高中数学解题思维策略

高中数学解题思维策略（共12篇）

高中数学解题思维策略 篇1

高中数学所学的知识点很多,涉及几何和代数两个方面,由于课时有限,所以老师讲课的速度非常快,很多同学对知识点没有一个清晰的了解,不能很好地掌握课上的内容. 甚至有些在初中成绩好的学生,因为学习高中数学时跟不上老师的讲课速度,不能理解知识点,也没有正确的学习方法,因此在考试中考不出理想的成绩. 学生们的解题思维和策略必须尽快培养.

一、什么是数学解题的思维过程

数学解题的思维过程就是学生们审题,经过思考,根据题中的已知条件,想出解题步骤,最终解决问题的过程. 关于数学的解题思维过程,不同的人有不同的见解,曾经有一位专家提出的解题过程分为四个阶段,简单概括为: 理解、转变、实施、审查.

理解就是学生通过阅读题目,弄清题意,知道要用到哪个知识点,有一个初步的解题思路. 转变问题,就是根据题型将问题转化,转变成自己熟悉的题型或者已经做过的题型. 转化问题的过程也是学生在解题过程中自己探索的过程. 实施就是进行解题方案的制定,把解题的步骤写下来, 按照步骤去进行题目的解答. 审查就是看自己的解题方案和解题步骤是否正确.

二、高中数学的解题策略

掌握好的解题策略,能够快速解题,并且准确作答,不仅节约了时间,也可以保证了做题的质量. 巧妙地运用解题策略,有助于学生在考试中得高分. 下面归纳了几项解题策略:

1. 转化为熟悉的题目

当学生们遇到一道陌生的题目时,能够将它转化为曾经做过的题目,将以往学过的知识点运用在上面,这样就可以顺利地把当前的题目和以往的练习题联系起来,运用以前的知识把题目顺利地解答出来. 也可以对题目进行变形, 这样可能我们以前学的知识点和公式就能够派上用场了.

例如: 若a,b,c > 0且a2+ 2ab + 2ac + 4bc = 12,则a + b + c的最小值是() .

分析由给定的条件可以看出,感觉可以运用均值不等式求最小的值,但在变形过程中受到阻碍,不能得到待求的结果. 下面我们来看一下解题方法:

解答由a,b,c > 0,12 = a2+ 2ab + 2ac + 2bc + 2bc < a2+ 2ab + 2ac + 2bc + b2+ c2= ( a + b + c)2 .

所以

另外还可以全方位分析题目,一个题目往往存在不同的解题方法,学生们可以从多个角度去认识题目分析题目, 根据自己以前的做题经验和积累的知识,适当变换解题角度, 有助于学生把握题意,顺利找到解题思路,制定好解题方案.

2. 将题目简单化

将题目简单化就是把那些内容复杂,篇幅冗长,不容易理解的题目转化为一道或者几道比较简单的题目,从而寻找突破口,顺利找到解题的方法. 首先,认真阅读题目,发掘题目的隐含条件,只有审好题目才能顺利地解答题目,要想简化题目,认真审题是必须的. 因此要写顺利的解答题目, 一定要认真审题,找到题目的隐含条件. 找到了题目的隐含条件,就找到了题目的突破口. 一般的大型综合题目都可以转化为几个简单的小型题目. 在解答大型综合题目的同时, 必须明确思路,分点剖析,这主要考察学生的分类、分析的能力,然后分解题目,得到便于解决的小问题,运用自己掌握的知识点作答. 有些大型题目中的条件是可以简化的,有些条件也可以合并,在解答时一定要学会简化题目.

3. 将抽象变具体,将问题直观化

在解答高中数学的时候,经常会遇到一些非常抽象的题目,我们很难找到突破点,为此很多学生都非常苦恼,感到无从下手,这是就要学着变换题目,把抽象的题目变为具体的题目,让问题变得形象具体,便于解决.

例如解答几何题目的时候,可以根据题目在草稿纸上画出图形,有些立体几何的题目也可以用纸张作出小模型, 在解答问题的时候,不仅要多动脑还要多动手. 某题目问将半径为R的半圆围成一个圆锥,求其体积. 学生可以简单截取一个半圆,将其折叠,找到底面周长就是半圆弧长,由此得出πR =2πr,底面半径为r,垂直截取圆锥,则R2= h2+ r2,进而由圆锥体积公式V =1/3πr2 ·h,求得其体积.

2. 在特殊问题中寻找一般的元素

当一道题的题型我们从来没有见过,老师也没有提到过,不知所措无从下手的时候可以运用这种方法. 这是我们需要从这道特殊的题中找到一般的元素,就算在特殊的题目也一定会有简单的成分在里边,从这些简单的成分中我们可以提炼出几个简单的知识点,这些有助于我们对整道题的解答. 把知识点结合在一起说不定,这道看似特殊的题目就迎刃而解了. 所以在遇到特殊题型的题目时不要慌张, 要静下心来,认真审视题目,寻找题目中的简单成分,运用自己的掌握的知识,来解答题目. 这种方法有助于学生们拓展想象力和解题思路,有利于学生解题能力的提高.

例如: 若a,b,c > 0且a2+ 2ab + 2ac + 4bc = 12,则a + b + c的最小值是() .

由给定的条件可以看出,感觉可以运用均值不等式求最小的值,但在变形过程中受到阻碍,不能得到待求的结果. 构思另一种方法: 由

三、总 结

数学是高中教学的主要学科,也是高考的主要内容,如果数学的成绩低也会影响最后的高考结果. 对于学生来说学好高中数学十分重要. 但是由于高中数学的知识点繁多, 要想学好并非易事,需要学生培养正确的解题思维过程,和有效的解题策略,本文介绍了解题的策略有: 转化为熟悉的题目、将题目简单化、将抽象变具体,将问题直观化、在特殊问题中寻找一般的元素. 这些都是在高中数学学习中非常实用的解题策略,如果学生们能够运用自如,必然促进数学成绩的提高,从而学好高中数学.

摘要：高中数学一直是高中学生非常难以攻克的学科,要学好高中数学,要有严谨的逻辑思维能力和超强的计算能力.高中数学的内容比较复杂,知识点比较多,有很多需要记公式,在一道题中要涉及很多个知识点,因此,必须要掌握高中数学的解题思维和策略才能学好高中数学,在今后的高考中考出好的成绩.下面就来探讨一下高中学生数学解题思维和策略培养.

关键词：高中,数学,思维,解题,策略

高中数学解题思维策略 篇2

学数学最直接的表现就是要做数学题。 做题是巩固知识、运用知识解决问题提高能力的重要途径，也是检测学生学习效果的主要手段。 但在平时的教学中，常常听到学生抱怨，拿到一道题知道答案是什么，但就是不知道怎样把自己所想的用数学语言写下来。 批改作业时不难发现一种现象，只要解题结果正确，学生会绝对轻视甚至忽略作业中出现的不规范性问题，殊不知，知识上的错误纠正更简单，而解题规范性的养成往往难很多。

在数学学习过程中做题是必不可少的，但并非越多越好，题海战术只能加重学生的负担。 要想少做题却有效果，就必须养成解题的规范性，规范的解题能够使学生养成良好的学习习惯，提高思维水平，提升学习成绩。

通过对几届学生的分析，笔者发现学生主要有以下几类不规范的解题行为。

■问题一：读题不仔细，审题错误

怎样才能审好题呢?笔者认为学生首先要把题目中每一个条件及条件之间的关系弄清楚，再根据条件逐一联想所学知识、方法、类似的题目及注意点。 这样才能发现题目中条件最集中的地方、条件相关的地方以及可以转化的地方，从而逐步入题，找到题目的关键点、突破口。 因此，联系所学知识对审题很重要。 通过有意识地联系与题目相关的知识、方法进而深入理解题目的本质，为下一步的展开做好准备。

如：若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，求m的取值范围。 解析中由三角形三内角的度数成等差数列，可以立即得到∠B的度数，∠B=60°。设三角形的三个内角为A，B，C，A为钝角，则A>B>C。设角A，B，C的对边依次为a，b，c，则m=■=■，但是如何判断m的取值范围呢?注意到，这里有一个隐含条件，即∠B=60°，∠A>90°，则∠C<30°。 m=“■=■”>■>2sinA。若使m>2sinA对所有钝角A恒成立，只需m>(2sinA)max=2。

■问题二：缺少衔接性语言，解题枯燥无味

这实际上是生活数学化的能力和学科综合的能力不具备的表现，这也是很多数学教师不屑一顾甚至反对的一点，更不用说学生了。 所谓“衔接性语言”是指实际问题转化为数学问题的过程语言，在解题过程中上下句之间的逻辑连接语言，最常见的有因为、所以，但高中学生尤其是高一学生对此最容易忽视。 如：在△ABC中，∠B=30°，AB=2■，AC=2，求△ABC的面积。 在求解过程中，有学生会不写下面括号内的文字，只有一些数学符号，如：(根据正弦定理知)■=■，(即)■=■，得sinC=■。

■问题三：解题缺乏计划性

学生中比较普遍存在的情况是：解题就像脚踩西瓜皮，滑到哪里算哪里。 尤其在解与三角有关的化简和证明题时，拿起一个三角公式就代，至于用公式的目的是什么，为了达到怎样的目标，是否与要解决的问题更接近了，类似于这样的思考在他们的解题过程中是从未有过的。 导致的后果就是一堆公式代下来，做对了也不知道为什么会对，做错了更是不知错在哪里。 其实，解题的过程是充满思考的过程。 没有人能保证自己的解题思路一直是正确的。 学生应该要学会根据已有的演算和推理结论去制定和调整下一步的解题计划。 这对于提高解题正确率意义重大。

