数学开放题的解题策略

2024-11-06

数学开放题的解题策略（共5篇）

数学开放题的解题策略篇1

素质教育注重学生思维的扩展和能力的培养, 对初中数学而言, 与素质教育相对应的创新是开放题的出现, 此类题目对于学生的基础知识、思维能力等都有较高的要求, 探究此类题目的解题技巧, 不仅能培养、提高学生的思维能力, 对于提升学生对初中数学中常规题目的解题技巧也有很大的帮助。

一、什么是数学开放题

数学开放题, 其实就是开放性的数学问题, 开放性问题最大的特点就是答案不唯一, 促使学生发散思维, 多方面的思考问题。因为初中生对于数学知识的学习相对较少, 深度也相对较浅, 所以初中数学开放题还是有一定的限制的, 初中数学开放题一般是这样定义的: 问题的条件设置不完整, 或者是其可以得出多种的结论, 即结论具有不确定性, 需要学生运用所学的知识, 进行观察、分析、猜想, 从而能够完善问题条件或得出确定的结论。

二、数学开放题的特点

数学开放题作为应国家素质教育而生的产物, 其对学生对于知识运用的熟练程度和学生思维能力的要求很高。数学开放题具有新颖性、多样性、发散性等特点。特别是多样性, 数学开放题存在着由易到难的各种各样的题目, 其可以考察的知识点也很多, 像是函数、几何、方程等, 这些都是可以设计数学开放题的知识点内容。简单的函数方面的数学开放题: 写出一个图像经过点 ( -1, 1) 的函数关系式。这道问题看似简单, 但是其以小见大, 考察了学生关于函数知识的问题, 这个题目学生的答案可以是一次函数、二次函数或是反比例函数等。

三、把握数学开放题的常见类型

由于初中生对于数学学习的知识面还不够宽泛, 深度也相对较浅, 分析其特点, 初中数学开放题大都分为两类, 一类是条件不完整的条件开放类, 另一类是结论不具确定性、唯一性的结论开放类。

条件开放类, 条件开放类的数学开放题在出题时, 往往会给出确定的结论和不完整的条件, 此类题目需要学生分析可以得出此结论的条件, 但是此条件还要受到其他已给出的条件的限制。此类问题要求学生具有逆向思维的能力, 善于探索。如在多项式1 + 4x2中添加一个单项式, 使这个多项式成为一个完全平方式。这个题目就是典型的条件开放类的数学开放题。

结论开放类, 结论开放类的数学开放题在出题时, 会让学生根据已给出的条件, 写出符合条件的结论, 通常这个结论都是不确定的、不唯一的, 学生给出的答案也是多种多样的。此类问题考察的是学生对于知识掌握的熟练程度和其发散性的思维能力, 像上文有关函数的数学开放题, 就是一道结论开放类的数学开放题。

四、数学开放题的教学方法

针对数学开放题新颖性的特点, 我们要从数学开放题的基本出发, 使学生认识、了解此类题目, 把握此类题目的解题规律。教师在教学过程中, 要首先为学生分析此类题目, 使学生充分认识、了解此类新的题型, 才能在以后的教学中培养学生的思维能力, 提升初中数学开放题的解题技巧。

数学开放题涉及知识点的范围较广, 综合性较强。教师在教学过程中, 要注意锻炼学生对于知识点的熟练运用, 但是, 对于单一知识点的掌握是不能满足数学开放题的解决条件。综合性知识的掌握和运用, 才能满足数学开放题解决的基本条件, 在满足这一条件的基础上, 分析题目, 对涉及的知识归纳简化, 然后再进行探索证明, 从而为解决数学开放题奠定基础。

数学开放题还具有发散性的特点, 针对这一特点, 教师就要注意在日常的教学训练、培养学生多方面思考的习惯和能力, 才能适应和习惯数学开放题, 提升自身对于初中数学开放题的解题技巧。例如, 上文所提到的“在多项式1 + 4x2中添加一个单项式, 使这个多项式成为一个完全平方式。”这个题目考察的是完全平方式a2±2ab + b2= ( a±b) 2, 所添加的单项式可以是多项式中的首项、中间项或是末项, 学生可以根据平方式公式的中间项2ab来直接判断, 从而得出结论。

