教无定法, 贵在得法。以上是本人对培养学生高考能力的一点思考和做法。最后用卢梭的一句名言作为文章的结尾:“问题不在于教他各种学问, 而在于培养他爱好学问的兴趣, 而且在这种兴趣充分增长起来的时候, 教他以研究学问的方法。”

数学解题的实践与思考 篇2

高中数学教学的思考与实践

 

广西百色高级中学 梁杏晶

【摘 要】本文总结了笔者多年的数学教学经验，从对学生进行两个“转变”的教育、培养学生学习数学的兴趣和自学能力、教学质量的评价及高中数学课程的建模等方面，就如何提高数学教学质量阐述了自己的看法。

【关键词】数学教学 教学质量 思考

众所周知，数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，现代文明的任何进步都离不开数学，所以在世界各国的基础教育中，数学一直是学生的一门主要基础课。然而数学学习却让许多人闻而生畏，特别是学生更是以矛盾的心情看待数学：必须要学又害怕学，非常想学好可是又很难学好，相当多的人学得很被动、很痛苦、很没有成效，如何把学生的数学成绩搞上去一直是家长、老师、学生的一个老大难问题，其中的原因是多方面的，如何能尽快地改变这种状况，提高数学教学质量，使学生能够主动的、快乐的学数学？近年来我在高中数学教学中进行了以下一些探索：

一、学前进行两个“转变”的教育

学生进入高中后无论在心理上、生理上都面临一个重大的转折，由于初中和高中的数学教学无论在学习内容上还是在教学方法上都有很大的差异，许多同学不能适应高中的学习，只是被动的接受知识，针对学生的各种思想问题，我们首先帮助学生从“要我学”到“我要学”的转变，树立正确的学习目的与态度，更重要的是帮助学生由“学会”到“会学”的转变，为此在开学时我先进行高中数学学习与初中数学学习的联系讲学，对于高中数学学习的灵活多样性，常引导学生发现生活中的数学问题并加以讨论，通过讲学与讨论使学生明白我们的生活离不开数学，学习数学知识对自己有意义，并结合教学的具体内容进行数学学习方法的指导，通过两个转变的教育使学生有了能学好数学的精神准备，为顺利地完成高中的数学学习打下一个良好的基础。

二、教学中注意培养学生学习数学的兴趣及自学能力

1.培养学生学习数学的兴趣。数学是学生花费时间最长精力最多而又是大部分同学以失败而告终的一门课。如何提高学生学习数学的兴趣呢？我们在讲课时应有意识地结合课本的相关知识点，从一些与实际生活有关的趣味题或社会热点来设问。在课堂教学中引导学生通过对问题的分析和解决使学生认识到数学是有用的、是有趣的，学习数学可以使自己更聪明，加深他们对数学重要性的理解，提高学习数学的积极性和主动性。

2.培养学生的自学能力。学生的能力最重要的是独立获取知识的能力、独立解决问题的能力和独立创新的能力。在科技发展日新月异的21世纪，人们的学习不可能永远在学校里、在老师的指导下进行，人的一生中绝大多数的知识，一是通过自己的实践去发现、研究、总结，二是通过阅读图书、杂志等去理解、吸取、掌握别人的成果，这是主要的途径，(教学论文 )这就对自学能力有较高的要求，会不会读书，能不能从别人获得成果的过程中除了掌握知识之外还能学会他们的方法并指导自己的学习与工作，是高中数学教学应当重视的问题。为此我布置一些生动、有趣的数学问题让学生课外找资料，课内讨论，教师答疑，选择一些教学内容中较直观的章节（如两条直线的平行与垂直、分类计数原理与分步计数原理…），指导学生自学，教师答疑辅导，实践证明这种做法不仅可以培养和提高学生的`自学能力，而且可以增强学生的自信心和成功的喜悦与成就感。

三、科学评价教学质量

1.学生成绩考核的改革。目前，教学质量的评价方法之一是通过对学生进行考核。考数学应当考什么？一直以来都是考书上的黑体字的内容记得是否准确、能否正确地利用这些内容解题。这些题目自然可以考查学生掌握知识的程度以及用所学知识解决数学问题的能力，但我们学习数学的根本目的并不在此，试想一个高中或大学毕业生走上工作岗位后有多少机会回去解一个对数方程或去证明线面垂直呢？他们所遇到的是各个不同领域内的实际问题，而解决这些问题的关键并不在于要用的那些公式定理是否记得很熟（完全可以去查数学手册），运算是否快速准确（可以让计算机去算），这里最重要的应当是如何最快地分析和找到实际问题的本质，建立它的数学模型，根据已知条件和目标确定解决它的思路、方案以及所要用到的工具，下一步才是解决问题。为了减轻学生的机械记忆的负担，把更多的时间和精力用在分析和解决问题上，我在一些作业与测验中允许学生在答卷的过程中可以翻阅课本查找欲用的公式并记在题目旁，但是不能互相商量交流解题方法，不许对答案。这样做一方面可以使学生心理上得到放松，减轻考试带来的压力，有利于他们发挥自己的正常水平，同时也有利于真正考查出学生的能力水平。

2.科学评价学生的学习成绩。本来考试的目的对于教师来说应当是发现教师在教学中的问题以改进工作，而对于学生来说则是检测自己对所学知识的掌握程度及运用所学知识解决问题时的不足之处，现在的情况是考试往往是教师促学的手段，吓唬学生的法宝，学生一听要考试就害怕，就紧张。为了改变这种不良情况，我除了在考试方式上进行改革外，也从如何科学的评价学生的学习成绩上进行了以下一些探索：（1）淡化横向比较，侧重纵向比较。 每次考试以后宣布平均分，让每个学生根据与平均分的差距和自己以前的成绩相比较，是进步了还是退步了；（2）可以申请重考。

四、高中数学课程建设的设想

教学内容直接影响着学生的学习积极性，然而现行的数学教材中的许多内容对大多数学生来说难度太大而广度不够，经典的内容多而现代的内容少，纯理论的内容多而联系实际的内容少，枯燥的内容多而有趣的内容少，学生在数学学习上被培养成了解题机器，而在思维品质上收效甚微，他们所用的许多时间可以说是投入与回报不成比例，更不幸的是因此产生的对数学的误解及信心的丧失，本来花时间和精力所学的课程应当是最爱学、认识最清楚、理解最透彻的，而事实却恰恰相反，相当多的学生对于“数学是什么？” 这样的问题却说不出个一二三来，这说明我们的数学教育是失败的。为了使学生能够更加生动、主动的学习，应当对教材进行必要的改革。我认为高中的数学内容除了与专业相结合外，应面向大多数学生，以日常生活中的简单问题所需要的基本数学素养为主，以使他们能学会在任何时候都能应用数学的方法进行思考，善于用数学思想去观察分析处理各种实际问题，新课程要体现这样的理念：“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学知识；不同人在数学学习上得到不同的发展”。让学生真正的认识数学、了解数学、热爱数学、学好数学、用好数学。

数学解题的实践与思考 篇3

关键词：高考；解题能力；实践与思考

一、 “恋”——喜欢

“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”只有学生带着积极的态度、浓厚的兴趣去学习政治，才能有好的效果，因此，我们老师必须要想方设法让学生喜欢老师，让学生喜欢政治学科。

我们每个人的能力水平有差异，但我们每个人都有自己的优势和特长。博览群书，可以赢得学生崇拜；心存宽容，可以让学生感动；以身作则，可以树立良好形象；关爱学生，可以缔结感情纽带；处事公道，可以取得学生信任；多才多艺，可以换取学生喜爱；风趣幽默，可以带给学生欢乐等等。充分展示自己的特长，形成个人的风格与魅力，就能够赢得学生的心，让他们喜欢上我们的政治课。

如果是这样，带来的就不只是更强的教育能量和更高的教育效果，更有学生快乐的学习心情和我们快乐的工作心情，享受学习，享受工作。

二、 “念”——阅读

“万丈高楼平地起。”这里的“念”是指认真阅读教材，夯实基础知识。掌握知识是培养能力的基础和前提条件，脱离知识的能力只能是空中楼阁。同时，关注教材也已经成为高考命题的一个重要趋势。有些试题就是选择教材中的材料，一些设问也直接考查教材中的基本知识。如2008江苏卷中这样的选择题有5道，2009江苏卷中的这样的选择题有8道。所以我们必须要重视课本，重视基础。当然，重视基础并不意味着死读书，知识要记忆，更要理解、归纳。

1.通读所有知识。按考试说明，对所有考点各个击破，逐个消化，做到“点点清”。

2.突出重点知识。学哲学，用哲学。要坚持以哲学思维指导教学，在全面复习的同时，还要注意突出重点。按考点在知识体系中的地位、高考能级要求、考点与社会现实的关联度、考试说明的调整变化等因素，确定需要重点复习的考点，把握主干知识、核心考点。

3.归纳同类知识。两种做法：按制度类、原则类、作用类、意义类、原因类、特征（特点）类、基础类等等类型对课本知识进行整合。归纳整理教材中的漫画、图表、名人名言等资料，并运用学科知识加以分析。

