中学数学开放题教学

中学数学开放题教学（精选12篇）

中学数学开放题教学 篇1

诺贝尔物理学奖获得者谢尔盖·格拉肖认为,培养杰出科学人才的关键在于“让年轻人停止当学生,使他们开始成为物理学研究者”。他的话从一个角度说明了当前学校教育存在的弊端———教科书、学校及教师常常给学生设定了学习路径和找寻正确答案的方向。随着信息技术的飞速发展,社会形态越来越开放多元,随时都会碰到问题,不知道问题是否能够获解,有时甚至不知用什么方法解决。为了帮助学生实现“学用”结合,学校教育亟须更多地开放,让学生的学习更接地气,促进学生更积极主动地创新。学生是天生的创造者和探究者,从这个意义上说,以数学开放题为依托的开放课堂为学生问题解决能力的培养提供了另一种路径,笔者以苏教版义务教育教科书《数学》五年级上册“平行四边形面积”为例,谈谈自己的实践与体悟。

一、探究思路开放:猜想与实验的无缝对接

猜想和实验是学习数学的两种重要方法。数学猜想是人们依据已有数学知识和经验,运用非逻辑的思维方法,凭借直觉而作出的假设和预测。它是人们探索数学规律、发现数学知识的手段和策略。数学研究更需要实验,数学家有时通过成百上千次的实验、观察、联系、归纳、类比、猜想才发现一个真理,最后用特有的严谨数学语言表达出来。教科书一般都把问题背景和探索过程省略了,这就需要学生在学习时进行必要的“时空穿越”,以亲临其境的姿态进行探寻。

从这个意义上说,教师应在教学过程中为学生提供丰富的现实背景,激发学生的学习积极性,引导学生从不同角度进行大胆猜想,并给予他们充足的自主探索、实验操作和合作交流时空,在问题解决过程中帮助学生积累广泛的数学活动经验,发展数感,提高探索、发现和创新能力。

课始,笔者用课件出示一个长方形花坛和一个正方形花坛,问学生会算这两幅图形的面积吗?因为没有标出相关数据,学生无法直接解答。在得到否定回答后,教师给这两幅图分别覆盖上方格图(每个方格边长1厘米),学生很自然地就能调用原有知识经验口答出两幅图的面积。这种通过数方格的方式推导平面图形面积的方法为学生的后续学习做了回顾、示范和铺垫。教师接着设疑,出示一个平行四边形,让学生猜想一下它的面积会用怎样的算式来计算呢?让学生充分发表自己的观点。因为受到长方形、正方形面积计算方法的影响,学生有可能出现三种不同的假设,即:6×5、6×4、5×4。教师及时抓住学生的疑惑,适时激发思考:这3种假设都正确吗?可能有几个正确算式?(提示:假设有可能都不对)教师指出:数学思考不能只停留在假设阶段,更重要的是要寻找方法验证假设,并顺势板书:假设—验证,为本课学习归纳出第一条路径。

这一过程从长方形、正方形的面积计算方法引入,引发学生对旧知识回顾,再出示一个平行四边形,让学生根据自身已有知识经验猜想,教师罗列出三种不同想法后,引导学生评判,从而进一步诱发学生进行校验,为学生搭建了概念学习的多元开放的探究架构。

二、探究过程开放:特例与归纳的内在关联

波利亚曾精辟地指出:“数学有两个侧面,一方面是欧几里得式的严谨科学,从这个方面看,数学像是一门系统的演绎科学,但另一方面,创造过程中的数学,看起来却像是一门试验性的归纳科学。”诚哉斯言,数学不是一门实验性的科学,故而在学习过程中不能将观察到的结果、实验性的验证作为判断数学命题真假的充分依据,但实验对数学发现及探求数学问题的解决思路起着重要作用。正如欧拉所言:“数学这门学科,需要观察,也需要实验。”

受长方形面积计算方法的定势和干扰,不少学生认为平行四边形的面积等于相邻两条边的乘积,这是学生认知中最大的障碍。为了突破这个难点,执教者对教科书进行了大胆重组,让学生放开手脚在猜想验证中自主探索,体现研究思路多元,研究方法开放。在学生猜想同一个平行四边形有三种不同的计算方法后,及时组织师生互动,让学生通过反思认识到这三种假设有可能一个都不对,也有可能只对一个。正所谓不愤不启,学生身处思维的困顿之中,教师启发、点拨学生可以用数方格的方法尝试实验。

师生合作用边长1厘米的小正方形铺一铺,实验发现图2中用20个完全一样的小正方形一个一个地铺平行四边形,无法铺满整个平行四边形,即平行四边形的面积比20cm2大。因此,5×4=20cm2是错误的。继续用小正方形铺,如图3所示铺上28个小正方形时,就会超出平行四边形,也就是说平行四边形的面积小于28cm2,故5×6=30 cm2也是错误的。剩下的假设———6×4=24cm2就一定正确吗?教师放手学生继续猜测。师生合作、讨论,寻找问题解决的办法,教师注意搜集整理学生想法,诱发学生思考,揭示转化策略,并和学生一道借助课件演示尝试通过剪、拼的方式,把图中多余部分平移、擦去后(图4),学生发现平行四边形的面积恰好是6×4=24cm2。教师适时与学生一起回顾6cm、4cm分别在图形中所担负的角色———它们分别为一组对应的底和高,从而概括出平行四边形的面积=底×高。到这儿似乎大功告成了,殊不知这个实验仅是一个个例,这个计算公式是否具有普适性,还需要进一步证明。拉普拉斯:“在数学里,发现真理的主要工具是归纳和类比。”归纳和类比环节在过往的教学实践中常常被忽略。为了帮助学生亲历学习的整体过程,自觉经历知识的产生过程,笔者在教学时还设计了归纳、类比的环节,与上述猜、想实验环节遥相呼应,以数学的姿态逼近问题本质。

第一层次:思想渗透。出示图5,学生猜测后教师启发方法,课件演示验证,将学生懵懂的表象认知转化为清清晰的认知,即:把不规则图形通过剪、移、拼,转化成长方形,面积不变。

下面的两个图形面积相等吗?

第二层次:数据实证。操作实验时,学生通过小组合作把一个平行四边形转化成长方形。教师给出活动小贴士:

选一选:从信封中任意选择一个平行四边形。

说一说:小声商量一下,我们小组准备怎样转化。

动动手:两人一组,剪一剪、移一移、拼一拼,我们有什么发现?

小组活动后展示交流,重点呈现同一图形不同小组不同的剪法,凸显转化效果相同,即通过剪、移、拼,把平行四边形转化成了长方形。让学生感悟开普勒的言论:数学就是研究千变万化中不变的关系。自然过渡到数据整理阶段,因为教师事先提供了5种不同的平行四边形,小组合作轻松完成表格的填写(表1)。对照表格中的数据,讨论并回答教科书第8页的三个思考题,从众多的事实中通过不完全归纳得出平行四边形的面积计算方法。

这样,通过实证的教学模式,引导学生参与猜测、动手操作、收集数据、分析数据的全过程,使学生在亲身体验和思考过程中,主动发现、建构知识,逐渐学会用数学眼光观察身边的事实,从层层递进中追根溯源,不断释疑明理,让数学知识以科学的形态出现,让学生在开放探究中深刻感悟到知识本质,体验到探索与发现的快乐,初步懂得孤证不一定为假,多证不一定为真的道理,最终实现基础知识习得、基本技能练习、数学思想方法渗透、基本活动经验积累的有机达成。

三、练习视角开放:传统与创生的有机结合

苏步青先生认为学习数学要多做习题,边做边思索;先知其然,然后知其所以然。从这个角度看,基本知识习得、基本技能训练、基本思想方法内化、基本活动经验的反刍需要恰到好处的、适当的、开放性的练习。传统教学经验表明:新知识巩固的最佳路径是从不同维度设计指向性问题。一道好题的价值之一就在于它能产生其他一些好题,数学开放题作为一种答案不惟一的习题,自上世纪70年代出现后一直方兴未艾,日常数学学习中渗透开放题能有效撬动学生的数学思考模式,打开别样思路,促进学生思维发展,特别是学生的创造性思维培养。

基于这样的考量,笔者设计了三个层次的练习,即基本练习、变式练习和开放练习。在基本练习中增添变式的介入,从对第三个平行四边形面积的正确计算中强化平行四边形面积等于对应底乘对应高,全面透彻地掌握基本概念。

在变式练习中设计一个操作活动,将长方形木框通过拉动变形为平行四边形,给学生提供了另一扇观察变与不变的“窗户”。辨析中从另一个维度再次证明平行四边形的面积≠相邻两条边的乘积,强化教学难点认知。直观再现拉动前后周长不变、面积变小的事实,给学生充分表达自我感受及见解的机会,提供课件演示让模糊的感知变得更清晰,从而明晰两者变与不变的内在联系。

开放练习是本课设计的亮点之一,根据教科书编制特点及对教学重难点的理解,将传统数学习题改变问题呈现方式———“变封为开”,设计了“在方格图上画一个面积为12平方厘米的平行四边形”的练习题,以期通过综合开放题的练习实现对教学难点的深入突破。在日常数学课堂教学中植入开放题元素,努力实现开放题教学与常态课堂教学的有机融合,这是一个颇具挑战性的问题,对学生空间想象力、发散思维能力的要求较高,成为本课中学生数学思维深化的一个重要环节。学生在四年级时已有画平行四边形的经验,问题解决中的主要挑战来自于对等底等高平行四边形的理解不够熟练,囿于长方形的长期刺激所带来的底和高对应相等的平行四边形的认知局限等,限制了解决方案的数量。在这一过程中,学生的独立思考、小组的合作讨论、教师的适当点拨、师生的互动交流都能为丰富问题答案的呈现锦上添花,从而引导学生就某一底和高画出不同的平行四边形,也可从不同的底和高画出更为丰富的平行四边形。这样把数学开放题引入常态课堂教学,不仅为封闭的数学习题系统注入了一池活水,还可以更大力度地培养学生的创新意识和创新能力,进一步增强数学课堂的亲和度和时代色彩。

总之,从开放题到开放教学,不仅是研究的深化,也是一种时代趋势,更是一次前瞻转型。以开放课堂牵引学生能力向纵深发展,破解学生能力培养方式的瓶颈,以数学素养的提升为有效出发点及落脚点,能更好地致力于学生的健康、快乐成长。

参考文献

[1]杨传冈.小学数学开放题教学行思[J].教育探索,2015(11).

[2]波利亚.怎样解题[M].涂泓,冯承天,译.上海:上海科技教育出版社,2007.