五、数学开放题的解题技巧

对于条件开放类的数学开放题, 像上文所述, 此类题目一般都是给定结论, 通过结论来让学生探索应给与的条件。此类题目通常都是从结论出发, 逆袭思考问题, 假设、猜测出条件, 得出条件后一定要对题目中的结论进行验证, 验证所假设的条件是否正确。此类题目通常简单, 但“陷阱”较多, 学生做此类题目时一定要仔细, 切不可因为题目的简单而掉以轻心, 把应得的分丢掉。

对于结论开放类的数学开放题, 由于条件都已给出, 学生可根据常规题目的做法, 由给出的条件开始探究, 逐步得出结论, 由于结论通常都是不确定的、不唯一的, 探究过程中必然存在假设, 所以在得出最后结论时, 一定要再次从条件开始验证, 保证结论符合条件。

解题方法多样的数学开放题, 此类数学开放题的思考方式和解题方法是多样的, 也就是通常所说的“一题多解”, 对于此类题目, 切忌以课本内容生搬硬套, 学生在解题时要注意灵活性, 要积极思考, 敢于大胆创新。

类别类的数学开放题, 此类数学开放题通常需要根据已给的结论得出新的所需的结论。这类题目还是出现过的, 比如, “已知等边△ABC和点P, 设点P到△ABC三边的距离分别为h 1 、h 2 、h 3 , △ABC的高为h。此时, 若点P是AB上的点, 此时h 1 = 0, 可得结论h 1 + h 2 + h 3 = h。利用这一结论, 试着解决: 当点P在△ABC内, 点P在△ABC外两种情况时, 结论是否还成立? 若成立, 请给予证明; 若不成立, 那么h 1 、h 2 、h 3 与h的关系又如何呢? ( 不需证明) 。”

再一类就是归纳型的数学开放题, 这类题目要根据已有的规律探讨最终的结论。这类题目多运用的是数学数列知识, 这一知识点为高中所需要学习的知识内容, 教师可根据班级学生的具体情况进行讲解。

上述几类是特殊数学开放题中已出现过的问题, 但是初中数学开放题绝不是只有这几种, 具体的题目还需教师根据实际情况分析, 本文就不再多做介绍了。

六、数学开放题的价值和意义

数学开放题新颖性、多样性和发散性的特点, 对培养、提高学生的发散性思考和思维能力有很大的帮助, 其应教育改革而生, 对提高学生素质, 培养学生能力也具有一定的实际意义。数学开放题运用的知识点范围广, 可以促进学生对于知识点的熟练掌握, 锻炼学生在解决具体题目时对所学知识内容的归纳简化, 同时也可以让学生接触到更高层次的数学知识内容, 对学生以后的数学学习奠定一定的基础。

教师也可以在数学开放题的教学过程中, 提高自己的教学水平, 丰富自身的教学经验, 使得教师和学生共同成长、进步。

参考文献

[1]张凤云.中国教育创新.2010.

[2]殷惠琴.初中数学开放题教学初探[J].文理导航 (下旬) , 2012, (07) .

[3]郜昌民.初中数学开放题教学策略举隅[J].新课程研究, 2010, (07) .

[4]义务教育数学课程标准[M].北京:北京师范大学出版社, 2012.

[5]张奠宙, 宋乃庆.数学教学概论 (第二版) [M].北京:高等教育出版社, 2009.