■问题四：解题后不检验

很多学生都认为一道题只要算出结果，这道题就做好了。 事实上正是因为有这样的想法使得不少学生在解题上功亏一篑。 在数学推演的过程中经常会出现这样一种情况：前一步和后一步之间并非是充分必要的，也就是我们常说的不等价。 这种时候就需要对解题的结果进行检验。 在解一些探索性的问题时，有时候我们往往先假设某个情况是存在的，然后通过一些特殊条件去待定未知数。 这就需要检验解题结果，因为这个结果是在“假设存在”的前提条件下推导出的。 至于是否真的存在还需要验证。

就上面这些会出现的问题，你如果去问学生们，他们会说：我太粗心了!但事实是，真的是因为他们太粗心吗?笔者对导致学生解题不规范的原因做了分析，主要有以下几方面。

一是初高中教材体系差异产生学生解题不规范。 初中数学教材中每一个新知识的引入往往与学生日常生活实际很贴近，比较形象，难度、深度和广度大大降低了，教材内容通俗具体，多为常量、数字，题型少而简单，体现了“浅、少、易”的特点，并遵循从感性认识上升到理性认识的规律，学生一般都容易理解、接受和掌握。 稍微有点复杂和抽象的内容，如：对数、二次不等式、解斜三角形、分数指数幂等内容，都转移到高中阶段去学习。 高中数学教材内涵丰富，内容抽象，多研究变量、字母，不仅注重计算，而且还要注重分析，教学要求高，教学进度快，知识信息广泛，题目难度趋深，知识的重点和难点也不可能像初中那样通过反复强调来排难释疑。 同时，高中教学往往通过设问、设陷、设变，启发引导，开拓思路，然后由学生自己思考、去解答，比较注重知识的发生发展过程，侧重对学生思想方法的渗透和思维品质的培养。 这使得刚入高中的学生不容易适应这种教学方法，听课时存在思维障碍，不容易跟上教师的思路，从而产生学习困难，影响数学的学习。

二是学生数学语言障碍导致解题思维不清。 数学语言是一种高度抽象的人工符号系统，分文字语言、符号语言、图形语言三类。 包括数学概念、术语、符号、式子、图形等，它成为高一学生学习数学的难点。 一方面在于数学语言难懂难学;另一方面是学习数学语言不够重视。缺少训练及意义理解，导致不能准确、熟练地驾驭数学语言之间的互译。 解题中主要表现在读不懂题，看不懂图象和符号，即对数学语言的识别、理解、转换、构造、操作、组织、表达等有一定的困难。 如恒成立问题、含参数问题，对学生来说是比较难的问题，学生往往不知从何下手;集合这章中“并集”定义中的“或”字，可以包含两者同时发生的情况，不同于日常语言中的“或”字。 而学生理解混淆，产生解题误解;解答线性规划问题时，文字语言、符号语言和图形语言互译困难，又加上解此类问题费时、费事，平时练习中忽略步骤，导致学生考试作答时不知如何书写。

三是学生对于概念、定理和公式等理解不透彻，在学习时没有认真掌握定理、公式的条件、特点及注意点。 在解题时就无法把握试题的得分点，书写时思路不清晰、条件不完整，如立体几何证明中定理条件的缺失、“跳步”等，代数论证中的“以图代证”，基本不等式的等号成立的条件，圆锥曲线焦点位置等，都是学生经常导致丢分的.知识点。

四是学生的表达能力不强，导致“懂而不会、会而不对、对而不全”。 面对试题时觉得老师都讲过，但自己却无法表达出来。 写出来的内容条理混乱、分析法和综合法并用、条件和结论倒置等;要不就是写了一大堆，拖泥带水、主次不分却没有突出重点。

五是受数学老师上课板书的影响，高中教师总以为数学的教学是每一节课能够完成在学生原有认知结构基础上建构新知识，完成拟定的知识目标;在解例题时，只注重培养学生分析能力、综合能力、发散能力等，而解题的严谨和规范的情感目标被严重忽略，“行大礼，不拘小节”的现象普遍存在。

针对以上的现象和成因，笔者提出以下的对策。

首先，从语言方面打基础。数学问题的解决常常离不开符号语言、图形语言、文字语言。 它们互译如何，能准确地反映出学生对该知识点的理解程度。 这不但有利于培养学生数学概括能力，而且能提高审题及规范书写能力。 指导学生学习数学语言时，要善于利用概念教学，巧妙引导，讲清一些数学符号的意义及蕴涵的数学思想和背景，帮助学生把思维内部的无声语言转化为有声、有形语言。 克服数学语言识别上的障碍;应当强化学生自己去发现规律，并引导学生进行数学语言复述和互译训练，提高各种语言之间互译的本领，促使学生数学语言的准确应用与简练表达，从而既避免思维不清、漏洞百出，又解决解题书写中拖泥带水、主次不分的情况。

其次，应指导并训练学生规范解题，为养成良好的答题习惯，做到解题的规范性。 师生可以在教学过程中，从点滴做起，重在平时，坚持不懈，养成习惯。

坚持做好以下几点：

①课堂教学有示范，通过教师的示范作用潜移默化。 “榜样的力量是无穷的”，教师要以身作则，平时教学中每一细节“严谨、规范”，解题过程条理性、逻辑性、系统性强，不丢任何步骤，即使是为了有效利用45分钟，有必要略去解题的某些环节，也应向学生特别说明。 课堂上也可请学生上去板书解答，结果请另一位学生点评或教师解答完后由学生点评(有时教师故意错一点)，让学生有成功感和喜悦感。

②平时作业要落实，上好作业评讲课，注重纠错的落实;也可以经常进行作业“规范、整洁”比赛，最好的作业在学习园地中张贴，并且给予一定的奖励。

③测验考试看效果，考试中会答的考题一定要一次性成功，并且得该题的满分。 每次单元测试，对答题最规范的学生予以特别奖励几分加入总分，让他们意识到良好的答题习惯也能取得高分。

④评分标准做借鉴，学生应以参考答案为标准，对照自己的答案与参考答案的异同。解题过程应尽量减小跳步，衔接紧密，问题考虑要全，切忌思考问题丢三落四，想当然，麻痹大意，并且做好改错、反思工作，查缺补漏。

浅议高中数学解题思维与策略 篇3

关键词： 高中数学；解题；思维；策略

高中数学的知识点和内容是非常的多，而且高中的课堂之上，无论是老师授课的内容还是授课的速度都是非常快，所以很多的同学们都是无法接受，而导致了成绩的后退。尤其是在高中数学上面，因为高中数学的内容要比以往所学习的数学抽象很多，所以同学们在学习的时候更加难以理解，而考试之中也就问题百出了。

一、何为数学解题的思维过程

所谓数学解题的思维过程是指从同学们理解问题开始，经过有思路地探索，转换问题，最终解决问题的思维活动。关于数学问题的解题过程，以往有位名人提出了一套合理的过程。分为四个阶段。是弄清问题、拟定计划、实现计划、最后回顾的过程。而古往今来，在很多数学学者或是教学工作者的总结之下，这四个步骤又被简化为：理解，转换，实施，反思。

理解问题首先就是要认真的读题，明白弄清题意，是解题思维活动这个过程的开始。转换问题是解题思维这个活动的核心步骤，将问题进行转化，转化成自己曾经做过的问题的类型，或是在大脑之中搜索例题，进行转化，转化问题是探索解题方向和途径的积极尝试和探索发现的过程，是思维转化的过程。计划实施是解决问题的应用。只能想不行，最重要的是能够将自己的思路工整、规律地写下来。另外反思对于同学们来说是一个十分有必要的步骤，但是很多同学都会忽视这个步骤，反思可以让同学们的思想得到升华，而反思也是思维过程的结束。

二、数学的解题策略

1.熟悉化策略

熟悉化策略就是让同学们在面临以往没有做过的题，一些陌生的题目的对候，能够设法将这道题转化为曾经做过的题目，将这道题往自己学习过的知识点方向转化，这样有利于同学们运用自己已学知识和内容将这道题解答出来。另外考试之中不会出现同学们没有学习过的知识点或是内容的题目，所以同学们只要能够进行转化的话，就很容易找到题目的攻克点。而且一般来说，同学们对题目的熟悉程度，决定在同学们对题目的结构的认识和理解，从结构上分析一个问题，一般来说都是饱含条件和问题。在解题的时候，同学们一定要知道这道题问的是什么，这是非常重要的，因为我们的答案就是需要回答这道题的，而另一方面，同学们也需要仔细地研究条件，条件之中也有可能具有隐含的条件，读题的时候一定要能够把隐含的条件读出来，做题的时候也要能够运用得到。想要把陌生题目转化为熟悉的题目也是需要一定的技巧。

2.简单化策略

所谓的简单化策略就是将我们做题之中遇到的一些结构复杂、难以下手的题目简化为一道或是多道比较简单的题目，以便于同学们能够通过对新题的考察，在解题思路上面有所突破，用最简单的方法解答问题。而简化问题的时候也需要同学们能够掌握一定的技巧。