中学数学开放题教学 篇2

立项时间：2002年5月 课题负责人： 姓名：刘玉国 职称：小教高

单位：葫芦垡中心校 职务：副主任

课题组主要成员：庞役臣、张海英、张晓娣、刘玉秀、李凤英、王育宏

结题时间：2005年1月 报告执笔人：刘玉国

一、问题的提出

我们所谓的开放题，国外叫做“open—ended problem”,即开放结果的问题。对此国内的说法很多。归纳起来大致有下面四种：结论不唯一的题是开放题；条件不完备或结论不唯一的题是开放题；条件不完备、结题策略多样、结论不唯一的题是开放题；解决方法不唯一的数学题是开放题。

本课题组认为，不应该狭义地去理解数学开放题。因为数学开放题是直接针对课堂教学改革而提出的，在研究数学开放题时应更多地考虑教学因素。因此，本课题组比较赞同第四种说法。因为它不仅仅考虑题，更重要的是考虑人，也就是说，他从数学和教学两个方面来规定数学开放题。

在国外，数学开放题的教学已经进行了二十几年。60年代技术革新导致西方各国对人材质量提出更高的要求。具有创新精神和创造能力成为高质量人才的新标准。为了培养人才，各国政府纷纷对教育进行改革。从数学教育的内部来看，“新数运动”的全面失败迫使各国寻找数学教育的新出路。1971年，日本一个27人的学者群体率先研究数学开放题的教学问题，并于1977年发表了名为《算术、数学课的开放式问题改善教学的新方案》的报告，此事引起了世界各国的重视。欧美各国相继开展数学开放题的教学研究。美国中小学教材中有相当多的数学开放题。1980年我国首次有人介绍数学开放题。随着数学开放题成为中考和高考的新题型，研究数学开放题的人越来越多。但是，对于数学开放题的理论与实践基础，开放题教学的实质等理论问题，还未取得共识。对于如何处理开放题与封闭题相结合的关系，教师在课堂中如何进行开放题教学，编写开放题的原则等实践问题，还未形成一个立论点高，立法程序明细合理的基本思路。

进行小学数学开放题教学的研究是十分必要的。因为：

1、我们的教育对象都是三至十二岁的小孩子。孩子的事业在未来。也就是我们的工作对象都具有未来的性质。未来是充满开放性和不确定性的。既然我们的工作对象具有开放性的特点，我们就应该有开放的态度。用开放的方式来教导他们。当我们认识到问题的实质之后，仍然固守封闭的思想，仍然僵化的教学方式，那将是一种不负责任的行为。

2、数学的特点也是开放的。他是人类的一种创造性活动。包含有错误、尝试和改进的过程。它必然处于不断的发展变化之中。

3、1999年6月13日《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》指出：“智育工作要转变教育观念，改革人才培养模式，激发学生独立思考和创新的意识，培养学生科学精神和创新思维习惯。”这就是说，创新教育已经在我国纲领性文件中明确规定下来。数学创新教育的模式怎样呢？人们仍在不断探索。当前，数学教育倾向于认为开放式数学教学是培养学生创新精神和实践能力的一种较为有效的教学模式，然而脱离了数学开放题，也就谈不上数学开放题教学了。

鉴于此上原因，我们确定了“小学数学开放题教学的研究”这一课题进行研究。

二、研究的目的及意义

（一）研究目的

通过实验研究，探索小学数学课堂教学过程开放、设计和使用开放型练习题，促进数学课堂教学模式的改革；为学生创设良好的数学课堂教学环境，创设主动参与的时间与空间，培养学生主动探索数学的兴趣爱好，培养学生肯钻研、善思考、勤探索的科学态度，让学生在不断探索与创造的氛围中，创新精神和实践能力的培养得到落实。

（二）研究意义

1、数学开放题教学有利于发掘每个学生的数学潜能。

2、数学开放题教学有利于学生更多地交流与合作。

3、数学开放题教学，有利于满足学生的心里需求。这些需要包括：求知的需求、参与的需要、交流的需要和自尊的需要。

4、数学开放题教学有利于培养学生的创新思维。数学开放题教学，特别是其中的解题教学，非常适合培养学生的发散思维、直觉思维和逻辑思维，而这些都是创新思维的基本组成。

三、研究原则

１、创新性原则。要实施开放题教学的探究，教师首先必须更新自身陈旧的教育观念，勇于创新，勇于突破传统教学的种种束缚。

２、主体性原则。教师要树立“以人为本”的思想理念，在研究过程中充分发挥学生的主观能动性，把主动学习的权利还给学生，努力为学生创设一种开放民主的教学场所，使学生真正成为探究问题的主人。

３、开放性原则。在研究过程中，教师既要培养学生的个性，又要兼顾到学生的学法，教学环境，教师要承认学生间存在的差异，要因材施教，最终达到“不同的学生学习不同的数学的目的”。

４、激励性原则。教师要把握好激励性原则，让学生学会探索问题、解决问题的能力，树立积极向上的情感，磨练学生坚强的意志，提高需要的层次，使学生时刻都体验到成功的喜悦。

四、研究方法

研究方法主要有文献分析法、调查法、试验法（在五所小学开展研究，每校确定两个实验班。以学期为单位，在试验基础上进行专题研究）、经验总结法和行动研究法。

五、研究与实验的过程

本课题从2002年2月开始，到2005年1月结题

1、准备阶段：（2002年2月――200年3月）

确立研究课题，成立课题组；建立学习制度，收集学习研究有关资料，提高思想认识；制定课题研究实施方案进行尝试性研究，作好课题研究的前测对比。

2、实施阶段：（2002年4月-2004年8月）

按照实施方案有序地展开研究，同时搜集相关资料，分析整理搜集的资料，进行中期汇报，在此基础上调整实施方案，修正子课题计划，继续进行课题研究。

3、总结阶段：（2004年9月-2005年1月）

继续进行课题研究，积累汇总研究资料，准备撰写子课题论文；撰写结题报告，做好结题工作，全面展示课题研究成果，为成果鉴定作好充分准备。

4、回顾本课题的研究过程，为了扎实有效地开展课题研究，组织开展了一系列活动，组织教师认真学习有关理论，课题组进行了48次会议，写下了教学心得体会和教学笔记数万字。刘玉国老师、张晓娣老师、王玉宏老师等分别举行公开课。举办三、四、五年级的开放题竞赛，组织课题组的部分成员外出听课学习等等。

5、组织教师学习教育理论，更新教育观念，树立科学的育人观，树立正确的学生观，打破传统的教学观念，教学模式的束缚，树立现代教学观和科学教学质量观。

6、结合本课题的研究方案，明确课题研究的意义，参与实践的教师每学期8次活动，同时加强交流，写好案例分析，心得体会等文章。

7、学校对教科研论文、课题的获奖的不同级别作了相应的奖励规定。还将教科研工作考核作为名师评选、职称评定、职务晋升、教师聘任的重要条件。

六、研究与试验成果

（一）、开放题教学模式的几个特征

1、朋友型师生关系是开放题课堂教学的重要特征。课堂教学从封闭走向开放，使教师与学生的心理空间由封闭到开放；教材的知识空间与学生的经验空间由封闭到开放；课堂学习的空间与学生课外的生活空间由封闭到开放。教师成为学生学习的支持者，确定资源分享的朋友型师生关系。

2、学习材料的来源多样化，活动成为学生参与学习的主要形式。在课堂学习中，学习材料的丰富效果非常直接，学习材料来源也是单一的教材，而更多的是学生的生活材料。

3、学习乐趣的享受成为主要学习动力。积极的自我激励成为评价的主流。以前我们把分数作为学生学业评价的主要形式，自从把百分制改为等级制之后，虽然在一定程度上模糊了分数的重要性，但其实质并没有发生显著变化。从教师角度来看，评价的目的是为了激励学生的进一步学习。开放教育的特点就是充分体现学生的内在激励，加速了学生动力结构的发展过程。学生的主体得到了充分尊重，在自主活动中获得了一种自由，学生可以在教师面前随意表达，真正体会到学习过程中开放的快乐、交流的快乐，这种快乐使他们体会到了学习开放题的魅力是无穷的。

（二）开放教育实践的几种形式

1、条件开放

学生通过对题目先从不同的角度补上条件，然后解答。这种教学一般在应用题教学中较为常见，如要求学生补上一个条件使之成为二、三步计算的应用题：某化肥厂，去年生产化肥4000吨，＿＿＿＿＿＿，今年和去年一共生产化肥多少吨？这一题补充方法很多，学生可以根据自己的能力，补上各种各样的条件，然后解答出来。

2、问题开放

在相同的条件下叫学生补上问题，补上不同解法的问题，如：两个修路队，修一条公路，甲队修800米，乙队修850米，＿＿＿＿＿＿？学生可以补上“甲队修的是乙队的几倍？（几分之几、百分之几）” “乙队修的是甲队的几倍？（几分之几、）”、“两队共修有多少米？”、“两队相差多少米？”、“甲队比乙队少修几分之几？（百分之几）”“乙队比甲队多修几分之几？（百分之几）”、“甲队修的是甲乙两队共修的几分之几？（百分之几）”……等等。

３、答案开放。

一题有多种答案，甚至有无数多个答案，而且大部分的题目，在解出不同结果的同时能总结出解题规律。如：一条道路长１千米，在道路两旁植树，要植树多少棵？这里要根据自己植树的株距来确定植树的棵数，答案有无数个。又如：“小数变身”，用2、3、4和小数点能组成哪些不同的小数。通过学生的讨论，得出十几个满足条件的小数（2.34 3.24 4.23 3.42 4.32 2.43 24.3 43.2……）但对满足条件的小数进行归类，具体有两类：一类是一位小数，另一类是两位小数。

４、解法开放

一道题目往往有多种解法，繁简不等。一题多解就是启发学生根据题意和数量关系，应用已学习和掌握的知识，不拘泥、不守旧、打破一般的框框，去进行灵活的思维，别出心裁，另辟蹊径。在教学过程中，设计一题多解的方法，有利于学生开宽视野，如一个工程队铺一条公路，前４天铺了２００米，照这样的速度计算，１６天全部铺完，这条公路长多少米？学生根据不同的解题思路，可用归一法，倍比法，比例解等等，得出多种解法，但得出的结果是相同的，可使学生运用不同的解法来检验答案是否正确的，从而培养学生解题的正确率。

５、解题策略开放

解答问题的方案有多种多样，可以使学生能更好的得到思维训练。如在教学一年级“认识人民币”的练习中，教师拿十元币两张，五元币两张，两元币两张，一元币五张，五角币五个，两角币五个，一角币五个，现在要买38元6角的书包一个，你用什么方法去买？这样有几种买法？又如，学生用３０元钱到商店里买东西，有牙膏每支６元，八宝粥每听８元，钢笔每支８元，笔记本每本2元，你打算买什么物品，到底买多少？应找回多少钱？在实际生活中学生采取的策略，进行开放题训练，这样提高了学生解决实际问题的能力。

（三）开放题教学的实践效果

1、培养学习兴趣，激发学生的想象力

兴趣是一个人力求接触和认识某种事物的意识倾向，是学生产生学习自觉性的内在动力。兴趣愈浓，观察、思维、记忆等多种智力活动愈有成效。“兴趣”是最好的教师，“想象力”是创造的灵魂。当学生有兴趣去学习某一知识，那么学起来就会事半功倍，开放题教学培养学生兴趣尤为重要，学生的兴趣提高了，想象力也随之愈来愈丰富。如：“奇妙的四位数”，在四位数中，有些数满足各位上的数的积等于这四个数中的一个。如：1119，1×1×1×9=9，你能写出这样的四位数吗？试试看。学生通过思考，乘积不是0的情况下满足条件的四位数共有1+4×8=33个。

2、拓展解题策略，增强学生合作精神

开放题教学，从条件到问题思路都是多样性，丰富解题策略，重视过程的研究，在得到答案的同时，学生爱问“为什么”，还有什么方法，在问的过程中思路就广阔了，创造性思维孕育而生，学生探究的本领得到提高。开放题教学采用的形式是多种多样的，如：小组讨论、集体讨论、师生互助等活动。这样为学生提供了广阔的交流空间。学生学会了主动适应群体或团体的学习、生活，学会与人合作、与人交流，在合作交流过程中学会评价和自我反思。切实为他们今后的学习生活作好了充分的准备。

3、拓宽学习空间，培养学生创造精神。

传统的数学教学，学生对知识的学习大多拘泥于学“答”，使学生以为数学只是书本上的题目，枯燥无味。开放题教学，引导学生冲破常规，对产生问题的可能性进行多侧面、多角度的思考，引导学生从不同的角度去寻求不同的解法，想出不同寻常的答案，“让学生带着教材走向老师，走向生活”，为培养学生的创造精神提供广阔的空 间。如手机、计算器、电子秤等上面的数字按钮往往排列为：

取其中三个数字组成三位数，差是198的例子。引导学生（1）每行的三个数字，从左到右及从右到左，组成两个大小不同的三位数，它们的差是198，（321-123=198，654-456=198）。（2）对角线上的两个三位数的差是198，（357-159=198，951-753=198）。（3）三角形两个三位数的差是198。（4）十字形上两个数的差也是198，（456－258＝198）。