4.联系相关知识。要注意挖掘教材前后知识之间的联系，既可以强化记忆，也可以加深对问题的理解。例如在《经济生活》复习中，复习分配制度时要回顾我国的基本经济制度，复习财政、税收的作用时可回顾促进收入分配公平的举措等等。复习《生活与哲学》中“生产关系必须要适应生产力状况的规律”时，要回顾《经济生活》中我国社会主义初级阶段基本经济制度的原因及意义、我国分配制度的客观必然性等知识点。等等。

5.比较易混知识。复习中要注意相近、相关概念观点的比较。如“国有经济的主导作用”和“公有制经济的主体地位”、“财政政策”和“货币政策”，“根本政治制度和基本政治制度”，“文化传播”和“文化继承”等等。

三、 “联”——联系

这里的“联”有以下两层含义：

1.建构学科知识体系，把知识点连成线、结成网、形成树，使基础知识条理化、系统化、网络化、图表化。

首先，知识梳理要遵循“先宏观，后微观”的原则。例如，复习经济生活第一单元“生活与消费”时，先要把握这一单元的三个核心词，即：货币、价格、消费。然后再“微观”，把握各板块的主干知识。如消费的主干知识包括：影响消费的因素、消费类型、消费结构、消费心理和树立正确的消费观。在此基础上再进一步把握各个主干知识的具体内容。

其次，知识体系的建构要打破课、单元的限制，它应该是前后衔接（单一课程模块之间的贯穿）的、也应该是左右逢源（不同课程模块之间的贯通）的。例如复习《经济生活》宏观调控时，就可以挖掘它与《政治生活》、《生活与哲学》部分相关知识之间的联系，如图所示：

2.理论与实际相联系。这是思想政治课的生命力之所在，也是高考的要求。这个问题我的具体做法有：

首先，坚持在平时。平时的课堂教学不能从理论到理论，而应坚持教学生活化，将鲜活的生活内容及时引入课堂，既可以增强课堂活力，又可以提高学生分析解决实际问题的能力。例如寒假后的第一节课我没有直接复习课本知识，而是和学生聊聊寒假见闻，谈谈过年趣事，然后通过问题慢慢引入课本学习：春节是中华民族的传统节日，又称“过年”。这一文化活动中蕴含哪些文化生活道理？再如元宵节第二天上课请学生思考：低碳时代是否还应该继续举办元宵节灯会？等等。

其次，集中于专题。在高考复习中适当开展时事热点的专题复习，精选时事政治背景材料，引导学生运用相关理论进行具体分析。比如建立新型农村社会养老保险制度，教师可以引导学生多角度思考：经济角度谈意义、政治角度谈依据、哲学角度谈做法等等。通过热点专题复习，训练提高学生调动运用知识，判断、阐述、探究、提出问题和分析解决问题的能力，同时还可以降低高考试题的陌生度，从而减轻学生的心理压力，增强学生的信心。

最后，渗透于作业。作业布置要有突破、有创新，不要总是以练习、试卷的形式，可以适当布置能力要求较高、具有开放性和探究性特点的作业。例如我曾布置过这样一些作业：三权分立思想在班级管理中的运用、从周杰伦的歌曲看传统文化的继承和发展、歌词（广告、漫画）中的哲理、围绕“国家宏观调控”主题收集时事材料，进行理论分析，并尝试根据材料编制主观题一道，等等。解决这些问题可以很好地训练学生调动和运用知识、论证和探索问题的能力。

四、 “练”——训练

能力的形成离不开必要的练习训练，训练中要注意以下问题：

1.精选典型题目。训练的效果不取决于训练的数量，而在于是否组织了优质的教学内容。不能有“做一遍总比不做强”的错误思想。选题要准确、典型，多选近年高考题和模拟题。

2.切实抓好讲评。讲评一定要善于借题发挥，不能就题讲题。例如我在讲评我市期末调研考试36题“小明是怎样做到一切从实际出发，实事求是”时，在指出了问题，明确了答案，总结了方法之后，我追问学生：在哲学部分，类似这种“怎样做……”的问法还可能有哪些？此问一出，一石击起千层浪，学生立即开始读书、讨论、交流。我们不必在乎学生所提问题的质量，关键是学生积极参与了，认真思考了，思路展开了。通过这么一个问题，整个哲学教材无形中又复习了一遍。事实上后来学生也提出了很多不错的问题，如怎样实现人生价值的？怎样追求和发展真理的？怎样用联系（发展）的观点看问题的？怎样坚持矛盾分析法的？等等。

3.同类整合归纳，专题训练。这里的同类有两种情况：内容相同，即试题考查的知识相同。如在复习《经济生活》“商品价值量”有关知识时，经常在练习中碰到相关计算题，虽然学生会背课本中商品价值量与社会劳动生产率、社会必要劳动时间的关系等相关知识点，但在解决此类计算题时仍然觉得困难，也就是知识的运用能力还不强，后来我就将各地考题中出现的试题进行了收集、整理、归类，然后进行专题讲解，专题训练，实践证明，效果不错。从那以后，再碰到有关问题，学生不再害怕，不少人是驾轻就熟，手到擒来。形式相同，如图表题、漫画题等，也包括试题的设问方式相同，如意义型、体现型、措施型、评析型、启示型等等，我们应该对每一种题型都进行解题方法与规律的训练和指导，通过典型例题分析，掌握答题思路与技巧，以解剖麻雀的方法实现举一反三、触类旁通。

4.培养学生养成良好的练习习惯。顺序原则：先看书后练习、先自己做题再核对答案（要认真分析参考答案）、先自己思考、查阅书本再问老师或同学、先易后难。适度原则。从量上来讲，就是既要有总量的保证，又要有各种题型的练习，尤其不能因为怕写字，就只做客观题。自主原则：不能被动地对待练习，应该针对自己的薄弱环节，自主地寻找相关练习，加强训练。

五、 “炼”——锤炼

1.平时练习当高考。两层含义：第一是指让学生树立一种思想，把做练习题同做高考题一样，端正态度，认真对待，从而养成良好的答题习惯。当然，要做到这一点，我们老师布置的作业不能过多过滥，要坚持少而精。第二是指教师要认真批改，不能简单地画“√”或“×”，也不能随便写个“优良差”等，而要给出分值，划出得分点，让学生知道哪些地方得分了，为什么得分；哪些内容不得分，为什么没有分。

2.推敲、修改答案。好文章是改出来的。好答案也是改出来的（此处针对主观题）。平时练习中要求学生对自己的答案认真修改，仔细推敲，使得自己的答案更严谨，更科学，更规范，不断提升自己的解题能力，养成良好的答题习惯。

3.面批作业。根据教学需要，有选择地进行作业面批，对部分学生的答题规范性、科学性进行个性化的指导。

4.学生编制试题、答案。“教师说得再好远不如学生做得好”，通过学生自主命题可以让学生懂得审题的重要，学会揣摩命题人的意图，识破命题陷阱。而编制主观题答案则可以强化学生规范答题的意识和能力。

数学解题的实践与思考 篇4

一个人要具有较高的创造力, 必须具有丰富的想象力。因此, 在物理教学中, 要特别重视对学生想象力的培养。设想法就是想象力的一种具体体现。所谓设想法, 就是通过假设或想象某种虚设的东西, 或者做出这样或那样的设想, 来迅速简洁地解决问题的方法。下面结合本人16年的初中物理教学实践, 谈谈笔者在教学中诱发设想法的几种做法, 以起到抛砖引玉的作用。

一、虚设物理对象

例1:如图1所示, 画出入射光线AB经凸透镜L的折射光线

分析:光线AB是一条任意光线, 但要画出其折射光线, 这显然超出了初中要求。若我们用设想法, 不妨在光线AB上虚拟一个发光点S, 利用凸透镜的三条特殊光线作出虚拟发光点S的像点S′, 则作出折射光线CD便是顺理成章的事情。这难道不是柳岸花明又一村吗?

二、虚拟物理量

例2:如图3所示, 由12根电阻均为R的导线组成的正方形网格, 求RAB.