首先同学们要能寻找题目的中间环节，挖掘隐含条件。在上文之中我就提到，答题的时候一定要先审题，审好题。有些时候题目之中会隐藏很多的条件，所以为了让同学们能够会答题，会做题，一定要能够做好审题的步骤，找到题目之中隐藏的条件，尤其是一些复杂的综合题目的时候，同学们要能根据它的背景，找到构成它的简单的题目，一般大的综合题目都是考察同学们对于一些简单的题目的综合能力，几道简单的题目在经过综合之后，适当的抽去其中间步骤就构成了一道大型的综合题。因此同学们在答题的时候要能够从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节或是隐含条件，然后把原题进行逐步解剖，实现复杂题目的简单化。

有些数学题目蕴含大量的内容，解题的时候十分复杂，需要同学们能够理清自己的思路，在书写的时候，要条理分明，思路清晰，而同学们在面对一般这类问题答题的时候一定要能够逐点解剖，要能够分清思路，分点作答，这是考察同学们的分类讨论的能力，很多的同学在写答案的时候，总是写了一大堆，让改卷老师十分为难，因为同学虽然写了很多，但是总结起来只能算是一点，所以是不能够给高分的，因此同学们答题的时候要注意分点答题，将自己的思路完美，条理清晰的呈现在卷子上面。

3.直观化策略

这里所说的直观化策略，就是当同学们在面临一道内容十分抽象，难以捉摸的题目的时候，要设法将它转化为形象鲜明、内容具体的题目，以便同学们在做题的时候能够结合其中内在联系找到原题的解题思路。直观化的策略其中包含图标直观、图形直观、图像直观。有些数学题同学们读了很多遍都是无法寻找到解题的思路，但是当同学们根据原题作图的时候，就很容易找到思路，利用图标或是图像等内容可以让抽象的内容具体化，有利于同学们对这些知识和内容的理解，让同学们迅速的找到解题的思路。

4.特殊化策略

特殊化策略就是在我们遇到以往从来没有见过，根本无从下手，老师也没有提到过的新题型的时候，我们要从特殊之中找一般原理，就算是这个题目比较特殊，它也应该具有最为简单的构成元素，也是由某个或是某几个简单的知识点组合而成的，所以答题的时候一定要能从特殊之中找一般的原理。有利于同学们扩展解题思路，发现解答原题的方向和途径。

以上就是我为同学们总结出来的一些关于高中数学的解题思维和策略，希望同学们能够在答题的时候勤加思考，多加运用，提高高中數学的成绩。

参考文献：

[1]曹振宇.高中数学解题的四个步骤[J]. 科技创新导报，2011（01）.

[2]王植. 探讨发散思维在中学数学解题中的应用[J]. 知识经济.

[3]万彦娜，陈蓉西. 教学系统中数学基本思想方法的培养与实践[J]. 科技创新导报， 2009（18）.

[4]栾忠文.中学数学题的设计方法[J]. 内蒙古煤炭经济，2004（05）.

高中数学解题策略之“定式思维” 篇4

关键词：高中数学,解题策略,数学思想,定式思维

记住公式定理与正确解答题目间的距离,相当于数学课本上的例题与高考题间的距离,要跨越这段距离,不仅需要基本的数学知识体系( 即是我们通常所说的基本知识) , 更要有数学思维体系,当然后者肯定是建立在前者的基础上,对于某一类问题我们常常可以归纳总结出相应的解题方法,特别是对题目中关键字、词、句的理解,我把这种理解称为解题的“定式思维”.

一、“思维定式”与“定式思维”的概念辨析

正如莫斯科大学娅诺夫斯卡娅教授所说的: “解题——— 就是意味着把所要解决的问题转化为已经解过的问题. ”数学解题思维定式是指解题者在解决数学问题的思维过程中表现出来的思维的定向预备状态. 解数学题的实质决定了解题过程也是思维定式不断作用的过程,侧重于对解过的问题“举一反三”,灵活运用,因此,数学解题思维定式应广泛存在于学生的解题思维过程中. 而定式思维与思维定式在中学数学解题中扮演者相互对立的角色,思维定式侧重于思维的“定”,这会导致轻率下结论,犯经验主义错误.

总之,“定式思维”和“思维定式”的区别巨大,前者是思路,后者是误区; 在数学解题过程中,应趋利避害,避免定式思维,培养思维定式. 下面我就结合着自己的学习经验和教学实践,简单谈一谈“定式思维”在解决直线与圆相关问题应用中的两类问题.

二、示例分析

类型一: 范围、最值问题

例1已知圆C: ( x - 2)2+ y2= 3,P( x,y) 是圆C上任意一点,求y/x的取值范围.

分析求y x的取值范围,x,y前面的系数相等并且成分数形式. 回想高中阶段,在学习直线的斜率的时候,遇到过这样的形式: 已知两点P( x,y) ,B( x',y') ,则于是可以将y/x看作从而将问题转化为P( x,y) ,O( 0,0) 这两点的斜率,由于P( x,y) 在圆C上动,故产生了求取值范围这一问题.

解决这一问题后,应形成“定式思维”: 当分子、分母都含有未知数,次数都为1次,且系数相等,就可转化为斜率处理.

变式1: 已知圆C: ( x - 2)2+ y2= 3,P( x,y) 是圆C上任意一点,求的最值.

利用例1所形成的定式思维,直接将看成P( x,y) ,B( 1,- 1) 两点的斜率,求出范围,即可得到最值,从而问题解决.

变式2: 已知圆C: ( x - 2)2+ y2= 3,P( x,y) 是圆C上任意一点,求的范围.

此题明显发现,不再满足例1中的“定式思维”的条件.若令,则得到一条直线bx - 2y = 0,其点( x,y) 必须由圆C提供,从而问题 转化为直 线bx - 2y = 0和圆C: ( x - 2)2+ y2= 3有无交点的问题. 进一步明确思路,判断一条直线与圆是否有交点,两条思路: ( 1) 转化成一个一元二次方程计算判别式 Δ; ( 2) 利用圆心到直线的距离与圆半径的关系. 此题,我选用后者来解决问题.

通过上述的例题及变式解答,应形成新的“定式思维”: 分子、分母都有未知数,且次数都为1次,就可转化为直线与圆有公共点的问题求解. 为验证此思维模式是否万能,一起再看变式3.

变式3: 已知圆C: ( x - 2)2+ y2= 3,P( x,y) 是圆C上任意一点,求的范围.

变式3的成功解答,验证了此“定式思维”的正确性, 即: 分子、分母都有未知数,且次数都为1次,就可转化为直线与圆有公共点的问题求解. 应用这种思维,还可以解决如: “求x - y,3x + 2y的范围”这一类问题.

类型二: “弦长”相关问题

先谈一谈解决“弦长”相关问题的“定式思维”,只要题目涉及“弦长”就可利用“特征三角形”解决问题. 什么是特征三角形呢? 如下图,直线l与圆C交于A,B两点,M为弦AB的中点,称Rt△ACM为特征三角形.

例2已知直线l: x + y - 4 = 0交圆C: ( x - 2)2+ y2= 3于A,B两点,求弦长| AB| .

分析按照“定式思维”,只要出现“弦长”,就利用“特征三角形”解决问题.

变式1: 已知过定点( 2,2) 的直线l交圆C: ( x - 2)2+ y2= 3于A,B两点,弦长| AB | = 2,求满足条件的直线l的方程.

解设直线l的方程为: M(x - 2) + N(y - 2) = 0,则

∴ M = ± N.

∴ 直线l的方程为: x + y - 4 = 0或x - y = 0.

变式2: 已知直线l: x + y - 4 = 0交圆C: ( x - 2)2+ y2= 3于A,B两点,弦长| AB | = 2,求a的值.

∴ a = 2 或 6.

∴ 圆的方程为C: ( x - 2)2+ y2= 3或C: ( x - 6)2+ y2= 3.

变式3: 已知AC,BD为圆O: x2+ y2= 4的两条相互垂直的弦,垂足为,求四边形ABCD的面积的 最大值.

解如图,易知S四边形ABCD=1/2| AC | | BD | ( 分析: 求面积的最值, 转换为求两弦长乘积的最值,问题的实质还是求“弦长”,从而应该利用 “特征三角形”) .