4、推进素质教育、全面提高教学质量。

教育是未来的事业，今天的教育是为了明天的建设服务的，社会需要人才是多种类型，多种规格，多种层次的。运用开放题教学促使学生探索问题，培养创新精神。

（四）理论思考

1、常规教学能够与开放题教学相结合；

2、常规教学必须要与开放题教学相结合；

3、开放题教学必须在常规教学的基础之上进行。

4、编写开放题的方法：（1）类比编制

用类比编制数学开放题，就是根据已知的某个开放题的结构或某种现象的特点，运用类比的方法编出新的数学开放题。常用的有以下几种类比的思路：

A、数与数的类比: 在小学数学中，整数、小数和分数，在计算方面有着许多共同的特点。在编制数学开放题时，可以运用它们的共同属性，进行相互类比。如：(1)整数与小数类比；(2)整数与分数类比；(3)小数与分数类比。例:求三个数的和。

求出图1中三角形三个顶点上数的和。

[分析与参考答案]

在图1中，小的三角形有四个，大的三角形有一个，共有五个三角形，相应的五个算式是：2+3+6=11，3+6+7=16，8+3+7=18，6+7+1=14，2+8+1=11。

如果把例2中的数换成小数或者分数，就可以得到新的开放题

B、形与形的类比

不但数与数可以类比，形与形也可以类比。形与形之间主要是线、面和体的类比，具体地说：(1)线与面的类比；(2)面与体的类比。

例:下图中有许多线段，有一些线段包含CD，请你写出包含CD的线段。

这是一个关于线段的开放题，可以类比出下面这个关于面的开放题：

带圈正方形：

在3×3的方格纸中，可以找出许多正方形，下图中有一个圆圈“○”，请你把所包含这个圆圈的正方形涂上阴影。

C、文学与数学的类比

文学与数学看上去似乎毫不相干，其实它们常有着许多的相似之处，运用这些相似，利用文学中的某些词或者句子的结构就能类比出开放题。

例

3、写出回文数。

“牙刷刷牙”这句话从左往右读和从右往左读完全一样。717这个数从左往右读和从右往左读也完全一样，请你写出满足从左往右读和从右往左读一样的三位数。

[分析与参考答案]

在3×3的方格子中，边长是1的正方形有9个，显然最中间的这一个小正方形包含圆圈，如图(1)。边长是2的正方形有4个，边长是3的正方形有1个，这些正方形都包含圆圈，如图(2)至图(6)。

(2)变封闭题为开放题

A、将封闭题适当改变条件或问题使之成为开放题。B、将封闭题增加多余条件使之成为开放题。C、删除封闭题的条件或问题使之成为开放题。（3）结合学生生活实际编写开放题。

（五）开放题教学的体会

小学数学开放题教学的探究和实践，能更好地发挥学生学习的主动性，极大地激励学生学习的积极性，使学生感到开放题新颖亲近，变得摸得着、看得见，易于接受，从而激发学生内在的认知需要，变“要我学”为“我要学”，教师利用学生已有的生活原型联系实际学数学，实现了“数学教学法生活化”，真正让学生把知识用于生活，提高了应用能力，达到学而之用的效果。开放题教学能全方位培养学生的创造能力，更好地满足了学生的心理需要，更好地启迪了学生的思维，更好地拓展了学生的空间，使学生的创新意识和能力得到较好的培养。

经过这三年的实践和研究，我们看到许多方面在发生着悄然变化：

1、建立了民主、平等、和谐的师生关系，使学生得到生动活泼、主动的发展。教师开放的教学观，注重发展的教学评价为学生创设了一个没有束缚的、充满民主、和谐、平等、自由的学习氛围，使学生成为课堂的主角。在教师亲切的眼神、会心的微笑、生动的语言中学生感受到学习的愉快，感受到爱和尊重、乐观和自信，也敢于发表自己的见解、提出自己的观点，从而能大胆探索。我们曾对学生作过一些问卷调查。从调查情况来看，多数学生对学习数学充满信心；在学习中，学生的个性、想法多数能得到老师的尊重；遇到困难时，一般能想到向老师、同学、网上求助；与数学老师的关系多数良好；有的还对老师提出了一些希望和建议。

2、培养了学生的非智力因素，促进学生全面发展。开放性教学打破了师道尊严，讲究师生平等，教师对学生的思维预先设置的限制减少了，便于学生充分发挥自己的个性，为学生提供了具有开放性和选择性的发展空间，有利于促进学生的兴趣、动机、情感、意志、性格等非智力因素的健康发展。多数学生在课堂上情绪高涨，思维敏捷、想象力丰富，学习积极性和主动性得到了充分发挥。如在学习《认钟表》时，学生对钟表有了一定的认识后，教师让学生画钟表，画着画着有的学生哼起了歌，几分钟后，一幅幅作品展现在大家眼前。

3、学生的创新意识和创新精神得到了培养。

在开放性教学中，教师不仅接受学生提出的不同见解，并且鼓励用不同的方法来解决问题。学生在适宜的学习环境中大胆质疑、热烈讨论、合作学习、情感交流、思维碰撞、积极探索，敢于标新立异，在参与学习的全过程中创新意识和创新精神得到了充分发展。如在填数：＿、＿、＿、9、＿、＿、＿。学生从一个一个地顺着数和倒着数来填；有的从单数来考虑顺着数、倒着数；也有的学生三个三个来顺着数、倒着数；更有学生想到这样填：1、4、5、9、14、23、37。在教学中，有许多精彩的意外让教师始料未及。

4、学生的思维品质得到了锻炼。

开放性教学不仅要解决开放性的问题，也表现在问题解决策略的开放性。学生在探索多种结果和解题策略的过程中，培养了思维的广阔性；开放性问题大多能进一步引伸、拓宽为新的问题，学生在探索出一些结论后，还能进行较深层次的分析，发现隐含的结论和更一般、内在的规律。这样，学生思维的广阔性就得到了发展。在问题解决的过程中，学生的独立思考和相互讨论、辩论，培养了他们思维的灵活性和批判性。这些均有助于培养学生良好的思维品质。这三年来，五所学校的十个实验班在三次房山区统一抽测中数学平均分都在95以上，名列房山区前茅。中考成绩总计4名学生考入市重点中学，15名考入良乡附中，23名考入良乡一中。高考成绩7人考入重本。

5、促进了教师教学方式的改变和学生学习方式的变革。

在实践中，我们所倡导的一些基本模式正是体现以学生为主体，以思维训练为主线，以探究为主的思想。我们根据学生的学习、生活活动为线索来设计教学；强调小组合作学习；加强动手操作；重视情景的创设、氛围的营造；充分发挥现代教育媒体的优势；重视教、学过程的互动；特别是实践活动的组织和实施。如六年级学习统计后，组织开展《假日小队》，分小队去了解统计家庭中家用电器、交通工具使用情况、街头广告中常用错别字出现情况等。学习利率之前，指导学生去银行采访了解相关情况，获得教材中所没有的信息。学习百分数后，在生活中收集百分数应用的资料，到商店去了解打折等知识。围绕某一个主题试写小论文、编写数学墙报、手抄报……在社会调查、实践活动中，让学生学习“活”的数学，开拓了学生的视野。

6、通过研究与实践，造就了一支年轻的具有现代教育意识的科研型、创新型的教师队伍。

在实践和研究中，老师们积极参与教科研工作，他们主动学习教育教学理论，钻研教材和教法，互相交流经验，积极探索课件的制作，形成了良好的教研氛围。通过研究课、试验课、观摩课等，提高教师的教育教学水平，特别是青年教师，在实践中收益匪浅，在各级各类比赛中脱颖而出。这三年来，数学组刘玉国老师做区级数学研究课三次，市级研究课一次，并受到了各区教研员特别是全国特级教师刘德武老师的一致好评。2004年12月刘玉国老师被评为房山区小学课堂教学改革先进教师。二位老师获区级评优课一等奖，一位老师获区级评优课二等奖。同时，参与研究的老师结合教学实践，撰写了多篇论文，也得到了较好的回报：一篇论文在《中国新世纪教育教学论坛》上刊登；有1篇论文在全国教育教学优秀论文评比中获二等奖，在房山区学术年会论文评比中5篇获一等奖，10篇获二等奖；有1篇案例与反思在房山区小学数学高年级段教案评比中获一等奖；中心校课件评比中获一等奖三个，二等奖3个。在中心校“学习新理念，转变教学行为论文评选中二人获一等奖，三人获二等奖。

七、研究后的一些思索：

1、“开放”的程度控制要突出学生的主体性，同时不能脱离教师的指导作用，两者不能偏废。开放性的课堂教学是以学生为主体的教学，较传统教学的师生关系结构发生重大变化，教师的指导形式在开放性的课堂教学中相对隐蔽，因而这样的控制难度相对更大。在教学中，要发散学生的思维，又要择优，要组织讨论，又要防止喧闹、防离题……把握这些开放的度，需要教师要有熟练的驾驭课堂的能力。

2、要处理好课堂教学模式与开放性教学之间的关系，争取最佳效果。开放性的课堂教学没有固定的程式，因此教师在教学中要把握课程标准，吃透内容，并结合具体的课时内容进行选择、拓展。

3、开放题只是开放性教学策略的一种载体，一题多解、一题多问等只是一种形式，目前没有形成系统，需要教师在实践中有意识的进行探索。特别是课改之初，现行三至六年级的教材中有许多内容滞后于新课程的教育理念，需要教师把握好教材内容的开放度。

4、数学教学中开放性教学策略运用的宗旨是教会学生思索，培养学生的数学素养，发展学生运用所获得的知识的能力，应当强调让学生积极主动地通过自我发展、自我实践去获得能力。如果学生能够把知识真正内化到自身的认知结构中去的教学策略，才是最有效的。

5、开放性的教学主要是为学生的自主探究提供一种时空，而探究性的学习与接受性学习并非相互对立、排斥，在更新教学观念时要防止对接受学习的全盘否定。事实上，开放性、探究性学习只是有效学习方式之一，教师对其应有正确的认识，不能把其视为唯一的有效学习方式。在教学实践中不可能一点不讲授。在研究中必须保持科学严谨的审慎态度，防止走极端。

6、由于研究的时间比较短，在新课改的教育理念下开展研究的时间更短，因此，深入的不够。为了更好的开展新课程实验，为了更好的开展新课程实验，我们在学校的主课题中确定了下期研究目标：小学数学开放性探究性学习课程特征及其策略研究。

参考文献：

1、皮连生的《学与教的心理学》

初中数学开放题教学分析 篇3

关键词： 初中数学 教学分析 开放题

开放题教学指的是将开放题作为载体，为学生创设具有发展性、开放性特点的问题。在教师的指导下，学生可以进行独立思考，在与同学的交流过程中，通过多层次、多角度、多方面的探索，获取更多的数据解题技巧和数学知识。

一、开放题与封闭题之间的区别

（一）与封闭的数学题相比，开放题在内容上要更新颖，解题上没有固用的模式。中学数学开放题题材多样，更注重与生活之间的联系[1]。此外，开放题对学生的思维能力具有极强的锻炼能力，有利于提高学生的联想能力。

（二）数学开放题在形式上具有多变性，在解题上风格多变，一些开题条件多样，也有部分开放题目的在于实现对多种结论的探讨，部分习题则有多个答案。

（三）数学开放题的解题过程具有较强的发散性，并且开放题的答案并不是唯一的，因此开放题会从多方面实现对学生的审题、分析、总结的考验，多角度解题也与现代中学的教育理念相符。

二、初中数学开放题教学

（一）循序渐进

传统教学中，教师是整个教学的主导者，教师在教学过程中把握教学的节奏，教师可以依据课堂的实际情况，进行针对性调整，只有提高了教学效率，学生在学习过程中才能够夯实“双基”。开放题教学则将教师的主动权转交给学生，如果在教学内容的安排上不合理，则极容易出现“高投入，低回报”的情况[2]。准备教学过程中，教师应当对教材的开放度和开放性进行重点分析，准确分析教材中的哪些内容是可以让学生自行探讨的，哪些内容并不适合进行开放题教学，学生对于教学内容的理解需要具有基础思维和认知。此外，在开放题教学中要对学生的实际情况充分加以考虑，选择合理的教学策略和方法，确保不同层次的学生在都能够参与到问题讨论中。由此可见，在进行开放题教学过程中，必须对教学内容进行合理安排，通过详细的组织，使教学内容能够循序渐进，对教学内容的层次结构进行合理划分，从而使知识的发展与学生的实际情况相符，提高学生的参与度。