分析:虚设电流I, 从A端流进, 从B端流出 (如图3) 。由电流的对称性可得

选电流的任意一条通路, 可计算A、B两点间的电压为

三、虚设转动轴

杠杆中的支点和转轴

例3:如图4, 质量为m、长为L的匀质梯子AB, A端靠在光滑的竖直墙上, B端搁在水平地面上, 处于静止状态, 并与水平面成角α, 求阻止梯子滑动的摩擦力

分析:通过对梯子的受力分析知, 梯子受4个的作用而静止, 属于非共点力的平衡问题, 应用杠杆的原理来解决, 这显然超出了初中物理的范畴, 致使学生一筹莫展。我们若虚设以NA、NB的作用线的延长线的交点O为转动轴, NA、NB这两个力的力臂为0, 则梯子只受两个力矩的作用, 由力矩平衡条件, 有1/2mg LCosα=f LSinα

可得摩擦力为f=1/2mg Ctgα

四、虚设物理状态

例4:如图5质量m为、半径为r、体积为V的半球, 放在密度为ρ的容器的底部, 与容器底部紧密接触 (即它与容器底面间无液体) , 若液体深度为H, 液体对半球上表面的压力为多大? (不考虑大气压力的作用)

分析:这是一道棘手的力学试题, 因为球的表面是凸的, 各点的压强不等, 致使很多学生无从下手。我们联想浮力产生的原因——物体上下表面的压力差, 只要能求出半球的浮力和半球下表面受到液体的压力, 就不难求出液体对半球上表面的压力了。于是设想半球的下表面没有与容器底部紧密接触 (注意:设想前后两种状态液体对半球上表面的压力F向下不变﹑——具有等效性) 。因为:F浮=F向上—F向下, 可得F向下=F向上—F浮, 代入数据可得:F向下=ρg (Hπr2—V) 。

五、虚设物理过程

例5:将质量分别为m1、m2、m3, 温度分别为t1、t2、t3的水混合, 若整个过程无热损失, 求达到热平衡时的温度。

分析:这道题我们很容易想到用热平衡方程Q吸=Q放来解决, 但问题的关键是这三种水混合时哪些吸热, 哪些放热呢?一时又迷惘起来。针对这种题型我们可以虚设一物理过程, 设想所有水混合后温度都降至0°C, 放出热量Q放, 然后吸收热量Q吸使温度升至t°C, 因为不计热损失, 则有Q放=Q吸

即:c m1 (t1—0) +c m2 (t2—0) +c m3 (t3—0) =c (m1+m2+m3) (t-0) , 至此求出达到热平衡时的温度便是水到渠成的事了 (答案略) 。

以上5例是设想法在解题中应用的几种具体体现。

初一数学教学的实践与思考论文 篇5

注重过程，给学生感悟、理解数学的时间和机会。让学生在感悟中发现数学，要求学生在头脑中对数学问题进行重新建构——创新。初一数学教学中要突出数学本质，重视概念形成过程、定理的发现过程、证明及解题途径的探索过程……在做数学的过程中进行感悟。

从小学数学过渡到中学数学，无论是学习内容还是学习方法都有了质的变化，如运算要求上小学只要求完成一些具体数字的计算，到初中后运算能力培养与发展由具体到抽象、由法则到算理、由常量到变量、由单向思维到逆向、多向思维。完成这一转变的关键时期是初一，顺利完成这一转变是每位初中数学教学工作者都关心的问题。在这转变过程中教师应重视学生主动参与、合作、交流、探究等多种学习活动，改进学习方式，使学生真正成为学习的主人。所以要重视初一数学教学与实践。

一、重视初一学生数学学习的非智力因素

当学生离开熟悉的小学到了陌生的初中，教育环境的改变是数学教育的契机。教师一个关爱的眼神、一句鼓励的话语、对“差生”一个善意的肯定都有可能改变他们对数学学习的态度。所以无论做好初小衔接，激发学习动机或立足数学课堂，培养学习兴趣，还是在数学学习过程中培养恒心和毅力，让学生享受数学学习的成就感，进而增强数学学习的自信心等都要求教师做善于肯定、善于鼓励的具有人格魅力和专业素养的好老师。

二、重视初一学生数学自主学习习惯的养成

初一学生数学自主学习习惯包括预习、听课、笔记、作业、改错、解题(审题、画图、书写、反思……)总结归纳习惯……而良好学习习惯除了需要家长配合，教师应要求明确、指导具体、示范到位、坚持不懈地抓落实。其中应重点关注初一新生习惯培养和学法指导：

1.听课的习惯：学会倾听，勤于思考。

2.记笔记的习惯：为什么，记什么，怎么记。

3.作业的习惯：规范、独立、认真。

4.改错的习惯：明确原理，找到错误;分析错因，改正错误。

5.渗透学法指导：数学阅读与审题、思考与提出问题、实践与探究……

三、高度决定视野─当好学生的导师

准确把握课标，探究数学本质;积累活动经验，体验数学精神;理解数学知识，学会数学思维;掌握数学方法，形成数学能力;领悟数学思想，提高数学素养。

一堂符合上述高度要求的课一定是初一数学教学实践的主角，教师如何上出这样的好课呢?《课标(版)》第二部分的总目标提到：通过义务教育阶段的数学学习，学生能体会数学知识之间、数学和其他学科之间、数学与生活之间的`联系，运用数学思维方式进行思考，提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力——“四能”。较之《课标(实验稿)》，《课标(2011版)》明确提出“发现问题、提出问题”能力培养。分析问题和解决问题固然重要，而发现问题和提出问题更是培养学生创新意识需要的。要解决这个问题对教学的要求就是多上探究课和活动课。为此新人教版教材提供了大量现实、有趣、有挑战性的学习素材，为学生提供了探索、交流的时间与空间，目的在于加强七年级学生勇于探索、勇于创新的科学精神培养。教师要在尊重教材特点的基础上创造性地使用教材。

案例1(概念探究)

当然，多数定义是不能探究的，例如三角形，正方形，切线，数轴……所谓数学概念探究就是学生通过观察、归纳、概括等方式发现数学对象的本质特征，从而更好地理解概念的外延和内涵。如《绝对值》第一课时，在这之前学习的有理数、数轴、相反数为学习《绝对值》提供必要的铺垫，而《绝对值》的学习又是今后学习有理数的大小比较、有理数的加减法、乘除法、二次根式的化简的基础。同时《绝对值》概念中的代数意义、几何意义、符号表示富含数学思想方法，为概念探究提供了丰富的“原材料”。

绝对值概念的形成过程由以下三部分构成：

(1)创设情境，引入概念。(用教材，再设计，或再改造)

(2)思考交流，形成概念。

(3)初步应用，理解概念。

在第(1)环节中，我创设了两个情境：

在教学中可对问题再设计为以下四个问题：

(1)你能分别用一个数表示两辆小汽车的位置吗?

(2)这两个有理数有什么关系?

(3)若每辆汽车行驶每千米耗油0.2升，则两辆车各耗多少升油?

(4)计算耗油量的过程中，与什么量有关?与什么量无关?

通过问题3、问题4，学生联系实际生活，在亲切、熟悉的情境中体验到日常生活中确实有一些量与正负(方向)无关，而与两地之间的距离有关。学生在这个阶段初步感受引入绝对值概念的必要性。

为了让学生继续感受绝对值概念引入的必要性，我创设了情境2：小明和小东的家分别在学校的东西两侧，距离学校都是1000米。

(1)你能分别用一个数表示学校、小明家和小东家的位置吗?

(2)他们从自家出发上学，行走的速度都是60米/分钟，他们分别要多长时间到学校?

(3)若速度一定，则到达学校的时间与什么量有关?与什么量无关?

通过情境2的创设，学生再次感受到：如果速度一定，那么到达学校的时间只与家和学校之间的距离有关，与家和学校的相对方向无关。

在此基础上，通过师生的思考交流，引出绝对值的概念就顺理成章。

数学解题的实践与思考 篇6

关键词：初中数学；解题教学；功能；实践

在当前对初中数学教学的讨论中，大多集中在提高课堂效果方面。从目前有关教育文献中可知，很多老师紧密围绕着新课程标准，从各个方面建立起了切实可行的教学模式。但仔细分析却发现，许多教学模式与当前初中教学环境不相适应。之所以这样讲，归因于：①中考压力仍然存在，因此初中数学教学不能忽略学生解题能力的培养；②诸多教学模式都侧重于突出学生综合应用能力，但从数学学科本身的特点来看，初中阶段教学大可不必在此下工夫，那是更高阶段教学的任务。由此，客观确立初中数学解题教学的功能定位，便成为需要面对的课题。

鉴于以上所述，笔者将就文章主题展开讨论。

一、初中数学解题教学面临的困境

1.教学目标定位

需要明白，解题教学构成了初中数学教学形式的一个组成部分，而这个部分仍须支撑整个教学体系的建立。因此，如何界定课程的教学目标就成为急需解决的问题，但这又是没有完成的任务。正因如此，许多教师在实施该项教学时往往习惯于传统教学模式，即通过“演算—得出答案—校对答案”等三段式来执行。不难看出，这种模式本质上是应试教育的产物。我们不能说它不对，至少它没有达到解题教学的要求。

2.例题合理选择

通过实践，笔者指出，解题教学应主要在复习课中开展，这样可以形成集中、专注的优势。因此，如何围绕前面所学内容进行解题教学，则成为了该教学的另一困境。似乎这并不是个大问题，但从支撑整个教学体系来看，则意味着须完成承上启下的作用。因此，问题实际很大。笔者认为，这种困境的形成或许在于缺乏集体备课准备。

3.课堂教学评价

众所周知，一项完整的课堂教学是建立在封闭循环的教学链条基础上的。因此，如何评价解题教学的效果则显得十分重要，其不仅是一种总结，也是对现状不足的一种反馈。从目前的情况来看，并不是没有教学评价机制，而是这种机制过于单调，无法与新课程改革目标相契合。

以上三个方面的困境就为解题教学的功能定位提供了切入点。

二、功能定位

所谓“功能”，可以理解为解题教学在初中数学教学中的作用。而作用的形成不仅取决于其本身的特质，也取决于它在教学体系中的地位。笔者认为，应淡化解题教学在教学体系中的影响力，但应设专区给予集中开展。为此，可在复习课中强化解题教学形式。功能定位可概括为以下两个方面：