数学开放题的教学策略篇2

【关键词】数学开放题教学探究

【中图分类号】G【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）06B-0117-01

开放题具有三个特点：结论的多样性、条件的完备性以及解题策略的多角度性。基于数学三维课程目标，为强化学生知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观，数学应该重视开放题的教学。

一、开而不散，培养能力

开放题并不存在思维和解题方法的随意性、任意性，而是指题目条件不充分、也没有确定的结论，如此引出解题方法、解题思路、得出结论开放的问题。实施开放题教学应该制定科学的教学程序、教学方法，引导学生循序渐进、由浅入深，不断掌握知识与方法。通过创设实际情境、问题情境、实验情境、故事情境等，引导学生创设数学模型，展开猜想、假设与验证的整个学习过程。以问题为中心，站在不同角度进行思维发散、互助交流、探究实践，强化学生知识与能力。

例如，“如何判定两三角形相似”这一问题，教师引导学生由“全等三角形”进行类比推理，鼓励学生展开开放题探究过程。学生从不同角度入手，站在边与角的不同层面进行分析，结合已有认知基础，实施互助交流、探索实践、总结分析。结合全等与相似的定义，分析出全等是大小和形状都相等，而相似是在形状上相等，而大小可以不等。通过围绕问题展开条件假设、猜想验证，结合全等三角形判定的SSS、SAS、AAS、ASA、HL这五种判定方案，得出两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应平行、三边对应成比例等情况下，两个三角形相似的结论。在开放题解决过程中，通过引导学生思维发散，自主思考、类比分析、综合总结，强化学生思维能力与科学素养，在学习过程中，始终坚持以学生为本，不断培养学生自学能力。

二、注重过程，强化讨论

开放题教学需要重视学生的合作交流、互助探究过程，以小组合作学习形式展开学习，鼓励思维发散、优势互补、相互补充与完善。开放题教学对学生能力的培养也是漫长的过程，教师不能只关注现阶段学生是否能提供完善而正确的答案，应该注重学生在分析理解、寻找思路、制定方案、归纳总结过程中是否能独立思考、相互交流、实践探究与拓展分析。鼓励全体学生都参与到思考与讨论过程中来，站在不同的角度、不同的方面分析、思考、猜想、验证，发散学生思维，培养学生创新能力与交流合作能力。

例如，对于“ax2+bx+c=0”这一方程根的解，教师引导学生站在开放题角度分析问题，重视讨论过程，引导学生全面讨论。首先分析若a=0，则为一元一次方程，而a=0，b=0且c≠0时，无解；a=0，b≠0时方程为一元一次方程，有一根x=-c/b；a≠0，方程为一元二次方程，方程根与△=b2-4ac有关，若△<0则无解；若△=0，则有同一解；若△>0则有两个不同解。同时，对于一元二次方程解决实际问题时，应该结合实际情况，理清定义域，划分x的取值范围，并讨论解的可用性，由此得出正确的答案。对于开放题的解答，要重视过程分析，强化细致讨论，理清思路、找准方向、合理分析、綜合归纳，通过猜想、验证、总结，得出正确答案。开放题教学需要重视学生讨论过程，不断完善学生知识体系与思维能力，提升学生数学科学素养。

三、及时总结，发现规律

开放题进入尾声阶段，学生在教师引导下已经运用了各种解题思路与解题策略，结论也呼之欲出，此时，教师引导学生进行总结与归纳，发现知识内在规律，并实施拓展实践。总结是开放题教学画龙点睛的环节，应该对同类型问题进行定义、方案分析，以及解题思路、思考模式、注意事项的归纳，得出规律，并分析实际应用中如何应对该类型问题。教师对学生总结过程进行点评，查漏补缺，引导学生掌握数学思想与方法。

例如，学习“有理数”相关知识，教师设计“翻牌游戏中的数学道理”开放题探究活动。结合开放的条件，引导学生总结规律。“设正面向上为1，反面向上为-1，若开始有奇数（偶数）张牌正面向上，每次翻动奇数（偶数）张牌，一直下去会不会出现所有牌反面向上？”针对这类型开放题，在学生交流合作、深入探究以后，教师引导学生从不同条件进行总结归纳。学生发现，翻奇数次即为乘以-1，翻偶数次即为乘以1，那么奇数张正面向上为1，到全部反面向上即为-1，由这些知识可以得出如下规律“奇奇、偶偶、偶奇组合下可能出现全部反面向上，只有奇偶时不能”。将数学知识应用到实际问题中，灵活转换思维，巧妙变通，体验数学思维与方法，并由及时总结，强化学生思维能力，提升综合能力。