（二）多维思考

初中数学开放题多数都比较特殊，开放题条件多、解法多、答案不唯一。一些难度较大的问题，学生很难在有限的时间内完成，需要集合多个学生的智慧和力量。由此可见，在初中数学开放题教学中，选择教学方式上，可以采用小组合作学习、独立学习等不同的方式，方式的选择应当以学生的实际情况为依据。依据合作学习理念，初中生在学习过程中会具有合作、竞争、独立三种不同的意识，因此在教学过程中，教师需要扮演好组织者的角色，确保教学课堂的有序进行[3]。如果小组在探讨问题中遇到了困难，教师在确认情况后，应当给予学生一定的帮助，作为指引者，带领学生走出眼前的困境。如果小组通过探讨获取了一定的成果，教师应当给小组中的学生一定的表扬，对其进行激励，并且要对其进行正确引导，从而使学生的思维转到更高的层次上。对于小组的探讨结果，教师可以通过引导，使学生之间进行竞争，同时可以就探讨结果在全班进行交流，使学生与教学活动能够真正融为一个整体。

（三）提高对过程中重视程度

开放题教学比较特殊，教学过程中，教师不能只注重答案是否正确，更需要注意学生在解题过程中的思维，要将解数学题看做一种探索，在教学过程中需要让学生充分体会到解题过程中的快乐。教师教学过程中，不要过分地受课堂时间和教学进度的束缚，要把握教学的有效性和有序性。对于一节课无法完成的问题，可以安排课后解决，也可以安排两堂课对问题进行解决。在评价方式上的选取上，可以记录学生在课堂上的各种行为，然后在课后对出现的问题进行分析，寻找解决问题的方法，为下一堂开放题教学课堂打下坚实的基础[4]。

（四）开放题练习

开放题联系可以提高学生的思维能力，同时也可以使学生思考和解决问题的能力得到进一步提高。教师在选择练习题上要做好相应的把关工作，不仅要慎重，更要加强对练习题的优化，从而真正达到提高学生学习效率，促进学生智力发展的目的。开放题练习不仅可以提高学生的创新能力，而且可以提高学生对数学的学习兴趣，通过对开放题目的利用，合理揭示数学知识的价值，从而使教学能够达到最佳效果，利用好开放题练习，对培养学生的思维能力有着重要作用。

例如，在正方形ABCD内，存在一个定点P，连接AP、DP、PB、BC、AC，AP=AB，PB=BC，求证：三角形APB与三角形PDC全等，如图1所示。

在对此题进行讲解过程中，教师可以对其进行适当变动，从而使其成为一道开放题。例如，进行如下拓展：（1）证明：角PAC与角BAP相等；（2）如果将图1改为等腰梯形，BA=AD=DC，且AD与BC平行，在等腰梯形内存在一点P，使AP=AB，PB=PC，求证（1）中的结论是否仍热存在，如果不存在请说明原因，如果成立，则给出相应的证明过程。

许多开放题的条件都是间接的，在解题过程中需要对解题方法进行创新，通过多角度、多渠道对问题进行分析，从而得出最佳的解决方案，锻炼学生的缜密性和思维的灵活性，从而使学生的综合能力得到提高。

三、结语

在初中数学教学中，开放题已经得到了学生和教师的青睐，在思维体操锻炼下，许多学生都体会到了成功的喜悦，并且自信得到了进一步提升，这为初中数学教学开放题的推广打下了坚实的基础。

参考文献：

[1]袁红卫.摭谈初中数学开放题的教学价值[J].教育教学论坛，2012，22：67-68.

[2]李亚红.探讨初中数学开放题的解题技巧[J].中国校外教育，2014，02：25-27.

[3]孙慧娟.初中数学开放题教学方法初探[J].中国校外教育，2013，25：56-58.

数学开放题及其教学 篇4

一、数学开放题的分类

数学命题一般可根据思维形式分为假设-推理-判断三部分, 数学开放题是指那些条件不完备、结论不确定的数学问题.根据数学命题的三部分, 大致可将数学开放题分为以下几类.

1. 条件开放型

在数学命题中若假设是未知的元素, 则这类问题称为条件开放题.这类问题是通过给定结论来反求满足结论的条件, 而满足结论的条件并不唯一.

例1空间四边形ABCD中, E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD上的点, 请回答下列问题:

(1) 满足什么条件时, 四边形EFGH为平行四边形?

(2) 满足什么条件时, 四边形EFGH为矩形?

(3) 满足什么条件时, 四边形EFGH为正方形?

简析: (1) 要使四边形EFGH为平行四边形, 可通过一组对边平行且相等或两组对边分别平行来得到.因此取E、F、G、H分别为各边中点或当AE∶AB=AH∶AD=CF∶CB=CG∶CD时, 四边形EFGH为平行四边形.

(2) 、 (3) 略.

例2试写出定义域与值域相同的函数.

简析:首先考虑最简单的函数, 再从这些简单的函数中引申、推广.本题中函数定义域的确定是非常重要的, 可先确定定义域 (x1, x2) 或[x1, x2], 再确定函数解析式.可取,

(3) y=, x∈ (0, 1) .

例3写出5个解集为 (2, 3) 的不等式.

简析:利用x>2且x<3即可得到.

这类题通常以基本知识为背景设计而成, 主要考查学生基础知识的掌握程度以及归纳能力.

2. 结论开放型

在数学命题中判断未知的这类数学开放题称为结论开放题.这类问题是在条件给定的情况下探索结论的多样性.

例4设f (x) 是定义域为R的偶函数, 又是最小正周期为π的周期函数, 而且f (x) 在!0, 2π"上是增函数, 试写出f (x) 的解析式.

简析:由于f (x) 是周期函数, 容易想到从三角函数入手, 因此可得到:

(2) f (x) =k·cos 2x+b (k<0, k, b为常数) ;

例5正六边形ABCDEF的中心为O, 以6个顶点及O点中任两点一个作为向量的起点, 另一个作为向量的终点, 利用这些向量写出他们之间的等式.

简析:向量的等式关系可以从以下几个方面考虑: (1) 两向量相等; (2) 实数乘向量; (3) 两向量和; (4) 两向量差; (5) 两向量的内积.

例6试构造三个不同的棱长相等的多面体, 使它们的体积均为18 cm3, 分别求出它们的棱长并画出它们的图形.

简析:我们考虑三种不同的多面体为:正方体、正三棱柱、正四面体, 当然也可以是正四棱锥或底面是菱形的直四棱柱等 (解、图略) .

这类问题主要考查学生的发散性思维和对所学知识的应用能力.

3. 策略开放型

若数学命题的未知要素为推理则为策略开放题.这类题目要求学生综合运用所学的数学知识来探索数学问题.

例7某无尘粉笔 (50支装) 的小包装 (长方体) 尺寸为9×5×7.5 cm3, 现准备将12盒小包装组成一个大包装, 请设计一个包装方案, 并计算这个方案的大包装表面积为多少平方厘米.

简析:考虑到实际情况, 大包装应为一个长方体.

(1) 12个小长方体排成一排, 称为1×12包装方案;

(2) 2×6包装方案;

(3) 3×4包装方案;

(4) 2×2×3包装方案.

例8今设计一条隧道, 要求通行的车辆限高为3 m, 限宽为1.6 m, 并可以两辆车对开, 对开时两车保持横向距离不少于0.6 m, 问如何设计?

简析:隧道的剖截面可为半圆形、抛物线形、半椭圆形, 也可用两个几何图形组合而成.

例9某系统电脑由四个整流二极管 (串、并) 联结而成.已知每个二极管的可靠度为0.8.若要求系统的可靠度大于0.85, 请设计二极管的联结方式.

这类问题主要考查学生对问题的探索能力以及创新能力.

4. 综合型

综合开放题只给出情景, 其条件、解题方法和策略以及结论都要学生自行设定和寻找.这类问题对于学生综合运用所学知识以及创新能力的要求较高.

例10甲、乙、丙三个班在本学期中的三次数学考试成绩如下:

试比较甲、乙、丙三个班成绩的优劣.

简析:要比较三个班成绩的好坏, 可能有的同学会用平均成绩来比较, 而有的同学则可能用平均方差来比较, 还有的同学则可能用总成绩来比较.可让学生根据实际的需要和自己的理解, 来分析数据并得出结论.

二、开放题教学

开放题教学背景广泛, 但因其具有条件不充分、方法多样、思维空间大、思维难度高等特点, 学生解题时往往不知应如何下手.因此, 在平时的教学中应根据学生的认知规律, 循序渐进地, 由封闭一步一步地走向开放, 把开放题不断地渗透到平时的教学中去.同时应把握好以下几个方面:

1. 以教材为本, 适当把一些课本上的题目改编为开放题.

如可以把条件、结论完整的例题或定理改成给出条件, 先猜结论, 再进行证明的形式;也可以改成给出多个条件, 进行整理、筛选后才能求解或证明的题目;还可以进一步变换条件, 引申推广.提高这样的改造, 使课本上的常规性的题目具有了开放题的形式更充分的发挥了例题的功能.

2. 在课堂中注重变式教学, 通过变式教学使一题多用、多题重组.

引导学生从不同的角度, 用不同的方法来思考问题, 从而拓宽思路, 培养思维的敏捷性和灵活性, 培养学生知识和方法的迁移能力, 达到举一反三、触类旁通的效果.

3. 教师应改变传统的教学方法, 在教师的主导下, 坚持以学生作为探究的主体.

在学习的过程中, 引导学生自己发现问题、提出问题、分析问题、解决问题, 激发其强烈的求知欲和创造欲, 培养学生的发散思维和创新能力.

4. 开放题的教学要适度.

中学数学开放题教学 篇5

本人在多年的教学实践中，致力于学生中考数学开放题求解思维障碍的探索与研究，颇有心得体会。本文拟对中考数学开放题求解思维障碍的表现及成因作初步的探讨和分析，并提出了克服中考数学开放题求解思维障碍的若干对策，以求抛砖引玉。

一、中考数学开放题求解思维障碍的表现

1.思维的依赖性

思维的依赖性也称为思维的惰性，是指思维活动的独立分析能力和创新程度较低，是一种主观心理状态方面的思维障碍。在中考数学开放题的求解中主要表现在习惯于封闭性问题的解题方法，常用固定不变的眼光去看待题目，总希冀用固定的公式或模式来解决问题，而不愿从多个方向、多个角度去认识和思考问题，常在单向思考的羊肠小道上碰壁，却不愿从新的思路上去作尝试和努力。

例1：如图1，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E。

（1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）

（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。（要求：写出6个结论即可，其他要求同（1）

对于此题，学生往往只是从已知条件中得出一些显而易见的结论，如：AO=BO、∠CDE+∠C=90°、等。而不愿去深入分析这些已知条件之间的内在联系，寻找更多的结论。心理上表现出一种怕麻烦的惰性，轻易放弃得分的机会。

2.思维的肤浅性

思维的肤浅性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平较低。在中考数学开放题的求解中表现在对问题情境不熟悉，语言不理解或理解不透彻、不深刻，造成问题信息的缺乏或错误，从而导致“无从下手”或“差之毫厘，失之千里”。

例2：如图2，设计一个绕中心轴平稳地旋转的零件，请你在圆中画出你的设计方案。

看到此题，许多学生都对“绕中心轴平稳地旋转”不甚理解，从而觉得束手无策，掉头而去。这就体现了思维的肤浅性。

3.思维的封闭性

在中考数学开放题的求解中主要表现为习惯于用现成的方法和思路去思考问题，总是把思维禁锢在有限的领域里，暴露出相当程度的局限性与保守性，而不能放开思路进行思考，缺乏想象力。

二、中考数学开放题求解思维障碍的成因

1.中考数学开放题本身的特点

中考数学开放题具有条件的不完备性、答案的不确定性、解法的开放性等特点，对学生的求解思维提出了较高的要求。学生在解答中考数学开放题时，应根据题目的条件或结论，利用所学过的知识，从多个角度去思考、分析，大胆猜测和推理，寻求尽可能多的结论；还要对所得的结论进行认真的筛选、推理、计算或论证，最后确定满足题目要求的答案。学生必须具备广阔性、深刻性、敏捷性和创造性等良好思维品质，才能提高中考数学开放题的求解效率。这是学生中考数学开放题求解思维障碍形成的客观原因。 2.教师的教不得法