1.巩固功能

首先从复习课教学本身来看，就在于对学生前一阶段所学知识点掌握程度的巩固与提高。因此，教师往往在小组自主复习的基础上引入精讲环节，而精讲形式不仅可以采取画龙点睛，更可以通过有选择地进行解题教学来完成。正因如此，解题教学便自然获得了巩固功能的定位。那么如何有效承担起这种巩固功能呢。这需要在两个环节上下工夫：（1）例题的选择。例题的选择不应怪、偏、难，而是能与课本习题类似为好。（2）例题的讲解。正因为是复习课，所以在例题的讲解上应突出学生主导、教师评述的形式。

2.适应功能

这里的适应功能主要是指与现在的教学大环境相适应。尽管现在没有应试教育的提法，但在实施具体的初中教学时却无法摆脱应试这一路径。当然，这自然与现行中考制度和建立中学知名度有关。这里暂且不论是非，仅就初中数学教学而言，则需要强化学生的解题能力，从而适应未来的中考应试要求。就这一点来看，解题教学便又承担了适应功能。

以上两个方面的功能定位，就为下文的实践模式提供了路径指向。

三、实践模式

上文已经指出，应在复习课中集中完成解题教学。因此，以下也将在这一背景下进行实践模式的构建。这里应注意，对一些简单、易懂的内容教师只需一带而过，而解题中的重点、难点问题则应引导学生展开讨论交流，形成共识。

例如，在求代数式的值的复习课中，可以引导学生对例题的特点作分析：

例1：已知x2+xy=3，xy+y2=-2，求2x2-xy-3y2的值。

分析：若从已知中分别求出x、y的值，再进行代入，则繁琐易错。如在2x2-xy-3y2中添项构造出x2+xy、xy+y2而后整体代入，则省时、省事、正确率高。2x2-xy-3y2=2（x2+xy）-3（xy+y2）=2×3-3×（-2）=12。

在解题教学中，教师应总结某些题的常规解法，使学生对类似题目有“法”可循，但更应鼓励学生破除思维定势，大胆提出新见解，从而逐步培养学生思维的独创性，进一步提高学生的独创性思维能力。

例2.解方程14.5-

分析：该题的常规解法，应先把分母化成整数再解。但根据5，0.3，0.6这三个数的特征，找出最简公分母，直接去分母求解就较为简捷。

这种解法放弃了分母为小数这一次要矛盾，而直接抓住了去分母这一主要矛盾。因此，在解题教学中，引导学生从总体的角度去分析、思考，而在每一个细节上，不完全依赖于固定的模式，根据具体的问题灵活选择解题方法，对培养学生思维的灵活性就显得很有必要。

本文认为，应淡化解题教学在教学体系中的影响力，但应设专区给予集中开展，可在复习课中强化解题教学形式。功能定位包括：巩固功能、适应功能。最后，在此基础上进行实践。

参考文献：

张玲.初中数学试题正向功能浅析［J］.文理导航，2011.

数学解题的实践与思考 篇7

一、一次青年教师基本功大赛的案例

某中学举办青年教师基本功比赛, 参赛对象是工作10年以内的青年教师.笔者受邀参与了初中数学学科笔试试题的命题和阅卷工作.以下是试卷中有关“教解题”的试题及答题情况 (该校符合条件的初中青年数学教师共7人, 全部参赛, 初中部数学教师共26人) .

1. 试题展示.

题目:如图1, 在△ABC中, AB=AC, AD=AE.

学生的思路:因为∠BAC=90°, ∠1=60°,

所以∠DAE=30°.

因为AD=AE,

所以∠ADE=∠AED=75°.

因为AB=AC, 所以∠B=∠C=45°.

所以∠2=∠AED-∠C=30°.

问题:

(1) 作为教师, 你如何评价学生的上述解题过程?

(2) 针对学生的这种解题过程, 你如何讲评该题请写出具体的讲评方案, 应包括变式、探究的主要过程

(3) 写出你讲评该题的预设目标.

2. 答题情况.

说明:为了保证真实性, 下面答案是根据参赛教师的答卷情况原样录入, 包括标点符号和错别字均未作修改.

答案1:

(1) 作为一道填空题, 用特殊值法来解决是可行且有效的, 这也是我们在解决填空选择题时的一种常用的方法.

(2) 但我们现在并不仅仅满足于答案是什么, 而是要掌握一种解题的方法.如果这不是一道填空题, 而是一道解答题, 我们该怎样来解决它呢?很显然, 特殊值法已经不再适用了.我们需要找出这些角之间的关系, 进而求出∠2.那接下来我们可以对∠2进行转化, ∠2=∠ADC-∠ADE=∠1+∠B-∠AED=∠1+∠B- (∠2+∠C) =∠1+∠B-∠2-∠C, 可以得出2∠2=∠1.

(3) 介绍填空、选择题中常用的一种方法———特殊值法.变换题型, 让学生体会从特殊到一般的过程, 可先利用特殊性进行猜测, 再对结论进行验证.

答案2:

(1) 虽然答案是正确的, 但却是由默认△ABC为Rt△得出的, 属于此题的一种特殊情况.但是作为填空题, “特殊值”法运用恰当也是可行的.

(2) 解:设∠AED=x.

因为AD=AE,

所以∠ADE=∠AED.

所以x=∠2+∠C.

且x+∠2=∠1+∠B,

所以∠2+∠C+∠2=∠1+∠B.

因为∠C=∠B, ∠1=60°,

所以2∠2=60°.

所以∠2=30°.

(3) 预设目标:运用方程解几何题.

答案3:

(1) 该同学在解题时创设条件∠BAC=90°, 题目中并没有该条件.

(2) 此题的条件重点考查学生对“在同一个三角形中, 等边对等角”这一知识的理解.解答过程:要求∠2, 有两种方案.

(1) 通过平角减去另两个角, 但是∠ADB的度数没有.

(2) ∠2可通过外角解决.例如, ∠2=∠ADE-∠C=y-x解决.

(A) 因为AB=AC, 所以∠B=∠C=x,

(B) 因为AD=AE, 所以∠ADE=∠AED=y, 所以∠DAE=180°-2y,

(C) 在∠ABC中, 由三角形内角和定理, 得∠B+∠C+∠BAC=180°, 即x+x+60+180°-2y=180°, 所以2x-2y=60°, 所以x-y=30°, 即∠2=30°.

(3) 此题考查了“等边对等角”、“三角形的内角和定理”以及“三角形的外角”等概念, 解答过程中运用了整体代入的思想.

答案4:

(1) (1) 首先该学生没有看清题目, 自己添加了条件∠BAC=90°.所以强调只有在看清题目的基础上才能答对题目. (2) 我会换个角度去看这个问题, 在做填空题时我们只要结论不要过程, 这时可以采用特殊值法去解题, 或用假设的方法.这里只要把∠2=30°代入检验一下是否符合题目中的已知条件即可.

(2) 在等腰三角形中要求角, 就要将边相等转化为角相等.

因为AB=AC,

所以∠B=∠C

因为AD=AE,

所以∠ADE=∠AED.

由于这里涉及的角比较多, 我们可以采用方程的思想.

设∠B=∠C=x, ∠ADE=∠AED=y.

三角形中角的等量关系无非是内角和定理和一个外角等于不相邻的两个内角的和,

可得y=∠2+x, (1)

∠1+x=y+∠2. (2)

由 (1) 得y-x=∠2.

由 (2) 得y-x=∠1-∠2=60°-∠2.

所以60°-∠2=∠2 (三个未知量两个方程解不出值, 用整体思想) .

所以∠2=30°.

(3) (1) 等腰三角形的性质、三角形的内角和及外角性质.

(2) 几何问题代数化, 方程思想、整体思想的应用.

答案5:

(1) 评讲时注意以下几点:

(1) 学生的解题肯定是错误的, 但有可借鉴的地方;

(2) 学生只是对△ABC进行了特殊化;

(3) 学生如果能对一般情况进行归纳, 得到一般结论就好了;

(4) 这道题刚好是一般与特殊答案一样的;

(5) 在解题时不能添加条件.

(1) 此题在讲评时:

(1) 将三角形特殊化, 使△ABC为等腰直角三角形;

(2) 利用 (几何画板》使△ABC变为普通三角形, 让学生感受∠EDC是否变化;

(3) 得到角度不变化再考虑如何求解;

(4) 也可考虑添加条件∠DAC;

(5) 变化∠DAC;

(6) 移动点D.

(3) 此题评讲时应体现数学的变化思想, 体现运动的观点, 体现从特殊到一般的思想, 让学生在探究运动变化的过程中寻求统一.

答案6:

(1) 条理清晰.先由∠BAC=90°, ∠1=60°, 得到∠DAE=30°.自然由等腰三角形的性质“等边对等角”, 得到∠ADE=∠AED=75°, ∠B=∠C=45°.再利用”外角等于不相邻内角的和”, 得到∠2=∠AED-∠C=30°.