在数学开放题教学过程中，需要注重开而不散、科学安排、注重过程、及时总结等教学指导方案，通过坚持主体性原则、过程性原则、示范性原则、开放性原则，展开以学生为主体、重视学生学习与交流过程、强化教师示范引导、开放学生思维与方法的开放题学习过程。开放题教学始终以新课改教学理念为依托，结合数学本质，实施综合性、开放性与发散性数学学习活动，引导学生获得数学知识与方法，强化学生基础能力、创新能力与实践探究能力。

中考数学综合题的解题策略篇3

数学问题中的条件有明有暗, 明者易于发现, 便于应用;暗者则隐含于有关概念、知识的内涵之中, 因忽视隐含条件而造成解题失败的案例屡见不鲜.因此在解题教学中, 教师必须引导学生分析隐含条件所反映的形式, 使其掌握挖掘各种形式的隐含条件的途径, 以提高学生的解题能力.如一元二次方程ax2+bx+c=0中的a≠0, 零指数幂a0中底数a≠0, 等等.解题时如果不注意这类隐含条件, 就会产生错误.反之, 则能产生事半功倍的教学效果.

例1 (2007年杭州) 在直角梯形ABCD中, ∠C=90°, 高CD=6cm (如图1) , 动点P, Q同时从点B出发, 点P沿BA, AD, DC运动到点C停止, 点Q沿BC运动到点C停止, 两点运动时的速度都是1cm/s.而当点P到达点A时, 点Q正好到达点C.设P, Q同时从点B出发, 经过的时间为t (s) 时, △BPQ的面积为y (cm2) (如图2) .分别以t, y为横、纵坐标建立直角坐标系, 已知点P在AD边上从A到D运动时, y与t的函数图象是图3中的线段MN.

(1) 分别求出梯形中BA, AD的长度;

(2) 写出图3中M, N两点的坐标;

(3) 分别写出点P在BA边上和DC边上运动时, y与t的函数关系式 (注明自变量的取值范围) , 并在图3中补全整个运动中关于y的函数关系的大致图象.

分析本题借助质点在平面图形上的运动, 沟通了几何问题与代数问题的联系, 学生必须在阅读理解质点的运动方式的前提下解决问题, 而解决问题的关键又在于理解图象中线段MN的几何意义.然后应用数形结合的思想, 使面积、方程、函数有机结合与转化, 最后通过画大致图象, 使学生对用数学的方式描述运动现象得以深刻地理解.

解 (1) 设动点出发t秒后, 点P到达点A, 且点Q正好到达点C时, BC=BA=t, 则

把分析法和综合法结合起来思考问题, 先从条件出发, 使用综合法, 把条件展开;再从结论出发, 找使结论成立的条件, 即用分析法.这样, 同时展开条件和结论, 其结果在中间相遇, 则题目可获解答.其思考的一般模式是:从已知到可知, 从未知到需知, 实现已知与未知的沟通, 问题便获解决.

二、驾简驭繁巧突破, 引申推广显奇效

例2 (2006年常州) 如图4, 在平面直角坐标系中, 以坐标原点O为圆心, 2为半径画⊙O, P是⊙O上一动点, 且P在第一象限内, 过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A, 与y轴相交于点B.

(1) 点P在运动时, 线段AB的长度也在发生变化, 请写出线段AB长度的最小值, 并说明理由;

(2) 在⊙O上是否存在一点Q, 使得以Q, O, A, P为顶点的四边形是平行四边形?若存在, 请求出P点的坐标;若不存在, 请说明理由.

分析: (1) 因为P点是切点, 所以无论线AB发生怎样的变化.圆心O到直线B的距离始终为OP.抓住这一点, 易线段AB长度的最小值;

(2) 要注意以Q、O、A、P为顶点的平行四边形有三种可能, 但只有两种可能符合条件.