一些教师在教学中片面地强调学生的行为投入，而没有注重学生的认知和情感投入，在课堂教学中，例题和习题基本上都以封闭性问题的形式出现，对学生探索性和开放性的数学学习关注不足，学生在课堂中思考的机会不够。一些教师采用“题海战术”，而忽视学生的思维训练，造就了大批只会机械模仿的“解题机器”，在中考数学开放题面前却成了束手无策的“书呆子”。

3.学生的主观心理因素

在中考数学开放题的求解中，如果学生充满自信，饶有兴趣，就会思路开拓，富于想象，轻易突破思维障碍。而经过调查发现，许多学生在中考数学开放题面前，表现出强烈的自卑感和恐惧感，缺乏自信心和求解欲望，常常“望而却步”，“未战先降”。他们常常认为中考数学开放题一定会很难，自己肯定不会做，所以干脆放弃；或者在思考一会儿后就觉得很复杂、很麻烦，没有耐心再往下思考，就掉头而去。所以，学生的主观心理因素是产生中考数学开放题求解思维障碍的重要原因。

三、克服中考数学开放题求解思维障碍的若干对策

1.改革中学数学课程，适当增加开放题

要克服学生的中考数学开放题求解思维障碍，必须大力推进中学数学课程改革，适当增加数学开放题，使开放性问题与封闭性问题有机地结合起来。要积极开展数学开放题编制与设计的研究，多设计一些事件为学生所熟悉，内容为学生所感兴趣的数学开放题。编制的数学开放题应具有足够的灵活性和深刻性，使学生在解答时能对数学的本质产生一种新的领悟。这样，学生在平时的数学学习中，已对数学开放题进行了充分有效的训练，再面对中考数学开放题时就会轻车熟路地突破思维障碍，完成正确的解答。

2.在数学开放题教学中加强学生思维训练

（1）创设情境，培养思维的积极性

学生对学习有无兴趣和求解欲望，是能否积极思维的重要因素。教师要善于创设合适的问题情境，引起学生对数学知识本身的兴趣，诱发学生思维的积极性。教师在创设问题情境时，要紧扣课题，引导学生思考，不要故弄玄虚，离题太远；要讲求艺术，引起学生的共鸣，不要为问而问，枯燥乏味。

例如：可以创设一个这样的情境：上课后，先让学生用白纸做一个正方形，然后引导他们用虚线把正方形分成16个全等的小正方形，再提出问题：你们能否用剪刀把这个大正方形沿虚线剪成两部分，使分成的两部分能完全重合？

这样一问，立即引起了学生的兴趣，思维活跃起来了。他们个个热情高涨，纷纷动起手来。

（2）抽丝剥茧，培养思维的深刻性

要克服学生在求解中考数学开放题时所表现的思维肤浅性，就必须在平时的教学中培养学生思维的深刻性。要在具体的`数学问题解决过程中，引导学生把题目层层分解，抽丝剥茧，透过复杂的表象弄清问题的实质。

（3）开拓思路，培养思维的广阔性

在平时的数学学习中，数学题目基本上都是以封闭性问题的形式出现，学生比较注重集中思维的训练，而相对忽视了发散思维的培养。因此，在开放题的教学中，教师要引导学生开拓思路，发挥想象，引申推广，培养思维的广阔性。

3、建立科学的评价体系，合理反映求解情况

（1）评价要体现层次性

对中考数学开放题的评价要针对学生的个别差异，制定多级评分起点和多级评分标准。允许学生根据各自已有的经验和知识对问题作出不同的理解，给出不同的解答。这对于激励学生积极解答中考数学开放题，增强学生自信心具有重要的意义，对于学生克服中考数学开放题求解思维障碍也具有重要的促进作用。

（2）评价要重视解答过程

对中考数学开放题来说，获得多种解答固然重要，但更重要的是获得解答的过程。要善于发现学生在解题过程中的“闪光点”，激励学生在中考数学开放题的求解中克服自卑心理，突破思维障碍。数学开放题比较全面地体现了现代教育的目标，因而必须制定与之相适应的评价标准和评价手段。

数学开放题的教学策略 篇6

【关键词】数学开放题 教学 探究

【中图分类号】G【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）06B-0117-01

开放题具有三个特点：结论的多样性、条件的完备性以及解题策略的多角度性。基于数学三维课程目标，为强化学生知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观，数学应该重视开放题的教学。

一、开而不散，培养能力

开放题并不存在思维和解题方法的随意性、任意性，而是指题目条件不充分、也没有确定的结论，如此引出解题方法、解题思路、得出结论开放的问题。实施开放题教学应该制定科学的教学程序、教学方法，引导学生循序渐进、由浅入深，不断掌握知识与方法。通过创设实际情境、问题情境、实验情境、故事情境等，引导学生创设数学模型，展开猜想、假设与验证的整个学习过程。以问题为中心，站在不同角度进行思维发散、互助交流、探究实践，强化学生知识与能力。

例如，“如何判定两三角形相似”这一问题，教师引导学生由“全等三角形”进行类比推理，鼓励学生展开开放题探究过程。学生从不同角度入手，站在边与角的不同层面进行分析，结合已有认知基础，实施互助交流、探索实践、总结分析。结合全等与相似的定义，分析出全等是大小和形状都相等，而相似是在形状上相等，而大小可以不等。通过围绕问题展开条件假设、猜想验证，结合全等三角形判定的SSS、SAS、AAS、ASA、HL这五种判定方案，得出两角对应相等、两边对应成比例且夹角相等、三边对应平行、三边对应成比例等情况下，两个三角形相似的结论。在开放题解决过程中，通过引导学生思维发散，自主思考、类比分析、综合总结，强化学生思维能力与科学素养，在学习过程中，始终坚持以学生为本，不断培养学生自学能力。

二、注重过程，强化讨论

开放题教学需要重视学生的合作交流、互助探究过程，以小组合作学习形式展开学习，鼓励思维发散、优势互补、相互补充与完善。开放题教学对学生能力的培养也是漫长的过程，教师不能只关注现阶段学生是否能提供完善而正确的答案，应该注重学生在分析理解、寻找思路、制定方案、归纳总结过程中是否能独立思考、相互交流、实践探究与拓展分析。鼓励全体学生都参与到思考与讨论过程中来，站在不同的角度、不同的方面分析、思考、猜想、验证，发散学生思维，培养学生创新能力与交流合作能力。

例如，对于“ax2+bx+c=0”这一方程根的解，教师引导学生站在开放题角度分析问题，重视讨论过程，引导学生全面讨论。首先分析若a=0，则为一元一次方程，而a=0，b=0且c≠0时，无解；a=0，b≠0时方程为一元一次方程，有一根x=-c/b；a≠0，方程为一元二次方程，方程根与△=b2-4ac有关，若△<0则无解；若△=0，则有同一解；若△>0则有两个不同解。同时，对于一元二次方程解决实际问题时，应该结合实际情况，理清定义域，划分x的取值范围，并讨论解的可用性，由此得出正确的答案。对于开放题的解答，要重视过程分析，强化细致讨论，理清思路、找准方向、合理分析、綜合归纳，通过猜想、验证、总结，得出正确答案。开放题教学需要重视学生讨论过程，不断完善学生知识体系与思维能力，提升学生数学科学素养。

三、及时总结，发现规律

开放题进入尾声阶段，学生在教师引导下已经运用了各种解题思路与解题策略，结论也呼之欲出，此时，教师引导学生进行总结与归纳，发现知识内在规律，并实施拓展实践。总结是开放题教学画龙点睛的环节，应该对同类型问题进行定义、方案分析，以及解题思路、思考模式、注意事项的归纳，得出规律，并分析实际应用中如何应对该类型问题。教师对学生总结过程进行点评，查漏补缺，引导学生掌握数学思想与方法。

例如，学习“有理数”相关知识，教师设计“翻牌游戏中的数学道理”开放题探究活动。结合开放的条件，引导学生总结规律。“设正面向上为1，反面向上为-1，若开始有奇数（偶数）张牌正面向上，每次翻动奇数（偶数）张牌，一直下去会不会出现所有牌反面向上？”针对这类型开放题，在学生交流合作、深入探究以后，教师引导学生从不同条件进行总结归纳。学生发现，翻奇数次即为乘以-1，翻偶数次即为乘以1，那么奇数张正面向上为1，到全部反面向上即为-1，由这些知识可以得出如下规律“奇奇、偶偶、偶奇组合下可能出现全部反面向上，只有奇偶时不能”。将数学知识应用到实际问题中，灵活转换思维，巧妙变通，体验数学思维与方法，并由及时总结，强化学生思维能力，提升综合能力。

在数学开放题教学过程中，需要注重开而不散、科学安排、注重过程、及时总结等教学指导方案，通过坚持主体性原则、过程性原则、示范性原则、开放性原则，展开以学生为主体、重视学生学习与交流过程、强化教师示范引导、开放学生思维与方法的开放题学习过程。开放题教学始终以新课改教学理念为依托，结合数学本质，实施综合性、开放性与发散性数学学习活动，引导学生获得数学知识与方法，强化学生基础能力、创新能力与实践探究能力。

高中数学开放题教学之我见 篇7

高中数学的开放题具有内容和形式多样化、解题思路发散性的特征, 它不像封闭性题目那样简单、乏味, 单靠纯记忆、套模式来解题, 一般需要运用多种思维方法, 通过多角度、全方位进行分析探索, 从而获得多种结论, 要求学生的逻辑思维特别严谨.从类型上看, 开放题可以分为条件开放型、结论开放型和策略开放型三种, 如果“未知的”是解题假设, 那么就称为条件开放型;如果“未知的”是解题目标, 那么就称为结论开放型:如果“未知的”是解题推理, 那么就称为策略开放型.

二、数学开放题的教学意义

数学开放题给学生的创造性学习提供了一个宽松, 自由的环境, 与其他题目相比, 数学开放题更加注重解题的过程, 全体学生都可以参与解答过程而不管是属于何种程度和水平, 数学教师将开放题用于教学不仅是实施素质教育的重要途径, 而且具有巨大教育价值.数学开放题强调数学知识的整体性, 能培养学生的计算、演绎等严格推理的能力;强调数学教学的思维性, 能反映学生高层次的能力和开放性、创造性的思维;强调解决问题的过程, 能使教师注意对学生解决问题思路的分析, 并作出最切中要害的点评.同时, 通过对数学开放题的讨论和解决, 能展示和提高自己的数学才能, 使学生感受到数学带来美感, 并享受到解决问题的乐趣.

三、如何引入数学开放题

从数学考试中引进一定的结合现实背景的问题和开放性问题, 已引起了广大数学教育工作者的极大关注, 开放题的研究已成为数学教育的一个热点.

1. 开放题问题的构建

开放问题的构建主要从两个方面进行, 其一是问题本身的开放而获得新问题, 其二是问题解法的开放而获得新思路.

例1季节性服饰在当季即将到来之时, 价格呈上升趋势, 设某服饰开始时定价为10元, 并且每周 (7天) 涨价2元, 5周后开始保持20元的价格平稳销售, 10周后当季即将过去, 平均每周削价2元, 直到20周末该服饰不再销售.

这道题明显属于问题本身具有开放性, 函数概念的形成, 一般是从具体的实例开始的, 但在函数的教学过程中, 很多教师往往忽视了函数的实际应用意义, 这道题旨在通过学生根据自己的知识经验给出函数的实际解释, 体会到数学概念的一般性和背景的多样性, 对问题的理解是开放的.

例2如果一个四面体的三个面是直角三角形, 那么, 第四个面可能是: (1) 直角三角形; (2) 锐角三角形; (3) 钝角三角形; (4) 等腰三角形; (5) 等腰直角三角形; (6) 等边三角形.请说出你认为正确的那些序号.

这道题属于问题解法具有开放性, 主要考查学生的空间想象能力和探索能力.答案分为三种情形 (如图1、图2、图3所示) , 其中第三种情形容易被忽视.