(2) 评讲方案:

因为∠BAC=90°, ∠1=60°,

所以∠DAE=30°.

又因为AD=AE,

所以∠ADE=∠AED=75°.

又因为AB=AC,

所以∠B=∠C=45°圯∠2=∠AED-∠C=30°.

(3) 怎么求∠C, 应用∠AED=∠C+∠2.

答案7:

(1) ∠BAC=90°未知, 是学生构想出来的, 想当然!

(2) 因为AD=AE, AB=AC,

所以∠B=∠C, ∠ADE=∠AED.

由∠1=60°, 如何求出∠2?

学会用方程解题, 设∠DAE=x,

(3) 要让学生会用未知数解题, 即用方程思想解几何题.

二、从答题情况看初中数学教师“教解题”的现状

通过对答题情况进行简要分析, 我们不难得出部分初中数学教师“教解题”的现状如下.

1. 部分教师的解题能力较弱.

在问题1的解答中, 有3人出错, 1人认识不准确;在问题2的解答中, 7人中有1人提到了变式, 并且发生了错误, 6人只是给出了解题过程, 其中答案6照抄了原题的过程, 并且7人中没有一人能根据题意要求写出具体的讲评方案, 也就是说没有一人能真正理解题目的要求, 这也进一步印证了部分数学教师阅读意识的缺失和能力偏低的现实;在问题3的解答中, 答案6真是让人感到莫名其妙, 其余6个答案尽管都提到了一些数学的思想或方法, 但是这些答案要么空洞无物, 要么牵强附会.这些事实说明部分教师的解题能力亟待提高.

2. 部分教师“教解题”的意识缺失, “教解题”的能力偏低.

从问题1的解答过程可以发现, 7位参赛者都是直接对学生的做法进行评判, 没有问一问学生为什么这么想;在问题2的解答过程中, 除答案4提到因为角比较多, 所以用方程思想 (姑且不管这种分析是否全对) 而稍作分析, 答案5提出了变式的方法 (尽管其中有些错误) 外, 其余5人只是呈现了自己的解题过程;在问题3的解答中, 只有答案1提及变换题型 (怎么变, 不知道) 让学生体会从特殊到一般的过程, 其他6人均只给出了一些空洞的方法、思想, 看不到总结方法、提炼思想的过程.以上这些事实说明, 部分教师在“教解题”的过程中只是把自己当成一个解题者 (有些还明显不称职, 如答案6的参赛者) , 没有把自己当成一个“教解题”者, 或者说虽意识到了自己是一个“教解题”者, 却又因为缺乏“教解题”的方法而显得力不从心, 所以说部分教师“教解题”的意识和能力都有欠缺.

三、建构初中数学“教解题”的四步程式

基于以上的分析, 我们不难看出, 在当前初中数学教学中, 让教师学会“教解题”是当务之急.那么如何让数学教师学会“教解题”呢?笔者觉得罗增儒教授的“学解题”四步程式值得我们学习借鉴.罗教授根据自己几十年的解题实践得出学解题的四步程式:简单模仿———变式练习———自发领悟———自觉分析.在罗教授的启发下, 我们可以建构出“教解题”的四步程式:典例示范——引导变式 (探究) ———促成顿悟———系统提升.下面笔者就从这四个方面谈谈如何“教解题”.

1. 典例示范.

典例示范是指通过典型例题的解题示范给学生提供简单模仿的机会.值得我们注意的是, 这里的示范不仅仅是文本示范, 更重要的是思维过程的示范.教者在教学过程中要使用有声的思维 (将自己的想法说出来) , 有痕的思考 (将自己的思维路线图画出来) , 必要时还要通过思路探求过程中的心理活动描述等方式暴露解题时的心路历程, 尤其是要暴露从解题失败到解题成功的思维及心理活动过程.这种暴露对提高学生的数学信念尤为重要, 从这个意义上说, 上述7位参赛者的典例示范还只是停留在文本示范阶段.

2. 引导变式 (探究) .

引导变式 (探究) 是指在典例示范之后, 教者要提供或引导学生进行一定量的变式 (探究) , 通过适量变题 (探究) 和解题加深对新知的理解, 形成新的认知结构的雏形.在此题的讲评过程中, 我们至少可以从以下两个方面进行变式:一是变化∠BAD (原题中的∠1) 度数的大小 (不大于∠BAC) , 让学生在数值变化而图形不变的情况下求∠EDC (原题中的∠2) ;二是变化∠BAD (原题中的∠1) 度数的大小 (大于∠BAC) , 让学生在数值变化而图形也变化 (点E、D在相应线段的延长线上) 的情况下求∠EDC (原题中的∠2) .在本次比赛中, 答案1、5、7的参赛者提到了变式训练, 答案5给出了变式的方法, 答案1和答案7没有实质做法, 其余四人没有体现.这说明在日常教学中, 引导变式 (探究) 仍然是部分教师的弱项, 有关变式训练的具体方法这里不再赘述.

3. 促成顿悟.

促成顿悟是指在经过一定量的变式 (探究) 之后, 教者引导学生观察、体悟, 让学生有豁然开朗、恍然大悟的感觉.在这个过程中, 教者的作用就是提供足够的感性材料 (蓄水) 和适当的引导 (挖渠) , 耐心等待学生思维提升的水到渠成.在本例的讲评中, 在引导得出上述变式之后, 教者所要做的就是引导学生观察、体悟这两组变式之间的关系, 让学生领会数量变化之中隐含的不变关系, 理解图形变化之中存在的不变规律.这就要求教者能够有耐心, 静候花开, 切忌越俎代庖, 拔苗助长.在本次比赛中, 只有答案5提到了通过变式“让学生感受∠EDC是否变化”, 其余6个答案看不到教师“蓄水”和“挖渠”的过程, 也就是说, 大部分教师在“教解题”的过程中缺少促成顿悟的意识, 更不用说有促成顿悟的做法了.

4. 系统提升.

系统提升是指经过引导变式、促进顿悟环节之后, 教师对讲评问题从知识、方法、思想等维度进行系统化整理, 加深学生对这一问题的理解, 进而促进知能的整体和横向迁移.例如, 在本例的讲评中, 首先, 教者可从不同题型的解法技巧的角度总结特殊值法, 也可从数学探究常用方法的角度讲述特殊值法的重要作用, 关键是要弄清何时用, 如何用;其次, 教者还可以从两组变式的解题过程中总结出方程思想的重要作用等.通过这样的总结提升, “教解题”就不再是就题论题、一题一招的低效过程了, 而是试题的教学功能被充分挖掘出来, 学生的主动性最大限度地被调动起来的高效益的自主提高过程.在本次比赛中, 我们看到, 除答案6外, 其余6人均提及了数学思想方法的教学, 但是从具体过程来看, 这种思想方法的教学是空洞的, 没有具体的做法, 或者说没有掌握具体的方法.解题教学是数学教学的重中之重, 这一点已得到广大数学教育工作者的认可.但是, 大部分一线初中数学教师“教解题”意识和能力的缺失也是一个不争的事实.本文所反映的情况尽管是一所学校的个案, 但这是一所省重点中学, 所招聘的教师都是相对来说比较优秀的, 并且有着较好的教研氛围.在这样的学校尚且如此, 可见这是一个普遍性的问题.谨以此文引起广大数学教育工作者对如何增强初中数学教师“教解题”的意识, 如何提高初中数学教师“教解题”的能力问题的关注.

关于数学解题教学的几点思考 篇8

一、当前数学解题教学出现的困惑与现状

新课程改革已经实施了几年,在数学解题的教学中,有很大一部分教师认为教材上的例题、习题有的难度偏大,习题的数量很多,新课程增加了很多传统教材没有的内容,课时偏紧,根本没有时间去处理教材上的习题,于是很多教师就放弃一部分,结果学生练习的量不够,导致教学成绩不理想;关于解题教学的另外一个现状是教师在解题教学中重知识而轻能力,重结果而轻过程,不去分析题目所蕴含的数学思想方法,不总结题目的通性通法,偏于技巧.对于通性通法的理解就是学生能想到的方法,而不是教师强加给学生的方法,对于一些题目如果教师用一个很巧的方法,学生可能会理解,但不是通法,这样对学生解题能力的提高是没有任何好处的,要注意高中数学的教学不是去搞竞赛数学,而是大众化的数学,是为学生一生的发展奠定基础.下面举一个案例.

例1 已知tanα=3,求undefined的值.

这是三角函数的知识,考查同角三角函数的基本关系.笔者在教学实践中,经常看到这样的教学方式,就是教师要刻意地把所求的式子转化为一次齐次式,即undefined,可对于学生来说是想不到,但能理解.如果在教学中多关注学生的思维,就会发现,这个题目最基本的解法,也是学生最容易想到的,就是利用tanα=3,得到sinα=3cosα,然后代入所求的式子中得:undefined.在课堂上用这种解法的学生很多,这里体现了一种化归思想.这道题还有一种解法就是分别求出sinα,cosα,再代入原式中求解.当然在解题教学中我们也要提倡一题多解,但这样的一题多解是建立在学生的认知基础上的,而不是把教师的思维强加于学生.在上题的教学中教师可以先让学生思考,是否还有其他解法,让学生自己发现第一种解法,适当的时候教师指导即可,这就是解题教学应注意的.