解 (1) 线段AB长度的最小值为4.理由如下:连接OP, 因为AB切⊙O于P, 所以OP⊥AB, 取AB的中点C, 则AB=2OC.当OC=OP时, OC最短, 即AB最短, 此时AB=4;

(2) 设存在符合条件的点Q, 如图5, 设四边形APOQ为平行四边形, 则四边形APOQ为矩形, 又因为OP=OQ, 所以四边形APOQ为正方形, 所以OQ=QA, ∠QOA=45°.在Rt△OQA中, 根据OQ=2, ∠QOA=45°, 得Q点坐标为

如图6, 设四边形APQO为平行四边形, 因为OQ//PA, ∠APO=90°, 所以∠POQ=90°, 又因为OP=OQ, 所以∠PQO=45°, 因为PQ//OA, 所以PQ⊥y轴.设PQ⊥y轴于点H, 在Rt△OHQ中, 根据OQ=2, ∠HQO=45°, 得Q点坐标为:

例3 (2006年江西) 问题背景:某课外学习小组在一次学习研讨中, 得到如下两个命题:

如图7, 在正三角形ABC中, M, N分别是AC, AB上的点, BM与CN相交于点O, 若∠BON=60°, 则BM=CN.

如图8, 在正方形ABCD中, M, N分别是CD, AD上的点, BM与CN相交于点O, 若∠BON=90°, 则BM=CN.

然后运用类比的思想提出了如下的命题:

如图9, 在正五边形ABCDE中, M, N分别是CD, DE上的点, BM与CN相交于点O, 若∠BON=108°, 则BM=CN.

任务要求:

(1) 请你从 (1) 、 (2) 、 (3) 三个命题中选择一个进行证明;

(2) 请你继续完成下面的探索:

如图10, 在正n (n≥3) 边形ABCDEF…中, M, N分别是CD, DE上的点, BM与CN相交于点O, 问当∠BON等于多少度时, 结论BM=CN成立? (不要求证明)

如图11, 在五边形ABCDE中, M, N分别是DE, AE上的点, BM与CN相交于点O, 当∠BON=108°时, 请问结论BM=CN是否还成立?若成立, 请给予证明;若不成立, 请说明理由.

解 (1) 命题 (1) 证明:在图12中, 因为∠BON=60°, 所以, ∠CBM+∠BCN=60°.因为∠BCN+∠ACN=60°, 所以∠CBM=∠CAN.

又因为BC=CA, ∠BCM=∠CAN=60°, 所以△BCM≌△CAN, 所以BM=CN.

因为∠BCN+∠DCN=90°, 所以∠CBM=∠DCN.又因为BC=CD, ∠BCM=∠CDN=90°, 所以△BCM≌△CDN, 所以BM=CN.

(2) (1) 当∠BON=60°时, 结论BM=CN成立.

(2) BM=CN成立.

证明如图15, 连接BD, CE.在△BCD和△CDE中,

因为BC=CD, ∠BCD=∠CDE=108°, CD=DE, 所以△BCD≌△CDE.

所以BD=CE, ∠BDC=∠CED, ∠DBC=∠ECD.

因为∠OBC+∠OCB=108°, ∠OCB+∠OCD=108°, 所以∠MBC=∠NCD.

又因为∠DBC=∠ECD=36°, 所以∠DBM=∠ECN, 所以△BDM≌△ECN.

本题是一道非常典型的几何探究题, 很好地体现了从一般到特殊的数学思想方法, 引导学生渐渐地从易到难, 是新课标形势下的成熟的压轴题.

三、精心构造辅助元, 转换角度细思考

例4% (2006年安徽) 如图16, 凸四边形ABCD, 如果点P满足∠APD=∠APB=α.且∠BPC=∠CPD=β, 则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.

(1) 在图18的正方形ABCD内画一个半等角点P, 且满足α≠β.

(2) 在图19的四边形ABCD中画出一个半等角点P, 保留画图痕迹 (不需写出画法) .

(3) 若四边形ABCD有两个半等点P1, P2 (如图17) , 证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点.

分析本题既是对初中平面几何知识的全面考查, 又是对学生学习能力的考查.本题从阅读 (学习) 能力、作图能力、探究能力、逻辑推理能力等方面对学生进行了全面的考查, 是一道很好的题.第 (1) 问由正方形内的半等角点引入, 意在引导学生由浅入深向第 (2) 、 (3) 问过渡, 安排合理, 为学生的探究铺路.