高一数学解题思维和解题技巧 篇5

高一数学解题的思维过程

数学解题的思维过程是指从理解问题开始，经过探索思路，转换问题直至解决问题，进行回顾的全过程的思维活动。

对于数学解题思维过程，G.波利亚提出了四个阶段-(见附录)，即弄清问题、拟定计划、实现计划和回顾。这四个阶段思维过程的实质，可以用下列八个字加以概括：理解、转换、实施、反思。

第一阶段：理解问题是解题思维活动的开始。

第二阶段：转换问题是解题思维活动的核心，是探索解题方向和途径的积极的尝试发现过程，是思维策略的选择和调整过程。

第三阶段：计划实施是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分。

第四阶段：反思问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束包含另一个新的思维活动过程的开始。

高一数学解题的技巧

为了使回想、联想、猜想的方向更明确，思路更加活泼，进一步提高探索的成效，我们必须掌握一些解题的策略。

一切解题的策略的基本出发点在于“变换”，即把面临的问题转化为一道或几道易于解答的新题，以通过对新题的考察，发现原题的解题思路，最终达到解决原题的目的。

基于这样的认识，常用的解题策略有：熟悉化、简单化、直观化、特殊化、一般化、整体化、间接化等。

一、熟悉化策略所谓熟悉化策略，就是当我们面临的是一道以前没有接触过的陌生题目时，要设法把它化为曾经解过的或比较熟悉的题目，以便充分利用已有的知识、经验或解题模式，顺利地解出原题。

一般说来，对于题目的熟悉程度，取决于对题目自身结构的认识和理解。从结构上来分析，任何一道解答题，都包含条件和结论(或问题)两个方面。因此，要把陌生题转化为熟悉题，可以在变换题目的条件、结论(或问题)以及它们的联系方式上多下功夫。

常用的途径有：

(一)、充分联想回忆基本知识和题型：

按照波利亚的观点，在解决问题之前，我们应充分联想和回忆与原有问题相同或相似的知识点和题型，充分利用相似问题中的方式、方法和结论，从而解决现有的问题。

(二)、全方位、多角度分析题意：

对于同一道数学题，常常可以不同的侧面、不同的角度去认识。因此，根据自己的知识和经验，适时调整分析问题的视角，有助于更好地把握题意，找到自己熟悉的解题方向。

(三)恰当构造辅助元素：

数学中，同一素材的题目，常常可以有不同的表现形式;条件与结论(或问题)之间，也存在着多种联系方式。因此，恰当构造辅助元素，有助于改变题目的形式，沟通条件与结论(或条件与问题)的内在联系，把陌生题转化为熟悉题。

数学解题中，构造的辅助元素是多种多样的，常见的有构造图形(点、线、面、体)，构造算法，构造多项式，构造方程(组)，构造坐标系，构造数列，构造行列式，构造等价性命题，构造反例，构造数学模型等等。

二、简单化策略

所谓简单化策略，就是当我们面临的是一道结构复杂、难以入手的题目时，要设法把转化为一道或几道比较简单、易于解答的新题，以便通过对新题的考察，启迪解题思路，以简驭繁，解出原题。

简单化是熟悉化的补充和发挥。一般说来，我们对于简单问题往往比较熟悉或容易熟悉。

因此，在实际解题时，这两种策略常常是结合在一起进行的，只是着眼点有所不同而已。

解题中，实施简单化策略的途径是多方面的，常用的有： 寻求中间环节，分类考察讨论，简化已知条件，恰当分解结论等。

1、寻求中间环节，挖掘隐含条件：

在些结构复杂的综合题，就其生成背景而论，大多是由若干比较简单的基本题，经过适当组合抽去中间环节而构成的。

因此，从题目的因果关系入手，寻求可能的中间环节和隐含条件，把原题分解成一组相互联系的系列题，是实现复杂问题简单化的一条重要途径。

2、分类考察讨论：

在些数学题，解题的复杂性，主要在于它的条件、结论(或问题)包含多种不易识别的可能情形。对于这类问题，选择恰当的分类标准，把原题分解成一组并列的简单题，有助于实现复杂问题简单化。

3、简单化已知条件：

有些数学题，条件比较抽象、复杂，不太容易入手。这时，不妨简化题中某些已知条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化问题。这样简单化了的问题，对于解答原题，常常能起到穿针引线的作用。

4、恰当分解结论：

有些问题，解题的主要困难，来自结论的抽象概括，难以直接和条件联系起来，这时，不妨猜想一下，能否把结论分解为几个比较简单的部分，以便各个击破，解出原题。

三、直观化策略：

所谓直观化策略，就是当我们面临的是一道内容抽象，不易捉摸的题目时，要设法把它转化为形象鲜明、直观具体的问题，以便凭借事物的形象把握题中所及的各对象之间的联系，找到原题的解题思路。

(一)、图表直观：

有些数学题，内容抽象，关系复杂，给理解题意增添了困难，常常会由于题目的抽象性和复杂性，使正常的思维难以进行到底。

对于这类题目，借助图表直观，利用示意图或表格分析题意，有助于抽象内容形象化，复杂关系条理化，使思维有相对具体的依托，便于深入思考，发现解题线索。

(二)、图形直观：

有些涉及数量关系的题目，用代数方法求解，道路崎岖曲折，计算量偏大。这时，不妨借助图形直观，给题中有关数量以恰当的几何分析，拓宽解题思路，找出简捷、合理的解题途径。

(三)、图象直观：

不少涉及数量关系的题目，与函数的图象密切相关，灵活运用图象的直观性，常常能以简驭繁，获取简便，巧妙的解法。

四、特殊化策略

所谓特殊化策略，就是当我们面临的是一道难以入手的一般性题目时，要注意从一般退到特殊，先考察包含在一般情形里的某些比较简单的特殊问题，以便从特殊问题的研究中，拓宽解题思路，发现解答原题的方向或途径。

五、一般化策略

所谓一般化策略，就是当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题。

六、整体化策略

所谓整体化策略，就是当我们面临的是一道按常规思路进行局部处理难以奏效或计算冗繁的题目时，要适时调整视角，把问题作为一个有机整体，从整体入手，对整体结构进行全面、深刻的分析和改造，以便从整体特性的研究中，找到解决问题的途径和办法。

七、间接化策略

所谓间接化策略，就是当我们面临的是一道从正面入手复杂繁难，或在特定场合甚至找不到解题依据的题目时，要随时改变思维方向，从结论(或问题)的反面进行思考，以便化难为易解出原题.高一数学解题要分析四个关系

一　审题与解题的关系

有的考生对审题重视不够，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多。只有耐心仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量(如“至少”，“a>0”，自变量的取值范围等等)，从中获取尽可能多的信息，才能迅速找准解题方向。

二“会做”与“得分”的关系

要将你的解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表述，这一点往往被一些考生所忽视，因此卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况，考生自己的估分与实际得分差之甚远。如立体几何论证中的“跳步”，使很多人丢失1/3以上得分，代数论证中“以图代证”，尽管解题思路正确甚至很巧妙，但是由于不善于把“图形语言”准确地转译为“文字语言”，得分少得可怜;再如去年理17题三角函数图像变换，许多考生“心中有数”却说不清楚，扣分者也不在少数。只有重视解题过程的语言表述，“会做”的题才能“得分”。

三　快与准的关系

在目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要。只有“准”才能得分，只有“准”你才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出。如去年第21题应用题，此题列出分段函数解析式并不难，但是相当多的考生在匆忙中把二次函数甚至一次函数都算错，尽管后继部分解题思路正确又花时间去算，也几乎得不到分，这与考生的实际水平是不相符的。适当地慢一点、准一点，可得多一点分;相反，快一点，错一片，花了时间还得不到分。

四　难题与容易题的关系

高中数学解题思维策略 篇6

关键词：培养；数学思维；策略

有人说改革小学应用题教学，要使学生用已有经验作为解题的重要资源。这种说法很容易造成误导，会减慢小学数学教育的发展，降低学生学习数学的能力作用。数学教学仅仅为了使学生用已有经验解决问题，只能使之停留在“实用”阶段，这不是完整的素质教育，不符合现代化教育的需求。

当前，在小学数学课改的教學实践中，许多老师致力于引导学生通过活动去发现问题、解决问题。但是我们不能认为，出示一道预设的应用题，然后引导学生去分析、解决其中的数学问题，就会抑制他们发现问题的意识与能力，就会削弱他们学习数学的主体地位。

应用题将生活情境提炼成简约的语言，以数学问题的形式呈现，向学生明确提出所要解决的目标。其内容为小学生间接经历从发现问题、分析问题到解决问题等一系列学习过程提供了便利。其形式避免了“活动”过程常见的从生活情境直接到解决问题的“跳跃”（这种跳跃虽然也能以“直觉、顿悟”等为由去肯定学生，但就课堂教学而言，对多数学生似乎是不利的）也避免了一些学生的学习水平停留在直观、动作思维的层次。

为了提高小学生数学思维的能力，必须引导他们去发现、总结、掌握一定的“解题策略”，应用题是一条很好的途径。即便是生活经验，也要引导学生把经验转化为数学模型，才能真正发展他们的数学思维。

实事求是地想想，如果在改革掉传统应用题教学中那些机械、形而上学的种种弊端的同时，保留那些有利于培养和发展小学生各种数学能力的好策略、好方法、好习惯、好传统，相信对这场数学课改只有好处。

当然，我们反对那种把教师的思维模式硬性塞给学生的教学方法。当前“做数学”的理念得到了人们普遍认同，这是课改的一大成果。但是一种理念落实到具体实践时，往往会产生一些“落差”。在小学数学课堂教学中，会有一些课堂上数学学习活动的目标不明确，空有一些哗众取宠的形式，而少有实效。

参考文献：

周洪伟.“一题多解”对培养小学生发散思维作用的思考[J].中国校外教育，2012（19）.