第一种情形:△ABC是锐角三形. (2) 正确.当a=b=c时△ABC是等边三角形, (6) 正确.

第二种情形:第四个面△ABC是直角三角形. (1) 正确.

第三种情形:∠ADB>90°, △ABD是钝角三角形, (3) 正确.

2. 开放题思路的引导

通过对以上两道开放题的探讨, 可以看出, 开放题的解题策略和解题结果是不确定的, 因此, 对开放题的解决不可能由教师一个人来完成, 应该充分调动学生的主体性, 让学生积极参加到对开放题的讨论中, 发挥集体的力量, 最大限度地把一切可能的因素考虑在内.

发散思维是指在思维过程中信息向各种可能的方向扩散, 不局限于既定的模式, 从不同的角度寻找解决问题的各种途径, 高中数学开放题能够有效地培养学生的发散思维, 因此, 教师在辅导学生解题过程中, 要重视引导学生发散思维.

“反思”是最容易被忽视的, 在解题以后, 回头对解题活动加以反思、探讨、分析与研究是非常重要的环节.在得出结论后, 教师要重视和学生一起反思, 思考命题者的意图是什么;想考察高中阶段哪个知识点的应用能力;命题所提供条件的应用是否完备;解题过程是否严密等.通过反思, 深化对知识的理解, 促进知识结构的不断分解组合, 也培养学生对试题的鉴赏能力.

摘要：开放题是数学教学中的一种新题型, 其核心是培养学生的创造意识和创造能力, 激发学生独立思考和创新的意识.在现行的高中数学教学中, 教师适当地引入开放题, 并注意引导学生学习解答开放题的方法, 能对数学教学产生“举一反三”的效果, 是对学生进行素质教育的一种有效途径.

关键词：高中数学,开放题,素质教育

参考文献

[1]赵香叶.谈数学开放题的教育价值与设计艺术[J].教育教学论坛, 2011 (19) .

[2]山军.数学开放题的特征与编制的方法[J].高等函授学报 (自然科学版) .2011 (6) .

浅谈大学数学的开放题教学 篇8

一、大学数学开放题教学设计

研究怎样来设计数学开放题, 考察数学开放题的设计思路以及如何评价对开放题教学和研究都是很有意义的。在此我们着重介绍几个针对开放题教学设计的出发点。

(一) 将封闭题改变为开放题

传统的封闭题一般是指“条件确定, 答案唯一”的问题, 开放题突出“条件不确定, 答案不唯一, 解法多样和解决问题的方向多面”, 在教材中, 有很多只要稍作修改就可以由封闭题转化为开放题的具体例子。

(二) 从生活中提取开放题的问题情景

将数学与生活实际相联系, 让学生体会到生活中处处有数学, 体验学习数学的乐趣, 积极主动地学习有价值的数学, 这无疑是解决当前社会和文化背景下学生普遍感觉数学抽象、枯燥的一个极好的途径。从生活实例创设开放题, 让学生在学习数学过程中实实在在地体会到其中的生活化元素, 将凝固的数学变为生动的数学, 让理论的数学成为实践的数学, 将封闭的课堂教学变为学生积极参与, 积极思考。例如, 讲授二重积分的概念时, 引入愚公移山的故事, 设计让学生利用等高线地形图帮助愚公计算山的体积。学生经过开放性的思考, 发现利用等高线地形图, 当地图的精度越高, 计算出的体积越精确, 从而引发学生对一般曲顶柱体体积计算方法的思考。

(三) 从数学体系本身出发设计开放题

数学本身具有高度的逻辑性和严密性, 从数学体系本身出发设计开放题, 不仅可引导学生对数学体系的探索, 更可带领学生站在更高的角度观察数学, 从题海战术到高屋建瓴, 让学生从题海中跳出来, 从更广的角度去审视数学的内容、思想和方法。例如, 在讲解函数时, 我们可以通过讲解研究新函数的方法:用复合、反函数、四则运算的原理, 将新函数拆分成若干旧函数 (简单函数、已知性质的函数) , 通过研究旧函数 (简单函数、已知性质的函数) 来研究新函数, 并在随后的学习过程中, 通过求导和求原函数建立新函数, 使学生理解导数和不定积分的内涵。

(四) 从数学建模中提取开放题实例

数学建模给学生以机会, 从应用的角度去分析和研究数学, 使得学生能够更灵活的应用数学知识, 更开放地去思考实际问题和数学问题, 多角度、多途径、多层次地寻找解决问题的方法。因此数学建模问题可以作为开放题的一个重要来源。但因为历来数学建模只针对部分精英学生, 题目相对来说比较复杂, 这就需要教师对其进行化简和提炼, 使其符合学生的认知水平, 并对学生能够起到启迪思想的作用。

二、小结

目前对开放题的研究主要集中在中小学数学教育上, 这是由于中考和高考中出现了部分开放题, 从而学校教育在此刺激下已逐渐形成良好的研究氛围。大学数学教育在当前的大学学生学习水平多层次化、学生的需求多样化面前面临很多需要解决的问题, 虽有一部分教师也开始关注开放式教学和开放题的设计, 但到目前还仅限于局部。在大学数学教学过程中开展开放题教学, 不仅能够延续学生在中学中对开放题的兴趣, 更能鼓励学生自主思考, 提高其创新的能力。大学数学教学改革是我国高等教育改革的一个重要部分, 相信开放式教学及开放题教学必将引起人们的重视, 教学也将从内容灌输逐步走向思想和素质的培养和提高。

参考文献

[1]夏昌华.在高等数学教学中引进数学开放题的尝试[J].数学通报, 2003.

[2]谭金锋.融入数学开放题, 改进大学数学课堂教学[J].大学数学, 2009.

中学数学开放题教学 篇9

数学开放题教学的载体是一个个开放性的数学问题, 它的前提, 是要有开放式教学的理念。所以我们首先要好好把握数学开放题的本质、掌握开放题教学的方法, 并在课堂教学中有机地将两者结合起来, 灵活、有弹性地组织教学。而且, 开放题的价值显现于课堂——它引领不同水平层次、不同学习风格的学生自主尝试, 当有了启发, 获得了与人交流的冲动, 合作学习会成为他们自然而然的学习需求, 学习行为也经由推理、分析、综合等高层次的思维活动变得开放起来。所以我们要多设计“没有固定的解决方法”、“没有固定答案或有很多可能答案”、“不同水平的学生有不同的解决途径”等有趣味、有挑战性的开放题。当然, 学生的主体性不是天然具有的, 而是通过自觉能动的活动获得和发展的, 所以还需要我们加以唤醒, 引导和培养。本文就开放题教学的尝试谈自己的实践与感悟。

一、变“引”为“放”, 打开学习行为

现在很多时候, 教师们怕学生不懂, 将一些有价值的问题敲碎, 分成一系列“小步子”, 一步步引领所有学生朝着同一个分向迈进, 去学习那“最好”的一种方法, 学生的学习行为很是被动!其实, 好老师并不如此, 而是“君子讷于言, 而敏于行”, 也就是说好老师要少讲话而多提供资源。

例:探索“0.25×36”算法

计算教学的难点是算理的梳理。与其用一系列的“小步子”一步一步地引, 还不如让学生经历足够的思考、尝试、交流, 直达知识的本质, 从而促成学生学习行为的开放。以下是笔者的组织教学:

师 :想想有什么方法可以使这道题计算简便? (学生独立思考、尝试)

生1 :用0.25× (30+6) =0.25×30+0.25×6=7.5+1.5=9

生2 :0.25×36=0.25×4×9=1×9=9

学生回答出这两种方法, 就已经完成了本节课教学目标了。但经历了思考与相互的思维碰撞, 学生仍跃跃欲试着。

师:还有方法是吗?谁来说说?

生3急不可耐地站了起来 :还可以= (0.25×4) × (36÷4) =1×9=9

师:哪位同学能看懂这种方法?

生4 :在乘法中一个因数扩大几倍, 另一个因数缩小相同的数, 积不变。

师 :真棒, 不仅方法想得棒, 解释得也很棒, 掌声送给他们!

……

在求异心理促使下, 学生借助已有的知识储备, 想出了很多计算的方法, 又如, 0.25× (4+4×8) ……此时要注意的是, 要防止相反倾向的出现, 不可将“开放”理解为“放任”, 将“个性化”看做“标新立异”。我们需要在互动开放的课堂中始终把握对话的方向 :你觉得哪种方法更简便?为什么?这样, 在开放性的问、辩中, 学生的学习行为变得开放起来, 最终顺应到知识的本质。

二、顺势而“放”, 开启创造之门

课堂是学生成长的地方, 数学课堂更是启迪智慧的乐园, 一节精彩的课堂是学生思维不断被激发的地方, 是学生自己能发现问题、提出问题, 在教师和学生的共同努力下睿智分析、解决问题的地方。这就要求我们还学习自主于学生, 用开放的题目开启学生的学习, 让学生在自由的氛围中学会观察、学会多角度思考、学会在思维碰撞的集体论证中汲取大家的公共财富, 丰富学习的历程。作为组织者、合作者和引导者的我们就要为学生设计一些适合探索的问题, 开放题就是一种很好的选择, 教学时必须灵活机动, 边想, 边创造, 让学生在被激发想象力的前提下尽可能地寻找到一种独特的解题方法。

例 : 在三位数减三位数的计算教学中设计这样一个开放题: 198+ □ < 600,

师: □里可以填几?生1: 填0。

生1: 填0。

生2 :还可以填1。生3 :也可以填2。

生3 :也可以填2。

师:真是挺聪明的, 说说你的想法。

生 :198本就比600小很多, 再加个小点的数肯定比600小啊。

师 :这种题有时会提这样的要求, 出示 :□里最 (生答最大) , 对, 最大可以填几?

生4 :我这样想的, 刚才有人先想到了2, 其实198+2=200, 再加上399得到599, 刚好比600少1, 所以□里最大填2+399=401。

师:太棒了, 谁听懂了?

生5 :他先凑成整百数, 再加上399。

师 :是啊, 其实他的方法也可以这样理解, 只要知道198加多少等于 (生答 :599) 就可以了。看来大家都听明白了, 那还可以用 (生答:599-198)

师:这个方法真棒, 有不同的方法吗?

生6 :也可以先将 < 看做 = , 用600-198=402, 因为比600小, 所以再减去1就可以了。

师 :他又给我们提供了一种方法, 你听懂了吗?其实这种方法也是解决这类题的一种好方法, 谁再来给大家讲讲这种方法。 (生讲解略)

(此时看到有一只小手倔强地举着, 一看又是生7)

生7 :只要比402小的数都可以。

这时生8忽的站起来说 :不对, 老师已经将题目改成□最大填几了!

师:谢谢你们, 当问题是□里可以填哪些数, 生7的总结就很到位, 可当问题改为□里最大填几时, 就只能填一个数了……

都说教育的智慧如水, 放于方器则方 ;放于圆器则圆。开放的设计, 流动灵性的智慧, 一次次的思辨, 一次次的相互作用、相互依赖 ;一次次的激情被点燃、思维被唤醒 ;一次次“旁逸斜出”的美丽而丰富的生成, 都因“开放”而绽放出创新的活力!

三、一“开”再“开”, 绽放思维之光

课堂教学环环相扣, 步步深入, 那是很吸引人的, 在课堂上我们要做一个敏锐的调控者, 需要站在学生的立场有意识地拓一拓、联一联, 由浅入深, 顺着学生的猜想去打开课堂, 让学生在开放的课堂中看到简单背后隐藏的不简单。

例 :六年级复习分数时, 设计了一连串的开放题 :有一个正方形, 用阴影部分表示其—。41

结合观察思考、大胆猜想, 学生会想出不同的方法, 主要有以下几种:

面对如此多的方法, 学生们是沾沾自喜的, 的确几种方法都对, 特别是想出对角线相连的学生尤其兴奋, 于是提炼出又一道开放的问题 :如果将正方形改为长方形, 这里的阴影部分还是1/4吗?