例5 (2007年荆门) 如图20, 在平面直角坐标系中, 有一张矩形纸片OABC, 已知O (0, 0) , A (4, 0) , C (0, 3) , 点P是OA边上的动点 (与点O, A不重合) .现将△PAB沿PB翻折, 得到△PDB, 再在OC边选取适当的点E, 将△POE沿PE翻折, 得到△PFE, 并使直线PD, PF重合.

(1) 设P (x, 0) , E (0, y) , 求y关于x的函数关系式, 并求y的最大值;

(2) 如图21, 若翻折后点D落在BC边上, 求过点P, B, F的抛物线的函数关系式;

(3) 在 (2) 的情况下, 在该抛物线上是否存在点Q, 使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形?若不存在, 说明理由;若存在, 求出点Q的坐标.

分析本题是一道独具匠心的好题, 试题以坐标纸折叠为背景, 考查了图形变换思想, 及探求图形变化规律的能力.

解 (1) 由已知PB平分∠ADP, PE平分∠OPF, 且PD, PF重合, 则∠BPF=90°.所以∠OPE+∠APB=90°又∠APB+∠ABP=90°, 所以∠OPE=∠PBA.所以Rt△POE∽Rt△BPA.

且当x=2时, y有最大值31. (2) 由已知, △PAB, △POE均为等腰三角形, 可得P (1, 0) , E (0, 1) , B (4, 3) .

(3) 由 (2) 知∠EPB=90°, 即点Q与点B重合时满足条件.直线PB为y=x-1, 与y轴交于点 (0, -1) .

将PB向上平移2个单位则过点E (0, 1) ,

故该抛物线上存在两点Q1 (4, 3) 、Q2 (5, 6) 满足条件.

四、承上启下层递进, 融会贯通重整体

例6 (2007年四川) 如图22, 已知抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A, B两点, 与y轴交于C点, 经过A, B, C三点的圆的圆心M (1, m) 恰好在此抛物线的对称轴上, ⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于D, 抛物线的顶点为E.

(1) 求m的值及抛物线的解析式;

(2) 设∠DBC=α, ∠CBE=β, 求sin (a-β) 的值;

(3) 探究坐标轴上是否存在点P, 使得以P, A, C为顶点的三角形与△BCE相似?若存在, 请指出点P的位置, 并直接写出点P的坐标;若不存在, 请说明理由.

分析本题是一道融代数与几何、运算与推理于一体的探索型综合题, 涉及的知识有:图形的对称、函数的解析式、直线与圆的位置关系、与圆有关的比例线段、三角形相似的判定与性能、变量间的对应关系等;涉及的数学思想有:变换思想、方程与函数思想、数形结合思想、转化与归纳等.本题设计新颖, 思维严谨, 对考生的思维品质具有较高的考查功能, 是一道较为成功的中考压轴题.

(2) 由 (1) 得A (-1, 0) , E (1, -4) , D (0, 1) .

(3) 显然Rt△COA∽Rt△BCE, 此时点P1 (0, 0) .

过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2, 由Rt△CAP2∽Rt△BCE, 得P2.

过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3, 由Rt△P3CA∽Rt△BCE, 得P3 (9, 0) .

数学开放题的解题策略篇4

这是一节高三第一次模拟考试前一天的复习课,之前的知识专题已经结束,若开新专题,没有时间巩固,甚至可能没讲完就要草草收工参加模考,所以我选择了上一堂解题策略指导课。由于平时积累了一些资料,我把其中关于填空题指导的文章通看了一遍,最终确定了上课思路。这节课我预设三种策略:直接法,特例法,数形结合法。其中直接法和数形结合法平时讲得较多,所以我把重点放在特例法的讲解上。在这一部分,我精心选题,在不等式、函数、三角、数列、解析几何、立体几何、复数向量各个主干知识点上各选一题,从不同角度设置特例法的应用背景,有些题型学生做过的,有些是他们很少碰到的,我预备让学生在放电影式的回忆时又有一些新的涉猎,至于前面直接法和后面的数形结合法,我分别针对基础薄弱的学生和基础较好的学生选择前易后难的题目。同时,我在教学方法上也花了一些心思,大致流程是这样的,先预设一篇阅读文章系统介绍填空题这种题型的特点,让学生站得更高看得更远,消除学生对题型本身的陌生感和恐惧感,然后呈现框架:策略一:例题三个;策略二:例题八个;策略三:例题四个;最后小结解题规范,一张讲学稿的雏形就出来了。如果是平时这张讲学稿已经可以投入使用了,但是这次我仍不满足,是否需要都由我来讲呢?我坚信学生的头脑更灵活只要稍加点拨,他们是可以触类旁通的。于是我在每个例题后面加了让学生举例一项,希望把舞台让给他们。