二、培养学生解题能力的基本途径

1.学会审题

要解决一个数学问题首先必须学会审题,要清楚已知条件是什么,求证什么,或求解什么.在数学例题的教学中,教师应强调审题的重要性,并做出认真审题的示范,教会学生掌握审题的方法,养成认真审题的习惯.学生解题的错误往往是由于没有认真分析题目的已知条件就急于解题造成的,在这样的情况下,教师应抓住学生的这种错误并分析其原因,使学生汲取经验教训.对于一些综合性强的问题,特别是要学会挖掘题目的隐含条件,否则我们根本不可能去解决它.下面用一道高考试题作为例子来进行说明.

例2 △ABC的内角A,B,C的对边长分别为undefined.求B.

笔者在高三的复习中采用了这道题目,做对的学生很少,原因在于没有认真审题,没有挖掘出题目本身隐含的条件.本题考查了两角和的余弦及正弦定理,本题的第一个隐含条件是三角形的内角和为180°,就可以把undefined化为undefined,然后化为undefined,又由b2=ac及正弦定理得,undefined,故undefined或undefined,关键是取哪个值.这里又有第二个隐含条件是b2=ac,b是a,c的等比中项,即a

2.充分利用课本习题进行一题多解的训练,培养学生的发散思维

在新教材中可以进行一题多解的例题很多,习题也很多,教师要让学生跳出题海,可行的办法就是一题多解,把那些具有典型性、启发性的问题作为课堂教学的例题使用,可以起到事半功倍的效果.通过一题多解,可以大大地节省教师在课堂上画图或者抄题的时间,一节课上就讨论一个题目,题目的多种解法就涵盖了数学中的很多知识和数学思想方法,学生学得轻松,也就避免了学生盲目做题,而没有效果的局面.下面举例说明.

例3 一条直线与两条直线l1:2x-y-2=0,l2:x+y+3=0相交,且该直线被夹在已知两条直线之间的线段被点P(3,0)平分,求此直线的方程.

这是平面解析几何初步中的一道习题,题目的条件很少,学生很容易画图解决,但这个题目的解答方法却是很多的,蕴含很深的数学思想,教师可以把它作为直线方程复习课上的一道例题,以达到以点带面的效果.笔者在教学中采用以下的教学方法.

(1)课前准备

复习:直线方程有哪几种形式?各自的适用范围是什么?

问题:(用幻灯片展示上面的例题)试解本题并分析你的解答过程.

由于学生在课前已经对该题进行了思考,因此只给10分钟的时间用于学生书写解答过程,并交流自己的解法.

(2)解决问题,交流解法

学生1:画出图形,设所求的直线与两直线l1,l2分别交于点A(x1,y1),B(x2,y2),因为点P(3,0)是线段AB的中点,由中点坐标公式得:x1+x2=6,y1+y2=0.

又因为点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在直线l1,l2上,所以得到:2x1-y1-2=0,x2+y2+3=0.把以上四个方程联立组成方程组解出点undefined,由点P(3,0)及点A得到直线方程为:8x-y-24=0.

学生2:设所求直线方程为y=k(x-3),其中k是直线的斜率,由所设的直线与已知两条直线组成两个方程组,解出两个交点坐标,再由中点坐标公式建立一个关于斜率k的方程,求出直线的斜率,进而求出直线方程.但解交点坐标较麻烦.

解答过程如下:

解 设所求的直线与两直线l1,l2分别交于点A(x1,y1),B(x2,y2),设所求直线的斜率为k,则所求直线的方程为y=k(x-3),于是:

undefined

由①得undefined,由②得undefined,又由中点坐标公式得y1+y2=0,即undefined,解得k=8.所以,所求直线方程是:8x-y-24=0.

在展示了上面的两种解法以后,教师需要学生说说自己的解题思路是怎样想到的,这样对学生来说不仅是一个只会做的过程,而且还要求学生会说.

教师首先要求学生1说解题思路,然后要求学生说解决这个问题用到了哪些知识,最后说用到了什么数学思想.

学生1:要求直线的方程,需要找到两个点的坐标,而所求直线只知道一个点的坐标,需要解出两个交点中的一个点的坐标即可,于是用列方程组的办法解决.所用的知识是中点坐标公式,是用方程的思想解决问题.

学生2:要求直线的方程就要两个条件,即直线上的一个点及直线的斜率,因此用待定系数法设出直线方程,也是用方程的思想解决.

(3)解题反思,优化解题过程

对于第二种解法,教师要求学生思考是否有不妥的地方.(由于学生的思维不严密,造成学生在设直线方程为斜截式或者点斜式方程时总是忘记考虑直线的斜率不存在的情况,因此教师特意强调这点.)对于这个问题只有极个别的学生提到了要考虑斜率不存在的情况,但至于如何考虑则不清楚,因此教师要加以补充.方法就是通过图形加以判断,或者通过代数运算说明当直线的斜率不存在时,点P(3,0)不可能是中点,然后才用第二种解法.通过对这道题目的解答,学生学会求直线方程的几种方法,还有就是在解题过程中体现了坐标法的思想.既巩固了所学的基础知识,又达到了训练学生思维的目的,

3.在复习课中使用开放型的问题来提高复习效果

开放型的问题由于答案不具有唯一性,可以锻炼学生的思维能力,在设计问题时,要保证所设计的问题尽量覆盖所需要复习的知识.例如在立体几何初步的复习中可以设计这样的题目:给你一个正方体,请你在这个正方体中(可以添加辅助线)尽可能多的找出线线平行、线面平行、面面平行的例子,尽可能多的找出线线垂直,线面垂直、面面垂直的例子;如果这样的问题太过于开放,可以加一些限制条件.又如在直线方程的复习中可以这样:请你任意写出两个点的坐标,然后写出直线方程的各种形式.

数学过程教学的实践与思考 篇9

一、从个体到抽象, 揭示概念的形成过程的教学, 让学生接受知识

任何理性知识都源于感性认识。教学时应尽量多向学生提供必要的直观的感知材料, 也可结合学生平时的生活经验, 让学生在已有感性认识的基础上进行分析、综合、比较, 以认识概念的内涵和外延, 然后用词把它概括标志出来。这是使学生易于理解、掌握概念的一条有效途径。例如, 在引入“全等三角形”这一概念时, 我安排了这样的三个环节:一是看一看, 两张一样的照片, 同一版面的人民币, 国旗上的四个小五星等, 二是想一想, 你觉得每一组图片有怎样的共同点?三是议一议, 由学生对问题进行议论探究。在这个基础上, 再让学生尝试概括出全等形的概念, 从而认识全等三角形的概念, 就会收到水到渠成的效果。

数学概念是一切数学活动家的基础, 也是数学学习的前提和条件, 它直接影响并决定数学学习的效果。教师要充分挖掘教材内容和生活事例, 加强数学概念的教程教学, 提高学生的数学素质。

二、由已知及未知, 重视定理、结论的推导过程的教学

数学是一门逻辑性很强的学科, 反映在知识系统严密、前后连贯性较强, 每个知识点都不是孤立的, 它既是旧知识的发展, 又是新知识的基础。教师要灵活运用“上挂下连”原则, 遵循初中生的认识规律, 引导学生运用类比方法, 在已有知识基础上去推导新的数学结论, 发展学生的学习能力。例如, 在教学“一元一次不等式的解法”时, 可启发学生:我们已学过一元一次方程的解法, 可以先由学生给出一元一次方程的解法, 再用类似的方法解一元一次不等式, 最后再强调不等式的性质与等式的性质的区别。这样教学, 学生不仅容易掌握数学结论, 而且学会了问题的分析和探究的方法。让学生运用已掌握的数学知识和数学方法, 通过自己的思考探究, 推导出新的数学结论, 这不仅能发展学生的思维能力, 而且能培养学生的创新精神。

三、以事例为先导, 传授方法的思考和形成过程的教学

数学方法是在解决实际问题的过程中形成和发展起来的, 它来自于解决总是的需要。根据这个特点, 教学中要善于借用学生熟悉的生活中解决问题的方法, 创设情景, 重视启发, 让学生积极思考、主动寻找, 在比较和迁移中掌握数学方法。例如, 在教学“平面直角坐标系”时, 对于点的坐标的教学, 首先请学生把自己在教室里的座位表述出来, 其次用预先设计好的座位票分发给学生, 请他们找出对应的座位, 最后由学生总结出点坐标的含义, 从而使学生在熟悉的事例中理解了数形结合的数学思想方法, 并掌握了本节课的重点知识。

可见, 我们在重视结果的同时, 应该更重视导致结果的过程, 在数学教学中, 要把导致结论的全部思维过程以具体的事例活生生地展现在学生面前, 使学生得到数学思维能力的培养和熏陶, 从而不断提高学生分析、解决问题的数学能力。