高中数学解题的思维策略探讨 篇7

一、分析题干, 明确题意, 挖掘潜在含义

高中数学与初中数学有着明显的区别与差异, 初中数学一般较简单, 题干读完答案基本就出来了, 不需要太多的思考与探索;而高中数学恰好相反, 不仅需要学生有一定的理解力与逻辑思维能力, 还需对题干进行深入分析, 挖掘题意。学生想要准确而又快速的解答高中数学题, 只有理解与挖掘题干隐含的意思, 才可能对数学题进行解答, 由此可见, 高中数学解题的关键离不开学生深入分析题干挖掘题意。高中数学中有很多结构复杂、题干晦涩难懂的综合题。这一类的题型多是由一系列简单题型拼凑而成, 因此, 学生在解答这一类题型时, 要将原题拆成几个有机的基本题来操作, 不仅可以将复杂的问题简单化, 还有利于学生理解与挖掘题干隐含意义, 节省时间, 提高数学解题的准确性, 提高数学学习的成绩。教师在课堂教学时, 应当重视培养学生认真读题的习惯, 教案制作过程中可以增加一些经典的综合题型, 对题干分解分析, 加深学生对题干的分解与分析, 养成良好的读题审题习惯, 便于提高学生数学解题的准确率。

二、注重思想方法教学, 提高学生数学意识

数学意识是指学生在长期的数学学习与应用过程中, 逐渐形成对解决数学问题的见解与看法, 它能引导学生在数学解题时主动地运用数学知识进行解题, 至于质量好坏属于技能操作问题。部分学生在进行数学解题时, 不是不懂技能问题, 而是不知怎样操作才算合理, 他们往往是套用公式、模仿以前的解题思路, 对一些新题型便束手无策、无法解决, 这是学生的数学意识薄弱的表现。因此, 在高中数学课堂活动中, 教师要在巩固基础知识的同时, 应当注重数学的思想方法教学, 引导学生加强其数学意识, 将数学意识融入到数学解题过程中。如:已知1/a+1/b+1/c=1/a+b+c, (abc≠0, a+b+c≠0) , 求证a、b、c三数中必有两个互为相反数。若有常规的解题思路解题, 不容易求证, 但可以适当的做下变形, 转化为熟悉的格式进行求解, 可转化为: (a+b) * (b+c) * (c+a) =0这种变形的过程实质上就是数学意识的转化在起作用。为此, 在数学课堂教学中, 只有提高学生的数学意识, 才能让学生在解决数学问题时轻松作答、得心应手。可见, 引导学生提高数学意识是数学解题思维过程中一个非常重要环节。

三、削弱思维定势的影响, 灵活迁移学习方法

在心理学上, 定势是在进行某项活动时提前准备的一种心理状态。学生在数学解题时往往容易受思维定势的影响, 这是因为长时间的进行大量数学习题的演练与思考而形成了一种无意识的习惯。可见, 数学解题的一个重要障碍是学生容易受思维定势的影响, 降低了学生逻辑思维能力的开拓, 禁锢了思考的方向, 对提高学生数学解题的准确率有抑制作用。

在高中数学教学课堂中, 教师应当高度重视思维定势的影响, 充分利用解题教学时间, 帮助学生克服并打破思维框架, 拓展思维, 积极消除数学解题过程中的思维定势问题, 灵活运用已学知识进行迁移从而发现解题的新方法, 提升学生自主解题的能力。如:教师在教学“概率基础知识”一章节时, 对“可能事件”、“必然事件”以及“不可能事件”三者之间的差异性与联系性, 可以充分利用生活事例加以理解与区分, 避免思维定势, 产生错误的运算。在授课“三角形全等判定定理”时, 教师可以让学生在给定的边角范围内, 自由选择构建三角形, 多次改变边角的角度, 对比前后情况, 使学生充分理解与掌握全等三角形的各概念定义, 消除数学解题的思维定势。在以后的数学解题时, 即使忘记也可以现场进行验算, 发现新方法, 使学生具备自主学习的能力, 主动探讨数学学习的奥秘, 激发学习兴趣, 培养独立解决问题的能力, 建立良好的师生关系, 促进两者之间的交流与沟通, 实现全体学生的共同进步与发展。在解题教学中, 在消除学生数学解题的思维定势时, 还应注意培养学生的逆向思维能力, 提供学生一种数学解题的新方法, 减少解题过程中方法匮乏的情况。

综上所述, 在高中数学解题过程中, 教师要注重数学教学的思想方法, 引导学生提高他们的数学意识;学生要学会深入分析题干与挖掘题意, 认真审题, 找到解题的突破口, 节省时间, 提高准确率;打破数学解题中的思维定势模式, 发散思维。只有把这三者有机的结合在一起, 学生才能高效率、高质量的完成数学解题, 提高数学解题的准确率, 实现全体学生共同进步与发展。

摘要：数学是一门综合性很强的学科, 不仅需要具有逻辑思维能力与抽象思维能力, 还需要有一定的推理能力。其中对高中学生的要求较高, 高中数学涉及的知识面较广, 学生必须要对数学概念深入了解与掌握才能有效正确地解决数学习题。对此, 本文将结合高中数学解题的思路, 总结前人的经验与教训, 有效的探讨高中数学解题的思维措施策略, 以期提升学生数学学习的能力, 克服对数学学习的恐惧心理, 进而有效的提高课堂教学效率。

关键词：高中数学,解题思维,策略探讨

参考文献

[1]周建国.浅谈用建模思想解数学应用题[J].中学数学, 2009 (10) .

[2]陈聪.新课程理念下培养高中学生数学应用意识的策略研究[D].福建师范大学, 2007.

浅谈高中数学解题的思维策略 篇8

数学解题的思维策略, 就是在发现和运用数学知识、方法, 解决数学问题的过程中所采取的思路。高中数学解题教学的关键键就是让学生在解决具体数学问题时学会思考, 会由未知向已知、复杂向简单转化, 从从而快速准确地解题。

在数学解题的思维过程中, 转换阶段的核心是解题思维策略的选择和运用, 它对对于实现解题起着关键的作用。因此, 在数学学教学中重视解题思维策略的训练对于提高学生的数学思维能力具有直接的指导意义, 同时, 对于破除我国当当前数学教学中仍然存在的题海战术也具有积极的现实意义。本文文通过对高中数学解题的思维策略的分析, 以起到抛砖引玉的作用。

一、数学思维的变通性 (根据题设的相关知识, 提出灵活设设想和解题方案)

数学问题千变万化, 要想做到“巧”、“准”、“快”的解题, 总用一套固定的方案是行不通的, 必须具有思维的变通性—善于于根据题设的相关知识, 提出灵活的设想和解题方案。

1、善于观察。

心理学告诉我们:感觉和知觉是认识事物的最初级形式, 而观察则是知觉的高级状态, 是一种有目的、有计划、比较持久的知觉。观察是认识事物最基本的途径, 它是了解问题、发现问题和解决问题的前提。任何一道数学题, 都包含一定的数学条件和关系。要想解决它, 就必须依据题目的具体特征, 对题目进行深入的、细致的、透彻的观察, 然后认真思考, 透过表面现象看其本质, 这样才能确定解题思路, 找到解题方法。

例1: (2009年重庆市高考数学模拟题 (四) ) 若a, b, c>0且且a2+2ab+2ac+4bc=12, 则a+b+c的最小值是 ()

分析:看到给定的条件, 感觉应该使用均值不等式求最小值, 但变形过程受阻, 得不到待求的结构。

法一:由a, b, c>0:1 2=a 2+2 a b+2 a c+2 b c+2 b c≤≤a2+2ab+2ac+2bc+b2+c2= (a+b+c) 2

法二:由a2+2ab+2ac+4bc=12得 (a+2b) (a+2c) =12, 又a, b, c>0, ∴ 当且仅当b=c时取等号。∴ 答案A。

解题的关键是发现已知条件和结论的变形的具体方向, 发现两者之间的关系。

2、善于联想。

联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系, 都是不明显的、间接的、复杂的。因此, 解题的方法怎样、速度如何, 取决于能否由观察到的特征, 灵活运用有关知识, 做出相应的联想, 将问题打开缺口, 不断深入。

例2:已知 求证a、b、c三数中必有两个互为相反数。

分析:恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论, 可以转化为: (a+b) (b+c) (c+a) 。

思维变通性的对立面是思维的保守性, 即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后, 往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式, 使思维受到限制, 它是提高思维变通性的极大的障碍, 必须加以克服。

综上所述, 善于观察、善于联想、善于进行问题转化, 是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性, 必须作相应的思维训练。

二、数学思维的反思性 (提出独特见解, 检查思维过程, 不盲从、不轻信)

数学思维的反思性表现在思维活动中善于提出独立见解, 精细地检查思维过程, 不盲从、不轻信。在解决问题时能不断地验证所拟定的假设, 获得独特的解决问题的方法, 它和创造性思维存在着高度相关。

例3: (湖北卷理科高考题) 已知椭圆 的左、右焦点分别为F1、F2, 点P在椭圆上, 若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点, 则点P到x轴的距离为 ()

分析:学生一般会认为P为直角顶点, 从而公式 求解得到答案C;通过选项分析, 若直角顶点不确定, 则应有多个值可选择, 而答案没有提供多值选项, 因此, 直角顶点是确定的.从图形分析可知, 必为焦点, 因为有的椭圆并不存在张角为直角的点, 于是得到正确答案半个通径, 答案D。

例4: (2009年高考重庆卷 (理) ) 已知以T=4为周期的函数 , 其中m>0。若方程3f (x) 恰有5个实数解, 则的取值范围为 ()

分析:因为当x∈ (-1, 1) 时, 将函数化为方程 , 实质上为一个半椭圆, 其图像如图所示, 同时在坐标系中作出当x∈ (1, 3]得图像, 再根据周期性作出函数其它部分的图像, 由图易知直线 与第二个椭圆 相交, 而与第三个半椭圆 无公共点时, 方程恰有5个实数解, 将 代入 得 (9m2+1) x2-72m2x+135m2=0令t=9m2 (t>0) 则 (t+1) x2-8tx+15t=0由△= (8t) 2-4×15t (t+1) >0, 得t>15, 由m>0得 同样由 与第二个椭圆 由△<0可计算得 , 综上知 。