当我把完整的讲学稿写出来请同组教师共同研究时,他们都说这节课最大的亮点就是让学生举例,并且还善意地提醒我充分备学生,尤其是如果学生举的例子太难该如何点评,如何解决,这对于教师的解题能力、应变能力是一个考验,为了以防万一,我把讲学稿提前一天发了下去,上课之前又收了上来,对学生所举的例子先看了一遍,并选了一些较典型的例子作为提问对象,这样万事具备,只欠东风。

由于准备充分,上课时我挥洒自如,文思不断。开场导入我用“拣了一个西瓜丢了一袋芝麻”来比喻最近只训练解答题而忽视填空题的做法。课上还时不时表扬学生会编题:“你都可以做老师了。”“灵感来自于实力。”引导学生改进解题方法:“要优化思维哦。”“温故而知新。”等等。当我看到学生眼中焕发出光彩时,我体会出了王金战的至理名言:所谓幽默是指剩余的智慧,只有当你成竹在胸,你才能施展出你的幽默。但是上课还有一位学生举了我意料之外的例子,这位学生故意不用讲学稿上自己写的例子,而临时举了一个更妙的题,这是我备课时未能预设的,但生成得却是那么自然。一堂课下来,不仅是我,很多学生都觉得时间过得太快了,完全没有往日的疲惫,忽然发现真的可以轻松地学、轻松地教,通过这堂课我充分地体验到预设的成就感和课堂生成体验的愉悦感。

但是我的思绪并没有停止,这节课后,外校教师和专家作了很好的点评,他们的有些见解让我回味无穷,比如对于直接法解填空题步骤可归纳为“发展条件,找出结论”,“寻找差异,消除差异”,特例法解题适合于“动条件,定结论”型的题等等,所以我重新对这堂课进行了反思。

反思一:对于预设的反思。

首先,对于预设教学内容的反思。本节课为填空题的解题策略的指导,那么,策略全了吗?是否还有新招?比如“类比”的方法等。另外,每一种方法使用的题型是哪些?有没有通法?事实上,这些问题在平时的训练中就应该渗透。

第二,对于预设教学方法的反思。本节课所采用的是让学生举例的方法,主要是学生讲,这无疑是平时的突破。但是让学生“举例”作为作业布置下去,对有些学生形同虚设,他们误以为可做可不做,或者想做却不敢做。那么,教师在布置作业时就需特别强调这份作业的重要性,并多次训练,让学生适应。事实上新课改与旧课程较大的区别就是特别强调学生的主动思维,强调创造性思维的培养。学生习惯了传统教学那种教师说,学生写;教师出卷,学生答题模式的课堂,很难一下子扭转过来,这需要教师在实践中多加培养。

讲学稿形式的推广,在这节课上使专题性突出,系统性加强,对于学生来说,是一个很好的笔记,做到了课前的预习,课堂的解疑和课后的巩固融为一体,把教材、教参和作业合而为一,又便于教师收发讲评,应该说尝试的“利”大于“弊”。但这种形式在我校、在这堂课上还是初步应用阶段,还不够完善。比如,这堂课如果能用《几何画板》做出些动画,使解析几何、立体几何题目生动起来会不会更好呢?