四、设情境促思考, 让学生主动学习发现过程的教学

所谓数学问题的发现过程, 是指把新的数学问题“隐藏”于学生已有的知识结构中, 让学生在教师设置的问题情景中, 通过自身的活动, 自己去发现无法解决的新问题, 从而积极探索背后思路的过程。教师通过创设一定的教学情景, 让学生自己发现问题, 得出认知冲突, 有利于提高学生学习的积极性和主动参与意识, 有利于培养学生探索研究问题的欲望。例如, 在教学“无理数”时, 先请学生画面积为4和面积为25的正方形, 学生由小学的知识很快就画出来了, 接着又设计问题:“谁能画出面积为2的正方形?”立刻调动了学生的学习积极性, 激发了学生的创新意识。学生们时而在桌上比画, 时而在热烈的讨论, 个个兴致勃勃, 课堂气氛相当活跃;在画出图形后又提出问题:“画出的这个正方形的边长是多少?”于是很自然的进入到新的学习内容, 而且学生有了很深刻的认识。

数学的学习就是从发现问题到分析问题再到解决问题的过程的重复, 因此在数学教学过程中设置情境, 促使学生在情境中发现新的问题, 这既能巩固学生原有知识, 又能发展学生新的知识, 还可以培养学生学习数学的兴趣和学习的主动性。

五、从讨论到探究, 揭示规律被发现的过程的教学

在合作中探究, 即教师必须结合探究学习的三个基本特征, 问题性, 过程性和开放性立足于教材, 在师生互动、生生互动的过程中, 让学生动手、动脑、动口, 适度地再现数学家思维活动的过程, 把数学知识的发现、发展过程交给学生, 让学生在合作讨论中探究, 把他们的思维卷入规律再发现的过程。让他们从本质掌握规律。例如, 在学习“三角形内角和”这个内容时, 我首先提出问题:三角形三个内角的和为多少?然后让学生各自动手剪出不同种类的三角形, 要求学生主动去思考解决这个问题。很快许多同学想到了一般性方法:度量法——用量角器分别量出三个角的度数, 再求和, 发现“三角形内角和为180°”这一结论。然后我又进一步提出问题:“如果身边没有量角器, 有没有其它办法得出三个内角的和呢?”并让学生以小组形式讨论解决。这时, 有同学提出了用剪拼的方法, 即把三角形的三个角剪下来, 再拼成一个角, 发现这个大角的两边成一直线, 于是也获得了“三角形内角和为180°”的结论。最后再给出结论。这时不少学生从刚才的操作、讨论和探究的过程中得到启示, 轻松自然地完成了证明过程。

俗话说:“教是为了不教”, 就是要教给学生探求规律和结论的方法, 使他们能在方法的指导下主动去探索、学生数学知识和数学的规律等。重视规律揭示的过程的教学既能培养学生的自学能力, 又能提高他们的创造能力。

数学“绿色课堂”的实践与思考 篇10

一、数学绿色课堂的界定

数学绿色课堂是建立以生命发展为价值追求, 以构建和谐的物质与心理环境为前提, 让师生更富有个性地实现生命、课程、师生、知识、社会多元多向多层次的互动, 不断地开发潜能, 开启智慧, 生成创造, 改善和发展生命, 取得数学素养和生命质量的整体提升.

二、数学绿色课堂的特点

1. 自然维度———自然、本真、浸染.

2. 生命维度———生命、生本、生态.

3. 社会维度———和谐、关爱、欣赏.

4. 思维维度———智慧、生成、探究.

三、数学绿色课堂的实施

1. 教材的创造———深入钻研, 整合创新 (1) 深入钻研, 把握本质, 形成绿色链

首先, 钻研教材要研究知识系统的“绿色链”, 掌握教材总体思路和价值取向, 理清知识脉络及各知识点在整个知识体系中的位置, 挖掘其中所隐含的数学思想方法和数学文化其次, 还要研究每个具体知识点的“绿色链”, 明确该知识点发生、形成、发展、应用的过程.最后, 还要将这些平面的“绿色链”构建成立体的“绿色链”, 全面提高学生的数学素养.

(2) 整合创新, 关注生本, 分析学生起点

数学绿色课堂倡导一切从学生发展出发的观点, 合理开发和创造性地使用教材.在钻研教材时, 不仅要研究知识的逻辑起点, 更要分析学生的经验起点、知识起点、思维起点和情感起点.精心预设, 顺应思维, 让教材最大限度地为学生的发展服务.

2. 环境的构造———贴切适度, 促进学习 (1) 构建课堂物质环境, 清新舒适

数学绿色课堂物质环境的设计理念, 要立足学生学习的最小压力和最大效率.比如教室内物体的颜色、教室的采光等要符合卫生学的要求;课堂教学设施等则要符合工程心理学的要求.师生双方在此皆能以充沛饱满的情绪投入教与学的活动.

(2) 营造课堂心理环境, 情心共融

在数学绿色课堂中, 教师要从思想、情感、意志、能力和性格等方面研究学生的内心需求, 深刻领悟学生心灵世界的广袤和深邃, 孕育出师生间良好的情感状态, 学生才敢向老师、向同学质疑, 达到心与心的对话、情与情的交流、思与思的晤对.

3. 生命的发展———构筑场域, 整体提升 (1) 实践操作, 目标引领

实践操作能化静为动, 变抽象为直观, 益于学生形成清晰的数学概念.数学绿色课堂的操作活动按其性质可分为验证性操作、探究性操作和发展性操作三大类, 而不同类型的操作“生成”的目标是不同的.

(2) 动态生成, 策略导航

数学绿色课堂强调学生自主与交往活动在知识建构过程及发展中具有重要作用.运用合作交流应把握好“三个策略”:一是把握有合作价值内容的策略.二是把握合作学习时机的策略.三是把握合作讨论中“角色定位”的策略.

教师要挖掘教材中隐含的数学思想方法, 根据教学内容的特点通过计算生成新知、方法、策略, 以解决现实的数学问题, 让学生感受到计算的神奇与价值.

学生由于在知识、经验、思维等方面存在差异, 学习中会产生一些认知偏差甚至错误的信息.如果直接否决, 会给学生带来负面效应.因此, 教学中要挖掘出“错误”存在的教学价值, 变学生的错误为促进学生发展的有效资源.

(3) 探究创造, 培养“学习力”

(1) 经历尝试过程, 渗透创新性学习的意识

数学是人类的一种文化, 学生的学习其实是一个再加工、再创造的过程.教学中教师要结合内容的特点, 使学生经历尝试知识的再加工、再创造的过程, 培养学生创新性学习的意识.

(2) 确立探究目标, 凸现创新性学习的方法

波利亚曾说, 学习知识的最佳途径是由自己去发现.因为这种发现理解最深刻, 也容易掌握其中的内在规律、性质和联系.教师要站在培养具有创新精神和实践能力的人才观的高度, 确立探究目标, 让学生带着目标进行探究活动, 在活动中学会发现, 形成方法.

(3) 感悟创造生成, 培植创新性学习的情感

创新性学习情感是滋润创新思维和创新能力的土壤.在数学绿色课堂教学中, 教师要充分考虑到学生是作为一个有情感的人存在于我们的周围, 必须重视学生的情感体验对于学习效果的能动作用, 注意挖掘学生的情感因素, 使学生创新性学习的情感能体现创造的价值.

4. 开放的评价———演绎精彩, 凸现价值

教师与学生“交互式评价”:数学绿色课堂的评价要突出教师与学生的“交互式评价”.教师在评价过程中应与学生平等地对话、自由地交流.既评价学生知识技能的习得, 也评价他们的情感状态、智能的发展;同时也允许学生对教师的教学做客观的评价.

四、数学绿色课堂的反思

1. 数学绿色课堂是先进的教育思想、科学的文化内涵和绿色的教育方法的有机结合.

数学绿色课堂更关注学生的发展, 关注学生的生命价值, 体现了新课程理念.

2. 数学绿色课堂更关注“绿色接力”.智力因素与非智力因素对接, 个体差异性与群体共同性对接, 让学生绿色成长.

3. 数学绿色课堂要重视教学调控.

即调控教学资源、调控学法、调控兴趣、调控反馈等.课堂教学调控得好, 更能有效促进学生的兴趣、意志、态度、情感、价值观的相互作用, 使学生的思维品质与个性心理和谐发展.