受思维定势或别人提示的影响, 解题时盲目附和, 不能提出自己的看法这不利于增强思维的反思性。因此, 在解决问题时, 应积极地独立思考, 敢于对题目解发表自己的见解, 这样才能增强思维的反思性, 从而培养创造思维。

三、数学思维的严密性 (考察问题严格、准确, 运算和推理精确无误)

在中学数学中, 思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则, 考察问题时严格、准确, 进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学, 论证的严密性是数学的根本特点之一。但是, 由于认知水平和心理特征等因素的影响, 中学生的思维过程常常出现不严密现象, 主要表现在以下几个方面: (1) 概念模糊。概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念, 搞清概念的内涵和外延, 为判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱, 产生错误。 (2) 判断错误。判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中, 如果概念不清, 很容易导致判断错误。例如, “函数 是一个减函数”就是一个错误判断。 (3) 推理错误。推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的, 推理出错, 说明思维不严密。

数学解题思维特征及解题策略构建 篇9

数学解题过程中需要学生进行精准的判断, 快速解答, 因此不能形成僵化的解题思维, 必须具备灵活变通的特点, 善于利用所学的知识来构建解题策略, 充分运用灵活解题思维和技巧解决复杂数学问题。

一、数学解题思维特征

首先, 数学解题需要具有透过现象看本质的思维特征。眼睛能够让我们观察事物, 思维能够让我们认识事物, 通过对数学题目的细致观察, 有目的、有计划地透过题目表面观察题目的本质[1]。这也是能够快速和正确解决数学问题的基础。任何一道数学题, 都包含了各种条件之间的复杂联系, 通过细致的观察和思考, 清晰掌握各个条件之间的关系, 才能够找到合适的解题方法, 这也是数学解题思维的要点。

例如:已知a, b, c, d都是实数, 求证姨a2+b2+c2+d2≥ (a-c) 2+ (b-d) 2。一般的解题思路需要从题目的形式进行观察, 得出要证明的结论右端部分与平面上两点间的距离公式十分相似, 则可以将左端部分看做点到原点的距离公式。那么根据题目的本质可以构建如下的解题策略。

设A (a, b) , B (c, d) , 与原点 (0, 0) 构成三角形 (如图1所示) 。得到AB= (a-c) 2+ (b-d) 2, OA=a2+b2, OB=c2+d2, 那么根据三角形三条边的关系 (三角形两边之和大于第三边) 可以得到需要求证的题目。

其次, 数学解题需要具有善于联想的思维特征。联想是将问题转化为实际所学知识的桥梁。学生所学的知识范围较广, 深度较大, 表面上数学题目与学生所学知识关联性不大, 但是细心挖掘可以通过间接的、隐藏的关联找出最快速的解决方法[2]。

例如:如果 (z-x) 2-4 (x-y) (y-z) =0成立, 证明2y=x+z。一般的解题思路是通过因式分解来进行推论, 但是这种思维方式解题较慢。如果注意观察, 能够发现已知条件的左侧与学生熟知的一元二次方程的判别式形式一致, 通过联想, 借助一元二次方程的相关知识来解决问题就变得简单多了。

(z-x) 2-4 (x-y) (y-z) =0 (x-y≠0) 可以被看做是一个关于t的一元二次方程 (z-x) t2- (z-x) t+ (y-z) =0的两根相等, 进一步观察后可以得到这个方程的两个相等实根是1, 根据韦达定理可以得到:, 也就可以得到2y=x+z。反之, 在x=0的情况下直接得出2y=x+z。可以简单快速得出题目结论。

最后, 数学解题需要具有善于转化问题的思维特征。国内外数学研究相关文献报道都指出, 数学解题就是命题的连续变换过程, 解题是通过转化问题而得出结论的[3]。通俗地说就是将复杂的问题转化为若干简单的问题, 将抽象的问题转化为具体的问题, 将未知的问题转化为已知的知识的过程[4]。

例如:已知, 求证a、b、c中至少有一个为1。一般地, 学生遇到这种结论并未直接用数学式子表示的数学题比较头疼。因此需要采用将复杂题目转化为容易解决的明显题目的转化问题思维。

由题目可知a、b、c中至少有一个为1, 则 (a-1) 、 (b-1) 、 (c-1) 中至少有一个为0, 也就是 (a-1) × (b-1) × (c-1) =0。由题目可以得到abc- (ab+ac+bc-1) + (a+b+c) =0, 那么 (a-1) (b-1) (c-1) =abc- (ab+ac+bc-1) + (a+b+c) =0, 则可以得出a、b、c中至少有一个为1。

许多学生只能够想到在已知条件上进行各种各样的变化, 却忽视了将文字形式的结论转化为数字形式的数学式子。学会这种灵活转化的数学思维, 就能够轻松构建解题策略。

总之, 数学解题思维具有变通性, 学生不能够形成思维定势, 限制解题的灵活性。记类型、套公式、记方法都是不可取的, 它是学生发散思维, 提高多元化解题能力的主要障碍[5]。

二、数学解题思维过程分析

数学解题的思维过程一般包括理解问题、探索思路、转化问题和解决问题几个环节, 通常可以按照这几个环节分阶段进行解题策略构建。

首先是审题, 审题过程中需要细致观察题目的条件和要求, 深入挖掘条件中的关联元素, 从所学知识中找出符合的内容, 在思维中构建解题条件和知识间的关系[6]。也就是这一环节的解题思维重心在问题的理解上。其次是探索解题方法。通过有目的的尝试不同知识的组合, 尽可能将未知的复杂题目转化为已经学过的简单内容, 选择最佳的解题方案, 构建解题策略[7]。这一环节的思维重心则是问题的转换, 通过探索和尝试确定解题策略, 调整解题计划。第三是解题策略的实施过程, 也就是将已经成熟的解题策略完整的展现, 书写解答过程。这一环节是解题思维中最重要的, 包含了学生对基础知识和基本技能通过思维的灵活运用和具体表达。最后是检查与反思。数学题目解答完毕后需要对最终结果进行检查和分析, 及时发现思维漏洞进行补充。当然, 这个环节往往得不到学生的重视, 通过问题的反思不仅能够培养学生较为成熟的数学解题思维, 还可以及时发现知识的漏洞, 在思维中进行系统化整理[8]。

三、数学解题策略构建技巧

数学解题策略的核心就是变换, 将复杂的问题变化为几个简单的知识点, 通过将几个知识点关联起来找到解题的正确思路。这就需要学生熟练掌握数学解题思维, 熟悉解题策略构建。通常数学解题策略构建的技巧包括熟悉题型、知识和辅助元素的使用, 问题的繁简转化, 问题的直观化转化, 问题的一般与特殊转化, 从局部到整体, 由直接变间接等几种[9]。

1. 熟悉题型、知识和辅助元素主要是指熟练掌握基础知识、解题模式, 积累解题经验, 遇到陌生题目时可以联系以往做过的相似题型进行解题策略的借鉴。不能借鉴的可以从结构上进行分析, 以自身对题目结构的认识和理解为基础, 转化为熟悉的知识内容进行解题。当然必要的辅助元素, 如点、线、面的辅助作图, 构建数学模型等, 都是必不可少的[10]。通过全方位分析题意, 充分利用所学知识构建解题策略。

2. 问题的繁简转化主要是将结构和内容较为复杂, 让人感觉无从下手的题目转化为一道或几道较为简单的题目, 通过启发思路, 由简入繁, 推出复杂问题的解题策略[11]。由简入繁其实也是熟悉题型、知识和辅助元素的补充和发挥。

3. 问题的直观化转化通俗地说就是将抽象的、难以入手的问题转化为具体、直观的, 便于学生理解和解答的问题, 以便找到解题思路。问题的直观化转化方法较多, 可以构建图形, 直观显示题目中的各个条件, 以便分析各条件之间的关联性;也可以构建图表, 将数据的增减具象化;也可以采用绘制图象进行函数变化直观体现。这都可以帮助学生巧妙构建解题策略, 延伸做题思路[12]。

4. 问题的一般与特殊转化是双向的。当学生遇到难以入手的一般性题目时, 可以采用引入特殊数值或者特殊条件得出题目某一特殊情况下的结论, 以此为突破口, 找寻解题的规律, 最终发现原题目的解题思路。另一方面, 遇到内容较为复杂, 各项条件关联并不明显的特殊题目时, 可以由特殊数值或特殊条件延伸到一般规律, 引申到学生熟知和掌握的一般知识, 揭示出事物的所属本质, 帮助学生迅速作出判断, 构建正确解题策略[13]。

5. 从局部到整体主要是指在解题过程中某一局部处理过程受到阻碍时可以切换视角, 从整体入手, 全面分析问题, 从整体的特性中找到解决局部问题的突破口。

6. 由直接变间接则是当学生遇到正面难以解决的问题时, 采取迂回的策略, 采取间接的方式来得出需要的结论。这就需要学生灵活转变思维方向, 不要陷入思维定式, 这样反而更容易得出正确的解题方法。

结束语

总之, 数学解题思维是构建有效解题策略的重要基础, 研究数学解题思维的特征与构建解题策略的方法, 对开展教学活动具有重要指导意义, 也能够提高老师对数学解题思维及构建解题策略技巧的掌握性。

摘要：数学解题策略是以灵活的解题思维为基础的, 掌握数学解题思维的特征与构建解题策略的有效方法, 能够提高学生的解题速度和质量。结合多年教学经验, 对教学解题思维的特征和解题思维全过程进行分析, 探讨数学解题策略构建的技巧, 对开展数学解题思维教学具有重要的指导意义。

高中数学解题思维策略 篇10

著名数学家波利亚在《怎样解题》中对数学解题划分为四个阶段:弄清问题——拟定计划——实现计划——回顾, 这个过程就包括解题反思.那么什么是解题反思呢?解题反思是对整个解题活动深层次的思考, 是再发现、再创造的过程.在教学中, 我们常常看到有不少同学做完一道题后不假思索, 急于做其余的题目, 以为这样能力就得到提高了.其实一个数学问题的解决并不等于会解这道题目, 而应该更深一步地去挖掘题目的隐含条件、命题的目的、所涉及的知识要点和数学思想方法, 进一步探讨解题过程的思维方式是否正确、合理、严谨?解决问题的策略是否巧妙?还有其他的解法吗?本题的解法和结论能否进一步推广?学生认知的形成是自己主动建构的过程, 为了提高学生的解题能力, 我认为应该倡导和训练学生进行有效的解题反思, 培养学生反思意识、形成反思习惯, 更好地发挥反思的作用.在教学中我试探着让学生从以下几个角度去反思, 培养学生的思维能力, 优化学生的思维品质.