猜测在是与不是间左右摇摆, 于是探索之旅各自开始, 选取几种有代表性的方法:

方法一 :量算出三角形的面积和长方形的面积, 计算得出阴影部分是长方形的1/4;

方法二:将长方形至于方格图中, 得出结论 ;

方法三:用分割的方式直观呈现结论。

学生的精彩展示后第三道开放题顺利登场 :将正方形改为平行四边形, 你能用阴影表示出它的1/4吗?

这样“随意和自由”地构建条件和关系, “开放”了学生的活动, “开放”了学生的思维, 在“激趣、激思、激励”中促使学生形成了有效、良好的数学思维习惯, 也有利于学生健全的身心素质和人格品味的提升, 同时还印证了“不同水平的学生有不同的解决途径”的数学开放题的特点。

数学课堂因开放题而充满生机、充满乐趣, 更充实学生的成长!新的教材中更是增加了很多开放性的问题, 如, 一年级在教学认识1~10的数中就设计了“1还表示什么呢?2、3、4、5呢?”所以让我们多发现、多创设直指数学本质的开放题, 给学生更大的思考和表达空间, 多容纳学生的多元性和差异性, 让开放的数学课堂绽放数学的美妙, 留给学生“一辈子有用的东西”。

参考文献

[1]戴再平等.数学开放题研究[M].桂林:广西教育出版社, 2011 (11) .

[2]戴再平等.开放题——数学教学的新模式[M].上海:上海教育出版社, 2003.

[3]忻再义.从上海新编教材看开放性问题的编制与使用[J].数学教学, 1992, (3) .

关于数学开放题教学的设计和思考 篇10

一、数学教学中开放题的设计

数学开放题变化多样、灵活生动, 一改学生固定的解题模式.有利于培养学生数学意识, 发展学生的数感.在教学过程中对于开放题的设计可以从以下几个方面加以考虑:

(一) 设计问题结果多样化的开放题

由于客观世界复杂多变, 数学问题也必然复杂多变, 往往不可能得到唯一的答案, 我们必须有意识地设计结果开放的问题.

1、弱化陈题的条件, 使其结果多样化

例如:怎样将一个正方形分割成9个同样大小的小正文形?如果我们把条件加以弱化, 去掉“同样大小的”这一限制, 就得到开放题.本题答案很多, 以下两种供参考

2、隐去陈题的结论, 使其指向多样化

例如:如图1, 已知ΔABC,

ΔACE都是等边三角形, 连结BE, CD, 求证:BE=CD这是一道单一结论的陈题, 如隐去其结论“BE=CD”加上“问能得出哪些结论?”这就是开放题.再让学生通过分析和讨论, 回答出由该题已知条件可以推出的结论:

(或∠DFE=∠BFC=120°) 设DC, BE交于点F

3、给定的条件下, 探求多种结论

对于给定一个问题, 可以引起广泛的联想, 有多个独立的答案.例如:教学常见的数量关系中的“单价、数量和总价”的应用题, 可以将习题“雪碧每瓶6元, 蛋糕每块5元, 柚子每只4元, 现在买雪碧2瓶, 蛋糕2块, 柚子3只, 应付多少元?“改编为:“雪碧每瓶6元, 蛋糕每块5元, 柚子每只4元, 怎样用50元钱把这三样东西都买齐, 并且把钱正好用完.“请学生根据需要设想出购买方案, 并填好发票进行汇报.学生会发挥各自的见解和爱好, 在一题多问中达到高潮.问题改编以后就是一个典型的开放题.每一种组合就是这个问题的一个正确答案:

(二) 从问题条件的设置编制开放题

学生解答问题时必须以问题为指导对现有的条件进行筛选, 补充和组合, 构建出一个严密的推理体系求解.现行教材中绝大部分问题的条件不多不少, 学生只须对现有条件进行组合而无须考虑筛选, 补充, 压缩了思维空间.针对这一情况, 我们可以设计条件多余, 不充分等类型的问题, 促使学生对现有的条件进行筛选, 补充.

例如:如图2, D, E是ΔABC中BC边上两点, 若已知AD=AE, 要得到ΔABE≌ΔACD, 还应补充一个什么条件?学生推断该题尚须补充以下条件之一:

(三) 在实际情境中, 拓宽问题的解决方式编制开放题

数学问题是现实生活的反映.现实生活中的数学问题是多变的, 动态的, 如何解决往往存在着许多可能性.

例如在香港中学教材里有一个问题.在某工厂有股东5人, 工人100人, 已知1998年, 1999年, 2000年三年该厂的工人工资和股东利润情况如下:

下面就是该厂不同阶级的人对问题所做出的解答 (以统计图表示) , 也许

我们可以从中得到一些启示.

图 (3) 是股东们绘出的统计图, 试图向工人说明, 工资的增加是和利润成正例的.图 (4) 是工会领导人绘出的.图 (5) 工人们自己绘出的.

以上三个统计图, 从统计上讲都是正确的, 但是给人的印象却截然不同.这说明同一数学问题可以用不同的方法加以表述和解释, 因此有多种答案.至于如何运用, 应依实际需要来定.而我们常见的数学题目, 都是从一些条件出发, 只有唯一的答案.这种思维定势实在是有害的.

二、数学开放题教学的思考

要使开放题教学能真正落实到课堂教学上来, 我们还必须认清数学开放题的教学理论和实践中存在的若干问题.这里做一点简单的分析和澄清, 以便在实际操作过程中获得较好的效果.

1、开放题和封闭题在数学教学中应该并存而不是互相排斥开放题和封闭题并不是矛盾对立的两个方面, 恰恰相反, 它们是统一的.

2、开放题教学设计的基本要求

⑴参与性⑵趣味性⑶挑战性⑷非常规性

3、开放题应有开放“度”

开发数学开放题, 有利培养学生的创新能力和发散思维.但是, 在教学实施过程当中, 教师一定要把握好问题的开放度.如果能获得多种解答固然是好, 但是更重要的是获得解答的过程让学生从中体验学习成功的乐趣.

4、适度开展数学开放题教学

由于数学开放题的教学费时多, 对教师能力要求又高.根据时代的需要, 为使数学开放题逐步进入课堂.我们还必须大力推进中学数学课程、教材、教学的改革, 数学教师必须转变教育观念, 掌握新的教学基本功, 积极进行数学开放题的教学探索, 为最终提高数学开放题教学而努力.

基于数学开放题的开放性教学探究 篇11

【关键词】高中数学;开放题;开放性教学

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）22-0040-03

【作者简介】毛庆华，江苏省江阴高级中学（江苏江阴，214443）教师。

在我国的基础教育中，数学是一门非常重要的科目，对学生素质发展乃至整个社会发展意义重大。其中数学习题教学对学生的抽象思维能力与逻辑推理能力等方面的训练和培养起到非常重要的作用。然而，当前我国的数学习题教学现状却令人担忧：教学样式往往过于统一，基本上是学生先看例题，期待其在原有知识储备的基础上找出解决办法，然后教师示范，得出结论，进而由教师精选练习让学生“实战演练”乃至多遍巩固。应该说，这种传统的习题教学理念，即“记公式定理、套题型解法”，有一定的可取之处，因为常规练习可以加强学生 “双基”能力的提升，然而一旦遇到那种非常规的求异思维问题时，学生往往会一筹莫展。特别是面对对未知领域的较深刻程度的探索问题时，学生更是无从下手。长此以往，学生的思维发展必然严重受滞，创造性活动更无从谈起。

例如，笔者曾经让学生解决这样一道题目：

已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，则下列四个论断：①m⊥n; ②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α。以其中三个论断作为条件、余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：

从实际情况来看，学生还是能解决这个问题的，但大部分人在解题时容易“避难就易”，深入思考的偏少，还有的学生对解题方向的把握和调节水平较低，以致最终呈现出来的可引起深层次研究的答案凤毛麟角，令人遗憾。

由此可见，突破常规的，能够培养学生发散性思维和创造性思维能力的数学解题教学在教学过程中必须加强，对教师的教学方式和学生的学习方式的改革已经势在必行。基于此，作为近些年日渐热起来的数学开放题经常被搬进课堂，以数学开放题为载体的数学开放性教学也风生水起，方兴未艾。

一、了解数学开放题，准确理解并把握开放性教学本质

所谓数学开放题教学，是指以一个开放性的数学问题作为教学内容载体和背景，它可以是条件开放、策略开放或者结论开放，也可以是综合开放。开放题所给条件和得出的结论之间并不存在固有的充分必要的联系，答案也可能具有丰富性多样性，提问方式的设置上也更多地考虑让学生进行角度不同、层次各异的探索。

开放性的教学无疑会极大提升学生的发散思维。然而，在实际教学过程中，数学开放题以什么形式开展和呈现，如何收放自如，如何让学生学习效果和能力提升达到最大化，这是摆在广大教师面前的一个课题。

当然说到数学开放题教学，很多人会与当下流行的开放性教学联系起来，那么二者到底有何联系？在实际教学过程中能否将其有机结合起来进行教学呢？

实际上我们认为，起码要具备以下几个条件才能开展数学开放题的课堂教学。首先要有适合的、确切的数学开放题。其次，教学过程中，学生充当数学活动的主体这一点是根本前提。学生自主探究能力的培养是开展开放题教学的最终归宿，教师在教学活动中特别要注重问题的提出和解决方式，循序渐进同时又要根据学生不同的层次而设置有区别的教学。更合适的情况是，教师是引导课堂师生有效互动以及资源和过程生成的有力促进者。

开放性的数学教学则强调的是学生参与教学活动、学习过程、学习评价和学习反馈等方面的开放性。教师灵活运用多样的教学方式来引导学生积极思考，主动参与到数学活动中，让学生用自己的学习方式去获得数学概念、法则，了解定理，乃至最终实现再创造。日本学者桥本吉彦曾定义：所谓的开放性的数学教学，就是在学生和数学的互动活动中，促进多种问题解决方式的生成，就是让学生能用他们很有信心的一种方式去深入观察并细致解决数学问题，同时在问题解决的过程中，学生的数学思维也得到相应的促进，乃至最终还有创造性的发现和认识。

由此，我们可以看到，数学开放题的教学和开放性的数学教学在很多地方都大同小异，比如，开放都是主旋律，教学过程中都特别重视以学生为主体，让学生在自由和谐的学习氛围中，共同探索，相互合作，从而不断丰富数学思维方式，不断提高问题解决的能力。但是我们也要清楚地看到，前者更多的是强调以数学开放题作为载体来丰富教学活动，后者更注重教学理念和教学方式。只有题目，而未赋之于开放性的教学理念，就不可能真正成就有效的数学开放题教学，数学开放题教学所能体现的教育价值和效果也就成了一句空谈。反之，只有形式，缺乏教学内质，特别是没有适切的数学开放题，教学目标和教学要求也会成为镜花水月、空中楼阁。因此，深刻理解数学开放题的本质，领会开放性数学教学的理念，并在课堂教学中将二者有机结合，才能真正有效地开展开放性数学教学。

二、立足数学开放题，真实有效地开展数学开放性教学

开放性数学教学对培养学生的创新精神和实践能力有卓有成效的作用，同时还能有效地转变学生的学习方式，那么教师如何在实际教学中开展与开放题有关的教学呢？

1.正视学生差异、注重因材施教。

因实际情况所限，现行教学基本以大班课堂为主，学生之间一般也有较大的差异，教师必须正视学生差异，注重因材施教。开放题教学初始阶段，一般以简单的封闭的问题呈现在学生面前为宜，以便基础稍差的学生也能积极参与其中，理解和接受。当封闭问题得到有效解决之后，教师可以将封闭问题改编成开放问题，引导学生将问题展开，逐步深入研究。这种策略下，既有中下层学生以愉快的心态参与学习，而数学能力较强的学生也会对此饶有兴趣从而使不同层次的学生都能学有所获。

2.凸显教学主线，明晰探究主题。

开放题的教学过程中，问题的呈现要脉络清晰，探究的主题要明确简练，每一节课尽量只解决一个或两个中心问题，切忌铺陈太大，过于杂乱，教师兴趣所指，容易造成学生知识结构杂乱、含混，也容易导致学生精神不济，注意力分散。