重视数学思考 形成解题策略 篇11

针对以上问题，笔者认为在小学数学解决问题教学中要重视数学思考，引导学生逐步形成解题策略，从而提高学生解决问题的能力。

一、 明确传统应用题教学与当前解决问题教学的区别，确立解决实际问题的教学目标

传统应用题教学存在很多问题：从应用题本身来看，题材封闭，脱离学生的生活实际，人为编造的痕迹过重。从应用题的教学过程看，教师不注意充分利用学生已有的经验来分析数量关系，形成解题思路的过程机械刻板，抑制了学生个性的发展，不利于培养学生的创新意识。从练习过程看，教材按类型编排习题，要求学生进行大量机械的、模式化的练习，在练习中熟练地掌握某一类型应用题的解题方法。

因此，解决实际问题的教学要改变传统应用题的内容和呈现方式，更要创新传统应用题的教学方式。但是，我们不能否认传统应用题教学中有许多值得借鉴的优势。如重视引导学生分析数量关系，形成解题思路，循序渐进地教学分析数量关系的方法（分析法和综合法，画线段图的方法，摘录条件和问题的方法等）。这些优势其实也是解决实际问题教学的关键，即教师在解决实际问题的教学中应该着力引导学生进行数学思考，掌握分析和解决实际问题的方法。解决实际问题的教学目标主要有：培养学生从身边的客观环境中提取数学结构的能力；促进学生理解和掌握常见的数量关系，体验数量之间是相互影响、相互依存的，形成解决问题的一些思路和基本策略，体会策略的多样性；使学生在解决日常生活或其他学科具体问题的过程中，进一步理解运算的意义，掌握运算的方法和技巧。

学生对解决实际问题策略的认识和掌握不能仅仅停留在经验层面。教学时，教师应在充分激活学生已有知识经驗和生活经验的基础上，有意识地引导学生对源于经验认知的各种方法进行比较、分析，构建数学模型，逐步形成解决问题的策略，提高解决实际问题的能力。

抓住四则运算的意义。四则运算的意义本质上就是“分”与“合”。加法和乘法都是“合”，加法是不同数的合，乘法是相同数的合；减法和除法都是“分”，减法是从和中分出一部分求另一部分，除法是把总数分成相同的数。教学时，在学生利用生活经验解决实际问题之后，教师就可以有意识地让学生体会上述四则运算意义的本质。

三、在解决实际问题的教学过程中，要充分发挥数学思考的作用

1创设合理的情境，运用数学思维提出有价值的数学问题。引导学生提出有价值的题比解决问题更为重要。，教学中要培养学生带着问题观察思考的习惯，观察结束后不要急于提问，要给学生留出足够的思考和质疑的时间。学生通过组内讨论，集体研究后提出有价值的问题，自然会使课堂研究的氛围变得生动起来。鼓励学生提出问题，实际上是在极力唤醒学生心灵深处蕴藏着的探索的冲动，培养学生敢于质疑的个性。提出问题和解决问题的要求是不同的，但两者有一个共同的关键，那就是要能组合问题中提供的相关信息。只有认识到信息之间的联系，才能提出一个合理的数学问题。教师在学生提出问题后，要让学生说说问题是根据哪些信息提出来的，怎样想到这个问题的，逐步引导学生学会提问。还应引导学生比较这些问题，哪些是符合要求的，哪些是有新意的，从而引导学生学会提出有价值的问题。

数学解题的实践与思考 篇12

关键词：高中数学,函数单调性,解题方法

据有效数据显示,近年来高考针对数学科目的考察当中有关函数知识的内容正在逐年增加,这说明高中阶段函数知识的学习是非常重要的. 函数单调性的知识在整个函数考察内容当中占有非常重要的比例,考察的侧重点和题型多种多样,因此, 高中数学教师在进行函数知识的讲解过程中应注重帮助学生深入掌握函数单调性含义,才能够提高学生灵活应对各种题型的能力,同时还要在解题过程中综合运用多种方法进行讲解.

一、关于函数单调性教学思考

1.分析教材

高中知识对函数单调性的安排位于函数概念知识的介绍之后,它主要研究函数值在自变量不断发生变化的过程中所产生的变化,这一点上,它与函数的周期性及奇偶性具有一定的相似之处. 只有将函数单调性的知识进行扎实的掌握才能够更好的学习导数和不等式等知识. 函数单调性知识的学习有助于学生逻辑和抽象思维的培养.

高中教材在安排函数单调性知识的过程中,首先以一次和二次函数作为开端,通过将两者之间随着自变量x的变化导致的函数值y的变化来观察其规律,通过了解单调性在二次函数中的体现来推断出一般函数的单调性概念[1].

2.教学思路

作为一个抽象的概念,函数的单调性是一个非常形式化的含义,高中阶段进行函数单调性的教学,能够很好的培养学生数形结合的思维,同时对于学生养成类比和概括等解决问题的方法具有重要的意义. 通过运用图像的方法来进行教学,能够更好的帮助学生理解和记忆函数的单调性知识的由来和应用, 在理解知识表层意识的基础上更加深入的理解知识背后的本质内容,这种教学方法能够有效摆脱传统教学当中机械记忆的弊端.

在进行高中函数单调性教学的过程中,教师首先应该从学生观察到的具体现象来入手,进行引导和讲解. 首先建立相关情境,让学生自主画出随着自变量的变化,函数值进行变化产生的图像,并引导学生通过观察,自己总结出函数单调性的概念; 其次,当学生建立起了对于函数单调性知识的初步认知后,教师应该让学生开始重点体会函数单调性变化的整个过程,通过自变量值的变化所引起的函数值的变化过程都要由学生亲身参与进行总结,加深学生对于函数单调性含义的理解[2].

二、正确运用函数单调性概念

1.函数单调性的概念

f( x) 为假设函数,x为定义域,且当x∈S时该函数成立,设x1和x2是区间W中任意的两个自变量,且W∈S,如果x1小于x2,那么f( x1) 大于f( x2) ,则说明在区间W当中函数f( x) 为单调递减函数; 反之,如果f( x1) 小于f( x2) ,则说明在区间W当中函数f( x) 为单调递增函数. 在研究函数单调性的过程中,如果没有给出明确的单调区间,该函数是不存在说明意义的[3].

2.有效应用函数单调性概念进行解题

当a不等于零时,给出f( x) = a/x + b为假定函数,将该假定函数的单调区间进行判断并写出其单调性.

解答: 由题可知,x不等于零,因此假定函数f( x) 的定义域是负无穷到零与零到正无穷的并集.

当a > 0时,当函数f( x) 的自变量x1和x2在负无穷到零这一区间之内时,假设x1大于x2,那么我们可以得出f( x) = f( x1) - f( x2) = a/x1- a / x2= a( x2- x1) /x1x2,并且零小于x1x2,x1大于x2,因此可以得出f( x) = f( x1) - f( x2) 小于零,也就说明f ( x2) 大于f( x1) ,所以我们可以得出结论在负无穷到零这一区间之内假定函数f( x) 是单调递减的,同样的,在零到正无穷这一区间当中函数f( x) 是单调递减的. 同理a < 0.

三、运用函数单调性进行解题的方法

高中阶段对于函数单调性的教学中,主要研究了它的定义、 导数、复合函数和图像,并结合研究,给出了相关解题方法.

1.运用定义进行解题的方法

首先,将自变量x1和x2作为某一单调区间当中的两个任意数; 其次,将函数值f( x1) 和f( x2) 进行对比,确定两者之间的大小关系; 最后,在严格遵守函数单调性概念的前提下,将单调区间进行确定,得出结论[4].

2.导数知识在解决函数单调性问题过程中的应用

假设D为某设定的区间,在该区间当中,如果函数f( x) 是可导的,并且f '( x) 等于零,则说明函数f( x) 为常函数. 当f( x) 为增函数时,其导数f '( x) 大于零; 当f( x) 为减函数时,其导数f '( x) 小于零.

相同的,假设D为某设定的区间,在该区间当中,如果函数f( x) 是可导的,如果该函数在区间D当中是减函数,那么它的导数一定小于等于零; 如果该函数是增函数,那么它的导数一定大于等于零. 经过这一系列研究之后,我们在判断函数的单调性的过程中就可以简单的以该函数的导数与零之间的关系来进行判定了. 当求出一个函数的导数值之后再进行判断函数的单调性就会将复杂的问题变得简单化. 这一方法,适用于在进行含参函数和高次函数的单调性求值时使用,它能够有效的将复杂的问题进行简单化.

3.复合函数在解决函数单调性问题过程中的应用

在高中的函数知识当中,将函数y = f( t) 与函数t = g( x) 相结合,就能够得到函数y = f( g( x) ) ,这是一个由内层函数t = g ( x) 与外层函数y = f( t) 组合而成的复合函数. 在判断这样一个复合函数的单调性的过程中,我们可以根据内外层函数的单调性来确定,经过推理,当复合函数是递减函数的时候,则说明内外层函数的单调性是不一样的,与之相反的,如果复合函数是递增函数的时候,则说明内外层函数的单调性是一致的.

4.函数图像在解决函数单调性问题过程中的应用

函数图像是解决函数问题中最常用的方法,学生对函数的图像进行观察,能够得到更直接的感受,在解题过程中通过数形结合的方法能够使问题变得更加简单直观. 通过观察函数的图像,我们能够看到当自变量不断变大的时候,在这一区间当中该函数的函数值是不断增加的,那么说明该函数在该区间内单调递增,相反的,如果自变量不断增大的时候,在这一区间当中该函数的函数值是不断减小的,那么说明该函数在该区间内单调递减.

高中数学教师在进行函数单调性教学的过程中,不仅可以让学生掌握一般函数的单调性及其求取方法,还可以引导学生记住几个特殊函数的单调性和图像,例如,f( x) = x + 1 /x,f( x) = x - 1 / x等.

同时,在判断函数单调性的过程中还可以通过观察函数图像的奇偶性的方法来进行. 以原点为中心,关于原点对称的区间内该函数的单调性相同时则说明该函数是奇函数; 如果关于原点对称的区间内该函数的单调性相反,则说明该函数是偶函数.