一、反思解题误区, 培养思维的严谨性

解题不怕错, 怕的是一错再错.很多同学对错题没有认真反思, 致使事后对产生错解的概念依旧模糊、思路依然老套、考虑还是不周, 第二次解此题时照样漏洞百出, 缺乏思维的严谨性.

因此反思错解, 要多问几个为什么.为什么解错了?错在哪里?还有哪些题目也要注意这个问题?

例1 过点P (1, -2) 作圆x2+y2=1的切线, 求切线方程.

错解 设过点P (1, -2) 的切线方程为y+2=k (x-1) .

则圆心 (0, 0) 到切线-kx+y+k+2=0的距离等于半径1,

即$\frac{|k+2|}{\sqrt{k{}^2+1}}=1$, 解之, 得$k=-\frac{3}{4}.$

则所求的切线方程为3x+4y+5=0.

反思 从结果上看, 圆只有一条切线, 但点P在圆外, 应该有两条切线, 上述解答不正确.究其原因, 是还有一条斜率不存在的直线被弄丢了, 这条直线不适合用点斜式方程.所以对直线方程的使用要分清类别, 不能漏解.易知x=1为圆的另一条切线方程.这种解题缺乏思维的严谨性, 还有哪些题也易患类似错误呢?要引导学生积极归纳.

反思解题误区还要注意结论的合理性、正确性等问题, 避免出现“地球直径为3 cm”等有悖于生活常理的低级错误.

学生如果经常这样反思错题, 就会知道哪些题目要注意隐含条件, 哪些公式成立有限制条件, 这样的反思有利于学生解题时多一个心眼, 考虑问题周全细致.

二、反思解题思路, 培养思维的深刻性

由于学生的智力差异, 总有部分学生对解题的思路不求甚解, 因此教师要积极引导学生回顾和整理解题思路, 概括解题思想, 使解题过程清晰化, 思维条理化、精确化和概括化.

例2 若函数$y=\frac{mx-1}{mx{}^2+4mx+3}$的定义域为R, 求实数m的取值范围.

反思 将问题转化为mx2+4mx+3=0的解集为空集.当m=0时, mx2+4mx+3=0无解;当m≠0时, Δ= (4m) 2-4m·3<0, 得到$0<m<\frac{3}{4}$, 故$m\in \left[0,\frac{3}{4}\right).$

数学解题思路灵活多变, 解决方法途径众多, 应如何选择最佳思路、最简捷的方法?通过解题反思, 形成解题策略, 掌握规律, 探求共性, 再由共性指导我们去解决碰到的类似问题, 便可迎刃而解, 发挥多题同解的优势, 培养学生思维的深刻性.

三、反思解题方法, 培养思维的灵活性

对已经解决的问题进行方法的再思考, 是提高解题效益的重要途径之一.首先, 方法的再思考可以省去重新熟悉一个新题的时间, 在已经熟悉的背景下, 转换思维角度, 运用新方法、新手段, 开辟新途径.其次, 重新思考解题方法, 能提高思维的层次, 站在一个新的高度上重新审视这个问题, 容易产生巧思妙解.第三, 新方法的产生会有“众里寻他千百度, 蓦然回首, 那人却在灯火阑珊处”的美妙感觉, 能够激励学生学习的信心, 激发学习者进一步战胜数学困难的热情.还有, 在方法的再思考的过程中, 能够进行多角度探索, 不仅串联知识, 而且巩固方法, 尽管有时没有获得新颖的方法, 也会有其他不匪的收益.

例3 求函数$y=x+\frac{1}{x}$的值域.

方法一 当x>0时, $y\ge 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2$;

当x<0时, $y=-\left[(-x)+\frac{1}{-x}\right]\le -2.$

∴值域为 (-∞, -2]∪[2, +∞) .

方法二$y^{\prime }=1-\frac{1}{x{}^2}=\frac{x{}^2-1}{x{}^2}‚$

∴x在 (-∞, -1) 和 (1, +∞) 时y′>0, 函数单调递增,

∴x在 (-1, 0) 和 (0, 1) 时y′<0, 函数单调递减, 结合函数图像可清楚地认识到y的取值,

∴值域为 (-∞, -2]∪[2, +∞) .

这是一道比较简单的问题, 经过多种思考, 获得丰富的方法, 巩固了分类讨论的思想、数形结合的思想、绝对值的性质、均值不等式、方程的思想、换元的方法, 等等, 较大程度地扩大了解题的收益.

四、反思题目变式, 培养思维的广阔性

在平时课堂教学中, 教师应引导学生多角度、多方位地变换问题的条件或结论, 进行变式教学.这样, 不仅能强化学生对基础知识的理解和掌握, 更能把握住问题的关键和本质, 提高学生思维能力, 深化学生思维.

五、反思引申推广, 培养思维的变通性

在平时课堂教学中, 要不失时机地将问题作适当的引申, 以沟通和总结出具有相同数量关系的不同问题的解答方法, 举一反三, 触类旁通, 不仅有助于学生进一步理解题目的数量关系, 掌握解题规律, 而且有利于训练学生思维的变通性.教学中要创设情景, 加强对习题反思, 引导学生进行类比和归纳, 引发他们的猜想, 提高他们的解题能力, 养成解题反思习惯.

综上, 全面实施素质教育, 培养学生的思维能力, 优化学生思维品质, 要从“授人以鱼”变为“授人以渔”, 注重培养学生主动探究问题的意识, 要引导学生从解题的思路形成过程中去反思问题的内在联系和规律, 领悟心得, 真正体现“以学生发展为本”的教育理念.

参考文献

高中数学解题思维策略 篇11

【关键词】初中数学；解题教学；思维品质；培养

数学本身就是一门具有抽象性的学科，主要研究实现世界的空间形式和数量之间的关系，而数学思维则是以数学物象为对象的，并以熟悉的语言、符号等为载体，来揭示数学规律的一种抽象思维。在初中数学教学中，不仅要传授给学生数学知识，让学生具备一定的数学基础知识素养，而且还要通过数学教学培养学生的各项能力，促进学生的全面发展。教师要进行数学解题教学，这是培养学生解题思维的一种教学形式，不仅能传授给学生一些基础知识，还能形成学生的数学思维，提高学生数学解题能力，培养学生的思维品质。

1在一题多解中，培养学生思维的广阔性

在初中数学解题解题教学中，要注重“一题多解”教学方法的运用，既可以帮助学生加深对数学知识的理解，又能扩宽学生的数学视野，可以融合多种数学知识点，促进学生高效地学习，同时还可以培养学生的思维品质，提高学生的应变能力。真正实现学生对数学知识点理解的通透。

例如，当0

可以采用特殊值法进行解答：因为0x>x2

也可以采用作差法进行解答：两个数相减的结果，可以有正数、负数、零，则用a、b代表两个数，可以得出三种情况：

当a-b>0时，a>b

当a-b<0时，a

当a-b=0时，a=b

因此，可以得出x2-x=x（x-1）

由已知条件可知：0

所以：-1

则x（x-1）<0即x2

同理可得：x-1/x=（x2-1）/x<0

所以：1/x>x>x2

由此可以看出，很多数学问题都存在多种解题思路和方法，学生可以将多种方法都运用起来，再选择最简单、最有效的解法，不僅能开阔学生的解题思路，还能提高学生的解题能力。这些方面的内容，客观地说明了一题多解对于学生广阔思维培养的重要性。在解决实际的数学问题过程中，老师应该结合不同的数学案例正确地引导学生对一题多解这种方法的有效使用，促使他们能够在数学学习的过程中不断地强化自己的思维意识，灵活运用多种数学方法解决实际的问题。一题多解对于学生多个方面的数学基础要求非常高，需要学生在解题的过程中能够不断地回顾以往学过的数学知识，在最短的时间内快速地得出答案，不断提高自己的解题效率。

2在变换教学中，培养学生思维的深刻性

变换教学就是通过变换数学问题的条件、结论、形式、内容等方面的内容，让学生从多个角度进行分析、考虑，找出问题的实质，将问题的本质显现出来。这是学生进行深入学习数学知识的一个重要方法，可以不断深化学生的思维，培养学生思维的深刻性。变换教学中采取有效的方法锻炼学生的思维，有利于激发他们在数学方面的学习兴趣，促使他们能够用合理的方法解决数学问题，不断地增强自身的数学学习自信心。

2.1以等腰三角形的顶点为中心旋转变换

例1右图中D为等腰△ABC内的一点，AB=AC，∠ADB﹥∠ADC，求证：DC﹥BD.