反思二:对于生成部分的反思。

灵活的课堂,其生成部分应是师生共同思维的契合,有把教师和学生像吸铁石般吸引在一起的力量。然而这样的生成对于学生的素质和教师的素质要求较高,常常是学生有好的想法而被无能为力的教师故意忽略,或者是教师有尝试的欲望而得不到学生的配合。如“举例”这样的预设,本意是让学生自由发挥,但有些学生根本不发挥,原因是很多的,或者他不想做,或者他不会做,或者没时间而暂时不做等等,诸如此类,这时,教师除了加强管理之外还能做些什么呢?本节课课堂生成的还有“斧凿”的痕迹,但如果不凿又会是怎样的呢?当然生成不可预设,生成是“进行时”,而现在谈已变成“完成时”了。教师上课没有那么多如果,我们现在谈生成,是在为将来更好的生成做准备,那么就让我们不妨在以下几方面多做实践:第一,备课时,要备出让学生发挥的情景;第二,上课时要空出让学生说话的时间和空间;第三,正确引导其他学生的评价,不管对与错,对则大家欣赏,错则加以鼓励并共同纠正;第四,在教师的基本功上狠下工夫,加强专业知识的深造,多用启发性的提问,让学生有疑就有解,反问,创造性反思。

数学开放题的解题策略篇5

一、开放性习题的常见类型

为了让学生对开放性习题有系统的认识, 我们有必要对其在初中数学中的常见类型做具体的剖析, 以深化学生的感性认识,

1. 条件开放型:

此类试题结论给定, 条件未知或未全, 需要解题者依据给出的结论, 探求、分析与结论相适应的条件。

例1:如右图, AB=DB, ∠1=∠2, 请填上一个你认为合适的条件, 使△ABC≌△DBE, 则需添加的条件是__。显然, 适合的条件包括:BC=BE;∠A=∠B;AE=DC等。

2. 结论开放型:

此类题型给出了限定条件, 但答案不确定或不唯一, 需要解题者充分应用题中的所给信息条件, 合理推想、联想, 透彻分析, 探索出可能得到的结论。

例2:已知⊙O的半径为5cm, 弦AB∥CD且AB=6cm, CD=8cm, 求弦AB与CD之间的距离。

由于题设条件仅仅给出了弦AB∥CD, 并未指出它们与圆心O的位置关系, 所以根据多图性可以画出以上两种不同的图形:由图 (1) 可求得AB与CD之间的距离为1cm;由图 (2) 可求得AB与CD之间的距离为7cm。

3. 条件和结论同时开放型:

这类习题没有给定条件和结论, 要求学生根据习题提供的信息, 通过推理、分析、总结, 发现其中隐藏的数学规律和相应结论。

例3:8名同学分乘两辆轿车驶向机场, 在距离机场15公里的地方, 有一辆轿车发生了故障, 此时离飞机停止检票还有42分钟的时间, 尚能够正常行驶的轿车加上司机限乘5人, 轿车的平均行驶速度为每小时60公里, 在这种情况下, 8名同学能否在飞机停止检票前赶到机场。该问题的症结所在是:在只有一辆车的情况下, 当第一批同学驶向机场, 剩下的几名同学是在原地等待, 还是步行了一段路程?显然, 存在上述两种走法, 结果也就出现了不同。

4. 联想开放性型:

此类题型以联想作为出发点, 通过类比相似的题目探寻解题思路和方法, 在联想和比较中发现解题的捷径。

例4: (基本题) 如下图, AB是⊙O的直径, 点D在AB的延长线上, BD=OB, 点C在⊙O上, ∠CAB=30°,

求证:DC是⊙O的切线。

二、开放性习题常用的解题策略

要顺利解决开放性习题, 掌握一般性的解题策略尤为重要。

1. 由特殊到一般。

抓住题目给出的特殊数量、线段、角或位置, 以此为切入点探寻隐藏在题目中的条件和信息, 逐步认清题目本质, 总结、概况出内在规律。

2. 类比猜想。

解题时联想与此相似的题目的解题思路和方法, 比较异同, 开放思维, 大胆猜想, 小心论证, 寻求解题思路。

3. 分类讨论。

对于条件和结论都处于开放状态的习题, 按照题型的分类, 在分析和联想的过程中分析、发现解题思路。