3.切忌买椟还珠，注重按名责实。

开放题教学中常常发现，由于教师容易受自身传统教学的惯性影响，对开放题也用注入、灌输的方式来教学，以至于最终其实是上成了一节封闭课。基于此，以数学开放题为载体的开放性教学势在必行。这种开放性教学不是对学生单一解题模式的训练，而是最终培养学生分析问题、解决问题的能力并增进其创新意识和创新能力。事实上，模式训练仅仅促使个体被动接受。而能力的培养则是促进个体以主动的态度进行同化、顺应、顿悟，从而让促进学生的终身发展名副其实。

4.创设良好氛围，促成自主学习。

在开放题的教学过程中，特别是对问题的分析思考、求解论证的进程中，学生应始终处于积极、主动的状态;教师是问题解决的指导者，教师的作用应该主要体现在提示、引导、评价和激励上。

（1）首先数学课堂环境应该轻松愉快。教师可以尝试多种呈现题目的方式，如实物演示、动画展示，或直接让学生通过操作图形计算器、几何画板等数学软件去探究问题。

（2）根据学生已有的知识储备，提出问题，激发其探究问题的欲望，真正使学生的主动参与行之有效。

（3）课堂教学中教师要善于“留白”，拿出相对充裕的时间给学生，让学生通过自由发言、讨论，凸显学生学习的主体地位。这种做法可以改变教师习惯性的根据预设来控制课堂进程的格局，更多地是根据学生课堂的即时反应来调控教学过程。

（4）注重小组合作学习，教师可以尝试让大班教学与小组合作、个别指导相结合。通过合理分组，让每个小组成员都能主动参与，并因人而异，让不同学习水平的学生，解决不同水平的问题。

5.正确定位角色，教师重在指导。

在开放题教学中，教师要善于吸收各种信息，并进行有效整合和重组，时刻关注不同层次学生的反应，教师还要经常去收集学生的反应，如现场采访、问卷调查等等，主要是了解学生对这种教学模式的反馈意见，从而有效调整实际的教学。

笔者就前面提出的问题在探索课堂上开展开放性数学教学作出一些尝试。

附：基于数学开放题的数学开放性教学案例：

一、教学目标

1.通过引入高考试题，加强探究，激发学生研究数学开放题的兴趣和欲望。

2.在问题解决、改进拓展的过程中，提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、设计意图

本题作为高考题，同时也是一道数学开放题，但开放度比较低，探究的层次和深度远远不够，教学中尝试将此开放题作一定的拓展处理，变更题目的部分或全部条件，然后去探究组成新命题的真伪，从而激发学生的探究欲望和兴趣，进而提升学生分析问题和解决问题的能力。

三、教学过程

1.问题引入：题目呈现见前文内容。

2.问题解决。

（1）分析：本题从形式上来看，条件和结论都是开放的，但它们却是相关的，只要条件（或结论）确定了，结论（或条件）也会随之而确定，从而组成一个命题，所以，从这个角度来看，这个问题的开放度不是很大。

学生在独立思考、组内交流之后，一般都能得到组成命题的四种情形：①若m⊥n，a⊥β，n⊥β，则m⊥a;②若m⊥n，a⊥β，m⊥a，则n⊥β;③若m⊥n，m⊥a，n⊥β，则a⊥β;④若n⊥β，a⊥β，m⊥a，则m⊥n。

（2）将学生得到的四个命题呈现在黑板上，组织学生分小组进行讨论，辨析命题的真伪，不难得到①②两个命题是假命题，③④是真命题。

3.拓展延伸。

（1）如果把上述问题中的垂直都改成平行的话，那么，同样以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，能得到什么正确的命题？

学生继续探究和解决，充分体会到数学开放题的特性和魅力，通过类比的思想方法可以得到①②两个命题是真命题，而③④是假命题。

（2）如果把上述问题中的“部分垂直”改成“平行”，那么结果又会如何呢？

（3）如果任选其中的三个论断作为条件，还能得到与题中相异的另外一个论断，使之成为真命题吗？

可以让学生自己修改命题，并进行小组交流和讨论，如果时间不够，可以放在课后继续探究。

根据高中学生的年龄特点，遵循学生的认知规律，笔者认为基于开放题的高中数学开放性教学是有规律可循的，“创设情境—导学探究—合作交流—总结推广”的基本流程，充分体现了学生“提出问题—解决问题—迁移延伸”的认识过程，也完全符合“定向—内化—发展”的心理活动规律。

其实，不仅是开放性数学教学，创新教育、发散思维的培养、探究教学等，都可以以开放题作为载体，来进行更为深入的研究。

【参考文献】

[1]戴再平.开放题——数学教学的新模式[M].上海：上海教育出版社，2002.

[2][日]桥本吉彦，等.数学教学中的开放性教学——创造一种课堂数学文化[J].数学教育学报，2002（01）.

[3]陈晶.新课标下中学数学开放性教学模式初探[J].南昌教育学院学报，2008（04）.

[4]韩春见.新课程下初中数学课题学习的实践与研究[J].中国数学教育：初中版，2008（12）.

[5]王凝，蔡金法.中小学数学的开放性教学法评介[J].课程·教材·教法，1988（02）.

摭谈初中数学开放题的教学价值 篇12

所谓开放型题, 就是指那些条件不完整、结论不确定或不唯一的数学问题, 这些问题一般没有明确、固定的解题方法, 它需要解题者通过敏锐的观察、缜密的分析和准确的推理、判断等探索活动来确定所需求的结论、条件或方法。常见的开放题型大致可以分为以下三种:

1. 条件开放探索类。

这类题的特征是缺少确定的条件, 仅给出问题的结论, 让解题者分析探索使结论成立的条件, 而满足结论的条件往往不唯一。这类问题的解答要求解题者要善于从问题的结论出发, 逆向思考, 探因索由。

2. 结论开放探索类。

这类题常给出问题的条件, 让解题者根据条件探索相应的结论, 并且符合条件的结论往往呈现多样性, 或者相应的结论的“存在性”需要解题者进行推断, 甚至要求解题者探求条件在变化中的结论。这类题它要求解题者能充分利用条件进行大胆而合理的猜想, 发现规律, 得出结论。这类题主要考查解题者的发散性思维和所学基本知识的应用能力。

3. 策略开放性问题类。

一般指解题方法不唯一或解题路径不明确的问题, 这类问题要求解题者不应循规蹈矩选择通法通解, 而应标新立异, 不走寻常路, 寻找最优解题方案和过程。一般来说, 开放题具有以下特点: (1) 非完备性:开放题的组成要素常常是不完备的:要么条件不充足, 要么结论被隐去, 要么解题思路和方法不明确。 (2) 不确定性:对于条件开放题而言, 其条件可能或不足或多余;对于结论开放题而言, 其结论或不定或不唯一;对于策略开放题而言, 其解题策略和依据常是不唯一的。 (3) 发散性:在解答开放题时, 一般不能从定式思维模式出发, 而应从多角度、多层次寻找答案, 因而思维模式和方向呈现出发散性。 (4) 探究性:开放题的解答没有固定的、现成的模式可循, 解题者常常要进行多次尝试和调整, 通过不断优化自己的解题方案才能找到答案, 因而, 开放题的解决需要具有大胆的探索精神和一定的探索能力。 (5) 层次性:开放题的设置可以满足不同层次学生的需求, 使他们都能在自己的能力范围内探索问题, 从而体现出层次性。 (6) 发展性:开放题能够有效促使学生认知结构发生质的变化, 能较大程度地提高和发展学生的知识和能力水平。 (7) 创新性:开放题能有效引发学生对问题进行全方位、多角度、深层次地思考, 有利于促使他们创造性地寻求解题途径和解题方案, 因而对培养学生的创新意识和创造能力大有裨益。其实, 学生解决开放题的过程就是一种创造过程, 就是一种创新能力和创新精神的培育过程。

二、有效利用开放题, 充分发挥开放题的教学价值

1. 利用开放题教学, 能锤炼学生的思维能力, 培养他们的创新意识和创造能力。

对于开放题教学, 老师应有开放的思想、开放的视野和开放的情怀, 教学中要能够灵活利用开放的形式、开放的手段和开放的途径, 培养学生的开放的思维, 不断锤炼他们的思维能力, 提升他们的思维品质, 进而培养他们的创新意识和创造能力。由于开放题具有多样性、层次性和探索性的特点, 它提供给学生的问题情境往往比封闭题所能提供的问题情境更加丰富、繁杂、新奇、有趣, 尤其是一些与实际生活相嫁接的问题, 容易引发学生的兴趣, 吸引学生进行探究, 因而更能激发学生的积极思考和大胆地想象。学生为了解决这些开放题, 常常需要不断变换思维的方式和角度, 不断地进行尝试和探索, 这无疑能大大地提升他们的思维品质, 使他们思维的广阔性、灵活性、深刻性和全面性得到有力的拓展和延伸。我们知道, 解答开放题, 一般没有固定的、明确的程序, 也不是使用某种技能就能顺利完成的, 它需要解答者灵活选择有效的思维方法, 不断调整自己的解题策略去尝试、探索, 并且这种探索性活动带有鲜明的个性化特点, 不同的人往往有不同的表现和不同的成果, 这样一来, 就更容易激起学生的创造欲望, 引发他们对问题进行全方位、多角度、深层次地思考, 努力寻求高效的解题方法或构造新颖的解题方案。因此, 学生解决开放题的过程就是一种创造过程, 就是一种创新能力和创新精神的培育过程。教学中灵活、有效地利用开放题, 无疑有利于培养他们的创新精神和创造能力。

2. 开放题教学有利于营造民主的教学氛围, 培养学生合作学习的能力和习惯。

由于开放题结果的多样性和解题策略的不唯一性, 往往不同的学生就会有不同的解题思路和解题策略, 当然也会出现不同的解答结果, 这就为他们之间进行交流、合作学习提供了较大的空间。教学中, 如果老师能合理组织教学, 还课堂给学生, 给他们思考的空间、讨论的空间、合作的空间, 就能大大激活课堂, 使课堂教学充满智慧张力和民主气息。新课程强调培养学生的自主、合作、探究式学习能力和习惯, 利用开放题教学, 就是一种有效的途径和方式。教学中, 我们发现, 学生在解决问题过程中, 常常会与同伴进行探讨, 或陈述自己的解题思路、解题方法, 或指出对方的思维漏洞, 知识缺陷, 甚至会点出对方一些学习方式、学习习惯的不足, 显然, 这是一种相互启发、相互促进、共同提高的课堂生态, 这样的课堂, 最有利于学生的智慧碰撞、情感交融, 能很好地促进他们形成良好的合作学习习惯。

3. 开放题教学有利于学生体验成功的愉悦, 树立学习数学的信心。

进入初中, 随着数学知识量的增加, 思维难度的提高, 许多同学感到学习困难, 自信心严重受挫。利用开放题教学, 就有利于让学生在学习中体验成功的愉悦, 克服自卑心理, 从而增强学习数学的信心。由于开放题条件和结论具有的不确定性, 解题思路的多向性, 以及问题解答的层次性和探究性特点, 学生在解答过程中, 就可根据自己的认知结构, 思维惯性和熟练技能去寻求解答问题的途径或方案, 这样他们的解题思路和策略, 就会彼此不同, 他们的答案也会千差万别。这样, 他们就不会因为自己的答案与众不同, 而怀疑自己、否定自己, 他们也可以在解题中享受解决问题的成功愉悦感, 久而久之, 就会克服自卑心理, 增强学习数学的信心。

摘要：如今, 开放型试题已成为中考的必考试题。开放题在开发学生的思维潜能, 培养良好思维品质, 促进学生创新意识和创造能力的发展, 发挥着重要作用。实际教学中, 为了更好地利用开放题, 发挥它的教学价值, 必须明确它的含义和分类, 掌握它的特点, 在此基础上才能深入开掘它的价值, 才能在教学中灵活、有效利用, 实现它的教学价值。

关键词：初中数学,开放题,教学价值

参考文献

[1]刘萍.数学开放题与学生主体意识的培养[J].中学数学教学, 1999, (1) .