解：先将△ADB绕着顶点A逆时针旋转，使AB与AC重合，可以得到△ADC，连接DD`，则可以得出：AD=AD，∠ADB=∠ADC，BD=CD。

因为∠ADB=∠ADC所以∠ADC﹥∠ADC，又因为AD=AD所以∠1=∠2

所以∠A﹥∠3所以DC﹥DC

即DC﹥BD.

2.2以正方形的顶点为中心旋转变换

例2如右图所示，正方形ABCD边长为2，AB，AD上各有一点M，N，如果△AMN的周长为4，则角MCN等于多少？

解：先将△CDM绕点C逆转90度，到△CBN`处，则可得到：∠NCN=90度。

设AM=x，AN=y，则MB=2-x，ND=2-y=BN，MN=MB+BN=4-（x+y）=MN，由△MCN≌△MCN，可以得到∠MCN=∠MCN，所以∠MCN=1/2∠NCN=45°。

通过上面两个例题的分析，可以看出，图形旋转变换是将线段和角集中在一个熟悉的图形上，在对图形进行研究，找到这些转换图形与原图形之间的联系，在进行解题，这样不仅可以提高学生多种的解题技巧，还能在这个图形转换的过程中，培养学生的敏捷性思维。变换教学对于学生思维的锻炼具有重要的参考价值，需要老师在实际的教学活动开展中能够加强对变换教学的认识，保证初中数学课堂教学的高效性。

3在对比分析中，培养学生思维的批判性

批判性思维主要是对已经存在的观点、解题方法等进行质疑和提问，不是一味的服从，可以对相关的观点和解题方法进行反思和完善，形成自己的观点或方法。运用对比分析的方法，可以有效的培养学生的批判性思维。对数学基础知识的学习是培养学生批判性思维的基础，教师在教学的过程中，要充分把握基础知识的教学方法，帮助学生形成一定的数学知识框架，掌握一定的数学解题技能，同时还要重视教学情景的创设，将批判性思维渗透到教学的每个环节，培养学生的批判性思维。初中数学角的对比分析过程中，具体的例子如下：

如图所示，已知∠AOB是直角，∠BOC=30。OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON的度数。

解：因为OM平分∠AOC，ON平分∠BOC

则∠MOC，ON平分∠BOC=∠AOC，∠NOC=∠BOC

因此，∠MON=∠MOC-∠NOC=∠AOC-∠BOC=∠AOB

而∠AOB=90°，则∠MON=45°

由上述例子可知，利用角平分线及角和差的概念，可以快速地得出最终的答案。通过不同角度之间的对比分析，能够使学生在较短的时间内理解问题求解的主要思路，促使他们能够更好地掌握初中数学中有关角度求解方面的具体方法。运用对比分析的思路，能够让一些复杂的角度求解问题变得更加简单，加深学生们对如何运用对比分析法解决实际问题的理解。初中数学包含的知识点较多，对于学生解决具体问题过程中的综合能力提出了更高的要求，需要老师在日常的教学中注重对比分析法的正确引导，逐渐提高学生的解题效率，不断地锻炼他们的思维能力。

4结语

综上所述，教师要在实际的数学教学过程中，注重培养学生的思维品质，确保每位学生都具备一定的数学思维，可以将数学解题步骤的每一个环节都做到位。在初中数学解题教学中，培养学生的思维品质，不仅能帮助学生形成良好的数学思维习惯，还能提高学生学习数学知识的效率，在数学教学的每个环节中都将“思维体操”融入进去，来激发学生的学习兴趣，不断增强学生学习的源动力，培养学生的思维品质，促进学生的全面发展。

参考文献：

[1]陈美清.浅谈初中数学解题教学中学生思维品质的培养[J].江西教育学院学报，2012，03：20-23.

[2]司静.初中数学解题教学中学生的思维品质培养[J].中华少年，2016，16：125-126.

高中数学解题思维策略 篇12

一、渗透动静转换的思维策略

动和静是事物状态表现的两个侧面。在数学中, 一方面动和静在一个参照系中是相对的、可以转化的, 另一方面, 对于同一事物可以追寻形成静止状态以前的运动过程;或者反过来, 从运动表现中推出的事物将会达到相对静止局面。因此在教学过程中渗透用运动的观点来处理静的数量和形态, 即以动求静;或用静的方法处理运动过程和事物, 即以静求运动。

例1如图1, 在半径为2的⊙0内有一动点P, 过P点有两条互相垂直的弦AB和CD, 试求AC2+BD2的值。

分析:因为P是⊙O内一动点, 由问题可以推猜它是一个定值, 那么这个值会等于什么呢?可猜想它的值和在特殊位置时的值应该相等, 那么把这个P点移到O, 成为一个静止下的状态, 可求得AC2+BD2=16=AB2, 由此可以联想到添一条直径作为辅助线, 构造直角三角形, 从而使目标问题得到解决。

解:作直径BE, 连结AE、DE (见图2) , 则∠EAB=∠BDE=Rt∠, 又AB⊥CD, 所以AE∥CD, 可得AC=DE, 在Rt△BDE中, BD2+DE2=BE2=16, 即AC2+BD2=16。

二、渗透正难则反的思维策略

解决数学问题时, 一般总是先从正面入手按照常规思维去进行思考, 但有时会遇到从正面入手较繁或较难的情况, 或出现一些逻辑上的困境, 这时应克服思维定式, 从问题或其中某个方面的反面入手进行思考, 采取顺繁则逆、正难则反的思维策略, 即反证法。

例2已知四边形ABCD中, ∠B+∠D=180°, 求证:四边形ABCD有一个外接圆。

分析:圆内接四边形对角互补, 此命题的正确性好像很显然的, 但要从正面去说明这个问题的正确性又难以从逻辑上说清楚, 故我们可从反面去说明, 即用反证法证明之。

证明:作△ABC的外接圆O, 假设点D不在⊙O上, 则点D在⊙O内或在⊙O外。

(1) 如图3, 若点D在⊙O外, 设CD (或AD) 交⊙O于点E, 连结AE, 则四边形ABCE是⊙O的内接四边形, 所以∠B+∠AEC=180°, 而∠AEC>∠D, 所以∠B+∠D<180°, 这和已知矛盾, 所以点D不在⊙O外。

(2) 如图4, 若点D在⊙O内, 设AD的延长线交⊙O于点E, 连结CE, 则四边形ABCE是⊙O的内接四边形, 所以∠B+∠E=180°, 而∠ADC>∠E, 所以∠B+∠ADC>180°, 这又与已知矛盾, 所以点D不在⊙O内。

综合 (1) (2) 所以点D在⊙O上, 即四边形ABCD有一个外接圆。

三、渗透分合相辅的思维策略

任何事物的构成都具有“一中有多, 多中有一”的性质, 从而任何事物都可以进行肢解或合并, 数学问题也是如此, 因此在解题过程中可以将求解问题进行肢解, 转化成一些较小的、易于解决的小问题, 再通过合成, 使原问题在整体上得到解决, 这就是化一为多、以分求合的思维策略;有时也可以反过来, 把求解的问题纳入到较大的合成问题中, 寓分为合、以合求分, 使原问题迎刃而解。

例3求证:不论a为何实数时, 关于x的三个方程, x2- (a+1) x+a2-1=0, x2- (3a-1) x+a2+a-2=0, x2+ (2a+1) x+a2-2a+3=0至少有一个方程有两个不相等的实数根。

分析:若把每个方程的根的判别式求出, 逐一进行验证, 既烦琐而且很难处理, 此时我们教师提出, 能不能把这三个根的判别式放在一起, 进行整体考虑呢?即寓分为合、以合求分, 即三个判别式在什么情况下能保证至少一个大于0呢?三个判别式相加大于0, 从而我们只需处理整体是否对于a取任何实数时的值都大于0就可以了。

所以对于a取任何实数时, △1+△2+△3叟1>0;所以对于a取任何实数时, △1、△2、△3中至少一个大于0, 即对于a取任何实数时, 三个方程中至少有一个有实数根。

四、渗透倒顺相通的思维策略

倒顺相通策略就是分析和综合相结合的思维策略。解数学题往往会用顺推, 从条件出发推出某些关系或性质的成立, 或者从结论出发去寻求使它成立的充分条件, 直至追溯到已知事项, 但最有效和简捷的解题途径是这两者的结合的思维策略。渗透语言为:你是否利用了整个条件?若把结论当做条件, 你能从这个条件中得出什么结论?通过已知条件你能得出这个结论吗?

例4如图5, AE和BD是△ABC的两条高线, M、N分别是AB和DE的中点, 求证:MN⊥DE。

解析:因为N是DE的中点, 若把MN⊥DE当做已知, 你能得出什么结论?可以得出MN是DE的中垂线, 利用中垂线的性质, 你可得出什么结论?若连结MD、ME, 就有MD=ME, 反过来, 若有MD=ME, 你能证明MN⊥DE吗?通过已知条件, 你能得出MD=ME吗?由已知DM和EM分别是Rt△ABD与Rt△ABE斜边上的中线, 有通过这样的设问, 使问题的结论和条件倒顺相通, 从而问题得到解决。